空间的平行直线

空间几何中的平行关系在我们所接触的空间几何世界里，平行关系是一个非常重要的概念。

它不仅在数学理论中有着关键的地位，还在实际生活和其他学科领域有着广泛的应用。

首先，让我们来理解一下什么是线线平行。

如果在同一平面内，两条直线永远不会相交，那么我们就说这两条直线是平行的。

比如，在笔直的公路上，两条路边线就是平行的。

线线平行有许多判定定理，其中一个常见的就是同位角相等，两直线平行。

比如说，有两条被第三条直线所截的直线，如果同位角的度数相等，那么这两条直线就是平行的。

接下来，我们看看线面平行。

一条直线和一个平面，如果没有公共点，那就称这条直线与这个平面平行。

想象一下，天花板上的吊灯线和地板所在的平面，它们通常是没有交点的，这就是线面平行的一个例子。

那如何判断一条直线是否与一个平面平行呢？如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。

这就好比在一个房间里，一条在墙外的直线和房间地面上的某条直线平行，那么墙外的这条直线就和地面所在的平面平行。

再说说面面平行。

如果两个平面没有公共点，就称这两个平面平行。

比如，我们常见的楼房中，一层楼的天花板和下一层楼的地板，这两个平面通常就是平行的。

那怎样才能知道两个平面是不是平行呢？一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

就好像在一个平面内有两条相交的直线，它们分别和另一个平面内的两条直线平行，那么这两个平面就是平行的。

在解决空间几何中的平行关系问题时，我们常常需要进行一些推理和证明。

比如说，要证明线面平行，我们可能需要先找到平面内与已知直线平行的那条直线。

这就需要我们对已知条件进行仔细的分析和运用各种定理。

平行关系在实际生活中的应用也非常广泛。

建筑设计中，为了保证建筑物的结构稳定和美观，常常会利用平行关系。

比如，柱子之间的平行线能够增强建筑物的稳定性；窗户的边框平行能够使窗户看起来更加整齐美观。

在机械制造中，平行的部件能够保证机器的正常运转，减少摩擦和损耗。

空间中平行于x轴的直线方程空间中平行于x轴的直线方程在空间几何中，我们经常需要寻找空间中某条直线的方程，以便进行相关的计算。

其中一种常见的问题是寻找平行于坐标轴的直线方程，今天我们将讨论平行于x轴的直线方程。

首先，我们需要知道什么是平行于x轴的直线。

水平直线是垂直于重力方向的直线。

在坐标系中，水平直线就是平行于x轴的直线。

这样的直线可以用一次方程表示为y = b，其中b是一定的常数。

但是，在3D空间中，不止一条平行于x轴的线，因此需要一些修改。

一般来说，我们先将空间中平行于x轴的直线称为L。

L的方程可以表示为y = k和z = m，其中k和m是常数。

我们可以通过将二维的平面方程转换为三维的方式来获得空间中平行于x轴的直线公式。

具体方法如下：设L的方向向量为V，则向量V应该垂直于x轴的方向。

因此，我们可以用(0,1,0)来表示它。

在空间中，一条直线可以表示为一个点和一个方向向量，因此我们可以选择任意一个点P=（a，b，c），其中a，b，c是任意实数。

这样，L的一般方程可以表示为：L:$$\begin{cases} x=a\\ y=b+t \cr z=c\end{cases}$$其中t是实数，表示L上的任意一点P加上一个标量t乘以方向向量V后得到的新点。

