人教【数学】数学圆的综合的专项培优练习题及答案

一、圆的综合

真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．图 1 和图 2 中，优弧AB纸片所在⊙O 的半径为 2，AB＝23 ，点 P为优弧AB上一点（点 P 不与 A，B 重合），将图形沿 BP 折叠，得到点 A 的对称点 A′．

发现：

（1）点 O 到弦 AB 的距离是 ，当 BP 经过点 O 时，∠ABA′＝ ；

（2）当 BA′与⊙O 相切时，如图 2，求折痕的长．

拓展：把上图中的优弧纸片沿直径 MN 剪裁，得到半圆形纸片，点 P（不与点 M， N 重合）为半圆上一点，将圆形沿 NP 折叠，分别得到点 M，O 的对称点 A′， O′，设∠MNP＝α．

（1）当α＝15°时，过点 A′作 A′C∥MN，如图 3，判断 A′C 与半圆 O 的位置关系，并说明理由；

（2）如图 4，当α＝ °时，NA′与半圆 O 相切，当α＝ °时，点 O′落在NP上．

（3）当线段 NO′与半圆 O 只有一个公共点 N 时，直接写出β的取值范围．

【答案】发现：（1）1，60°；（2）23；拓展：（1）相切，理由详见解析；（2）45°；30°；（3）0°＜α＜30°或 45°≤α＜90°．

【解析】

【分析】

发现：（1）利用垂径定理和勾股定理即可求出点O到AB的距离；利用锐角三角函数的定义及轴对称性就可求出∠ABA′．

（2）根据切线的性质得到∠OBA′=90°，从而得到∠ABA′=120°，就可求出∠ABP，进而求出∠OBP=30°．过点O作OG⊥BP，垂足为G，容易求出OG、BG的长，根据垂径定理就可求出折痕的长．

拓展：（1）过A'、O作A'H⊥MN于点H，OD⊥A'C于点D．用含30°角的直角三角形的性质可得OD=A'H=12A'N=12MN=2可判定A′C与半圆相切；

（2）当NA′与半圆相切时，可知ON⊥A′N，则可知α=45°，当O′在PB时，连接MO′，则可知NO′=12MN，可求得∠MNO′=60°，可求得α=30°；

（3）根据点A′的位置不同得到线段NO′与半圆O只有一个公共点N时α的取值范围是0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．

