重积分历年考题

第九章 重积分一、选择题1.I=222222(),:1x y z dv x y z Ω++Ω++=⎰⎰⎰球面部， 那么I= [ C ]A.⎰⎰⎰ΩΩ=dv 的体积B.⎰⎰⎰142020sin dr r d d θϕθππ C.⎰⎰⎰104020sin dr r d d ϕϕθππ D. ⎰⎰⎰14020sin dr r d d θϕθππ 2.Ω是x=0, y=0, z=0, x+2y+z=1所围闭区域，那么⎰⎰⎰Ω=xdxdydz [ B ]A.⎰⎰⎰---y x x dz x dy dx 21021010 B.⎰⎰⎰---y x xdz x dy dx 21021010 C.⎰⎰⎰-10210210dz x dx dy yD.⎰⎰⎰---y x y dz x dx dy 21021010 3. 设区域D 由直线,y x y x ==-和1x =所围闭区域，1D 是D 位于第一象限的局部，那么[B ]〔A 〕()()1cos d d 2d d DD xy x xy x y xy x y +=⎰⎰⎰⎰〔B 〕()()()1cos d d 2cos d d DD xy x xy x y x xy x y +=⎰⎰⎰⎰〔C 〕()()1cos d d 2(cos())d d DD xy x xy x y xy x xy x y +=+⎰⎰⎰⎰〔D 〕()()cos d d 0Dxy x xy x y +=⎰⎰4.Ω:1222≤++z y x ，那么⎰⎰⎰Ω=++++++dxdydz z y x z y x z 1)1ln(222222 [ C ]A. 1B. πC. 0D.34π5．222{(,),0}D x y x y a y =+≤≥，其中0a >，那么Dxy d σ=⎰⎰ D A.220sin cos a d r dr πθθθ⎰⎰ B.300sin cos ad r dr πθθθ⎰⎰C.3(sin cos )ad r dr πθθθ-⎰⎰ D.320sin cos ad r dr πθθθ⎰⎰-302sin cos ad r dr ππθθθ⎰⎰6．设,010,()()0,a x a f x g x ≤≤⎧>==⎨⎩其余，D 为全平面，那么()()D f x g y x dxdy -=⎰⎰ CA.aB.212a C.2a D.+∞7．积分cos 20(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ⎰⎰可写为 DA.100(,)dy f x y dx ⎰B.100(,)dy f x y dx ⎰ B.11(,)dx f x y dy ⎰⎰D.10(,)dx f x y dy ⎰8.交换二次积分22(,)x dx f x y dy ⎰⎰的积分顺序为〔 A 〕.(A) 420(,)dy f x y dx ⎰(B)400(,)dy f x y dx ⎰ (C)242(,)xdy f x y dx ⎰⎰(D)402(,)dy f x y dx ⎰9.设平面区域D 由140,0,,1x y x y x y ==+=+=围成，假设31[ln()],DI x y dxdy =+⎰⎰32(),DI x y dxdy =+⎰⎰33[sin()],DI x y dxdy =+⎰⎰ 那么123,,I I I 的大小顺序为〔 C 〕.(A) 123I I I << (B) 321I I I << (C) 132I I I << (D) 312I I I << 10．221x y ≤+≤⎰⎰的值 〔 B 〕.(A) 大于零 (B) 小于零 (C) 0 (D) 不能确定 11．设积分区域D 由||,||(0)x a y a a ==>围成，那么Dxydxdy =⎰⎰〔 C 〕.(A)1 (B) 14 (C) 0 (D) A, B, C 都不对12．221x y ≤+≤⎰⎰的值 〔 B 〕.(A) 大于零 (B) 小于零 (C) 0 (D) 不能确定 13.把二次积分2210x y dx dy +⎰化为极坐标形式的二次积分〔B 〕.(A)221r d re dr πθ⎰⎰ (B)2221rd re dr ππθ-⎰⎰(C)2221r d e dr ππθ-⎰⎰ (D) 221r d e dr πθ⎰⎰14.