如果我们将公式用向量形式表示，则有：L={(a,b,c)+t(0,1,0)|t∈R}这样的结果非常直观。

我们可以将它理解为一个三维坐标系中的y轴平移问题。

将L表示成点和向量的形式后，我们可以做一些计算来得到单一的三元一次方程。

首先，我们注意到L通过点（a，b，c），因此L满足以下方程：L: x=a，y=b+t，z=c接下来，我们用这个方程来消去y和z。

具体地说，我们将y = b+t代入z = c，我们就可以得到L的一般方程：L:x=a这就是我们所要找的空间中平行于x轴的直线的方程。

显然，该方程是不能与y轴和z轴相交的，因此它只能是水平的。

总之，空间中平行于x轴的直线方程是一种比较基础的几何问题。

空间中的平行一、知识梳理<一>线线平行与线面平行1.线线平行：定义：空间中两直线共面且没有交点，则两直线平行.证明两直线平行的主要方法是：①三角形中位线平行并等于底边的一半；②平行四边形两组对边分别平行；③梯形的一组对边平行；④直线平行的传递性：若a//b,b//c,则a//c.2.线面平行定义：若直线和平面没有交点，则称直线和平面平行.判定1：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.（只需在平面内找一条直线和平面外的直线平行就可以）////a b a a b ααα⊄⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭判定2:两平面平行，一平面上的任一条直线与另一个平面平行.a a a a αβαββααβ⇒⇒⊂⊂⎫⎫⎬⎬⎭⎭或线面平行的性质：如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线和它们的交线平行.<二>面面平行1.定义：若两个平面没有交点，则两个平面平行2.判断：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.,,a b a b A a b αααβββ⊂⊂⎫⎪=⇒⎬⎪⎭,,,a b a b A a a b b a b ααββ⊂⎫⎪=⎪⇒⎬''⎪⎪''⊂⎭判定定理的推论： 一个平面内的两条相交直线与另一个平面上的两条直线分别平行，两平面平行.3.两平面平行的性质： 性质Ⅰ：如果一个平面与两平行平面都相交，那么它们的交线平行.a ab b αβαγβγ=⇒=⎫⎪⎬⎪⎭性质Ⅱ：平行于同一平面的两平面平行；性质Ⅲ：夹在两平行平面间的平行线段相等；,,A C AC BD B D AB CD αβαβ∈⇒=∈⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭二、典例精析【例1】如图所示的几何体中，△ABC 是任意三角形，AE ∥CD ，且AE ＝AB ＝2a ，CD ＝a ，F 为BE 的中点．求证：DF ∥平面ABC .【练习】如图，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别是AB 、PC 的中点．求证：MN ∥平面P AD .【例2】已知正方形ABCD 所在的平面和正方形ABEF 所在的平面相交与AB ，M 、N 分别是AC 、BF 上的中点.求证：MN//平面BCE .【练习】如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，E 为PD 的上一点，且PE=2ED ．若F 为PE 的中点.求证：BF ∥平面AEC .【例3】如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为梯形，AB ∥DC ，AB ⊥BC ．AB =BC=22AD ，点E 在棱PB 上，且PE=2EB ．求证：PD ∥平面EAC .【练习】如图，正四棱锥P-ABCD 中，PA=AB ，点M ，N 分别在PA ，BD 上，且31==BD BN PA PM .求证：MN ∥平面PBC .2【例4】a ，b ，c 为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合平面，现给出六个命题①a ∥c ，b ∥c ⇒a ∥b ②a ∥γ ，b ∥γ ⇒a ∥b ③α∥c ，β∥c ⇒α∥β④ α∥γ ，β∥γ ⇒α∥β ⑤α∥c ，a ∥c ⇒α∥a ⑥α∥γ ，a ∥γ ⇒α∥a其中正确的命题是（ ）A.①②③⑥ B ．①④⑤ C ．①④ D ．①④⑥【练习】下面六个命题中正确命题的个数是（ ）①如果a 、b 是两条直线，b a //，那么a 平行于经过b 的任何一个平面；②如果直线a 和平面α满足a //α,那么a 与平面α内的任何一条直线平行；③如果直线a //α,b //α,那么b a //；④如果直线a 、b 和平面α满足b a //，a //α，α⊄b ，那么b //α；⑤如果直线a 与平面α上的无数条直线平行，则a //α；⑥如果平面α的同侧有两点A 、B 到平面α的距离相等，则AB //α.A. 0B. 1C. 2D. 3【例5】一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是（ ）A ．异面B ．相交C ．平行D ．不能确定【练习】直线a //平面α，α内有n 条直线交于一点，这n 条直线直线中与直线a 平行的直线（ ）A.至少有一条 B ．至多有一条 C ．有且只有一条 D ．没有三、课后练习1．已知直线a ∥平面α，P α∈，那么过点P 且平行于α的直线（ ）A ．只有一条，不在平面α内B ．有无数条，不一定在α内C ．只有一条，且在平面α内D ．有无数条，一定在α内 2．若夹在两个平面间的三条平行线段相等，则这两个平面位置关系是（ ）A ．平行B ．相交C ．相交或平行D ．以上答案都不对3．下列结论中正确的是（ ） ①α∥β，β∥γ，则α∥γ；②过平面外一条直线有且只有一个平面与已知平面平行；③平面外的两条平行线中，如果有一条和平面平行，那么另一条也和这个平面平行；④如果一条直线与两个平行平面中一个相交，那么它与另一个必相交.A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②③④4．a ，b 是两条异面直线，A 是不在a ，b 上的点，则下列结论成立的是( )A ．过A 且平行于a 和b 的平面可能不存在B ．过A 有且只有一个平面平行于a 和bC ．过A 至少有一个平面平行于a 和bD ．过A 有无数个平面平行于a 和b5．如果平面α外有两点A 、B ，它们到平面α的距离都是a ，则直线AB 和平面α的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．平行或相交D ．AB ⊂α6.如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F ，P ，Q 分别是BC ，11C D ，1AD ，BD 的中点.(1)求证：PQ //平面11DCC D ；(2)在DC 上找一点H ，使EFH //平面11BB D D .7.如图，在空间四边形ABCD 中，P 、Q 分别是ABC ∆和BCD ∆的重心.求证：PQ ∥平面ACD .8.如图所示，已知三棱锥BCD A -被一平面所截，截面为平行四边形EFGH ，求证：（1）//EF 平面BCD ；（2）CD EF //.。