【详解】

发现：（1）过点O作OH⊥AB，垂足为H，如图1所示,

∵⊙O的半径为2，AB=23，

∴OH=22OBHB=222(3)1

在△BOH中，OH=1，BO=2

∴∠ABO=30°

∵图形沿BP折叠，得到点A的对称点A′．

∴∠OBA′=∠ABO=30°

∴∠ABA′=60°

（2）过点O作OG⊥BP，垂足为G，如图2所示．

∵BA′与⊙O相切，∴OB⊥A′B．∴∠OBA′=90°．

∵∠OBH=30°，∴∠ABA′=120°．

∴∠A′BP=∠ABP=60°．

∴∠OBP=30°．∴OG=12OB=1．∴BG=3．

∵OG⊥BP，∴BG=PG=3．

∴BP=23．∴折痕的长为23

拓展：（1）相切．

分别过A'、O作A'H⊥MN于点H，OD⊥A'C于点D．如图3所示，

∵A'C∥MN ∴四边形A'HOD是矩形

∴A'H=O

∵α=15°∴∠A'NH=30

∴OD=A'H=12A'N=12MN=2

∴A'C与半圆

（2）当NA′与半圆O相切时，则ON⊥NA′，

∴∠ONA′=2α=90°，

∴α=45

当O′在PB上时，连接MO′，则可知NO′=12MN，

∴∠O′MN=0°

∴∠MNO′=60°，

∴α=30°，

故答案为：45°；30°．

（3）∵点P，M不重合，∴α＞0，

由（2）可知当α增大到30°时，点O′在半圆上，

∴当0°＜α＜30°时点O′在半圆内，线段NO′与半圆只有一个公共点B；

当α增大到45°时NA′与半圆相切，即线段NO′与半圆只有一个公共点B．

当α继续增大时，点P逐渐靠近点N，但是点P，N不重合，

∴α＜90°，

∴当45°≤α＜90°线段BO′与半圆只有一个公共点B．

综上所述0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．

【点睛】

本题考查了切线的性质、垂径定理、勾股定理、三角函数的定义、30°角所对的直角边等于斜边的一半、翻折问题等知识，正确的作出辅助线是解题的关键．

2．如图，AB是半圆O的直径，C是的中点，D是的中点，AC与BD相交于点E.

（1）求证：BD平分∠ABC；

（2）求证：BE=2AD；

（3）求DEBE的值.

【答案】（1）答案见解析（2）BE=AF=2AD（3）212

【解析】

试题分析：（1）根据中点弧的性质，可得弦AD=CD，然后根据弦、弧、圆周角、圆心角的性质求解即可；

（2）延长BC与AD相交于点F, 证明△BCE≌△ACF, 根据全等三角形的性质可得BE=AF=2AD；

（3）连接OD,交AC于H.简要思路如下：设OH为1，则BC为2，OB=OD=2 ，DH=21, 然后根据相似三角形的性质可求解.

试题解析：（1）∵D是的中点

∴AD=DC

∴∠CBD=∠ABD

∴BD平分∠ABC

（2）提示：延长BC与AD相交于点F,

证明△BCE≌△ACF,

BE=AF=2AD

（3）连接OD,交AC于H.简要思路如下：

设OH为1，则BC为2，OB=OD=2 ，

DH=21, DEBE=DHBC

DEBE=212

3．如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点E，连接AC，BC，点F是BA延长线上的一点，且∠FCA＝∠B.

(1)求证：CF是⊙O的切线； (2)若AE＝4，tan∠ACD＝ 12 ，求AB和FC的长．

【答案】(1)见解析;(2) ⑵AB=20 ， 403CF

【解析】

分析：（1）连接OC，根据圆周角定理证明OC⊥CF即可；

（2）通过正切值和圆周角定理，以及∠FCA＝∠B求出CE、BE的长，即可得到AB长，然后根据直径和半径的关系求出OE的长，再根据两角对应相等的两三角形相似（或射影定理）证明△OCE∽△CFE，即可根据相似三角形的对应线段成比例求解.

详解：⑴证明：连结OC

∵AB是⊙O的直径

∴∠ACB=90°

∴∠B+∠BAC=90°

∵OA=OC

∴∠BAC=∠OCA

∵∠B=∠FCA

∴∠FCA+∠OCA=90°

即∠OCF=90°

∵C在⊙O上

∴CF是⊙O的切线

⑵∵AE=4，tan∠ACD12AEEC

∴CE=8

∵直径AB⊥弦CD于点E

∴ADAC

∵∠FCA＝∠B

∴∠B=∠ACD=∠FCA

∴∠EOC=∠ECA

∴tan∠B=tan∠ACD=1=2CEBE ∴BE=16

∴AB=20

∴OE=AB÷2-AE=6

∵CE⊥AB

∴∠CEO=∠FCE=90°

∴△OCE∽△CFE

∴OCOECFCE

即106=8CF

∴40CF3

点睛：此题主要考查了圆的综合知识，关键是熟知圆周角定理和切线的判定与性质，结合相似三角形的判定与性质和解直角三角形的知识求解，利用数形结合和方程思想是解题的突破点，有一定的难度，是一道综合性的题目.

4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，BD＝BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E

(1) 求证：BE是⊙O的切线

(2) 若EC＝1，CD＝3，求cos∠DBA

【答案】（1）证明见解析；（2）∠DBA35

【解析】

分析：（1）连接OB，OD，根据线段垂直平分线的判定，证得BF为线段AD的垂直平分线，再根据直径所对的圆周角为直角，得到∠ADC=90°，证得四边形BEDF是矩形，即∠EBF=90°，可得出结论.

