开封市届高三模拟考试数学试题及答案 (文)
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开封市2014届高三第二次模拟考试
高二数学试题（文科）
本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第(22)- (23)题为选考题，其他题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卷面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题专上把所选题目对应的题号涂黑。
第I 卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集{}0U =，1,2,3,4，集合{}{}1,2,2,3,4A B ==，则的子集
个数是（ ）
A. 2
B. 4
C.8
D.16
2．已知复数2(1)(2)()z a a i a R =-+-∈，则“1a =”是“z 为纯虚数”的（ ） A. 充分非必蕞条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D.既非充分又非必要条件 3．在一次独立性检验中，得出2×2列联表如下：
且最后发现，两个分类变量X 和y 没有任何关系，则m 的可能值是（ ） A ．200 B ．720 C ．100 D ．180
4．已知函数23,0
()tan ,02
x x f x x x π
<⎧⎪
=⎨-≤<⎪⎩，则(())4f f π＝ A ．2 B ．1 C ．-2 D ．-1
5．几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）
A ．4
B ．6
C ．12
D ．18
6.在等比数列{}n a 中，若48,a a 是方程2
430x x -+=的两根，则6a 的值是（ ）
A ．
B ．
C
D ．3±
7.设函数())cos(2)()2
f x x x π
ϕϕϕ=
+++<
，
且其图象关于直线x=0对称，则（ ） A. ()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2
π
上为增函数
B ．()y f x =的最小正周期为
2
π
，且在(0,)4π上为增函数
C ．()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π
上为减函数
D. ()y f x =的最小正周期为2
π
，且在(0,)4π上为减函数
8存在直线x m =±与双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>相交于A 、B 、C 、D 四点，若四边形
ABCD 为正方形，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A ．)+∞
B ． )+∞
C ．
D ．3± 9.若曲线与曲线在交点（0,m ）处有公切线，则a+b=（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 10．如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的T 是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
11．在平行四边形ABCD 中，1,60AD BAD =∠=,E 为CD 的中点．若12
AD BE ⋅=， 则AB 的长为（ ）
A.
12 B.1 C ．3
2
D ．2 12．函数[]
11,0,2()1(2),(2,)2
x x f x f x x ⎧--∈⎪
=⎨-∈+∞⎪⎩,则下列说法中正确命题的个数是（ ）
①函数()ln(1)y f x x =-+有3个零点； ②若0x >时，函数()k f x x ≤
恒成立，则实数k 的取值范围是3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
； ③函数()f x 的极大值中一定存在最小值，
④()2(2),()f x kf x k k N =+∈，对于一切[)0,x ∈+∞恒成立． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须
做答，第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13.已知,x y 满足条件0,20,250,x x y x y ≥⎧⎪
-+≥⎨⎪+-≤⎩
，则35z x y =++的最大值是_________.
14．已知抛物线22(0)y px p =>，过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于A 、B 两 点，若线段AB 的中点的纵坐标为-2，则该抛物线的准线方程为_________. 15．在△ABC
中，,34
ABC AB BC π
∠=
==，则sin BAC ∠=__________.
16.已知四面体P- ABC 的外接球的球心O 在AB 上，且PO ⊥平面ABC
，2AC =，
若四面体P - ABC 的体积为
3
2
，则该球的表面积为_________． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤 17.（本小题满分12分）
已知{}n a 是一个公差大于0的等差数列，且满足362755,16a a a a =+= (I)求数列{}n a 的通项公式；
(Ⅱ)若数列{}n a 和数列{}n b 满足等式：123232222n n n
b b b b a =+++⋅⋅⋅+（n 为正整数） 求数列{}n b 的前n 项和n S ．
18.（本小题满分10分）
某航空公司进行空乘人员的招聘，记录了前来应聘的6名男生和9名女生的身高，数据用茎叶图表示如下（单位：cm ），应聘者获知：男性身高在区间[174，182]，女性身高在区间[164，172]的才能进入招聘的下一环节．
(I)求6名男生的平均身高和9名女生身高的中位数；
(Ⅱ)现从能进入下一环节的应聘者中抽取2人，求2人中至少有一名女生的概率， 19．（本小题满分12分） 如下图，三棱柱111ABC A B C -中，CA=CB ， 11,60AB AA BAA =∠=． （I ）证明：1AB AC ⊥；
(Ⅱ)若12,AB CB AC ==，求三棱锥1C ABC -的体积。
20．（本小题满分12分）
已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点，
离心率12e =，若点00(,)M x y 在椭圆C 上，则点00
(
,)x y N a b
称为点M 的一个“椭点”，直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，若点A 、B 的“椭点”分别是P 、Q ，且以PQ 为直径的圆经过坐标原点O. （I ）求椭圆C 的方程；
(Ⅱ)若椭圆C 的右顶点为D ，上顶点为E ，试探究OAB ∆的面积与ODE ∆的面积的大小关系，并证明． 21．（本小题满分12分） 已知函数()(1)ln f x x x =+ (I)求()f x 在x=l 处的切线方程；
(Ⅱ)设1
()()(1)
g x f x a x =
-，
对任意(0,1)x ∈，都有()2g x <-，求实数a 的取值范围． 22.（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲
如图，AB 是O 的直径，弦BD 、CA 的延长线相交于点 E ，EF 垂直BA 的延长线于点F.求证．
(I)DEA DFA ∠=∠；
(Ⅱ)2AB BE BD AE AC =⋅-⋅．
23.(本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位，以原点
为极点，以x 铀正半轴为极轴，已知曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，曲线2C 的参数方程为cos sin x m t a y t a
=+⎧⎨
=⎩（t 为参数，0a π≤<），射线,,44ππ
θϕθϕθϕ==+=-与曲线
1C 交于（不包括极点O ）三点A 、B 、C ．
(I)求证：OB OC OA +=；
(Ⅱ)当12
π
ϕ=
时，B ，C 两点在曲线2C 上，求m 与a 的值．
24.本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲 设函数()31,f x x x x R =--+∈． (I)解不等式()1f x <-；
(Ⅱ)设函数()4g x x a =+-，且()()g x f x ≤在[]2,2x ∈-上恒成立，求实数a 的取值范围．。
