四年级上奥数第11讲 游戏策略

第11讲错中求解一、知识要点在加、减、乘、除式的计算中，如果粗心大意将算式中的一些运算数或符号抄错，就会导致计算结果发生错误。

这一讲，我们就来讨论怎样利用错误的答案求出正确的结论。

二、精讲精练【例题1】小玲在计算除法时，把除数65写成56，结果得到的商是13.还余52。

正确的商是多少？练习1：1.小星在计算除法时，把除数87错写成78，结果得到的商是5，余数是45。

正确的商应该是多少？2.甜甜和蜜蜜在用同一个数做被除数。

甜甜用12去除，蜜蜜用15去除，甜甜得到的商是32还余6，蜜蜜计算的结果应该是多少？【例题2】小芳在计算除法时，把除数32错写成320，结果得到商是48。

正确的商应该是多少？练习2：1.小丽在计算除法时，把除数530末尾的0漏写了，得到的商是40。

正确的商应该是多少？2.小马在计算除法时，把被除数12800误写成1280，得到的商是32。

正确的商应该是多少？【例题3】小冬在计算有余数的除法时，把被除数137错写成173.这样商比原来多了3.而余数正好相同。

正确的商和余数是多少？期望数学岛练习3：1.小军在计算有余数的除法时，把被除数208错写成268，结果商增加了5，而余数正好相同。

正确的除数和余数是多少？2.李明在计算有余数的除法时，把被除数171错写成117，结果商比原来少了3.而余数正好相同。

求这道除法算式正确的商和余数。

【例题4】小龙在做两位数乘两位数的题时，把一个因数的个位数字4错当作1.乘得的结果是525，实际应为600。

这两个两位数各是多少？练习4：1.小锋在计算乘法时，把一个因数的个位数8错当作3.得345，实际应为420。

这两个因数各是多少？2.小菊做两位数乘两位数的乘法时，把一个因数的个位数字1误写成7，结果得646，实际应为418。

这两个两位数各是多少？【例题5】方方和圆圆做一道乘法式题，方方误将一个因数增加14，计算的积增加了84，圆圆误将另一个因数增加14，积增加了168。

第十一讲几何图形简拼1．如图11-1，将一个正方形纸片剪成形状、大小都相同的四块，可以怎么剪？请大家画出尽量多的方法．（如果两个图形通过旋转或翻转后重合，就认为它们的形状、大小是相同的）2．观察图11-2，ABCDEF是正六边形，D是它的中心．画出线段PQ后，就把正六边形ABCDEF分成了两个形状、大小都相同的五边形．能否画出3条线段，把正六边形分成6个形状、大小都相同的图形？能否画出几条线段，把正六边形分成3个形状、大小都相同的四边形？能否画出几条线段，把正六边形分成3个形状、大小都相同的五边形？3．如图11-3，在一块正方形纸片中有一个正方形的空洞．现在要求用一条经过大正方形中心点的线段，把纸片分成面积相等的两部分，应该怎么分？4．请把图11-4中的两个图形分别沿格线剪成四个形状、大小都相同的图形．5．请把图11-5沿格线分成形状、大小都相同的三部分，使得每部分都恰好含有一个“O”．6．如图11-6，三角形和六角星的每条边长都相等，那么用多少个三角形可以拼成六角星？请在图中表示出来．7．如图11-7，左图是由五个相同大小的小正方形拼成的，右图是由一个正方形和一个等腰直角三角形拼成的，请把这两个图形分别剪成四个形状、大小都相同的图形．8．如图11-8，请把一个大正方形分割为两种面积不同的小正方形．(1)如果要求两种小正方形一共有6个，应该怎么分？(2)如果要求两种小正方形一共有7个，应该怎么分？9．如图11-9，有两个面积相等的正方形纸片，现在想把它们剪拼成一个更大的正方形，要求如下：(1)如果分别剪开这两个正方形，再拼接成一个大正方形，应该怎么办？(2)如果只允许剪开一个正方形，再拼接成一个大正方形，应该怎么办？10.图11-10是由若干个小正方形组成的图形，你能将其剪成两块，然后拼成一个正方形吗？1．请在图11-11中标出分割线，把下图沿格线分成形状、大小都相同的四个部分．（如果两个图形通过旋转或翻转后重合，就认为它们的形状、大小是相同的）2．把图11-12沿格线分割成形状、大小都相同的四个部分，请在图中画出具体的分割办法．3．将图11-13分割成形状、大小完全相同的四块，请至少画出4种不同的分法．4．如图11-14，从一张边长为7厘米的正方形纸片中，最多能裁出多少个长4厘米、宽1厘米的长方形纸条？请画图说明剪裁方法．5．将图11-15分成大小、形状都相同的四块，使得每一块中都有A、B、C、D．6．将边长分别为3厘米和4厘米的两个正方形切割成四块，然后将它们拼成一个边长是5厘米的大正方形．请在图11-16中画出切割线和拼接线．7．请将图11-17剪成三块，再拼成一个正方形．8．将图11-18分割成四个形状和大小都相同的部分，然后将它们拼接成一个正方形．请在原图上标明分割线，并画出正方形的拼接图．9．图11-19中长方形的长和宽分别是9厘米和4厘米，请把这个长方形剪成两块再拼成一个正方形．10.有一张长方形纸片，按图11-20所示剪成了三块，已知这三块纸片可拼成一个正方形，那么正方形的边长为多少？请画出具体的拼法．11.把七个长为4厘米、宽为3厘米的长方形既互不重叠又不留空隙地拼成一个大长方形，那么这个大长方形的周长最小是多少厘米？请画出具体的拼法．12.用若干个边长为1、2、3、4的正方形纸片互不重叠地拼成一个边长为5的大正方形，那么最少需要纸片多少张？请画出具体的拼法．1．将图11-21沿格线分割成大小、形状完全相同的四个部分，你能想出几种方法？（如果两个图形通过旋转或翻转后重合，就认为它们的形状、大小是相同的）2．如图11-22，长方形的长和宽分别是25厘米和16厘米．请把这个长方形剪成两块，再拼成一个正方形．3．图11-23的左图是一块25×49（单位：厘米）的长方形纸片．现在要沿虚线将它分成三块，再拼成右图所示的边长为35厘米的正方形纸片．请用实线标明剪切和拼接的方法．在这里，虚线划分成的小长方形的大小均为5×7（单位：厘米）．4．将图11-24沿格线分割成七个形状不同的长方形（包含正方形），请在图中用实线标出分割线．5．图11-25是由5个小正方形组成的一个“十字架”．请将它剪成若干块，然后拼成一个大正方形．6．如图11-26，一个的大长方形左上角缺少一个2x3的小长方形．请把这个图形分成三部分，再拼成一个正方形，7．有一个大正方形，现在要把它分割为12个小正方形，那么：(1)要形成2种面积不同的小正方形，可以如何分割？(2)要形成3种面积不同的小正方形，可以如何分割？(3)要形成4种面积不同的小正方形，可以如何分割？8．请画出一个三角形，并把它分成大小形状都完全相同的5个小三角形．如果要分为完全相同的13个小三角形，该如何画？。

