小学四年级奥数—教师用

第六讲幻方与数阵图知识导航三阶幻方的性质：1.中心位置上的数等于幻和除以3；2.角上得数等于和它不相邻的两条边上的数的平均数；3.中心数两头的数等于中心数的2倍。

例1：我们先来一起解决三道难度相差很大的题目，目的在于总结出三阶幻方的若干重要性质。

如下图，将1—9填入3×3的方格表中，使得每行每列以及两条对角线上的三个数字之和都相等，你一共可以得到多少种填法？第1题解析：首先，我们思考要填出一个三阶幻方，什么量的求出是最重要的？立刻我们就知道，那个所谓的“幻和”，即每行、每列、每条对角线三个数的和是最重要的量。

它是多少呢？哦，如果我们按照行（按照列也一样）把幻方中的九个数加起来，那么它们的总和不就是3倍的“幻和”吗？而另一方面，我们也知道，由于1到9这九个数字都只各用了一次，所以3倍的的“幻和”就等于1+2+3+4+5+6+7+8+9=45（请复习学过的等差数列知识）。

于是最后，我们终于得到这个至关重要的“幻和”就是45÷3=15。

接下来第二步，我们来关心一下中间一格应该填哪个数字。

同学们可能会说，中间一定填5，因为1到9的中间数字就是5，而幻方又是上下左右对称的。

没错，看上面的表格，由于我们还没有填入任何一个数字，所以就用了九个大写字母来表示。

下面就需要技巧了，我们现在只考虑包含E的四条直线：因为A+E+I=15, B+E+H=15, C+E+G=15, D+E+F=15, 所以如果我们把这四个式子的左右两边分别相加，就可以得到（A+B+C+D+E+F+G+H+I）+3×E=60,而A+B+C+D+E+F+G+H+I不就是所填数的总和吗？不论填法如何，这个数是不变的，它就是45，于是那么我们就得到E=5了。

解：根据上面的分析，我们知道“幻和”=15，而E=5。

从而我们知道A+I=B+H=C+G=D+F=10，也意味着在所有经过中心的直线上，两端的数字奇偶性相（大家自己完成）我们可以看到，如果4个角上的偶数被确定下来，那么其余4个奇数也就被确定了，所以我们可以只考虑这4个偶数的填法。

四年级奥数讲义)第七讲四年级奥数讲义第七讲一、整数的运算整数是数学中的一种基本数，掌握整数的运算方法非常重要。

1.加法和减法整数的加法和减法运算可以通过数轴来帮助理解和计算。

例如，对于两个整数a和b的加法，可以先在数轴上找到整数a的位置，然后根据b是正数还是负数，在a的右边（正数）或左边（负数）移动b的绝对值个单位。

对于减法，可以先在数轴上找到被减数的位置，再根据减数是正数还是负数，在被减数的右边（正数）或左边（负数）移动减数的绝对值个单位。

2.乘法和除法整数的乘法和除法运算可以根据正负数的规律进行计算。

两个整数的乘法，如果两个整数的正负性相同，那么得到的结果是正数；如果两个整数的正负性不同，那么得到的结果是负数。

整数的除法，如果被除数和除数的正负性相同，那么得到的结果是正数；如果被除数和除数的正负性不同，那么得到的结果是负数。

需要注意的是，除数不能为0.二、整数的应用整数在实际生活中有着广泛的应用，例如温度计上的摄氏度和华氏度就是整数。

在日常应用中，我们还常遇到整数的比较问题。

当比较两个整数的大小时，可以直接比较它们的大小关系。

如果两个整数相等，则称它们为相等整数；如果一个整数大于另一个整数，则称它们为大小关系整数。

三、练题1.计算：(-3) + 7 - (-5) =。

2.___的妈妈比他大18岁，___的妹妹比他小6岁。

请问___的妈妈和___的妹妹年龄的和是多少？3.某地的气温比昨天下降了8摄氏度，今天的气温是-3摄氏度，请问昨天的气温是多少摄氏度？答案1.(-3) + 7 - (-5) = -12.___的妈妈和___的妹妹年龄的和是___的年龄加上18再加上(-6)：___的年龄 + 18 + (-6) = 小明的年龄 + 123.昨天的气温 = 今天的气温 + 8 = -3 + 8 = 5。

