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必修二411圆的标准方程PPT课件

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圆的标准方程完整ppt课件

圆的标准方程完整ppt课件
解决与圆有关的切线问题
圆的方程可以用来求解与圆有关的切线问题，如切线方程、切点坐 标等。
圆的方程在物理问题中的应用
描述圆形运动轨迹
在物理学中，圆的方程可以用来描述物体做圆周运动时的轨迹。
计算圆形运动的物理量
利用圆的方程，可以计算物体做圆周运动时的线速度、角速度、向 心加速度等物理量。
解决与圆有关的物理问题
切线与半径垂直
切线垂直于经过切点的 半径。
切线长定理
从圆外一点引圆的两条 切线，它们的切线长相
等。
04
圆的方程在实际问题中的应用
圆的方程在几何问题中的应用
确定圆的位置和大小
通过圆的方程，可以准确地确定圆心的坐标和半径的长度，从而 确定圆的位置和大小。
判断点与圆的位置关系
利用圆的方程，可以判断一个点是否在圆上、圆内或圆外，从而解 决相关的几何问题。
3
解决与圆有关的经济问题
圆的方程还可以用来解决一些与圆有关的经济问 题，如圆形区域的经济发展、圆形市场的竞争等 。
05
圆的方程与其他知识点的联系
圆的方程与直线方程的关系
直线与圆的位置关系
通过比较圆心到直线的距离与半径的大小关系，可以确定直线与 圆是相切、相交还是相离。
切线方程
当直线与圆相切时，切线的斜率与圆心和切点的连线垂直，由此 可以求出切线的方程。
根据两点间距离公式，有 $OP = sqrt{(x - a)^{2} + (y
- b)^{2}}$。
将 $OP = r$ 代入上式，得到 $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} =
r^{2}$。
方程中参数的意义
$a, b$
01
圆心坐标，表示圆心的位置。

人教高中数学必修二4.1.1圆的标准方程PPT名师课件

人教高中数学必修二4.1.1圆的标准方程PPT名师课件
感谢指导！
人教高中数学必修二4.1.1圆的标准方 程PPT 名师课 件
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解法二：
因为A(5,1)和B(7,-3)，所以线段
-15
-10
AB的中点的坐标为(6,-1)，直线
AB的斜率
1 3 kAB 5 7 2
因此线段AB的垂直平分线 l1 的方
程是： y 1 1 x 6
随堂检测： 1.说出下列圆的方程：
(1) 圆心在原点,半径为3.
(2) 圆心在点C(3, -4), 半径为7.
2. 说出下列方程所表示的圆的圆心坐标和半径： (1) (x + 7)2 + ( y 4)2 = 36 (-7,4) r=6
(2) ( x-2)2 + (y+5)2 = 49
(2,-5) r=7
二、学习重难点：
1、重点：掌握圆的标准方程，能准确判断点与圆的 位置关系。 2、难点：用待定系数法及几何法求圆的标准方程。
人教高中数学必修二4.1.1圆的标准方 程PPT 名师课 件
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思考：
1、圆的标准方程是什么？有什么特点？ 2、点和圆有什么位置关系？如何判断？ 3、如何求三角形外接圆的方程？
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4.1.1 圆的标准方程
y
OA
x
r
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一、学习目标：

圆的标准方程完整ppt课件

圆的标准方程完整ppt课件

练习
1.点(2a, 1 a)在圆x2 + y2 = 4的内部,求实数 a 的 取值范围. 2.根据下列条件，求圆的方程：
（1）求过两点A(0,4)和B(4,6),且圆心在直线xy+1=0上的圆的标准方程。
（2）圆心在直线5x-3y=8上，又与两坐标轴相 切，求圆的方程。
（3）求以C(1,3)为圆心，且和直线3x-4y-7=0
程，并判断点 M1(5,7)， M2( 5,1)是否在这个圆上。
解：圆心是 A(2,3，) 半径长等于5的圆的标准方程 是：
(x2)2(y3)225
把 M1(5,7的)坐标代入方程 (x2)2(y3)225 左右两边相等，点M 1 的坐标适合圆的方程，所以点
M
在这个圆上；
1
把点 M2( 5,1的)坐标代入此方程，左右两边不 相等，点 M的2坐标不适合圆的方程，所以点 M不2在 这个圆上．
跟踪训练 已知两点M(3,8)和N(5,2)． (1)求以MN为直径的圆C的方程； (2)试判断P1(2,8)，P2(3,2)，P3(6,7)是在圆上，在 圆内，还是在圆外？
解：(1)法一：设圆心 C(a，b)，半径为 r， 则由 C 为 MN 的中点得 a＝3＋2 5＝4，b＝8＋2 2＝5， 由两点间的距离公式得
解2:设圆C的方程为 (xa)2(yb)2r2,
∵圆心在直线l:x-y+1=0上 圆经过A(1,1),B(2,-2)
待定系数法
a b1 0 (1a)2 (1b)2 r2
(2a)2 (2b)2 r2
a 3
b
2
r 5
圆 心 为 C 的 圆 的 标 准 方 程 为 ( x + 3 ) 2 ( y 2 ) 2 2 5 .

