山东省枣庄第八中学2014-2015学年高一1月月考数学试题word版含答案

枣庄八中东校2015-2016学年度月考试题考试时间：120分钟 满分150分 评卷人 得分 一、选择题（本题共10道小题，每小题5分，共50分） 1.若2弧度的圆心角所对的弧长为cm 2，则这个圆心角所夹的扇形的面积是( )A ．24cmB ．22cmC ．24cm π D ．21cm 2.设θ是第三象限角，且2cos -2cos θθ=，则2θ是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角3.)310(s π-in 的值等于( ) A ．21- B ．21 C ．23- D ．23 4.在直角坐标系中，一动点从点()0,1A 出发，沿单位圆（圆心在坐标原点半径为1的圆）圆周按逆时针方向运动π32弧长，到达点B ，则点B 的坐标为( ) A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,21 B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,23 C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--23,21 D.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,235.把函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=32sin πx x f 的图像向右平移()πϕϕ<<0个单位可以得到函数()x g 的图像，若()x g 为偶函数，则ϕ的值为（ ）A ．65πB ．3πC ．12712ππ或D 1211125ππ或． 6.已知()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-=41,cos 1,cos 1,2θθb a ,, 且b a //，则钝角θ等于（ ）A ．o 45 B. o 135 C. o 150 D. o1207.若向量()()3,2,2,1-==OB OA 分别表示向量b a 与，则=+b a ( )A. 26 B ．25 C ．2 D ．268.下列各组向量中，可以作为基底的是A.()()2,1,0,021-==e eB. ()()7,5,2,121=-=e eC.()()10,6,5,321==e eD.()⎪⎭⎫⎝⎛-=-=43,21,3,221e e 9.已知()()0＞3sin ωπω⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x f 的图象与1-=y 的图象的相邻两交点间的距离为π，要得到()x f y =的图象，只需把x y 2cos =的图象（ ）A ．向左平移12π个单位B ．向右平移12π个单位 C ．向左平移125π个单位 D ．向右平移125π个单位 10.已知点()()2,4,1,1B A ，和向量()λ,2=a ，若AB a //，则实数λ的值为（ ）A . 32- B.32 C. 23 D. 23- 评卷人得分 二、填空题（本题共5道小题，每小题5分，共25分）11.已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若()y P ,4是角θ终边上一点，552sin -=θ，则=y ______.12.已知向量()()()10,,5,4,12,k OC OB k OA -===，且C B A 、、三点共线，则k =________._13.在ABC ∆中，已知D 是BC 上的点，且BD CD 2=．设b AC a AB ==,,则=AD．（用b a ,表示）14.函数()()()＞0＞0,,,sin w A w A wx A x f ，是常数，ϕϕ+=的部分图象如图所示，则()=0f .15.已知下列命题：①函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=32sin πx y 的单调增区间是.,125,12Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡---ππππ.②要得到函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=6cos πx y 的图象，需把函数x y sin =的图象上所有点向左平行移动3π个单位长度. ③已知函数(),3cos 2cos 22+-=x a x x f 当2-≤a 时，函数()x f 的最小值为()a a g 25+=． ④()0>sin w wx y =在[0,1]上至少出现了100次最小值，则π2399≥w .⑤函数()x y tan 1lg -=的定义域是Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++-,4,2ππππ.其中正确命题的序号是___________________．(将所有正确命题的序号都填上)评卷人 得分三、解答题（共75分） 16. （本题12分）已知向量()().4,1,0,2==b a-（2） 若向量b a b a k 2++与平行，求k 的值；17.