人教数学圆的综合的专项培优 易错 难题练习题(含答案)附答案

一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，CD为⊙O的直径，点B在⊙O上，连接BC、BD，过点B的切线AE与CD的延长线交于点A，AEOC∠∠，OE交BC于点F.

（1）求证：OE∥BD；

（2）当⊙O的半径为5，2sin5DBA时，求EF的长.

【答案】（1）证明见解析；（2）EF的长为212

【解析】

试题分析：（1）连接OB，利用已知条件和切线的性质证明；

（2）根据锐角三角函数和相似三角形的性质，直接求解即可.

试题解析：（1）连接OB， ∵CD为⊙O的直径 ，  90CBDCBOOBD.

∵AE是⊙O的切线， 90ABOABDOBD.  ABDCBO.

∵OB、OC是⊙O的半径，OB=OC. ∴CCBO. ∴CABD.

∵EC，∴EABD. ∴ OE∥BD.

（2）由（1）可得sin∠C= ∠DBA= 25，在Rt△OBE中, sin∠C =25BDCD,OC=5，

4BD∴90CBDEBO

∵EC，△CBD∽△EBO.

∴BDCDBOEO

∴252EO.

∵OE∥BD，CO=OD，

∴CF=FB.

∴122OFBD.

∴212EFOEOF

2．如图，在直角坐标系中，已知点A(－8，0)，B(0，6)，点M在线段AB上。 （1）如图1，如果点M是线段AB的中点，且⊙M的半径等于4，试判断直线OB与⊙M的位置关系，并说明理由；

（2）如图2，⊙M与x轴，y轴都相切，切点分别为E，F，试求出点M的坐标；

（3）如图3，⊙M与x轴，y轴，线段AB都相切，切点分别为E，F，G，试求出点M的坐标（直接写出答案）

【答案】（1）OB与⊙M相切；（2）M（－247，247）；（3）M（－2，2）

【解析】

分析：（1）设线段OB的中点为D，连结MD，根据三角形的中位线求出MD，根据直线和圆的位置关系得出即可；

（2）求出过点A、B的一次函数关系式是y=34x+6，设M（a，﹣a），把x=a，y=﹣a代入y=34x+6得出关于a的方程，求出即可．

（3）连接ME、MF、MG、MA、MB、MO，设ME=MF=MG=r，根据S△ABC=12AO•ME+12BO•MF+12AB•MG=12AO•BO求得r=2，据此可得答案．

详解：（1）直线OB与⊙M相切．理由如下：

设线段OB的中点为D，如图1，连结MD，

∵点M是线段AB的中点，所以MD∥AO，MD=4，

∴∠AOB=∠MDB=90°，∴MD⊥OB，点D在⊙M上．

又∵点D在直线OB上，∴直线OB与⊙M相切；

（2）如图2，连接ME，MF，

∵A（﹣8，0），B（0，6），∴设直线AB的解析式是y=kx+b，∴806kbb，解得：k=34，b=6，即直线AB的函数关系式是y=34x+6．

∵⊙M与x轴、y轴都相切，∴点M到x轴、y轴的距离都相等，即ME=MF，设M（a，﹣a）（﹣8＜a＜0），把x=a，y=﹣a代入y=34x+6，得：﹣a=34a+6，得：a=﹣247，∴点M的坐标为（﹣242477，）． （3）如图3，连接ME、MF、MG、MA、MB、MO，

∵⊙M与x轴，y轴，线段AB都相切，∴ME⊥AO、MF⊥BO、MG⊥AB，设ME=MF=MG=r，则S△ABC=12AO•ME+12BO•MF+12AB•MG=12AO•BO．

∵A（﹣8，0），B（0，6），∴AO=8、BO=6，AB=22AOBO=10，∴12r•8+12r•6+12r•10=12×6×8，解得：r=2，即ME=MF=2，∴点M的坐标为（﹣2，2）．

点睛：本题考查了圆的综合问题，掌握直线和圆的位置关系，用待定系数法求一次函数的解析式的应用，能综合运用知识点进行推理和计算是解答此题的关键，注意：直线和圆有三种位置关系：已知⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离是d，当d=r时，直线l和⊙O相切．

3．如图，PA、PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠APB=60°，连接PO并延长与⊙O交于C点，连接AC、BC．

（Ⅰ）求∠ACB的大小；

（Ⅱ）若⊙O半径为1，求四边形ACBP的面积．

【答案】（Ⅰ）60°；（Ⅱ）332

【解析】

分析：（Ⅰ）连接AO，根据切线的性质和切线长定理，得到OA⊥AP，OP平分∠APB，然后根据角平分线的性质和三角形的外角的性质，30°角的直角三角形的性质，得到∠ACB的度数；

（Ⅱ）根据30°角的直角三角形的性质和等腰三角形的性质，结合等底同高的性质求三角形的面积即可． 详解：（Ⅰ）连接OA，如图，

∵PA、PB是⊙O的切线，

∴OA⊥AP，OP平分∠APB，

∴∠APO=12∠APB=30°，

∴∠AOP=60°，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∴∠ACO=12AOP=30°，

同理可得∠BCP=30°，

∴∠ACB=60°；

（Ⅱ）在Rt△OPA中，∵∠APO=30°，

∴AP=3OA=3，OP=2OA=2，

∴OP=2OC，

而S△OPA=12×1×3，

∴S△AOC=12S△PAO=34，

∴S△ACP=334，

∴四边形ACBP的面积=2S△ACP=332．

点睛：本题考查了切线的性质，解直角三角形，等腰三角形的判定，熟练掌握切线的性质是解题的关键．

4．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，小圆直径AE的延长线与大圆交于点B，点D在大圆上，BD与小圆相切于点F，AF的延长线与大圆相交于点C，且CE⊥BD．找出图中相等的线段并证明．

