山东省巨野县第一中学高中数学411圆的标准方程课

表示任何图形．
2021/4/17
高中数学第四章圆与方程41圆的方程412圆的
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一般方程课件新人教A版必修2
[思考探究]………………|辨别正误| 1．若圆心是原点时，圆的一般方程应为怎样的形式？ [提示] x2＋y2＋F＝0. 2．若二元二次方程 Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆， 需满足什么条件？ [提示] ①A＝C≠0；②B＝0；③D2＋E2－4AF>0.
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高中数学第四章圆与方程41圆的方程412圆的
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考向 3 定义法求动点的轨迹方程 【例 5】 已知 Rt△ABC 的斜边为 AB，且 A(－1,0)，B(3， 0)，求直角顶点 C 的轨迹方程． [解] 解法一：设顶点 C(x，y)，因为 AC⊥BC，且 A，B， C 三点不共线，所以 x≠3，且 x≠－1. 又因为 kAC＝x＋y 1，kBC＝x－y 3，且 kAC·kBC＝－1， 所以x＋y 1·x－y 3＝－1，化简得 x2＋y2－2x－3＝0.
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高中数学第四章圆与方程41圆的方程412圆的
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一般方程课件新人教A版必修2
解法二(几何法)： 由题意得线段 PQ 的中垂线方程为 x－y－1＝0. ∴所求圆的圆心 C 在直线 x－y－1＝0 上，设其坐标为 C(a， a－1)． 又圆 C 的半径长 r＝|CP|＝ a－42＋a＋12. ① 由已知圆 C 截 y 轴所得的线段长为 4 3，而圆心 C 到 y 轴 的距离为|a|.
复习课件
高中数学第四章圆与方程4.1圆的方程4.1.2圆的一般方程课件新人教A版必修2
2021/4/17
高中数学第四章圆与方程41圆的方程412圆的一般方程课件 新人教A版必修2

1 方法 2：线段 AB 的垂直平分线方程为 y＝－2(x－4)，即 x ＋2y－4＝0.令 y＝0，得 x＝4， 所以圆心坐标为(4,0)，半径 r＝|MA|＝ 5. 所以圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝5.
与圆有关的最值问题
[例 3] 设点 P(x，y)是圆 x2＋(y＋4)2＝4 上任意一点， 则 x－12＋y－12的最大值为________．
答案：D
(2)已知圆被 x 轴平分，且过点 A(5,2)和 B(3，－2)，求圆的 标准方程．
解：方法 1：由题意得圆心在 x 轴上． 设圆心坐标为 M(a,0)，则|MA|＝|MB|， 即(a－5)2＋(0－2)2＝(a－3)2＋(0＋2)2，解得 a＝4. 所以圆心坐标为(4,0)，半径 r＝|MA|＝ 5. 所以圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝5.
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第四章·4.1 · 4.1.1
判断点与圆的位置关系的方法 (1)从形的角度， 比较圆的半径与圆心到定点的距离的大小， 从而作出判断． (2)从数的角度，将定点的坐标代入圆的标准方程的左边， 再与右边的值比较，从而作出判断．
2．判一判．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2 一定表示圆．( (2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径．( 2.( )
答案：(1)× (2)√ (3)×
) )
(3) 圆 (x＋ 1)2 ＋ (y＋ 2)2 ＝ 4 的圆心坐标是 (1,2) ，半径是
点与圆的位置关系
解法 2：设点 C 为圆心， 因为点 C 在直线 x＋y－2＝0 上， 所以可设点 C 的坐标为(a,2－a)． 又因为该圆经过 A，B 两点，所以|CA|＝|CB|. 所以 a－12＋2－a＋12＝ a＋12＋2－a－12， 解得 a＝1.所以 2－a＝2－1＝1. 所以圆心坐标为 C(1,1)，半径 r＝|CA|＝2. 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.

为X轴，O点为坐标原 B 点，建立如图所示平
X 面直角坐标系
例4.在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么
∵ 圆心在ｙ轴上， ∴ 设圆心的坐标是（0，ｂ），圆的半径是ｒ， 那么圆的方程是 ｘ2＋（ｙ－ｂ）2＝ｒ2 因为点（0 , 7.2）和（18.51 , 0）在圆上。于是得方程组
弦AB的垂 直平分线
O
x
D
C
B(2,-2)
l:xy10
圆心：两条直线的交点
半径：圆心到圆上一点
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
典型例题
解法1：因为A(1, 1)和B(2, －2)，所以线段AB的中点D的坐标
赵州桥的跨度为40米，拱高约8米
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
学以致用
例4.如图是赵州桥的圆拱示意图，该拱跨度 AB=40米，拱高OD=8米，求这座圆拱桥的拱圆所 在圆的标准方程。
Y
D A
O
r
解：以A.B所在的直线
相切的圆.
y
解： 设所求圆的半径为r
则：
r
| 31- 43-7|
32 42 =
1
6 5
C
M
O
x
∴所求圆的方程为：(x1)2(y3)2196 25
圆心：已知
半径：圆心到切线的距离
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么

