高中数学选修一3.1.2 椭圆(第二课时)(精练)(解析版)

3.1.2 椭圆

【题组一 直线与椭圆的位置关系】

1．（2020·全国高二课时练习）若直线2244mxnyxy和圆没有交点，则过点(,)mn的直线与椭圆22194xy的交点个数为（ ）

A．2个 B．至多一个 C．1个 D．0个

【答案】A

【解析】直线2244mxnyxy和圆没有交点，故22224202mnmn

点P(m,n)在以原点为圆心，半径为2的圆内，故圆22mn=2内切于椭圆，，故点P(m,n)在椭圆内，则过点(,)mn的直线与椭圆22194xy的交点个数为2个

2．（2018·全国高二课时练习）如果过点M(-2,0)的直线l与椭圆2x2+y2=1有公共点,那么直线l的斜率k的取值范围是( )

A．2-,-2 B．2,2

C．11-,22 D．22-,22

【答案】D

【解析】设过点M（-2，0）的直线l的方程为y=k（x+2）， 联立22212ykxxy＝ ，得（2k2+1）x2+8k2x+8k2-2=0，

∵过点M（-2，0）的直线l与椭圆2212xy有公共点，

∴△=64k4-4（2k2+1）（8k2-2）≥0，

整理，得k2≤12 解得22-k22

∴直线l的斜率k的取值范围是22-22， 故选：D

3．（2020·全国高二课时练习）已知椭圆2244xy与直线yxm有公共点，则实数m的取值范围是____________.

【答案】2525m

【解析】由2241{xyyxm，得225210xmxm．

因为直线与椭圆有公共点，所以2242010mm，

即254m，解得2525m．

4．当m取何值时，直线:Lyxm与椭圆22916144xy相切、相交、相离．

【答案】详见解析

【解析】将yxm代入22916144xy中，化简得222532161440xmxm，其判别式257614400m.当，即55m时，直线和椭圆相交，当0，即5m时，直线和椭圆相切.当，即5m或5m时，直线和椭圆相离.

【题组二 弦长】

1．（2019·广西百色田东中学高二期中（文））椭圆22416xy被直线112yx截得的弦长为________.

【答案】35

【解析】由22416112xyyx 消去y并化简得2260,xx

设直线与椭圆的交点为M(x1,y1),N(x2,y2),则1212x2,6,xxx

所以弦长212135MNkxx. 故填35.

2．（2020·辽宁葫芦岛高二期中（文））已知椭圆2241xy及直线:lyxm．

（1）当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；

（2）求被椭圆截得的最长弦长及此时直线l的方程．

【答案】（1）55,22；（2）直线被椭圆截得的最长弦长为2105；此时:lyx

【解析】（1）将直线方程与椭圆方程联立得：2241xxm

即：225210xmxm

直线和椭圆有公共点 2242010mm，解得：55,22m （2）由（1）可知，直线与圆相交时，，即55,22m

设直线与椭圆交于11,Axy，22,Bxy

则1225mxx，21215mxx

222412221154555mmABm

当0m时，2max545m，则max2105AB

直线被椭圆截得的最长弦长为2105；此时:lyx

3（2020·武威市第六中学高二月考（理））点P是椭圆2222:1(0)xyCabab一点，F为椭圆C的一个焦点，||PF的最小值为21，最大值为21．

（1）求椭圆C的方程；

（2）直线yxm被椭圆C截得的弦长为423，求m的值

【答案】（1）2212xy；（2）1m

【解析】（1）由点P是椭圆2222:?1(0)xyCabab一点，F为椭圆C的一个焦点，||PF的最小值为21，最大值为21．

可得2121acac，解得21ac，进而221bac， 所以椭圆方程为：2212xy.

（2）设直线yxm与曲线C的交点分别为1122Mx,y,Nx,y

联立2212yxmxy得2234220xmxm,

222Δ1612222480mmm,即-3m3

又21212422,33mmxxxx，

22121242MN1143xxxx，化简22242244333mm，

整理得2880m，∴1m，符合题意.综上，1m.

