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计算机图形学_曲线的生成

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计算机图形学--第十一讲 Bezier曲线

计算机图形学--第十一讲 Bezier曲线

任课教师：李陶深教授tshli@任课教师：李陶深教授tshli@12 曲线的基本概念Bézier 曲线5曲线与曲面的概述 4 3 6 B 样条曲线NURBS 曲线 常用的曲面Bézier曲线是由法国雷诺汽车公司工程师的Pierre Bézier在1971年发明的一种构造样条曲线和曲面的方法, 用来进行雷诺汽车的车身设计, 现在Bézier曲线曲面广泛应用在计算机图形学中的外形设计, 以及字体表示中.◆Bé◆在折线的各顶点中，只有第一点和最后一点在曲线上且作为曲线的起始处和终止处，其他的点用于控制曲线的形状及阶次。

◆曲线的形状趋向于多边形折线的形状，要修改曲线，只要修改折线的各顶点就可以了。

多边形折线又称的控制多边形，其顶点称为控制点。

6.3 Bézier 曲线—曲线的定义Bézier 曲线是由一组控制顶点和Bernstein 基函数混合(blending)得到的曲线.()[],0(), 0,1n i i n i t B t t ==∈∑C P 其中, P i (i =0,1,…,n)称为控制顶点; 顺序连接控制顶点生成控制多边形.()()[],1,0,1n i i i i n n B t C t t t -=-∈为Bernstein 基函数.Bézier 曲线的次数, 就是Bernstein 基函数的次数; Bézier 曲线的阶数, 就是控制顶点的个数. 阶数为次数加1.6.3 Bézier曲线—定义（2）给定空间n+1个点的位置矢量P i（i=0，1，2，…，n），则n次Bézier曲线上各点坐标的插值公式定义为：B i,n(t)是n次Bernstein基函数P i构成该Bézier曲线的特征多边形6.3 Bézier曲线—曲线的定义（3）Bézier曲线曲线的形状趋于特征多边形的形状①正性②权性由二项式定理可知：③对称性: 若保持原全部顶点的位置不变, 只是把次序颠倒过来, 则新的Bézier曲线形状不变, 但方向相反。

计算机图形学 曲线和曲面 算法

计算机图形学 曲线和曲面 算法

5.1.3 Bezier曲线 Bezier曲线
Q(t ) = [x(t ) = t y ( t ) z ( t )] = T * M B * G B −1 3 − 3 3 −6 3 t 1 * − 3 3 0 0 0 1 1 P 1 P 0 2 * 0 P3 0 P4
G1 g1x G g 2x G = 2 = G3 g 3 x G4 g 4 x g1 y g2 y g3 y g4 y g1z g2z g3z g4z
Q(t ) = [x(t )
G1 g1 x G g 2x G = 2 = G 3 g 3 x G 4 g 4 x
y (t ) z (t )] = t 3
g1 y g2 y g3 y g4 y g1 z g2z g3z g4z
[
t2
m11 m t 1 21 m31 m41
]
m12 m22 m32 m42
m13 m23 m33 m43
m14 G1 m24 G2 m34 G3 m44 G4
5.1.3 Bezier曲线 Bezier曲线
Q(t ) = T * M H * GH = T * M H * ( M HB * GB ) = T * ( M H * M HB ) * GB = T * M B * GB
M B = M H * M HB −1 3 − 3 3 −6 3 = − 3 3 0 0 0 1 1 0 0 0
如何确定曲线的约束条件
Q(t ) = [x(t ) y ( t ) z ( t )] = T * C
拆分 C = M * G