谢谢观看
又圆心在l:x－y+1=0上,所以a-b+1=0.
上，求圆心为C的圆的标准方程。
2、根据圆的方程写出圆心和半径：
5.已知圆心为C的圆经过点A（1 ，1）和 所以所求的圆的标准方程为(x+3)2+(y+2)2=25.
故线段AB的垂直平分线方程为
问题2：根据前面我们所学的直线方程的
B（2 ，-2），且圆心C在直线：xy10 高中数学 圆的标准方程一课件 新人教A版必修
所以所求的圆的方程为(x+3)2+(y+2)2=25. 当圆心为（0 ，0），半径为r时，圆的方程为
上，求圆心为C的圆的标准方程。 解得a=-3,b=-2,r=5.
因此圆心C的坐标为(-3,-2),半径r=|AC|=
4.解：设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r 0)
则： (5 a)2 (1b)2 r2
(7
a)2
(3b)2
r2
(2 a)2 (8 b)2 r2
解得
a 2
b
3

r
2
25
. 所求圆的方程为 (x2)2(y3)225
规律，解决问题
5.已知⊿ 圆心为C的圆经过点A（1 ，1）和
B（2 ，-2），且圆心C在直线：xy10
上，求圆心为C的圆的标准方程。
解：解法一:设所求的圆的标准方程为(x－a)2+(y－b)2=r2,将点A(1,1)和B(2,－2)代 入得
高中数学 圆的标准方程一课件 新 人教A版必修
1 圆的标准方程（一）
设计问题，创设情境
问题1：在平面直角坐标系中，两点能确定一条直线，一点和一 倾斜角也能确定一条直线。那么在平面直角坐标系中确定一个 圆的几何要素是什么呢 ？

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标准方程课件新人教A版必修2
解法二：直线 AB 的斜率 kAB＝－3－1－13＝－12， 所以线段 AB 的垂直平分线 m 的斜率为 2. 线段 AB 的中点的横坐标和纵坐标分别为 x＝3－2 1＝1，y＝ 1＋2 3＝2， 因此直线 m 的方程为 y－2＝2(x－1)， 即 2x－y＝0.
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【探究 3】 [变条件、变结论]已知圆 C：(x－3)2＋(y－4)2
＝1，点 A(0，－1)，B(0,1)，设 P 是圆 C 上的动点，令 d＝|PA|2
＋|PB|2，求 d 的最大值及最小值．
[解] 设 P(x，y)， 则 d＝|PA|2＋|PB|2＝2(x2＋y2)＋2. ∵|CO|2＝32＋42＝25， ∴(5－1)2≤x2＋y2≤(5＋1)2. 即 16≤x2＋y2≤36. ∴d 的最小值为 2×16＋2＝34. 最大值为 2×36＋2＝74.
高中数学第四章圆与方程41圆的方程411圆的
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又因为圆心在直线 3x－y－2＝0 上， 所以圆心是这两条直线的交点． 联立方程，得32xx－－yy－＝20＝，0， 解得yx＝＝42.， 设圆心为 C，所以圆心坐标为(2,4)． 又因为半径 r＝|CA|＝ 10， 所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10.
复习课件
高中数学第四章圆与方程4.1圆的方程4.1.1圆的标准方程课件新人教A版必修2
2021/4/17
高中数学第四章圆与方程41圆的方程411圆的标准方程课件 新人教A版必修2
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第四章 圆与方程
2021/4/17
高中数学第四章圆与方程41圆的方程411圆的

