计算机图形学——绘制Bezier曲线

淮阴工学院计算机科学系实验报告书课程名：《计算机图形学》题目：实验4 BEZIER曲线或B样条曲线的绘制班级：学号：姓名：评语：成绩：指导教师：批阅时间：年月日1、实验内容或题目编程实现三次BEZIER或B样条曲线的绘制。

2、实验目的与要求(1) 通过实验，进一步理解和掌握生成BEZIER或B样条曲线的算法；(2) 掌握BEZIER或B样条曲线的基本生成过程；(3) 通过编程，会在TC环境下编程实现三次BEZIER或B样条曲线的绘制。

3、实验步骤与源程序错误！未找到引用源。

实验步骤1、算法、原理清晰，有详细的设计步骤；2、依据算法、步骤或程序流程图，用C语言编写源程序；3、编辑源程序并进行调试；4、进行特殊模式的运行测试，并结合情况进行调整；5、对运行结果进行保存与分析；6、打印源程序或把源程序以文件的形式提交；7、按格式书写实验报告。

错误！未找到引用源。

源代码#include "graphics.h"float px[4]={ 50,80,120,140 };float py[4]={100,230,230,160};void Bezier(){float a0,a1,a2,a3,b0,b1,b2,b3;int k,x,y;float i,t,n=4;setcolor(15);for(k=0;k<3;k++){moveto(px[k],py[k]);lineto(px[k+1],py[k+1]);}setcolor(4);a0=px[0];a1=-3*px[0]+3*px[1];a2=3*px[0]-6*px[1]+3*px[2];a3=-px[0]+3*px[1]-3*px[2]+px[3];b0=py[0];b1=-3*py[0]+3*py[1];b2=3*py[0]-6*py[1]+3*py[2];b3=-py[0]+3*py[1]-3*py[k+2]+py[3];for(i=0;i<n;i+=0.001){t=i;x=a0+a1*t+a2*t*t+a3*t*t*t;y=b0+b1*t+b2*t*t+b3*t*t*t;if(i==0)moveto(x,y);lineto(x,y);}}void main(){int driver,mode;driver=DETECT;initgraph(&driver,&mode,"..\\bgi");Bezier();}4、测试数据与实验结果5、结果分析与实验体会通过这次实验，我初步熟悉了turboc 的运行环境。

Bezier 曲线什么是 Bezier 曲线？Bezier 曲线是一种数学曲线，由法国工程师 Pierre Bézier 于20世纪50年代发明。

它是计算机图形学中最基本和最常用的曲线之一。

由于其简单性和灵活性，Bezier 曲线被广泛应用于计算机图形、工业设计、动画制作等领域。

Bezier 曲线的特点Bezier 曲线由一系列控制点确定，并通过调整这些控制点的位置和参数来定义曲线的形状。

以下是 Bezier 曲线的一些特点：1.可调节性：调整控制点的位置和参数可以改变曲线的形状、弯曲程度和速度。

2.平滑性：Bezier 曲线能够平滑连接控制点，使得曲线在控制点之间呈连续曲率。

3.参数化形状：Bezier 曲线可以通过调整参数来生成无限多种形状，从简单的直线到复杂的曲线。

4.逼近性：Bezier 曲线可以用来逼近其他复杂的曲线，如圆弧、椭圆等。

Bezier 曲线的数学表达Bezier 曲线是通过插值和多项式生成的数学曲线。

根据控制点的个数，可以确定 Bezier 曲线的阶数。

一般情况下，Bezier 曲线的阶数等于控制点数减1。

对于一维的 Bezier 曲线，它可由以下公式表示：Bezier 1DBezier 1D其中，n 为阶数，t 为参数，Pi 为控制点，Bi, n(t) 为 Bezier 基函数。

对于二维的 Bezier 曲线，它可由以下公式表示：Bezier 2DBezier 2D其中，n 为阶数，t 为参数，Pi 为控制点，Bi, n(t) 为 Bezier 基函数。

Bezier 曲线的应用Bezier 曲线的应用非常广泛，以下是一些常见的应用场景：1.计算机图形学：Bezier 曲线可以用来绘制平滑的曲线和曲面，用于构建2D和3D图形。

2.工业设计：Bezier 曲线可以用来设计平滑的汽车车身、家具等产品。

3.动画制作：Bezier 曲线可以用来定义动画路径，使得动画流畅而自然。

bezier 曲线拟合算法
贝塞尔曲线（Bezier Curve）是一种数学曲线，常用于图形设计和计算机图形学中的曲线拟合。

贝塞尔曲线可以通过控制点来描述曲线的形状。

在曲线拟合中，常用的一种算法是贝塞尔曲线拟合算法，其基本想是通过调整控制点的位置来逼近给定的数据点集合。

以下是一个简单的贝塞尔曲线拟合算法的步骤：
1.给定一组数据点集合，这些点将成为贝塞尔曲线要拟合的目标。

2.选起始控制点和结束控制点，这两个控制点定义了曲线的起始和
结束位置。

3.根据需求选择其他控制点的数量，每个控制点都会对曲线形状产
生影响。

4.根据控制点的位置，使用贝塞尔曲线公式计算出曲线上的各个点。

5.使用某种误差度量方法（例如最小二乘法），将拟合曲线与原始数
据点进行比较，并调整控制点的位置以减小误差。

6.重复步骤4和步骤5，直至达到满意的拟合效果或收敛。

需要注意的是，贝塞尔曲线拟合算法的具体实现方式可能因应用环境和需求而有所差异，这里只是提供了一种基本的算法框架。

在实际应用中，您可以根据具体情况进行调整和优化。

同时，还有其他的曲线拟合算法，如多项式拟合、样条曲线等，您也可以根据自己的需求选择适合的算法。

bezier曲线绘制算法
摘要：
1.贝塞尔曲线简介
2.贝塞尔曲线的计算方法
3.贝塞尔曲线的应用
4.贝塞尔曲线的优缺点
正文：
贝塞尔曲线是一种以四个控制点定义的平滑曲线，它具有很好的局部性和全球性，广泛应用于计算机图形学、动画设计等领域。

