样条曲线 c2连续

lt;1和四个控制点p0,p1,p2和p3. 设P(u)是一个三次周期B样条,满足条件: P(0) = (p0 + 4p1 + p2)/6, P(1) = (p1 + 4p2 + p3)/6, P′(0) = (p2 – p0)/2, P′(1) = (p3 – p1)/2. P(0) P(1) P′(0) P′(1) 1 0 =1/6 -3 0 4 1 0 -3 1 4 3 0 0 1 0 3 p0 p1 p2 p3
（2）的矩阵的形式：p0 = pN, pN+1 = p1.
4 1 1 4 1 1 4 1 1 4 1 … 1 1 p1 p2 . . . pN-1 pN Q1 Q2 . . . QN-1 QN
=6
1 4 1 1 4
（3）的矩阵的形式：p0 = p1, pN+1 = pN.
6 -6 1 4 1 1 4 1 1 4 1 … 1 4 1 6 -6 p0 p1 p2 . . . pN pN+1 0 Q1 Q2 . . . QN-1 QN 0
P′(u) = 1/6(3u2 2u 1)
-1 3 -3 1 = ½ (u2 u 1) 2 -4 2 0 -1 0 1 0
P′′(u) = (u 1) -1 3 -3 1 1 -2 1 0
p0 p1 p2 p3
三次B样条的性质
• C2连续性 记 Pk(u)为对应于控制点pk, pk+1,pk+2 和pk+3. Pk(1) = (pk + 4pk+1 + pk+2)/6 = Pk+1(0)，这是连续性 Pk′(1) = ½ (pk+3 – pk+1) = Pk+1′(0)，这是C1连续性 Pk′′(1) = pk+1 -2pk+2 +pk+3 = Pk+1′′(0)，这是C2连续性

D O I：10.11772/j .issn.1001-9081.2017102563
基于三次B 样条曲线拟合的智能车轨迹跟踪算法
张永华、杜 煜 2' 潘 峰 2, 魏 岳 3 ( 1 .北京联合大学智慧城市学院，北 京 100101; 2 . 北京联合大学机器人学院，北 京 100101;
3 . 保定学院物理与电子工程系，河 北 保 定 071000) ( * 通信作者电子邮箱duyu@ buu. edu. cn)
关键词 ：智能车；轨迹跟踪算法; 三 次 B 样条曲线拟合;切向角
中图分类号：TP301.6 文献标志码:A
Intelligent vehicle path tracking algorithm based on cubic B-spline curve fltting
ZHANG Yonghua1, DU Yu2% PAN Feng2, WEI Yue3
摘 要 :针对传统几何轨迹跟踪算法切向角获取依赖高精度惯导设备的问题，提 出 了 基 于 三 次 B 样条曲线拟合
的轨迹跟踪算法。首 先 ，通过对先验地图中的离散轨迹点进行拟合生成平滑轨迹线；然 后 ，根据轨迹方程通过插值法
重新生成离散路点，并计算各个路点处的切向角，从 而 实 现 了 对 多 传 感 器 融 合 轨 迹 的 优 化 与 跟 踪 。在真实的智能车 实验平台上，用所提算法对20 k m /h 低 速 绕 圈 和 60 k m /h 较高速度直道两种典型场景进行了在真实道路下的跟踪测 试 。在低速大曲率和较高速度直道两种典型场景下，所提算法轨迹跟踪的最大横向误差均保持在0.3 m 以内。 实验 结 果 表 明 ，该 算 法 有 效 解 决 了 传 统 几 何 轨 迹 跟 踪 算 法 对 惯 导 设 备 依 赖 的 问 题 ，同 时 保 持 了 较 好 的 跟 踪 性 能 。

其 中 表 示步 长为 ｈ的 ｋ阶 向前差 分算 子．
２ 三 次 样 条 插值 的构 造
对于 区间 ［ ，］ 的一个 划 分 Ａ ： — 。 ｎ ６上 ａ ＜
＜ …＜ 一６ 在 每 个节 点 ， 给 定 相 应 的 函数 ， 上
定义
次 多项式
设 － ） 区 间 ［ ， ］ 有 定 义 ， ｎ 厂 （ 在 ｎ６上 称