圆的标准方程公开课课件(终稿)圆的标准方程公开课课件（终稿）一、引言在几何学中，圆是最基本的曲线之一，其具有独特的性质和广泛的应用。

圆的标准方程是描述圆的重要工具，它将圆的几何特性转化为代数表达式，为我们解决与圆相关的问题提供了便利。

本课件旨在深入讲解圆的标准方程，帮助大家更好地理解和应用这一几何概念。

二、圆的定义和性质1.定义：圆是平面上所有到定点O（圆心）距离等于定长r（半径）的点的集合。

2.性质：（1）圆上任意两点到圆心的距离相等。

（2）圆上任意两点间的连线与圆心所连线段互相垂直。

（3）圆的直径等于圆周上任意两点间的最大距离。

（4）圆的周长C=2πr，面积S=πr²。

三、圆的标准方程1.基本形式：圆的标准方程可以表示为(x-h)²+(y-k)²=r²，其中(h,k)为圆心坐标，r为半径。

2.推导过程：（1）设圆心坐标为(h,k)，任意点P(x,y)在圆上，则有-OP-=r。

（2）根据距离公式，可得(x-h)²+(y-k)²=r²。

3.特点：（1）圆心在坐标系原点时，方程简化为x²+y²=r²。

（2）圆心不在原点时，方程表示以(h,k)为圆心，r为半径的圆。

四、圆的标准方程的应用1.求圆的半径和圆心坐标：给定圆的方程(x-h)²+(y-k)²=r²，可以通过比较系数直接得到圆心坐标(h,k)和半径r。

2.判断点与圆的位置关系：将点的坐标代入圆的方程，若等式成立，则点在圆上；若小于r²，则点在圆内；若大于r²，则点在圆外。

3.求圆与直线的交点：将直线方程代入圆的方程，解得x（或y），再代入直线方程求得y（或x），从而得到交点坐标。

4.求圆与圆的交点：将两个圆的方程相减，得到公共弦所在的直线方程，再求该直线与其中一个圆的交点。

五、结论圆的标准方程是描述圆几何特性的重要工具，通过本课件的讲解，我们了解了圆的定义、性质、标准方程及其应用。

A直线x 2轴对称 B直线y x轴对称 C点（ 2，2）中心对称 D点（ 2，0）中心对称
2024/7/3
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谢谢大家观赏！
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例题分析
例5、如下图，已知线段AB的端点B的坐标是(4,3), 端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点 M的轨迹方程.
y
M
B
A
o
x
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练习
1: 方程x2 y2 4kx 2 y k 0表示圆,则k的取值是（C ）
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问题
(1)圆的一般方程和Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 比较，在形式上有什么突出的特点?
(2)要求出圆的一般方程，必须先求出什么？ 可用什么方法求？
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练习
1、求下列各方程表示的圆的圆心坐标和半径
(1) x2+y2-6x=0
(3) 圆心在（-1、2），与y轴相切
(4)圆心在直线y=x上,与两轴同时相切,半径为2.
(5)已知圆经过P(5、1),圆心在C(8、3)
(6)已知两点A(4、9)、B(6、 3), 求以AB 为直径的圆的方程.
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(4)圆心在直线y=x上,与两轴同时相切,半径为2.
(x0-a)2+(y0-b)2=r2
点M0在圆上

把
4 rad 化成度． 5
解：4 rad 4 180 144
5
5
角度制与弧度制互化时要抓1住80o 弧度这个关键．
练习：将下列弧度转化为角度，角度 转化为弧度。
(1) 210 (2)1200
(3) 3
10
(4) 4
3
根据度与弧度的换算关系，熟记各特殊角对应的 弧度数
角度 0 30 45 60 90 120 135 150 180 弧度 0 2 3 5
思考:在弧度制下, 角的集合与实数集R之间可以建立 一个一一对应关系 ,这个对应关系是如何理解的？
正角的弧度数
正数
负角的弧度数 零角的弧度数
正角
负数
零 正数
对应角的 弧度数
负角
负数
零角
0
任意角的集合
实数集R
例3、用弧度制证明下列关于扇形的公式 :
(1)l R; (2)S 1 lR. (3)S 1R2;
L 4 2
R2
1.下列命题不正确的是（ D）
A.半圆所对的圆心角是πrad B.周角的大小是2π
C.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径 D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是 1弧度
2.一条弦的长度等于圆的半径，则这条弦所对 的圆心角的弧度数是（A）
A. B. C.1 D.
36
3.圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增大到 原来的2倍，则（ B） A.扇形的面积不变 B.扇形的圆心角不变 C.扇形的面积增大到原来的2倍 D.扇形的圆心角增大到原来的2倍
2
2
其中R是半径, l是弧长,
B
(0 2 )为圆心角,
l
S是扇形的面积.
O

须具备三个独立条件，即a、b、r。3、是关于x,y的二元二
次方程。
O
M（x,y)
A
（a,b)
x
例题剖析
例题1： 与y轴相切，且圆心坐标为（-5,-3）的圆的标准方程为
。
y
方法一：待定系数法
解 ∵圆心坐标为（-5，-3）
又与y 轴相切，∴该圆的半径为5
∴该圆的标准方程为（x+5)2+(y+3)2=25
将A’的坐标(x1 ,-3)代入方程，求得x 1 =
50
∴ 水面下降1米后，水面宽为2x 1=2 50米.
A
C
A’
x
课堂小结
y
M（x,y)
1、圆的标准方程（圆心C（a、b）,半径r）
O
2、求圆的标准方程的方法
① 待定系数法②
几何法
注：具备三个独立条件才能求出圆的方程
A
（a,b)
x
T H A N K S
位置关系
d与r的大小
图示
y
p
点在圆外
dr
d>r
（ − ) + ( − ) >
y
点在圆上
d=r
p
d<r
Ox
r
（ − ) + ( − ) =
d
y
点在圆内
点p的坐标的特点
Ox
（ − ) + ( − ) <
p r
d
Ox
例题剖析
例题3： 已知圆的圆心 M 是直线2x+ y -1=0与直线 x -2y+2=0的交点，且圆过点 P (-5,6)，
基础教育精品课
《圆的方程》（第一课时）