游戏策略知识框架实际操作与策略问题这类题目能够很好的提高学生思考问题的能力，激发学生探索数学规律的兴趣，并通过寻找最佳策略过程，培养学生的创造性思维能力，这也是各类考试命题者青睐的这类题目的原因。

例题精讲一、游戏与策略【例 1】A、B、C、D、E五个小朋友做游戏，每轮游戏都按照下面的箭头方向把原来手里的玩具传给另外一个小朋友：A->C,B->E,C->A,D->B,E->D.开始A、B拿着福娃，C、D、E拿着福牛，传递完5轮时，拿着福娃的小朋友是（）.（A）C与D(B) A与D(C) C与E(D) A与B【考点】游戏与策略【难度】3星【题型】选择【关键词】2009年，第14届，华杯赛，初赛，第6题【解析】根据题意，A与C互相传，B、D、E之间则按B→E→D→B→…的顺序轮流传。

开始时，两个福娃分别在A、B手上，其中A手上的福娃经过5轮的传递将到C的手里，B手上的福娃经过5轮的传递将到D的手里。

所以传递完5轮时，拿着福娃的小朋友是C和D。

正确答案为A。

【答案】A【巩固】下图是一座迷宫，请画出任意一条从A到B的通道。

【考点】游戏与策略【难度】3星【题型】填空【关键词】2006年，第4届，走美杯，3年级，初赛【解析】略.【答案】【例 2】请在5×5的棋盘中放入10个国际象棋中的皇后，使得标有数N的格子恰好受到N枚皇后的攻击．每个格最多一枚棋子，标有数的格子不能放棋子．如果有超过一枚皇后从同一方向攻击到某个格子，只计算最前方的那枚皇后（注：每只皇后可攻击同一行、同一列或同一斜线上的格子）．1745【考点】游戏与策略【难度】3星【题型】填空【关键词】2005年，第4届，走美，5年级，决赛【解析】先从5入手，5只有5个受攻击方向，可以推断5个方向都要受到攻击，从而①②位置必有皇后，则推断1的打“×”位置都不能有皇后，从而⑧位置必有皇后，再根据7推断③④⑤⑥⑦位置必有皇后，此时4和7还缺少一个受攻击方向，则有一个皇后必须同时攻击4和7，这个皇后只能在⑴或⑵，但如果把皇后放在⑵的位置，最后最多只能放9个皇后，因此⑴和⑨的位置再放两个皇后，共10个皇后【答案】【巩固】下图是常见的正方体，我们可以看到三面共有3 9=27个变成为1的正方体，在这三面上有三条蛇。