设积分区域D 是由直线y=x,y=0,x=1围成，那么有⎰⎰=Ddxdy 〔A 〕〔A 〕⎰⎰x dydx 01〔B 〕⎰⎰ydxdy 01〔C 〕⎰⎰01xdydx 〔D 〕⎰⎰yxdxdy 115.设D 由1,2,===y x y x y 围成，那么⎰⎰=D dxdy 〔B 〕〔A 〕21〔B 〕41〔C 〕1 〔D 〕2316．根据二重积分的几何意义，以下不等式中正确的选项是( B )； (A) D x D,0d )1(⎰⎰>-σ：x ≤1，y ≤1；(B) D x D,0d )1(⎰⎰>+σ：x ≤1，y ≤1；(C)D y x D,0d )(22⎰⎰>--σ：22y x +≤1；(D) D y x D,0d )ln(22⎰⎰>-σ：x +y ≤1 17．=+⎰⎰y x y x Dd d 22( C )，其中D ：1≤22y x +≤4；(A)2π4201d d r r θ⎰⎰； (B)2π41d d r r θ⎰⎰；(C)2π2201d d r r θ⎰⎰； (D)2π201d d r r θ⎰⎰18. 二重积分⎰⎰=≤≤≤≤1010y x xydxdy 〔C 〕〔A 〕1 〔B 〕21〔C 〕41〔D 〕219.dxdy y x y x ⎰⎰≤++132222的值等于〔 A 〕A.π43； B.π76； C.π56； D.π23 20.二重积分⎰⎰=≤≤≤≤1010y x xydxdy 〔C 〕〔A 〕1 〔B 〕21〔C 〕41〔D 〕221. 设D 是区域(){}()π8 ,|,22222=⎰⎰+≤+dxdy y x a y xy x D又有，那么a=〔B 〕〔A 〕1 〔B 〕2 〔C 〕4 〔D 〕822. 假设D 是平面区域(){}e y x y x ≤≤≤≤1 ,10|,，那么二重积分=⎰⎰dxdy y xD 〔B 〕〔A 〕2e 〔B 〕21〔C 〕e 〔D 〕123. 设D 由1,2,===y x y x y 围成，那么⎰⎰=D dxdy 〔B 〕〔A 〕21〔B 〕41〔C 〕1 〔D 〕23二、填空题 1．变换积分次序(,)f x y dx =1(,)(,)f x y dy f x y dy +2．比较大小：其中D 是以(0,0),(1,1),(1,1)-为顶点的三角形22()Dx y dxdy -⎰⎰< D3．变换积分次序2142(,)ydy f x y dx -=⎰⎰1411(,)(,)dx f x y dy dx f x y dy +⎰⎰⎰4．交换二次积分的积分次序()2211,x dx f x y dy ⎰⎰=()421,dy f x y dx ⎰5. 交换dx e dy yx ⎰⎰112的积分次序后的积分式为2100xx dx dy e ⎰⎰，其积分值为()112e - 6、交换二次积分的积分次序后，)(1010y x ，f dx x⎰⎰-dy=⎰⎰-1010),(ydx y x f dy7、交换二次积分的次序⎰⎰-=ax ax xdy y x f dx 022),(0(,)a ya dy f x y dx ⎰⎰三、计算与证明1. 计算⎰⎰Ddxdy xy 2, 其中D 是抛物线2y =2x 与直线x=21所围闭区域解：⎰⎰Ddxdy xy 2=⎰⎰--11212122y dx xy dy=⎰--1162)8181(dy y y=2112.计算I=⎰⎰+Ddxdy y x 22sin , D={(x, y)22224ππ≤+≤y x }解：令x=rcos θ, y=rsin θ那么I=⎰⎰πππθ220sin rdr r d=26π-3.设G(x)在10≤≤x 上有连续的)(''x G , 求I=dxdy y x xyG D⎰⎰+)(22'', 其中D 为122≤+y x 的第一象限局部解：在极坐标下计算积分，D={(r,θ)20,10πθ≤≤≤≤r }I=θθθ⎰⎰Drdrd r G r )(cos sin 2''2=⎰⎰202''13)(cos sin πθθθdr r G r d=dr r G r )(212''103⎰ =du u G u )(41''1⎰ =)]1(0)1([41'G G G -+）（ 4.xy dxdy Ω⎰⎰,其中Ω是以a 为半径，坐标原点为圆心的圆。