选择必修 第二章 2.4.1 圆的标准方程 课件(共26张PPT)

选择必修 第二章 2.4.1 圆的标准方程 课件(共26张PPT)
究位置关系、距离
等问题
新知引入
类比直线方程的研究过程，如何研究圆的方程呢？
圆
平面直角坐标系
圆的方程
代数运算
利用圆的方程，研究
圆有关的位置关系、
几何度量等问题
新知探究
在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？
如图，在平面直角坐标系中，⨀A的圆心A的坐标为(a,b)，半径为r，M(x,y)为
圆上任意一点,⨀A就是以下点的集合
多边形和圆是平面几何中的两类基本图形.建立直线的方程后，我们可以运
用它研究多边形这些“直线形”，解决边所在直线的平行或垂直、边与边的交
点以及点到线段所在直线的距离等问题.类似地，为了研究圆的有关性质，解决
与圆有关的问题，我们首先需要建立圆的方程.
我国的墨子云：圆，一中同长也.
意思：圆有一个圆心，圆心到圆周上各点的距离（即半径）都相等.
程①.于是
(5 − )2 +(1 − )2 = 2 ,
൞(7 − )2 +(−3 − )2 = 2 ,.
(2 − )2 +(−8 − )2 = 2
知新探究
【例2】△ABC的三个顶点分别是A(5,1)，B(7,-3)，C(2,-8)，
求△ABC的外接圆的标准方程.
解： 即
2 + 2 − 10 − 2 + 26 = 2 ,
心A间的距离为r，点M就在⨀A上.
这时，我们把上述方程称为圆心为A，半径为r的圆
的标准方程(standard equation of thecircle).
半径r
圆的几何要素: 圆心（a,b）
圆心在坐标原点，
半径为r的圆的标准
三个独立条件求a,b,r确定一个圆的方程.

2-4-1圆的标准方程 课件(共28张PPT)

2-4-1圆的标准方程 课件(共28张PPT)

题型二 判断点与圆的位置关系
例 2 (1)已知圆心为点 C(－3，－4)，且圆经过原点，求该 圆的标准方程，并判断点 P1(－1，0)，P2(1，－1)，P3(3，－4)和 圆的位置关系．
【思路分析】 关键是找到点与圆心的距离和半径的关系．
【解析】 因为圆心是 C(－3，－4)，且圆经过原点， 所以圆的半径 r＝ （－3－0）2＋（－4－0）2＝5. 所以圆的标准方程为(x＋3)2＋(y＋4)2＝25. 因 为 （－1＋3）2＋（0＋4）2 ＝ 4＋16 ＝ 2 5 <5 ， 所 以 P1(－1，0)在圆内； 因为 （1＋3）2＋（－1＋4）2＝5，所以 P2(1，－1)在圆上； 因为 （3＋3）2＋（－4＋4）2＝6>5，所以 P3(3，－4)在圆 外．
(2)由已知得圆心坐标为 M(2，－1)，半径 r＝12|AB|＝1，
∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
(3)方法一：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
∴（ （2－－2a－）a2）＋2（＋－（3－－5b－）b2）＝2r＝2，r2， a－2b－3＝0，
即aa22－ ＋44aa＋ ＋bb22＋ ＋61b0＋ b＋132＝ 9＝r2r，2， ②
要点 3 几种特殊位置的圆的标准方程
条件
方程形式
(x－a)2＋(y－ 过原点，圆心(a，b)，半径 r＝ a2＋b2
b)2＝a2＋b2
圆心在原点，即 a＝0，b＝0，半径 为 r，r>0
x2＋y2＝r2
圆心在 x 轴上，即 b＝0，半径为 r， (x－a)2＋y2＝r2
r>0
圆心在 y 轴上，即 a＝0，半径为 r， x2＋(y－b)2＝r2
(2)已知 A(1，2)，B(0，1)，C(7，－6)，D(4，3)，判断这四 点是否在同一个圆上．

