18.1.1探索勾股定理 说课获奖课件

∵ x2=62+82 ∴ x2 =36+64 ∴ x2 =100 又∵ x > 0 ∴ x=10
勾股定理的应用广泛，下面我们用它来探究下面的问题：
3、一个门框的尺寸如图18.1-4所示，一块长3米， 宽2.2米的薄木板能否从门框内通过？为什么？
2 1.414; 3 1.732; 5 2.236
新人教版数学八年级下册
第十八章 勾股定理 18.1 勾股定理(一）
教学目标 【知识技能】教 学 目 标
1、了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程; 2、运用勾股定理进行简单的计算; 3、运用勾股定理解释生活中的实际问题.
【数学思考】
1、在勾股定理的探索过程中，发展推理能力，体会数形结合的思想; 2、通过从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，初步掌握转
C的面积 2 34
ac
b 直角三角形三
边的关系
如果直角三角形两直角边分别 为a，b，斜边为c
a2 b2 c2
其实早在2500年前古希腊的数学 家毕达哥拉斯，就已经发现了直角 三角形三边的这种数量关系。
而在公元前1100年的西周时期，我国的商周就已 经发现了，比毕达哥拉斯要早500多年。
如果直角三角形两直角边分别为
化和数形结合的思想方法．
【解决问题】
1．通过拼图活动，体验数学思维的严谨性，发展形象思维; 2．在探究活动中，学会合作并能与他人交流思维的过程和探究结果;
3、能运用勾股定理解决直角三角形相关的问题．
观察天花板，看看天花板有什么基本图形？
图18.1-1
探究2、填空（图中每个小方格代表一个单位面积）
a，b，斜边为c，那么
cb
a2 + b2 = c2

2
2ab+（b² -2ab+a² ）=c² ∴a² =c² +b²
尝试应用
2、一个门框尺寸如图18.1-2所示，一块长3m，宽2.2m的 薄木板能否从门框内通过？为什么？ 在RtΔABC中，根据勾股定理： AC ＝AB +BC ＝1 +2 ＝5 所以，AC＝ 5 ≈2.236 而AC大于木板的宽，所以木板能从门 框内通过。
第十八章
勾股定理
18.1
勾股定理
第1课时
学习目标
1.掌握勾股定理的推导过程 2.会运用勾股定理解简单类型
的题
自学指导
请同学们认真看课本 64至67页内容，边看 书边理解，并思考下列问题： 1.勾股定理是怎样推出来的？ 2.看懂66页例题 8分钟后，我们看谁回答的最精彩

情境引入
相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家 里做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直 角三角形三边的某种数量关系．注意观察，你能有
什么发现？
毕达哥拉斯(公元前572----前492年), 古希腊著名的哲学家、数学家、天 文学家。
情境引入
换成下图你有什发现？说出你的观点.
等腰直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和.
课中探究
其它直角三角形是否也存在这种关系？ 观察下边两个图并填写下表:
A的面
25
图1-3
4
9
13
结论：如果直角三角形的两直角边长分别为a、b,斜边长为c，
那么 a 2 b2 c 2
当堂检测
1、根据图18.1-1你能写出勾股定理的证明过程吗？
c a
b
∵ 1 ab×4+(b-a)² =c²
2 2 2 2 2

教学方法、教学手段的选择

数学是一门培养人的思维，发展人的思维的重 要学科，因此在教学中，不仅要使学生“知其 然”，而且还要使学生“知其所以然”。针对 八年级学生的认知结构和心理特征，本节课选 择“引导探索法”，由浅到深，由特殊到一般 的提出问题,引导学生自主探索，合作交流， 这种教学理念紧随新课改理念，也反映了时代 精神。基本的教学程序是“提出问题-实验操 作 -归纳验证-问题解决-课堂小结-布置作业” 六个方面。
学法指导
新课标明确提出要培养“可持续发展的
学生”，因此教师要有组织、有目的、 有针对性的引导学生并参入到学习活动 中，鼓励学生采用自主探索，合作交流 的研讨式学习方式，培养学生“动手”、 “动脑”、“动口”的习惯与能力，使 学生真正成为学习的主人。
教学程序设计
教学流程图
创 设 情 境 探 索 新 知 实 验 操 作 获 取 新 知 归 纳 验 证 完 善 新 知 问 题 解 决 应 用 新 知 课 堂 小 结 巩 固 新 知
2、再问：
当边长不为整数的直角三角形是否也存在这一结论 呢？投影例题：一个边长分别为1.5，3.6，3.9这种含有 小数的直角三角形，让学生计算。
3.6
3.9
1.5
归纳验证
对于定理的证明，是本堂课的难点，所以我采取 四人小组进行分组讨论，让学生尝试解决。学生讨论 时，我进行巡回指导。如果有些学生感到困难，可以 进行适当点拨, 在这一环节中，学生充分讨论，各抒己 见，充分暴露其思维过程。通过学生的互相讨论，激 发学生的思维活动，可以发现一些解题的方法。 学生代表上台展示拼图结果,对学生的不同解法用 实物投影仪展示出来，选一种方法用电脑显示详细解 题过程.
10分钟
5、课堂小结