（本题12分）已知角α是第二象限角，其终边上一点P 的坐标是()y ,2-，且y 42sin =α．（1）求αtan 的值；（2）求αααα22cos 2sin 4cos sin 3+⋅的值．18. （本题12分）已知()()()()παπαπααππααπα3tan 2cos 23sin cos 23cos 5sin -⋅⎪⎭⎫⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅-=f .（1）化简()αf（2）若α是第三象限角，且5123cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ，求()αf 的值．19. （本题12分）已知函数()2162sin +⎪⎭⎫⎝⎛+=πx x f ．（1）试用“五点法”画出函数()x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1211,12ππ的简图；（2）指出该函数的图象可由()R x x y ∈=,sin 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？（3）若⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈3,6ππx 时，函数()()m x f x g +=的最小值为2，试求出函数()x g 的最大值并指出x 取何值时，函数()x g 取得最大值．20. （本题13分）已知函数()()()πϕϕ<0,>w 0,>sin A h wx A x f ++=在一个周期内，当12π=x 时，y 取得最大值6，当127π=x 时，y 取得最小值0. （1）求函数()x f 的解析式；（2）求函数()x f 的单调递增区间与对称中心坐标；（3）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈6,12ππx 时，函数()1-=x mf y 的图像与x 轴有交点，求实数m 的取值范围． 21. （本题14分）定义在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-ππ,32上的函数()x f y =的图象关于直线6π=x 对称,当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈6,32ππx 时函数()()()πϕϕ<<0,0>w 0,>sin A wx A x f +=图象如图所示.(1)求函数()x f y =在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-ππ,32的表达式; (2)求方程()2=x f 的解;(3)是否存在常数m 的值,使得()2<m x f -在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈ππ,32x 上恒成立;若存在,求出m 的取值范围;若不存在,请说明理由.。

山东省枣庄第八中学东校区2015-2016学年高一数学6月月考试题第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、sin 315o的值为A ．32-B ．32C ．22D ．22- 2、已知向量(6,2),(,1)a b x =-=r r，且a b ⊥r r ，则x 等于A ．3B ．13 C ．3- D ．13- 3、在2014-2015年度NBA 六场总决赛中，甲乙两名篮球原定于在每场中得分的茎叶图如图，则两名运动员得分的中位数为 A ．24.538 B ．2732C ．25.539.5D ．24.539.5 4、若3sin 5α=，且α是第二象限的角，则α2tan A ．724 B ．724- C ． 247- D ．2475、某工厂有400名工人，现采用系统抽样的方法抽取40人做问卷调查，将400人按1,2,,400L 随机编号，则抽取的40人中，编号落入区间[]81,190的人数为 A ．11 B ．12 C ．13 D ．146、要得到函数sin(2)3y x π=-的图象，只需将函数x y 2cos =的图象A ．向右平移π65个长度单位B ．向右平移π125个长度单位C ．向左平移π65个长度单位D ．向左平移π125个长度单位7、某单位在1:4月份用电量（单位：千度）的数据如下表：已知用电量y 与月份x 之间有较好的线性相关关系，其回归方程ˆˆ 5.25ybx =+，由此可预测5分月份用电量（单位：千度）约为A ．1.9B ．1.8C ．175D ．1.7 8、在区间(,)22ππ-上随机地取一个实数x ，则事件“3tan x ≥”发生的概率为 A ．16 B ．13 C ．23D ．56 9、如图所示为函数()cos()(0,0,0)2f x A wx A w πϕϕ=+>>≤≤的部分图象，那么()2f -=A ．0B ．1C ．2-D ．210、设,M N 是ABC ∆所在平面内不同的两点，且112(),233AM AB AC AN AB AC =+=+u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则ABM∆与ABN ∆的面积比ABMABNS S ∆∆为 A ．34 B ．23 C ．32D ．13第Ⅱ卷二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分， 把答案填在答题卷的横线上。