计算贝塞尔曲线的方法有多种，其中比较常见的是使用de Casteljau 算法。

该算法通过计算两个分段贝塞尔曲线的交点，来求解原始贝塞尔曲线上的点。

具体来说，假设我们有四个控制点A、B、C、D，我们首先计算出AB、BC 两条线段的贝塞尔曲线，然后求解这两条贝塞尔曲线的交点P，接着以P 为控制点，计算出PB、PC 两条线段的贝塞尔曲线，最后求解这两条贝塞尔曲线与AC 的交点，该交点即为所求的贝塞尔曲线上的点。

贝塞尔曲线的应用非常广泛，例如在计算机图形学中，它可以用于绘制任意形状的曲线，还可以用于控制物体的动画运动路径；在计算机辅助设计中，它可以用于精确控制设计曲线的形状，提高设计的准确性和效率。

贝塞尔曲线的优点在于其具有很好的局部性和全球性，可以很好地描述出各种复杂的曲线形状。

同时，贝塞尔曲线的计算方法相对简单，易于实现和控制。

然而，贝塞尔曲线也存在一些缺点，例如其计算过程中需要处理复杂的数
学运算，对计算机的计算能力有一定的要求。

此外，贝塞尔曲线的控制点数量较多，调整起来比较麻烦，需要一定的技巧和经验。

总的来说，贝塞尔曲线是一种重要的曲线描述方法，其在计算机图形学、动画设计等领域有着广泛的应用。

bezier曲线生成算法Bezier曲线是一种重要的曲线生成算法，被广泛应用于计算机图形学、CAD、动画等领域。

它是Bernstein多项式的线性组合，利用微积分和矩阵运算等数学知识进行计算。

下面将分步骤介绍Bezier曲线生成算法。

1.选择控制点决定Bezier曲线形状的有多个控制点。

一条曲线至少需要两个控制点，但大部分曲线使用的是三到四个控制点。

选择控制点要根据实际需要来确定，例如需要画一个弧度比较小的圆弧，那么就只需要选择少数几个点。

2.计算Bezier曲线的轨迹根据控制点求解Bezier曲线的轨迹有多种方法，如迭代法、递推法等。

这里我们使用递推公式，可具体分为三步：(1)首先计算Bezier曲线的一阶导数，即B0'(u)、B1'(u)、B2'(u)、B3'(u)；(2)然后根据一阶导数计算Bezier曲线的二阶导数，即B0''(u)、B1''(u)、B2''(u)、B3''(u)；(3)最后根据二阶导数计算Bezier曲线的轨迹，即B(u)=B0(u)、B1(u)、B2(u)、B3(u)。

其中B0(u)、B1(u)、B2(u)、B3(u)是Bezier基函数，u为Bezier曲线的参数。

3.绘制Bezier曲线根据Bezier曲线轨迹的坐标可以用直线或者曲线来连接，从而得到Bezier曲线的效果。

当然，为了获得更光滑、更细腻的曲线效果，我们一般使用二次或三次Bezier曲线。

4.应用Bezier曲线Bezier曲线有着广泛的应用，如计算机图形学中的曲面建模、动画制作中的路径控制、CAD绘图等。

在绘制曲线和曲面时，Bezier曲线可以很好的展现出几何图形的优美形态，所以在计算机辅助绘图和工程制图中被广泛应用。

综上所述，Bezier曲线生成算法是一种强大而优美的数学方法。

通过选择控制点、计算Bezier曲线的轨迹、绘制Bezier曲线以及应用Bezier曲线等步骤，可以生成出各种美妙的曲线和曲面。

用四个顶点的函数表示Bezier曲线一、Bezier曲线简介Bezier曲线是计算机图形学中常用的曲线类型，它通过定义一组控制点来描述曲线的路径。

其中，使用四个顶点来表示Bezier曲线是一种较为常见的方式。

二、Bezier曲线的表示方法在计算机图形学中，Bezier曲线通常使用参数方程来表示。

而使用四个顶点来定义Bezier曲线的参数方程为：B(t) = (1-t)^3 * P0 + 3*(1-t)^2 * t * P1 + 3*(1-t) * t^2 * P2 + t^3 * P3其中： - P0、P1、P2、P3分别代表四个控制点的坐标； - t是一个介于0和1之间的参数。

三、Bezier曲线的控制点选择选择合适的控制点是绘制出符合需求的Bezier曲线的关键。

由于Bezier曲线的性质，曲线会通过起始点P0和结束点P3，而中间的两个控制点P1和P2则决定了曲线的形状。

四、Bezier曲线的性质Bezier曲线具有以下特点： 1. 平滑性：Bezier曲线具有良好的平滑性，可以绘制出流畅的曲线。

2. 局部控制性：通过调整控制点的位置和权重，可以灵活地调整Bezier曲线的形状。

3. 可递推性：Bezier曲线的参数方程可以通过递推公式进行计算，从而实现高效绘制。

4. 可与直线相连：由于参数t的取值范围为0到1之间，因此Bezier曲线的起始点和结束点可以与其他直线段相连，实现复杂形状的绘制。

五、绘制Bezier曲线的算法绘制Bezier曲线的算法主要包括以下几个步骤： 1. 确定四个控制点P0、P1、P2、P3的坐标； 2. 将t的取值范围划分为一系列小的步长，例如0.01； 3. 对于每个t值，根据参数方程计算Bezier曲线上的点坐标； 4. 将计算得到的点坐标连接起来，即可绘制出Bezier曲线。

六、示例代码下面是一个使用Python编写的绘制Bezier曲线的示例代码：import matplotlib.pyplot as pltimport numpy as npdef bezier_curve(P0, P1, P2, P3, t):u = 1 - treturn u**3 * P0 + 3 * u**2 * t * P1 + 3 * u * t**2 * P2 + t**3 * P3# 设置四个控制点的坐标P0 = np.array([0, 0])P1 = np.array([1, 3])P2 = np.array([4, 2])P3 = np.array([6, 5])# 设置t的取值范围t = np.linspace(0, 1, 100)# 计算Bezier曲线上的点坐标x = bezier_curve(P0[0], P1[0], P2[0], P3[0], t)y = bezier_curve(P0[1], P1[1], P2[1], P3[1], t)# 绘制Bezier曲线plt.plot(x, y)plt.scatter([P0[0], P1[0], P2[0], P3[0]], [P0[1], P1[1], P2[1], P3[1]], c='red ')plt.xlabel('x')plt.ylabel('y')plt.title('Bezier Curve')plt.show()七、总结通过四个顶点的函数可以轻松地表示和绘制Bezier曲线。

