2012年春季五年制小学奥数四年级策略性问题

小学奥数思维训练-最佳策略问题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．有一堆棋子共有2002粒，甲、乙两人玩轮流取棋子的游戏．甲先取乙后取，并且规定每次取的棋子不能超过7粒，但不能不取．如果规定取到最后一粒棋子的人为胜者，那么甲应如何制定策略以取胜？2．某学校资金存款的年利息为10%，积压资金100元，相当于损失了10元．现在学校决定在初秋时购买冬季取暖用的煤．根据以往经验，在正常的冬季气温下要消耗煤15吨，但如果冬季比较暖和，只要用煤10吨；若冬季比较寒冷，就要用煤20吨．而煤的价格是根据天气的寒冷程度而变化的，在比较暖和、正常和寒冷的天气下，每吨煤的价钱分别是100元，150元，200元，而在初秋时每吨煤100元，在没有当年冬季气温的长期预测下，该校在初秋时应购进多少吨煤最好？3．用一只平底锅煎饼，每次只能放两张饼，煎熟一只饼需要2分钟（煎熟正面反面各需要1分钟）．那么煎三只饼至少要几分钟？煎n（n≥2）只饼至少要几分钟？4．两个人轮流在国际象棋盘的空格内放入“相”棋（国际象棋盘为8×8的方格棋盘，共有64个格，“相”是国际象棋中的一种棋子，它的走法是沿斜线方向，格数不限，并且在它的行走路线上可攻击其他棋）．一方持黑棋，另一方持白棋．当任何一方放入“相”棋时，要保证不被对方已放入的“相”棋的攻击．谁先无法放入棋子者为输．请问：先放入棋子者是赢是输？5．这是两人竞赛．方法是：在如图3所示的井字方格内填写符号，先填一方画“○”后填一方画“×”谁能够先使三个“○”或三个“×”排在一条直线上（水平或竖直或成45度角的直线），谁就获胜．那么，为了取胜，第一个“○”应画在哪里？相应地，第一个“×”又应画在哪里？试分析胜负的情况如何？6．某加油站每次只能对一辆车进行加油．加满一辆大卡车的油需要7分钟；加满一辆三卡车的油需要5分钟；加满一辆小汽车的油需要4分钟．现在有一辆大卡车、一辆三轮卡车、一辆小汽车同时来到加油站加油．问加油站应该怎样安排这三辆车的加油顺序，才能使总共需要的时间（包括加油及等候的时间）最省？7．三堆火柴分别有2001根、2002根、2003根．甲、乙两人轮流从中取出火柴．规则是：每人每次只能从其中的一堆中去取，最少要取一根，最多可全部取走，可以任意选择，谁取完最后一堆的最后一根谁就获胜．如果甲先取，要保证获胜，他应该制定怎样的策略？8．有m个减号“－”号排成一行，甲、乙两人轮流将减号“－”改成加号“+”，每次只能改其中的一个或者是相邻的两个，但不能不改，谁将最后剩下的减号“－”改为加号“+”谁就获胜．如果甲先改，请问甲是否有必胜的策略？9．甲、乙两个人按自然数顺序轮流报数，每人每次只能报1个或2个数，但不能不报．例如，甲报1，乙就接着报2或2、3；而甲也可以报1、2，乙接着报3或3、4．这样连续报下去，谁报出100，谁就获胜．甲要怎样才能获胜？先报还是后报？10．在黑板上写下数1，2，3，4，…，100，101，甲先擦掉其中的一个数，然后乙再擦去一个数．如此轮流下去，直到最后只剩下两个数为止，若最后剩下的两个数互素，则甲胜；若最后剩下的两个数不互素，则乙胜．按此规则，请为甲制定一个必胜策略．11．有2002个空格排成一行，第一格中放入一枚棋子，每次可向前移动3格或6格，由甲乙两人交替走，以先到最后一格者为胜，问先走胜还是后走胜？如何取胜？12．车间内有5台机器同时出了故障，从第1台到第5台的修复时间依次是15、8、29、7、10分钟．每台机器停产一分钟都将造成10元的经济损失．如何安排修复顺序，使经济损失最少？最少要损失多少元？13．有66吨煤要从煤场运到发电厂，大卡车的载重量是5吨，耗油量是10升；小卡车的载重量是2吨，耗油量是5升．如果要使总耗油量最少，应该如何安排大小卡车．14．社办厂生产两种产品：制造一公斤甲种产品要花1个劳动日，用原料5公斤．制造1公斤乙种产品要花2个劳动日，用与甲同样的原料3公斤．假如甲种产品每公斤利润为700元，乙种产品每公斤利润600元，并且社办厂只有750公斤原料，生产两种产品只允许花220个劳动日，试问：甲、乙两种产品各生产多少公斤时，才能使社办厂获利最大？参考答案：1．由于2002÷8=250…2，所以一开始甲先取2粒棋子，以后的每一轮，乙如果取a（1≤a≤7）粒棋子，甲就取（8－a）粒，从而到最后一轮前，只剩下8粒棋子，而轮到乙取，无论乙取几粒棋子，甲都可以将剩下的棋子一次取完，从而获得胜利．【解析】【详解】甲为了能取到最后一粒棋子，必须使得当他取到倒数第二轮时，还有8粒棋子．因为此时轮到乙来取，乙最少要取1粒，最多只能取7粒，因此无论乙取几粒，甲都可以将剩下的棋子一次取完，从而保证必胜．可见，“8”是个关键数字，一开始甲取的棋子数，应该保证余下的棋子数是8的倍数．往后的每一轮，不管乙取多少粒（1至7粒），甲总可以使自己所取的棋子数和乙所取棋子数和为8，从而将主动权控制在自己手中．这样到了最后一轮，只剩下8粒棋子，迫使乙败，从而甲取胜．2．花2000元购进20吨的煤最好．【解析】【分析】注意到在初秋时若少买了煤在冬天要花更多的钱去买煤，而买多了煤，则烧不完有积压资金，会造成损失．因而买多少煤是一个策略问题．根据题意，学校现在有三个策略：购买10吨、15吨、20吨．我们比较这三具策略，选择出最佳策略．【详解】（1）如果学校在初秋时购买了10吨煤，则当天天气正常时要再购进5吨煤，总共花费了100×10+150×5=1750（元）；当天气转寒时要再购进10吨煤，总共花费了100×10+200×10=3000（元）．（2）如果学校在初秋时购买了15吨煤，则当天天气转暖时，积压资金为5吨煤的钱100×5=500（元），而当天气转寒的时候，需要再购进5吨煤，共花费100×15+200×5=2500（元）．（3）如果学校在初秋时购买了20吨煤，则当天气正常时积压资金为100×5=500（元）；天气转暖时积压资金为：100×10=1000（元）．比较上面三种策略，第一种策略的最大损失是在天气冷的时候，比预先买20吨煤损失了（200－100）×10=100×10=1000（元）．第二种策略最大的损失是在天气冷的时候，比预先买20吨煤损失了（150－100）×5=50×5=250（元）．第三种策略最大的损失是在天气转暖的时候，此时积压资金为1000元，而学校资金存款的年利息为10%，相当于损失了2年的利息，即损失了1000×10%×2=200（元）．所以最佳策略是花2000元购进20吨的煤，此时可能的损失最小．3．煎三只饼至少要3分钟，煎n（n≥2）只饼至少要n分钟【解析】【分析】煎三只饼若是一只一只地煎，要6分钟；但是每次可以放两只饼，可以同时煎熟两种饼，现煎第三只饼，这样共需要4分钟，但是这两种策略都不是最佳策略．【详解】煎三只饼至少需要三分钟．因为，第一次煎两个饼，一分钟后两个饼都熟了一面，此时将第二只取出，第一只翻个面，再放入第三只．又煎了一分钟，第一只煎好取出，第三只翻个面，再将第二只放入，再煎一分钟，全部煎熟了。

