411圆的一般方程

圆标准方程和一般方程公式圆是一种常见的几何形状，其特点是它的所有点都离某一点（称为圆心）的距离都相等。

由于圆的特殊性，许多有关它的几何公式非常有用，其中有一种叫做“标准方程”的公式，可以很简洁地描述一个圆。

除此之外，还有一种称为“一般方程”的公式，它也可以描述一个圆，但它更加灵活。

一、圆的标准方程圆的标准方程是 x2+ y2 =r2，其中x和y分别是圆上任一点的横纵坐标，r是圆的半径，即定义圆的点到圆心的距离。

根据这个公式可以知道，任意一个点的坐标之和的平方等于这个点和圆心的距离的平方，也就是说，任意一个点到圆心的距离都一定是定值r。

二、圆的一般方程圆的一般方程为：（x-a）^2+(y-b)^2=r^2，其中a、b和r分别为圆心的横纵坐标和圆的半径。

这个公式表示圆上任一点（x,y）到圆心（a, b）的距离的平方等于圆的半径平方，也就是说任一点到圆心的距离都是定值r。

这是一般方程的一般形式，也就是说，只要圆心和半径单独给定，就可以求出一个圆的一般方程。

三、两种方程的比较有了标准方程和一般方程的概念，我们可以比较这两种方程的异同点了。

首先，标准方程不需要给出圆心的坐标，只用一个半径便可以描述一个圆，而一般方程则需要具体的圆心坐标。

此外，由于标准方程只有一个参数（半径），因此它描述的圆只能是圆心位置固定的某一个圆，而一般方程可以描述任意位置的圆。

四、圆的标准方程和一般方程的应用圆的标准方程和一般方程可以应用于多种领域。

在几何、数学以及许多其他学科中，它们都可以用来描述各种几何图形，如圆、椭圆、圆柱、圆锥等。

此外，它们也可以用来解决各种实际问题，如矩形中心的坐标、求解圆的面积和周长等。

综上所述，圆的标准方程和一般方程非常重要，它们可以用于许多几何图形描述和实际问题的解答上，发挥着重要作用。

圆方程的一般式和标准式
圆方程是由椭圆方程扩展而来的，它表示一个圆的几何特性。

圆方程具有两种形式：一般式和标准式。

一般式形式由(x-h)^2+(y-k)^2=r^2构成，其中(h,k)是圆的圆心，r 是半径。

以这种一般式表达，圆的圆心可以是任何坐标系中的点，圆的半径也可以是任意大小的。

而标准式则使用更加一致的方式来表达圆的几何特性，它由
(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0)构成，其中D、E和F是常数。

此外，标准式也可以表示另一种圆方程，即x^2+y^2-2ux-2vy+c=0，在这种圆方程中，(u,v)是圆的圆心，c是半径的平方。

总而言之，圆方程既可以使用一般式表示，也可以使用标准式表示。

使用不同的形式可以更好地描述圆的几何特性，这也是圆方程最常见的应用之一。

1.圆的标准方程1、已知圆心为C(4b),半径为r,如何求的圆的方程？运用上节课求曲线方程的方法，从圆的定义出发，正确地推导出：(x-a)2+(y-b)2=r2这个方程叫做圆的标准方程2、圆的标准方程:(x-a)2 +(y-b)2 =r2若圆心在坐标原点上，这时a = b = O,则圆的方程就是x2+ /=r23、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要•三个量确定了且厂>0,圆的方程就给定了。

这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件，确定可以根据条件，利用待定系数法来解决三、讲解范例：例1求以C(l,3)为圆心，并且和直线3x-4y-7 = 0相切的圆的方程例2已知圆的方程x2+ y2=r2,求经过圆上一点M(x o,yo)的切线方程例3.求过点M(3,l),且及圆(x-l)2 + y2 =4相切的直线/的方程例4・一圆过原点O和点P(l,3),圆心在直线)=x+2上，求此圆的方程例5.已知一圆及y轴相切，在直线y = x上截得的弦AB长为2",圆心在直线x-3y = 0上，求此圆的方程.圆的一般方程1.圆的一般方程将标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2展开，整理，得 X + y2一2ax- 2by + a2 +b2 -r2 = 0 f可见，任何一个圆的方程都可以写成口 +尸+氐+ £)，+尸=0|的形式。