计算机图形学第3章 基本图形生成算法

计算机图形学第3章 基本图形生成算法
基函数（基本样条） 在局部参数区域分布 （支撑区间），因此 影响范围有限。
例题：有点P0（4，3）；P1（6，5）；P2（10，
6 ）；P3（12，4），用以上4点构造2次B样条曲线。
2.1.7 非均匀有理B样条
非均匀有理B样条NURBS（Non Uniform Rational BSpline）；
3.2.2
Bresenham画圆法
该算法是最有效的算法之一。
不失一般性，假设圆心(xc，yc) ,圆上的点(x′，y′)，则：
x' x xc
y ' y yc
圆心为原点，半径为R的位于第一象限1/8圆弧的画法，即(0, R)～( R , R )。
2 2
yi )， 思想:每一步都选择一个距离理想圆周最近的点P( xi ， 使其误差项最小。
画其他曲线。
3.3
自由曲线的生成
正弦函数曲线
指数函数曲线
多项式函数曲线
自 由 曲 线
概率分布曲线及样条函数曲线
3.3.1 曲线的基本理论
基本概念
2.1.4
规则曲线：可用数学方程式表示出来的，如抛物 线等。
自由曲线：很难用一个数学方程式描述的，如高
速公路等。可通过曲线拟合(插值、逼近)的方法来
例题： 利用Bresenham算法生成P （0，0）到Q（6，5）的直 线所经过的像素点。要求先 列出计算式算出各点的坐标 值，然后在方格中标出各点。
（1，1）
3.1.5 双步画线法 原理
模式1：当右像素位于右下角时，中间像素位于底线 模式4：当右边像素位右上角时，中间像素位于中线 模式2和模式3：当右像素位于中线时，中间像素可能位于底线 上，也可能位于中线上，分别对应于模式2和模式3，需进一步 判断。 当0≤k≤1/2时，模式4不可能出现，当1/2≤k≤1时，模式1不 可能出现。

计算机图形学曲线和曲面

计算机图形学曲线和曲面

曲线构造方法
判断哪些是插值、哪些是逼近
曲线构造方法
插值法
线性插值：假设给定函数f(x)在两个不同点x1和x2的值，用 线形函数 ：y=ax+b，近似代替f(x)，称为的线性插值函 数。
插值法
抛物线插值(二次插值):
已知在三个互异点x1,x2,x3的函数值为y1,y2,y3，要求构造 函数 ￠ (x)=ax2+bx+c,使得￠(x)在xi处与f(x)在xi处的值相 等。
曲线曲面概述
自由曲线和曲面发展过程
自由曲线曲面的最早是出现在工作车间，为了获得特殊的曲线，人们 用一根富有弹性的细木条或塑料条（叫做样条），用压铁在几个特殊 的点（控制点）压住样条，样条通过这几个点并且承受压力后就变形 为一条曲线。人们调整不断调整控制点，使样条达到符合设计要求的 形状，则沿样条绘制曲线。
5.1.2 参数样条曲线和曲面的常用术语
在工程设计中，一般多采用低次的参数样条曲线。 这是因为高次参数样条曲线计算费时，其数学模型难于 建立且性能不稳定，即任何一点的几何信息的变化都有 可能引起曲线形状复杂的变化。
因此，实际工作中常采用二次或三次参数样条曲线，如： 二次参数样条曲线： P (t) = A0 + A1t + A2t2 三次参数样条曲线： P (t) = A0 + A1t + A2t2 + A3t3
a3
1 0] a2 a1 a0
三次参数样条曲线
P(k) a3 0 a2 0 a1 0 a0 P(k 1) a3 1 a2 1 a1 1 a0 P '(k) 3a3t2 2a2t a1 a1 P '(k 1) 3a3 2a2 a1
P0 0 0 0 1 a3

