高二数学选修2-1 第三章 第1节 椭圆北师大版(理)知识精讲

word 1 / 10 高二数学选修2－1 第三章 第1节 椭圆北师大版（理）

【本讲教育信息】

一、教学内容：

选修2—1 椭圆的标准方程及其几何性质

二、教学目标：

1、熟练地掌握椭圆的定义及标准方程的形式，能根据已知条件求出椭圆的标准方程。

2、掌握椭圆简单的几何性质，理解椭圆的准线、离心率、焦点，定义椭圆的方法及椭圆的参数方程的应用。

3、理解用方程的思想、函数的思想、数与形结合、分类讨论的思想及参数法、待定系数法等数学思想方法解决椭圆的有关问题。

三、知识要点分析：

（一）椭圆的基本概念

1、椭圆的第一定义：平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的集合叫椭圆。

点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a>|F1F2|}

（1）到两个定点F1，F2的距离之和等于|F1F2｜的点的集合是线段F1F2.

（2）到两个定点F1，F2的距离之和小于｜F1F2｜的点的集合是空集。

椭圆的第二定义：平面内一动点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是小于1的正常数e的点的集合叫椭圆。

点集M={P｜}1e0,ed|PF|

2、椭圆的标准方程：

)0(,12222babyax（焦点在x轴上），22221cba).0,c(F),0,c(F

)0(,12222baaybx（焦点在y轴上），22221cba).c,0(F),c,0(F

3、点),(00yxP与椭圆)0ba(1byax2222的位置关系。

点1byax)0ba(1byax)y,x(P220220222200内部在椭圆

点1byax)0ba(1byax)y,x(P220220222200上在椭圆 word

2 / 10 点1byax)0ba(1byax)y,x(P220220222200外部在椭圆

4、椭圆的参数方程：椭圆12222byax上任意一点P（x，y），则Rbyax,sincos

（二）椭圆的几何性质：

焦点在x轴上 焦点在y轴上

图形

性质 X围 |x|≤a，|y|≤b |x|≤b，|y|≤a

对称性

关于x轴、y轴、坐标原点对称

顶点 A1（－a，0） A2（a，0）

B1（0，－b） B2（0，b） A1（0，－a） A2（0，a）

B1（－b，0） B2（b，0）

离心率 离心率e=ac，0

准线 x=ca2 y=ca2

焦点半径公式 |0201||,|exaPFexaPF

|0201||,|eyaPFeyaPF

注：1、在确定椭圆的标准方程时若不能确定焦点的位置，可进行讨论焦点：在x轴上、y轴上的两种情形或把所求的椭圆标准方程设为：),0,0(,122BABAByAx .

2、与椭圆)0(,12222babyax共焦点的椭圆可设为：kbykax2222=1，（a>b>0）

3、椭圆上任意一点P到焦点F的距离的最大值是|PF|=a+c，最小值是|PF|=a－c .

4、椭圆上任意一点P到两焦点的距离之积的最大值是a2，此时P点与椭圆的短轴的两端点重合

5、注意利用平面几何知识解决椭圆问题。

如：|PN||PM||PF||PF|,|OA||OF||PN||PF||PM||PF|212221 word

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【典型例题】

考点一：确定椭圆的标准方程

例1、（1）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过)2,3(),1,6(21PP两点，求椭圆的标准方程。

（2）已知中心在原点，以坐标轴为对称轴，椭圆过点Q（2，1）且与椭圆14922yx有公共的焦点，求椭圆的标准方程.

【思路分析】（1）对于本题，求椭圆的标准方程关键是确定焦点的位置及a，b的值。若不能确定焦点的位置，要讨论焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情形。或设方程为)BA,0B,0A(,1ByAx22避免讨论，简化运算。

（2）由已知的椭圆求出c，根据已知条件找出a，b的关系，然后再由Q点在椭圆上得到a，b的关系，解方程组求a，b.或直接设所求的方程是14922kykx从而确定k值，即可以求出椭圆的标准方程。

（1）解法一：①当焦点在x轴上时，设椭圆方程为)0(,12222babyax

由已知得：39123116222222bababa即所求的椭圆的标准方程是13922yx

②当焦点在y轴上时，设椭圆方程为)0ba(,1aybx2222，由已知得：1a2b31a1b62222

解得b2=9，a2=3，与a>b矛盾。此种情形不存在。

综合上述可知：所求的椭圆的标准方程是13922yx

解法二：由已知，设椭圆的标准方程是122ByAx，故319112316BABABA即所求的椭圆的标准方程是13922yx。

（2）解法一：由已知的椭圆方程知所求的椭圆的焦点在x轴上，设椭圆方程为)0b0a(,1byax2222由5149222cyx，522ba…………①

又Q（2，1）在椭圆上，则11422ba…………②

由①②解得：5,5522ba，即所求的椭圆的标准方程是155522yx word

4 / 10 解法二：由已知，设所求的椭圆方程是：)4(,14922kkykx。则14194kk

整理得：54k.4k.542528k011k8k2

故所求的椭圆的标准方程是155522yx

第一小题解法一中的椭圆标准方程，焦点在y轴上的椭圆是否存在？需要检验。显然利用解法二能简化运算，在第二小题中，利用解法二也同样简化了运算。因此根据已知条件巧设椭圆的标准方程对求出椭圆的标准方程是很重要的。