计算两圆的交点
当需要求解两个圆的交点时，可以通过联立两个圆的方程进行求解。
2024/1/25
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圆的方程在物理问题中的应用
2024/1/25
描述圆周运动
在物理学中，圆的方程可以用来描述质点做匀速圆周运动时的轨 迹。
计算向心加速度
通过圆的方程和物理公式，可以计算质点做圆周运动时的向心加 速度。
分析碰撞问题
方程表示了平面上所有与圆心 $(a, b)$ 距离等于 $r$ 的点的集合。
2024/1/25
8
标准方程的推导过程
设 $M(x, y)$ 是圆上任意一点，根据 圆的定义，点 $M$ 到圆心 $C(a, b)$ 的距离等于半径 $r$。
对方程两边平方，得到圆的标准方程 $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$。
边界
圆的边界是一个连续且光 滑的曲线，没有棱角或断 点。
中心对称性
圆关于其圆心中心对称， 即对于圆上任意一点，都 存在一个关于圆心对称的 点也在圆上。
12
圆心位置对图像的影响
位置变化
改变圆心的位置，圆的整体位置 会随之移动，但形状和大小保持
不变。
对称性保持
无论圆心如何移动，圆始终保持 中心对称性。
性质、割线性质等，加深对圆的理解和掌握。
02
掌握更多与圆相关的数学方法
除了标准方程外，还有许多与圆相关的数学方法，如极坐标方程、参数
方程等，这些方法将在后续的学习中逐一介绍。
2024/1/25
03
拓展应用到其他领域
圆作为一种基本的几何图形，在各个领域都有广泛的应用。在未来的学
习中，我们将尝试将圆的知识应用到更多领域，如工程学、建筑学等。