空间的平行直线与异面直线一．知识总结：1.空间两直线的位置关系（1）相交——有且只有一个公共点；（2）平行——在同一平面内，没有公共点； （3）异面——不在任何．．一个平面内，没有公共点； 2.公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行推理模式：//,////a b b c a c ⇒．3.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等4.等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等.5.空间两条异面直线的画法ab1A A6．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线推理模式：,,,A B l B l ααα∉∈⊂∉⇒AB 与l 是异面直线7．异面直线所成的角：已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O作直线//,//a a b b ''，,a b ''所成的角的大小与点O 的选择无关，把,a b ''所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角（或夹角）．为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上异面直线所成的角的范围：2,0(π8．异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线,a b 垂直，记作a b ⊥．9．求异面直线所成的角的方法：（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；（2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求10.两条异面直线的公垂线、距离和两条异面直线都垂直相交．．．．的直线，我们称之为异面直线的公垂线 理解：因为两条异面直线互相垂直时，它们不一定相交，所以公垂线的定义要注意“相交”的含义．定义：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离．两条异面直线的公垂线有且只有一条 二、例题：例1 已知四边形ABCD 是空间四边形，E 、H 分别是AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边CB 、CD 上的点，且32==CD CG CB CF ，求证：四边形EFGH 是梯形例 2 如图，A 是平面BCD 外的一点,G H 分别是,ABC ACD ∆∆的重心，求证：//GH BD ．例3 设图中的正方体的棱长为a（1）图中哪些棱所在的直线与直线BA 1成异面直线？ （2）求直线BA 1和CC 1所成的角的大小． （3）求异面直线BC 和AA 1的距离．例4 已知,,,E F G H 分别是空间四边形四条边,,,AB BC CD DA 的中点，（1）求证四边形EFGH 是平行四边形（2）若AC ⊥BD 时，求证：EFGH 为矩形；（3）若BD =2，AC =6，求22HF EG +；（4）若AC 、BD 成30º角，AC =6，BD =4，求四边形EFGH 的面积； （5）若AB =BC =CD =DA =AC =BD =2，求AC 与BD 间的距离.例5 平行四边形ABCD 的内角C=60°,CD=2BC,沿对角线BD 将平行四边形所在平面折成直二面角;求AC 、BD 所成的角.AC 1CAD BD B例6 空间四边形ABCD 中，2AD BC ==，,E F 分别是,AB CD的中点，EF =求异面直线,AD BC 所成的角说明：异面直线所成的角是锐角或直角，当三角形EGF ∆内角EGF ∠是钝角时，表示异面直线,AD BC所成的角是它的补角例7 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,求(1)A 1B 与B 1D 1所成角; (2)AC 与BD 1所成角. .三． 练习：1．判断题（对的打“√”，错的打“×”） （1）平行于同一直线的两条直线平行 （ ） （2）垂直于同一直线的两条直线平行 （ ）（3）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 . （ ） （4）与已知直线平行且距离等于定长的直线只有两条. （ ） （5）若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等（ ）（6）若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.（ ）（7）向量与11B A ，AC 与11C A 是两组方向相同的共线向量，那么111BAC B AC ∠=∠． （8）垂直于两条异面直线的直线有且只有一条 （ ）（9）两线段AB 、CD 不在同一平面内，如果AC =BD ，AD =BC ，则AB ⊥CD （ ） （10）在正方体中，相邻两侧面的一对异面的对角线所成的角为60º（11）四边形的一边不可能既和它的邻边垂直，又和它的对边垂直 （ ）2．右图是正方体平面展开图，在这个正方体中 ①BM 与ED 平行；②CN 与BE 是异面直线； ③CN 与BM 成60º角；④DM 与BN 垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是 （ ）（A ）①②③ （B ）②④ （C ）③④ （D ）②③④ 3. 两条异面直线 的公垂线指的是 ( )(A)和两条异面直线都垂直的直线(B)和两条异面直线都垂直相交的直线(C)和两条异面直线都垂直相交且夹在两交点之间的线段 (D)和两条异面直线都垂直的所有直线 4.“a ，b 是异面直线”是指E AFB C MND AB CD EF G① a ∩b =Φ且a 不平行于b ；② a ⊂ 平面α，b ⊂ 平面β且a ∩b =Φ ③ a ⊂ 平面α，b ⊄ 平面α ④ 不存在平面α，能使a ⊂ α且b ⊂ α成立 上述结论中，正确的是 （ ） （A ）①② （B ）①③ （C ）①④ （D ）③④5.两条直线a ,b 分别和异面直线c ,d 都相交，则直线a ，b 的位置关系是（ ） （A ）一定是异面直线 （B ）一定是相交直线 （C ）可能是平行直线 （D ）可能是异面直线，也可能是相交直线6.一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是( ) （A ）平行 （B ）相交 （C ）异面 （D ）相交或异面7. 在棱长为a 的正方体中，与AD 成异面直线且距离等于a 的棱共有 ( ) (A)2条 (B)3条 (C)4条 (D)5条8.若a 、b 是两条异面直线，则下列命题中，正确的是 ( ) (A)与a 、b 都垂直的直线只有一条 (B)a 与b 的公垂线只有一条 (C)a 与b 的公垂线有无数条(D)a 与b 的公垂线的长就是a 、b 两异面直线的距离9.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，则棱A 1B 1所在直线与面对角线BC 1所在直线间的距离是 ( )（A ）a 22（B ）a （C ）a 2 （D 210．E 、F 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、CD 的中点，且EF=5，BC =6，AD =8，求异面直线AD 与EF所成角的正弦值.11．如图所示，ABCD —A 1B 1C 1D 1是边长为a 的正方体，计算下列问题： （1）A 1D 1与B 1B 所成角的大小；（2）A 1D 1与AC 所成角的大小； （3）AD 1与B 1C 所成角的大小；（4）A 1C 与AB 所成角的正切值； （5）A 1D 1与B 1B 的距离；（6）A 1C 1与BD 的距离； （7）A 1D 1与AB 1的距离；（8）若E 、F 、G 、H 为对应棱的中点，求EF 、EH 所成的角A C 1C AB CF EA D A 1。

