山东省巨野县第一中学高中数学411圆的标准方程课

表示任何图形．
2021/4/17
高中数学第四章圆与方程41圆的方程412圆的
7
一般方程课件新人教A版必修2
[思考探究]………………|辨别正误| 1．若圆心是原点时，圆的一般方程应为怎样的形式？ [提示] x2＋y2＋F＝0. 2．若二元二次方程 Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆， 需满足什么条件？ [提示] ①A＝C≠0；②B＝0；③D2＋E2－4AF>0.
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高中数学第四章圆与方程41圆的方程412圆的
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考向 3 定义法求动点的轨迹方程 【例 5】 已知 Rt△ABC 的斜边为 AB，且 A(－1,0)，B(3， 0)，求直角顶点 C 的轨迹方程． [解] 解法一：设顶点 C(x，y)，因为 AC⊥BC，且 A，B， C 三点不共线，所以 x≠3，且 x≠－1. 又因为 kAC＝x＋y 1，kBC＝x－y 3，且 kAC·kBC＝－1， 所以x＋y 1·x－y 3＝－1，化简得 x2＋y2－2x－3＝0.
2021/4/17
高中数学第四章圆与方程41圆的方程412圆的
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一般方程课件新人教A版必修2
解法二(几何法)： 由题意得线段 PQ 的中垂线方程为 x－y－1＝0. ∴所求圆的圆心 C 在直线 x－y－1＝0 上，设其坐标为 C(a， a－1)． 又圆 C 的半径长 r＝|CP|＝ a－42＋a＋12. ① 由已知圆 C 截 y 轴所得的线段长为 4 3，而圆心 C 到 y 轴 的距离为|a|.
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高中数学第四章圆与方程4.1圆的方程4.1.2圆的一般方程课件新人教A版必修2
2021/4/17
高中数学第四章圆与方程41圆的方程412圆的一般方程课件 新人教A版必修2

1 方法 2：线段 AB 的垂直平分线方程为 y＝－2(x－4)，即 x ＋2y－4＝0.令 y＝0，得 x＝4， 所以圆心坐标为(4,0)，半径 r＝|MA|＝ 5. 所以圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝5.
与圆有关的最值问题
[例 3] 设点 P(x，y)是圆 x2＋(y＋4)2＝4 上任意一点， 则 x－12＋y－12的最大值为________．
答案：D
(2)已知圆被 x 轴平分，且过点 A(5,2)和 B(3，－2)，求圆的 标准方程．
解：方法 1：由题意得圆心在 x 轴上． 设圆心坐标为 M(a,0)，则|MA|＝|MB|， 即(a－5)2＋(0－2)2＝(a－3)2＋(0＋2)2，解得 a＝4. 所以圆心坐标为(4,0)，半径 r＝|MA|＝ 5. 所以圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝5.
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第四章·4.1 · 4.1.1
判断点与圆的位置关系的方法 (1)从形的角度， 比较圆的半径与圆心到定点的距离的大小， 从而作出判断． (2)从数的角度，将定点的坐标代入圆的标准方程的左边， 再与右边的值比较，从而作出判断．
2．判一判．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2 一定表示圆．( (2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径．( 2.( )
答案：(1)× (2)√ (3)×
) )
(3) 圆 (x＋ 1)2 ＋ (y＋ 2)2 ＝ 4 的圆心坐标是 (1,2) ，半径是
点与圆的位置关系
解法 2：设点 C 为圆心， 因为点 C 在直线 x＋y－2＝0 上， 所以可设点 C 的坐标为(a,2－a)． 又因为该圆经过 A，B 两点，所以|CA|＝|CB|. 所以 a－12＋2－a＋12＝ a＋12＋2－a－12， 解得 a＝1.所以 2－a＝2－1＝1. 所以圆心坐标为 C(1,1)，半径 r＝|CA|＝2. 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.

为X轴，O点为坐标原 B 点，建立如图所示平
X 面直角坐标系
例4.在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么
∵ 圆心在ｙ轴上， ∴ 设圆心的坐标是（0，ｂ），圆的半径是ｒ， 那么圆的方程是 ｘ2＋（ｙ－ｂ）2＝ｒ2 因为点（0 , 7.2）和（18.51 , 0）在圆上。于是得方程组
弦AB的垂 直平分线
O
x
D
C
B(2,-2)
l:xy10
圆心：两条直线的交点
半径：圆心到圆上一点
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
典型例题
解法1：因为A(1, 1)和B(2, －2)，所以线段AB的中点D的坐标
赵州桥的跨度为40米，拱高约8米
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
学以致用
例4.如图是赵州桥的圆拱示意图，该拱跨度 AB=40米，拱高OD=8米，求这座圆拱桥的拱圆所 在圆的标准方程。
Y
D A
O
r
解：以A.B所在的直线
相切的圆.
y
解： 设所求圆的半径为r
则：
r
| 31- 43-7|
32 42 =
1
6 5
C
M
O
x
∴所求圆的方程为：(x1)2(y3)2196 25
圆心：已知
半径：圆心到切线的距离
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么