希尔伯特曲线生成

希尔伯特曲线生成

希尔伯特曲线是一种连续的空间填充曲线，由德国数学家David Hilbert在19世纪90年代提出。

它是一种在二维平面上构造的路径，通常被用于计算机图形学、信号处理和数值分析等领域。

希尔伯特曲线具有以下特点：1．连续性：希尔伯特曲线是连续的，这意味着在曲线上的任何一点都可以平滑地过渡到其他点。

2．空间填充性：希尔伯特曲线具有空间填充性，即曲线可以填充整个平面或空间，使得相邻曲线之间没有空隙。

3．自相似性：希尔伯特曲线具有自相似性，即曲线的不同部分以相同的方式重复出现。

这意味着希尔伯特曲线可以通过递归地分割和细化来生成更小的曲线段。

4．计算效率：希尔伯特曲线具有较高的计算效率，因为它可以通过递归算法快速生成。

希尔伯特曲线的生成算法通常采用分治策略，将平面分成若干个小正方形，然后递归地生成填充这些正方形的曲线段。

希尔伯特曲线分为三种类型：1阶、2阶和n阶。

1阶希尔伯特曲线是最简单的，它仅包含一个正方形；2阶希尔伯特曲线包含4个正方形，并以“H”形状连接；n阶希尔伯特曲线包含2^n个正方形，并以更复杂的模式连接。

希尔伯特曲线的生成过程可以通过程序实现。

下面是一个简单的Python代码示例，用于生成2阶希尔伯特曲线：pythonimport matplotlib.pyplot as pltimport numpy as npdef hilbert_curve(level, x, y, direction):if level == 0:returnelse:x1 = x + 0.5y1 = y + 0.5x2 = x1 - 0.5 * directiony2 = y1 + 0.5 * directionx3 = x - 0.5 * directiony3 = y + 0.5 * directionx4 = x + 0.5 * directiony4 = y3 - 0.5 * directionplt.plot([x, x1, x2, x3, x4, x], [y, y1, y2, y3, y4, y], "b") # "b"代表蓝色plt.pause(0.05)hilbert_curve(level - 1, x1, y1, direction)hilbert_curve(level - 1, x2, y2, direction)hilbert_curve(level - 1, x3, y3, direction)hilbert_curve(level - 1, x4, y4, direction)def draw_hilbert(level):plt.figure(figsize=(5, 5))plt.axis("off") # 不显示坐标轴x = 0.5y = 0.5direction = 1 # 正方向或负方向hilbert_curve(level, x, y, direction) plt.show()。

计算机图形学第7章曲线和曲面分析

计算机图形学第7章曲线和曲面分析

基矩阵: Ms
几何约束条件: G
基函数(blenging function)，或称混合函数。
08:43
曲线和曲面
7.2 三次样条
给定n+1个点，可得到通过各个点的分段三次多项式曲线：
x(t) y(t)
axt ayt
3 3
bxt byt
2 2
cxt cyt
dx dyz(t)源自azt3bzt
6．参数变化对各因变量的影响可以明显地表示出来
08:43
曲线和曲面
7.1.4 插值和逼近样条
▪ 采用模线样板法表示和传递自由曲线曲 面的形状称为样条。
▪ 样条曲线是指由多项式曲线段连接而成 的曲线，在每段的边界处满足特定的连 续条件。
▪ 样条曲面则可以用两组正交样条曲线来 描述。
08:43
曲线和曲面
x(t) y(t)
ant n bnt n
a2t b2t
2 2
a1t1 b1t1
a0 b0
z(t)
cnt n
c2t
2
c1t1
c0
t [0,1]
08:43
曲线和曲面
x(t )
p(t)
y(t)
tn
z(t)
t
an
1 aa10
bn
b1 b0
cn
c1 c0
T C T M S G t[0,1]
特点: 只适用于型值点分布比较均匀的场合 不能“局部控制”
08:43
曲线和曲面
7.2.2 三次Hermite样条
定 义 ： 假 定 型 值 点 Pk 和 Pk+1 之 间 的 曲 线 段 为 p(t),t∈[0,1]，给定矢量Pk、Pk+1、Rk和Rk+1，则 满足下列条件的三次参数曲线为三次Hermite样条 曲线：

Bezier曲线和样条曲线的生成算法

计算机图形学实验报告实验名称 Bezier曲线和样条曲线的生成算法评分实验日期年月日指导教师姓名专业班级学号一、实验目的1、复习Bezier曲线和B样条曲线的参数表示法。