空间直线平行的判定定理空间直线平行的判定定理引言在空间几何中，直线是一种基本的几何对象。

而直线的平行是一个重要的概念，它在许多问题中都有着重要的应用。

因此，研究如何判定空间直线是否平行，是空间几何中重要的一部分。

定义在空间几何中，两条直线如果在同一平面内且不相交，则这两条直线互相平行。

定理有以下三种方法可以判定空间直线是否平行：方法一：向量法向量法是判定两条空间直线是否平行最常用的方法之一。

具体步骤如下：1. 求出两条直线上任意两点构成的向量；2. 判断这两个向量是否共线；3. 如果这两个向量共线，则这两条直线平行；否则不平行。

方法二：斜率法斜率法是判定两条空间直线是否平行另外一种常用的方法。

具体步骤如下：1. 对于每一条直线，求出其在某个坐标系下的方程；2. 求出每一条直线在该坐标系下的斜率；3. 如果两条直线斜率相等，则这两条直线平行；否则不平行。

方法三：距离法距离法是判定两条空间直线是否平行的另外一种方法。

具体步骤如下：1. 求出两条直线上任意一点的坐标；2. 求出这两个点之间的距离；3. 如果这两个点之间的距离为0，则这两条直线平行；否则不平行。

应用空间直线的平行在许多问题中都有着重要的应用。

例如，在建筑设计中，需要对建筑物进行测量和设计，而在测量和设计过程中需要考虑到空间直线的平行关系。

再如，在工程制图中，需要将三维物体投影到二维纸面上，而在投影过程中也需要考虑空间直线的平行关系。

结论通过向量法、斜率法和距离法可以判定空间直线是否平行。

在实际问题中，可以根据具体情况选择不同的方法进行判定。

空间直线的平行关系在许多问题中都有着重要的应用，在实际问题中需要注意其合理性和准确性。

【高考导航】本节所涉及到的知识点：直线平行公理、异面直线的概念以及异面直线所成的角是高考考查的重点.考查的题型比较灵活.如1993，全国理，18题；1994，上海，14题；1995，全国文，10题；1996，全国，19题.试题分值4～5分，多以难度系数较大的题为主.【学法点拨】本节共有两个知识点：平行直线、异面直线.平行直线主要是将平行公理和平行线的传递性推广到空间，并引出平移的概念，学习时要意识到并非所有在平面图形中适用的结论，对于立体图形仍应适用.例如没有公共点的直线在平面上是平行关系，在空间中考虑就有平行与异面两种位置关系.对于异面直线要理解不同在任何一个平面内，它们构成一个空间图形，绝不是平面图形，异面直线的夹角是由两条相交直线的夹角的概念扩充而成.计算异面直线a 、b 的夹角大小，必须通过平移转化为相交直线a ′，b′的夹角，实现转化的手段是“平移”.【基础知识必备】 一、必记知识精选1.空间两条不重合的直线的三种位置关系. (1)相交直线——共面有且仅有一个公共点. (2)平行直线——共面没有公共点. (3)异面直线——不同在任一平面内.2.平行公理：平行于同一条直线的两直线平行.c b c a b a ∥∥∥⇒⎭⎬⎫. 3.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等.4.异面直线判定定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.5.异面直线的概念及异面直线所成角：已知两条异面直线a 、b ，经过空间任一点O 作直线a′∥a,b′∥b,a′与b ′所成的锐角或直角叫做异面直线所成角.异面直线所成角的范围为(0,2π]. 二、重点难点突破1.掌握平行公理并能熟练应用；了解公理4是证明直线平行的主要依据.2.异面直线的概念，异面直线所成角的概念及求法.注意概念中异面直线所成角与“O ”点位置无关，因此，在实践中“O ”点常取在两条异面直线中的一条上.（二）难点1.异面直线的判定.利用异面直线判定定理，或排除平行、相交两种位置关系进行判断，或利用反证法.2.异面直线所成角.求异面直线所成角，是按定义先作出它们所成的角，然后一般通过解三角形来求角.三、易错点和易忽略点导析 1.对定理的掌握不准确. 【例1】 如果角A 的两边与角B 的两边分别平行，则角A 与角B 的关系是 .错解：A=B.正确解法：A=B 或A+B=π.错解分析：在利用等角定理时忽略了“方向相同”这一条件.对概念的把握不深刻. 2.空间概念不牢固.【例2】 在空间中，垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是（ ） A.平行 B.垂直C.异面D.以上答案都不对 错解:A 正确解法:D错解分析：以固有的平面思维对待空间问题，本题中两条直线的位置关系是平行、相交或异面.【综合应用创新思维点拨】 一、学科内综合思维点拨【例1】 已知两直线a,b 是异面直线，a 上有两点A 、C 中，b 有两点B 、D.求证AB 和CD 是异面直线.思维入门指导：证明两直线a 、b 异面，其实质是证明使a ⊂α，b ⊂α的平面α是不存在的.一般有两种方法：反证法和利用异面直线判定定理进行证明.证明：假设AB 与CD 不是异面直线，则AB 、CD 共面. 设AB ⊂α，CD ⊂α，则A ∈α，C ∈α. 又∵A ∈α，C ∈α， ∴AC ⊂α.即a ⊂α.同理b ⊂α，这与a 、b 异面矛盾.故假设不成立，则直线AB 和CD 是异面直线.点拨：反证法是证明否定命题的基本方法.反证法证明过程一般有如下几个步骤：(1)反设：作出与命题结论相反的假设；(2)归谬：将反设和条件进行推理,得出矛盾；(3)结论：肯定原命题正确.在立体几何中，下面三类问题常用反证法.(1)直接利用公理、定义证题，即在尚未建立有关定理作为依据的情况下证题. (2)证明某些惟一性结论的命题. (3)所证结论是一种否定性的命题. 二、应用思维点拨【例2】 已知：长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中AB=a ，BC=b ，AA ′=c(a ＞b)，求异面直线D ′B 和AC 所成角的余弦值.思维入门指导：欲求两条异面直线所成的角，关键在于选择恰当的点，通过平移一条直线后，转化为平面问题，利用解三角形求之.解法一：如图9-2-1，连接BD 交AC 于E ，取DD ′的中点F,连结EF ，则EF ∥21D ′B.∴∠FEA 是D ′B 和AC 所成的角.连接AF ，∵AE=422b a +=222b a +,EF=21D ′B=2222c b a ++,AF=2422c b +,∴在△FEA 中，cos∠FEA=AE EF AF AE EF ∙-+2222=))((2222222c b a b a b a +++-.