【答案】见解析

【解析】

试题分析：由AE是小⊙O的直径，可得OA=OE，连接OF，根据切线的性质，可得OF⊥BD，然后由垂径定理，可证得DF=BF，易证得OF∥CE，根据平行线分线段成比例定理，可证得AF=CF，继而可得四边形ABCD是平行四边形，则可得AD=BC，AB=CD．然后连接OD、OC，可证得△AOD≌△EOC，则可得BC=AD=CE=AE．

试题解析：

图中相等的线段有：OA=OE，DF=BF，AF=CF，AB=CD，BC=AD=CE=AE．

证明如下：

∵AE是小⊙O的直径，

∴OA=OE．

连接OF，

∵BD与小⊙O相切于点F，

∴OF⊥BD．

∵BD是大圆O的弦，

∴DF=BF．

∵CE⊥BD，

∴CE∥OF，

∴AF=CF．

∴四边形ABCD是平行四边形．

∴AD=BC，AB=CD．

∵CE：AE=OF：AO，OF=AO，

∴AE=EC．

连接OD、OC，

∵OD=OC，

∴∠ODC=∠OCD．

∵∠AOD=∠ODC，∠EOC=∠OEC，

∴∠AOC=∠EOC，

∴△AOD≌△EOC，

∴AD=CE．

∴BC=AD=CE=AE．

【点睛】考查了切线的性质，垂径定理，平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识．此题综合性很强解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法，小心不要漏解．

5．如图，AB是半圆O的直径，半径OC⊥AB，OB＝4，D是OB的中点，点E是弧BC上的动点，连接AE，DE．

（1）当点E是弧BC的中点时，求△ADE的面积；

（2）若3tan2AED ，求AE的长；

（3）点F是半径OC上一动点，设点E到直线OC的距离为m，当△DEF是等腰直角三角形时，求m的值.

【答案】（1）62ADES；（2）1655AE；（3）23m ，22m，71m.

【解析】

【分析】

（1）作EH⊥AB，连接OE，EB，设DH＝a，则HB＝2﹣a，OH＝2+a，则EH＝OH＝2+a，根据Rt△AEB中，EH2＝AH•BH，即可求出a的值，即可求出S△ADE的值；

（2）作DF⊥AE，垂足为F，连接BE，设EF＝2x，DF＝3x，根据DF∥BE故AFADEFBD，得出AF＝6x，再利用Rt△AFD中，AF2+DF2＝AD2，即可求出x，进而求出AE的长；

（3）根据等腰直角三角形的不同顶点进行分类讨论，分别求出m的值.

【详解】

解：（1）如图，作EH⊥AB，连接OE，EB，

设DH＝a，则HB＝2﹣a，OH＝2+a，

∵点E是弧BC中点，

∴∠COE＝∠EOH＝45°， ∴EH＝OH＝2+a，

在Rt△AEB中，EH2＝AH•BH，

（2+a）2＝（6+a）（2﹣a），

解得a＝222，

∴a＝222，

EH=22，

S△ADE＝1622ADEH;

（2）如图，作DF⊥AE，垂足为F，连接BE

设EF＝2x，DF＝3x

∵DF∥BE

∴AFADEFBD

∴622AFx=3

∴AF＝6x

在Rt△AFD中，AF2+DF2＝AD2

（6x）2+（3x）2＝（6）2

解得x＝255

AE＝8x＝1655

（3）当点D为等腰直角三角形直角顶点时，如图

设DH＝a

由DF=DE,∠DOF=∠EHD=90°，∠FDO+∠DFO=∠FDO+∠EDH， ∴∠DFO=∠EDH

∴△ODF≌△HED

∴OD＝EH＝2

在Rt△ABE中，EH2＝AH•BH

（2）2＝（6+a）•（2﹣a）

解得a＝±232

m＝23

当点E为等腰直角三角形直角顶点时，如图

同理得△EFG≌△DEH

设DH＝a，则GE＝a，EH＝FG＝2+a

在Rt△ABE中，EH2＝AH•BH

（2+a）2＝（6+a）（2﹣a）

解得a＝222

∴m＝22

当点F为等腰直角三角形直角顶点时，如图

同理得△EFM≌△FDO

设OF＝a，则ME＝a，MF＝OD＝2

∴EH＝a+2

在Rt△ABE中，EH2＝AH•BH

（a+2）2＝（4+a）•（4﹣a）

解得a＝±71

m＝71

【点睛】

此题主要考查圆内综合问题，解题的关键是熟知全等三角形、等腰三角形、相似三角形的判定与性质.

6．如图，点B在数轴上对应的数是﹣2，以原点O为原心、OB的长为半径作优弧AB，使点A在原点的左上方，且tan∠AOB＝3，点C为OB的中点，点D在数轴上对应的数为