Ａ Ｃ Ｃｕ ｉ ｐｌｎｅ Ｉ ｔ ｒ ｏ ａ ｂ ｃ Ｓ ｉ ｎ ｅ ｐ ｌ ｎｔ
ＺＨＯＵ ｉｑ ａ ， Ｕ ｏ ｇ ｙ ｎ 。 Ｚｈ — ｉｎｇ Ｗ Ｈ ｎ — ｉｇ
（ ｐ ｒ ｍ ｅ ｆ Ｍ ａ ｈ ｍａ ｉｓ １ Ｄｅ ａ ｔ ｎｔｏ ｔ ｅ ｔｃ ，Ｈ ｕ ｉ ａ Ｃｏｌｅ ａ ｈｕ ｌ ｇｅ， ｕ ｉ ａ， ｕ ａ ８ ８； Ｈ ａ ｈｕ Ｈ ｎ ｎ ４１ ００
差 上 界 的估 计 ． 传 统 算 法 比 较 。 开 了 求解 方 程 组 的 困难 ． 与 避
关 键 词 ： ｅｎ ｔｉ Ｂ ｒ ｓｅ ｎ多项 式 ； 次 样 条插 值 ； 致 收 敛 三 一 中 图分 类 号 ： ７ ． １ ０１ ４ ４ 文献 标 识 码 ： Ａ 文章 编 号 ： ０ ９ １ ３ （ ０ ７ ０ —０ ３ —０ １０ — ４ ２ ２０ ）２ ０ ５ ３
值 ｆ（ 一 厂 ， 一０ １ … 川． Ｓ ） ２ ｎ ｂ ｘ ） ＪＪ ， ， 设 （ ∈Ｃ ［ ，－ ］
是节 点函数 ， 则
它应 该 满足 如下条 件［ ］ 】 ：
Ｂ （ ， 一 ｆ ａ ｉ ） ／ ６ ｎ ” （ ） － ） 厂 （ ＋ ｈ ｐ （ （一 ） ） １
１ Ｂ ｒ ｓｅｎ多 项 式 及 其 性 质 ｅｎ ｔｉ
样 条插值 方 法 在 优 化 计 算 中 占 有重 要 的 地 位 ． 典 的三 次样 条插值 需要 求解 三对 角方 程组 ， 经 这给优 化计算 带来 不便 ． 以下 利 用 三 次 Ｂ ｒ ｓｅ ｅｎ ｔｉ ｎ 多项式 构造 一种 Ｃ 连 续 的三次 样条插值 ， 证 明 ２ 并 其存 在唯一 性与 一 致 收敛 性． 该方 法 避 开 求 解方

C 2连续的4次插值样条曲线韩旭里,陈仕河,王文涛(中南大学应用数学与应用软件系,湖南长沙　410083)摘要:通过引入1组新的插值样条基函数:B 0(t )=-λt +3λt 2-3λt 3+λt 4,B 1(t )=1+(2λ-1)t -3t 2+5(1-λ)t 3+(3λ-2)t 4,B 2(t )=(1-λ)t +3(1-λ)t 2+(7λ-4)t 3+(1-3λ)t 4,B 3(t )=(λ-1)t 3+(1-λ)t 4,构造了4次插值样条函数,讨论了可调参数对曲线段端点切矢的影响和曲线的拐点性质.结果表明:这些曲线是整体C 2连续的,是局部可修改和可调的.关键词:计算机辅助几何设计;曲线设计;插值样条曲线中图分类号:O241.3文献标识码:A文章编号:100529792(2001)0320328203 曲线设计是计算机辅助几何设计(C AG D )领域中的主要内容[123]],其曲线主要有B ézier 曲线、B 样条曲线以及有理B 样条曲线,这些曲线各有优点.为了解决插值问题,一些研究人员提出了不少以这些曲线为基础的解决方法[428].常用的方法有:解线性方程组反算;通过构造辅助线进行分段曲线拼接;选择一定条件下的参数使分段曲线光滑连接,等等.这些方法不具有局部可调性,且增加了计算量.为此,作者引入1组4次多项式基函数来构造1种插值样条曲线.引入的样条基函数含有1个可变参量,构造出来的插值样条曲线不但插值于所有型值点,而且具有C 2连续、局部可修改和可调的性质.1　插值样条曲线111　样条基函数定义1　设t ∈[0,1],称B 0(t )=-λt +3λt 2-3λt 3+λt 4,B 1(t )=1+(2λ-1)t -3t 2+5(1-λ)t 3+(3λ-2)t 4,B 2(t )=(1-λ)t +3(1-λ)t 2+(7λ-4)t 3+(1-3λ)t 4,B 3(t )=(λ-1)t 3+(1-λ)t 4为样条函数.因为λ可变,所以,λ取不同值时,就可得到不同的具体基函数.容易证明,基函数满足B 0(t )+B 1(t )+B 2(t )+B 3(t )≡1.112　插值样条曲线定义2　给定型值点组b i (i =0,1,…,n +1),定义曲线段P i (t )=63j =0b i +j B j (t ),　0≤t ≤1.