第1课时圆的标准方程[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P118～P120，回答下列问题．(1)圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？提示：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆．定点就是圆心，定长就是半径．圆心和半径．圆心：确定圆的位置；半径：确定圆的大小．(2)求圆的标准方程时常用哪些几何性质？提示：求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标和半径，为此常用到圆的以下几何性质：①弦的垂直平分线必过圆心．②圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心．③圆心与切点的连线长是半径长．④圆心与切点的连线必与切线垂直．2．归纳总结，核心必记(1)圆的标准方程①圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．②确定圆的要素是圆心和半径，如图所示．③圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点为圆心、半径为r的圆．(2)点与圆的位置关系圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心A(a，b)，半径为r.设所给点为M(x0，y0)，则[问题思考]方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(a，b，r∈R)表示一个圆吗？为什么？提示：未必表示圆．当r≠0时，表示圆心为(a，b)，半径为|r|的圆；当r＝0时，表示一个点(a，b)．[课前反思]通过以上预习，必须掌握的几个知识点．(1)圆的标准方程是什么？怎样求解？；(2)点与圆有哪些位置关系？.“南昌之星”摩天轮2006年建成时是世界上最高的摩天轮，它位于江西省南昌市红谷滩新区红角洲赣江边上的赣江市民公园，是南昌市标志性建筑．该摩天轮总高度为160米，转盘直径为153米．[思考1] 游客在摩天轮转动过程中离摩天轮中心的距离一样吗？ 提示：一样．圆上的点到圆心的距离都是相等的，都是圆的半径．[思考2] 若以摩天轮中心所在位置为原点，建立平面直角坐标系，游客在任一点(x ，y )的坐标满足什么关系？提示：x 2＋y 2＝1532.[思考3] 以(1,2)为圆心，3为半径的圆上任一点的坐标(x ，y )满足什么关系？ 提示：x －2＋y －2＝3.[思考4] 确定圆的标准方程需具备哪些条件？名师指津：圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2中有三个参数，要确定圆的标准方程需要确定这三个参数，其中圆心(a ，b )是圆的定位条件，半径r 是圆的定量条件．讲一讲1．求过点A (1，－1)，B (－1,1)且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的标准方程．(链接教材P 120－例3)[尝试解答] 法一：设所求圆的标准方程为 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由已知条件知⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋－1－b 2＝r 2，－1－a 2＋－b2＝r 2，a ＋b －2＝0，解此方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，r 2＝4.故所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. 法二：设点C 为圆心，∵点C 在直线x ＋y －2＝0上， ∴可设点C 的坐标为(a,2－a )． 又∵该圆经过A ，B 两点， ∴|CA |＝|CB |. ∴a －2＋－a ＋2＝a ＋2＋－a －2，解得a ＝1.∴圆心坐标为C (1,1)，半径长r ＝|CA |＝2. 故所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. 法三：由已知可得线段AB 的中点坐标为(0,0)，k AB ＝1－－－1－1＝－1，∴弦AB 的垂直平分线的斜率为k ＝1，∴AB 的垂直平分线的方程为y －0＝1·(x －0)， 即y ＝x .则圆心是直线y ＝x 与x ＋y －2＝0的交点，由⎩⎨⎧y ＝x ，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即圆心为(1,1)， 圆的半径为－2＋[1－－2＝2，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.求圆的标准方程的方法确定圆的标准方程就是设法确定圆心C (a ，b )及半径r ，其求解的方法： (1)待定系数法，如法一，建立关于a ，b ，r 的方程组，进而求得圆的方程； (2)借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径，如法二、三．一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷．练一练1．求下列圆的标准方程： (1)圆心是(4,0)，且过点(2,2)；(2)圆心在y 轴上，半径为5，且过点(3，－4)；(3)过点P (2，－1)和直线x －y ＝1相切，并且圆心在直线y ＝－2x 上． 解：(1)r 2＝(2－4)2＋(2－0)2＝8， ∴圆的标准方程为(x －4)2＋y 2＝8. (2)设圆心为C (0，b )， 则(3－0)2＋(－4－b )2＝52， ∴b ＝0或b ＝－8， ∴圆心为(0,0)或(0，－8)， 又r ＝5，∴圆的标准方程为x 2＋y 2＝25或x 2＋(y ＋8)2＝25. (3)∵圆心在y ＝－2x 上，设圆心为(a ，－2a )， 则圆心到直线x －y －1＝0的距离为r . ∴r ＝|a ＋2a －1|2， ①又圆过点P (2，－1)，∴r 2＝(2－a )2＋(－1＋2a )2， ②由①②得⎩⎨⎧a ＝1，r ＝2或⎩⎨⎧a ＝9，r ＝132，∴圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2或(x －9)2＋(y ＋18)2＝338.爱好运动的小华，小强，小兵三人相邀搞一场掷飞镖比赛，他们把靶子钉在土墙上，规定谁的飞镖离靶心O 越近，谁获胜，如图A ，B ，C 分别是他们掷一轮飞镖的落点．看图回答下列问题：[思考1] 点与圆的位置关系有几种？ 提示：三种．点在圆外、圆上、圆内． [思考2] 如何判断他们的胜负？ 提示：利用点与圆心的距离． 讲一讲2．已知圆心在点C (－3，－4)，且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点P 1(－1,0)，P 2(1，－1)，P 3(3，－4)和圆的位置关系．(链接教材P 119—例1)[尝试解答] 因为圆心是C (－3，－4)，且经过原点， 所以圆的半径r ＝－3－2＋－4－2＝5，所以圆的标准方程是(x ＋3)2＋(y ＋4)2＝25. 因为|P 1C |＝－1＋32＋＋2＝4＋16＝25<5，所以P 1(－1,0)在圆内； 因为|P 2C |＝＋2＋－1＋2＝5，所以P 2(1，－1)在圆上；因为|P 3C |＝＋2＋－4＋2＝6>5，所以P 3(3，－4)在圆外．(1)判断点与圆的位置关系的方法①只需计算该点与圆的圆心距离，与半径作比较即可；②把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断． (2)灵活运用若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围． 练一练2．已知点A (1,2)不在圆C ：(x －a )2＋(y ＋a )2＝2a 2的内部，求实数a 的取值范围． 解：由题意，点A 在圆C 上或圆C 的外部， ∴(1－a )2＋(2＋a )2≥2a 2， ∴2a ＋5≥0， ∴a ≥－52，又a ≠0，∴a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－52，0∪(0，＋∞)．讲一讲3．已知x 和y 满足(x ＋1)2＋y 2＝14，试求：(1)x 2＋y 2的最值；(2)x ＋y 的最值．[思路点拨] 首先观察x 、y 满足的条件，其次观察所求式子的几何意义，最后结合图形求出其最值．[尝试解答] (1)据题意知x 2＋y 2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值．原点O (0,0)到圆心C (－1,0)的距离d ＝1，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋12＝32，最小距离为1－12＝12.因此x 2＋y 2的最大值和最小值分别为94和14. (2)令y ＋x ＝b 并将其变形为y ＝－x ＋b .问题转化为斜率为－1的直线在经过圆上的点时在y 轴上的截距的最值．当直线和圆相切时在y 轴上的截距取得最大值和最小值，此时有|－1－b |2＝12，解得b ＝±22－1，即最大值为22－1，最小值为－22－1.数形结合思想能有效地找到解题的捷径，解题时找到圆心和半径，分析待求数学表达式的几何意义，将“数”与“形”有机地结合起来是求解与圆有关的最值问题的关键．练一练3．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(0，－1)，B(0,1)，设P是圆C上的动点，令d＝|PA|2＋|PB|2，求d的最大值及最小值．解：设P(x，y)，则d＝|PA|2＋|PB|2＝2(x2＋y2)＋2.∵|CO|2＝32＋42＝25，∴(5－1)2≤x2＋y2≤(5＋1)2.