第十一讲 数学游戏在今天这节课中，我们来研究数学游戏中的必胜策略．由于策略的制定是没有固定模式的，教师在本节课中要引导学生通过具体问题具体分析，不断积累经验，以提高观察和分析问题的能力. 知识点：1、取火柴以及与其同类型的游戏中的策略2、其他游戏中的取胜策略.分析：孙膑的策略是：叫田忌用自己的下等马和齐威王的上等马比赛，先输一场；接着再用自己的上等马对齐威王的中等马，用中等马对齐威王的下等马，取胜两场，结果赢得千金.我们在进行竞赛与竞争时，往往要认真分析情况，制定出好的方案，使自己获胜，这种方案就是对策.在小学数学竞赛中，常有与智力游戏相结合而提出的一些简单的对策问题，它所涉及的数学知识都比较简单.但这类题的解答对我们的智力将是一种很有益的锻炼.这类问题也属于我们所说的“博弈问题”.在数学游戏中有一类取火柴游戏，它有很多种玩法，由于游戏的规则不同，取胜的方法也就不同.但不论哪种玩法，要想取胜，一定离不开用数学思想去推算.其核心思想有：逆推和对称分组.（一） 智取火柴以及与其同类型的游戏中的取胜策略专题精讲教学目标想 挑 战 吗 ？春秋战国时期，有一个齐国，每月都要进行赛马，齐国当时的君主是齐威王，他和大将军田忌经常下赌注赛马，由于田忌的马不如齐威王的马强，接连输了好几场.田忌的门客孙膑是大军事家孙武的后代，他要田忌将赛马的情况告诉他，听完田忌介绍的情况后，他说：“你明天约齐威王再赛一次，我包你赢.”田忌说：“你能保证我赢，我就下赌注千金.”第二天，两人比赛三场.孙膑教给田忌一种妙策，保证能赢.田忌照计行事，虽败一场，但胜两场，结果赢得千金.同学们，你知道孙膑用的是什么策略使田忌取胜的吗？【例1】桌子上放着60根火柴，甲、乙二人轮流每次取走1～3根.规定谁取走最后一根火柴谁获胜.如果双方都采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？分析：我们采用逆推法分析这道题.获胜方在最后一次取走最后一根；往前逆推，在倒数第二次取时，必须留给对方4根，此时无论对方取1，2或3根，获胜方都可以取走最后一根；再往前逆推，获胜方要想留给对方4根，在倒数第三次取时，必须留给对方8根……由此可知，获胜方只要每次留给对方的都是4的倍数根，则必胜.现在桌上有60根火柴，甲先取，不可能留给乙4的倍数根，而甲每次取完后，乙再取都可以留给甲4的倍数根，所以在双方都采用最佳策略的情况下，乙必胜.同学们再想一想为什么一定要留给对方4的倍数根，而不是5的倍数根或其它倍数根呢？提问：（1）甲取几根，乙取3减几根可以吗？不可以，那样的话，甲取3根，乙就没法取了.（2）甲取几根，乙取5减几根可以吗？不可以，那样的话甲取1根，乙就没法取了.所以关键在于规定每次只能取1～3根，1＋3＝4，在两人紧接着的两次取火柴中，后取的总能保证两人取的总数是4.利用这一特点，就能分析出谁采用最佳方法必胜，最佳方法是什么.由此出发，对于例题的各种变化，都能分析出谁能获胜及获胜的方法.[前铺]桌子上放着10根火柴，甲、乙二人轮流每次取走1～2根.规定谁取走最后一根火柴谁获胜.如果双方都采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？分析：如果获胜方在最后取得最后一根火柴，那么在倒数第二次取时，必须留给对方3根，要想留给对方3根，倒数第三次取时，必须留给对方6根.要想留给对方6根，倒数第四次取时必须留给对方9根，而甲每次取完都能留给乙3的倍数根，所以在双方都采用最佳策略的情况下，甲必胜.[拓展一]在例1中将“每次取走1～3根”改为“每次取走1～6根”，其余不变，情形会怎样？分析：由例题的分析知，只要始终留给对方（1+6=）7的倍数根火柴，就一定获胜.因为60÷7＝8……4，所以只要甲第一次取走4根，剩下56根火柴是7的倍数，以后总留给乙7的倍数根火柴，甲必胜.由本题可以看出，在每次取1～n根火柴，取到最后一根火柴者获胜的规定下，谁能做到总给对方留下（1+n）的倍数根火柴，谁将获胜.[拓展二]将例1中“谁取走最后一根火柴谁获胜”改为“谁取走最后一根火柴谁输”，其余不变，情形又将如何？分析：最后留给对方1根火柴者必胜，按照例1中的逆推的方法分析，只要每次留给对方4的倍数加1根火柴必胜.甲先取，只要第一次取3根，剩下57根（57除以4余1），以后每次都将除以4余1的根数留给乙，甲必胜.由此看出，在每次取1～n根火柴，取到最后一根火柴者为负的规定下，谁能做到总给对方留下（1+n）的倍数加1根火柴，谁将获胜.[小结]我们可以把解决这类问题的一般方法总结为余数问题.，即如果有余数，则先取者胜，且取余数根数；如果没有余数，则后取者胜，每“回合”共取N+1根.【例2】今有两堆火柴，一堆26根，另一堆28根.两人轮流在其中任一堆中拿取，取的根数不限，但不能不取.规定取得最后一根者为赢.问：先取者有何策略能获胜？分析：本题虽然也是取火柴问题，但由于火柴的堆数多于一堆，故本题的获胜策略与前面的例题完全不同.先取者在28根一堆火柴中取2根火柴，使得取后剩下两堆的火柴数相同.以后无论对手在某一堆取几根火柴，你只须在另一堆也取同样多根火柴.只要对手有火柴可取，你也有火柴可取，也就是说，最后一根火柴总会被你拿到.这样先取者总可获胜.请同学们想一想，如果在上面玩法中，两堆火柴数目一开始就相同，例如两堆都是28根火柴，那么先取者还能获胜吗？[拓展]甲、乙两人轮流往一张圆桌面上放同样大小的硬币，规定每人每次只能放一枚，硬币平放且不能有重叠部分，放好的硬币不再移动.谁放了最后一枚，使得对方再也找不到地方放下一枚硬币的时候就赢了.说明放第一枚硬币的甲百战百胜的策略.分析：采用“对称”思想.设想圆桌面只有一枚硬币那么大，当然甲一定获胜.对于一般的较大的圆桌面，由于圆是中心对称的，甲可以先把硬币放在桌面中心，然后，乙在某个位置放一枚硬币，甲就在与之中心对称的位置放一枚硬币.按此方法，只要乙能找到位置放一枚硬币，根据圆的中心对称性，甲定能找到与这一位置中心对称的地方放上一枚硬币.由于圆桌面的面积是有限的，最后，乙找不到放硬币的地方，于是甲获胜.[拓展]有3堆火柴，分别有1根、2根与3根火柴.甲先乙后轮流从任意一堆里取火柴，取的根数不限，规定谁能取到最后一根或最后几根火柴就获胜.如果采用最佳方法，那么谁将获胜？分析：根据上一例题的解法，谁在某次取过火柴之后，恰好留下两堆数目相等的火柴，谁就能取胜.甲先取，共有六种取法：从第1堆里取1根，从第2堆里取1根或2根；第3堆里取1根、2根或3根.无论哪种取法，乙采取正确的取法，都可以留下两堆数目相等的火柴（同学们不妨自己试试），所以乙采用最佳方法一定获胜.【例3】两人从1开始按自然数顺序轮流依次报数，每人每次只能报1～5个数，谁先报到50谁胜。

奥数已经成为现在孩子学习的加强工具。

一种思维方式的训练，一种让孩子学以致用，举一反三的法宝，一种可以扩宽孩子思维的奥秘兵器。

老师经常对学生们说，养成好的学习品质，拥有好的学习方法比学习知识自己重要得多，它是学好知识的前提。

学习奥数更是如此。

奥数题对学生们的要求是非常严格的，你既要注意到思维有广度有深度，在做题时还要加倍小心。

有些题往往是一字之差，谬之千里。

习惯的养成不是一朝一夕之功。

要养成好的学习习惯，首先，需要学生对这个问题有个正确的认识，有些家长往往错误地认为。

只要是标题问题理解了，出点小错不妨。

这样做的结果，往往助长了学生粗心大意之习气。

而在奥数题中，一点小错，往往是致命的。

学生做题出错了，我们应把它做为一个好的教育学生的契机，引导学生找出错误原因并不停积累，是知识方面的，要牢记。

是习惯方面的，要改正。

相信久而久之，好的习惯必能养成。

第11讲错中求解一、知识要点在加、减、乘、除式的计算中，如果粗心大意将算式中的一些运算数或符号抄错，就会导致计算结果发生错误。

这一周，我们就来讨论怎样利用错误的答案求出正确的结论。

二、精讲精练【例题1】小玲在计算除法时，把除数65写成56，结果得到的商是13.还余52。

正确的商是多少？【思路导航】要求出正确的商，必须先求出被除数是多少。

我们可以先抓住错误的得数，求出被除数：13×56＋52=780。

所以，正确的商是：780÷65=12。

练习1：1.小星在计算除法时，把除数87错写成78，结果得到的商是5，余数是45。

正确的商应该是多少？2.甜甜和蜜蜜在用同一个数做被除数。

甜甜用12去除，蜜蜜用15去除，甜甜得到的商是32还余6，蜜蜜计算的结果应该是多少？3.小虎在计算除法时，把被除数1250写成1205，结果得到的商是48，余数是5。

正确的商应该是多少？【答案】1.5 2.26 3.50【例题2】小芳在计算除法时，把除数32错写成320，结果得到商是48。

第十一讲 数学游戏在今天这节课中，我们来研究数学游戏中的必胜策略．由于策略的制定是没有固定模式的，教师引导学生通过具体问题具体分析，不断积累经验，以提高观察和分析问题的能力。