小学奥数精讲：对策问题之必胜策略小学奥数精讲：必胜策略对策问题知识点总结：1.一取余制胜（取棋子，报数游戏）1.1.每次取1~n个棋子，总数，取最后一个赢策略：总数÷（1+n）如果有余数，先拿必胜，拿掉余数，之后总与对手凑成1+n即可。

如果无余数，则后拿，总与对手凑成1+n即可。

1.2.每次取1~n个棋子，总数，取最后一个输策略：最狠的做法就是留给对方一枚棋子，对方不取也得取。

所以想赢的关键就在于能不能取到倒数第二枚棋子。

问题转化为：每次取1~n个棋子，总数，取倒数第二枚棋子赢。

（总数-1）÷（1+n），之后同1中做法。

2.抢占制胜点（倒推法）2.1.能一步到棋子的位置均是不能走的地方即负位2.2.处处为别人着想。

自己不能走的地方逼别人走进去即可，即确定制胜点。

3.对称法3.1.同等情况下，模仿对方步骤可以达到制胜目的。

3.2.不同等情况下，创造对等局面方可制胜。

例题：1.桌子上放着100根火柴，甲、乙二人轮流每次取走1～5根。

规定谁取走最后一根火柴谁获胜。

如果双方都采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？分析：100÷（1+5）=16……4，有余数，先拿必胜。