实验四Bezier曲线的绘制1. 实验目的练习Bezier曲线的绘制和de Casteljau算法。

2. 实验内容和要求按要求完成如下一个作业，提交纸质实验报告，同时提交实验报告和代码的电子版。

实现Bezier曲线的de Casteljau递推算法，能够对任意介于0和1之间的参数t计算Bezier曲线上的点，然后依次连接这些点生成Bezier曲线。

要求：对[0,1]参数区间进行100等分。

控制点的数目至少为5个，即Bezier曲线的次数不低于4次。

de Casteljau算法用一个函数单独实现。

绘制Bezier曲线的同时还要绘制其控制多边形。

至少绘制两条Bezier曲线，具有不同的次数，颜色和曲线宽度。

3.算法描述Bezier Curve(贝塞尔曲线)是应用于二维图形应用程序的数学曲线。

曲线定义：起始点、终止点、控制点。

通过调整控制点，贝塞尔曲线的形状会发生变化。

1962年，法国数学家Pierre Bezier第一个研究了这种矢量绘制曲线的方法，并给出了详细的计算公式，因此按照这样的公式绘制出来的曲线就用他的姓氏来命名，称为贝塞尔曲线。

以下公式中：B(t)为t时间下点的坐标；P0为起点,Pn为终点,Pi为控制点。

一阶贝塞尔曲线如下，意义由 P0 至 P1 的连续点，描述的是一条线段：二阶贝塞尔曲线（抛物线：P1-P0为曲线在P0处的切线）：原理：由 P0 至 P1 的连续点 Q0，描述一条线段。

由 P1 至 P2 的连续点 Q1，描述一条线段。

由 Q0 至 Q1 的连续点 B(t)，描述一条二次贝塞尔曲线。

4. 源程序代码#include<C:\Include\GL\glut.h>#include<stdlib.h>#include<math.h>GLsizei winWidth = 600, winHeight = 600;GLfloat xwcMin = -150.0, xwcMax = 150.0;GLfloat ywcMin = -300.0, ywcMax = 300.0;class wcPt3D{public:GLfloat x, y, z; };void init(){glClearColor(1.0, 1.0, 1.0, 1.0); }void plotPoint(wcPt3D bezCurevePt){glBegin(GL_POINTS);glVertex2f(bezCurevePt.x, bezCurevePt.y);glEnd(); }void binomiaCoeffs(GLint n, GLint * C){GLint k, j;for (k = 0; k <= n; k++)C[k] = 1;for (j = n; j >= k + 1; j--)C[k] *= j;for (j = n - k; j >= 2; j--)C[k] /= j; }void computeBezPt(GLfloat u, wcPt3D * bezPt, GLint nCtrlPts, wcPt3D *CtrlPts, GLint *C){ GLint k, n = nCtrlPts - 1;GLfloat bezBlendFcn;bezPt->x = bezPt->y = bezPt->z = 0.0;for (k = 0; k<nCtrlPts; k++){bezBlendFcn = C[k] * pow(u, k) * pow(1 - u, n - k);bezPt->x += CtrlPts[k].x * bezBlendFcn;bezPt->y += CtrlPts[k].y * bezBlendFcn;bezPt->z += CtrlPts[k].z * bezBlendFcn; } }void bezier(wcPt3D * ctrlPts, GLint nCtrlPts, GLint nBezCurvePts){wcPt3D bezCurvePt;GLfloat u;GLint *C, k;C = new GLint[nCtrlPts];binomiaCoeffs(nCtrlPts - 1, C);for (k = 0; k <= nBezCurvePts; k++){u = GLfloat(k) / GLfloat(nBezCurvePts);computeBezPt(u, &bezCurvePt, nCtrlPts, ctrlPts, C);plotPoint(bezCurvePt); }delete[]C; }void displayFcn(void){GLint nCtrlPts = 5, nCtrlPts2 = 6, nBezCurvePts = 1000;wcPt3D ctrlPts[5] = { { -135.0, -59.0, 0.0 }, { -59.0, 95.0, 0.0 }, { 0.0, -40.0, 0.0 }, { 70.0, 120.0, 0.0 }, { 78, -125.0, 0.0 } };wcPt3D ctrlPts2[6] = { { -118.0, 20.0, 0.0 }, { -85.0, 45.0, 0.0 }, { -26.0, -126.0, 0.0 }, { 38.0, 88.0, 0.0 }, { 58.0, 188.0, 0.0 }, { 108.0, 98.0, 0.0 } }; glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT);glPointSize(6);glColor3f(0.0, 1.0, 1.0);bezier(ctrlPts, nCtrlPts, nBezCurvePts);glPointSize(5);glColor3f(1.0, 0.0, 1.0);bezier(ctrlPts2, nCtrlPts2, nBezCurvePts);glColor3f(0.0, 0.0, 1.0);glBegin(GL_LINES);glVertex2f(-135.0, -59.0);glVertex2f(-59.0, 95.0);glVertex2f(-59.0, 95.0);glVertex2f(0.0, -40.0);glVertex2f(0.0, -40.0);glVertex2f(70.0, 120.0);glVertex2f(70.0, 120.0);glVertex2f(78.0, -125.0);glVertex2f(-118.0, 20.0);glVertex2f(-85.0, 45.0);glVertex2f(-85.0, 45.0);glVertex2f(-26.0, -126.0);glVertex2f(-26.0, -126.0);glVertex2f(38.0, 88.0);glVertex2f(38.0, 88.0);glVertex2f(58.0, 188.0);glVertex2f(58.0, 188.0);glVertex2f(108.0, 98.0);glEnd();glFlush(); }void winReshapeFcn(GLint newWidth, GLint newHeight){glViewport(0, 0, newWidth, newHeight);glMatrixMode(GL_PROJECTION);glLoadIdentity();gluOrtho2D(xwcMin, xwcMax, ywcMin, ywcMax);glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT); }void main(int argc, char *argv[]){glutInit(&argc, argv);glutInitDisplayMode(GLUT_SINGLE | GLUT_RGB);glutInitWindowPosition(50, 50);glutInitWindowSize(winWidth, winHeight);glutCreateWindow("yxl 实验四 Bezier曲线");init();glutDisplayFunc(displayFcn);glutReshapeFunc(winReshapeFcn);glutMainLoop(); }5. 实验结果6.实验体会最后一次实验报告了，老师要求我们做Bezier曲线，需要我们对函数去理解的一次实验，对于数学比较差的我来说还是很有困难的，理解起来比较吃力。