知识点：1、取火柴以及与其同类型的游戏中的策略2、其他游戏中的取胜策略.分析：30是3的倍数，你能保证每轮结束时得到3的倍数就可赢，但为了保证第一轮报完得到3，你必须让对手先报.而报到30算输，即“让30”的游戏，实际上是得29赢，29除以3余2，所以你必须每一轮结束时得到除以3余2的数（2，5，8，11……），第一轮要得到2这个数，你必须选报（1，2）才能赢，小山懂得这个规律，所以无论“得30”还是“让30”都会赢.研究一下，所有自然数都可分为被3整除、除以3余1、除以3余2三组，这样你也可以掌握主动权了.我们在进行竞赛与竞争时，往往要认真分析情况，制定出好的方案，使自己获胜，这种方案就是对策.在小学数学竞赛中，常有与智力游戏相结合而提出的一些简单的对策问题，它所涉及的数学知识都比较简单.但这类题的解答对我们的智力将是一种很有益的锻炼.这类问题也属于我们所说的“博弈问题”.在数学游戏中有一类取火柴游戏，它有很多种玩法，由于游戏的规则不同，取胜的方法也就不同.但不论哪种玩法，要想取胜，一定离不开用数学思想去推算.其核心思想有：逆推和对称分组.（一） 智取火柴 教学目标专题精讲 想 挑 战吗？小山和小明玩“得30”的报数游戏.规则是：从1开始轮流报数，每次可报一个或两个数.比如小山先报1，小明可以接着报2，或2、3；小山接着报3，或3、4，或4，或4、5.谁报到30这个数，谁就获胜.小山每次都让小明先报数，结果是小山每次都赢，小明不服气，觉得这里面有鬼，于是小明让小山先报数，小山说那也行，咱们改个规矩，谁报30谁输行吗？小明一想也行，结果还是小山赢，你知道小山为什么每次都赢吗？【例1】桌上放着100根火柴，甲、乙二人轮流取，每次取1～4根，规定谁取到最后一根谁获胜.假定双方都采用最佳方法，甲先取，谁一定获胜？给出一种获胜方法.分析：乙一定获胜，甲取几根，乙就接着取5减几根火柴.甲取几根，乙取4减几根可以么？不可以，那样的话甲取4根，乙就没法取了.甲取几根，乙取6减几根可以么？不可以，那样的话甲取1根，乙就没法取了.这里我们把（1+4）根火柴看成一组，100共有20组，因为甲先取，所以每一组乙都可以取到最后一根.[前铺]桌子上放着10根火柴，甲、乙二人轮流每次取走1～2根.规定谁取走最后一根火柴谁获胜.如果双方都采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？分析：如果获胜方在最后取得最后一根火柴，那么在倒数第二次取时，必须留给对方3根，要想留给对方3根，倒数第三次取时，必须留给对方6根.要想留给对方6根，倒数第四次取时必须留给对方9根，而甲每次取完都能留给乙3的倍数根，所以在双方都采用最佳策略的情况下，甲必胜.[拓展一]在例1中将“每次取走1～4根”改为“每次取走1～6根”，其余不变，情形会怎样？分析：由例1的分析知，只要始终留给对方（1+6=）7的倍数根火柴，就一定获胜.因为100÷7＝14……2，所以只要甲第一次取走2根，剩下98根火柴是7的倍数，以后总留给乙7的倍数根火柴，甲必胜.由例题看出，在每次取1～n根火柴，取到最后一根火柴者获胜的规定下，谁能做到总给对方留下（1+n）的倍数根火柴，谁将获胜.[拓展二]将例1中“谁取走最后一根火柴谁获胜”改为“谁取走最后一根火柴谁输”，其余不变，情形又将如何？分析：最后留给对方1根火柴者必胜，按照例1中的逆推的方法分析，只要每次留给对方5的倍数加1根火柴必胜.甲先取，只要第一次取4根，剩下96根（96除以5余1），以后每次都将除以5余1的根数留给乙，甲必胜.由此看出，在每次取1～n根火柴，取到最后一根火柴者为负的规定下，谁能做到总给对方留下（1+n）的倍数加1根火柴，谁将获胜.[小结]我们可以把解决这类问题的一般方法总结为余数问题.，即如果有余数，则先取者胜，且取余数根数；如果没有余数，则后取者胜，每“回合”共取N+1根.【例2】甲、乙两人轮流往一张圆桌面上放同样大小的硬币，规定每人每次只能放一枚，硬币平放且不能有重叠部分，放好的硬币不再移动.谁放了最后一枚，使得对方再也找不到地方放下一枚硬币的时候就赢了.说明放第一枚硬币的甲百战百胜的策略.分析：采用“对称”思想.设想圆桌面只有一枚硬币那么大，当然甲一定获胜.对于一般的较大的圆桌面，由于圆是中心对称的，甲可以先把硬币放在桌面中心，然后，乙在某个位置放一枚硬币，甲就在与之中心对称的位置放一枚硬币.按此方法，只要乙能找到位置放一枚硬币，根据圆的中心对称性，甲定能找到与这一位置中心对称的地方放上一枚硬币.由于圆桌面的面积是有限的，最后，乙找不到放硬币的地方，于是甲获胜.[巩固]今有两堆火柴，一堆35根，另一堆24根.两人轮流在其中任一堆中拿取，取的根数不限，但不能不取.规定取得最后一根者为赢.问：先取者有何策略能获胜？分析：本题虽然也是取火柴问题，但由于火柴的堆数多于一堆，故本题的获胜策略与前面的例题完全不同.先取者在35根一堆火柴中取11根火柴，使得取后剩下两堆的火柴数相同.以后无论对手在某一堆取几根火柴，你只须在另一堆也取同样多根火柴.只要对手有火柴可取，你也有火柴可取，也就是说，最后一根火柴总会被你拿到.这样先取者总可获胜.请同学们想一想，如果在上面玩法中，两堆火柴数目一开始就相同，例如两堆都是35根火柴，那么先取者还能获胜吗？[拓展]有3堆火柴，分别有1根、2根与3根火柴.甲先乙后轮流从任意一堆里取火柴，取的根数不限，规定谁能取到最后一根或最后几根火柴就获胜.如果采用最佳方法，那么谁将获胜？分析：谁在某次取过火柴之后，恰好留下两堆数目相等的火柴，谁就能取胜.甲先取，共有六种取法：从第1堆里取1根，从第2堆里取1根或2根；第3堆里取1根、2根或3根.无论哪种取法，乙采取正确的取法，都可以留下两堆数目相等的火柴（同学们不妨自己试试），所以乙采用最佳方法一定获胜.