山东省枣庄第八中学2014-2015学年高一上学期第1学段模块检测第Ⅰ卷（36分）一、（24分，每小题3分）1. 下列词语中加点的字，读音全都正确的一项是A 静谧．（mì）卡．脖子（kǎ）风骨遒劲．（jìng）跬．步千里（kuǐ）B 符箓．（lù）涮．羊肉（shuàn）促膝．谈心（qì）中．规中矩（zhòng）C 漂泊．（bó）压轴．戏（zhòu）尘埃．落定（āi）旋用旋买（xuàn）D 慰藉．（jiè）脊．梁骨（jǐ）披发左衽．（rèn）愀．然作色（qiū）2. 下列词语中，没有错别字的一项是A 编辑饿殍消声器销声匿迹光彩熠熠B 暑光装饰四合院相处和洽舳舻千里C 幻象寥廓一支笔真相大白终生伴侣D 草坪震撼绿荫场掎角之势横槊赋诗3. 依次填入下列各句中横线处的词，最恰当的一项是①记忆中的景物是的，需要通过细节把它们描写出来，使读者放佛能够看到。

②从老远就望见每一个城楼，每一个牌楼，在街上还可以看见北山和西山呢！③杰作常不像时髦读物那样适口，杰作需要我们在阅读的时候花气力，下。

A 含糊何况工夫B 模糊况且功夫C 含糊何况功夫D 模糊况且工夫4. 下列各句中，加点的成语使用不恰当的一项是A 富丽堂皇的建筑群、贵族老爷们养尊处优．．．．的生活场所现在已无影无踪，唯独肖邦诞生的这一座简朴的小屋在战火中得以幸存。

B 少数民族文化是丝绸之路经济带的一种后备资源，这种资源取之．．．．，会越用．．，用之不竭．．不尽越好，必须要保护好，利用好。

C 营造良好的政治生态，关键是要激浊扬清．．．．，最大限度地弘扬政治正能量，削减政治负能量，以高效的手段净化政治环境。

D 张家界雾凇美景冰清玉洁，玲珑剔透的冰层包裹着的树枝，放佛海底珊瑚的树叶，形态各异，姿态万千，令游客流连忘返。

5 下列各句中没有语病，表意明确的一项是A 最初，他们把这个世界当成一所幼儿园，后来，幼儿园变成了大公园，变成了一个洲乃至全世界，变成了城市和国家。

2015-2016学年山东省枣庄八中南校区高三（上）1月月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．设全集为R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则A∩（∁R B）=（）A．（﹣2，1）B．[1，2）C．（﹣2，1] D．（1，2）2．下列命题中，假命题是（）A．∀x∈R，3x﹣2＞0 B．∃x0∈R，tanx0=2C．∃x0∈R，log2x0＜2 D．∀x∈N*，（x﹣2）2＞03．已知tanα=2，且α∈（﹣π，0），则sinα﹣cosα的值是（）A．B．﹣C．﹣D．4．直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB的面积为”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件5．已知向量，，其中=（﹣1，），且⊥（﹣3），则在上的投影为（）A．B．﹣C．D．﹣6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．7．函数y=的图象大致为（）A． B．C．D．8．设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为8，则ab的最大值为（）A．1 B．2 C．D．49．已知函数f（x）=sin（x﹣φ），且f（x）dx=0，则函数f（x）的图象的一条对称轴是（）A．x=B．x=C．x=D．x=10．已知函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣k（x+1）有三个零点，则实数k的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（﹣，0）C．（0，）D．（，1）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，E为CC1的中点，那么异面直线OE与AD1所成角的余弦值等于．12．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n=2S n﹣1（n≥2），则a n= ．13．若对任意实数x，不等式|x+3|+|x﹣1|≥a2﹣3a恒成立，则实数a的取值范围为．14．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线分别交于A、B两点，O为坐标原点，若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则该抛物线的标准方程是．15．如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为．三、解答题：本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）若，b=5，求角B、边c的值．17．