人教A版高中数学必修二 4-1-1 圆的标准方程 课件 (共24张PPT)

人教A版高中数学必修二 4-1-1 圆的标准方程 课件 (共24张PPT)

B.x2＋(y＋3)2＝4
D.(x－3)2＋y2＝2
【解析】选B.圆的圆心是(0,－3)，半径是r＝
1 2
|－5－(－1)|＝2.故圆的方程为x2＋(y＋3)2＝4.
3. 已知圆M过两点A(1,-1),B(-1,1)且圆心M在x+y2=0上，求圆M的方程. 【解】设圆M的方程为：(x-a)2+(y-b)2=r2(r＞0),
M（x,y)是圆上动点， C是圆心， r是半径.
如图，在直角坐标系中，圆心C的位置用坐标 (a,b) 表示，半径r的大小等于圆上任意点M(x, y) 与圆心C(a,b) 的距离． 则 |MC|=r. 圆上所有点的集合 P = {M||MC|=r}.
O x y r C
M
由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为：
所以圆心C的坐标是 (3, 2)， 圆心为C的圆的半径长r | AC | (1 3) 2 (1 2) 2 5. 所以，圆心为C的圆的标准方程是
( x 3)2 ( y 2)2 25.
比较例2和例3，你能归纳求任意△ABC外接圆的
方程的两种方法吗？
两种方法：待定系数法；
1- a 2 + -1- b 2 = r2 , 2 2 2 根据题意得： -1a + 1b = r , a + b - 2 = 0,
解得：a=b=1,r=2, 故所求圆M的方程为：(x-1)2+(y-1)2=4.
数形结合法.
1.若点(１，１)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部， 则实数a的取值范围是 A.-1＜a＜1 ( A ) B.0＜a＜1
C.a＞1或a＜-1
D.a=±1

圆的标准方程ppt课件

_____5______．
解析：圆 C : x2 y2 25 的圆心为C(0,0) ，半径r = 5 ， 因为 AC (8 0)2 (6 0)2 10 5 ，所以点 A 在圆外， 所以 AP 的最小值为 AC r 10 5 5 ，故答案为：5.
总结一下
圆的标准方程
6.已知 A2,2、 B2,6 ，则以 AB 为直径的圆的标准方程为_x_2____.y4 2 8
解析：线段 AB 的中点坐标为0, 4 ， AB 2 22 2 62 4 2 ，
所以，所求圆的半径为 2 2 ，故所求圆的标准方程为 x2 y 42 8 .
7.已知点 A(8, 6) 与圆C : x2 y2 25 ，P 是圆 C 上任意一点，则 AP 的最小值是
求圆的标准方程的两种方法
1.待定系数法.先设圆的标准方法 x a 2 y b 2 r2 ，再根据条件列出关于 a， b，r 的三个独立方程，通过解方程组求出 a，b，r 的值，从而得到圆的标准方程， 如例题 2 的解法.这是一种代数解法. 2.直接求解法.先根据题目条件求出圆心和半径，直接写出圆的标准方程，如例 3 的解法，这种解法往往需要圆的几何性质.
例 3 已知圆心为 C 的圆经过 A(1，1) ，B(2 ，2) 两点，且圆心 C 在直线l : x y 1 0 上， 求此圆的标准方程.
分析：设圆心 C 的坐标为 a,b .由已知条件可知， CA CB ，且a b 1 0 ， 由此可以求出圆心坐标和坐标.
解：解法1：
设圆心 C 的坐标为 (a ，b) . 因为圆心 C 在直线 l : x y 1 0 上，所以 a b 1 0 .① 因为 A，B 是圆上两点，所以| CA| | CB | . 根据两点间距离公式，有 (a 1)2 (b 1)2 (a 2)2 (b 2)2 ， 即 a 3b 3 0 .② 由①②可得 a 3，b 2 . 所以圆心 C 的坐标是 (3， 2) . 圆的半径 r | AC | (1 3)2 (1 2)2 5 .

