奥数四年级数学游戏与对策课件

巧做游戏与对策巧点晴——方法和技巧“余数制胜法”“对称制胜法”“例推法”等都是游戏与对策的常用思考方法。

巧指导——例题精讲我国古代有一个“田忌赛马”的故事：齐王经常要求和将军田忌赛马，规定各从自己的马中选上等马、中等马和下等马各一匹，进行三场比赛，每场各出一匹马，每胜一场可得一千金。

田忌的朋友孙膑给他出了一个主意，叫田忌用下等马对齐王的上等马，上等马对齐王的中等马，中等马对齐王的下等马。

结果，田忌先负一场然后连胜两场，反而赢了一千金。

这个故事是对策的一个典型例子。

它告诉我们：在竞争时，要认真分析研究，寻找并制定尽可能好的方案，利用它取得尽可能大的胜利，或在胜利无望时，也不至于输得太惨。

在20世纪形成了对策论这门新兴科学，专门研究这种思想。

A级冲刺名校·基础点晴【例1】有两堆火柴，一堆16根，一堆11根。

甲、乙两人轮流从中拿走1根或几根甚至一堆，但每次只能在某一堆中拿火柴，谁拿走最后一根算谁胜，问甲如何才能取胜？做一做1桌面上有2000根火柴，甲、乙两人轮流地取1根或2根火柴，谁取到最后一根火柴为胜，问甲获胜的策略是什么？【例2】甲、乙两人轮流往一张圆桌面上放同样大小的硬币，规定每人每次只能放一枚，硬币平放且不能有重叠部分放好的硬币不再移动。

谁放了最后一枚，使得对方再也找不到地方放下一枚硬币的时候他就赢了。

请说明放第一枚硬币的甲百战百胜的策略。

做一做 2 两个小朋友各持有同样大小的圆纸片若干张，他们轮流把纸片放到一张长方桌面上（桌面比圆纸片大），纸片边缘不越出桌面而且互相不重叠。

轮到谁无法放圆纸片时，就算谁失败，问有什么办法可以取胜？【例3】一张3×10的长方形网格纸有30个小方格，甲、乙两人轮流在切纸机上沿方格线的直线剪一切。

甲将一分分为两份，先送一份给乙，由乙按同样要求再剪。

然后乙又选送一份给甲，甲再这样剪……如此重复。

谁送给对方的只有一个方格谁就获胜。

问甲要想获胜有何策略？做一做3 甲、乙两人在1×100（100个格子）的长条纸上，从左向右移动一枚棋子（这枚棋子在第一格上）。

小学奥数精讲：对策问题之必胜策略小学奥数精讲：必胜策略对策问题知识点总结：1.一取余制胜（取棋子，报数游戏）1.1.每次取1~n个棋子，总数，取最后一个赢策略：总数÷（1+n）如果有余数，先拿必胜，拿掉余数，之后总与对手凑成1+n即可。

如果无余数，则后拿，总与对手凑成1+n即可。

1.2.每次取1~n个棋子，总数，取最后一个输策略：最狠的做法就是留给对方一枚棋子，对方不取也得取。

所以想赢的关键就在于能不能取到倒数第二枚棋子。

问题转化为：每次取1~n个棋子，总数，取倒数第二枚棋子赢。

（总数-1）÷（1+n），之后同1中做法。

2.抢占制胜点（倒推法）2.1.能一步到棋子的位置均是不能走的地方即负位2.2.处处为别人着想。

自己不能走的地方逼别人走进去即可，即确定制胜点。

3.对称法3.1.同等情况下，模仿对方步骤可以达到制胜目的。

3.2.不同等情况下，创造对等局面方可制胜。

例题：1.桌子上放着100根火柴，甲、乙二人轮流每次取走1～5根。

规定谁取走最后一根火柴谁获胜。

如果双方都采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？分析：100÷（1+5）=16……4，有余数，先拿必胜。

