2019-2020学年高二数学人教A版选修2-3文档：第2章 2.3.2 离散型随机变量的方差 Word版含答案

2.3.2 离散型随机变量的方差

1．理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念．

2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．(重点)

3．掌握方差的性质以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差．(难点)

[基础·初探]

教材整理1 离散型随机变量的方差的概念

阅读教材P64～P66上面第四自然段，完成下列问题．

1．离散型随机变量的方差、标准差

(1)定义：设离散型随机变量X的分布列为

X x1 x2 … xi … xn

P p1 p2 … pi … pn

则(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度，而D(X)＝i＝1n

(xi－E(X))2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度．称D(X)为随机变量X的方差，其算术平方根错误!为随机变量X的标准差．

(2)意义：随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小．

2．随机变量的方差与样本方差的关系

随机变量的方差是总体的方差，它是一个常数，样本的方差则是随机变量，是随样本的变化而变化的．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体的方差．

1．下列说法正确的有________(填序号)． ①离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值；

②离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的平均水平；

③离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的波动水平；

④离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的波动水平．

【解析】 ①错误．因为离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的平均水平．

②错误．因为离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了随机变量偏离于期望的平均程度．

③错误．因为离散型随机变量的方差D(ξ)反映了ξ取值的波动水平，而随机变量的期望E(ξ)反映了ξ取值的平均水平．

④正确．由方差的意义可知．

【答案】 ④

2．已知随机变量ξ，D(ξ)＝19，则ξ的标准差为________．

【解析】 ξ的标准差错误!＝错误!＝错误!.

【答案】 13

3．已知随机变量ξ的分布列如下表：

ξ －1 0 1

P 12 13 16

则ξ的均值为________，方差为________．

【解析】 均值E(ξ)＝x1p1＋x2p2＋x3p3＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13；

方差D(ξ)＝(x1－E(ξ))2·p1＋(x2－E(ξ))2·p2＋(x3－E(ξ))2·p3＝59.

【答案】 －13 59

教材整理2 离散型随机变量的方差的性质

阅读教材P66第5自然段～P66探究，完成下列问题．

1．服从两点分布与二项分布的随机变量的方差

(1)若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)； (2)若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)．

2．离散型随机变量方差的线性运算性质

设a，b为常数，则D(aX＋b)＝a2D(X)．

1．若随机变量X服从两点分布，且成功概率P＝0.5，则D(X)＝________，E(X)＝________.

【解析】 E(X)＝0.5，D(X)＝0.5(1－0.5)＝0.25.

【答案】 0.25 0.5

2．一批产品中，次品率为13，现连续抽取4次，其次品数记为X，则D(X)的值为________.

【导学号：29472071】

【解析】 由题意知X～B4，13，所以D(X)＝4×13×1－13＝89.

【答案】 89

3．已知随机变量X，D(10X)＝1009，则X的标准差为________．

【解析】 因为D(10X)＝100D(X)＝1009，所以D(X)＝19，所以错误!＝错误!.

【答案】 13

[小组合作型]

离散型随机变量的方差的性质及应用

(1)已知随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，且E(X)＝7，D(X)＝6，则p等于( ) A.17 B.16

C.15 D.14

(2)已知η的分布列为：

η 0 10 20 50 60

P 13 25 115 215 115

①求方差及标准差；

②设Y＝2η－E(η)，求D(Y)．

【精彩点拨】 (1)利用二项分布的方差计算公式求解．

(2)①利用方差、标准差定义求解；

②利用方差的线性运算性质求解．

【自主解答】 (1)np＝7且np(1－p)＝6，解得1－p＝67，∴p＝17.

【答案】 A

(2)①∵E(η)＝0×13＋10×25＋20×115＋50×215＋60×115＝16，

D(η)＝(0－16)2×13＋(10－16)2×25＋(20－16)2×115＋(50－16)2×215＋(60－16)2×115＝384，

∴错误!＝8错误!.

