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勾股定理专题讲座：最短路径问题(课堂PPT)

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人教部初二八年级数学下册 运用勾股定理解决最短路径问题 名师教学PPT课件

人教部初二八年级数学下册 运用勾股定理解决最短路径问题 名师教学PPT课件
涉及知识：“两点之间线段最短”， “垂线 段最短”“三角形三边关系”“轴对称”等
解题思路：按对称点实现“折”转“直”
例1 如图所示，在Rt△ABC中， ∠ACB= 90°，AC=BC=2，D是 BC边上的中点.若E是AB边上一 动点，求EC+ED的最小值.
A E
C
DB
例1 如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB= 90°，AC=BC=2， D是BC边上的中点.若E是AB边上一动点，求EC+ED的最 小值.
所以∠CBF= ∠C'BF. 又∠CAB=∠CBA=45°
所以∠CBC'= 90°. 在Rt△BC'D中，∠DBC'=90°
5 所以C'D= BD2 C' B2 = 12 22 =
A
C'
所以CE+DE=C'E+DE=C'D=. 5
故EC+ED的最小值为 5
F E
C
D
B
初中数学 八年级第二学期
Hale Waihona Puke 最短路径问题的应用之 用勾股定理求两线段和的最小值
新疆和硕县第一中学 刘杨
学习目标: 用勾股定理求两线段和的最小值 （确定起点终点的最短路径问题）
问题概述：最短路径问题是图论研究中的一个 经典算法问题，旨在寻找图(由结点和路径组 成的)中两结点之间的最短路径算法 问题原型：“将军饮马”，
解答:先作出点C关于AB所在直线的对称点C'
连接CC'，交AB于点F，连接C'D,交AB于点E，
连接CE,BC'，
A
C'
如图所示，由对称性可知AB所在直线垂 直平分CC'

勾股定理—最短路径和折叠问题问题 课件

勾股定理—最短路径和折叠问题问题 课件

B
A O'
A O'
二、解决问题
方案1： OB
O B
方案2： OB
O B
A O'
A O'
A A O'
A O'
A
方案3： OBLeabharlann O B方案4： OB
O B
A O'
A
A A O'
A
A
O'
O'
二、解决问题
• 问题1. 有一个圆柱,它的高等于12厘米,底面半径等
于3厘米,在圆柱下底面上的A点有一只蚂蚁,它想从点
B C
A
C
2
B
1
A
分析： 由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的， 故需把正方体展开成平面图形（如图）.
四、长方体中的最值问题
例4、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A
出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三 条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短
路线长为多少？
D1 A1 D
A
4
C1
B1
1 C
2 B
分析: 根据题意分析蚂蚁爬行的路 线有三种情况(如图①②③ ),由勾股 定理可求得图1中AC1爬行的路线最 短.
A
6
6E x
4
x 8-x C
Ｄ D
第8题图
B
练习:三角形ABC是等腰三角形
AB=AC=13，BC=10，将AB向AC方向
对折，再将CD折叠到CA边上，折痕为
CE，求三角形ACE的面积
A
A
A
12-x 8
12
13
x E x
D1 5
B D C D5 C D5 C

用勾股定理求几何体中的最短路线长课件

用勾股定理求几何体中的最短路线长课件

问题描述
问题定义
给定一个几何体，如长方体、球体等，求从一个顶点到另一个顶点的最短路线长 度。
问题分析
最短路线问题可以通过几何学中的勾股定理进行求解。勾股定理是直角三角形中 ，直角边的平方和等于斜边的平方。在三维空间中，可以利用勾股定理找到最短 路径。
02
勾股定理简介
勾股定理的定义
勾股定理：在直角三角形中，直角边 的平方和等于斜边的平方。即，如果 直角三角形的两条直角边长度分别为 a和b，斜边长度为c，则有a^2 + b^2 = c^2。
用勾股定理求几何体中的 最短路线长ppt课件
• 引言 • 勾股定理简介 • 几何体的最短路线问题 • 用勾股定理求解最短路线长 • 结论
01
引言
目的和背景
目的
介绍如何使用勾股定理在几何体中寻找最短路线长度。
背景
几何体中的最短路线问题在实际生活中有着广泛的应用，如建筑、工程、机器 人等领域。通过解决这类问题，可以优化设计、提高效率、降低成本等。
THANKS
感谢观看
勾股定理的证明方法
勾股定理的证明方法有多种，其中比较常见的是欧几里得证 明法。该证明方法利用了相似三角形的性质和边长之间的关 系，通过一系列的推导和证明，最终证明了勾股定理。
除了欧几里得证明法外，还有其他的证明方法，如利用代数 方法和微积分方法等。这些证明方法虽然不同，但都能够证 明勾股定理的正确性。
的性质和勾股定理得出的结论。
空间几何体中的最短路线问题
1 2 3
球面几何中的大圆弧最短
在球面几何中，两点之间的大圆弧是最短的路径 。大圆弧是指经过球心并与球面相切的圆弧。
圆柱体或圆锥体中的母线最短
在圆柱体或圆锥体中，从顶点到底面的母线是最 短的路径。母线是与底面平行的线段，也是旋转 轴。