即16≤x2＋y2≤36.∴d的最小值为2×16＋2＝34.最大值为2×36＋2＝74.————————————[课堂归纳·感悟提升]—————————————1．本节课的重点是会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征，能根据所给条件求圆的标准方程，掌握点与圆的位置关系．难点是根据所给条件求圆的标准方程．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)求圆的标准方程的方法，见讲1.(2)判断点与圆的位置关系的方法，见讲2.(3)求与圆有关的最值的方法，见讲3.3．本节课的易错点是求圆的标准方程中易漏解，如练1.课下能力提升(二十二)[学业水平达标练]题组1 圆的标准方程1．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别是( )A．(－2,3)，1 B．(2，－3)，3C．(－2,3)， 2 D．(2，－3)， 2解析：选D 由圆的标准方程可得圆心坐标为(2，－3)，半径为 2.2．(2016·洛阳高一检测)圆心为(0,4)，且过点(3,0)的圆的方程为( )A ．x 2＋(y －4)2＝25B ．x 2＋(y ＋4)2＝25 C ．(x －4)2＋y 2＝25 D ．(x ＋4)2＋y 2＝25 解析：选A 由题意，圆的半径r ＝－2＋－2＝5，则圆的方程为x 2＋(y－4)2＝25.3．(2016·达州高一检测)△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (1,0)，B (3,0)，C (3,4)，则△ABC 的外接圆方程是 ( )A ．(x －2)2＋(y －2)2＝20 B ．(x －2)2＋(y －2)2＝10 C ．(x －2)2＋(y －2)2＝5 D ．(x －2)2＋(y －2)2＝ 5解析：选C 易知△ABC 是直角三角形，∠B ＝90°，所以圆心是斜边AC 的中点(2,2)，半径是斜边长的一半，即r ＝5，所以外接圆的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝5.4．经过原点，圆心在x 轴的负半轴上，半径为2的圆的方程是________． 解析：圆心是(－2,0)，半径是2，所以圆的方程是(x ＋2)2＋y 2＝4. 答案：(x ＋2)2＋y 2＝45．求过点A (1,2)和B (1,10)且与直线x －2y －1＝0相切的圆的方程．解：圆心在线段AB 的垂直平分线y ＝6上，设圆心为(a,6)，半径为r ，则圆的方程为(x －a )2＋(y －6)2＝r 2.将点(1,10)代入得(1－a )2＋(10－6)2＝r 2， ① 而r ＝|a －13|5，代入①，得(a －1)2＋16＝a －25，解得a ＝3，r ＝25或a ＝－7，r ＝4 5.故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －6)2＝20或(x ＋7)2＋(y －6)2＝80. 题组2 点与圆的位置关系6．点P (m 2,5)与圆x 2＋y 2＝24的位置关系是( ) A ．在圆外 B ．在圆内 C ．在圆上 D ．不确定解析：选A 把点P (m 2,5)代入圆的方程x 2＋y 2＝24得m 4＋25>24，故点P 在圆外． 7．点(5a ＋1，a )在圆(x －1)2＋y 2＝26的内部，则a 的取值范围是________． 解析：由于点在圆的内部，所以(5a ＋1－1)2＋(a )2＜26，即26a ＜26，又a ≥0，解得0≤a ＜1.答案：[0,1)8．已知圆M 的圆心坐标为(3,4)，且A (－1,1)，B (1,0)，C (－2,3)三点一个在圆M 内，一个在圆M 上，一个在圆M 外，则圆M 的方程为________．解析：∵|MA|＝－1－2＋－2＝5，|MB|＝－2＋－2＝25，|MC|＝－2－2＋－2＝26，∴|MB|＜|MA|＜|MC|，∴点B在圆M内，点A在圆M上，点C在圆M外，∴圆的半径r＝|MA|＝5，∴圆M的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25.答案：(x－3)2＋(y－4)2＝25题组3 与圆有关的最值问题9．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为( )A．6 B．4 C．3 D．2解析：选B 由题意，知|PQ|的最小值即为圆心到直线x＝－3的距离减去半径长，即|PQ|的最小值为6－2＝4.10．已知点P(x，y)在圆x2＋y2＝1上，则x－2＋y－2的最大值为________．解析：x－2＋y－2的几何意义是圆上的点P(x，y)到点(1,1)的距离，因此最大值为2＋1.答案：1＋ 2[能力提升综合练]1．与圆(x－3)2＋(y＋2)2＝4关于直线x＝－1对称的圆的方程为( )A．(x＋5)2＋(y＋2)2＝4B．(x－3)2＋(y＋2)2＝4C．(x－5)2＋(y＋2)2＝4D．(x－3)2＋y2＝4解析：选A 已知圆的圆心(3，－2)关于直线x＝－1的对称点为(－5，－2)，∴所求圆的方程为(x＋5)2＋(y＋2)2＝4.2．圆心为C(－1,2)，且一条直径的两个端点落在两坐标轴上的圆的方程是( ) A．(x－1)2＋(y＋2)2＝5B．(x－1)2＋(y＋2)2＝20C．(x＋1)2＋(y－2)2＝5D．(x＋1)2＋(y－2)2＝20解析：选C 因为直径的两个端点在两坐标轴上，所以该圆一定过原点，所以半径r＝－1－2＋－2＝5，又圆心为C (－1,2)，故圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，故选C.3．方程y ＝9－x 2表示的曲线是( ) A ．一条射线 B ．一个圆 C ．两条射线 D ．半个圆解析：选D y ＝9－x 2可化为x 2＋y 2＝9(y ≥0)，故表示的曲线为圆x 2＋y 2＝9位于x 轴及其上方的半个圆．4．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为( )A ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝5 B ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝5 C ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝5 D ．(x －1)2＋(y －2)2＝5解析：选C 直线方程变为(x ＋1)a －x －y ＋1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝0，－x －y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，∴C (－1,2)，∴所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5.5．(2016·合肥高一检测)圆心为直线x －y ＋2＝0与直线2x ＋y －8＝0的交点，且过原点的圆的标准方程是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x ＋y －8＝0，可得x ＝2，y ＝4， 即圆心为(2,4)，从而r ＝－2＋－2＝25，故圆的标准方程为(x －2)2＋(y －4)2＝20. 答案：(x －2)2＋(y －4)2＝206．若圆心在x 轴上，半径为5的圆C 位于y 轴左侧，且与直线x ＋2y ＝0相切，则圆C 的方程是________．解析：如图所示，设圆心C (a,0)，则圆心C 到直线x ＋2y ＝0的距离为|a ＋2×0|12＋22＝5，解得a ＝－5，a ＝5(舍去)，∴圆心是(－5,0)．故圆的方程是(x ＋5)2＋y 2＝5. 答案：(x ＋5)2＋y 2＝57．已知某圆圆心在x 轴上，半径长为5，且截y 轴所得线段长为8，求该圆的标准方程．解：法一：如图所示，由题设|AC |＝r ＝5，|AB |＝8， ∴|AO |＝4.在Rt △AOC 中，|OC |＝ |AC |2－|AO |2＝ 52－42＝3. 设点C 坐标为(a,0)， 则|OC |＝|a |＝3，∴a ＝±3.∴所求圆的方程为(x ＋3)2＋y 2＝25或(x －3)2＋y 2＝25. 法二：由题意设所求圆的方程为(x －a )2＋y 2＝25. ∵圆截y 轴线段长为8，∴圆过点A (0,4)． 代入方程得a 2＋16＝25，∴a ＝±3.∴所求圆的方程为(x ＋3)2＋y 2＝25或(x －3)2＋y 2＝25.8．(1)如果实数x ，y 满足(x －2)2＋y 2＝3，求y x的最大值和最小值； (2)已知实数x ，y 满足方程x 2＋(y －1)2＝14，求x －2＋y －2的取值范围．解：(1)法一：如图，当过原点的直线l 与圆(x －2)2＋y 2＝3相切于上方时y x最大，过圆心A (2,0)作切线l 的垂线交于B ，在Rt △ABO 中，OA ＝2，AB ＝ 3.∴切线l 的倾斜角为60°，∴y x的最大值为 3. 同理可得y x 的最小值为－ 3.法二：令y x＝n ，则y ＝nx 与(x －2)2＋y 2＝3联立， 消去y 得(1＋n 2)x 2－4x ＋1＝0， Δ＝(－4)2－4(1＋n 2)≥0，即n 2≤3，∴－3≤n ≤3，即y x的最大值、最小值分别为3、－ 3. (2)x －2＋y －2可以看成圆上的点P (x ，y )到A (2,3)的距离．圆心C (0,1)到A (2,3)的距离为d ＝－2＋－2＝2 2.由图可知，圆上的点P (x ，y )到A (2,3)的距离的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤22－12，22＋12. 即 x －2＋y －2的取值范围是22－12，22＋12.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