甲先拿4个；乙拿a个，甲就拿6-a个。

2.甲乙两人轮流报数，报出的数只能是1～7的自然数。

同时把所报数一一累加起来，谁先使这个累加和达到80，谁就获胜。

请问必胜的策略是什么？分析：80÷（1+7）=10，无余数，后拿必胜。

甲拿a个，乙就拿8-a个必胜。

3.1000个空格排成一行，最左端空格中放有一枚棋子，甲先乙后轮流向右移动棋子，每次移动1～7格。

规定将棋子移到最后一格者谁赢。

甲为了获胜，第一步必须向右移多少格？分析：（1000-1）÷（1+7）=124……7，有余数，先走必胜。

甲先走7格；乙走a格，甲就拿8-a个必胜。

4.5张扑克牌，每人每次只能拿1张到4张。

谁取最后一张谁输。

必胜的策略是什么？分析：先拿4张，留给别人1张就行。

第09讲游戏策略知识点、重点、难点对策论又称博弈论，我们学习的对策问题，主要是研究在两人的游戏过程中如何使自己取胜的策略问题.如果说“统筹规划”所研究的是“静的”对象的话，那么“对策问题”所研究的就是一个“动的”对手，因而在考虑问题时需要设想对手可能采取的各种方案，并使己方的策略能在对手所有可能采取的方案中都处于有利位置，我们将这种状态称为“必胜状态”.那么在给定的游戏规则下，是否存在必胜状态，以及为了达到必胜状态所采取的策略就成了问题的关键.需要强调的是，我们的目标不是“可能胜”，而是“必胜”！我们不能存在侥幸心里，不能寄希望于对方的失误，而是要在假定双方都足够聪明的前提下寻找必胜策略.例题精讲例1有12枚棋子，甲、乙两人轮流取，规定甲先取，每人每次至少取1枚，最多取3枚.如果谁取走最后一枚棋子谁赢，那么谁有必胜策略？如果谁取走最后一枚棋子谁输，那么谁有必胜策略？必胜策略是什么？练习1有15枚棋子，甲、乙两人轮流取，规定甲先取，每人每次至少取1枚，最多取2枚.如果谁取走最后一枚棋子谁赢，那么谁有必胜策略？如果谁取走最后一枚棋子谁输，那么谁有必胜策略？必胜策略是什么？例2现有2014根火柴，甲、乙两人轮流从中取出火柴，规定甲先取，每人每次至少从中取2根，最多取出4根，谁无法取出火柴谁就赢.请问：谁一定赢？策略是什么？练习2现有2009颗糖，甲、乙两人轮流从中取出糖，规定甲先取，每人每次至少从中取2颗，最多取出5颗，谁无法取出糖谁就赢.请问：谁一定赢？策略是什么？例3甲、乙两人玩一个游戏：有两堆小球，甲、乙两人轮流从中取球，每次只能从同一堆中取，个数不为零即可，规定取到最后一个球的人赢，甲先取球.如果开始时两堆分别有5个球和8个球，那么谁有必胜策略？请说明理由.练习3有两堆金币,一堆有2009枚,另一堆有2014枚.甲、乙两人轮流从中拿金币，每次只能从同一堆中拿，个数不为零即可.规定拿到最后一枚金币的人获胜，胜者可以获得所有金币.如果甲先拿，那么谁有必胜策略？请说明理由.例4如图，方格A中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，只能向上、向右或向右上方走一步，最终将棋子走到方格B的人获胜.请问：谁一定能获胜？必胜策略是什么？BA例5有一块巧克力，它被直线划分成3行7列的21个小方块，如图所示.现在让你和对手进行一种两人轮流切巧克力的游戏,规则如下：（1）每人每次只许沿一条直线把巧克力切成两块；（2）拿走其中一块，把另一块留给对手再切；（3）不断重复前两步，最后谁能恰好留给对手一个小方块，谁获胜.如果你首先切巧克力，那么你第一次应该切走多少个小方块，才能保证自己最后获胜？精选习题1.10枚正面朝下的硬币排成一排放在桌子上，两个小朋友玩翻硬币游戏，规定：每人每次只能翻动1枚或2枚硬币使之正面朝上，翻过的硬币不能再翻.两人轮流翻硬币，翻动最后一枚硬币的人获胜.请问：谁有必胜策略？必胜策略是什么？2.现有200个石子，甲、乙两人轮流从中取出石子，每次最少取2个，最多取4个，谁无法取出石子谁就赢.如果甲先取，那么谁有必胜策略？必胜策略是什么？。