曲线P (t )由曲线段P i (t )(0≤t ≤1,i =0,1,…,n -2)组成.定理1　曲线P (t )插值于型值点组b i (i =1,…,n ),并且P (t )∈C 2.证明　由P (t )的定义可知,P (t )由n -1段曲线组成,第i 段曲线为P i (t ).由B i (t )(i =0,1,2,3)的定义,可得:P i (0)=b i +1;P i (1)=b i +2;P i ′(0)=-λb i +(2λ-1)b i +1+(1-λ)b i +2;P i ′(1)=-λb i +1+(2λ-1)b i +2+(1-λ)b i +3;P i ″(0)=6λb i -6b i +1+6(1-λ)b i +2;P i ″(1)=6λb i +1-6b i +2+6(1-λ)b i +3.则P i (t )插值于点b i +1和b i +2.当i 由0到n -2变化时,得P (t )插值所有型值点P i (i =1,…,n ).因此,第i 段曲线P i (t )和第i +1段曲线P i +1(t )有下面的连接关系:P i (1)=P i +1(0)=b i +1,P i ′(1)=P i +1′(0),P i ″(1)=P i +1″(0).即P (t )插值所有型值点组P i (i =1,2,…,n ),并且P (t )∈C 2.证毕.显然,改变第i 个型值点b i ,至多使P i -2(t ),收稿日期:2000-08-03作者简介:韩旭里(1957-),男,湖南武冈人,中南大学教授,博士,主要从事计算数学研究.第32卷第3期2001年6月 中南工业大学学报J.CE NT.S OUTH UNI V.TECH NO L.V ol.32　N o.3June 2001P i-1(t),P i(t),P i+1(t)4段曲线受到影响,故P(t)具有局部性.而P(t)中含有可变参数λ,改变λ,可改变曲线P(t)的形状,因此,上述曲线可方便地用于插值曲线设计.113　参数λ对曲线P i(t)端点切矢的影响及拐点的性质由于P i′(0)=-λb i+(2λ-1)b i+1+(1-λ)b i+2=λ(bi+1-b i)+(1-λ)(b i+2-b i+1),因此,若b i,b i+1,b i+23点共线,则点P i(0)的切线就是b i b i+2;若b i,b i+1,b i+23点不共线,则3点构成三角形,并且当0<λ<1时,P i′(0)的方向范围在由射线b i+1b i+2与b i b i+1所围成的区域内.定理2　若b i b i+1×b i+1b i+2与b i+1b i+2×b i+2b i+3反向,则曲线段P i(t)在0≤t≤1内至少有1个拐点.证明　设k i(t)(0≤t≤1)为曲线段P i(t)的曲率矢,则P i′(0)=-λb i+(2λ-1)b i+1+(1-λ)b i+2=λ(bib i+1)+(1-λ)(b i+1b i+2),P i″(0)=6λb i-6b i+1+6(1-λ)b i+2=6λb i+2b i+6b i+1b i+2,k i(0)=P i′(0)×P i″(0) |P i′(0)|3=[6λ2b i b i+1×b i+2b i+6λb i b i+1×b i+1b i+2+6λ(1-λ)b i+1b i+2×b i+2b i]/|P i′(0)|3=λ(1-λ)Δi |P i′(0)|.其中:Δi=12b i b i+1×b i+1b i+2.同理可得:k i(1)=λ(1-λ)Δi |P i′(0)|3.其中:Δi+1=12b i+1b i+2×b i+2b i+3.由于P i(t)(0≤t≤1)是曲率矢连续的,则当k i(0)・k i(1)<0时,P i(t)在0≤t≤1内至少有1个拐点.可见,k i(0)・k i(1)的正负取决于Δi・Δi+1的正负,与λ无关,不能对其进行调节.由Δi与Δi+1的定义可知,若b i b i+1×b i+1b i+2与b i+1b i+2×b i+2b i+3同向,则Δi・Δi+1为正,若反向则为负.