2、编程实现用二次Bezier曲线绘制。

3、编程实现用三次Bezier曲线绘制和分段光滑Bezier曲线图形的绘制。

4、用三次B样条函数绘制曲线。

二、实验要求1、编程实现在屏幕上绘制出两次Bezie曲线的几何图形和特征多边形图形，对于直线和曲线设置不同的线形和颜色。

2、现在屏幕上绘制出三次Bezie曲线的几何图形和特征多边形图形，对于直线和曲线设置不同的线形和颜色。

1、编程实现用分段三次Bezier曲线绘制光滑Bezier曲线图形。

1、编程实现在屏幕上绘制出三次B样条函数绘制曲线。

2、编程实现在屏幕上绘制出光滑连接的三次B样条曲线。

三、关键算法及实现原理1、二次Bezier曲线的计算公式为：P(t)=(P0-2P1+P2)t2+(-2P0+2P1)t+P0X(t)=(X0-2X1+X2)t2+(-2X0+2X1)t+X0Y(t)=(Y0-2Y1+Y2)t2+(-2Y0+2Y1)t+Y0其中P0、P1、P2为三个已知的点，坐标分别为(X0、Y0)、(X1、Y1)、(X1、Y2)。

2、次Bezier曲线的计算公式为：P(t)=(-P0+3P1-3P2+P3)t3+(3P0-6P1+3P2)t2+(-3P0+3P1)t+P0X(t)= (-X0+3X1-3X2+X3)t3+(3X0-6X1+3X2)t2+(-3X0+3X1)t+X0Y(t)= (-Y0+3Y1-3Y2+Y3)t3+(3Y0-6Y1+3Y2)t2+(-3Y0+3Y1)t+Y0其中P0、P1、P2、P3为四个已知的点，坐标分别为(X0、Y0)、(X1、Y1)、(X1、Y2) 、(X3、Y3)。

3、三次B样条函数绘制曲线的计算公式为：P(t)=[(-P0+3P1-3P2+3P3)t3+(3P0-6P1+3P2)t2+(-3P0+3P2)t+(P0+4P1+P2)]/6X(t)=[(-X0+3X1-3X2+3X3)t3+(3X0-6X1+3X2)t2+(-3X0+3X2)t+(X0+4X1+X2)]/6Y(t)=[(-Y0+3Y1-3Y2+3Y3)t3+(3Y0-6Y1+3Y2)t2+(-3Y0+3Y2)t+(Y0+4Y1+Y2)]/6其中P0、P1、P2、P3为四个已知的点，坐标分别为(X0、Y0)、(X1、Y1)、(X1、Y2) 、(X3、Y3)。

bezier bezier曲线、b-样条生成原理

贝塞尔曲线（Bezier Curve）和B样条（B-Spline）是计算机图形学中常用的两种曲线生成方法，它们在图形设计、动画制作、CAD软件等领域被广泛应用。

本文将从贝塞尔曲线和B样条的生成原理入手，深入探讨它们的内在机制和应用。

一、贝塞尔曲线的生成原理贝塞尔曲线是一种由法国工程师皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier）于1962年在汽车工业中首次引入的曲线生成方法。