目录目录.......................................................... - 1 - （一）找规律................................................. - 3 -①数列中的规律.................................... - 3 -②图形中的规律.................................... - 4 - （二）数字谜................................................. - 8 -①横式字谜.................................... - 8 -②竖式字谜................................... - 11 - （三）定义新运算............................................ - 14 - （四）鸡兔同笼.............................................. - 18 - （五）行程问题.............................................. - 20 -①追击及遇问题................................... - 20 -②火车过桥................................... - 24 - （六）植树问题.............................................. - 27 - （七）有趣的数阵图.......................................... - 31 - （八）有趣的数阵图练习...................................... - 35 - （九）枚举法................................................ - 39 - （十）逻辑推理.............................................. - 43 - （十一）抽屉原理............................................ - 46 - （十二）倒推法的妙用........................................ - 49 - （十三）火柴棍游戏.......................................... - 55 -①摆图形游戏................................... - 55 -②移动火柴，变换图形游戏................................. - 56 -③去掉火柴，变换图形游戏.................................. - 57 - （十四）巧求面积习题........................................ - 58 - （十五）方程式解应用题...................................... - 60 -（十六）移多补少平均数...................................... - 61 - （十七）一笔画.............................................. - 63 -（一）找规律观察是解决问题的根据。

第二讲：奇数与偶数教学目标本讲知识点属于数论大板块内的“定性分析”部分，小学生的数学思维模式大多为“纯粹的定量计算，拿到一个题就先去试数，或者是找规律，在性质分析层面几乎为0，本讲力求实现的一个主要目标是提高孩子对数学的严密分析能力，培养孩子明白做题前有时要“先看能不能这么做，再去动手做”的思维模式。

无论是小升初还是杯赛会经常遇到，但不会单独出题，而是结合其他知识点来考察学生综合能力。

知识点拨一、奇数和偶数的定义整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。

通常偶数可以用2k（k为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k为整数）表示。

特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。

二、奇数与偶数的运算性质性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数性质2：偶数±奇数=奇数性质3：偶数个奇数的和或差是偶数性质4：奇数个奇数的和或差是奇数性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数三、两个实用的推论：推论1：在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性，奇数改变运算结果的奇偶性。

推论2：对于任意2个整数a,b ,有a+b 与a-b 同奇或同偶模块一：奇数偶数基本概念及基本加减法运算性质【例 1】 1231993++++……的和是奇数还是偶数？【解析】 在1至1993中，共有1993个连续自然数，其中997个奇数，996个偶数，即共有奇数个奇数，那么原式的计算结果为奇数【巩固】 123456799100999897967654321+++++++++++++++++++++L L 的和是奇数还是偶数？为什么？【解析】 在算式中，1~99都出现了2次，所以123499999897964321++++++++++++++L L 是偶数，而100也是偶数，所以1234567991009998979676++++++++++++++++L L54321+++++的和是偶数．【巩固】 2930318788+++++……得数是奇数还是偶数？【解析】 偶数。

（四年级）小学数学奥数基础教程-30讲全小学奥数基础教程（四年级）第1讲速算与巧算（一）第2讲速算与巧算（二）第3讲高斯求和第4讲 4，8，9整除的数的特征第5讲弃九法第6讲数的整除性（二）第7讲找规律（一）第8讲找规律（二）第9讲数字谜（一）第10讲数字谜（二）第11讲归一问题与归总问题第12讲年龄问题第13讲鸡兔同笼问题与假设法第14讲盈亏问题与比较法（一）第15讲盈亏问题与比较法（二）第16讲数阵图（一）第17讲数阵图（二）第18讲数阵图（三）第19将乘法原理第20讲加法原理（一）第21讲加法原理（二）第22讲还原问题（一）第23讲还原问题（二）第24讲页码问题第25讲智取火柴第26讲逻辑问题（一）第27讲逻辑问题（二）第28讲最不利原则第29讲抽屉原理（一）第30讲抽屉原理（二）第1讲速算与巧算（一）计算是数学的基础，小学生要学好数学，必须具有过硬的计算本领。

准确、快速的计算能力既是一种技巧，也是一种思维训练，既能提高计算效率、节省计算时间，更可以锻炼记忆力，提高分析、判断能力，促进思维和智力的发展。

我们在三年级已经讲过一些四则运算的速算与巧算的方法，本讲和下一讲主要介绍加法的基准数法和乘法的补同与同补速算法。

例1 四年级一班第一小组有10名同学，某次数学测验的成绩（分数）如下：86，78，77，83，91，74，92，69，84，75。

求这10名同学的总分。

分析与解：通常的做法是将这10个数直接相加，但这些数杂乱无章，直接相加既繁且易错。

观察这些数不难发现，这些数虽然大小不等，但相差不大。

我们可以选择一个适当的数作“基准”，比如以“80”作基准，这10个数与80的差如下：6，-2，-3，3，11，-6，12，-11，4，-5，其中“-”号表示这个数比80小。