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• 4 ． 以 (3,4) 为 圆 心 ， 且 过 点 (0,0) 的 圆 的 方 程 为 ()
• A．x2＋y2＝25 • B．x2＋y2＝5 • C．(x－3)2＋(y－4)2＝25 • D．(x＋3)2＋(y＋4)2＝25 • [答案] C
[解析] 半径 r＝ 32＋42＝5，故圆的方程为
• [分析] 只要确定了圆心坐标和半径就可以写出 圆的方程．
[解析] (1)圆的半径 r＝|CA|＝ (2＋2)2＋(－2－1)2＝5. ∵圆心为(－2,1)，∴所求圆的方程为 (x＋2)2＋(y－1)2＝25. (2)∵直线 3x－4y－6＝0 是所求圆的切线， ∴圆心(1,3)到这条直线的距离等于圆的半径， ∴圆的半径为 r＝|3×1－324＋×432－6|＝3. ∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝9.
• 求过点A(6,0)，B(1,5)，且圆心在直线l：2x－7y＋ 8＝0上的圆的方程．
(x－3)2＋(y－4)2＝25.
• 5．根据下列条件，求圆的方程填空： • (1)圆心C(－2,1)过点A(2，－2)，________； • (2)圆心C(1,3)与直线3x－4y－6＝0相切，______；
(3)过点(0,1)和点(2,1)，半径为 5，________.
• [答案] (1)(x＋2)2＋(y－1)2＝25 (2)(x－1)2＋(y －3)2＝9 (3)(x－1)2＋(y＋1)2＝5或(x－1)2＋(y－ 3)2＝5
• 本节学习重点：圆的标准方程的推导以及根据具 体条件正确的求出圆的标准方程．
• 本节学习难点：运用圆的标准方程解决一些简单 的实际问题．
• 1．确定圆的几何要素：
• 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，只要圆 心和半径确定下来，圆也就确定下来了．