某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会，拟邀请20名来自本校机械工程学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加，各学院邀请的学生数如下表所示：学院机械工程学院海洋学院医学院经济学院人数 4 6 4 6（Ⅰ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，求这3名学生中任意两个均不属于同一学院的概率；（Ⅱ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，设来自医学院的学生数为ξ，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．18．已知公比为q的等比数列{a n}是递减数列，且满足（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{（2n﹣1）•a n}的前n项和T n．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：AB⊥PD；（Ⅱ）若∠BPC=90°，PB=PC=2，问AB为何值时，四棱锥P﹣ABCD的体积最大？并求此时直线PB与平面PDC所成角的正弦值．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）经过点（0，），离心率为，左、右焦点分别为F1（﹣c，0）与F2（c，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆C与x轴负半轴交点为A，过点M（﹣4，0）作斜率为k（k≠0）的直线l，交椭圆C于B、D两点（B在M、D之间），N为BD中点，并设直线ON的斜率为k1．（i）证明：k•k1为值；（ii）是否存在实数k，使得F1N⊥AD？如果存在，求直线l的方程；如果不存在，请说明理由．21．设a∈R，函数f（x）=ax2﹣（2a+1）x+lnx．（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的极值；（Ⅱ）设g（x）=e x﹣x﹣1，若对于任意的x1∈（0，+∞），x2∈R，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，求实数a的取值范围．2015-2016学年山东省枣庄八中南校区高三（上）1月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．设全集为R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则A∩（∁R B）=（）A．（﹣2，1）B．[1，2）C．（﹣2，1] D．（1，2）【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】分别求出关于A，B的集合，再求出B在R的补集，从而求出则A∩（∁R B）．【解答】解：∵A={x|x（x﹣2）＜0}={x|0＜x＜2}，B={x|y=ln（1﹣x）}={x|1﹣x＞0}={x|x＜1}，∴∁R B={x|x≥1}，∴A∩（∁R B）=[1，2）．故选：B．【点评】本题考查了集合的补集，交集的运算，是一道基础题．2．下列命题中，假命题是（）A．∀x∈R，3x﹣2＞0 B．∃x0∈R，tanx0=2C．∃x0∈R，log2x0＜2 D．∀x∈N*，（x﹣2）2＞0【考点】全称命题；特称命题．【专题】函数的性质及应用；简易逻辑．【分析】根据指数函数，对数函数，正切函数，二次函数的图象和性质，分别判断四个答案的真假，可得答案．【解答】解：由指数函数的值域为（0，+∞）可得：∀x∈R，3x﹣2＞0为真命题；由正切函数的值域为R可得：∃x0∈R，tanx0=2为真命题；由对数函数的值域为R可得：∃x0∈R，log2x0＜2为真命题；当x=2时，（x﹣2）2=0，故∀x∈N*，（x﹣2）2＞0为假命题，故选：D．【点评】本题考查的知识点是全称命题，函数的值域，是函数与命题的综合应用，难度不大，属于基础题．3．已知tanα=2，且α∈（﹣π，0），则sinα﹣cosα的值是（）A．B．﹣C．﹣D．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】三角函数的求值．【分析】由tanα的值，根据α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα与cosα的值，代入原式计算即可得到结果．【解答】解：∵tanα=2＞0，∴α∈（﹣π，﹣），∴cosα=﹣=﹣，sinα=﹣=﹣，则sinα﹣cosα=﹣+=﹣【点评】此题考查了同角三角基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．4．直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB的面积为”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与圆相交的性质．【专题】直线与圆；简易逻辑．【分析】根据直线和圆相交的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：若直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则圆心到直线距离d=，|AB|=2，若k=1，则|AB|=，d=，则△OAB的面积为×=成立，即充分性成立．