证毕.2　闭曲线和开曲线的构造插值曲线P(t),b0和b n+1可自由选取.在此,选取b0和b n+1以得到曲线端点行为.构造以b i(i=1,…n)为型值点的插值闭曲线, b1与b n相连,令b0=b n,b n+1=b1,则曲线段P i(t)(i=0,1,…,n-1)构成闭曲线.边界点b0和b n+1不影响曲线P(t)在b1和b n 处的位置,但它们分别对曲线P(t)在b1和b n处的切矢和曲率有影响.若构造以b1和b n为端点的开曲线,则在没有特殊要求的情况下,可取b0=b1, b n+1=b n,这样,P0′(0)=(1-λ)(b2-b1),P n-2′(1)=λ(b n-b n-1).即曲线P(t)在b1和b n处的切线分别为b1b2和b n-1b n.图1～3是λ分别为011,015,019时的“人头”插图1　λ=011时的插值曲线图2　λ=015时的插值曲线图3　λ=019量的插值曲线923第3期 韩旭里,等:C2连续的4次插值样条曲线值曲线.其中,圆点为插值点,b0=b1,b n+1=b n.可见:调整λ的取值,可以得到不同的图形;λ增大时,曲线逐渐光滑.参考文献:[1]　Bohmetal W.A survey of curve and surface methods in CAG D[J].CAG D,1984,(1):1260.[2]　T g oodman T N,Ong B H.Shape preserving interpolation by spacecurve[J].CAG D,1997,15:1217.[3]　施法中.计算机辅助几何设计与非均匀有理B样条[M].北京:北京航空航天大学出版社,1994.[4]　王天军.一个反求Bézier曲面控制点的算法[J].计算机辅助几何设计与图形学学报,1992,4(3):36240.[5]　王苏勤.B2S pline曲线顶点的反算[J].工程图形学学报,1993,(2):32239.[6]　叶　林,许　虹.交互式保凸离散插值曲线[J].计算机辅助几何设计与图形学学报,1992,4(1):41246.[7]　丁有栋,华宣积.光滑曲线生成的一类保凸插值细分方法及其性质[J].计算机辅助几何设计与图形学学报,2000,12(7):4922 501.[8]　张之元,蒋方炎.空间曲线的圆弧样条插值[J].中国图象图形学报,1999,4(8):7022705.C2quartic interpolation spline curveH AN Xu2li,CHE N Shi2he,W ANG Wen2tao(Department of Applied Mathematics and Applied S oftware,Central S outh University,Changsha410083,China)Abstract:A group of new basic functions is given,i.e.,B0(t)=-λt+3λt2-3λt3+λt4,B1(t)=1+(2λ-1)t-3t2+5(1-λ)t3+(3λ-2)t4,B2(t)=(1-λ)t+3(1-λ)t2+(7λ-4)t3+(1-3λ)t4,B3(t)=(λ-1)t3+ (1-λ)t4.An interpolation spline curve by using these basic functions is defined.S ome effects of the variable parameter on the spline curvature and end point tangent are als o discussed.The results show that the interpolation spline curve is C2continuous,local m odification and can be adjusted.K ey words:C AG D;curve design;interpolant spline curve033中南工业大学学报 第32卷。