计算机图形学实验报告班级计算机工硕班学号 2011220456姓名王泽晶实验三:Bezier 曲线实验目的：通过本次试验，学生可以掌握Bezier 曲线的求值、升阶算法及Bezier 曲线绘制方法。

实验内容：1. 绘制控制多边形（使用鼠标左键指定多边形顶点，右键结束），使用白色折线段表示。

2. 绘制Bezier 曲线，使用红色，线宽为2，在右键结束控制多边形顶点指定时即执行。

Bezier 曲线是一种广泛应用于外形设计的参数曲线，它通过对一些特定点的控制来控制曲线的形状，我们称这些点为控制顶点。

现在我们来给出Bezier 曲线的数学表达式。

在空间给定1n +个点012,,,,n P P P P ，称下列参数曲线为n 次Bezier 曲线：,0()(),01ni i n i P t P B tt ==≤≤∑ 其中,()i n B t 是Bernstein 基函数，其表达式为：,!()(1)!()!i n ii n n B t t t i n i -=--，接着我们讨论3次Bezier 曲线，我们也采用将表达式改写为矩阵形式的方法，我们得到：3303!()(1)!(3)!i i ii P t P t t i i -==--∑32230123(1)3(1)3(1)t P t t P t t P t P =-+-+-+01323232323331,363,33,P P t t t t t t t t t P P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=-+-+-+-+⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦01322313313630,,,133001000P P t t t P P --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎡⎤=⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦试验步骤：添加成员函数，编写成员数代码为public class Al_deCasteljau {public function Al_deCasteljau(){}// de Casteljau递推算法的实现public function recursion( ctrlPts:Array, k:int , i:int ,t:Number ):Point {if ( k==0 ) return ctrlPts[i];return addPoints(multiplyNumToPoint((1 - t),recursion(ctrlPts, k-1, i, t)), multiplyNumToPoint(t , recursion(ctrlPts, k-1, i+1, t)));}public function multiplyNumToPoint(n:Number,p:Point):Point{return new Point(p.x * n,p.y * n);}public function addPoints(p1:Point,p2:Point):Point{return new Point(p1.x + p2.x,p1.y + p2.y);}public function minusPoints(p1:Point,p2:Point):Point{return new Point(p1.x - p2.x,p1.y - p2.y);}public function algorithm_deCasteljau(t:Number, ctrlPts:Array ):Point{var size:int = ctrlPts.length;return recursion( ctrlPts, size-1, 0, t );}public function upgradePoints(ctrlPts:Array):Array{var size:int = ctrlPts.length;var newPts:Array = new Array();newPts[0] = ctrlPts[0]; // i = 0for ( var i:int =1; i<size; ++i ){var factor:Number = i / size;newPts[i] = addPoints(multiplyNumToPoint( factor , ctrlPts[i-1] ) , multiplyNumToPoint((1 - factor) , ctrlPts[i]));}newPts[size] = ctrlPts[ctrlPts.length-1]; // i = n+1return newPts;}public function downgradePoints(ctrlPts:Array):Array{var size:int = ctrlPts.length;var newPts:Array = new Array();newPts[0] = ctrlPts[0]; // i = 0for ( var i:int=1; i<size-1; ++i ){var factor:Number = 1.0 /(size-1 - i);newPts[i] = multiplyNumToPoint(factor,minusPoints(multiplyNumToPoint(size-1 , ctrlPts[i]), multiplyNumToPoint(i , newPts[i-1])));}return newPts;}}编译运行得到如下结果：。

计算机图形学实验4-----HermiteBezierB样条三种曲线的绘制实验四 Hermite Bezier Ｂ样条三种曲线的绘制⼀、实验⽬的了解和学习Hermite、Bezier、Ｂ样条三种曲线算法掌握基于 Win32、Visual C++环境MFC绘制图形配置过程制过程编程实现Hermite、Bezier、Ｂ样条三种曲线的绘制⼆、实验原理三次参数曲线1.曲线段可以⽤端点、切向量和曲线段之间的连续性等约束条件来定义2.两个端点和两端点处的切向量定义Hermite曲线；3.两个端点和另外两个控制端点切向量的点定义的Bezier曲线；4.由四个控制顶点定义的样条曲线。