∵a ＞b ，∴cos ∠FEA＞0. ∴D ′B 与AC 所成角的余弦值为))((2222222c b a b a b a +++-.解法二：在长方体的一旁，补上一个全等的长方体，如图9-2-2，则BE ∥AC,∠D′BE为D ′B 和AC 所成角或其补角.∵D ′B=222c b a ++,BE=22b a +,D′E=224c a +, ∴在△D ′BE 中，cos ∠D ′BE=BE B D E D BE B D ∙''-+'2222=))((2222222c b a b a b a ++++-.∵a ＞b,则b 2-a 2＜0,即cos ∠D ′BE ＜0. 故D ′B 与AC 所成角的余弦值为))((2222222c b a b a b a +++-.点拨:求异面直线所成角的基本法则是“作平行线，构造三角形”.而在采用平移找角,转化为三角形求解时,应时刻注意两条异面直线所成的角的范围为(0,2π],因为常常会出现所找的角为异面直线所成角的补角.三、创新思维点拨【例3】 如图9-2-3,A 是△BCD 所在平面外一点，M 、N 分别是△ABC 和△ACD 的重心，若BC=5，CD=8，∠BCD=60°，求MN 的长.思维入门指导：由题设中的条件M 、N 分别为三角形重心，可预想解题过程要利用三角形的中线及重心的性质进行解题.解：连结AM 并延长交BC 于点E ，连结AN 并延长交CD 于点F ，则E 、F 分别为BC 、CD的中点，连结EF ，则EF ∥21BD. ∵32==AF AN AE AM ,∴MN ∥EF.∴MN ∥31BD. 在△BCD 中，BC=5，CD=8，∠BCD=60°， ∴BD 2=BC 2+CD 2-2BC ·CD ·cos60°=25+64-2×5×8×21 =49. 则BD=7.∴MN=37. 点拨：本题是一道好题，其创新之处是将重心的性质及平行公理有机地结合在一起. 四、高考思维点拨【例4】 （2003，北京春招，5分）如图9-2-4，在正三角形ABC 中，D 、E 、F 分别为各边的中点，G 、H 、I 、J 分别为AF 、AD 、BE 、DE 的中点，将△ABC 沿DE 、EF 、DF 折成三棱锥以后,GH 与IJ 所成角的度数为（ ）A.90°B.60°C.45°D.0°思维入门指导：本题是折叠类问题，解答此类问题的基本思路是：先作出折叠前与折叠后的图形.注意折叠前后元素之间的位置关系，数量关系的变化，然后解答.解：如图9-2-5所示，折叠后A 、B 、C 重合，记为点K ，GH 与IJ 为异面直线.K(A 、B 、C)∵GH ∥DF ，IJ ∥KD ，∴∠KDF 为GH 与IJ 所成角. ∵∠KDF=60°，∴GH 与IJ 所成角的度数为60°，选B.点拨：把平面物体折叠成空间几何体的过程中，始终在同一个平面内的点与线，线与线的位置关系及数量关系不变,若折叠前后不在同一个平面内,则位置关系及数量关系都可能发生变化.五、经典类型题思维点拨【例5】 设A 、B 、C 、D 是不共面的四个点，P 、Q 、R 、S 分别是AC 、BC 、DB 、DA 的中点，如图9-2-6，若AB=122，CD=43,且四边形PQRS 的面积为123，求异面直线AB 和CD 所成的角.思维入门指导：利用中位线的性质，将异面直线所成的角转化为相交的两条直线所成的角，然后求解.解：∵P 、Q 是AC 、BC 的中点，∴PQ ∥21AB. ∵Q 、R 是BC 、BD 的中点, ∴QR ∥21CD.同理RS ∥21AB,PS ∥21CD. ∴四边形PQRS 为平行四边形，且∠PQR 是异面直线AB 与CD 所成的角或其补角. ∴PQ=62，QR=23.S □PQRS ＝PQ ·QR ·sin ∠PQR ＝62·23·sin ∠PQR ＝123, ∴sin ∠PQR=22. 故异面直线AB 、CD 所成角为45°.点拨：异面直线是立体几何的重点和难点之一，几乎每年都被考查.考查的内容涉及定义、所成角两方面，其中异面直线所成角为考查的热点.六、探究性学习点拨【例6】 如图9-2-7，空间四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 所成角为θ，AC=a ，BD=b （a,b 为常数），E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，当θ为何值时，四边形EFGH 的面积S 最大？最大值为多少？思维入门指导:四边形EFGH 面积的大小是由边的长度及内角的度数决定的,先将四边形EFGH 的面积表示为θ的函数,再利用函数求最值.解:∵E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点,∴EF ∥HG ∥AC,且EF=HG=21AC; EH ∥FG ∥BD,且EH=FG=21BD. ∴四边形EFGH 是一个平行四边形,且EF=21a,FG=21b. ∵AC 与BD 所成角为θ，∴∠EFG=θ.∴S=EF ·FG ·sin θ=41absin θ. ∵θ∈(0,2π),∴当θ=2π时,S max =41ab. 点拨：顺次连结不共面的四点A 、B 、C 、D 所组成的四边形叫做空间四边形，空间四边形各边中点连结形成的平行四边形中有以下结论：（1）当AC=BD 时，为菱形；（2）当AC ⊥BD 时，为矩形;（3）当AC ⊥BD ，AC=BD 时，为正方形.【同步达纲训练】A 卷:教材跟踪练习题 （60分45分钟） 一、选择题（每小题5分，共30分）1.如果a 、b 是异面直线，c ∥a ，那么c 与b （ ） A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线2.两条直线不相交是两条直线异面的（ ）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件 3.空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个空间四边形各边中点所形成的四边形是（ ）A.梯形B.矩形C.正方形D.菱形4.正方体的一条对角线与正方体的棱可以组成异面直线的对数是（ ） A.2 B.3 C.6 D.125.一个角的两边与另一角的两边分别垂直,则这两个角（ ）A.相等B.互补C.相等或互补D.不能确定6.正方体AC 1中，E 、F 分别是AB 、BB 1的中点，则A 1E 与C 1F 所成角的余弦值为（ ）A.21 B.22 C.52D.521二、填空题(每小题4分,共16分)7.点A 是△BCD 所在平面外一点，M 、N 、P 分别是△ABC 、△ACD 、△ABD 的重心,且S △BCD =9,则△MNP 的面积为 .8.