【例3】有1994个球，甲乙两人用这些球进行取球比赛.比赛的规则是：甲乙轮流取球，每人每次取1个，2个或3个，取最后一个球的人为失败者.（1）甲先取，甲为了取胜，他应采取怎样的策略？（2）乙先拿了3个球，甲为了必胜，应当采取怎样的策略？分析：为了叙述方便，把这1994个球编上号，分别为1～1994号.取球时先取序号小的球，后取序号大的球.还是采用倒推法.甲为了取胜，必须把1994号球留给对方，因此甲在最后一次取球时，必须使他自己取到球中序号最大的一个是1993（也许他取的球不止一个）.为了保证能做到这一点，就必须使乙最后第二次所取的球的序号为1990（=1993-3）～1992（=1993-1）.因此，甲在最后第二次取球时，必须使他自己所取的球中序号最大的一个是1989.为了保证能做到这一点，就必须使乙最后第三次所取球的序号为1986（=1989-3）～1988（=1989-1）.因此，甲在最后第三次取球时，必须使他自己取球中序号最大的一个是1985，….把甲每次所取的球中的最大序号倒着排列起来：1993、1989、1985、….观察这一数列，发现这是一等差数列，公差d=4，且这些数被4除都余1.因此甲第一次取球时应取1号球.然后乙取a个球，因为a+（4-a）=4，所以为了确保甲从一个被4除余1的数到达下一个被4除余1的数，甲就应取4-a个球.这样就能保证甲必胜.由上面的分析知，甲为了获胜，必须取到那些序号为被4除余1的球.现在乙先拿了3个，甲就应拿5-3=2个球，以后乙取a个球，甲就取4-a个球.所以，（1）甲为了获胜，甲应先取1个球，以后乙取a个球，甲就取4-a个球.（2）乙先拿了3个球，甲为了必胜，甲应拿2个球，以后乙取a个球，甲就取4-a个球.【例4】有一种“抢某个数字”的游戏，是两个人从自然数1开始轮流报数，规定每次至少报几个数与至多报几个数(都是自然数)，最后谁报到规定的“某个数字”为胜．如“抢50”游戏，规定每次必须报1．2个自然数，从1开始，谁抢报到50为胜．例如甲先报l，乙就可接着报2或2，3；若乙报2，甲就可接着报3或3，4；若乙报2，3；甲就可接着报4或4，5．依次下去，谁能报到50为胜．如果你是甲，并且先报数，有没有必胜的策略?分析：由于每次必须报1～2个自然数，那么甲先报1次后，就可保证每次与乙刚报的数字数目之和为3．如乙报1个数，甲就接着报2个数；若乙报2个数，甲就接着报1个数．因此，甲若想必胜，报完第一次数剩下的数的个数必须是3个倍数才可以．而50=3×16+2，因此甲有必胜的策略：甲先报1，2，然后，乙若报1个数，甲就报2个数；乙若报2个数，甲就报1个数．[拓展]若是抢别的数字，规定每次必须报别的一定数目的自然数，先报数的人还有没有必胜的策略?分析：借鉴前面经验，若是“抢40”游戏，规定每次必须报1～3个自然数，从1开始轮流往后报数．若甲先乙后，则乙有必胜的策略．因为乙可以保证每次与甲刚报完的数字数目之和为4，而40=4×10刚好是4的倍数．推广开来，若是“抢数字a”游戏，每次必须报1～n个自然数，从1开始轮流往后报数，且甲先乙后，那么会有两种情况：情况1：若a是(1+n)的整数倍，则后报数的乙有必胜的策略；情况2：若a不是(1+n)的整数倍，则先报数的甲有必胜的策略，且甲先报的数字个数必须是数字.除以(1+n)的余数．说明：“抢数字”游戏还有很多与之类似的变形游戏.如果你对“抢数字”游戏的规则与玩法非常熟悉的话，那么类似的变形游戏就会“如鱼得水”.不费功夫了．[小笑话]某天军训中，教练对同学说：“第一排报数！”小明惊讶的看着教练.教练很奇怪的又说了一遍：“第一排报数！”小明还是很无奈很惊讶的看着教练.教练又大声说了一遍：“第一排报数！”于是小明极其不情愿的走到大树前抱着树.（二）其它游戏中的取胜策略【例5】有100个人站成一排，从左到右依次进行1，2报数，凡是报1的人离开队伍，剩下的人继续从左到右进行1，2报数，最后留在队伍中的人获胜，如此下去，要想获胜，应站在队列中的第几个位置？分析：将这100个人从左到右依次编号为1，2，3，…，98，99，100．第一次报完后.剩下的是2的倍数， 2，4，6，8，10，…，96，98，100．第二次报完后，剩下的是4的倍数，4，8，12，16，…，92，96，100．第三次报完后，剩下的是8的倍数，8，16，24，…，80，88，96．第四次报完后，剩下的是16的倍数，16，32，48，64，80，96．第五次报完后，剩下的是32的倍数，32，64，96．第六次报完后，还剩下一人，也就是第64人．所以要想获胜，应站在队伍中的第64个位置.[数学趣题]神父的诡计一艘不大的船只在海上遇到了风暴，摆在船上25位乘客面前的路只有两条：要么全部乘客与船只同归于尽；要么牺牲一部分人的生命，把他们抛进大海，减轻船的载重量，船及其他人还有得救的可能，但是这样做至少得把一半以上的人抛进海里.大家都同意走第二条路，然而谁也不愿意自动跳进海里.乘客里有11个基督徒，其中一个是神父，于是大家就公推神父出个主意.奸诈的神父想了一下，就让大家坐成一个环形，并且从他依序报数，“1，2，3”，规定报到“3”的人就被抛进海里，下一个继续由“1”报起，同时声称这是上帝的旨意，大家的命运都由上帝来安排，不得抗拒.结果有14个人被抛进海里，而剩下的11个人全部都是基督徒.大难不死的其它10个基督徒突然醒悟过来，原来神父是用诡计救了他们.请你想想，这11个人应在什么位置，才可以避免被抛进海里去呢？分析：神父只要让11个基督徒占领1、4、5、8、10、13、14、17、19、22、23这11个位置，就可以保证他们不被抛进海里.【例6】 右图是一种“红黑棋”，甲、乙两人玩棋，分别取红、黑两方．规定：下棋时，每人每次只能走任意一枚棋，每枚棋子每次可以走一格或几格．