若△OAB的面积为，则S==×2×==，即k2+1=2|k|，即k2﹣2|k|+1=0，则（|k|﹣1）2=0，即|k|=1，解得k=±1，则k=1不成立，即必要性不成立．故“k=1”是“△OAB的面积为”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角形的面积公式，以及半径半弦之间的关系是解决本题的关键．5．已知向量，，其中=（﹣1，），且⊥（﹣3），则在上的投影为（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】利用在上的投影为即可得出．【解答】解：由已知， =（﹣1，），且⊥（﹣3），==4﹣3，，所以在上的投影为；故选C．【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量的投影，属于基础题．6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由三视图知几何体为四棱锥，且四棱锥的左边侧面与底面垂直，四棱锥的底面是边长为2的正方形，画出其直观图如图，由侧视图等腰三角形的腰长为，求得棱锥的高，把数据代入棱锥的体积公式计算．【解答】解：由三视图知几何体为四棱锥，四棱锥的左边侧面与底面垂直，其直观图如图：且四棱锥的底面是边长为2的正方形，由侧视图等腰三角形的腰长为，得棱锥的高为=2，∴几何体的体积V=×22×2=．故选B．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及求相关几何量的数据．7．函数y=的图象大致为（）A． B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】现根据函数的奇偶性排除A，再根据函数值y的情况排除B，再利用极限的思想排除C，问题得以解决【解答】解：∵f（﹣x）==﹣=f（x），∴函数f（x）为奇函数，故排除A，当x＞0时，3x＞3﹣x，当x＜0时，3x＜3﹣x，当2kπ＜3x＜2kπ+，即＜x＜+时，cos3x＞0，故y＞0，故排除B，因为=0，故排除C，故选：D【点评】本题考查了函数的图象的识别，函数的奇偶性，函数值，极限是常用的方法，属于中档题8．设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为8，则ab的最大值为（）A．1 B．2 C．D．4【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得到3a+14b=20，然后利用基本不等式求得ab的最大值．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得B（）．化z=ax+by为，由图可知，当直线过B时，直线在y轴上的截距最大，z最大．此时z=，即3a+14b=20．∵a＞0，b＞0，∴，即．∴ab的最大值为．故选：C．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．9．已知函数f（x）=sin（x﹣φ），且f（x）dx=0，则函数f（x）的图象的一条对称轴是（）A．x=B．x=C．x=D．x=【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；定积分．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由f（x）dx=0求得cos（φ+）=0，故有φ+=kπ+，k∈z．可取φ=，则f（x）=sin（x﹣）．令x﹣=kπ+，求得x的值，可得函数f（x）的图象的一条对称轴方程．【解答】解：∵函数f（x）=sin（x﹣φ），f（x）dx=﹣cos（x﹣φ）=﹣cos（﹣φ）﹣[﹣cos（﹣φ）]=cosφ﹣sinφ=cos（φ+）=0，∴φ+=kπ+，k∈z，即φ=kπ+，k∈z，故可取φ=，f（x）=sin（x﹣）．令x﹣=kπ+，求得x=kπ+，k∈Z，则函数f（x）的图象的一条对称轴为 x=，故选：A．【点评】本题主要考查定积分，函数y=Asin（ωx+φ）的图象的对称性，两角和差的三角公式的应用，属于中档题．10．已知函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣k（x+1）有三个零点，则实数k的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（﹣，0）C．（0，）D．（，1）【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用．【分析】函数y=f（x）﹣k（x+1）有三个零点可化为f（x）﹣k（x+1）=0有三个不同的解；易知x=﹣1不是方程的解，故可化为k=；从而作图求解．【解答】解：函数y=f（x）﹣k（x+1）有三个零点可化为f（x）﹣k（x+1）=0有三个不同的解；易知x=﹣1不是方程的解，故可化为k=；作y=的图象如下，由图象结合选项可知，实数k的取值范围是（0，）；故选C．【点评】本题考查了函数的性质与图象的应用，同时考查了数形结合的思想应用，属于基础题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，E为CC1的中点，那么异面直线OE与AD1所成角的余弦值等于．