甲先拿4个；乙拿a个，甲就拿6-a个。

2.甲乙两人轮流报数，报出的数只能是1～7的自然数。

同时把所报数一一累加起来，谁先使这个累加和达到80，谁就获胜。

请问必胜的策略是什么？分析：80÷（1+7）=10，无余数，后拿必胜。

甲拿a个，乙就拿8-a个必胜。

3.1000个空格排成一行，最左端空格中放有一枚棋子，甲先乙后轮流向右移动棋子，每次移动1～7格。

规定将棋子移到最后一格者谁赢。

甲为了获胜，第一步必须向右移多少格？分析：（1000-1）÷（1+7）=124……7，有余数，先走必胜。

甲先走7格；乙走a格，甲就拿8-a个必胜。

4.5张扑克牌，每人每次只能拿1张到4张。

谁取最后一张谁输。

必胜的策略是什么？分析：先拿4张，留给别人1张就行。

小学奥数精讲：对策问题之必胜方法简介本文档旨在介绍一些小学奥数中的对策问题以及必胜方法。

学生经常面临各种各样的题型和挑战，本文将提供一些建议和策略，帮助学生克服困难，取得好成绩。

1. 阅读题阅读题是小学奥数中常见的问题之一。

解决阅读题的关键在于提高阅读理解能力和速度。

以下是一些必胜方法：- 阅读练：定期进行阅读练，包括故事书、报纸、杂志等，提高阅读理解能力。

- 注意时间管理：在考试中，合理分配时间给每个阅读题，不要花太多时间在一个问题上。

- 理解关键信息：在阅读过程中，学会提取和理解关键信息，帮助快速回答问题。

2. 计算题计算题需要学生具备强大的计算能力和数学思维。

以下是一些必胜方法：- 熟悉基本运算：熟练掌握加减乘除等基本运算，并做到心算快速准确。

- 多做题：通过不断练提高计算能力和速度，遇到较难的计算题时也能迅速解决。

- 运用技巧：学会利用一些数学技巧和公式简化计算步骤，提高效率。

3. 推理题推理题是需要学生进行逻辑思维和推理的题型。

以下是一些必胜方法：- 分析题目：仔细读题，理解问题背景和要求，分析题目中的条件和关系。

- 列清单：对于复杂的推理题，可以列清单来记录和整理问题中的信息和条件，帮助推理过程。

- 多实践：通过解决各种推理题来锻炼逻辑思维能力，提高解题的准确性和速度。

4. 选填题选填题需要根据题目要求，从给定的选项中选择和填入正确的答案。

以下是一些必胜方法：- 仔细阅读选项：在填写答案之前，仔细阅读选项并理解每个选项的含义。

- 排除法：通过排除一些明显错误的选项，缩小答案的范围，并选择最合适的答案。

- 注意题干：注意题干中的提示和关键信息，帮助选取正确的答案。

结论通过掌握上述对策问题的必胜方法，学生可以在小学奥数中取得更好的成绩。

不仅要提高知识水平，还要培养良好的研究惯和解题思路。

多做练，注重理解和分析，相信每个学生都能在小学奥数中取得成功。

以上是关于小学奥数对策问题之必胜方法的介绍，希望对学生们有所帮助。

第13讲策略问题【学习目标】1、学习策略问题；2、提升分析问题和解决问题的能力。

【知识梳理】1、倒推法：从结果逆向推游戏过程，采用逆向思维从后面往前面的一种策略；2、对称法：通过模仿对方的游戏步骤，使得对方始终面临平衡状态的一种策略。

【典例精析】【例1】两个人做移火柴棍游戏．比赛规则是：两人从一堆火柴中可轮流移走1至5根火柴，但不可以不取，直到移完为止，谁最后移走火柴就算谁赢．如果开始有55根火柴，首先移火柴的人在第一次移走__1__根时才能在游戏中保证获胜．甲先移1根，还剩54根，接着乙移，不管以移走几根（1﹣5根），随后的甲只要保证每次移动的根数和前面乙移的根数和为6就行，这样当乙移完第8次（即甲移完第9次），总共移了1+6×8=49，还最后剩6根，这时乙开始他的第9次移动，但不管怎么移，最后还是会有剩下（最多5，最少1），于是甲就可以移完最后剩下的．【趁热打铁-1】61根小棒，两人轮流拿，规定每人每次至少拿1根，最多拿3根，直到拿完为止，谁拿到最后一根，谁就获胜．如果甲先拿，甲第一次要拿___1_根小棒，才能保证获胜．