人教数学圆的综合的专项培优练习题及详细答案

一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆交AB于D，延长AO交O于E，连接CD，CE，若CE是⊙O的切线，解答下列问题：

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若BC=4，CD=6，求平行四边形OABC的面积．

【答案】（1）证明见解析（2）24

【解析】

试题分析：（1）连接OD，求出∠EOC=∠DOC，根据SAS推出△EOC≌△DOC，推出∠ODC=∠OEC=90°，根据切线的判定推出即可；

（2）根据切线长定理求出CE=CD=4，根据平行四边形性质求出OA=OD=4，根据平行四边形的面积公式=2△COD的面积即可求解．

试题解析：（1）证明：连接OD，

∵OD=OA，

∴∠ODA=∠A，

∵四边形OABC是平行四边形，

∴OC∥AB，

∴∠EOC=∠A，∠COD=∠ODA，

∴∠EOC=∠DOC，

在△EOC和△DOC中，

OEODEOCDOCOCOC

∴△EOC≌△DOC（SAS），

∴∠ODC=∠OEC=90°，

即OD⊥DC，

∴CD是⊙O的切线；

（2）由（1）知CD是圆O的切线，

∴△CDO为直角三角形，

∵S△CDO=12CD•OD，

又∵OA=BC=OD=4， ∴S△CDO=12×6×4=12，

∴平行四边形OABC的面积S=2S△CDO=24．

2．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠A=30°，AB=16，以AB为直径的⊙O与BC边相交于点D，与AC交于点F，过点D作DE⊥AC于点E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）求CE的长；

（3）过点B作BG∥DF，交⊙O于点G，求弧BG的长．

【答案】（1）证明见解析（2）8-43（3）4π

【解析】

【分析】

（1）如图1，连接AD，OD，由AB为⊙O的直径，可得AD⊥BC，再根据AB=AC，可得BD=DC，再根据OA=OB，则可得OD∥AC，继而可得DE⊥OD，问题得证；

（2）如图2，连接BF，根据已知可推导得出DE=12BF，CE=EF，根据∠A=30°，AB=16，可得BF=8，继而得DE=4，由DE为⊙O的切线，可得ED2=EF•AE，即42=CE•（16﹣CE），继而可求得CE长；

（3）如图3，连接OG，连接AD，由BG∥DF，可得∠CBG=∠CDF=30°，再根据AB=AC，可推导得出∠OBG=45°，由OG=OB，可得∠OGB=45°，从而可得∠BOG=90°，根据弧长公式即可求得BG的长度.

【详解】

（1）如图1，连接AD，OD；

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，

∵AB=AC，

∴BD=DC，

∵OA=OB，

∴OD∥AC， ∵DE⊥AC，

∴DE⊥OD，

∴∠ODE=∠DEA=90°，

∴DE为⊙O的切线；

（2）如图2，连接BF，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠AFB=90°，

∴BF∥DE，

∵CD=BD，

∴DE=12BF，CE=EF，

∵∠A=30°，AB=16，

∴BF=8，

∴DE=4，

∵DE为⊙O的切线，

∴ED2=EF•AE，

∴42=CE•（16﹣CE），

∴CE=8﹣43，CE=8+43（不合题意舍去）；

（3）如图3，连接OG，连接AD，

∵BG∥DF，

∴∠CBG=∠CDF=30°，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C=75°，

∴∠OBG=75°﹣30°=45°，

∵OG=OB，

∴∠OGB=∠OBG=45°，

∴∠BOG=90°，

∴BG的长度=908180=4π．

【点睛】

本题考查了圆的综合题，涉及了切线的判定、三角形中位线定理、圆周角定理、弧长公式等，正确添加辅助线、熟练掌握相关的性质与定理是解题的关键.

3．如图，AB为⊙O的直径，点D为AB下方⊙O上一点，点C为弧ABD的中点，连接CD，CA．

（1）求证：∠ABD=2∠BDC；

（2）过点C作CH⊥AB于H，交AD于E，求证：EA=EC；

（3）在（2）的条件下，若OH=5，AD=24，求线段DE的长度．

【答案】（1）证明见解析；（2）见解析；（3）92DE.

【解析】

【分析】

（1）连接AD，如图1，设∠BDC=α，∠ADC=β，根据圆周角定理得到∠CAB=∠BDC=α，由AB为⊙O直径，得到∠ADB=90°，根据余角的性质即可得到结论；

（2）根据已知条件得到∠ACE=∠ADC，等量代换得到∠ACE=∠CAE，于是得到结论；

（3）如图2，连接OC，根据圆周角定理得到∠COB=2∠CAB，等量代换得到∠COB=∠ABD，根据相似三角形的性质得到OH=5，根据勾股定理得到AB=22ADBD=26，由相似三角形的性质即可得到结论．