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】空间角．【分析】首先通过做平行线把异面直线的夹角转化为共面直线的夹角，进一步利用解直角三角形知识求得结果．【解答】解：取BC的中点F，连接EF，OF由于O为底面ABCD的中心，E为CC1的中点，所以：EF∥BC1∥AD1所以：异面直线OE与AD1所成角，即OE与EF所成的角．平面ABCD⊥平面BCC1B1OF⊥BC所以：OF⊥平面BCC1B1EF⊂平面BCC1B1所以：EF⊥OFcos故答案为：【点评】本题考查的知识要点：异面直线所成的角的应用，线面垂直与面面垂直及线线垂直之间的转化，属于基础题型．12．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n=2S n﹣1（n≥2），则a n= ．【考点】数列递推式．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】利用n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，确定数列{S n}是以1为首项，3为公比的等比数列，从而可得结论．【解答】解：n≥2时，∵a n=2S n﹣1，∴S n﹣S n﹣1=2S n﹣1，∴S n=3S n﹣1，∵a1=1，∴S1=1∴数列{S n}是以1为首项，3为公比的等比数列∴S n=3n﹣1，∴n≥2时，a n=2S n﹣1=2•3n﹣2，又a1=1，∴a n=故答案为：【点评】本题考查数列递推式，考查等比数列的判定，考查数列的通项，确定数列{S n}是以1为首项，3为公比的等比数列是解题的关键．13．若对任意实数x，不等式|x+3|+|x﹣1|≥a2﹣3a恒成立，则实数a的取值范围为[﹣1，4] ．【考点】函数恒成立问题．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由绝对值的集合意义求得|x+3|+|x﹣1|的最小值，把不等式|x+3|+|x﹣1|≥a2﹣3a 恒成立转化为a2﹣3a≤4，求解该不等式得答案．【解答】解：由绝对值的几何意义知，|x+3|+|x﹣1|表示数轴上的动点x与两定点﹣3，1的距离，则|x+3|+|x﹣1|的最小值为4，要使不等式|x+3|+|x﹣1|≥a2﹣3a恒成立，则a2﹣3a≤4，即a2﹣3a﹣4≤0，解得：﹣1≤a≤4．∴满足对任意实数x，不等式|x+3|+|x﹣1|≥a2﹣3a恒成立的实数a的取值范围为[﹣1，4]．故答案为：[﹣1，4]．【点评】本题考查了函数恒成立问题，考查了绝对值的几何意义，考查了数学转化思想方法，是中档题．14．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线分别交于A、B两点，O为坐标原点，若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则该抛物线的标准方程是y2=4x ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】把x=﹣代入，解得y，可得|AB|=，利用△AOB的面积为，可得=，再利用=2，解得．即可得出p．【解答】解：把x=﹣代入，解得y=±．∴|AB|=，∵△AOB的面积为，∴=，由=2，解得=．∴，解得p=2．∴该抛物线的标准方程是y2=4x．故答案为：y2=4x．【点评】本题考查了双曲线与抛物线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为．【考点】余弦定理．【专题】综合题．【分析】先根据余弦定理求出∠ADC的值，即可得到∠ADB的值，最后根据正弦定理可得答案．【解答】解：在△ADC中，AD=5，AC=7，DC=3，由余弦定理得cos∠ADC==﹣，∴∠ADC=120°，∠ADB=60°在△ABD中，AD=5，∠B=45°，∠ADB=60°，由正弦定理得，∴AB=故答案为：．【点评】本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，在解决问题的过程中要灵活运用正弦定理和余弦定理．属基础题．三、解答题：本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）若，b=5，求角B、边c的值．【考点】余弦定理；两角和与差的正弦函数；正弦定理．【专题】计算题；解三角形．【分析】（I）利用三角函数的降幂公式和诱导公式，化简题中等式得，再利用两角和的正弦公式得，即得cosA的值；（II）由同角三角函数关系算出，再根据正弦定理得出，结合题意算出．最后根据余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA的式子加以计算，即可得到边c的值．【解答】解：（I）由，得，…（3分）即，可得，即．…（6分）（II）由，得，根据正弦定理，得．由题意a＞b，则A＞B，故．…（9分）再由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，得，解之得c=1（c=﹣7舍去）．…（12分）【点评】本题着重考查了三角函数恒等变换公式、正弦定理、余弦定理和三角形大角对大边等知识，属于中档题．