先取者可获胜，如果甲先取，甲获胜的策略：61÷（1+3）=15…1，甲先取1根，则余下的根数为4的倍数，如果乙取m根（m＜4），则甲取（4﹣m）根，甲乙共取了4根，余下的根数仍为4的倍数．如此反复，直至余下的根数为4根后，乙再取了若干根后，甲就可全部取光，甲就可获胜．【例2】桌子上有2014枚棋子，甲乙两人轮流取走棋子．规则是：每人每次取的个数是1枚至5枚，谁最后取光桌上的棋子谁就获胜．如果甲先取，那么甲先取_____枚棋子，才能保证自己必胜．2014÷（1+5）=335（次）……4（个）；只要甲先取4个，然后再看看乙每次取几个，只要每次与乙所取棋子数和满足是6，甲就能取胜．【趁热打铁-2】有75个棋子，两人轮流拿，每次只能拿1个、2个、3个，谁拿到最后一颗，谁获胜．如果你先拿，第一次应该拿几颗，接下来怎样拿才能确保获胜？75÷（3+1）=18……3，为了确保获胜，自己先取3个，别人再取走n（1≤n≤3）个，接着自己取走（4﹣n）个；以后每次在别人取球后，自己所取棋子数均为4减去对方所取棋子数之差；则保证自己获胜．【例3】一堆计数卡片分别写着2，3，4，5，…，2012．甲先从中抽走1张，然后乙再从中抽走1张，如此轮流下去．如果最后的2张上的数是互质数时，甲胜；如果最后剩下的2个数不是互质数时，乙胜．甲想要获胜有几种抽取方法？各应该怎样抽取卡片？如果甲取偶数4，那么剩下的数同样可以这样去分组：（2，3）（5，6）…（2011，2012）．接下来当乙取一个数时，甲就取这个组中剩下的另一个数，取到最后剩下的数必是相邻的两个数，必定互质．从2到2012一共有2012÷2=1006个偶数，因此就有1006种取法．【趁热打铁-3】在黑板上写有100个数，1，2，3…，100，甲乙两人轮流擦去黑板上的一个数（甲先擦，乙后擦），如果最后剩下的两个数互质，则甲胜，否则乙胜，谁能必胜？必胜的策略是什么？从1到100共100个数字，100÷2=50，所以有50个偶数，50个奇数，根据条件，甲先擦，乙后擦，甲无论擦哪个数，乙都擦和它相邻的那个数，所以乙必胜．【例4】甲、乙两人轮流报数，每人都只能报2、3、5、7中的一个，把两人报的数累加．如果某个人报完数后，累加的和第一次为三位数，那么这个人就获胜．请问：谁有必胜策略？甲有必胜策略，甲要抢占到92，甲首先报2，之后与乙配对和为5或10即可，即乙选7，则跟着选3，若乙选5，则甲跟着选5，若乙选2，则甲选3…一定甲首先报92，乙即使报最大的数7，加上92，只是99，甲然后报四个中任意一个都可获胜；则甲必胜．【趁热打铁-4】小明和小丽两人从1开始按自然数顺序轮流报数，每人每次只能报1个数或2个数，谁能报出60，谁就能获胜．小明后报，为了确保获胜，小明应该怎样报数？如果小明想获胜，那么就让小丽先报数．如果小丽报的是一个，小明就报两个；如果小丽报的是两个，那么小明就报一个．那么就会两人固定报三个数，也就是小明始终使两人每一轮报的个数的和是3个，这样，小丽最后报的数肯定是“58”或“58、59”，那么小明就可以报60了．必胜的策略是：第一，让小丽先报；第二，小丽报一个数小明就报两个数，小丽报两个数小明就报一个数，小明始终使两人每一轮报的个数的和是3个．【例5】桌上有一块巧克力，它被直线划分成3×7个小方块，如下图，现在两人轮流切巧克力，规则是：①每次只许沿一条直线把巧克力切成两块；②拿走其中一块，把另一块留给对方再切；③谁能留给对方恰好一个小方块，谁就获胜，问如何取胜？甲能获胜，因为甲先切的，甲先切去4×3拿走，给乙留下3×3 Array的方，这时乙有两种方式来切，如果乙这时切走2×3拿走给甲留下1×3的话，那甲就再切走1×2拿走给乙留下1×1一个小方格，这时乙输；如果乙切走1×3拿走给甲留下2×3的话，那甲会切走1×2拿走再给乙留下2×2,这时乙只有一种方式就是切走1×2拿走留下1×2的小方格，那甲就要以切走1×1拿走给乙留下1×1一个小方格，乙输.【趁热打铁-5】甲、乙两人轮流往一张圆桌面上放同样大小的硬币，规定每人每次只能放一枚，硬币平放且不能有重叠部分，放好了硬币不能再移动。