谢谢观看
又圆心在l:x－y+1=0上,所以a-b+1=0.
上，求圆心为C的圆的标准方程。
2、根据圆的方程写出圆心和半径：
5.已知圆心为C的圆经过点A（1 ，1）和 所以所求的圆的标准方程为(x+3)2+(y+2)2=25.
故线段AB的垂直平分线方程为
问题2：根据前面我们所学的直线方程的
B（2 ，-2），且圆心C在直线：xy10 高中数学 圆的标准方程一课件 新人教A版必修
所以所求的圆的方程为(x+3)2+(y+2)2=25. 当圆心为（0 ，0），半径为r时，圆的方程为
上，求圆心为C的圆的标准方程。 解得a=-3,b=-2,r=5.
因此圆心C的坐标为(-3,-2),半径r=|AC|=
4.解：设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r 0)
则： (5 a)2 (1b)2 r2
(7
a)2
(3b)2
r2
(2 a)2 (8 b)2 r2
解得
a 2
b
3

r
2
25
. 所求圆的方程为 (x2)2(y3)225
规律，解决问题
5.已知⊿ 圆心为C的圆经过点A（1 ，1）和
B（2 ，-2），且圆心C在直线：xy10
上，求圆心为C的圆的标准方程。
解：解法一:设所求的圆的标准方程为(x－a)2+(y－b)2=r2,将点A(1,1)和B(2,－2)代 入得
高中数学 圆的标准方程一课件 新 人教A版必修
1 圆的标准方程（一）
设计问题，创设情境
问题1：在平面直角坐标系中，两点能确定一条直线，一点和一 倾斜角也能确定一条直线。那么在平面直角坐标系中确定一个 圆的几何要素是什么呢 ？

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标准方程课件新人教A版必修2
解法二：直线 AB 的斜率 kAB＝－3－1－13＝－12， 所以线段 AB 的垂直平分线 m 的斜率为 2. 线段 AB 的中点的横坐标和纵坐标分别为 x＝3－2 1＝1，y＝ 1＋2 3＝2， 因此直线 m 的方程为 y－2＝2(x－1)， 即 2x－y＝0.
2021/4/17
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标准方程课件新人教A版必修2
【探究 3】 [变条件、变结论]已知圆 C：(x－3)2＋(y－4)2
＝1，点 A(0，－1)，B(0,1)，设 P 是圆 C 上的动点，令 d＝|PA|2
＋|PB|2，求 d 的最大值及最小值．
[解] 设 P(x，y)， 则 d＝|PA|2＋|PB|2＝2(x2＋y2)＋2. ∵|CO|2＝32＋42＝25， ∴(5－1)2≤x2＋y2≤(5＋1)2. 即 16≤x2＋y2≤36. ∴d 的最小值为 2×16＋2＝34. 最大值为 2×36＋2＝74.
高中数学第四章圆与方程41圆的方程411圆的
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标准方程课件新人教A版必修2
又因为圆心在直线 3x－y－2＝0 上， 所以圆心是这两条直线的交点． 联立方程，得32xx－－yy－＝20＝，0， 解得yx＝＝42.， 设圆心为 C，所以圆心坐标为(2,4)． 又因为半径 r＝|CA|＝ 10， 所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10.
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高中数学第四章圆与方程4.1圆的方程4.1.1圆的标准方程课件新人教A版必修2
2021/4/17
高中数学第四章圆与方程41圆的方程411圆的标准方程课件 新人教A版必修2
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第四章 圆与方程
2021/4/17
高中数学第四章圆与方程41圆的方程411圆的

A直线x 2轴对称 B直线y x轴对称 C点（ 2，2）中心对称 D点（ 2，0）中心对称
2024/7/3
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谢谢大家观赏！
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例题分析
例5、如下图，已知线段AB的端点B的坐标是(4,3), 端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点 M的轨迹方程.
y
M
B
A
o
x
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练习
1: 方程x2 y2 4kx 2 y k 0表示圆,则k的取值是（C ）
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问题
(1)圆的一般方程和Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 比较，在形式上有什么突出的特点?
(2)要求出圆的一般方程，必须先求出什么？ 可用什么方法求？
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练习
1、求下列各方程表示的圆的圆心坐标和半径
(1) x2+y2-6x=0
(3) 圆心在（-1、2），与y轴相切
(4)圆心在直线y=x上,与两轴同时相切,半径为2.
(5)已知圆经过P(5、1),圆心在C(8、3)
(6)已知两点A(4、9)、B(6、 3), 求以AB 为直径的圆的方程.
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(4)圆心在直线y=x上,与两轴同时相切,半径为2.
(x0-a)2+(y0-b)2=r2
点M0在圆上

