数学 圆的综合的专项 培优易错试卷练习题附答案

一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图1，直角梯形OABC中，BC∥OA，OA=6，BC=2，∠BAO=45°．

（1）OC的长为 ；

（2）D是OA上一点，以BD为直径作⊙M，⊙M交AB于点Q．当⊙M与y轴相切时，sin∠BOQ= ；

（3）如图2，动点P以每秒1个单位长度的速度，从点O沿线段OA向点A运动；同时动点D以相同的速度，从点B沿折线B﹣C﹣O向点O运动．当点P到达点A时，两点同时停止运动．过点P作直线PE∥OC，与折线O﹣B﹣A交于点E．设点P运动的时间为t（秒）．求当以B、D、E为顶点的三角形是直角三角形时点E的坐标．

【答案】（1）4；（2）35；（3）点E的坐标为（1，2）、（53，103）、（4，2）．

【解析】

分析：（1）过点B作BH⊥OA于H，如图1（1），易证四边形OCBH是矩形，从而有OC=BH，只需在△AHB中运用三角函数求出BH即可．

（2）过点B作BH⊥OA于H，过点G作GF⊥OA于F，过点B作BR⊥OG于R，连接MN、DG，如图1（2），则有OH=2，BH=4，MN⊥OC．设圆的半径为r，则MN=MB=MD=r．在Rt△BHD中运用勾股定理可求出r=2，从而得到点D与点H重合．易证△AFG∽△ADB，从而可求出AF、GF、OF、OG、OB、AB、BG．设OR=x，利用BR2=OB2﹣OR2=BG2﹣RG2可求出x，进而可求出BR．在Rt△ORB中运用三角函数就可解决问题．

（3）由于△BDE的直角不确定，故需分情况讨论，可分三种情况（①∠BDE=90°，②∠BED=90°，③∠DBE=90°）讨论，然后运用相似三角形的性质及三角函数等知识建立关于t的方程就可解决问题．

详解：（1）过点B作BH⊥OA于H，如图1（1），则有∠BHA=90°=∠COA，∴OC∥BH．

∵BC∥OA，∴四边形OCBH是矩形，∴OC=BH，BC=OH．

∵OA=6，BC=2，∴AH=0A﹣OH=OA﹣BC=6﹣2=4．

∵∠BHA=90°，∠BAO=45°，

∴tan∠BAH=BHHA=1，∴BH=HA=4，∴OC=BH=4．

故答案为4．

（2）过点B作BH⊥OA于H，过点G作GF⊥OA于F，过点B作BR⊥OG于R，连接MN、DG，如图1（2）． 由（1）得：OH=2，BH=4．

∵OC与⊙M相切于N，∴MN⊥OC．

设圆的半径为r，则MN=MB=MD=r．

∵BC⊥OC，OA⊥OC，∴BC∥MN∥OA．

∵BM=DM，∴CN=ON，∴MN=12（BC+OD），∴OD=2r﹣2，∴DH=ODOH=24r．

在Rt△BHD中，∵∠BHD=90°，∴BD2=BH2+DH2，∴（2r）2=42+（2r﹣4）2．

解得：r=2，∴DH=0，即点D与点H重合，∴BD⊥0A，BD=AD．

∵BD是⊙M的直径，∴∠BGD=90°，即DG⊥AB，∴BG=AG．

∵GF⊥OA，BD⊥OA，∴GF∥BD，∴△AFG∽△ADB，

∴AFAD=GFBD=AGAB=12，∴AF=12AD=2，GF=12BD=2，∴OF=4，

∴OG=22OFGF=2242=25．

同理可得：OB=25，AB=42，∴BG=12AB=22．

设OR=x，则RG=25﹣x．

∵BR⊥OG，∴∠BRO=∠BRG=90°，∴BR2=OB2﹣OR2=BG2﹣RG2，

∴（25）2﹣x2=（22）2﹣（25﹣x）2．

解得：x=855，∴BR2=OB2﹣OR2=（25）2﹣（855）2=365，∴BR=655．

在Rt△ORB中，sin∠BOR=BROB=65525=35．

故答案为35．

（3）①当∠BDE=90°时，点D在直线PE上，如图2．

此时DP=OC=4，BD+OP=BD+CD=BC=2，BD=t，OP=t． 则有2t=2．

解得：t=1．则OP=CD=DB=1．

∵DE∥OC，∴△BDE∽△BCO，∴DEOC=BDBC=12，∴DE=2，∴EP=2，

∴点E的坐标为（1，2）．

②当∠BED=90°时，如图3．

∵∠DBE=OBC，∠DEB=∠BCO=90°，∴△DBE∽△OBC，

∴BEBC=2DBBEOB，=25t，∴BE=55t．

∵PE∥OC，∴∠OEP=∠BOC．

∵∠OPE=∠BCO=90°，∴△OPE∽△BCO， ∴OEOB=25OPOEBC，=2t，∴OE=5t．

∵OE+BE=OB=255，t+55t=25．

解得：t=53，∴OP=53，OE=553，∴PE=22OEOP=103，

∴点E的坐标为（51033，）．

③当∠DBE=90°时，如图4．

此时PE=PA=6﹣t，OD=OC+BC﹣t=6﹣t．

则有OD=PE，EA=22PEPA=2（6﹣t）=62﹣2?t，

∴BE=BA﹣EA=42﹣（62﹣2t）=2t﹣22．

∵PE∥OD，OD=PE，∠DOP=90°，∴四边形ODEP是矩形，

∴DE=OP=t，DE∥OP，∴∠BED=∠BAO=45°．

在Rt△DBE中，cos∠BED=BEDE=22，∴DE=2BE，

∴t=22（t﹣22）=2t﹣4．

解得：t=4，∴OP=4，PE=6﹣4=2，∴点E的坐标为（4，2）．

综上所述：当以B、D、E为顶点的三角形是直角三角形时点E的坐标为（1，2）、（51033，）、（4，2）．

点睛：本题考查了圆周角定理、切线的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数的定义、平行线分线段成比例、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，还考查了分类讨论的数学思想，有一定的综合性．