1．妈妈让小明给客人烧水沏茶．洗开水壶要用1分钟，烧开水要用15分钟，洗茶壶要用1分钟，洗茶杯要用1分钟，拿茶叶要用2分钟．小明估算了一下，完成这些工作要花20分钟．为了使客人早点喝上茶，按你认为最合理的安排，多少分钟就能沏茶了?[分析与解]在这道题里，最合理的安排应该最省时间．先洗开水壶，接着烧开水，烧上水以后，小明需要等15分钟，在这段时间里，他可以洗茶壶，洗茶杯，拿茶叶，水开了就沏茶，这样只用16分钟．2．图9-1是一张道路图，每段路旁标注的数值表示小王走这段路所需的分钟数．问小王从A出发走到B最快需要多少分钟?[分析与解]如下图所示，标上字母：注意关键点C．从A到B的道路如果经过C点，那么，从A到C的道路中选一条最省时间的，即AGC；从C到B的道路中也选一条最省时间的，即CFB．因而从A到B经过C的所有道路中最省时间的就是这两条道路连接起来，即AGCFB．它对应的总时间时48分钟．剩下的只要比较从A到B而不经过C点的道路与道路AGCFB看哪个更加节省时间．不经过C点的道路有两条：ADHFB，需49分钟；AGIEB，需49分钟．所以，从A到B最快需要48分钟．3．甲、乙、丙3名车工准备在同样效率的3个车床上车出7个零件，加工各零件所需要的时间分别为4，5，6，6，8，9，9分钟．3人同时开始工作，问最少经过多少分钟可车完全部零件?[分析与解]加工所有的零件共需：4+5+6+6+8+9+9＝47分钟，平均到三台车床上加工，平均每台加工时间为分钟．由于加工各零件都需要整数分钟，因此最快需16分钟完成，但是无论怎么分组，都做不到；因此延长1分钟，即17分钟，有(6，9)，(6，9)，(4，5，8)，满足题意．所以，最少经过17分钟可车完全部零件．4．如图9-2，5所学校A，B，C，D，E之间有公路相通，图中标出了各段公路的千米数．现在想在某所学校召开一次学生代表会议，应出席会议的代表A，B，C，D，E校分别有6人、4人、8人，7人、10人．为使参加会议代表所走的路程总和最小，会议应选在哪个学校召开?[分析与解]先比较A、B两地，以B地为集合地较A地，使29人少走2千米，6人多走2千米，所以B地比A地好．B，C，D，E，F不能简单的比较出．B地集合，共行走6×2+8×3+7×2+10×(3+2)＝100千米；C地集合，共行走6×(2+3)+4×3+7×(2+3)+10×2＝97千米；D地集合，共行走6×(2+2)+4×2+8×(3+2)+10×4＝112千米；E地集合，共行走6×(2+3+2)+4×(3+2)+8×2+7×4＝106千米．有到C地的路程总和最小，所以集合地应选在C学校．5．如图9-3，有10个村坐落在从县城出发的一条公路上，图中的数字表示各段公路的长度，单位是千米．现在要安装水管，从县城送自来水供给各村．可以用粗细两种水管，粗管足够供应所有各村用水，细管只能供一个村用水．粗管每千米要用8000元，细管每千米要用2000元．把粗管和细管适当搭配，互相连接，可以降低工程的总费用．按你认为最节约的办法，费用应是多少元?[分析与解]将这个村子依离县城从近到远记为A1，A2，A3，…，A10，由上表知，每车上跟车4名或5名工人，这样所需的装卸工人数最少为26名．7．有5个工件需要先在甲机床上加工，然后在乙机床上加工，每个工件需加工的时间如图9-5所示，单位是小时．那么加工完这5个工件所需的总工时最短是多少小时?[分析与解]从表中可看出机床A总加工时间是26小时，机床B总加工时间是22小时．同一工件不能同时在两个机床上加工，先在机床A加工，后在机床B加工的顺序不能颠倒．但两个机床可以同时工作，所以把工件2放在最后加工，所需工时数最少．用机床A的总加工时间加上工件2在机床B加工所需时间就是本题的解．所以，加工完这五个工件至少需要：3+4+7+5+7+2＝28小时．8．北京和上海分别制成同样型号的车床l0台和6台，这些车床准备分配给武汉11台、西安5台，每台车床的运费如图9-6所示，单位为百元．那么总运费最少是多少元?[分析与解]如果有一台车床从北京运往武汉，另一台运往西安，它们的总运费为1500元．交换它们的终点，让北京的车床运往西安，上海的车床运往武汉，总运费为1300元．由此知北京运往武汉及上海运往西安的方案必不是最佳．北京运出的车床比西安需求的多，因此有车床是从北京运往武汉，从而知最佳方案为上海的车床运往武汉，北京的车床5台运往武汉，5台运往西安，总运费为：6×700+5×500+5×600＝9700元．9．电车公司维修站有7辆电车需要维修．如果用一名工人维修这7辆电车的修复时间分别为12，17，8，18，23，30，14分钟．