考点二：利用椭圆的定义确定动点的轨迹方程：

例2、（1）已知一动圆与圆O1：1)3(22yx外切，与圆81)3(:222yxO内切，求动圆圆心的轨迹方程。

（2）求经过点M（1，2），以y轴为准线，离心率为21的椭圆左顶点的轨迹方程。

【思路分析】（1）设动圆的圆心是M，由已知得：10||||21MOMO

且106||21OO即M点的轨迹是以O1，O2为焦点的椭圆。

由此根据椭圆的第一定义求出椭圆的标准方程。

（2）设左顶点A（x，y），左焦点F（),00yx

先根据椭圆的第二定义求出A（x，y）与F（00,yx）的关系。

再根据椭圆的第二定义可求出x，y的方程。

O2O1M

解：（1）由已知O1（－3，0），半径r1=1，O2（3，0），r2=9

设动圆的圆心是M（x，y），半径是R，

则由已知：RMORMO9||,1||21，故||10||||2121OOMOMO

即M点的轨迹是以)0,3(),0,3(21OO为焦点的椭圆。且c=3，a=5，故b=4

即所求的动圆圆心（M）的轨迹方程是1162522yx

（2）设左顶点A（x，y），左焦点F（x0，y0），由椭圆的第二定义及几何意义知： word

5 / 10 xxyyxxxyy23210000，又M（1，2）点在椭圆上

M点到左准线y轴的距离是d=1，到左焦点F的距离是

|MF|=222020)2()231()2()1(yxyx

由椭圆的第二定义知：21||edMF，代入整理得：

1)2(4)32(941)2()123(2222yxyx。

考点三：椭圆中的最值问题

例3、已知A（1，1），1F是椭圆459522yx的左焦点，点P是椭圆上的动点，求|PA|+|PF1|的最大值和最小值及P点的坐标。

【思路分析】利用椭圆的第一定义得：||2||21PFaPF=6－||2PF，用||||2PFPA表示||||1PFPA，对||||2PFPA的符号进行讨论，从而确定｜PA｜+｜PF1｜的最值。

解：由已知得：|PF|6|PF|6a2|PF||PF|2121

|)||(|6||||21PAPFPFPA…………（*）

（i）当||||2PFPA时，有||||||22AFPFPA，等号成立时，||||1PFPA最大，此时P点是射线AF2与椭圆的交点，26|PF||PA|1的最大值是。

（ii）当|AF||PA||PF||PF||PA|222时，有，等号成立时，||||1PFPA最小，最小值是26

此时P点是射线AF2与椭圆的交点，

易求AF2的直线方程是：x+y－2=0， word

6 / 10 故)1421510,1421518(),1421510,1421518(4595022122PPyxyx

即当||||1PFPA取得最小值时，点)1421510,1421518(1P，当||||1PFPA取得最大值时，点P2（)1421510,1421518

例4、已知椭圆)0(,12222babyax的长轴的两个端点是A，B，若椭圆上的一点Q满足120AQB，求椭圆离心率的取值X围。

【思路分析】要求离心率的取值X围，必须找出a，c的不等关系。

设Q（),00yx，根据120AQB求出x0（用a，b，c表示）

根据椭圆的几何性质：ax||0，建立a，b，c的不等关系，

解：设),(00yxQ，)0,(),0,(aBaA，

则axyKaxyKQBQA0000,，由120AQB得：

3axyaxy1axyaxyKK1KKAQBtan00000000QBQAQAQB。整理得：

022020ay2)ayx(3…………（*）

由Q点在椭圆上得：2022220ybaax代入（*）得：22222032)(32cabbaaby

根据椭圆的几何性质得：bybby||0，2223232cabbcab

即363204433)(42244222eeeeccaa，0

考点四：椭圆的参数方程的应用：

例5、已知实数x，y满足：的最值。求yxyx2,191622

【思路分析】由已知得：实数x，y满足的条件是椭圆的方程，故可用椭圆的参数方程把2x+y化成关于参数的三角函数求其最值。或利用数与形结合的思想把直线t=2x+y平移到与椭圆相切时，从而可求t的最值。