把
4 rad 化成度． 5
解：4 rad 4 180 144
5
5
角度制与弧度制互化时要抓1住80o 弧度这个关键．
练习：将下列弧度转化为角度，角度 转化为弧度。
(1) 210 (2)1200
(3) 3
10
(4) 4
3
根据度与弧度的换算关系，熟记各特殊角对应的 弧度数
角度 0 30 45 60 90 120 135 150 180 弧度 0 2 3 5
思考:在弧度制下, 角的集合与实数集R之间可以建立 一个一一对应关系 ,这个对应关系是如何理解的？
正角的弧度数
正数
负角的弧度数 零角的弧度数
正角
负数
零 正数
对应角的 弧度数
负角
负数
零角
0
任意角的集合
实数集R
例3、用弧度制证明下列关于扇形的公式 :
(1)l R; (2)S 1 lR. (3)S 1R2;
L 4 2
R2
1.下列命题不正确的是（ D）
A.半圆所对的圆心角是πrad B.周角的大小是2π
C.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径 D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是 1弧度
2.一条弦的长度等于圆的半径，则这条弦所对 的圆心角的弧度数是（A）
A. B. C.1 D.
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3.圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增大到 原来的2倍，则（ B） A.扇形的面积不变 B.扇形的圆心角不变 C.扇形的面积增大到原来的2倍 D.扇形的圆心角增大到原来的2倍
2
2
其中R是半径, l是弧长,
B
(0 2 )为圆心角,
l
S是扇形的面积.
O

须具备三个独立条件，即a、b、r。3、是关于x,y的二元二
次方程。
O
M（x,y)
A
（a,b)
x
例题剖析
例题1： 与y轴相切，且圆心坐标为（-5,-3）的圆的标准方程为
。
y
方法一：待定系数法
解 ∵圆心坐标为（-5，-3）
又与y 轴相切，∴该圆的半径为5
∴该圆的标准方程为（x+5)2+(y+3)2=25
将A’的坐标(x1 ,-3)代入方程，求得x 1 =
50
∴ 水面下降1米后，水面宽为2x 1=2 50米.
A
C
A’
x
课堂小结
y
M（x,y)
1、圆的标准方程（圆心C（a、b）,半径r）
O
2、求圆的标准方程的方法
① 待定系数法②
几何法
注：具备三个独立条件才能求出圆的方程
A
（a,b)
x
T H A N K S
位置关系
d与r的大小
图示
y
p
点在圆外
dr
d>r
（ − ) + ( − ) >
y
点在圆上
d=r
p
d<r
Ox
r
（ − ) + ( − ) =
d
y
点在圆内
点p的坐标的特点
Ox
（ − ) + ( − ) <
p r
d
Ox
例题剖析
例题3： 已知圆的圆心 M 是直线2x+ y -1=0与直线 x -2y+2=0的交点，且圆过点 P (-5,6)，
基础教育精品课
《圆的方程》（第一课时）

计算两圆的交点
当需要求解两个圆的交点时，可以通过联立两个圆的方程进行求解。
2024/1/25
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圆的方程在物理问题中的应用
2024/1/25
描述圆周运动
在物理学中，圆的方程可以用来描述质点做匀速圆周运动时的轨 迹。
计算向心加速度
通过圆的方程和物理公式，可以计算质点做圆周运动时的向心加 速度。
分析碰撞问题
方程表示了平面上所有与圆心 $(a, b)$ 距离等于 $r$ 的点的集合。
2024/1/25
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标准方程的推导过程
设 $M(x, y)$ 是圆上任意一点，根据 圆的定义，点 $M$ 到圆心 $C(a, b)$ 的距离等于半径 $r$。
对方程两边平方，得到圆的标准方程 $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$。
边界
圆的边界是一个连续且光 滑的曲线，没有棱角或断 点。
中心对称性
圆关于其圆心中心对称， 即对于圆上任意一点，都 存在一个关于圆心对称的 点也在圆上。
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圆心位置对图像的影响
位置变化
改变圆心的位置，圆的整体位置 会随之移动，但形状和大小保持
不变。
对称性保持
无论圆心如何移动，圆始终保持 中心对称性。
性质、割线性质等，加深对圆的理解和掌握。
02
掌握更多与圆相关的数学方法
除了标准方程外，还有许多与圆相关的数学方法，如极坐标方程、参数
方程等，这些方法将在后续的学习中逐一介绍。
2024/1/25
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拓展应用到其他领域
圆作为一种基本的几何图形，在各个领域都有广泛的应用。在未来的学
习中，我们将尝试将圆的知识应用到更多领域，如工程学、建筑学等。