重积分习题三1、试求函数f(x,y)=xy2在区域D：0≤x≤1,0≤y≤1上的平均值。

2、计算二次积分3、计算二次积分4、计算二次积分5、计算二次积分6、计算二次积分7、计算二次积分8、计算二次积分9、计算二次积分10、计算二次积分11、计算二次积分12、计算二重积分其中D：|x|≤2,|y|≤1.13、计算二重积分其中D：0≤x≤1,0≤y≤2.14、计算二重积分其中D：0≤x≤a0≤y≤b.15、计算二重积分其中D：0≤x≤1,0≤y≤2.16、计算二重积分其中D：0≤x≤1,0≤y≤1.17、计算二重积分其中D：0≤x≤1,0≤y≤1.18、计算二重积分其中D：－1≤x≤1,0≤y≤2.19、计算二重积分其中D：0≤x≤2,－1≤y≤1.20、计算二重积分其中D：0≤x≤π,0≤y≤.21、计算二重积分其中D：－1≤x≤3,0≤y≤2.22、计算二重积分其中D：0≤x≤1,0≤y≤4.23、计算二重积分其中24、计算二重积分其中D：|x|≤π,|y|≤1.25、计算二重积分其中D：|x|≤3,|y|≤1.26、计算二重积分其中D：|x|≤1,0≤y≤1.27、计算二重积分其中D是以O(0，0)A(1，1)和B(0，1)为顶点的三角形区域。

28、计算二重积分其中D：0≤x≤1,－1≤y≤0.29、计算二重积分其中D：0≤y≤sin x,0≤x≤π.30、计算二重积分其中D是由曲线y=x2,直线y=0,x=2所围成区域。

31、计算二重积分其中D为由y=x,y=2x,x=4所围成的区域。

32、计算二重积分其中D：x≤y≤x,1≤x≤2.33、计算二重积分其中D是由直线x=0,y=π和y=x围成的区域。

34、计算二重积分其中D是由直线y=x,y=x+1,y=1及y=3所围成的区域。

35、计算二重积分其中36、计算二重积分其中D：－1≤x≤1,1≤y≤1.37、计算二重积分其中D：|x|≤π,0≤y≤1.38、计算二重积分其中D为由y=x,x=0,y=1所围成的区域。

重积分练习一. 填空1.⎰⎰12),(xx dy y x f dx 交换积分次序后为_________________.2.用柱面坐标系化三重积分为三次积分________________),,(=⎰⎰⎰Ωdv z y x f其中2,1,1:22===+Ωz z y x 围成. 3. (化为柱面坐标中的三次积分)__________________),,(22222211111111==⎰⎰⎰--+-------dz z y x f dydxI y x y x x x (化为柱面坐标中的三次积分) 二．选择题1. =+⎰⎰-dy y x dxx x243221( ).A. ⎰⎰302πθrdr d . B.⎰⎰232ππθrdr d C.⎰⎰3022πθdr r d . D.⎰⎰2322ππθdr r d2.若区域D 由1)1(22=+-y x 所围,则⎰⎰Ddxdy y x f ),(化成累次积分为 ( )A.⎰⎰πθθθθ0cos 20)sin ,cos (rdr r r f d . B. ⎰⎰-ππθθθθcos 20)sin ,cos (rdr r r f dC.⎰⎰20cos 20)sin ,cos (2πθθθθrdr r r f d D. ⎰⎰-22cos 20)sin ,cos (ππθθθθrdr r r f d三．计算1．. 计算⎰⎰-+=+-⋅+22)(4122222x a a xady y x a y x dx2． 计算⎰⎰-Ddxdy y x ||,其中D 是由2,0,1,0====y y x x 所围成的区域.3. 求由x e z y 222-=+与平面1,0==x x 所围立体体积.4.D 由直线x y y x ===,2,4所围成,求⎰⎰--Dxdxdy x e 22.5.计算⎰⎰-=Dd y x I σ||,其中0,0,1:22≥≥≤+y x y x D .6.计算⎰⎰⎰Ω+dV z x )(,其中22221,:y x z y x z --=+=Ω所围的空间区域.四．应用题。