4.（2020·四川双流中学）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上短轴长为2，离心率为22，过左顶点A的直线l与椭圆交于另一点B.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若43AB，求直线l的倾斜角.

【答案】（1）2212xy；（2）45或135.

【解析】（1）由题意的2222222bcaabc，则12ba得到椭圆方程为2212xy. （2）由题意直线的斜率存在，因为左顶点为1sin62x，

设直线l的方程为2ykx，代入椭圆方程，得到

22222142420kxkxk，

因为一个根为12x，则另外一个根为22222221kxk，

则2212222411213ABkxxkk，

化简2870kk，即21k，1k，

则倾斜角45或135.

5．（2019·四川高二期末（文））已知椭圆222:220Cxybb.

（1）求椭圆C的离心率e；

（2）若1b，斜率为1的直线与椭圆交于A、B两点，且2113AB，求AOB的面积.

【答案】（1）22e ；（2）2212.

【解析】（1）椭圆2222:102xyCbbb，椭圆长半轴长为2ab，短半轴长为b，

222221122cbbeaab；

（2）设斜率为1的直线l的方程为yxm，且11,Axy、22,Bxy， 1b，椭圆C的方程为22:22xy，

由2222yxmxy，.消去y得2234220xmxm，又有1221243223mxxmxx.

22221212121688422423933mmABxxxxxxm2113，解得：214m满足，直线l的方程为102xy.

故O到直线的距离12242d，11211222223412AOESABd.

【题组三

点差法】

1．（2018·海林市朝鲜族中学高二课时练习）椭圆221369xy的一条弦被点(4,2)平分，则此弦所在的直线方程是（ ）

A．20xy B．24xy C．2314xy D．28xy

【答案】D

【解析】设过点A的直线与椭圆相交于两点，E（x1，y1），F（x2，y2），

则有22111369xy①，22221369xy②，

①﹣②式可得：121212120369xxxxyyyy

又点A为弦EF的中点，且A（4，2），∴x1+x2=8，y1+y2=4， ∴836（x1﹣x2）﹣49（y1﹣y2）=0

即得kEF=121212yyxx

∴过点A且被该点平分的弦所在直线的方程是y﹣2=﹣12（x﹣4），即x+2y﹣8=0．故选：D．

2．（2020·湖北宜都二中高二期末（理））椭圆221169xy中以点M(1，2)为中点的弦所在直线斜率为（ ）

A．932 B．9 32 C．9 64 D．9 16

【答案】A

【解析】设弦的两端点为11,Axy，22,Bxy，代入椭圆得221122221169

1169xyxy，

两式相减得121212120169xxxxyyyy，

即12121212 169xxxxyyyy，

即12121212916xxyyyyxx，即121292164yyxx，

即12129 32yyxx，∴弦所在的直线的斜率为932，故选A.

3．（2019·内蒙古一机一中高二期中（文））斜率为13的直线l被椭圆:C22221(0)xyabab截得的弦恰被点(1,1)M平分，则C的离心率是______． 【答案】63.

【解析】设直线l与椭圆的交点为1122(,),(,)AxyBxy

因为弦恰被点(1,1)M 平分，所以12122,2xxyy

由2222112222221,1xyxyabab，两式相减可得：1212121222()()()()0xxxxyyyyab

化简可得：212212yybxxa，因为直线l的斜率为13，所以21221213yybxxa

即2213ba所以离心率22613bea 故答案为63

4．过点M(－2,0)的直线l与椭圆x2＋2y2＝2交于P1，P2两点，线段P1P2中点为P，设直线l的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2(O为原点)，则k1·k2的值为________.

【答案】－12

【解析】设直线l的方程为：1(2)ykx，由122(2)21ykxxy，整理得

：2222111(12)8810kxkxk，所以211221812kxxk，2112218112kxxk，

所以1121112112214(2)(2)(4)12kyykxkxkxxk，所以

211221142(,)1212kkPkk，12122112121214212kkkkkk，所以1212kk