① 反过来，形如①的方程的曲线是否一定是圆呢？将①配方得：(x +与+ (>- +孑=D土严.. ②把方程②和圆的标准方程进行比较，可以看出：(1)当D2+E2-4F>0时，方程①表示以为圆心，为半径的圆；(2)当D2 + E2-4F = 0时，方程①表示一个点；(3)当D2 + E2-4F<0时，方程①不表示任何图形.结论：当D2+E2-4F>0时，方程①表示一个圆，此时，我们把方程①叫做圆的一般方程.2.圆的一般方程形式上的特点：(1)疋和〉卫的系数相同，且不等于o； (2)没有小这样的二次项. 以上两点是二元二次方程A.r2 + + Cy2 + Dx +Ey + F = 0表示圆的必要条件，但不是充分条件.充要条件是？(A二C H O, B二0, D2 +E2 -4FA>0 ) 说明：1、要求圆的一般方程，只要用待定系数法求出三个系数D、£、F 就可以了.2、圆的一般方程及圆的标准方程各有什么优点？(圆的标准方程：有利于作图。

圆的标准方程怎么化成一般方程圆的标准方程是一个常见的二次方程形式，它具有如下的形式：(x - a)² + (y - b)² = r²其中，a，b，r 分别表示圆心的横坐标、纵坐标和半径。

这个方程的本质意义是，将平面上每一个点 (x, y) 到圆心的距离平方之和与半径平方相等。

然而，在某些场合下，我们需要将这个标准方程化成一般方程的形式，以便更好地进行计算和分析。

一般方程的形式如下：Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0其中，A，B，C，D，E，F 均为实数，且 A 和 C 不同时为零。

接下来，我们将详细介绍如何将圆的标准方程化成一般方程的形式。

第一步：展开平方项将圆的标准方程展开平方项，得到：x² - 2ax + a² + y² - 2by + b² = r²将常数项移到等号右侧，得到：x² - 2ax + y² - 2by = r² - a² - b²第二步：配方完成平方项将两个含有 x 的项和两个含有 y 的项分别配方，得到：(x - a)² - a² + (y - b)² - b² = r²将常数项移到等号右侧，得到：(x - a)² + (y - b)² = r² + a² + b²第三步：分配并化简右侧项将右侧项进行分配，并将所有项移动到等号左侧，得到：x² - 2ax + y² - 2by + (a² + b² - r²) = 0因此，圆的一般方程为：x² + y² - 2ax - 2by + (a² + b² - r²) = 0这个方程就是圆的一般方程，它用于描述平面上与圆相关的各种性质和问题。

圆的表达式是：（x-a）²+（y-b）²=R²。

圆的一般方程：x²+y²+Dx+Ey+F=0（D²+E²-4F＞0）。

圆半径的长度定出圆周的大小，圆心的位置确定圆在平面上的位置。

1、已知：圆半径长R；中心A的坐标(a,b)，则圆的大小及其在平面上关于坐标轴的位置就已确定了。

根据图形的几何尺寸与坐标的可以得出圆的标准方程。

结论如下：（x-a）²+（y-b）²=R²当圆的中心A 与原点重合时，即原点为中心时，即a=b=0，圆的方程为：x²+y²=R²
2、圆的标准方程(x-a)²+(y-b)²=r²中，有三个参数a、b、r，即圆心坐标为(a，b)，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定，因此确定圆方程，须三个独立条件，其中圆心坐标是圆的定位条件，半径是圆的定形条件。

3、圆的相关信息：由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）/B，（其中B不等于0），代入x²+y²+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的方程。

2023《学圆与方程圆的一般方程》CATALOGUE目录•圆的一般方程的定义•圆的一般方程的推导•圆的一般方程与图形关系•圆的一般方程的实际应用•圆的一般方程的扩展应用01圆的一般方程的定义圆的一般方程是描述圆的另一种形式，其公式为 x² + y² +Dx + Ey + F = 0，其中D² + E² - 4F > 0，且D、E、F是常数。