【详解】

（1）连接AD．如图1，设∠BDC=α，∠ADC=β，

则∠CAB=∠BDC=α，

∵点C为弧ABD中点，∴AC=CD，∴∠ADC=∠DAC=β，∴∠DAB=β﹣α，

∵AB为⊙O直径，∴∠ADB=90°，∴α+β=90°，∴β=90°﹣α，∴∠ABD=90°﹣∠DAB=90°﹣（β﹣α），∴∠ABD=2α，∴∠ABD=2∠BDC；

（2）∵CH⊥AB，∴∠ACE+∠CAB=∠ADC+∠BDC=90°，

∵∠CAB=∠CDB，∴∠ACE=∠ADC，

∵∠CAE=∠ADC，∴∠ACE=∠CAE，∴AE=CE；

（3）如图2，连接OC，∴∠COB=2∠CAB， ∵∠ABD=2∠BDC，∠BDC=∠CAB，∴∠COB=∠ABD，

∵∠OHC=∠ADB=90°，∴△OCH∽△ABD，∴12OHOCBDAB，

∵OH=5，∴BD=10，∴AB=22ADBD=26，∴AO=13，∴AH=18，

∵△AHE∽△ADB，∴AHAEADAB，即1824=26AE，∴AE=392，∴DE=92．

【点睛】

本题考查了垂径定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

4．如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接PA，PB，PC．将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P'CB的位置.

(1)设AB的长为a，PB的长为b(b

(2)若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长.

【答案】(1) S阴影=(a2-b2)；(2)PC=6.

【解析】

试题分析：（1）依题意，将△P′CB逆时针旋转90°可与△PAB重合，此时阴影部分面积=扇形BAC的面积-扇形BPP'的面积，根据旋转的性质可知，两个扇形的中心角都是90°，可据此求出阴影部分的面积．

（2）连接PP'，根据旋转的性质可知：BP=BP'，旋转角∠PBP'=90°，则△PBP'是等腰直角三角形，∠BP'C=∠BPA=135°，∠PP'C=∠BP'C-∠BP'P=135°-45°=90°，可推出△PP'C是直角三角形，进而可根据勾股定理求出PC的长．

试题解析：（1）∵将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，

∴△PAB≌△P'CB，

∴S△PAB=S△P'CB， S阴影=S扇形BAC-S扇形BPP′=（a2-b2）；

（2）连接PP′，根据旋转的性质可知：△APB≌△CP′B，

∴BP=BP′=4，P′C=PA=2，∠PBP′=90°，

∴△PBP'是等腰直角三角形，P'P2=PB2+P'B2=32；

又∵∠BP′C=∠BPA=135°，

∴∠PP′C=∠BP′C-∠BP′P=135°-45°=90°，即△PP′C是直角三角形．

PC==6．

考点：1.扇形面积的计算；2.正方形的性质；3.旋转的性质．

5．如图，AB是半圆O的直径，C是的中点，D是的中点，AC与BD相交于点E.

（1）求证：BD平分∠ABC；

（2）求证：BE=2AD；

（3）求DEBE的值.

【答案】（1）答案见解析（2）BE=AF=2AD（3）212

【解析】

试题分析：（1）根据中点弧的性质，可得弦AD=CD，然后根据弦、弧、圆周角、圆心角的性质求解即可；

（2）延长BC与AD相交于点F, 证明△BCE≌△ACF, 根据全等三角形的性质可得BE=AF=2AD；

（3）连接OD,交AC于H.简要思路如下：设OH为1，则BC为2，OB=OD=2 ，DH=21, 然后根据相似三角形的性质可求解.

试题解析：（1）∵D是的中点

∴AD=DC

∴∠CBD=∠ABD ∴BD平分∠ABC

（2）提示：延长BC与AD相交于点F,

证明△BCE≌△ACF,

BE=AF=2AD

（3）连接OD,交AC于H.简要思路如下：

设OH为1，则BC为2，OB=OD=2

，

DH=21, DEBE=DHBC

DEBE=212

6．等腰Rt△ABC和⊙O如图放置，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，⊙O的半径为1，圆心O与直线AB的距离为5．

（1）若△ABC以每秒2个单位的速度向右移动，⊙O不动，则经过多少时间△ABC的边与圆第一次相切？

（2）若两个图形同时向右移动，△ABC的速度为每秒2个单位，⊙O的速度为每秒1个单位，则经过多少时间△ABC的边与圆第一次相切？

（3）若两个图形同时向右移动，△ABC的速度为每秒2个单位，⊙O的速度为每秒1个单位，同时△ABC的边长AB、BC都以每秒0.5个单位沿BA、BC方向增大．△ABC的边与圆第一次相切时，点B运动了多少距离？

【答案】（1）522；（2） 52；（3）20423

【解析】

分析：（1）分析易得，第一次相切时，与斜边相切，假设此时，△ABC移至△A′B′C′处，A′C′与⊙O切于点E，连OE并延长，交B′C′于F．由切线长定理易得CC′的长，进而由三角形运动的速度可得答案；

（2）设运动的时间为t秒，根据题意得：CC′=2t，DD′=t，则C′D′=CD+DD′-CC′=4+t-2t=4-t，由第（1）的结论列式得出结果；