《勾股定理的应用-最短路径问题》课件

《勾股定理的应用-最短路径问题》课件
举一反三
解：经分析，有三种路径均最短。如图所示在Rt△AOB中，AB²=2²+1²=5答：最短路程为cm.
1、若蚂蚁是沿一个长、宽、高分别为5、3、4的长方体的顶点A外表面爬到顶点B呢？爬行路径唯一吗？最短路径是多长？
拓展思考
拓展思考
2、若已知无盖圆柱体高为12 cm，底面半径为3cm，π取3，圆柱下底面点A一只蚂蚁绕圆柱侧面2圈爬到点B处，问蚂蚁爬行的最短路程是多少？
2、已知无盖圆柱体高为12cm，底面周长为12cm，圆柱下底面点A有一只蚂蚁，它想吃点A对面圆柱外侧点B处的食物，蚂蚁爬行的最短路程是多少？
6
A
A`
B
小试牛刀
解：如图，在圆柱的侧面展开图中AA`=6，A`B=12-4=8∴在RT△AA`B中AB²=6²+8²∴AB=10答：最短路程为10cm.
3、若已知无盖圆柱体高为12cm，底面周长为20cm，圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到与点A相对的圆柱内壁点B处的食物，蚂蚁爬行的最短路程是多少？
第一章 勾股定理
3. 勾股定理的应用
--最短路径问题
两点之间,线段最短．
1、在一个平面内，如果一只蚂蚁要从A点爬到B点，怎么爬路径最短？
情境引入
A
B

2、在一个无盖圆柱下底面的点A有一只蚂蚁,它想吃到与点A相对的点B处的食物，蚂蚁怎么爬路程最短？
情境引入

合作探究
1、小组讨论
小组为单位讨论蚂蚁爬行最短路线。并在本组的圆柱上用不同颜色的彩色笔画出蚂蚁爬行的路径。时间：两分钟
∴AB²=___________
πr
合作探究
1、已知无盖圆柱体高为12cm，底面半径为3cm，π取3，圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到与点A相对的点B处的食物，蚂蚁爬行的最短路程是多少？

勾股定理专题讲座：最短路径问题-PPT

勾股定理专题讲座：最短路径问题-PPT
B
A
8
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
9
（变式2）如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面 圆的直径，高BC=6cm，点P是母线BC上一点，且
PC=
2 3
BC．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表
面爬行到点P的最短距离是（ ）、5cm
C、 3 5 ㎝
D、7cm
10
C
10cm
A 8cm D 6cmB 3
在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶 上铺地毯，则地毯的长度至少要( )
A 4米 C 6米
B 5米 D 7米
5米
3米
4
1.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽
和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台
阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到
B点去吃可口的食物。请你想一想，这只蚂蚁从
A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多
少？
A•
A • 5cm
3cm
1cm 12
•B
•
C
5
B
5
2.有一个圆柱,它的高
等于12厘米,底面半径 等于3厘米,在圆柱下底 面上的A点有一只蚂蚁 ,它想从点A爬到点B , 蚂蚁沿着圆柱侧面爬
行的最短路程是多少?
(π的值取3)
B
A
我该怎么走 最近呢?
6
B
9cm C
专题讲座：最短路径问题
1
1.有一圆柱状的透明玻璃杯，由内部 测得其底部半径为3㎝，高为8㎝，今有 一支12㎝长的吸管随意放在杯中,若不考 虑吸管的粗细,则吸管露出杯口外的长度 至少为 cm。
D
B
8cm
6cm