正方体六个面内的所有对角线中,互成60°角的对角线共有 对. 9.若a ∥b,c ⊥a,d ⊥b.则c 与d 的位置关系是 .10.过异面直线a 与b 外的点P.与a 、b 都垂直的直线的条数是 . 三、解答题(每小题7分,共14分)11.已知空间四边形ABCD 的对角线AC=10，BD=6，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，MN=7，求异面直线AC 与BD 所成角.12.如图9-2-8在四面体A —BCD 中，AB=AC=AD=26a ，BC=CD=a,BD=2a ，点F 是BD 的中点，求AF 与CD 所成的角的大小.B 卷:综合应用创新练习题 （70分60分钟） 一、学科内综合题（5分）1.两条异面直线所成角为θ，则有（ ） A.0＜cos θ≤1 B.0≤cos θ＜1 C.0≤sin θ＜1 D.0≤sin θ≤1 二、应用题（5分）2.空间四边形ABCD 中，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，设21(BC+AD)=l ,则（ ） A.MN ＞l B.MN ＜lC.MN=lD.MN 与l 的大小关系不确定 三、创新题（55分）（一）教材变型题（5分） 3.（P 15第5题变型）和两条异面线AB 、CD 都相交的两条直线a 、b 的位置关系是（ ） A.平行 B.异面 C.相交 D.以上都不对 （二）一题多解（1O 分）4.证明：对边平方和相等的空间四边形的对角线互相垂直. （三）一题多变（20分）5.两条异面直线a 、b 所成的角是60°，过空间任意一点O 与a 、b 都成60°角的直线的条数是( )A.2条B.3条C.4条D.不能确定(1)一变:两条异面直线a 、b 所成的角是60°,过空间任意一点O 与a 、b 都成50°角的直线有 条.(2)二变:两条异面直线a 、b 所成的角是θ，过空间任意一点O 与a 、b 都成45°角的直线有两条.则θ的取值范围是 .(3)三变:两条异面直线a 、b 所成的角是60°，过空间一点O 的直线l 与a 、b 所成的角都是θ,则θ的取值范围是 .(四)新解法题(10分)6.已知棱长为a 的正方体AC 1中，E 、F 分别为BC 、A 1D 1的中点，求AF 与DE 所成的角. (五)新情境题(10分)7.A 、B 、C 、D 是异面直线AB 、CD 上的点，线段AB=CD=4，M 为AC 的中点,N 为BD 的中点，MN=3，求异面直线AB 、CD 所成角的余弦值.四、高考题8.（1995，全国，5分）如图9-2-9，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1=D 1F 1=411B A ,则BE 1与DF 1所成角的余弦值是（ ）A.1715 B.21 C.178D.23加试题：竞赛趣味题（10分）（1999，全国联赛）给定下列两个关于异面直线的命题: 命题Ⅰ：若平面α上的直线a 与平面β上的直线b 为异面直线，直线c 是α、β的交线，那么c 至多与a 、b 中的一条相交.命题Ⅱ：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线.那么（ ） A.命题Ⅰ正确，命题Ⅱ不正确 B.命题Ⅱ正确，命题Ⅰ不正确 C.两个命题都正确 D.两个命题都不正确【课外阅读】多面体的截面用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面.此平面与几何体表面的交集(交线)叫做截线.此平面与几何体的棱的交集（交点）叫做截点.作多面体截面的关键在于确定截点，有了位于多面体同一表面上的两个截点即可连结成截线，从而求得截面.作截线与截点的主要根据有： (1)确定平面的条件.(2)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线.(3)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. (4)如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行.(5)如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行. 主要画法是交线法，即求出截面所在的平面与多面体某一表面所在平面的交线，再找出各有关截线（或其延长线）与此交线的交点.【例1】 如图9-2-10，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 分别在AB 、BC 、DD 1上，求作过E 、F 、G 三点的截面.作法:(1)在底面AC 内，过E 、F 作直线EF 分别与DA 、DC 的延长线交于点L 、M. (2)在侧面A 1D 内，连结LG 交AA 1于点K. (3)在侧面D 1C 内，连结GM 交CC 1于点H. (4)连结KE 、FH.则五边形EFHGK 即为所求的截面.有时为了便于作截面，还须引进辅助面作为作图的中介.【例2】如图9-2-11，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F在两条棱上,G在底面A1C1内，求作过E、F、G的截面.作法:(1)在底面A1C1内,过G作PQ∥B1C1，交棱于P、Q两点.(2)作辅助面PBCQ，在此面内，过G、F作直线交BP的延长线于M.(3)在侧面A1B内,连结ME，交A1B1于K.(4)在底面A1C1内,连结KG，延长交B1C1于H.(5)连结HF.(6)在底面AC内，作FL∥HK，交AB于L.(7)连结EL.则五边形ELFHK为所求的截面.此外，对于面数较多的多面体，可以把其中一些表面伸展构成面数较少的多面体，使作图得解.【例3】如图9-2-12，五棱锥P—ABCDE中，三条侧棱上各有一已知点F、G、H，求作过F、G、H的截面.作法:(1)将侧面PAB、PBC、PDE伸展得到三棱锥P—BST.(2)在侧面PBS内，连结并延长GF，交PS于K.(3)在侧面PBT内，连结并延长GH交PT于L.(4)在侧面PST内，连结KL分别交PD、PE于M、N.(5)连结FN、MH.则五边形FGHMN即为所求的截面.参考答案A卷一、1.C 点拨：若c∥b，又c∥a，则a∥b，与a、b异面矛盾.2.A 点拨：两条直线异面一定不相交，但不相交也可以是平行.3.C 点拨:如答图9-2-1所示，E 、F 、G 、H 分别为空间四边形ABCD 各边的中点.