三、实验关键代码void CDrawYTQXView::Hermite() //绘制Hermite三次插值样条{int a[4][4] ={{2,-2,1,1},{-3,3,-2,-1},{0,0,1,0},{1,0,0,0}};//Mh 矩阵系数int b[4][2];//边界点for(int i=0;i<4;i++){b[0][0]=p1[i][0];b[0][1]=p1[i][1];//起点的坐标b[1][0]=p1[i+1][0];b[1][1]=p1[i+1][1];//终点的坐标b[2][0]=p2[i][0];b[2][1]=p2[i][1];//起点的导数b[3][0]=p2[i+1][0];b[3][1]=p2[i+1][1];//终点的导数Caculate(a,b);CClientDC dc(this);CPen MyPen,*pOldPen;MyPen.CreatePen(PS_SOLID,1,RGB(0,0,255));pOldPen=dc.SelectObject(&MyPen);dc.MoveTo(p1[i][0],p1[i][1]);for(double t=0.0;t<=1;t+=1.0/400){int x=ROUND(pow(t,3)*result[0][0]+pow(t,2)*result[1][0]+ t*result[2][0]+result[3][0]);int y=ROUND(pow(t,3)*result[0][1]+pow(t,2)*result[1][1]+ t*result[2][1]+result[3][1]);dc.LineTo(x,y);}dc.SelectObject(pOldPen);MyPen.DeleteObject();}}void CDrawYTQXView::Caculate(int a[4][4],int b[4][2])//矩阵相乘{ int i,j,k;for(i=0;i<4;i++)for(j=0;j<2;j++)result[i][j]=0; //矩阵清零for(i=0;i<2;i++)for(j=0;j<4;j++)for(k=0;k<4;k++)result[j][i]+=a[j][k]*b[k][i];}void CDrawYTQXView::DrawBezier()//绘制Bezier曲线{CClientDC dc(this);double x,y;int rate=400,n;n=CtrlPoint-1;for(double t=0;t<=1;t+=1.0/rate){x=0;y=0;for(int i=0;i<=n;i++){x+=pt[i].x*Cnk(n,i)*pow(t,i)*pow(1-t,n-i);y+=pt[i].y*Cnk(n,i)*pow(t,i)*pow(1-t,n-i);}dc.SetPixel(ROUND(x),ROUND(y),RGB(0,0,255)); //曲线颜⾊}}double CDrawYTQXView::Cnk(const int &n, const int &i)//Bernstein 第⼀项{return double(Factorial(n)/(Factorial(i)*Factorial(n-i)));}int CDrawYTQXView::Factorial(int m)//阶乘函数{int f=1;for(int i=1;i<=m;i++)f*=i;return f;}void CDrawYTQXView::DrawB3_curves() //绘制B样条曲线{CClientDC dc(this);int i,rate=10,m;long lx,ly;m=CtrlPoint-(3+1);double F03,F13,F23,F33;lx=ROUND((pt[0].x+4.0*pt[1].x+pt[2].x)/6.0); //t＝0的起点x坐标ly=ROUND((pt[0].y+4.0*pt[1].y+pt[2].y)/6.0);//t＝0的起点y坐标dc.MoveTo(lx,ly);CPen MyPen2,*pOldPen2;MyPen2.CreatePen(PS_SOLID,2,RGB(0,0,255)); //颜⾊设置pOldPen2=dc.SelectObject(&MyPen2);for(i=1;i{for(double t=0;t<=1;t+=1.0/rate){F03=(-t*t*t+3*t*t-3*t+1)/6;//计算F0,3(t)F13=(3*t*t*t-6*t*t+4)/6;//计算F1,3(t)F23=(-3*t*t*t+3*t*t+3*t+1)/6;//计算F2,3(t)F33=t*t*t/6;//计算B3,3(t)lx=ROUND(pt[i-1].x*F03+pt[i].x*F13+pt[i+1].x*F23+pt[i+2].x*F33 );。

五、实验代码及原理：//计算v的m次方double CExp11View::Power(double v, int m){ int i=1;double temp=1.0;if(m==0||v==0) return (1.0);elsefor(i=1;i<=m;i++) temp=temp*v; //n个v相乘，v^m return temp;}//计算n的阶乘double CExp11View::NFactor(int n){ double factor=1;if(n==0) return (factor);while(n>0){ factor=n*factor;n=n-1;}return(factor);}//Bezier函数const N=3; //控制点数N+1const D=20; //分段数int CExp11View::Bezier(CDC* pDC,double P[21][2]){const width=600;const height=300;double B[N+1]; //基函数double Qx[D+1],Qy[D+1]; //各分段坐标点double AA,BB,CC,t;int i,j,e,cx,cy;cx=(int)P[0][0]; cy=(int)P[0][1]; //画特征多边形pDC->MoveTo(cx+width,height-cy);for(i=1;i<=N;i++){ cx=(int)P[i][0]; cy=(int)P[i][1];pDC->LineTo(cx+width,height-cy);}Qx[0]=P[0][0]; Qy[0]=P[0][1];Qx[D]=P[N][0]; Qy[D]=P[N][1];for(e=1;e<D;e++) //对于给定t，计算Bi,n(t){ t=(double)e/D;{ AA=NFactor(N);BB=NFactor(j);CC=NFactor(N-j);B[j]=AA/(BB*CC)*Power(t,j)*Power((1-t),(N-j));}Qx[e]=0; Qy[e]=0; //对于给定的t，计算各分段坐标点for(j=0;j<=N;j++){ Qx[e]=Qx[e]+B[j]*P[j][0];Qy[e]=Qy[e]+B[j]*P[j][1];}}cx=(int)(Qx[0]+0.5); cy=(int)(Qy[0]+0.5); //画出各分段坐标点连接pDC->MoveTo(cx+width,height-cy);for(e=1;e<=D;e++){ cx=(int)(Qx[e]+0.5); cy=(int)(Qy[e]+0.5);pDC->LineTo(cx+width,height-cy);}return 0;}//Bline函数const n=3; //特征多边形边数const k=3; //曲线阶数（曲线次数为C-1次）const width=100;const height=600;void CExp11View::Bline(CDC *pDC,double P[n+1][2],int ZD){double **Q= new double*[ZD+1];for(int a=0;a<ZD+1;a++) Q[a]=new double[2];//插值点坐标int u[n+k+1]; //纽结向量double N[n+k+1][k+1]; //基函数N(i,k）double D,E,t;int i,j,F,H,w,cx,cy;cx=(int)P[0][0]; cy=(int)P[0][1]; //画特征多边形pDC->MoveTo(cx+width,height-cy);for(i=1;i<=n;i++){ cx=(int)P[i][0]; cy=(int)P[i][1];pDC->LineTo(cx+width,height-cy);}for(i=0;i<=n+k;i++) //计算纽结向量{ if(i<k) u[i]=0;if(k<=i && i<=n) u[i]=i-k+1;if(i>n) u[i]=n-k+2;}{ for(i=0;i<=n+k-1;i++) //计算1阶基N[i][1]{ if(i==w) N[i][1]=1.0; //N(i,1)(t)=1,if u(w)<=t<u(w+1) and u(w)<u(w+1)else N[i][1]=0.0;}for(F=0;F<=ZD;F++){ t=(double)F/ZD+u[w];for(j=2;j<=k;j++) //计算不同值下的j阶基N[i][j]for(i=0;i<=n+k-j;i++){ if(N[i][j-1]==0)D=0;elseD=((t-u[i])*N[i][j-1])/(u[i+j-1]-u[i]);if(N[i+1][j-1]==0 )E=0;elseE=((u[i+j]-t)*N[i+1][j-1])/(u[i+j]-u[i+1]);N[i][j]=D+E;}j=k;for(H=0;H<=1;H++) //计算P[i]*N[i][j]{ Q[F][H]=0.0;for(i=0;i<=n;i++)Q[F][H]= Q[F][H]+P[i][H]*N[i][j];}}for(F=0;F<=ZD;F++) //画插值点连接{ if(F==0 && w==k-1){ cx=(int)(Q[0][0]+0.5); cy=(int)(Q[0][1]+0.5);pDC->MoveTo(cx+width,height-cy);}else{ cx=(int)(Q[F][0]+0.5); cy=(int)(Q[F][1]+0.5);pDC->LineTo(cx+width,height-cy);}}}}//第一条贝塞尔曲线void CExp11View::OnMenuitem32773(){CDC *pDC=GetDC(); //先获取给定窗口用户区的显示器描述表double P[D+1][2]={{180-500,0},{40-500,210+50},{360-500,210-20},{-500,0}}; //控制点坐标Bezier(pDC,P);}//第二条贝塞尔曲线void CExp11View::OnMenuitem32774(){CDC *pDC=GetDC(); //先获取给定窗口用户区的显示器描述表double P[D+1][2]={{0-50,0},{40-50,210},{360-50,210},{180-50,0}}; //控制点坐标Bezier(pDC,P);}//第三条贝塞尔曲线void CExp11View::OnMenuitem32775(){CDC *pDC=GetDC(); //先获取给定窗口用户区的显示器描述表double P[D+1][2]={{0+400,0},{40+400,210-80},{180+400,0},{360+400,210+20}}; //控制点坐标Bezier(pDC,P);}//第一条B样条曲线void CExp11View::OnMenuitem32776(){// TODO: Add your command handler code hereCDC *pDC=GetDC();//先获取给定窗口用户区的显示器描述表doubleP[n+1][2]={{100-200,100-100},{200-200,300-100},{400-200,300-100},{300-200,100-100}};Bline(pDC,P,3);}//第二条B样条曲线void CExp11View::OnMenuitem32777(){// TODO: Add your command handler code hereCDC *pDC=GetDC();//先获取给定窗口用户区的显示器描述表doubleP[n+1][2]={{100+300,100-100},{200+300,300-100},{400+300,300-100},{300+300,100-100}};Bline(pDC,P,5);}//第三条B样条曲线void CExp11View::OnMenuitem32778(){// TODO: Add your command handler code hereCDC *pDC=GetDC();//先获取给定窗口用户区的显示器描述表doubleP[n+1][2]={{100+800,100-100},{200+800,300-100},{400+800,300-100},{300+800,100-100}};Bline(pDC,P,20);}六、实验结果：。