第九章 重积分(A)1．填空题(1) 设()y x y x P 2,=，()23,y x y x Q =，定义于:D 10<<x ，10<<y ，则()σd y x P D⎰⎰, ()⎰⎰Dd y x Q σ,(2) 设曲顶柱体的顶面是()y x f z ,=，()D y x ∈,，侧面是母线平行于z 轴，准线为D的边界线的柱面，则此曲顶柱体的体积用重积分可表示为=V 。

(3) 在极坐标系中，面积元素为 。

2．利用二重积分的性质，比较下列积分大小(1) ()⎰⎰+Dd y x σ2与()⎰⎰+Dd y x σ3，其中积分区域D 由x 轴，y 轴以及直线1=+y x 所 围成。

(2) ()⎰⎰+D d y x σ2与()⎰⎰+Dd y x σ3，其中积分区域D 是由圆周()()21222=-+-y x 所围成。

3．利用二重积分性质，估计积分()⎰⎰++=Dd y x I σ92222的值，其中D 是圆形闭区域422≤+y x 。

4．交换积分()⎰⎰--a ax ax xa dy y x f dx 2222,的积分次序。

5．交换积分()⎰⎰-2120,ydx y x f dy 的积分次序。

6．交换二次积分()⎰⎰+-aa y y a y x f dy 022,的积分次序。

7．计算()⎰⎰+Dd y x σ23，其中D 是由两坐标轴及直线2=+y x 所围成的闭区域。

8．计算()⎰⎰+Dd y x x σcos ，其中D 是顶点分别为()0,0，()0,π和()ππ,的三角形区域。

9．计算()⎰⎰+Dyd x σsin 1，其中D 是顶点分别为()0,0，()0,1，()2,1和()1,0的梯形闭区域。

10．计算二重积分⎰⎰Ddxdy ，其中区域D 由曲线21x y -=与12-=x y 围成。

11．计算二重积分⎰⎰Dd xy σ2，其中D 是由圆周422=+y x 及y 轴所围成的右半闭区域。

高等数学三重积分例题一、计算三重积分∭_varOmega z dV，其中varOmega是由锥面z = √(x^2)+y^{2}与平面z = 1所围成的闭区域。

1. 利用柱坐标计算在柱坐标下x = rcosθ，y = rsinθ，z = z，dV = rdzdrdθ。

锥面z=√(x^2)+y^{2}在柱坐标下就是z = r。

由锥面z = r与平面z = 1所围成的闭区域varOmega，其在柱坐标下的范围为：0≤slantθ≤slant2π，0≤slant r≤slant1，r≤slant z≤slant1。

2. 计算积分则∭_varOmegaz dV=∫_0^2πdθ∫_0^1rdr∫_r^1zdz。

先计算关于z的积分：∫_r^1zdz=(1)/(2)(1 r^2)。

再计算关于r的积分：∫_0^1r×(1)/(2)(1 r^2)dr=(1)/(2)∫_0^1(rr^3)dr=(1)/(2)((1)/(2)-(1)/(4))=(1)/(8)。

最后计算关于θ的积分：∫_0^2πdθ = 2π。

所以∭_varOmegaz dV=(1)/(8)×2π=(π)/(4)。

二、计算三重积分∭_varOmega(x + y+z)dV，其中varOmega是由平面x = 0，y = 0，z = 0及x + y+z = 1所围成的四面体。

1. 利用直角坐标计算对于由平面x = 0，y = 0，z = 0及x + y + z=1所围成的四面体varOmega，其范围为0≤slant x≤slant1，0≤slant y≤slant1 x，0≤slant z≤slant1 x y。