其生成原理基于一组控制点来描述曲线的形状，这组控制点通过线性插值的方式来确定曲线的路径。

贝塞尔曲线的生成过程可以简要描述如下：1. 定义控制点：从给定的控制点集合中选择若干个点作为曲线的控制点。

2. 插值计算：根据控制点的位置和权重，通过插值计算得到曲线上的点。

3. 曲线绘制：利用插值计算得到的曲线上的点，进行绘制来呈现出贝塞尔曲线的形状。

在具体应用中，贝塞尔曲线的生成可以通过线性插值、二次插值和三次插值等不同插值方式来实现，其中三次插值的贝塞尔曲线应用最为广泛，其生成原理更为复杂，但也更为灵活。

二、B样条的生成原理B样条（B-Spline）是另一种常用的曲线生成方法，在实际应用中具有一定的优势。

B样条的生成原理与贝塞尔曲线不同，它是基于多项式函数的分段插值来描述曲线的形状。

B样条的生成过程可以简要描述如下：1. 定义控制点和节点向量：B样条需要定义一组控制点和一组节点向量（Knot Vector）来描述曲线的形状。

2. 基函数计算：根据节点向量和控制点，计算出关联的基函数（Basis Function）。

3. 曲线计算：利用基函数和控制点的权重，通过计算得到曲线上的点。

相比于贝塞尔曲线，B样条更为灵活，可以更精细地描述曲线的形状，并且能够进行局部编辑，使得曲线的变形更加方便。

三、应用比较与总结贝塞尔曲线和B样条是两种常用的曲线生成方法，它们各自具有一些优势和劣势，在实际应用中需要根据具体情况做出选择。

1. 灵活性比较：B样条相对于贝塞尔曲线更加灵活，能够更精细地描述曲线的形状，并且能够进行局部编辑，使得曲线的变形更加方便。

计算机图形学--第十讲 曲线的基本概念

12 曲线的基本概念Bézier 曲线5曲线与曲面的概述 4 3 6 B 样条曲线NURBS 曲线 常用的曲面在工程上经常遇到的曲线和曲面有两种：◆简单曲线和曲面函数方程或参数方程直接给出；◆自由曲线用二次混合曲线或三次曲线。

曲线曲面描述方法的发展： 1963曲线曲面1971线形状1972条曲线曲面1975方法1991何形状的唯一数学方法☐非参数表示：显式表示，坐标变量之间一一对应隐式表示☐非参数表示存在问题：不具有几何不变性，形状与坐标轴相关斜率无穷大非平面曲线、曲面难以用常系数的非参数化函数表示 不便于计算与编程参数表示：曲线上任一点的坐标均表示成给定参数的函数示，曲线上一点的笛卡尔坐标：曲线上一点坐标的矢量表示：p对参数变量规格化：例子：直线段的参数表示曲面的参数表示空间曲面xyzP☐参数表示法的优点◆曲线的形状与坐标系无关。

◆容易确定曲线的边界。

参数规格化区间或为◆曲线的绘制简单。

当参数序列组成的连线就是方程代表的曲线。

◆易于变换。

对参数方程表示的曲线或曲面进行几何变换或投影变换，只需要对方程的系数变换即可◆易于处理斜率无穷大的情形。

◆易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算隐式表示的曲线称为隐式曲线 表示形式空间隐式曲线表示为联立方程组 注意参数表示与隐式表示的比较参数表示易于求值给定一个参数值，代入参数方程对应的参数曲线上的点；得到隐式曲线上的点则非常困难。

参数表示难于判断内外对于隐式曲线f(x线12 曲线的基本概念Bézier 曲线5曲线与曲面的概述 4 3 6 B 样条曲线NURBS 曲线 常用的曲面☐参数曲线的表示参数的、连续的、单值的函数：x=x(t), y=y(t), z=z(t), 0<=t<=1 ☐位置矢量p(t)=[x(t), y(t), z(t)]曲率：数学上表明曲线在某一点的弯曲程度的数值.几何意义是曲线的单位切矢对弧长的转动率。

计算机图形学第4章 自由曲线与曲面2



(1) P3 Q0 (2) 0 P3 P2 (Q1 Q0 )
三点共线，且Q1,P2在连接点的异侧

二阶几何连续条件？
自学
21
4.6 Bezier曲线
反求控制顶点

给定n+1个型值点，要求构造一条Bezier曲线通过这些点
Q0 P0 ... 0 n 1 n 1 n (i / n) ... PnCn (i / n) n Qi P0Cn (1 i / n) P 1C n (1 i / n) ... Qn Pn
17
4.6 Bezier曲线
二次Bezier曲线


n=2,抛物线 P(0)=P0,P(1)=P2; P'(0)=2(P1- P0), P'(1)=2(P2- P1) P(1/2)=[P1+ (P0+ P2)/2]/2
P1
P(0.5)
P(0)
P0
M
P2
P(1)
说明二次Bezier曲线在 t=1/2 处的点经过P0P2 上 的中线P1M的中点。
优于Bezier曲线之处：