每辆电车每停开1分钟的经济损失是11元．现在由3名工作效率相同的维修工人各自单独工作，要使经济损失减到最小程度，那么最小的损失是多少元?[分析与解]因为3个工人各自单独工作，工效又相同，因此，每人维修得时间应尽量相等，设需维修得车辆分别为：A、B、C、D、E、F、G，修复得时间依次是12，17，8，18，23，30，14分，则第一个工人应修复的车是：C、G、D；第二个工人应修复的车是：B、E；第三个工人应修复的车是：A、F．又因为要求把损失减少到最低程度，所以，每人应尽量先修复需短时间修好的车辆，这样，可按以下的顺序开修：第一个人：8，14，18；第二个人：17，23；第三个人：12，30．第一个人修复的车辆经济损失总和是：(8+8+8+14+14+18)×11＝770元．第二个人修复的车辆经济损失总和是：(17+17+23)×11＝627元．第三个人修复的车辆经济损失总和是：(12+12+30)×11＝594元．所以，7辆车经济损失最少为770+627+594＝1991元．10．某花园的小径如图9-7所示，一个人能否从图中标有1的点出发，不重复地走遍所有小径?如果能，请给出走法；如果不能，请标出最少必须重复的那些小径．[分析与解]一个人不可能从图中的第1个点的位置出发，不重复地走过花园的所有小径．因为图中3，4，5，6，7，8都是奇点，所以知道必须重复的小径有3→4，5→6，7→8三段．11．有100根火柴，甲、乙两人轮流取，规定每次可取1～10根火柴，以先取完火柴的人为胜者．如果甲先取，那么谁有必胜策略?[分析与解]先取者甲一定能得胜．因为100＝9×11+1．甲开始取1根，(余下99根是11的倍数)．这时不论乙取多少，甲再取的火柴根数与乙刚才的数目凑成11．这时余下88根，仍是11的倍数．依此进行，直至最后余下11根火柴时，轮到乙取，这时不论乙取几根火柴，余下的火柴甲都可一次取完．12．桌上有一块金帝牌巧克力，它被直线划分为排成3行7列的21个小方块．现在让你和对手进行一种两人轮流切巧克力的游戏，规则如下：①每次只许沿一条直线把巧克力切成两块；②拿走其中一块，把另一块留给对手再切；③谁能留给对手恰好是一个小方块，谁就取胜．如果请你首先切巧克力，那么你第一次应该切走多少个小方块，才能使你最后获胜?[分析与解]若想给对手留下一个小方块，必使对手上一次留给自己一行或一列才行．这样上一次留给对手的行数必为2．因为行或列大于2，对手就不一定会留下一行或一列，要留给对手2行或2列，必须使对手上一次留下两行或两列且又不能是两列两行的情况．……依次类推，每次留给对手行列数相等的巧克力是必胜策略．由此可知先取者有必胜策略，只要他第一次取走3行4列的一块即12个小方块，之后按上述策略即可获胜．13．有1996个棋子，两人轮流取棋子，每次允许取其中的2个、4个或8个，谁最后取完棋子，就算谁获胜．那么先取的人为保证获胜，第一次应取几个棋子?[分析与解]易知若最后剩下6个棋子给对方就可以获胜．进一步推知，剩下12个棋子给对方时，若对方取2个或4个可以使下一次剩给对方6个棋子．若对方取8个则取走余下的4个可以直接获胜．因此我们考虑如果每次剩下棋子使6的倍数，就可以保证必胜．由1996÷6＝332……4，知先取的人第一次应取4个棋子．14．甲和乙两人做数学游戏：在黑板上写一个自然数，轮到谁走时，谁就从该自然数中减去它的某个非零数字，并用所得的差替换原数．两人轮流走，谁所得到的数是零，就算谁赢．，如果开始在黑板上写着数1994，并且甲先走，问谁有必胜策略?[分析与解]获胜的人必使对方最后留下一个不为0的一位数．那么前一次留给对方只能是10．这又要求前一次留给对方的是11～19中的某数．所以前再前一次留给对方的只能是20．……依次可以看出每次留给对方末位数为0的必定胜出．即必胜策略是每次减去黑板上数的个位数字即可．现在黑板上原始数为1994，则甲开始减去4，留下1990给乙；于是乙留下的数字只能是1981～1989中的某个，甲对应的减去这个数的个位数字，留下1980给乙；……15．甲、乙两人轮流在黑板上写下不超过l0的自然数，规定每次在黑板上写的数要满足以下条件：它的任何倍数都不能是黑板上已写的数．最后不能写的人为失败者．如果甲第一个写数，那么谁有必胜策略?[分析与解]甲一定获胜，甲可以先写6，去掉其能作为倍数的数：1，2，3，6，乙只能写4，5，7，8，9，10中的一个．将4，5，7，8，9，10分成三组：(4，5)，(7，8)，(9，10)乙写任何一组中的某个数，甲就写同一组中的另一个数，从而甲一定获胜．。