则∭_varOmega(x + y + z)dV=∫_0^1dx∫_0^1 xdy∫_0^1 x y(x + y + z)dz。

2. 计算积分先计算关于z的积分：∫_0^1 x y(x + y+z)dz=(x + y)z+(1)/(2)z^2big|_0^1 x y=(x + y)(1 x y)+(1)/(2)(1 x y)^2展开得x + y-(x^2+2xy + y^2)+(1)/(2)(1 2x 2y+x^2+2xy + y^2)进一步化简为x + y x^2-2xy y^2+(1)/(2)-x y+(1)/(2)x^2+xy+(1)/(2)y^2即(1)/(2)-x^2-xy (1)/(2)y^2。

重积分练习题A一、填空题1.222x y R σ+≤=⎰⎰323R π； 2.1(1)x y x y d σ+≤++=⎰⎰2；（对称性及积分性质3） 3. 将二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为二次积分1(,)(,)(,)x yf x y dx f x y dy f x y dy =+⎰，其中D 为,0,y x y y ===在第一象限所围成的封闭区域；4. 改变积分次序 (1)2120(,)yy dy f x y dx -=⎰⎰12201(,)(,)xdx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰；(2)120(,)xxdx f x y dx -=⎰⎰12201(,)(,)y ydy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰；5. 将二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰转化为极坐标系下的两次单积分2cos 20(cos ,sin )d f d πθθρθρθρρ⎰⎰，其中D为0,y y ==6. 将三重积分(,,)f x y z dv Ω⎰⎰⎰化为三次积分110(,,)xxydx dy f x y z dz -⎰⎰⎰，其中Ω为z xy =，1,0x y z +==所围成的封闭区域；7.将三重积分(,,)f x y z dvΩ⎰⎰⎰化为柱面坐标系下的三次积分21(cos ,cos ,)d d f z dz πρθρρρθρθ⎰⎰，其中Ω为z =，z =所围成的封闭区域.二、计算题 1. 计算二重积分D xydxdy ⎰⎰，其中D 是由,1,3y x xy x ===所围成的区域；解：3321211111()10ln 322xxDxydxdy dx xydy x x dx x ==-=-⎰⎰⎰⎰⎰2. 计算二重积分()Dx y dxdy +⎰⎰，其中D 是由,2,1y x y x y ===所围成的区域；解：1112200022177()()()2824y yy y Dx y dxdy dy x y dx x xy dy y dy +=+=+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰3.计算二重积分D，其中D : 22(1)1x y -+≤；解：极坐标系下，由对称性2cos 23220016322cos 39Dd d d ππθθρρθθ===⎰⎰⎰4. 计算二重积分2211Dxydxdy x y +++⎰⎰，其中D :221,0x y x +≤≥；解：由对称性1222222110,2111D D D xy dxdy dxdy dxdy x y x y x y ==++++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰，其中1D 为D 的第一象限部分 所以原式11222200122ln 2112D dxdy d d xyπρπθρρ===+++⎰⎰⎰⎰5.计算三重积分Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由柱面y =及平面0, (0),0z z a a y ==>=所围成的区域；解：运用柱面坐标系22cos 2cos 2222022320248cos 39aa d d zdz d d a a d ππθθπθρρθρρθθΩ====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰6. 计算三重积分3z dv Ω⎰⎰⎰，其中Ω：1z ≥≥解：运用先重后单法2221133506x y z z dv z dzdxdy z dz ππΩ+≤===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰B1.计算二重积分D，其中D 是由,1,0y x y x ===所围成的区域；解：31112220002122()339yDdy y xy dx y dx y ⎡⎤==--==⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰.（要先对y 积）2. 计算二重积分sin sin sin Dxdxdy x y +⎰⎰，其中:0,0D x y ππ≤≤≤≤； 解：由对换对称性，sin sin sin sin sin sin D Dx ydxdy dxdy x y x y =++⎰⎰⎰⎰， 所以2sin 1sin sin 11()1sin sin 2sin sin sin sin 22D D DD x x y dxdy dxdy dxdy dxdy x y x y x y π=+==+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 3.计算二重积分)Dy dxdy ⎰⎰，其中D 为224x y +=和22(1)1x y ++=所围成的区域；； 解：记1D ：224x y +≤，2D ：22(1)1x y ++≤，由对称性12)DDD D y dxdy ==-⎰⎰⎰⎰ 3222cos 2220002163239d d d d ππθπθρρθρρπ-=-=-⎰⎰⎰⎰4. 设直线l 过点(1,0,0)A 和(0,1,1)B 两点，将l 绕z 旋转一周所得旋转曲面为∑，∑与平面0z =和2z =所围成的立体为Ω，求Ω的形心坐标（即密度为1时的质心坐标）.解：直线l 的参数1,,x t y t z t =-==，所以∑的方程为222122x y z z +=-+，由对称性 0,0x y ==，2222222221220222122(122)75(122)x y z z x y z z zdzdxdyzdv z z z dz z dvdzdxdyz z dz +≤-+ΩΩ+≤-+-+====-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰5. 设函数()0f x >且连续，222()22()()()()t D t f x y z dv F t f x y d σΩ++=+⎰⎰⎰⎰⎰，22()2()()()D t ttf x y d G t f x dxσ-+=⎰⎰⎰，其中2222222(){(,,)|},(){(,)|}t x y z x y z t D t x y x y t Ω=++≤=+≤. （1） 讨论()F t 在(0,)+∞内的单调性； （2） 证明当0t >时，2()()F t G t π>.（1）解：222222220()()sin ()4()t tt f x y z dv d d r f r dr r f r dr ππθϕϕπΩ++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰222220()()()2()ttD t f x y d d rf r dr rf r dr πσθπ+==⎰⎰⎰⎰⎰，所以220202()()()ttr f r drF t rf rdr =⎰⎰，2222222200222202[()()()()]2()[()()()0(())(())t ttttt f t rf r dr tf t r f r dr f t tr t r f r drF t rf r dr rf r dr --'==>⎰⎰⎰⎰⎰所以()F t 在(0,)+∞内的单调递增； （2）因为220()2()tttf x dx f r dr -=⎰⎰，所以202()()()ttrf r drG t f r dr π=⎰⎰，令222222220002222002()2()[()][()][()]2()()()2()()[()][()]tttttttttr f r drrf r drr f r dr f r dr rf r dr h t F t G t rf rdrf r drrf r dr f r dr π-=-=-=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，222220()[()][()][()]t tt v t r f r dr f r dr rf r dr =-⎰⎰⎰，则(0)0v =，当0t >时，222222220()()()()()2()()tttv t t f t f r dr f t r f r dr tf t rf r dr '=+-⎰⎰⎰22222220()(2)()()()()0t t f t t r tr f r dr f t t r f r dr =+-=->⎰⎰所以当0t >时，()(0)0v t v >=，所以2222()()()()0[()][()]ttv t h t F t G t rf r dr f r dr π=-=>⋅⎰⎰，即2()()F t G t π>.。