红棋从左向右走，黑棋从右向左走，但不能跳过对方棋子走，也不能重叠在对方有棋子的格中．一直到谁无法走棋时，谁就失败．甲先乙后走棋，问甲有没有必胜的策略？分析：甲若想必胜，那么甲走一次棋后，“乙能走甲就能走”，观察棋盘，第二、三行都有9个空格，第四、五行都有5个空格，而第一行只有1个空格，第六行有3个空格，因此甲第1次只要将第六行也变为1个空格，那么就形成一种对称局面，“乙能走甲就能走”．因此甲有必胜的策略：甲先把第六行的红棋向右走两格，使中间只有一个空格．以后乙走第一行，甲就相应地走第六行；乙走第二行，甲就相应地走第三行；乙走第三行；甲就相应地走第二行；乙走第四行，甲就相应地走第五行，乙走第五行，甲就相应地走第四行；乙走第六行，甲就相应地走第一行．且每次甲与乙走的格数要相同，那么最后肯定是乙无法走棋失败，甲必胜．【例7】 把一棋子放在如右图左下角格内，双方轮流移动棋子（只能向右、向上或向右上移），一次可向一个方向移动任意多格.规定不能将棋子直接从左下角移到顶格处，谁把棋子走进顶格，夺取红旗，谁就获胜.问应如何取胜？ E DCBA分析：采用倒推法.由于只能向右、向上或向右上移，要把棋子走进顶格，应让对方最后一次把棋子走到最右边一列的格中，为了保证能做到这一点，倒数第二次应让棋子走进右图中的A 格中.（对方从A 格出发，只能向右或向上移至最后一列的格中）所以要获胜，应先占据A 格.同理可知，每次都占据A ～E 这五个格中的某一格的人一定获胜.为保证取胜，应先走.首先把棋子走进E 格，然后，不管对方走至哪一格，（肯定不会走进A ～D 格），先走者可以选择适当的方法一步走进A ～D 格中的某一格.如此继续，直至对方把棋子走进最后一列的某个格中，此时先走者一步即可走进顶格，夺取红旗，从而获胜.【例8】 在9×9棋盘的右上角放有一枚棋子，每一步只能向左、向下或向左下对角线走一格.二人交替走，谁先到达左下角，谁为胜者.问必胜的策略是什么？分析：还是采用倒推法分析.要想占领图9—1左下角的O 点，就必须先占领图9—1黑黑黑黑黑黑红红红红红红中的A 、B 、C 三点之一.因为：（1）如果你占领了A 点，按照游戏规则，对方只能向下走一步，O 必然被你占领.（2）如果你占领了C 点，按照游戏规则，对方只能向左走一步，O 点同样被你占领.（3）如果你占领了B 点，按照游戏规则，对方只能向左、向下或向左下对角线走一步.若向左走一步，你可占领A 点，可以获胜；若向下走一步，你可占领C 点，也可以获胜；若向左下对角线走一步，你可继续向左下对角线走一步而到达O 点.下面继续倒推，采用同样的方法分析出：要想占领A 点，就必须占领D 、E 、B 三点之一；要想占领B 点，就必须占领E 、F 、G 三点之一；要想占领C 点，就必须占领B 、G 、H 三点之一.如图9—2所示.依此类推，即可找出应该抢占的所有“制高点”，见图9—3，一旦你占领了一个“制高点”，不管对方怎样走，你都可以去占领下一个“制高点”.所以必胜的策略是：（1）先走，将棋子向左下对角线走一步，到达一个“制高点”.（2）对方每走一步后，你都设法去占领下一个“制高点”（“制高点”如图9—3中的黑点所示），而最终先到达O 点.【例9】 甲、乙两个人轮流在一个凸七边形中画对角线．规定新画的对角线不能与已经有的相交，画最后一条获胜．如果甲先画，问：谁有必胜的策略?分析：分两种情况讨论：（1）如图a ，甲连1A ，3A ，分出一个三角形和一个六边形．乙只须连15A A ，，将六边形分两个四边形，接下来甲只能在其中一个四边形中画，而乙可在另一个里画，之后甲无法再画，乙胜． (2)如图b ，甲连14A A ，，分出一个四边形和一个五边形．乙只须连15A A ，，则甲只能在余下的两个四边形中的一个里画，而乙就可在另一个里画，仍然是甲先没得画．仍是乙胜．所以，乙有必胜策略．【例10】桌子上有8颗瓜子，甲、乙两人轮流拿瓜子，他们规定，假如甲先拿（当然，乙也可以先拿），甲可拿任意颗瓜子，但不能拿光，接着乙拿，乙可以拿不多于甲所拿瓜子的2倍，又轮到甲拿，甲可以拿不多于乙拿瓜子的2倍，这样交替进行，谁最后把瓜子拿光就算胜利.分析：假如甲先拿，且拿3颗以上，则剩下的瓜子可由乙一次拿走，于是乙胜，甲输；甲为了不让乙胜，显然不能拿多于3颗的瓜子数，而只能拿2或1颗.若甲决定拿2颗，乙就可以拿1（或2、3、4）颗，如乙拿2或3或4都将认输，故乙只能拿1颗.现在桌子上只剩下5颗瓜子，且又轮到甲拿瓜子，因刚才乙只拿了一颗，故甲可拿1或2颗瓜子，如拿2颗，乙就能把剩下的瓜子拿光而获胜.所以甲只能拿1颗，接着拿瓜子的乙也可拿1或2颗，为保证胜利，乙也拿1颗，这样桌子上只剩下3颗瓜子，仍轮到甲拿瓜子，且只能拿1颗或2颗，不管怎样拿，甲都是输定了.若甲决定拿1颗，则乙就拿2颗，此时桌上只剩下5颗且甲拿，情形和以上一样.故无论何种取法甲必输.这个数字游戏和斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…有关.8为该数列中的一项.事实上是：如果甲、乙两人都清楚这个游戏的“窍门”，那么如瓜子数是该数列的某一项，则先拿者输，如瓜子数不是该数列的某一项，则先拿者赢.专题展望本讲主要讲了游戏中的取胜策略问题，希望同学们通过本讲的学习掌握在游戏中取胜的数学思想方法，在游戏中学到知识，请同学们再接再厉，加油！练习十一1.（例1）桌上放着60根火柴，甲、乙二人轮流取，每次可取1到3根，规定谁取到最后一根谁获胜．假设甲先取，那么谁一定获胜，如何获胜?分析：乙一定获胜.每次可取1～3根，则甲、乙每轮所取的火柴之和总可以凑成4，例如，甲取1根，乙就取3根；甲取2根，乙就取2根；甲取3根，乙就取1根，因为60是4的倍数，无论甲如何取，乙总有相应的取法使得这一轮里火柴共被取走4根，因此，乙必定可以取走最后一根火柴.2.