（2）根据中点的性质求出OF的长，进而得到BF、DE、OB、OD的长，然后根据等角的三角函数求解即可.

详解：证明：(1) 连接BO并延长交AD于F，连接OD

∵BD＝BA，OA＝OD

∴BF为线段AD的垂直平分线

∵AC为⊙O的直径

∴∠ADC＝90°

∵BE⊥DC

∴四边形BEDF为矩形 ∴∠EBF＝90°

∴BE是⊙O的切线

(2) ∵O、F分别为AC、AD的中点

∴OF＝12CD＝32

∵BF＝DE＝1＋3＝4

∴OB＝OD＝35422

∴cos∠DBA＝cos∠DOF＝332552OFOD

点睛：此题主要考查了圆的切线的判定与性质，关键是添加合适的辅助线，利用垂径定理和圆周角定理进行解答，注意相等角的关系的转化.

5．如图，⊙M与菱形ABCD在平面直角坐标系中，点M的坐标为（3，﹣1），点A的坐标为（﹣2，3），点B的坐标为（﹣3，0），点C在x轴上，且点D在点A的左侧．

（1）求菱形ABCD的周长；

（2）若⊙M沿x轴向右以每秒2个单位长度的速度平移，同时菱形ABCD沿x轴向右以每秒3个单位长度的速度平移，设菱形移动的时间为t（秒），当⊙M与BC相切，且切点为BC的中点时，连接BD，求：

①t的值；

②∠MBD的度数；

（3）在（2）的条件下，当点M与BD所在的直线的距离为1时，求t的值．

【答案】（1）8；（2）①7；②105°；（3）t=6﹣3或6+33．

【解析】 分析：（1）根据勾股定理求菱形的边长为2，所以可得周长为8；

（2）①如图2，先根据坐标求EF的长，由EE'﹣FE'=EF=7，列式得：3t﹣2t=7，可得t的值；

②先求∠EBA=60°，则∠FBA=120°，再得∠MBF=45°，相加可得：∠MBD=∠MBF+∠FBD=45°+60°=105°；

（3）分两种情况讨论：作出距离MN和ME，第一种情况：如图5由距离为1可知：BD为⊙M的切线，由BC是⊙M的切线，得∠MBE=30°，列式为3t+3=2t+6，解出即可；

第二种情况：如图6，同理可得t的值．

详解：（1）如图1，过A作AE⊥BC于E．

∵点A的坐标为（﹣2，3），点B的坐标为（﹣3，0），∴AE=3，BE=3﹣2=1，∴AB=22AEBE=2231（）=2．

∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD=2，∴菱形ABCD的周长=2×4=8；

（2）①如图2，⊙M与x轴的切点为F，BC的中点为E．

∵M（3，﹣1），∴F（3，0）．

∵BC=2，且E为BC的中点，∴E（﹣4，0），∴EF=7，即EE'﹣FE'=EF，∴3t﹣2t=7，t=7；

②由（1）可知：BE=1，AE=3，

∴tan∠EBA=AEBE=31=3，∴∠EBA=60°，如图4，∴∠FBA=120°．

∵四边形ABCD是菱形，∴∠FBD=12∠FBA=11202=60°．

∵BC是⊙M的切线，∴MF⊥BC．

∵F是BC的中点，∴BF=MF=1，∴△BFM是等腰直角三角形，

∴∠MBF=45°，∴∠MBD=∠MBF+∠FBD=45°+60°=105°；

（3）连接BM，过M作MN⊥BD，垂足为N，作ME⊥BC于E，分两种情况：

第一种情况：如图5．

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，∴∠CBD=60°，∴∠NBE=60°．

∵点M与BD所在的直线的距离为1，∴MN=1，∴BD为⊙M的切线．

∵BC是⊙M的切线，∴∠MBE=30°．

∵ME=1，∴EB=3，∴3t+3=2t+6，t=6﹣3；