17．某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会，拟邀请20名来自本校机械工程学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加，各学院邀请的学生数如下表所示：学院机械工程学院海洋学院医学院经济学院人数 4 6 4 6（Ⅰ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，求这3名学生中任意两个均不属于同一学院的概率；（Ⅱ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，设来自医学院的学生数为ξ，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量及其分布列；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量的期望与方差．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）从20名学生随机选出3名的方法数为，选出3人中任意两个均不属于同一学院的方法数为，由此利用等可能事件概率计算公式能求出这3名学生中任意两个均不属于同一学院的概率．（Ⅱ）ξ可能的取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的概率分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）从20名学生随机选出3名的方法数为，选出3人中任意两个均不属于同一学院的方法数为：所以（Ⅱ）ξ可能的取值为0，1，2，3，，所以ξ的分布列为0 1 2 3P所以【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要注意排列组合知识的合理运用．18．已知公比为q的等比数列{a n}是递减数列，且满足（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{（2n﹣1）•a n}的前n项和T n．【考点】数列的求和．【专题】综合题；等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）由a1a2a3=及等比数列性质得=，可求得a2=，根据等比数列的通项公式求出数列的首项和公比，然后求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）利用错位相减法可求数列{（2n﹣1）•a n}的前n项和为T n；【解答】解：由a1a2a3=，及等比数列性质得=，解得a2=，由a1+a2+a3=得a1+a3=由以上得，∴=，即3q2﹣10q+3=0，解得q=3，或q=．∵{a n}是递减数列，故q=3舍去，∴q=，由a2=，得a1=1．故数列{a n}的通项公式为a n=（n∈N*）．（II）由（I）知（2n﹣1）•a n=，∴T n=1+++…+①，T n=+++…++②．①﹣②得： T n=1++++…+﹣=1+2（+++…+）﹣=1+2•﹣=2﹣﹣，∴T n=3﹣．【点评】本题主要考查等比数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，考查学生的运算求解能力，属中档题．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：AB⊥PD；（Ⅱ）若∠BPC=90°，PB=PC=2，问AB为何值时，四棱锥P﹣ABCD的体积最大？并求此时直线PB与平面PDC所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出AB⊥平面PAD，由此能证明AB⊥PD．（Ⅱ）取线段AD的中点O，连结PO，则PO⊥平面ABCD，取BC中点M，连结OM，则OM⊥AD，设AB=x，则V P﹣ABCD===，当且仅当x2=1，即x=1时，四棱锥P﹣ABCD的体积最大，此时以O为原点，OA为x轴，OP为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线PB与平面PDC所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，∴AB⊥PD．（Ⅱ）解：由题意得AB⊥平面PAD，DC⊥平面PAD，∴在Rt△PAB与Rt△PDC中，PB=PC=2，AB=DC，∴PA=PD，∴△PAD为等腰三角形，取线段AD的中点O，连结PO，则PO⊥平面ABCD，取BC中点M，连结OM，则OM⊥AD，设AB=x，则OM=AB=x，在△BPC中，∠BPC=90°，PB=PC=2，∴BC=2，PM=，∴在Rt△POM中，PO=，∴V P﹣ABCD====，当且仅当x2=1，即x=1时，四棱锥P﹣ABCD的体积最大，此时以O为原点，OA为x轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，则O（0，0，0），B（），C（﹣，1，0），D（﹣，0，0），P（0，0，1），∴， =（0，﹣1，0），设平面PDC的一个法向量=（x，y，z），由，令x=1，解得=（1，0，﹣），又=（），设直线PB与平面PDC所成角为θ，sinθ=|cos＜＞|=||=．