这个方程实际上是圆的一般形式，它可以表示所有形状的圆，包括实心圆和空心圆。

圆的一般方程具有普遍性，它可以描述各种形状和大小的圆。

与标准方程(x-a)²+(y-b)²=r²相比，一般方程提供了更为灵活的表述方式，可以描述那些不以原点为中心的圆。

相同点两种方程都描述了圆的几何属性。

不同点标准方程仅适用于以原点为中心的圆，而一般方程适用于所有形状和大小的圆，包括那些不以原点为中心的圆。

此外，标准方程中的半径r在一般方程中并未明确给出，需要通过解方程来求得。

圆的一般方程与标准方程的异同02圆的一般方程的推导圆是一种平面图形，其中心到其上任意一点的距离相等。

根据这个定义，我们可以得出圆的标准方程为$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^2$，其中(a,b)为圆心，r为半径。

从标准方程推导一般方程将标准方程中的r^2用(x^2 + y^2)替换，得到$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = x^2 + y^2$。

整理后得到一般方程为$x^{2} + y^{2} - 2ax - 2by + a^2 + b^2 - r^2 = 0$。

一般方程中不出现半径r，而是用a、b表示圆心，因此更为通用。

同时，一般方程也适用于任意大小的圆，而不仅仅是单位圆。

圆的定义转化过程特点分析根据圆的标准方程和圆的定义，我们可以推导出一般方程。

首先，将标准方程中的r^2用(x^2 + y^2)替换，得到$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = x^2 + y^2$。

圆的标准方程和一般方程圆是平面上所有到定点距离等于定长的点的集合，这个定点叫做圆心，这个定长叫做半径。

圆是几何学中的重要图形之一，其方程的推导和应用也是数学学习中的重点内容之一。

本文将介绍圆的标准方程和一般方程的推导和应用。

首先我们来看圆的标准方程。

设圆心坐标为（a，b），半径为r，则圆上任意一点的坐标为（x，y）。

根据圆的定义，圆上任意一点到圆心的距离等于半径，即。

√((x-a)²+(y-b)²)=r。

对上式进行平方得。

(x-a)²+(y-b)²=r²。

这就是圆的标准方程。

从这个方程我们可以看出，圆的标准方程的一般形式为。

(x-a)²+(y-b)²=r²。

其中（a，b）为圆心坐标，r为半径。

接下来我们来看圆的一般方程。

圆的一般方程的一般形式为。

x²+y²+Dx+Ey+F=0。

其中D、E、F为常数。

我们可以通过圆的几何性质来推导圆的一般方程。

设圆心为（h，k），半径为r，则圆的标准方程为。

(x-h)²+(y-k)²=r²。

展开得。

x²-2hx+h²+y²-2ky+k²-r²=0。

移项整理得。

x²+y²-2hx-2ky+h²+k²-r²=0。

令D=-2h，E=-2k，F=h²+k²-r²，代入一般方程的一般形式中得。

x²+y²+Dx+Ey+F=0。

这就是圆的一般方程。

从圆的一般方程我们可以看出，通过圆心坐标和半径，我们可以得到圆的一般方程，这为我们在解决实际问题时提供了方便。

圆的标准方程和一般方程在数学和物理中有着广泛的应用。

在几何学中，我们可以通过圆的方程来解决圆与直线、圆与圆的位置关系、切线问题等。

在物理学中，圆的方程也经常出现在运动学、静力学等问题中。

通过上一章的学习，我们知道在直角坐标系中，直线能够用方程表示，那么圆也能够用方程表示吗？圆的方程怎样来求呢？ 初中圆是怎样定义的？阅读教材118页并回答下面问题：（1）在直角坐标系中，确定圆的基本要素是什么？（2）假如已知圆的圆心坐标为A(a ，b)，半径为r ，我们如何写出圆的方程？圆的定义：平面内与定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆。