（例2）现有7根火柴，甲乙两人轮流从中取1根、2根或3根，直到取完为止，最后计算各人所得火柴总数，得数为偶数者获胜，问先拿的人是否能取胜?应怎样安排策略?分析：由于7是奇数，所以两人所拿的火柴数必然是一个奇数，一个偶数．而如果火柴总数是偶数的话，分成两个自然数必为同奇或同偶，因此无论如何取，只能是平局，可见如果火柴总数是偶数，比赛就没有意义了，那么我们就对火柴总数为奇数的情况，从少到多开始讨论．（1）如果共有1根火柴，那么先取的人必败，而后取的人必胜．（2）如果共有3根火柴，这时先取的人就占据了有利位置，只要甲直接取2根，乙就只能取1根.那么先取的人必胜，后取的人必败．（3）如果共有5根火柴，由(2)知，甲不能拿2根.因为给乙剩下3根则甲必败．如果甲选择拿1根还剩4根，那么乙有3种选择．①乙拿1根，还剩3根，甲拿3根后总数为1+3=4根，乙只有1根，甲胜；②乙拿2根，还剩2根，甲再拿1根后总数有1+1=2根，乙只能再拿1根，总数为2+1：3根，甲胜；③乙拿3根，还剩1根，甲拿走后总数有1+1=2根，乙有3根，甲胜．（4）如果有7根火柴.甲取走了3根还剩4根，该乙拿．这时的情况与共5根火柴甲取先1根一样，甲有必胜的策略．所以先拿的人有必胜的策略，他要先取走3根火柴．3.（例5）两人轮流报数，但报出的数只能是1至10的自然数.同时把所报数一一累加起来，谁先使这个累加和达到100，谁就获胜.问怎样才能确保获胜？分析：这个问题可以倒着想，要想使总和先达到100，应该最后给对方留下多少个数呢？由于每个人报的数最大是10，最小是1，因此对方最后一次报完数后，总和最大是99，最小是90，所以最后一次应该给对方留下11个数，也就是说要先达到100，就必须先达到89.如何抢到89这个数呢？采用同样的分析方法可知，应先达到78.依此类推，可以得到每次报数应占领的“制高点”是：100，89，78，67，56，45，34，23，12，1.所以获胜的策略是：（1）先报1；（2）每次对方报a（1≤a≤10），你就报11-a.这样，每次你都能占领一个“制高点”，以确保获胜.4.（例6）甲、乙二人轮流报数，报出的数只能是1至7的自然数.同时把所报数一一累加起来，谁先使这个累加和达到80，谁就获胜.问怎样才能确保获胜？分析：采用倒推法．因为每次报1至7的自然数，所以要想报到80，应抢先报到72，给对方留下8个数；同理，要报到72，应抢先报到64；以此类推，每次应抢报的数为80，72，64，56，48，40，32，24，16，8．因此获胜的方法是：（1）让对方先报；（2）对方报a（1≤a≤7），你就报8-a，必胜．BA5.（例8）在下图的A点有一枚棋子，甲先乙后轮流走这枚棋子，每次必须向上或向右走1步或2步(走2步时可以拐弯)，最终将棋子走到B点者获胜．甲有没有必胜的策略?分析：因为每次走棋子必须向上或向右走，所以不管走什么路径，从A到B的步数是定的，都是10步．而每次必须走1步或2步，因此，甲先走一次后，每次可保证与乙刚走的步数和为3，如乙走1步，甲就走2步；乙走2步，甲就走1步．这样，甲若想必胜，走完第一次后剩下的步数必须是3的倍数，这一点是可以做到的．所以甲有必胜的策略：甲先走1步，然后，若乙走1步，甲就走2步；若乙走2步，甲就走1步．数学故事大海盗雷斯家族世代都是海盗头子，到十六世纪中叶时，更是盛况空前，希尔顿·雷斯和艾登·雷斯兄弟各自拥有自己强大的海盗军队，在地中海一带不可一世．终于有一天两兄弟闹不和，都想掌握整个家族，享用家族世代积攒的财宝．但是他们又都不敢跟对方开战，因为他们都没有必胜的把握，而且就算战胜了对方自己的军队也必定伤亡惨重，也许从此就一蹶不振，所以双方一直僵持不下，难以解决．他们的父亲眼见分裂之势已成，无法挽回，又不忍见两个儿子自相残杀，于是想了一个办法，以使事情顺利解决．于是他找了一天把两个儿子召集在一起，说道：“我知道要你们像以前一样相处是不可能了，但你们要是自相残杀岂不是让我们的敌人占了便宜，或许我们的家族也会有灭亡的危险，所以我想了一个办法，能令你们和平地分成两个强大的海盗军团，但你们要答应我遵守我所说的规则!”两兄弟见父亲说的有理便答应了．于是老人接着说：“是这样的，我相信你的军队实力足以自立当世.你们惟一想争的只是家族的财宝，我把财宝中最贵重的部分装在一个箱子中，其余的分别平均装在99个箱子中，你们两个轮流来我这里取箱子，每次取1到lO箱都可以，不能少取也不能多取，我会把最贵重的一箱放在最后，你们取到的箱子都归自己所有，谁取到最贵重的一箱谁就继续留在这里，而另一方必须离开地中海到别处发展，以免互相之间产生摩擦，手足相残．”两兄弟均觉依照这个办法虽然自己有可能被赶出家门，但机会是平等的，还算公平，便答应了．等父亲把财宝准备好，又出现了一个问题：谁先取呢?于是讨论决定：双方划拳，胜者决定先取还是后取．划拳的结果是希尔顿.雷斯赢了，他想了一下决定先取．于是两兄弟轮流到父亲处取财宝，几轮下来最后一箱贵重的财宝被希尔顿·雷斯取走了．艾登·雷斯依照约定离开了地中海，再也没有回来．父亲虽然眼见家族分裂老怀伤感，但见两兄弟相安无事也心怀安慰．几十年后，雷斯家族日趋没落，雷斯兄弟也各自在战斗中被西班牙皇家海军击败，他们逃出来后流落异乡，从此一蹶不振．一日，他们在某个小镇碰见，十分高兴，于是来到酒吧喝酒，后来聊到当年的分裂，艾登·雷斯说：“唉，当初运气不佳，被你碰巧取到了大财宝，我才被迫背井离乡!”那知希尔顿·雷斯哈哈一笑，说到：“我决定先取的时候就知道我赢定了!”艾登·雷斯非常诧异，问道：“怎么会?你怎么能知道我每次会取几箱呢?”希尔顿·雷斯回答道：“不用知道，我先取一箱，以后每次所取的箱数都与你取的凑够1l箱，这样我就赢定了．”艾登·雷斯想了一下顿时恍然大悟，后悔当时没有明白．。