由4个不同的独唱节目和3,开始和最后一个节目必须是合唱,则这台晚会节目的编排方法共有多少种？七个小朋友排成一排,丙说一定要和甲排在一起,乙说一定不要和甲排在一起,请问若要同时符合丙、乙两位同学的要求,总共有几种不同的排法？用0到9十个数字组成没有重复数字的四位数；若将这些四位数按从小到大的顺序排列,则5687 是第几个数？从1～100中任意取出两个不同的数相加,使其和是3的倍数,一共有多少种不同的取法？学校合唱团要从五年级6个班中补充8名同学,每个班至少1名,共有_____种不同的抽调方法。

在10名学生中,有5人会装电脑,有3人会安装音响设备,其余2人既会安装电脑,又会安装音响设备,今选派由6人组成的安装小组,组内安装电脑要3人,安装音响设备要3人,共有多少种不同的选人方案？测试题1． 计算：①312C ； ②9981000C ； ③2288P C .2．从19、20……、93、94这76中,选取两个不同的数,使其和为偶数的选法总数是多少？3．学校新修建的一条道路上有12盏路灯,为了节省用电而又不影响正常的照明,可以熄灭其中2盏灯,但两端的灯不能熄灭,也不能熄灭相邻的2盏灯,则熄灯的方法共有多少种？4．在一次考试的选做题部分,要求在第一题的4个小题中选做3个小题,在第二题的3个小题中选做2个小题,在第三题的2个小题中选做1个小题,有多少种不同的选法？5．6个人排成一排,甲当排头,乙不当排尾,共有多少种排法？6．将A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 七位同学在操场排成一列,其中学生B 与C 必须相邻。

请问共有多少种不同的排列方法？答案1．答案：①312121*********C ⨯⨯==⨯⨯； ②998210001000100099949950021C C ⨯===⨯； ③2288878756282821P C ⨯-=⨯-=-=⨯2．答案：19、20……、93、94中有38个奇数,38个偶数,从38个数中任取2个数的方法有：238383770321C ⨯==⨯<种>, 所以选法总数有：703×2＝1406<种>。

两人的游戏过程中如何使自己取胜？怎样找寻胜局和如何把握胜局就成了研究对策问题的关键。

概括起来，我们把用数学的观点和方法来研究取胜的策略叫做对策问题。

在解决策略性问题时，常常会结合对称性和数论中的知识，并采用逆推的思想和方法。

桌上放着63根火柴，甲、乙两人轮流每次取走1根至3根。

⑴规定谁取走最后一根谁就获胜。

如果甲先取，是否有必胜的方法？如有，请写出简要的方法；如没有，请说出理由。

⑵规定谁取走最后一根火柴谁就算输，还是甲先取，是否有必胜的方法？如有，请写出简要的方法；如没有，请说明理由。

一个圆周被任意地分成2009段，甲、乙二人轮流对它进行涂色，每人每次可以涂染一段或相连的两段，谁涂染完最后一段，谁就获胜。

如果甲先开始涂，那么两人中谁有获胜的策略？说明理由。

例2例1策略性问题如图是一张3×3的方格纸，甲、乙两人轮流在方格中写下0、2、3、4、5、6、7、8、9九个数字中的一个，数字不3×3能重复。

最后，甲的得分是上、下两行六个数之和，乙的得分是左、右两列六个数之和，得分多者为胜。

如果甲先乙后，那么甲有没有必胜的策略？如图所示，在A点有一枚棋子，甲先乙后轮流走这枚棋子，每次必须向上或向右走1步或2步(走2步时可以拐弯)，最终将棋子走到B点者获胜。

甲有没有必胜的策略？例4例3策略总结：直线型——留1吃2，剩1号吃1留2，剩最大的2n圆圈型——留1吃2，若总数为2n，则剩1号。

若不是：(总数－2n)×2＋1吃1留2，若总数为2n，则剩最后一只;若不是：(总数－2n)×2在一个圆周上依次排着100只老鼠，一只猫按照这样的规律来吃这些老鼠；从第一只老鼠开始，吃掉第1只、留下第2只、吃掉第3只、留下第4只、吃掉第5只、留下第6只、……，依次吃一只留一只，则最后留下的老鼠是最初的第_____只。

黑、白两个棋盒，黑盒中有36个黑子，白盒中有41个白子，甲、乙二人轮流在棋盒中取子，规则是：⑴每次只能取一个或两个子；⑵一个人一次不能在两个棋盒中取子；⑶一旦在一个棋盒中取子，那接下来就要把它的子取完，才能在另一个棋盒中取。

四年级奥数游戏策略（ABC级）游戏策略知识框架实际操作与策略问题这类题⽬能够很好的提⾼学⽣思考问题的能⼒，激发学⽣探索数学规律的兴趣，并通过寻找最佳策略过程，培养学⽣的创造性思维能⼒，这也是各类考试命题者青睐的这类题⽬的原因。

例题精讲⼀、游戏与策略【例 1】A、B、C、D、E五个⼩朋友做游戏，每轮游戏都按照下⾯的箭头⽅向把原来⼿⾥的玩具传给另外⼀个⼩朋友：A->C,B->E,C->A,D->B,E->D.开始A、B拿着福娃，C、D、E拿着福⽜，传递完5轮时，拿着福娃的⼩朋友是（）.（A）C与D(B) A与D(C) C与E(D) A与B【巩固】下图是⼀座迷宫，请画出任意⼀条从A到B的通道。

A【例 2】请在5×5的棋盘中放⼊10个国际象棋中的皇后，使得标有数N的格⼦恰好受到N枚皇后的攻击．每个格最多⼀枚棋⼦，标有数的格⼦不能放棋⼦．如果有超过⼀枚皇后从同⼀⽅向攻击到某个格⼦，只计算最前⽅的那枚皇后（注：每只皇后可攻击同⼀⾏、同⼀列或同⼀斜线上的格⼦）．1745【巩固】下图是常见的正⽅体，我们可以看到三⾯共有3 9=27个变成为1的正⽅体，在这三⾯上有三条蛇。