证法2：毕达哥拉斯证法
填空也：可大以正表方示形为的面积c可2 以 表4示12为ab(a+b)2
；
c a
b
因为（a+b)2 c2 4 1 ab 2
a2 2ab b2 c2 2ab
c a
b
c a
b
所以a2 b2 c2
c a
b
证法3：加菲尔德法
c a
b
c a
b
四、应用与拓展
C
三者之间有什么关系？
A ac
数学式子：a2+b2=c2
文字表述：直角三角形两 直角边的平方和等于斜边
b B
图1-1
的平方
勾股定理 如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜长为c，那么a2+b2=c2 。
勾股定理的验证（面积法）
如图：在Rt△ABC中，两条直角边长分别为a，b， 斜边长为c，利用面积法通过拼图验证勾股定理。
AB 10(cm2 )
（3）
S△ABC=
1 2
AC BC

1 2
AB CD
AB CD AC BC
10CD 68
CD 4.8(cm)
答：（1）△ABC的面积为24cm2；（2）斜长AB的长为 10cm；（3）CD的长为2.4cm。
五、探究
一个门框的尺寸如右图所示，一块长
AC 2 6
CA2 1 AB2 24 2
思考2：如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB延长 A
线上，求证：AD2-AB2=BD·CD
证明：过A作AE⊥BC于E
∵AB=AC，∴BE=CE D
BE C
在Rt △ADE中， AD2=AE2+DE2

就是五。
勾股定理是关于什么图形 的定理？
答：关于直角三角形三边的关系
二、探索发现：如何推导勾股定理？
•
求这个梯形的面积 方法一：
A
b
c
S梯形
1 2
a
ba
b
1 a2 2ab b2
B
2
c
a
1 a2 b2 ab 2
∟
D aE
b
C
方法二：
b
cC
A
S梯形 S A SB SC
c Ba
例一：如图，从电线杆离地面8m处向地面
拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距 离电线杆底部6m,那么需要多长的钢索？
A
B
C
再接再厉：
2.分别以直角三角形三边为边长的 正方形的面积如下图，问另外一个正 方形的面积.
∟
652A 40 0
225
81 ∟
22
14B4
5
规律：以直角三角形两直角边为边长的正方形的面 积和等于以斜边长的正方形面积。
情况二：当BC为直角边 时
所以有BC 2 32 42 9 16 25
情况二：当BC为直角边时
由勾股定理可知：AB2 BC 2 AC 2
所以有BC 2 AC 2 AB2 16 9 7
总结：主要考查勾股定理的运用，以及分类讨论的数学思想
跃跃欲试：
5.若直角三角形的两条直角边分别为3和4，问斜边上 的高是多少？
答案：斜边上的高为2.4
大显身手：
7.如图所示，矩形ABCD沿AE折叠， A
使
点D落在BC边上点F处，若CD
=6,FC=2,求DE的值.
10
答案：DE=3
B

美国总统证法
那个小男孩头也不抬地说：“请问先生， 如果直角三角形的两条直角边分别为3 和4，那么斜边长为多少呢？”加菲尔 德答道：“是5呀。”小男孩又问道： “如果两条直角边分别为5和7，那么这 个直角三角形的斜边长又是多少？”加 菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的 平方一定等于5的平方加上7的平方．” 小男孩说：“先生，你能说出其中的道 理吗？”加菲尔德一时语塞，无法解释 了，心里很不是滋味。加菲尔德不再散 步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出 的难题。他经过反复思考与演算，终于 弄清了其中的道理，并给出了简洁的证 明方法。
A
13
?
C
12
B
试一试:
３、一个直角三角形的三边长为三个连续 偶数,则它的三边长分别为 ( B )
A 2、4、6 Ｃ 4、 6、 8
Ｂ 6、8、10
Ｄ 8、10、12
试一试:
４、已知：Rt△ＡBC中，AB＝４，AC＝３,则 BC的长为 B 4 C 4
5或
7
.
B
3
A
A
3
C
2.求下列直角三角形中未知边的长:
a c b
2
C
c2－b2
2
2
=c2-a2 b= c2-a2
2
a
B
c a b
勾股小常识：勾股数
1.基本勾股数如：大家一定要熟记
3、、 45
1、 1、 2
5、 12、 13
7、 24、 25
1、3、 2
2.如果a,b,c是一组勾股数，则ka、kb、kc（k为正整 数）也是一组勾股数， 如： 6、8、10 ； 9、12、15； 15、36、39……
方法 小结
(4) 已知: a:b=3:4, c=15,求a、b.