新田一中高中数学必修二课时作业：4.1.1 圆的HY方程创作单位：*ＸＸＸ创作时间：2022年4月12日创作编者：聂明景根底达标1．方程y＝9－x2表示的曲线是 ( )．A．一条射线B．一个圆C．两条射线D．半个圆解析y＝9－x2可化为x2＋y2＝9(y≥0)．答案 D2．假设点P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，那么直线AB的方程是( )．A．x－y－3＝0 B．2x＋y－3＝0C．x＋y－1＝0 D．2x－y－5＝0解析圆心为C(1，0)，那么AB⊥CP，∵k CP＝－1，∴k AB＝1，∴直线AB的方程是y＋1＝x －2，即x－y－3＝0.答案 A3．圆(x－3)2＋(y＋4)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程是 ( )．A．(x＋3)2＋(y＋4)2＝1 B．(x＋4)2＋(y－3)2＝1C．(x－4)2＋(y－3)2＝1 D．(x－3)2＋(y－4)2＝1解析两个半径相等的圆关于直线对称，只需要求出关于直线对称的圆心即可，(3，－4)关于y＝x的对称点为(－4，3)，即为圆心，1仍为半径．即所求圆的方程为(x＋4)2＋(y－答案 B4．圆C 经过A (5，1)，B (1，3)两点，圆心在x 轴上，那么C 的方程为________． 解析 设圆心坐标为(a ，0)，易知〔a －5〕2＋〔－1〕2＝〔a －1〕2＋〔－3〕2，解得a ＝2，∴圆心为(2，0)，半径为10，∴圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10.答案 (x －2)2＋y 2＝105．(2021·高一检测)点A (8，－6)与圆C ：x 2＋y 2＝25，P 是圆C 上任意一点，那么|AP |的最小值是________．解析 由于82＋(－6)2＝100＞25，故点A 在圆外，从而|AP |的最小值为82＋〔－6〕2－5＝10－5＝5.答案 56．假设圆心在x 轴上，半径为5的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋2y ＝0相切，那么圆O 的方程是________．解析 如下图，设圆心O (a ，0)，那么圆心O 到直线x ＋2y ＝0的间隔 为|a ＋2×0|12＋22＝5，解得a ＝－5，a ＝5(舍去)，故所求圆的方程是(x ＋5)2＋y 2＝5.答案 (x ＋5)2＋y 2＝57．圆心在x 轴上的圆C 与x 轴交于两点A (1，0)，B (5，0)．(1)求此圆的HY 方程；(2)设P (x ，y )为圆C 上任意一点，求点P (x ，y )到直线x －y ＋1＝0的间隔 的最大值和最小解 (1)由题意，结合图(1)可知圆心(3，0)，r ＝2，所以圆C 的HY 方程为(x －3)2＋y 2＝4.(2)如图(2)所示，过点C 作CD 垂直于直线x －y ＋1＝0，垂足为D .由点到直线的间隔 公式可得|CD |＝|3＋1|2＝22， 又P (x ，y )是圆C 上的任意一点，而圆CP 到直线x －y ＋1＝0的间隔 的最大值为22＋2，最小值为22－2.才能提升 8．假设实数x ，y 满足(x ＋5)2＋(y －12)2＝142，那么x 2＋y 2的最小值为 ( )．A ．2B ．1 C. 3D. 2 解析 由几何意义可知最小值为14－52＋122＝1.答案 B9．圆C ：(x ＋2)2＋(y －6)2＝1和直线l ：3x －4y ＋5＝0，那么圆C 关于直线l 对称的圆的方程为________．解析 由(x ＋2)2＋(y －6)2＝1的圆心为(－2，6)，半径为1，设所求圆的圆心为M (a ，b )，半径为1.由题知M 与C 关于直线l 对称，那么有⎩⎪⎨⎪⎧3×a －22－4×6＋b 2＋5＝0，b －6a ＋2×34＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－2.故所求圆的方程为(x －4)2＋(y ＋2)2＝1.答案 (x －4)2＋(y ＋2)2＝110．点A (－2，－2)，B (－2，6)，C (4，－2)，点P 在圆x 2＋y 2＝4上运动，求|PA |2＋|PB |2＋|PC |2的最值．解 设P (x ，y )，那么x 2＋y 2＝4.|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＝(x ＋2)2＋(y ＋2)2＋(x ＋2)2＋(y －6)2＋(x －4)2＋(y ＋2)2＝3(x 2＋y 2)－4y ＋68＝80－4y .∵－2≤y ≤2，∴72≤|PA |2＋|PB |2＋|PC |2≤88.即|PA |2＋|PB |2＋|PC |2的最大值为88，最小值为72.。