四年级第十一讲割补法巧算面积◆温故知新：1. 用割补法把不规则图形变成规则图形计算面积。

2.正方形、等腰直角三角形、等边三角形、正六边形等已知图形分割成小块，与所求图形面积相联系。

◆练一练1、在图中，五个小正方形的边长都是2厘米，求三角形的面积。

ABC2、图中小正方形和大正方形的边长分别是4厘米和6厘米。

阴影部分的面积是多少平方厘米？◆例题展示例题1图中的数字分别表示对应线段的长度，试求这个多边形的面积。

（单位：厘米）练习1如图所示，在正方形内部有一个长方形。

已知正方形的边ABCD EFGH ABCD 长是6厘米，图中线段都等于2厘米。

求长方形的面积。

、EFGHAE AH例题2如图所示，大正方形的边长为10厘米。

连接大正方形的各边中点得到一个小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连。

请问：图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？练习2如图所示，大正方形的边长为10厘米。

连接大正方形的各边中点得到一个小正方形，再连接大正方形的两条对角线。

请问：图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？例题3如图所示，正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米，M是AB中点，N是CD 中点，P是EF中点。

请问三角形MNP的面积是多少平方厘米？练习3 如图所示，正六边形ABCDEF的面积是36平方厘米，M、N、P、Q、R、S分别是AB、BC、CD、DE、EF、FA的中点。

请问：阴影正六边形MNPQRS的面积是多少平方厘米？例题4 如图，把两个相同的正三角形的各边分别五等分和七等分，并连接这些分点。

已知图a中阴影部分的面积是294平方分米。

请问：图b中阴影部分的面积是多少平方分米？练习4如图，把两个同样大小的正方形分别分成5×5和6×6的方格表。

其中“G”形阴影部分的面积是558，请问“S”形阴影部分的面积是多少？◆拓展提高拓展1如图，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形，如果正方形A 的面积是36平方厘米，那么正方形B的面积是多少平方厘米？练习1如图，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形，如果三角形A的面积是16平方厘米，那么三角形B的面积是多少平方厘米？拓展2 如图所示，已知一个四边形的两条边的长度和三个角的度数，这个四边形的面积是多少平方厘米？（图中3和7的单位是厘米）练习2 如图，在等腰梯形ABCD中，角B是60度，线段AB、AD、CD长度相等。

第11周错中求解例题1 小李在计算两个数相加时，把一个加数的个位上的7错写成1，把另一个加数百位上的2错写成3，所得的和是2003，原来两个数相加的正确答案是多少？疯狂操练：1．大刘在计算加法时，把一个加数十位上的５错写成３，把另一个加数个位上的６错写成２，所得的和是３７４，正确的和应该是多少？2．小丁在计算加法时，把一个加数百位上的０错写成８，把另一个加数十位上的１错写成７，所得的和是３１２３，正确的和应该是多少？3．豆豆在计算加法时，把一个加数个位上的６错写成９，把另一个加数百位上的８错写成３，所得的和是６３７，正确的和应该是多少？例题 2 大明做题时，把被减数个位上的３错写成８，把十位上的６错写成０，这样算的差是２００，正确的差是多少？疯狂操练：1．小原做题时，把被减数个位上的３错写成５，把十位上的１错写成７，这样算的差是２０１，正确的差是多少？2．大华做题时，把被减数个位上的８错写成０，把十位上的６错写成２，这样算的差是５１３，正确的差是多少？3．小彬做题时，把减数十位上的９错写成６，把被减数百位上的３错写成８，这样算的差是８０６，正确的差是多少？例题 3 小明在计算除法时，把被除数１３５０写成１３０５，结果得到商是５２，余数是５，正确的商应该是多少？疯狂操练：1．大刚在计算除法时，把被除数７１４０写成１７４０，结果得到商是４９，余数是２５，正确的商应该是多少？2．小巍在计算除法时，把除数２１０错写成２１，结果得到的商是１５０，正确的商应该是多少？3．某数刚好能被１６除尽。

如果改用１８去除，商是１７还余１４，该数是１６有几倍？例题4 小星在计算有余数的除法时，把被除数５６７错写成５２１，这样商比原来少了２，而余数正好相同，请你算出这道题的除数和余数各是多少？疯狂操练：1．小乐在计算有余数的除法时，把被除数３８５错写成８３５，这样商比原来多了３０，而余数正好相同。

求这道除法算式的除数和余数。

第11讲相遇问题练习十一1、两辆摩托车同时从甲、乙两地相对开出，一辆摩托车每小时行62千米，另一辆摩托车每小时行65千米，经过5小时相遇。

甲、乙两地相距多少千米？2、一个圆形跑道的周长是500米，两个学生同时从同地相背而行。

甲每分钟走65米，乙每分钟走60米，经过几分钟才能相遇？3、一列货车和一列客车同时从某站向相反方向开出，货车每小时行38千米，客车每小时行42千米，5小时后两车相距多少千米？4、A、B两城相距420千米，一辆公共汽车和一辆小轿车同时从A、B两地出发，相向而行，经过4小时相遇，已知小轿车的速度是每小时55千米，公共汽车的速度是多少？5、甲、乙两城相距310千米，一列快车从甲城出发开往乙城，每小时行70千米。

快车开出1小时后，慢车从乙城开往甲城，经过2小时后两车相遇，求慢车的速度。

6、甲、乙两城相距340千米，一列慢车从乙城出发开往甲城，每小时行50千米，行了2小时后，一列快车从甲城出发开往乙城，每小时行70千米，慢车共行几小时后与快车相遇？7、小刚家距学校有1120米，早晨他和妹妹小慧同时离家上学，小刚每分钟走80米，小慧每分钟走60米。

哥哥到校门口时，发现忘带作业，立即沿原路回家去取，兄妹俩从出发到相遇共用了几分钟？8、兄妹二人同时离家去上学，哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟走70米，哥哥到校门时，发现忘带跳绳，立即沿原路回家去取，行至离学校120米处与妹妹相遇。

他们家离学校有多远？9、甲、乙两辆客车同时从东、西两城相向对开，甲客车每小时行58千米，乙客车每小时行50千米，两车在离中点32千米处相遇。

东、西两城间相距多少千米？10、快车和慢车同时从东、西两地相对开出，已知快车每小时行50千米，经过4小时后，快车已驶过中点32千米，这时与慢车还相距12千米。

慢车的速度是多少？11、A、B两地相距460千米，甲列车从A地开出2小时后，乙列车从B地开出，经4小时与甲列车相遇，已知甲列车比乙列车每小时多行10千米，甲列车的速度是多少？12、南湾小学和北岗小学的学生从相隔18千米的两村同时出发，相向而行。