人教A版高中数学必修二第二章4.1.1圆的标准方程教学课件(共23张PPT)

分析：由题意得，圆心在线段AB的垂直平分线m上 ，又在直线l上，所以圆心是直线l与m的交点。将 直线l与m的方程联立，解方程组，可以求出圆心 坐标，再由圆心及圆上一点的坐标可以求出圆的 半径。
例2:已知圆心为C的圆经过点A(6, 0)和B(1, 5），且圆心 C在直线 l：2x-7y+8=0上，求圆心为C的圆的标准方程．
x
已知两点P1(4，9)和P2(6，3)，求以P1P2为直径的圆的方程
例1:根据下列条件，求圆的方程：
列方程,由两点间的距离公式得：
列方程,由两点间的距离公式得：
(x a)2 ( y b)2 R
圆的标准方程
y
化简方程 将上式两边平方得：
M(x,y)
C
O
x
可见，圆心用来定位 若半径r=1，就成了单位圆。可见半径用来定形。
(1)说出下列圆的圆心和半径：
(x 2)2 y2 m2（m≠0） (-2,0) |m|
(x 3)2 ( y 2)2 5 (2)圆心是（3，－3），半径是2的圆是
______________________________. (3)以（3，4）为圆心，且过点（0，0）的圆的
方程为__________________________________.
解析几何的基本思想
形
数
y
o
x
第四章
第一节
第一课时
厚德 博学 自强 创新
一、新课引入
1、什么是圆？
平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆.
用运动的观点看是平面内，线段MC绕它固定的一个端点C旋转一 周，另一个端点M所形成的图形
2、圆的特征是什么？
✓ 圆上每个点到圆心的距离为半径 ✓ 到圆心的距离为半径的点在圆上

高中数学必修二-第四章-圆的方程-全套PPT


的解．解此方程组，得
x 3,
y
2.
所以圆心C 的坐标是(3,2)
圆心为C 的圆的半径长
r | AC | (1 3)2 (1 2)2 5
所以，圆心为C 的圆的标准方程是
(x 3)2 (y 2)2 25
小结
1.圆的标准方程的结构特点.
2.点与圆的位置关系的判定.
3.求圆的标准方程的方法： ①待定系数法；②代入法.
表示点（2，3）
(3)x2 y2 4x 6 y 15 0
(x 2)2 ( y 3)2 2 不表示任何图形
比较
圆的一般方程和圆的标准方程各有什么特点？ 圆的一般方程的特点 ：
（1）x2、y2 的系数相同，都不为0． （2）没有形如xy的二次项．
圆的一般方程与圆的标准方程各有特点： （1）圆的标准方程带有明显的几何的影
例3 已知圆心为C 的圆经过点A(1,1)和B(2,-2)， 且圆心C 在直线上l：x - y+1=0，求圆心为C 的圆的标
准方程．
分析：如图，确定一个圆只需确定圆心位置与半
径大小．圆心为C 的圆经过点A(1,1)和B(2,-2)，由 于圆心C 与A,B 两点的距离相等，所以圆心C 在线段 AB 的垂直平分线 l '上．又圆心C 在直线l 上，因此圆 心C 是直线 l 与直线 l ' 的交点，半径长等于|CA|或
一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象 台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受 影响的范围是半径长为30km的圆形区域．已知港口 位于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航 线，那么它是否会受到台风的影响？
为解决这个问题，我们
以台风中心为原点O，东西 方向为x 轴，建立如图所

人教新课标A版必修2《4.1.1圆的标准方程》 课件(共19张PPT)