重积分典型例题一、二重积分的概念、性质n1、二重积分的概念： f (x, y) d lim0 f ( i, i) iD 0i 1其中：D：平面有界闭区域，：D 中最大的小区域的直径(直径：小区域上任意两点间距离的最大值者)，i ： D 中第i 个小区域的面积2、几何意义：当f(x,y) 0时， f (x, y) d 表示以曲面z f(x,y)为曲顶，DD 为底的曲顶柱体的体积。

所以1 d 表示区域 D 的面积。

D3、性质(与定积分类似) ：:线性性、对积分区域的可加性、比较性质、估值性质、二重积分中值定理 (03 年)1、在直角坐标系下计算二重积分(1) 若 D 为X 型积分区域： a x b, y1(x) y y2( x) ，则b y2( x )f(x, y)dxdya dxy(x)f (x, y)dyD a y1( x)2)若 D 为Y 型积分区域： c y d, x1( y) x x2( y) ，则d x2( y)D f(x,y)dxdycdyx1(y)f(x,y)dx3)D 必须经过分割才能化为若干块X－型或者Y－型区域之和，如图，则f ( x , y) d x d y ( f , x ) y d x d y ( ,f )x y d x d y( ,f) x y d xD D1 D2 D3、二重积分的计算（4）被积函数含有绝对值符号时，应将积分区域分割成几个子域，使被积函数 在每个子域保持同一符号，以消除被积函数中的绝对值符号。