②∵Y＝2η－E(η)，

∴D(Y)＝D(2η－E(η))

＝22D(η)＝4×384＝1 536.

1．对于变量间存在关系的方差，在求解过程中应注意方差性质的应用，如D(aξ＋b)＝a2D(ξ)，这样处理既避免了求随机变量η＝aξ＋b的分布列，又避免了繁杂的计算，简化了计算过程．

2．若ξ～B(n，p)，则D(ξ)＝np(1－p)，若ξ服从两点分布，则D(ξ)＝p(1－p)，其中p为成功概率，应用上述性质可大大简化解题过程．

[再练一题]

1．为防止风沙危害，某地政府决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n株沙柳，已知各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设X为成活沙柳的株数，已知E(X)＝3，D(X)＝32，求n，p的值．

【解】 由题意知，X服从二项分布B(n，p)，

由E(X)＝np＝3，D(X)＝np(1－p)＝32，

得1－p＝12，

∴p＝12，n＝6.

求离散型随机变量的方差、标准差

编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，求E(ξ)和D(ξ)．

【精彩点拨】 首先确定ξ的取值，然后求出ξ的分布列，进而求出E(ξ)和D(ξ)的值．

【自主解答】 ξ的所有可能取值为0,1,3，ξ＝0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1,2,3的座位上分别坐了编号为2,3,1或3,1,2的学生，

则P(ξ＝0)＝2A33＝13；

ξ＝1表示三位同学只有1位同学坐对了，

则P(ξ＝1)＝C13A33＝12；

ξ＝3表示三位学生全坐对了，即对号入座， 则P(ξ＝3)＝1A33＝16.

所以，ξ的分布列为

ξ 0 1

3

P 13 12 16

E(ξ)＝0×13＋1×12＋3×16＝1；

D(ξ)＝13×(0－1)2＋12×(1－1)2＋16×(3－1)2＝1.

求离散型随机变量的方差的类型及解决方法

1．已知分布列型(非两点分布或二项分布)：直接利用定义求解，具体如下，

(1)求均值；(2)求方差．

2．已知分布列是两点分布或二项分布型：直接套用公式求解，具体如下，

(1)若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)．

(2)若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)．

3．未知分布列型：求解时可先借助已知条件及概率知识求得分布列，然后转化成(1)中的情况．

4．对于已知D(X)求D(aX＋b)型，利用方差的性质求解，即利用D(aX＋b)＝a2D(X)求解．

[再练一题]

2．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为ξ，求E(ξ)和D(ξ).

【导学号：29472072】

【解】 这3张卡片上的数字之和为ξ，这一变量的可能取值为6,9,12.ξ＝6表示取出的3张卡片上均标有2，

则P(ξ＝6)＝C38C310＝715.

ξ＝9表示取出的3张卡片上两张标有2，一张标有5， 则P(ξ＝9)＝C28C12C310＝715.

ξ＝12表示取出的3张卡片上一张标有2，两张标有5，

则P(ξ＝12)＝C18C22C310＝115.

∴ξ的分布列为

ξ 6 9

12

P 715 715 115

∴E(ξ)＝6×715＋9×715＋12×115＝7.8.

D(ξ)＝(6－7.8)2×715＋(9－7.8)2×715＋(12－7.8)2×115＝3.36.

[探究共研型]

均值、方差的综合应用

探究1

A，B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表：

A机床

次品数X1 0 1 2 3

P 0.7 0.2 0.06 0.04

B机床

次品数X2 0 1 2 3

P 0.8 0.06 0.04 0.10

试求E(X1)，E(X2)．

【提示】 E(X1)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44.

E(X2)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44.

探究2 在探究1中，由E(X1)和E(X2)的值能比较两台机床的产品质量吗？为什么？

【提示】 不能．因为E(X1)＝E(X2)．

探究3 在探究1中，试想利用什么指标可以比较A、B两台机床加工质量？

【提示】 利用样本的方差．方差越小，加工的质量越稳定．

甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每