贝塞尔曲线（Bezier Curve）和B样条（B-Spline）是计算机图形学中常用的两种曲线生成方法，它们在图形设计、动画制作、CAD软件等领域被广泛应用。

本文将从贝塞尔曲线和B样条的生成原理入手，深入探讨它们的内在机制和应用。

一、贝塞尔曲线的生成原理贝塞尔曲线是一种由法国工程师皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier）于1962年在汽车工业中首次引入的曲线生成方法。

其生成原理基于一组控制点来描述曲线的形状，这组控制点通过线性插值的方式来确定曲线的路径。

贝塞尔曲线的生成过程可以简要描述如下：1. 定义控制点：从给定的控制点集合中选择若干个点作为曲线的控制点。

2. 插值计算：根据控制点的位置和权重，通过插值计算得到曲线上的点。

3. 曲线绘制：利用插值计算得到的曲线上的点，进行绘制来呈现出贝塞尔曲线的形状。

在具体应用中，贝塞尔曲线的生成可以通过线性插值、二次插值和三次插值等不同插值方式来实现，其中三次插值的贝塞尔曲线应用最为广泛，其生成原理更为复杂，但也更为灵活。

二、B样条的生成原理B样条（B-Spline）是另一种常用的曲线生成方法，在实际应用中具有一定的优势。

B样条的生成原理与贝塞尔曲线不同，它是基于多项式函数的分段插值来描述曲线的形状。

B样条的生成过程可以简要描述如下：1. 定义控制点和节点向量：B样条需要定义一组控制点和一组节点向量（Knot Vector）来描述曲线的形状。

2. 基函数计算：根据节点向量和控制点，计算出关联的基函数（Basis Function）。

3. 曲线计算：利用基函数和控制点的权重，通过计算得到曲线上的点。

相比于贝塞尔曲线，B样条更为灵活，可以更精细地描述曲线的形状，并且能够进行局部编辑，使得曲线的变形更加方便。

三、应用比较与总结贝塞尔曲线和B样条是两种常用的曲线生成方法，它们各自具有一些优势和劣势，在实际应用中需要根据具体情况做出选择。

1. 灵活性比较：B样条相对于贝塞尔曲线更加灵活，能够更精细地描述曲线的形状，并且能够进行局部编辑，使得曲线的变形更加方便。

bezier曲线绘制算法贝塞尔曲线绘制算法贝塞尔曲线是一种常用于计算机图形学中的数学曲线，具有平滑弯曲的特性。

通过控制点的位置和数量，可以绘制出各种形状的曲线，如圆弧、曲线等。

本文将介绍贝塞尔曲线绘制算法的基本原理和实现方法。

1. 贝塞尔曲线的基本概念贝塞尔曲线由两个或多个控制点决定，通过这些控制点的位置，可以确定曲线的形状和轨迹。

其中，起始点和结束点称为锚点，而其他点称为控制点。

贝塞尔曲线的形状由控制点之间的插值和权重决定，权重决定了每个控制点对曲线形状的影响程度。

2. 二次贝塞尔曲线绘制算法二次贝塞尔曲线由三个点决定，分别是起始点P0、控制点P1和结束点P2。

绘制二次贝塞尔曲线的算法如下：(1) 将曲线分为若干个线段，每段用t从0到1进行插值。

(2) 根据插值参数t，计算控制点P0、P1和P2在x和y轴上的值。

(3) 绘制连接P0和P1的线段，连接P1和P2的线段。

3. 三次贝塞尔曲线绘制算法三次贝塞尔曲线由四个点决定，分别是起始点P0、控制点P1、P2和结束点P3。

绘制三次贝塞尔曲线的算法如下：(1) 将曲线分为若干个线段，每段用t从0到1进行插值。

(2) 根据插值参数t，计算控制点P0、P1、P2和P3在x和y轴上的值。

(3) 绘制连接P0和P1的线段，连接P1和P2的线段，以及连接P2和P3的线段。

4. 高阶贝塞尔曲线的绘制算法除了二次和三次贝塞尔曲线，还存在更高阶的贝塞尔曲线。

对于n 阶贝塞尔曲线，需要n+1个点来确定。

其绘制算法与二次和三次贝塞尔曲线类似，通过插值参数t来计算各个控制点的值，并连接相邻控制点。

5. 贝塞尔曲线的应用贝塞尔曲线在计算机图形学中有广泛的应用，常用于绘制平滑曲线、图形变形、字体设计等方面。

在计算机动画、游戏开发等领域，贝塞尔曲线的应用也非常广泛。

贝塞尔曲线是一种常用于计算机图形学中的数学曲线，通过控制点的位置和数量，可以绘制出各种形状的曲线。

本文介绍了贝塞尔曲线的基本概念，以及二次、三次和高阶贝塞尔曲线的绘制算法。

编程贝塞尔曲线贝塞尔曲线是一种常用于计算机图形学和计算机动画中的数学曲线。

它通过控制点来绘制平滑曲线，具有良好的插值性质和变形能力。

在编程中，贝塞尔曲线被广泛应用于图形设计、动画效果、游戏开发等领域。

本文将介绍贝塞尔曲线的原理和常用编程方法，并以实例说明如何使用代码实现和操作贝塞尔曲线。

一、贝塞尔曲线的原理贝塞尔曲线由控制点组成，而曲线上的所有点都由这些控制点决定。

在二维平面中，贝塞尔曲线可以通过多个控制点来定义。

对于二次贝塞尔曲线，需要三个控制点，分别为起点、终点和控制点；对于三次贝塞尔曲线，需要四个控制点，依此类推。

贝塞尔曲线的特点是平滑和可变形。

它能够通过调整控制点的位置和数量，实现各种不同形状的曲线。

同时，贝塞尔曲线还具有良好的插值性质，即曲线上的点在控制点所决定的区域内连续变化。

在计算机图形学中，贝塞尔曲线通常使用参数方程来描述。

假设有n个控制点，将它们依次标记为P0，P1，...，Pn-1，在参数范围[0, 1]内，贝塞尔曲线可以表示为下列形式的参数方程：B(t) = Σ(C(n, i) * t^i * (1-t)^(n-i) * Pi)其中，C(n, i)是组合数，表示从n个元素中选取i个的组合数。

贝塞尔曲线上的任一点B(t)由所有控制点的加权和决定，权重由组合数和参数t的幂次决定。

二、贝塞尔曲线的编程实现在编程中，可以通过数值计算来近似表示和绘制贝塞尔曲线。

常见的实现方式包括使用递归算法和迭代算法。

1. 递归算法递归算法是最直观和常用的绘制贝塞尔曲线的方法。

对于二次贝塞尔曲线，可以使用如下伪代码实现：function drawQuadraticBezierCurve(P0, P1, P2):for t from 0 to 1 with step 0.01:B(t) = (1 - t)^2 * P0 + 2 * t * (1 - t) * P1 + t^2 * P2drawPoint(B(t))其中，P0、P1和P2分别表示起点、控制点和终点的坐标。

besizer 曲线算法
Besier曲线是一种平滑曲线算法，常用于计算机图形学和计算
机辅助设计（CAD）中。

它是通过控制点来定义曲线形状的。

Besier曲线的基本思想是用一组控制点来定义一个多次多项式
曲线。

这组控制点通常包括起始点、结束点和两个或更多中间点。

曲线的形状取决于这些控制点的位置和相互之间的关系。

Besier曲线的计算方式基于贝塞尔多项式。

给定n个控制点
P0，P1，...，Pn-1和参数t（取值范围通常是0到1），Besier
曲线可以通过以下方式来计算：
B(t) = Σ (i = 0 to n-1) (Cn-i * ti * (1-t)n-i-1 * Pi)
其中，B(t)是Besier曲线上的一个点，ti是参数t的幂次方，
Cn-i是组合数（用于计算二项式系数），Pi是第i个控制点的
坐标。

通过改变控制点的位置和相互之间的关系，可以创建各种不同形状的曲线，包括直线、二次曲线和高阶曲线等。

Besier曲线具有很高的灵活性和精度，被广泛应用于计算机图
形学中的曲线绘制、形状设计和动画等领域。

计算机图形学实验报告专业：信息与计算科学班级： 1002班学号： **********姓名： ****实验目的：（1）掌握直线的参数表示法。

（2）掌握德卡斯特里奥算法的几何意义。

（3）掌握绘制二维Bezier曲线的方法。

实验要求：（1）使用鼠标左键绘制个数为10以内的任意控制点，使用直线连接构成控制多边形。

（2）使用鼠标右键绘制Bezier曲线。

（3）在状态栏显示鼠标的位置坐标。

（4）B ezier曲线使用德卡斯特里奥算法绘制。

实验算法：Bezier曲线的分割递推德卡斯特里奥算法给定空间n+1个点P i(i=0,1,2,…,n)及参数t，有P r i(t)=(1-t)P1-r i(t)+t P1-r1i+(t)式中，r=1,2,…,n;i=0,1,…,n-r;t∈[0,1]。

且规定当r=0时，P0i(t)=P i, P n0(t)是在曲线上具有参数t的点。

德卡斯特里奥算法的基础就是在矢量−−→−PP10上选择一个点P，使得P点划分矢量−−→−PP10为|PP0|：|PP1|=t：1-t，给定点P0、P1的坐标以及t的值，点P的坐标为P=P0+t(P1-P0)=(1-t)P0+tP1。