勾股定理求最短路径省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

勾股定理求最短路径省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

20
15
10
E C5 B
20
E
5 B C
20
A 10
1
A 10 F
15
A
5
B
5
20
E 10 C
5
B C
20
A 10 F
轴对称中旳最短途径问题
如图，一条河同一侧旳两村庄A、B，其中A、B 到河岸最短距离分别为AC=1km，BD=2km， CD=4km，现欲在河岸上建一种水泵站向A、B
两村送水，当建在河岸上何处时，使到A、B两 村铺设水管总长度最短，并求出最短距离。
B
A 5
2
1
P
D
C1
4
1
E
A′
4
检测题一：如图，一只蚂蚁沿边长为 a旳正方体表面从顶点A爬到顶点B，
则它走过旳旅程最短为（ ）
❖
检测题三、如图所示，一圆柱高8cm， 底面半径2cm，一只蚂蚁从点A沿表 面爬到点B处吃食，要爬行旳最短旅
程（π取3）是（ ）
10
如图是一种长4m，宽3m，高2m旳有盖仓库， 在其内壁旳A处（长旳四等分）有一只壁虎， B处（宽旳三等分）有一只蚊子，则壁虎爬 到蚊子处最短距离为（ ）
形，再利用“两点之间线段最 短”，或点到直线“垂线段最短” 等性质来处理问题。
一、台阶中旳最值问题
A
a
cb
Ａ
a
Ｃ
b
B
c
b c
b
AB= （nb nc）2 a 2
c
Ｂ
三、长方体中旳最值问题
左面和上面
前面和右面
前面和上面
四、圆柱(锥)中旳最值问题
底面圆周长旳
B

勾股定理专题讲座：最短路径问题PPT


……
D
B'
A'
16
A
B
上的点，且A、B在同一母线上，用一
棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B，求
棉线最短为
cm.
B
B
9
A
A
12
10
4.如图，在棱长为1的正方形ABCDA’B’C’D’的表面上，求出从顶点A到 顶点C’的最短距离.
D’ B’ C’
A’
B’
C’
A’
D
C
A
B
A
B
C
11
5、如图，长方体的底面边长分别为2cm
和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始
（1）当沿着A1B1棱爬行时，如 图：
D1
C1 1
A1
B1
2
A
4
B
（2）当沿着BB1棱爬行时，
如图：
A1
B1
C1
（3）当沿着A1D1棱爬行时，
如图：
D
D1
C1
1
2
A
4
B 2C
A 1 A1
4
B1
14
实际问题
抽象
数学问题
解决
利用勾 股定理归类源自已知两边求第三边已知一边设未 知数列方程
直角三角 形的问题
15
专题讲座：最短路径问题
1
1.有一圆柱状的透明玻璃杯，由内部 测得其底部半径为3㎝，高为8㎝，今有 一支12㎝长的吸管随意放在杯中,若不考 虑吸管的粗细,则吸管露出杯口外的长度 至少为 cm。
D
B
8cm
6cm
A
C
2
2.如图，将一根25㎝长的细木棒放入 长、宽、高分别为8㎝、6㎝和10㎝的长 方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面 的最短长度是多少㎝．(保留1位小数)