定点就是圆心，定长就是半径。

由定义求：圆心是A(a ,b)，半径是r 的圆的方程 .解：设M(x,y)是圆上任意一点，根据定义，点M 到圆心A 的 距离等于r ，所以圆A 就是集合 P ={ M | |MA|=r }由两点间的距离公式，点M 适合的条件可表示为：r b y a x =---22)()(把上式两边平方得：若点M 在圆上，由上述讨论可知，点M 的坐标满足方程① ，反之，若点M 的坐标满足方程① ，这就说明点M 与圆心A 的距离为r ，即M 在圆心为A 的圆上.方程①就是圆心为A(a ，b)半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程.特点: 1.是关于x 、y 的二元二次方程; 2. 明确给出了圆心坐标和半径. 3. 确定圆的方程必须具备三个独立条件,即 a 、b 、r . 4.若圆心在坐标原点，则圆方程为 222r y x =+举例说明例1.写出以下各圆的方程：222)()(r b y a x =-+-(1) 圆心在原点，半径是3；(2) 经过点P(5, 1)，圆心在点C(8, －3).解：(1)由已知得圆的方程为：(2)由已知得半径：故所求圆的方程为：例2.已知两点P1(4, 9)和P2(6, 3)，求以P1P2为直径的圆的方程，试判断点M(6, 9)、N(3，3)、Q(5, 3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？解：由题意得圆心:半径:故所求圆的方程为：;922=+y x ||PC r =22)13()58(--+-=r .5=.25)3()8(22=++-y x )6,5(A ||2121P P r =.10=.10)6()5(22=-+-y x 22)69()56(||-+-=MAM 在圆上，N 在圆外，Q 在圆内.结论: 一般地，1.点M(x0, y0)与圆(x －a)2＋(y －b)2＝r2有三种关系：,r =22)63()53(||-+-=NA 13=,r >22)63()55(||-+-=QA 3=,r <∴22020)()(rb y a x =-+-在圆上点M ⇔练习：已知一个圆的直径端点是M(x1, y1)、 N(x2, y2)，证明：圆的方程是(x －x1)(x －x2)＋(y －y1)(y －y2)=0． 证明：设P(x, y)是圆上任意一P 则由M,N 是直径的端点知即即为所求圆的方程.例3.△ABC 的三个顶点的坐标分别是A(5, 1)， B(7, －3)，C(2, －8)，求它的外接圆的方程.22020)()(rb y a x <-+-在圆内点M ⇔22020)()(rb y a x >-+-在圆外点M ⇔NPMP ⊥0=⋅∴NP MP 0),(),(2211=--⋅--y y x x y y x x 0))(())((2121=--+--y y y y x x x x解：设所求圆的方程为：则由A(5, 1)，B(7, －3)，C(2, －8)都在圆上得，222)()(rb y a x =-+-222)1()5(rb a =-+-⎪⎩⎪⎨⎧=-==532r b a解得222)8()2(rb a =--+-222)3()7(rb a =--+-故△ABC 的外接圆的方程是：D幻灯片10 例3.△ABC 的三个顶点的坐标分别是A(5, 1)， B(7, －3)，C(2, －8)，求它的外接圆的方程..25)3()2(22=++-y x .解2： AB 边中点：)1,6(-=)231,275(-+AB 边斜率：AB 边中垂线方程：)6(211-=+x y 2-=5713---D 即同样可求得AC 边中垂线方程：圆心: 得 解方程组 半径:.5=r ||AD r =，)3,2(-D 082=--y x 073=++y x 082=--y x .故△ABC 的外接圆的方程是：变式.△ABC 的三个顶点的坐标分别是A(5, 1)， B(7, －3)，C(2, －8)，求它的内切圆的方程.法一：三角形的内切圆圆心是三条边角平方线交点，写出两条角平分线方程，联立求解得到内心坐标，算出半径，得到圆的标准方程.25)3()2(22=++-y x 22)13()52(||--+-==AD r 073=++y x法二：三角形的内切圆圆心到三边距离相等，设圆心（a,b),又距离相等建立方程组，求出圆心坐标，算出半径.幻灯片12例4.已知圆心为C 的圆经过点A(1, 1)和B(2,－2 )，圆心C 在直线l: x －y ＋1＝0上，求圆心为C 的圆的标准方程.课后作业1. 教材第90页 习题4.1 A 组2. 《新概念》 4.1.13. 预习4.1.2223225()()x y +++=。