∴可设点C的坐标为(a,2－a)．
又∵该圆经过A，B两点， ∴|CA|＝|CB|.
B(－1，1) C
O
x
A(1，－1)
解得a＝1.
∴圆心坐标为C(1,1)，半径长r＝|CA|＝2. 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
拓展提升：待定系数法或几何法求圆的标准方程
解法3: 由A(1，－1)，B(－1，1)可知AB中点为O， x＋y－2＝0 y
拓展提升：待定系数法或几何法求圆的标准方程
解法1: 设所求方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
x＋y－2＝0y
B(－1，1) C
O
x
A(1，－1)
因此所求圆的方程为 (x－1)2＋(y－1)2＝4.
拓展提升：待定系数法或几何法求圆的标准方程
解法2: 设点C为圆心，∵点C在直线x＋y－2＝0上， x＋y－2＝0 y
【问题1】若圆心C坐标为(a,b)，试推导圆的标准方程.
rP C
【提示】设P点坐标为(x,y)，∵ |PC|=r，由两点间距离公式得：
两边平方得：
即为所求圆的方程.
合作探究 2.点与圆的位置关系
【提示】(1)由图可知设A点在圆内，C点在圆 上，B点在圆外. (2)|OA|<r，|OC|=r，|OB|>r.
故AB中垂线方程为y＝x，
B(－1，1) C
y＝x
O A(1，－1)
x
即圆心C坐标为(1，1)， 因此所求圆的方程为 (x－1)2＋(y－1)2＝4.
圆心在任一弦的中垂线上；
课堂练习 B
课堂练习 B
课堂练习
3.以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是( D ) A．(x－1)2＋(y－2)2＝10 B．(x－1)2＋(y－2)2＝100 C．(x－1)2＋(y－2)2＝5 D．(x－1)2＋(y－2)2＝25
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y
M (x, y) r
A(a,b)
O
x
6
圆的方程
圆上任意点M(x, y)与圆心A (a,b)之间的距离能用 什么公式表示？
根据两点间距离公式：
则点M、A间的距离为：M Axa2yb2.
即：
pM |M|A r
(xa)2(yb)2 r
(xa)2(yb)2r2
7
圆的标准方程
(xa)2(yb)2r2
是否在圆上的点都适合这个方程？是否适合这个 方程的坐标的点都在圆上？
法二：利用直线AB与AC的交点确定圆心,从而得半 径,圆的方程可求.
13
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
点M(x, y)在圆上，由前面讨论可知，点M的坐标 适合方程；反之，若点M(x, y)的坐标适合方程，这 就说明点 M与圆心的距离是 r ，即点M在圆心为A (a, b)，半径为r的圆上．
把这个方程称为圆心为A(a, b)，半径长为r 的圆的 方程，把它叫做圆的标准方程（standard equation of circle）.
这个圆上．
10
点与圆的位置关系
从上题知道，判断一个点在不在某个圆上，只需将这个点 的坐标带入这个圆的方程，如果能使圆的方程成立，则在这 个圆上，反之如果不成立则不在这个圆上．
怎样判断点 M0(在x0圆,y0) (xa)内2 呢(？y 还b 是)2在圆r2外呢？
y
M3
o
x
M2 A
M1
11
点M0(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上、内、 外的条件是什么？
(x0-a)2+(y0-b)2=r2
点M0在圆上
(x0-a)2+(y0-b)2<r2
点M0在圆内
(x0-a)2+(y0-b)2>r2
点M0在圆外
12
例2 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和 B(2, －2)，且圆心C在直线上l：x － y+1=0， 求圆心为C的圆的标准方程．
法一：从圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2入手,要确定 圆的标准方程,可用待定系数法确定a、b、r三个参 数.
8
特殊位置的圆方程
圆心在坐标原点，半径长为r 的圆的方程是什么？
因为圆心是原点O(0, 0)，将x＝0，y＝0和半径 r 带 入圆的标准方程：
(xa)2(yb)2r2
得：
(x0)2(y0)2r2
整理得：
x2 y2 r2
9
典型例题
例1 写出圆心为 A(2,3，) 半径长等于5的圆的方 程，并判断点 M1(5,7，) M2( 5,1是) 否在这个 圆上．
如图，在直角坐标系中，圆心（点）A的位置用坐 标 (a,b) 表示，半径r的大小等于圆上任意点M(x, y)与 圆心A (a,b) 的距离．
y
M (x, y) r
A(a,b)
O
x
5
圆的方程
符合上述条件的圆的集合是什么？你能用描述法 来表示这个集合吗？
符合上述条件的圆的集合：
p M ||M |r A
1
我们在前面学过，在平面直角坐标系中，两 点确定一条直线，一点和倾斜角也能确定一条直 线．在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？
y
M r
A
O
x
2
3
平面内到定点距离等于定长的点 的集合叫做圆。定点叫做圆心， 定长叫做半径。
4
引入新课
当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了． 因此一个圆最基本要素是圆心和半径．
14
谢谢你的到来
学习并没有结束，希望大家继续努力
Learning Is Not Over. I Hope You Will Continue To Work Hard
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
15
解：圆心是 A(2,3，) 半径长等于5的圆的标准
方程是：
(x2)2(y3)225
把 M1(5,7的)坐标代入方程 (x2)2(y3)225 左右两边相等，点M 1 的坐标适合圆的方程，所以点

M 1在这个圆上；
把点 M2( 5,1的)坐标代入此方程，左右两边不
相等，点 M的2坐标不适合圆的方程，所以点 M不2在