勾股定理求最短路径问题课件


圆柱(锥)中的最值问题
有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只 老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处 吃食物，它爬行的最短路线长为多少？
B
C
B
A
A
分析：由于老鼠是沿着圆柱的
表面爬行的，故需把圆柱展开 成平面图形.根据两点之间线段 最短，可以发现A、B分别在 圆柱侧面展开图的宽1m处和长 24m的中点处，即AB长为最短 路线.(如图)
A
4
分析: 根据题意分析蚂蚁爬行的路
C1 线有三种情况(如图①②③ ),由勾股
B1
1 C
定理可求得图1中AC1爬行的路线最
2 B
短.
D D1
C1
D1
①
D
C1
A1
1
②
B1
C1
1
③
2
C
2
A
4
B2 C
A 1 A1
4
B1
A
4
B
AC1 =√42+32 =√25 ;
AC1 =√62+12 =√37 ; AC1 =√52+22 =√29 .
三、长方体中的最值问题
左面和上面
前面和右面
前面和上面
四、圆柱(锥)中的最值问题
底面圆周长的
B
C 一半
B
h
A
结论：圆柱体中的最短路径为展 开图中一半矩形的对角线长
小 结： 把几何体适当展开成平面图
形，再利用“两点之间线段最 短”，或点到直线“垂线段最短” 等性质来解决问题。
一、台阶中的最值问题
A
a
cb
Ａ
a
Ｃ
b
B
c
b c
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C
10cm
A 8cm D 6cmB 3
在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶 上铺地毯，则地毯的长度至少要( )
A 4米 C 6米
B 5米 D 7米
5米
3米
4
1.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽
和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台
阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到
B点去吃可口的食物。请你想一想，这只蚂蚁从
A’
B’
C’
A’
D
C
A
B
A
B
C
11
5、如图，长方体的底面边长分别为2cm
和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开
始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂
蚁爬行的最短路径长为
．
Q
5cm
P 2cm 4cm 2cm 4cm
12
6、长方体的长为4cm,宽为2cm，高 为1cm的长方体，蚂蚁从A到B沿着 表面需要爬行的最短路程又是多少呢？
点，且PC= 2 BC．一只蚂蚁从A点出发沿着圆 3
柱体的表面爬行到点P的最短距离是（ ）
A、( 4 6 ) ㎝

B、5cm
C、3
5㎝
D、7cm
8
（变式2）如图所示，有一个高为12cm，底 面半径为3cm的圆柱形的杯子，在杯子下底 面的外壁A点有一只蚂蚁，它想吃到杯子内 壁下底面上与A点相对的B点处的食物，问 这只蚂蚁沿着侧面需要爬行的最短路程为 多少厘米？(的值取3)
B
A
13
提示：蚂蚁由A爬到B过程中最短的路径有
多少种？
B
(1)经过前面和上底面;
2
(2)经过前面和右侧面;
1
A
4
C
(3)经过左侧面和上底面.
B
B
A
4
1 2C
B 2
A
A1
4
C
14
归纳总结
怎样才能在最短的时间内，找到 提示：
长方体；比表较 面a上2+（两b+c点）2、之b间2+（的a+c最） 2、 短c路2+（线a+b？） 2
A
B 9
3、如图，圆柱底面半径为2cm,高为 ， A、9B c分m别是圆柱底面圆周上的点，且 A、B在同一母线上，用一棉线从A顺 着圆柱侧面绕3圈到B，求棉线最短为
cm.
B
B
9
A
A
12
10
4.如图，在棱长为1的正方形ABCDA’B’C’D’的表面上，求出从顶点A到顶 点C’的最短距离.
D’ B’ C’
B
高
12cm
A
A 长18cm (π的值取3)
解:将圆柱如图侧面展开.在
Rt△ABC中,根据勾股定理
∵ AB2=92+122=81+144=225= 152 ∴ AB=15(cm)
答:蚂蚁爬行的最短路程是15厘米.
7
（变式1）如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是 底面圆的直径，高BC=6cm，点P是母线BC上一
A
B
A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多
少？
A•
A • 5cm
3cm
1cm 12
•B
C
•
5
B
5
2.有一个圆柱,它的高
等于12厘米,底面半径 等于3厘米,在圆柱下底 面上的A点有一只蚂蚁, 它想从点A爬到点B , 蚂蚁沿着圆柱侧面爬
行的最短路程是多少?
(π的值取3)
B
A
我该怎么走 最近呢?
6
B
9cm C
专题：最短路径问题
--勾股定理的应用
1
1.有一圆柱状的透明玻璃杯，由内部 测得其底部半径为3㎝，高为8㎝，今有 一支12㎝长的吸管随意放在杯中,若不考 虑吸管的粗细,则吸管露出杯口外的长度 至少为 cm。
D
B
8cm
6cm
A
C
2
（变式）.如图，将一根25㎝长的细木 棒放入长、宽、高分别为8㎝、6㎝和10 ㎝的长方体无盖盒子中，则细木棒露在 盒外面的最短长度是多少㎝．(保留1位 小数)
的大小
即比较ab、bc、ac的大小。
问题拓展：
设长方体的长、宽、高分别为a、 b、c，且a＞b＞c，则小蚂蚁从A爬到 B的最短路径是 a2 (bc)2
15
方法指导：
立体图形上两点间的最短问题一般都 是通过把立体图形的表面展开成平面 图形，再利用“两点间距离最短”的 方法解决。
16
……
D
B'
A'
17