则EF ∥21AC ，HG ∥21AC.则EF∥HG.∴四边形EFGH 为平行四边形. ∵AC=BD ，∴EF=HE.∵AC ⊥BD ，∴EF ⊥HE.∴四边形EFGH 为正方形.4.C 点拨：除相交的6条棱外，其余6条棱均与之成异面直线.5.D 点拨：两者共在一个平面内则相等或互补，若一个角在另一个角平面外，且一条边垂直于第一个角所在平面，则两角关系不能确定.6.C 点拨:如答图9-2-2所示，取B 1G=41A 1B 1，连结GF ，GC 1,则∠C 1FG 即为A 1E 与C 1F 所成的角.设AA 1=a ，则在△C 1GF 中，C 1F=25a,GF=45a,C 1G=417a. ∴cos ∠C 1FG=852161716545⨯-+=52.二、7.1 点拨：如答图9-2-3，连结AM 并延长交BC 于点E ，则E 为BC 中点.同理可得CD 边中点F,BD 边中点G,则32===AG AP AF AN AE AM . ∴MN ∥EF ，MP ∥EG ，NP ∥GF ，且MP=32EG. 又∵EF ∥21BD,∴S △MNP =94·S △EGF =94·41S △BCD =94×41×9=1. 8.24 点拨:一个顶点对应3对,故共有3×8=24对.9.平行、相交或异面 点拨:可以在正方体中找出此题的实物模型,另外此题等价于判断垂直于同一条直线的两条直线间的位置关系.10.1条 点拨:两条异面直线有一条公垂线,过直线外一点与直线平行的直线有且只有一条，所以过点P 可以作一条直线与公垂线平行.三、11.解：如答图9-2-4，取BC 的中点E ，连结ME 、NE.则ME ∥21AC,NE ∥21BD. ∴∠MEN 就是异面直线AC 与BD 所成角或其补角. 在△MEN 中,ME=21AC=5,NE=21BD=3,MN=7, ∴cos∠MEN=NEME MN NE ME ∙-+2222=-21.∴AC 与BD 所成角为60°.12.解：如答图9-2-5，取BC 的中点E ，连EF 、AE ，∵F 为BD 的中点,∴EF ∥21CD. ∴∠AFE 为异面直线AF 、CD 所成的角或补角，且EF=21a ，在△ABC 中,AB=AC=26a,BC=a. ∴AE 2=AB 2-(21BC)2=46a 2-41a 2=45a 2. 在△ABD 中,AB=AD=26a,BD=2a, ∴AF 2=AB 2-(21BD)2=46a 2-42a 2=a 2. 在△AFE 中，cos ∠AFE=EFAF AE EF AF ∙-+2222=0,∴∠AFE=90°.∴异面直线AF 与CD 成90°的角.B 卷一、1.B 点拨：两条异面直线所成角的范围为（O ，2π]. 二、2.B 点拨：取AC 的中点为E ，连结ME,NE ，则在△MNE 中，21(BC+AD)=ME+NE ＞MN ，即MN ＜l .三、(一)3.D 点拨：可能存在异面与相交两种情况.(二)4.已知：如答图9-2-6中，AB 2+CD 2=BC 2+AD 2. 求证:AC ⊥BD.证法一：回归定义，所成角为90°，作角计算.如答图9-2-6(1)，分别取AB 、CD 、DA 的中点E 、F 、G ，则有EG ∥BD ，FG ∥AC ，这样问题就演变为证明△EFG 为直角三角形.因为题设为数量关系，故可考虑通过计算△EFG 的各边长来解决，记AB 、BC 、CD 、DA 、AC 、BD的长分别为a 、b 、c 、d 、m 、n,则EG=21n,FG=21m.在△ACD 和△BCD 中分别求出中线AF 和BF 的长，再进一步在△AFB 中求出中线EF 的长，比较EF 、FG 、GE 的关系即可解决问题.证法二：遵循化归思想，该问题也可考虑构造平行四边形ENFG （如答图9-2-6(2)）,通过证NG=EF 来证明其为矩形.遵循条件集中的原则取各棱中点并顺次连结构造四边形NPGQ 和四边形EPFQ ，使已知量——四边形四条边与求解对象——NG 和EF 建立联系.可证四边形NPGQ 和四边形EPFQ 均为平行四边形.在平行四边形EPFQ 和NPGQ 中，EF 2+PQ 2=EP 2+PF 2+FQ 2+QE 2=2[(21b)2+(21d)2], NG 2+PQ 2=NQ 2+QG 2+GP 2+PN 2=2[(21a)2+(21c)2]. ∵a 2+c 2=d 2+b 2,∴EF 2+PG 2=NG 2+PQ 2.∴EF=NG.∴平行四边形ENFG 为矩形.证法三:(学习第四节后再看)遵循化归思想，该问题也可以转化为线面垂直来证明,作AH ⊥BD ，连结CH(如答图9-2-6(3)),只要证明CH ⊥BD 即可.在△ABD 中,cos ∠ABD=an d n a 2222-+,∴BH=a ·cos ∠ABD=n d n a 2222-+.在△BCD 中,cos ∠CBH=bnc n b 2222-+.∵a 2+c 2=d 2+b 2,∴cos∠CBH=nbd n a 2222-+=BC BH.∴∠BHC=90°.(三)5.B 点拨：过O 分别作a 、b 的平行线a ′、b′,则a′b′的夹角为60°.与a 、b 成等角只需与a ′、b ′成等角即可.如答图9-2-7所示，与a 、b 都成60°的直线一条是l ，另外两条是过点O 在a ′、b′所确定平面外，理论依据是最小角定理.(1)2 (2)θ∈(0,2π) (3)θ∈[6π,2π](四)6.解:如答图9-2-8，连结C 1E ，DC 1,则∠C 1ED 为AF 与DE 所成角或其补角.在△C 1DE 中，DE=C 1E=25a ，DC 1=2a ， cos∠C 1ED=222245224545αααα⨯-+=51,∴AF 与DE 所成角为arccos 51.(五)7.解:如答图9-2-9，连结BC ，取BC 的中点E ，连结ME,NE.则在△ABC 中，ME ∥21AB ，ME=2. 在△BCD 中，NE ∥21CD,NE=2. 故∠MEN 为AB 、CD 所成角或它的补角. ∵cos ∠MEN=NE ME MN NE ME ∙∙-+2222=81-,∴AB 、CD 所成角为arccos 81.四、8.A 点拨:如答图9-2-10,将DF 1平移至AG 1,A 1G 1=411B A .再将AG 1平移至EE 1,其中AE=2AB,B 1E 1=411B A .则∠BE 1E 即是异面直线BE 1与DF 1所成的角.Cos∠BE 1E=11221212EE BE BE EE BE ∙-+=1715.加试题:D 点拨:命题Ⅰ中c 与a 、b 可以都相交，只要交点不重合亦为异面直线;命题Ⅱ中的异面直线可以有无穷多条.且两两互为异面直线.。