式中，t∈[0，1]。

定义贝塞尔曲线的控制点编号为P r i，其中，r表示迭代次数。

德卡斯特里奥证明了，当r=n时，P n0表示Bezier曲线上的点。

函数功能介绍1.德卡斯特里奥函数：long CMy12View::DeCasteliau(double t,long *p){double P[N_MAX_POINT][N_MAX_POINT];int n=CtrlPNum-1;for(int k=0;k<=n;k++){P[0][k]=p[k];}for(int r=1;r<=n;r++){for(int i=0;i<=n-r;i++){P[r][i]=(1-t)*P[r-1][i]+t*P[r-1][i+1];}}return(long(P[n][0]));}函数功能介绍：此函数为德卡斯特里奥算法函数。

bezier曲线绘制算法贝塞尔曲线绘制算法贝塞尔曲线是一种常用于图形设计和计算机图形学中的数学曲线。

它根据给定的控制点，通过插值计算得出平滑曲线。

这种曲线有着良好的平滑度和逼真度，在二维和三维图形的绘制中被广泛使用。

本文将介绍贝塞尔曲线的绘制算法及其应用。

一、贝塞尔曲线的基本原理贝塞尔曲线的绘制基于控制点的位置和权重来计算曲线上的点。

以二次贝塞尔曲线为例，需要三个控制点P0、P1和P2。

曲线上的任意一点P(t)的坐标可以通过以下公式计算：P(t) = (1-t)^2 * P0 + 2 * t * (1-t) * P1 + t^2 * P2其中，t为参数，取值范围为[0,1]之间。

当t=0时，P(t)为起点P0；当t=1时，P(t)为终点P2。

通过调整t的取值，可以得到不同位置的曲线上的点。

二、绘制贝塞尔曲线的算法绘制贝塞尔曲线的一种常用算法是利用递归和二项式展开来计算曲线上的点。

具体步骤如下：1. 确定控制点的数量和位置：根据需要绘制的曲线类型（二次、三次等），确定控制点的数量。

同时，确定每个控制点的具体位置。

2. 递归计算插值点：根据递推公式，计算参数t对应位置的插值点。

对于二次贝塞尔曲线，计算公式为P(t) = (1-t)^2 * P0 + 2 * t * (1-t) * P1+ t^2 * P2。

对于每个t值，计算出对应的插值点坐标。

3. 绘制曲线：连接计算得到的插值点，绘制出平滑曲线。

三、贝塞尔曲线的应用贝塞尔曲线由于其良好的平滑性和可控性，在图形设计和计算机图形学中得到广泛的应用。

下面介绍几个常见的应用领域。

1. 二维图形设计：贝塞尔曲线可以用于绘制二维图形和路径，如绘制平滑的曲线、绘制字体的曲线路径等。

通过调整控制点的位置和权重，可以绘制出各种形状的曲线和路径。

2. 三维图形建模：在三维图形建模中，贝塞尔曲线可用于绘制曲线型的三维物体，如飞机机翼的曲线形状、车辆车身的流线型等。

通过调整控制点的位置和权重，可以创建复杂的曲面。

绘制Bezier曲线编程及说明整体方案：（1）单击鼠标左键绘制控制点（不超过10个顶点），并自动连接为控制多边形。

（2）单击鼠标右键确定绘制Bezier曲线完毕。

（3）绘制时鼠标显示坐标。

（4）点击控制点可以改变Bezier曲线形状。

（5）可以使用鼠标或者键盘输入坐标绘制Bezier曲线。

关键技术：最小二乘法，曲线拟合，MFC框架编程Bezier曲线编程算法：// JjbView.cpp : implementation of the CJjbView class//#include "stdafx.h"#include "Jjb.h"#include "JjbDoc.h"#include "JjbView.h"#ifdef _DEBUG#define new DEBUG_NEW#undef THIS_FILEstatic char THIS_FILE[] = __FILE__;#endif/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// CJjbViewIMPLEMENT_DYNCREATE(CJjbView, CView)BEGIN_MESSAGE_MAP(CJjbView, CView)//{{AFX_MSG_MAP(CJjbView)ON_COMMAND(ID_BEZIER, OnBezier)ON_WM_LBUTTONDOWN()ON_WM_LBUTTONUP()ON_WM_MOUSEMOVE()ON_WM_RBUTTONDOWN()//}}AFX_MSG_MAP// Standard printing commandsON_COMMAND(ID_FILE_PRINT, CView::OnFilePrint)ON_COMMAND(ID_FILE_PRINT_DIRECT, CView::OnFilePrint)ON_COMMAND(ID_FILE_PRINT_PREVIEW, CView::OnFilePrintPreview) END_MESSAGE_MAP()/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// CJjbView construction/destructiondouble J(int n,int i);double C(int n,int i);double N(double u,int n);int JieCheng(int n);//构造函数CJjbView::CJjbView(){// TODO: add construction code herem_bIsChoosed=false;m_bStopDraw=false;m_bMakeSure=false;m_eChooseType=Bezier;while (m_vInputPoint.size()!=0){m_vInputPoint.pop_back();}while (m_vControlPoint.size()!=0){m_vControlPoint.pop_back();}while (m_vXiShu.size()!=0){m_vXiShu.pop_back();}}//析构函数CJjbView::~CJjbView(){while (m_vInputPoint.size()!=0){m_vInputPoint.pop_back();}while (m_vControlPoint.size()!=0){m_vControlPoint.pop_back();}while (m_vXiShu.size()!=0){m_vXiShu.pop_back();}}BOOL CJjbView::PreCreateWindow(CREATESTRUCT& cs) //定义窗口{// TODO: Modify the Window class or styles here by modifying// the CREATESTRUCT csreturn CView::PreCreateWindow(cs);}/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// CJjbView drawing// 刷新时绘图void CJjbView::OnDraw(CDC* pDC){CJjbDoc* pDoc = GetDocument();ASSERT_V ALID(pDoc);// TODO: add draw code for native data hereGetClientRect(&rect);if (m_eMouseStatus==MouseMove&&m_bStopDraw==false){m_vInputPoint.push_back(m_cMovePoint);}CString str;CClientDC d(this);int i;if(m_bIsChoosed==true){if (m_bStopDraw==false){str.Format(" X=%d,y=%d ]",m_cMovePoint.x,m_cMovePoint.y);d.TextOut(m_cMovePoint.x+10,m_cMovePoint.y+10,str);}switch(m_eChooseType)//菜单选择{case Bezier: //选择后的窗口状态str.Format("Bezier曲线，点击右键表示确定，移动节点改变形状。