∴直线PB与平面PDC所成角的正弦值为．【点评】本题考查异面向量垂直的证明，考查四面体体积最大时线段长的求法，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）经过点（0，），离心率为，左、右焦点分别为F1（﹣c，0）与F2（c，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆C与x轴负半轴交点为A，过点M（﹣4，0）作斜率为k（k≠0）的直线l，交椭圆C于B、D两点（B在M、D之间），N为BD中点，并设直线ON的斜率为k1．（i）证明：k•k1为值；（ii）是否存在实数k，使得F1N⊥AD？如果存在，求直线l的方程；如果不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（I）由椭圆经过点（0，），离心率为，可得，解得即可．（II）（i）设B（x1，y1），D（x2，y2），线段BD的中点N（x0，y0）．由题意可得直线l的方程为：y=k（x+4），与椭圆方程联立化为（3+4k2）x2+k2x+64k2﹣12=0，由△＞0，可得，且k≠0．利用根与系数的关系、中点坐标公式可得=，即可证明．（ii）假设存在实数k，使得F1N⊥AD，则=﹣1，利用斜率计算公式可得x2=﹣8k2﹣2＜﹣2，与x2≥﹣2矛盾．【解答】解：（I）∵椭圆经过点（0，），离心率为，∴，解得a=2，c=1，b=．∴椭圆C的方程为．（II）（i）证明：设B（x1，y1），D（x2，y2），线段BD的中点N（x0，y0）．由题意可得直线l的方程为：y=k（x+4），联立，化为（3+4k2）x2+k2x+64k2﹣12=0，由△＞0，可得，且k≠0．∴x1+x2=，．∴=，y0=k（x0+4）=，∴=，即k1•k=﹣为定值．（ii）假设存在实数k，使得F 1N⊥AD，则=﹣1，∵===，k AD==，∴=﹣1，化为x2=﹣8k2﹣2＜﹣2，与x2≥﹣2矛盾，∴直线l不存在．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、斜率计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．设a∈R，函数f（x）=ax2﹣（2a+1）x+lnx．（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的极值；（Ⅱ）设g（x）=e x﹣x﹣1，若对于任意的x1∈（0，+∞），x2∈R，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）当a=1时，函数f（x）=x2﹣3x+lnx，．令f'（x）=0得：．列出表格即可得出函数的单调性极值；（II）对于任意的x1∈（0，+∞），x2∈R，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，则有f（x）max≤g （x）min．利用导数分别在定义域内研究其单调性极值与最值即可．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，函数f（x）=x2﹣3x+lnx，．令f'（x）=0得：当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：x 1 （1，+∞）f'（x）+ 0 ﹣0 +f（x）单调递增极大单调递减极小单调递增因此，当时，f（x）有极大值，且；当x=1时，f（x）有极小值，且f（x）极小值=﹣2．（Ⅱ）由g（x）=e x﹣x﹣1，则g'（x）=e x﹣1，令g'（x）＞0，解得x＞0；令g'（x）＜0，解得x＜0．∴g（x）在（﹣∞，0）是减函数，在（0，+∞）是增函数，即g（x）最小值=g（0）=0．对于任意的x1∈（0，+∞），x2∈R，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，则有f（x1）≤g（0）即可．即不等式f（x）≤0对于任意的x∈（0，+∞）恒成立．（1）当a=0时，，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1；令f'（x）＜0，解得x＞1．∴f（x）在（0，1）是增函数，在（1，+∞）是减函数，∴f（x）最大值=f（1）=﹣1＜0，∴a=0符合题意．（2）当a＜0时，，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1；令f'（x）＜0，解得x＞1．∴f（x）在（0，1）是增函数，在（1，+∞）是减函数，∴f（x）最大值=f（1）=﹣a﹣1≤0，得﹣1≤a＜0，∴﹣1≤a＜0符合题意．（3）当a＞0时，，f'（x）=0得，时，0＜x1＜1，令f'（x）＞0，解得或x＞1；令f'（x）＜0，解得．∴f（x）在（1，+∞）是增函数，而当x→+∞时，f（x）→+∞，这与对于任意的x∈（0，+∞）时f（x）≤0矛盾．同理时也不成立．综上所述：a的取值范围为[﹣1，0]．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了分类讨论的思想方法，考察了推理能力和计算能力，属于难题．。