26
4.7 B样条曲线
三次B样条曲线对三次Bezier曲线进行改进， 它克服了Bezier曲线的不足，同时保留了 Bezier曲线的直观性和凸包性，是一种工程设 计中更常用的拟合曲线。
三次B样条曲线的构造:
由前面可知，三次参数曲线可以表示成： P(t)=F0,3(t)P0 + F1,3(t)P1 + F2,3(t)P2 + F3,3 (t)P3 F0,3(t) ，F1,3(t) ，F2,3(t) ，F3,3 (t)是待定参数 P2 P1 P(t) 由P0，P1，P2，P3确定 Q(s) 由P1，P2，P3，P4确定 P3 P4
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Bezier曲线通过特征多边形的起点和终点。 曲线通过特征多边形的起点和终点。 曲线通过特征多边形的起点和终点
Q (t ) = n∑ ( Pi − pi − 1) Bi − 1, n − 1(t )
' i =1
n
在起始点， ， 其余项均为0，故有： 在起始点，t=0，B0,n-1(0)=1,其余项均为 ，故有： 其余项均为
Chap 7
曲线的生成
7.1. 规则曲线的生成
所谓规则曲线就是一条可以用标准代数方程来描 述的曲线。 述的曲线。 例如，在平面直角坐标系内，如果一条曲线上的 例如，在平面直角坐标系内， 点都能满足符合某种条件， 点都能满足符合某种条件，而满足该条件的点又均位于 这条曲线上， 这条曲线上，那么我们就可以把这种对应关系写成一个 确定的函数式： 确定的函数式： y = f (x) 这个函数式就称为曲线的方程；同样， 这个函数式就称为曲线的方程；同样，该曲线即 为这个方程的曲线。 为这个方程的曲线。
7.2 自由曲线的生成
广义地讲，自由曲线是一条无法用标准代数方程类描述的曲线。 广义地讲，自由曲线是一条无法用标准代数方程类描述的曲线。 插值：给定一组有序的数据点 插值：给定一组有序的数据点Pi，i＝0，1，…，n，构造一条曲线顺 ＝ ， ， ， ， 序通过这些数据点，称为对这些数据点进行插值， 序通过这些数据点，称为对这些数据点进行插值，搜构成的曲线称 为插值曲线。 为插值曲线。 逼近：构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的数据点， 逼近：构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的数据点，称为 对这些数据点进行逼近，所构造的曲线为逼近曲线。 对这些数据点进行逼近，所构造的曲线为逼近曲线。 光顺：指曲线的拐点不能太多，光顺的条件是： 光顺：指曲线的拐点不能太多，光顺的条件是： ；（2） ；（3） （1）具有二阶几何连续；（ ）不存在多余的拐点和奇异点；（ ） ）具有二阶几何连续；（ 不存在多余的拐点和奇异点；（ 曲率变化较小。 曲率变化较小。 拟合：指用插值或逼近方法使生成的曲线、曲面达到某些设计要求。 拟合：指用插值或逼近方法使生成的曲线、曲面达到某些设计要求。
(2)参数方程曲线的生成
绘制用参数方程表示曲线在研究曲线性质和用计算 机绘制曲线时是很方便的。参数方程取如下形式： 机绘制曲线时是很方便的。参数方程取如下形式： x = f 1( t ) y = f 2( t )
参数在一定取值范围内变动即可算出曲线上一系列 点的纵横坐标，从而画出曲线。 点的纵横坐标，从而画出曲线。 画出曲线
2 ,3 3 ,3