2．如图1，已知扇形MON的半径为2，∠MON=90°，点B在弧MN上移动，联结BM，作OD⊥BM，垂足为点D，C为线段OD上一点，且OC=BM，联结BC并延长交半径OM于点A，设OA=x，∠COM的正切值为y.

（1）如图2，当AB⊥OM时，求证：AM=AC；

（2）求y关于x的函数关系式，并写出定义域；

（3）当△OAC为等腰三角形时，求x的值.

【答案】 (1)证明见解析;(2) 2xyx.(02x);(3) 1422x.

【解析】

分析：（1）先判断出∠ABM=∠DOM，进而判断出△OAC≌△BAM，即可得出结论；

（2）先判断出BD=DM，进而得出DMMEBDAE，进而得出AE=122x（），再判断出2OAOCDMOEODOD，即可得出结论；

（3）分三种情况利用勾股定理或判断出不存在，即可得出结论．

详解：（1）∵OD⊥BM，AB⊥OM，∴∠ODM=∠BAM=90°．

∵∠ABM+∠M=∠DOM+∠M，∴∠ABM=∠DOM．

∵∠OAC=∠BAM，OC=BM，∴△OAC≌△BAM，

∴AC=AM．

（2）如图2，过点D作DE∥AB，交OM于点E．

∵OB=OM，OD⊥BM，∴BD=DM．

∵DE∥AB，∴DMMEBDAE，∴AE=EM．∵OM=2，∴AE=122x（）．

∵DE∥AB，∴2OAOCDMOEODOD，

∴22DMOAxyODOEx，．（02x＜） （3）（i） 当OA=OC时．∵111222DMBMOCx．在Rt△ODM中，222124ODOMDMx．

∵2121224xDMxyODxx，．解得1422x，或1422x（舍）．

（ii）当AO=AC时，则∠AOC=∠ACO．∵∠ACO＞∠COB，∠COB=∠AOC，∴∠ACO＞∠AOC，∴此种情况不存在．

（ⅲ）当CO=CA时，则∠COA=∠CAO=α．∵∠CAO＞∠M，∠M=90°﹣α，∴α＞90°﹣α，∴α＞45°，∴∠BOA=2α＞90°．∵∠BOA≤90°，∴此种情况不存在．

即：当△OAC为等腰三角形时，x的值为1422．

点睛：本题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关性质，勾股定理，等腰三角形的性质，建立y关于x的函数关系式是解答本题的关键．

3．如图，在锐角△ABC中，AC是最短边．以AC为直径的⊙O，交BC于D，过O作OE∥BC，交OD于E，连接AD、AE、CE．

（1）求证：∠ACE=∠DCE；

（2）若∠B=45°，∠BAE=15°，求∠EAO的度数；

（3）若AC=4，23CDFCOESS，求CF的长．

【答案】（1）证明见解析，（2）60°；（3）433

【解析】 【分析】

（1）易证∠OEC=∠OCE，∠OEC=∠ECD，从而可知∠OCE=∠ECD，即∠ACE=∠DCE；

（2）延长AE交BC于点G，易证∠AGC=∠B+∠BAG=60°，由于OE∥BC，所以∠AEO=∠AGC=60°，所以∠EAO=∠AEO=60°；

（3）易证12COECAESS，由于23CDFCOESS，所以CDFCAESS=13，由圆周角定理可知∠AEC=∠FDC=90°，从而可证明△CDF∽△CEA，利用三角形相似的性质即可求出答案．

【详解】

（1）∵OC=OE，∴∠OEC=∠OCE．

∵OE∥BC，∴∠OEC=∠ECD，∴∠OCE=∠ECD，即∠ACE=∠DCE；

（2）延长AE交BC于点G．

∵∠AGC是△ABG的外角，∴∠AGC=∠B+∠BAG=60°．

∵OE∥BC，∴∠AEO=∠AGC=60°．

∵OA=OE，∴∠EAO=∠AEO=60°．

（3）∵O是AC中点，∴12COECAESS．

23CDFCOESS，∴CDFCAESS=13．

∵AC是直径，∴∠AEC=∠FDC=90°．

∵∠ACE=∠FCD，∴△CDF∽△CEA，∴CFCA=33，∴CF=33CA=433．

【点睛】

本题考查了圆的综合问题，涉及平行线的性质，三角形的外角的性质，三角形中线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质等知识，需要学生灵活运用所学知识．

4．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠A=30°，AB=16，以AB为直径的⊙O与BC边相交于点D，与AC交于点F，过点D作DE⊥AC于点E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）求CE的长；

（3）过点B作BG∥DF，交⊙O于点G，求弧BG的长．