（5）对称性的应用f (x, y)dxdy 2 f ( x, y)dxdy, f(x,y)关于y 为偶函数 区域D关于 x 轴对称 D D10， f (x, y)关于y 为奇函数f ( x, y)dxdy 2 f (x, y)dxdy, f (x, y)关于x 为偶函数 区域 D 关于 y 轴对称 D D10， f (x, y)关于x 为奇函数6）积分顺序的合理选择：不仅涉及到计算繁简问题，而且又是能否进行计算积分 例 1．设 f （x, y ） 为连续函数，交换二次积分1 0 0 0dy f （x,y ）dx dy f （x,y ）dx 的积分次序。

重积分复习题一.二重积分1.交换积分顺序2111d (,)d x x f x y y --⎰⎰(011d (,)d d (,)d y f x y x y f x y x -=+⎰⎰⎰)2.交换积分顺序2113(3)201d (,)d d (,)d xx x f x y y x f x y y -+⎰⎰⎰⎰(1320d (,)d y y f x y x -=⎰)3.计算112111224d d d d y y xxyy e x y e x +⎰⎰⎰⎰(=3182e -)4.求二重积分66cos d d yx y x x ππ⎰⎰(=12) 5.计算二重积分2d d Dx y x y ⎰⎰,D由221x y -=,0y =,1y =围成(21)15-.6.计算d d D yx y x⎰⎰，D 由2,,4,2y x y x x x ====围成(=9).7.计算22d d D xx y y⎰⎰，D 由2,,1x y x xy ===围成(=94). 二.极坐标下的二重积分1.化二重积分为极坐标形式20d (,)d Ry f x y x⎰⎰（2sin 20d (cos ,sin )d R f πρθρθρθρρ=⎰⎰）2.化二重积分为极坐标形式22d ()d Rx f x y y +⎰⎰(20()dRf πρρρ=⎰)3.利用极坐标计算sin d Dx y ⎰⎰，D ：22224x y ππ≤+≤(26π-)，4.利用极坐标计算(123)d d Dx y x y --⎰⎰，D 为圆222x y R +=围成(2R π)5.利用极坐标计算d Dx y ⎰⎰，D 由22x y Rx +=围成.三.二重积分的应用1.计算由曲面24z x =-、坐标面及平面24x y +=所围的立体的体积(403=).2.计算由221,0z x y z =--=所围立体的体积(13π=)3.求锥面z =被柱面22z x =所割下部分的面积(=)4.求球面2221x y z ++=为平面11,42z z ==所夹部分的面积(2π=)5.设半径为R 的球面∑的球心在定球面2222(0)x y z a a ++=>上,问R 为何值时,∑在定球面内部的那部分的面积最大?四.三重积分1.利用直角坐标计算3d d d (1)x y zx y z Ω+++⎰⎰⎰,Ω是0,0,0,1x y z x y z ===++=所围成的四面体(=15(ln 2)28- 2.利用直角坐标计算3d d d ()x y zx y z Ω++⎰⎰⎰,Ω:12,12,12x y z ≤≤≤≤≤≤(=73ln 2ln522-) 3.用柱面坐标计算22d d d 1x y zx y Ω++⎰⎰,Ω由222x y z +=及1z =围成(=(ln 22)2ππ-+.4.用柱坐标计算22()d d d x y x y z Ω+⎰⎰⎰,Ω由222x y z +=,2z =围成(=163π).5.计算22()dV x y z Ω++⎰⎰⎰,Ω由曲线220y zx ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周所得曲面与4z =所围成.(2563π)6.利用球面坐标计算d d d xyz x y z Ω⎰⎰⎰,Ω由0x =,0y =,0z =及2221x y z ++=所围在第一卦限内的区域.(=148)7. 利用球面坐标计算22()d d d x y x y z Ω+⎰⎰⎰,Ω由z z ==及0z =所围成.(=12415π)8.计算()dV x z Ω+⎰⎰⎰,Ω由z =与z =围成(=8π)（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。