第三讲 游戏与对策一、基本前提游戏双方足够聪明，目的都是获胜。

二、方法：倒推三、游戏类型（一）拿火柴棍/抢数如：桌子上放着10根火柴，二人轮流每次取走1—2根，规定谁取走最后一根火柴谁获胜。

你知道必胜的方法吗？分析：如果从开始分析，“局面”太大，有太多种取法要讨论。

所以我们尝试从结果倒推。

如上图，要必胜，也就是要让自己拿到10号火柴，那就应给对方留下8，9,10三根火柴供他取，这样对方不管取一根还是两根，自己都能拿到最后的10号火柴。

照这样分析，自己应该拿到7号火柴（这样就是给对方留下了8,9,10号三根）就必胜。

同理分析，要想取7号，就应该取4号，要想取4号，就应该取1号。

那么，本题的制胜点就是1,4,7,10号火柴，对于足够聪明的人来说，拿到第一个制胜点1号火柴，一定能拿到其余的制胜点。

所以本题要必胜，就要抢先取1根，然后对方取a 根，自己就取3-a 根，这样保证自己能取到每一个制胜点，最终取到10号火柴。

总结一下，同学们应该能看出，这里面有周期现象（只是周期是从后往前排布的），周期是几呢？是可取的最大限度2再加1等于3，制胜点是哪些呢？是每个周期的最后一根。

掌握此规律，就不难总结出这类题的解题方法了：解题方法：（1）找周期：周期等于可拿最大限度+1（2）总数÷周期1 桌子上放着60根火柴，聪明昊、神奇涛二人轮流每次取走1—3根，规定谁取走最后一根火柴谁获胜。

你知道必胜的方法吗？解析： 周期为 3+1=4（根）60÷4=15（组） （整除，应该抢后）制胜点：4,8,12 (60)做法：1、让对方先取2、对方取a 根，自己就取4-a 根2 有一种抢数游戏，是两个人从自然数1开始轮流报数，规定每次至少报几个数与至多报几个数（都是自然数），最后谁报到规定的“某个数字”为胜。

如“抢50”，规定每次必须报1或2个1 2 3 4 5 6 7 8 9 10有余数：抢先拿余数整除（余数为0）：抢后自然数，从1开始，谁抢报到50为胜。

取胜的策略月 日 姓 名【知识要点】在数学竞赛中，有一类很有趣味的智力游戏，涉及到的课本知识并不多，但是技巧性比较强，在游戏的过程中，对立者总是竭尽全力争取最大的胜利，不希望自己失败，因此对立者都认真选择对付对方的办法。

用数学的观点和方法来研究取胜的策略叫对策问题。

对策问题又称博弈论(game theory)。

【解题技巧】①奇偶性；②倒推(这是最常用、最最要的一种办法，我们要求的是一种必胜情况而不是所有必胜或一种可能获胜的情况，把握好这个度很重要。

)③从特殊到一般；④穷举法（比较适合用于可能性较少，运算量不大的题目中经常用到）。

【例题精讲】例1 有200枚棋子放在盒子里面，小齐和小蓝两人轮流各取一枚或两枚，取到最后一枚者为胜，请问如果小齐先取，必胜的对策是什么呢？例2 两个人轮流报数，报出来的只能是1——6的自然数，每次报后把所报的数一一累加起来，谁先使这个累加的和达到888谁就获胜，请问你有必胜的把握吗,该如何安排呢?例3 有2堆纸牌，分别为34张，15略吗？例4 黑板上写着连续的自然数，从１到81的策略吗？！！随堂小测姓名成1.有一个叫“抢30数，每人每次只能报1个数或2个数，谁先报到302．桌面上放着54张扑克牌，两人轮流从中取1张，2张，或3张，取到最后一张者为输，怎样取才能保证获胜？3．有分别装了63，108个球的两个箱子，两人轮流在任意的箱子中去任意的的球数，规定是一次只能在一个箱子中取球，不能一个不取，取到最后球的人为胜者，先取者是必胜的，你能给出方案吗？课后作业姓 名 成 绩1．有13枚硬币甲，乙两人轮流取，每人每次取1—3个，规定最后一个取完的的人为胜，那么甲先取有必胜的把握吗？耶！！！。