每条有5个连续的正⽅形（每两个连续正⽅形有⼀条公共边）组成，不全在⼀个⾯上，每两条蛇互不接触（两条蛇的⽅格不能有公共点），请将这三条蛇画出来。

（⽤阴影将蛇所在的正⽅形画出来）【例3】将1—13这13个⾃然数分别写在13张卡⽚上，再将这13张卡⽚按⼀定的顺序从左⾄右排好．然后进⾏如下操作：将从左数第⼀张和第⼆张依次放到最后，将第三张取出⽽这张卡⽚上的数是1；再将下⾯的两张依次放到最后并取出下⼀张，取出的卡⽚上⾯的数是2；继续将下⾯的两张依次放到最后并取出下⼀张，取出的卡⽚上⾯的数是3……如此进⾏下去，直到取出最后⼀张是13为⽌．则13张卡⽚最初从左到右的顺序为．【巩固】在纸上写着⼀列⾃然数1，2，…，98，99．⼀次操作是指将这列数中最前⾯的三个数划去，然后把这三个数的和写在数列的最后⾯．例如第⼀次操作后得到4，5，…，98，99，6；⽽第⼆次操作后得到7，8，…，98，99，6，15．这样不断进⾏下去，最后将只剩下⼀个数，则最后剩下的数是．【例4】有⾜够多的盒⼦依次编号0，1，2，…，只有0号是⿊盒，其余的都是⽩盒．开始时把10个球放⼊⽩盒中，允许进⾏这样的操作：如果k号⽩盒中恰有k个球，可将这k个球取出，并给0号、1号、…，(1)k-号盒中各放1个．如果经过有限次这样的操作后，最终把10个球全放⼊⿊盒中，那么4号盒中原有个球．【巩固】设有25个标号筹码，其中每个筹码都标有从1到49中的⼀个不同的奇数，两个⼈轮流选取筹码．当⼀个⼈选取了标号为x的筹码时，另⼀个⼈必须选取标号为99x-的最⼤奇因数的筹码．如果第⼀个被选取的筹码的编号为5，那么当游戏结束时还剩个筹码．【例5】今有101枚硬币，其中有100枚同样的真币和1枚伪币，伪币和真币的重量不同．现需弄清楚伪币究竟⽐真币轻还是重、但只有⼀架没有砝码的天平，那么怎样利⽤这架天平称两次，来达到⽬的？【巩固】9个⾦币中，有⼀个⽐真⾦币轻的假⾦币，你能⽤天平称两次就找出来吗（天平⽆砝码）?⼆、染⾊与操作【例6】六年级⼀班全班有35名同学，共分成5排，每排7⼈，坐在教室⾥，每个座位的前后左右四个位置都叫作它的邻座．如果要让这35名同学各⼈都恰好坐到他的邻座上去，能办到吗？为什么？【巩固】图是学校素质教育成果展览会的展室，每两个相邻的展室之间都有门相通．有⼀个⼈打算从A室开始依次⽽⼊，不重复地看过各室展览之后，仍回到A室，问他的⽬的能否达到，为什么？A【例7】右图是某套房⼦的平⾯图，共12个房间，每相邻两房间都有门相通．请问：你能从某个房间出发，不重复地⾛完每个房间吗?【巩固】有⼀次车展共6636?=个展室，如右图，每个展室与相邻的展室都有门相通，⼊⼝和出⼝如图所⽰．参观者能否从⼊⼝进去，不重复地参观完每个展室再从出⼝出来?【例 8】右图是半张中国象棋盘，棋盘上放有⼀只马．众所周知，马是⾛“⽇”字的．请问：这只马能否不重复地⾛遍这半张棋盘上的每⼀个点，然后回到出发点？【巩固】⼀只电动⽼⿏从右图的A 点出发，沿格线奔跑，并且每到⼀个格点不是向左转就是向右转．当这只电动⽼⿏⼜回到A 点时，甲说它共转了81次弯，⼄说它共转了82次弯．如果甲、⼄⼆⼈有⼀⼈说对了，那么谁正确？【例 9】能否⽤9个所⽰的卡⽚拼成⼀个66?的棋盘？马【巩固】如右图，缺两格的88?⽅格有62个格，能否⽤31个图不重复地盖住它且不留空隙?【例 10】在88?的⽹格正⽅形(如图1)中⽤图2形状的图形来覆盖，要求图2的分割线落在正⽅形的⽹格线上．为使所余部分不能再放下图2形状的图形，最少需⽤图2形状的图形个．图1 图2【巩固】⽤若⼲个22?和33?的⼩正⽅形能不能拼成⼀个1111?的⼤正⽅形？请说明理由．882211。