称为三次Bezier曲线的调和函数。这四条曲线均是三次 曲线的调和函数。 称为三次 曲线的调和函数 曲线，形成Bezier曲线的一组基。任何三次 曲线的一组基。 曲线，形成 曲线的一组基 任何三次Bezier曲线 曲线 都是这四条曲线的线性组合。 都是这四条曲线的线性组合
p(t ) = t
P(t ) = [t 2
1 − 2 1 P0 t 1]− 2 2 0 P 1 1 0 0 P2
4、三次Bezier曲线： 、三次 曲线： 曲线
n=3，三次多项式，有四个控制点，则： ，三次多项式，有四个控制点， 其中
Q(t ) = ∑ PiBi ,3(t )
7.1.1 规则曲线绘制的基本原理
对曲线进行离散化处理， 对曲线进行离散化处理，把它们分割成很多 短的直线段， 短的直线段，用这些短的直线段组成的折线来逼 近曲线。 近曲线。 至于这些短的直线段取多长，则取决于图形 至于这些短的直线段取多长， 输出设备的精度和我们绘制的曲线所要求的精度， 输出设备的精度和我们绘制的曲线所要求的精度， 但我们所要求达到的精度不能逾越图形设备实际 所具有的精度。 所具有的精度。
三．Bezier曲线的拼接 曲线的拼接
为了保证分段参数曲线从一段到另一段平滑过渡， 为了保证分段参数曲线从一段到另一段平滑过渡，可以在连接点处 要求各种连续性条件。 要求各种连续性条件。 1、C0连续，可以简单的表示曲线相连，即如果两个曲线段具有一个 、 连续，可以简单的表示曲线相连， 公共的端点，那么这两个曲线段是连续的。 公共的端点，那么这两个曲线段是连续的。
7.2.2 Bezier 曲线 一、定义及其数学表示式
1、定义 给定空间n+1个点的位置矢量 i（i=0，1，2，…， 个点的位置矢量P 给定空间 个点的位置矢量 ， ， ， ， n），则Bezier参数曲线上各点坐标的插值公式是： ），则 参数曲线上各点坐标的插值公式是： ）， 参数曲线上各点坐标的插值公式是
7.1.2 规则曲线绘制的基本方法
(1)函数 y = f (x) 曲线的生成
应给出自变量x的取值范围 绘制曲线 y = f (x) 时，应给出自变量 的取值范围 x1 增量Δ 和 x2 ，并选取适当的 x 增量Δx ，计算出曲线上一系列 相应的点的坐标，依次用直线连接即可画出曲线。 相应的点的坐标，依次用直线连接即可画出曲线。
7.2.1 曲线的表示要求
1)唯一性 2)几何不变性 3)易于定界 4)统一性 5)易于实现光滑连接 6)几何直观
7.2.2 基本定义
型值点： 型值点： 是指通过测量或者计算得到的曲线上少量描述曲线几何形状的 数据点。通常是求得一些型值点后，采用一定的数学方法， 数据点。通常是求得一些型值点后，采用一定的数学方法，建 立曲线的数学模型， 立曲线的数学模型，从而根据数学模型去获得曲线上每一点的 几何信息。 几何信息。 控制点： 控制点： 是指用来控制或调整曲线形状的特殊点， 是指用来控制或调整曲线形状的特殊点，曲线段本身不通过该 控制点。 控制点。
Bezier曲线在始点和终点处的切线方向与特征多边形的第一 曲线在始点ห้องสมุดไป่ตู้终点处的切线方向与特征多边形的第一 条边及最后一条边的走向一致。 条边及最后一条边的走向一致。