空间几何中的平行与垂直空间几何是研究空间中点、直线、面以及它们之间的关系的数学学科。

在空间几何中，平行和垂直是两个重要的概念。

平行表示两条直线或者两个平面没有交点，而垂直则表示两个直线或者一个直线和一个平面之间的相互垂直关系。

本文将详细介绍空间几何中平行和垂直的定义、性质以及对应的应用。

一、平行的定义与性质在空间几何中，平行是指在同一平面内没有交点的两条直线或者两个平面。

具体定义如下：定义1：设直线l和m在同一平面内，如果直线l上的任意点与直线m上的任意点之间的距离保持不变，那么直线l与直线m是平行的。

平行线具有以下性质：性质1：平行关系是一种等价关系，即自反性、对称性和传递性。

自反性：任意一条直线与自己平行。

对称性：如果直线l与直线m平行，则直线m与直线l平行。

传递性：如果直线l与直线m平行，直线m与直线n平行，则直线l与直线n平行。

性质2：平行线与交线的夹角为零。

性质3：平行线在同一平面上的投影线也是平行线。

性质4：平行线与同一平行线交割的两条直线也是平行线。

平行线在实际应用中有着广泛的应用，如建筑设计、地图制作、道路规划等。

二、垂直的定义与性质在空间几何中，垂直是指两个直线或者一个直线和一个平面之间的相互垂直关系。

具体定义如下：定义2：设直线l和m在同一平面内，如果直线l上的任意一点到直线m上的任意一点的连线垂直于直线l和直线m所在平面，那么直线l与直线m垂直。

垂直关系具有以下性质：性质1：垂直关系是一种等价关系，即自反性、对称性和传递性。

自反性：任意一条直线与自己垂直。

对称性：如果直线l与直线m垂直，则直线m与直线l垂直。

传递性：如果直线l与直线m垂直，直线m与直线n垂直，则直线l与直线n垂直。

性质2：直线与同一平面内的两条垂直线重合时，它与两条垂直线都垂直。

性质3：垂直平分线是垂直于线段且将线段平分的直线。

性质4：垂直于平面的直线，必与平面中任意一条直线垂直。

垂直关系在三维空间中的应用十分广泛，如建筑构造、植物生长、天文测量等。