b c2 a2
我会用,我挑战
1.求以下直角三角形中未知边的长:
比
一
5
比
看8
17
看
x
12
谁
x
算
得
快 ！
方法小结: 可用勾股定理建立方程.
我自信,我挑战 :R△tA△BACB的C两的边两为直边3角为和边34和，为43，和4， 求:第三边c.
解：由于三角形的两边为3、4 所以它的第三边c的平方等于25 即：c=5
我观察,我猜测
图中每个小方格的
边长为1，直角三角
形两直角边长分别 为3和4. C
B
以各边边长为正方
形的边长作正方形.
A
求正方形A的面积是___,正方 形B的面积是____,正方形C的 面积是_______.
我观察,我猜测
图中每个小方格的
边长为1，直角三角
形两直角边长分别 为3和4. C
B
以各边边长为正方
方和等于斜边的平方
请说出以下直角三角形中三边之间的关系。
xx
z
(1)
(2)
(3)
勾股定理
• 直角三角形中，两直角边的平方 和等于斜边平方. 用数学式子表示：a2+b2=c2
⑴ c2 = a2 + b2 c a2 b2
股 c弦⑵
b
⑶
a勾
a2 = c2 - b2
b2 = c2- a2
a c2 b2
我观察,我猜测
图中每个小方格的
边长为1，直角三角
形两直角边长分别 为3和4. C
B
以各边边长为正方
形的边长作正方形.
A
求正方形A的面积是___,正方 形B的面积是____,正方形C的 面积是_______.

1．观察图1-1（图中每个小方格代表一个单位面积）
正方形A中含有 9 个
小方格，即A的面积是
9 个单位面积．
正方形B的面积是
9 个单位面积．
正方形C的面积是
18 个单位面积．
1 2 3 继续
C A
B
图1-1
你是怎样得到上面的 结果的？与同伴交流
交流．
正方形周边上的 格点数L=12
正方形内部的格 点数N=13
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
§18.1
活动 1
你见过这个图案吗？ 你听说过勾股定理吗？
这就是本届大会 会徽的图案．
这个图案是我国汉代数学 家赵爽在证明勾股定理时用到 的，被称为“赵爽弦图”．
活动 2
相传2500年前，毕达哥拉斯有一次 在朋友家里做客时，发现朋友家用砖铺 成的地面中反映了直角三角形三边的某 种数量关系．
我们也来观察右 图中的地面，看看有 什么发现？
其实勾股定理 中国比西方早 500多年就发现
了哦！
勾股世界
我国是最早了解勾股定理的国家 之一。早在三千多年前，周朝数 学家商高就提出，将一根直尺折 成一个直角，如果勾等于三，股 等于四，那么弦就等于五，即 “勾三、股四、弦五”，它被记 载于我国古代著名的数学著作 《周髀算经》中。
1945年，人们在研究古巴比伦人遗 留下的一块数学泥板时，惊讶地发 现上面竟刻有15组能构成直角三角 形三边的数，其年代远在商高之前。
所以，正方形C的 面积为：
•

（1）AB= 17 ；（2）AC= 8 ；（3）AB= 13 ； （4）AC= 2 ；（5）AC= 2 3 .
4
问题2：在长方形ABCD中，若长AB=3cm，宽为
2cm，试确定AC的长.
A
D
思考：
B
(1) 求AC的长，用到什么知识？
C
(2) 在矩形中，如何确定直角三角形模型？
(3) 在矩形ABCD中，线段AB、BC、AC的 大小关系是怎样的？
的吸管任意斜放于杯中，则吸管 能 露
出杯口外. (填“能”或“不能”)
42 102 116 10.78 12
10
4
19
5.如图，所有的四边形都是正方形，所有
的三角形都是直角三角形，其中最大的正 方形E的边长为7cm，求正方形A，B，C， D的面积的和.
C D
B
C+D
A A+B
A+B+C+D
A
1
SABC

63 2
39
3
Bห้องสมุดไป่ตู้
6
33
3 D3
C
17
拓展提高
3、如图，在△ABC中，∠ACB=900， CD⊥AB，垂足为D，若∠B=300，AD=1 求高CD和△ABC的面积。
C
23
2
3
B
3
1A D
18
拓展提高
4.一个圆柱状的杯子，由内部测得其底面 直径为4cm，高为10cm，现有一支12cm
湖南师大附中星城实验中学 八年级数学备课组
1
知识&回顾☞
勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a， b，斜边为c，那么
a2 + b2 = c2