2、对称性 。 Bezier曲线形状相同，走向相反。即假如保持n次Bezier曲 、 Bezier曲线形状相同 走向相反。即假如保持n Bezier曲 曲线形状相同， 线诸顶点的位置不变，而把次序颠倒过来，即下标为的的点（Pi） 线诸顶点的位置不变，而把次序颠倒过来，即下标为的的点（Pi）改为下 标为n 的点（Pn- ），则此时曲线仍不变 只不过曲线的走向相反而已。 则此时曲线仍不变， 标为n-i的点（Pn-i），则此时曲线仍不变，只不过曲线的走向相反而已。 3、凸包性。Bezier曲线各点均应落在特征多边形各顶点构成的凸包（包 凸包性。Bezier曲线各点均应落在特征多边形各顶点构成的凸包（ 曲线各点均应落在特征多边形各顶点构成的凸包 含所有顶点的最小凸多边形）之中， 含所有顶点的最小凸多边形）之中，
7.2.2 基本定义
1.参数连续性 参数连续性 C0连续：曲线相连。 连续：曲线相连。 C1连续：指代表两个相邻曲线段的方程在相交点处具有相同的 连续： 一阶导数 C2连续：指代表两个相邻曲线段的方程在相交点处具有相同的 连续： 一阶导数和二阶导数 2.几何连续性 几何连续性 连续：两个曲线段在公共点处具有相同的坐标值。 G0连续：两个曲线段在公共点处具有相同的坐标值。 G1连续：指两个曲线段公共点处的一阶导数成比例。 连续：指两个曲线段公共点处的一阶导数成比例。 G2连续：指两个曲线段公共点处的一阶导数和二阶导数均成比 连续： 例。
i =0
3
= (1 − t ) 3 P 0 + 3t (1 − t ) 2 P1 + 3t 2 (1 − t ) P 2 + t 3 P 3
B B B
0 ,3
( t ) = (1 − t ) 3 ( t ) = 3 t 2 (1 − t ) (t ) = t 3
B 1 , 3 ( t ) = 3 t (1 − t ) 2
Q(0) = ∑ PiBi , n (0)
i =0
n
= P0 B 0, n(0) + P1B1, n(0) + ... + PnBn , n(0)
t=1： = P 0 ：
Q(1) = ∑ PiBi , n(1)
i =0
n
= P0 B 0, n (1) + P1B1, n (1) + ... + PnBn , n (1) = Pn
4、几何不变性。 、几何不变性。 这是指某些几何特性不随坐标变换而变化的特性。Bezier曲线的位置与形 这是指某些几何特性不随坐标变换而变化的特性。Bezier曲线的位置与形 状与其特征多边形顶点P =0,1,..., 的位置有关， =0,1,...,n) 状与其特征多边形顶点 i(i=0,1,..., )的位置有关，它不依赖坐标系的 选择。 选择
i =0
1
= (1 − t ) P 0 + tP1, t ∈ [0,1]
说明：一次Bezier曲线是连接起点 和终点 的直线段。 曲线是连接起点P0和终点 的直线段。 说明：一次 曲线是连接起点 和终点P1的直线段 矩阵表示为： 矩阵表示为：
− 1 1 P0 P(t ) = [t ,1] P 1 0 1
2、C1连续，如说明代表两个相邻曲线段的方程在相交点处有相同的 、 连续， 一阶导数。 一阶导数。 3、二阶参数连续，记作C2连续，是指两个曲线段在相交点处有相同 、二阶参数连续，记作 连续， 的一阶和二阶导数。这样可从一个曲线平滑地过渡到另一个曲线段。 的一阶和二阶导数。这样可从一个曲线平滑地过渡到另一个曲线段。
Q ' (0) = n( P1 − P 0)
在终止点， ， 其余项均为0，故有： 在终止点，t=1， B n-1,n-1(1)=1,其余项均为 ，故有： 其余项均为
Q ' (1) = n( Pn − Pn − 1)
对于三次Bezier曲线，n=3，所以 曲线， 对于三次 曲线 ，
Q ' (0) = 3( P1 − P 0) Q ' (1) = 3( P 3 − P 2)