于是得到总和=80×10＋（6-2-3＋3＋11-＝800＋9＝809。

实际计算时只需口算，将这些数与80的差逐一累加。

第一讲速算与巧算1. 掌握常用的运算律并能熟练运用；2. 掌握周期性数字的特征；3. 掌握从简单情况找规律的思想方法。

在计算的过程中，运算律的应用是最常用的技巧。

经常用到的运算律有：⑴加法交换律：a b b a +=+⑵加法结合律：()()a b c a b c ++=++⑶乘法交换律：a b b a ⨯=⨯⑷乘法结合律：()()a b c a b c ⨯⨯=⨯⨯⑸乘法分配律：()a b c a b a c ⨯+=⨯+⨯（反过来就是提取公因数） ⑹减法的性质：()a b c a b c --=-+ ⑺除法的性质：()a b c a b c ÷⨯=÷÷ ()a b c a c b c +÷=÷+÷ ()a b c a c b c -÷=÷-÷教学目标巧用运算律 经典精讲去括号对运算符号的影响：⑴在“+”号后面添括号或者去括号，括号内的“+”、“-”号都不变；⑵在“-”号后面添括号或者去括号，括号内的“+”、“-”号都改变，其中“+”号变成“-”号，“-”号变成“+”号；⑶在“⨯”号后面添括号或者去括号，括号内的“⨯”、“÷”号都不变，但此时括号内不能有加减运算，只能有乘除运算；⑷在“÷”号后面添括号或者去括号，括号内的“⨯”、“÷”号都改变，其中“⨯”号变成“÷”号，“÷”号变成“⨯”号，但此时括号内不能有加减运算，只能有乘除运算。

此外，下面的三个结论也是很有用的：和不变性质：如果一个加数增加一个数，另一个加数减少同一个数，它们的和不变；积不变性质：如果一个因数扩大几倍，另一个因数缩小相同的倍数，它们的积不变；商不变性质：如果除数和被除数同时扩大或缩小相同的倍数，它们的商不变。

【例1】（2007年“走进美妙的数学花园”初赛）计算：11353715⨯-⨯【分析】根据“一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小相同的倍数，积不变”的道理，进行适当变换，再提取公因数，进而凑整求和。

学科教师辅导讲义学员编号：年级：四年级课时数：3学员姓名：辅导科目：奥数学科教师：授课主题第19讲-巧算年龄授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①学习了解年龄问题的常见类型；②利用这些和，差，倍来解决一些较简单的问题；③通过学生解决问题的过程，激发学生的创新思维，培养学生学习的主动性和坚韧不拔、勇于探索的意志品质。

授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂1、认识年龄问题年龄问题是一类与计算有关的问题，它通常以和倍、差倍或和差等问题的形式出现。

有些年龄问题往往是和、差、倍数等问题的综合，需要灵活地加以解决。

2、解决年龄问题的三条规律（1）无论是哪一年，两人的年龄差总是不变的；（2）随着时间的向前或向后推移，几个人的年龄总是在减少或增加相等的数量；（3）随着时间的变化，两人的年龄之间的倍数关系也会发生变化。

知识梳理典例分析考点一：差倍年龄问题例1、三年前爸爸年龄是女儿的4倍，爸爸今年43岁，女儿今年多少岁？【解析】由题意可知爸爸今年43岁，则三年前爸爸的年龄是43－3=40岁，40岁正好是女儿年龄的4倍，女儿三年前的年龄是40÷4=10岁，今年女儿的年龄是10＋3=13岁。

例2 、明明4岁时，妈妈年龄是明明的8倍。

今年明明12岁，妈妈今年多少岁？【解析】妈妈的年龄是明明的8倍，那么妈妈与明明的年龄相差4×8－4=28岁。

妈妈与明明的年龄差是不变的，今年明明12岁，那么妈妈的年龄是12＋28=40岁。

例3、爸爸今年43岁，儿子今年11岁。

几年后爸爸的年龄是儿子的3倍？【解析】儿子出生后，无论在哪一年，爸爸和儿子的年龄差总是不变的，这个年龄差是43－11=32岁。

所以，当爸爸的年龄是儿子3倍时，儿子是32÷（3－1）=16岁，因此16－11=5年后，爸爸的年龄是儿子的3倍。

例4、妈妈今年36岁，儿子今年12岁。

几年后妈妈年龄是儿子的2倍？【解析】儿子出生后，无论在哪一年，妈妈和儿子的年龄差总是不变的，这个年龄差是36－12=24岁。

四年级奥数第26讲追及问题(wèntí)（教师版）教学目标λ根据(gēnjù)“路程(lùchéng)和＝速度和×时间(shíjiān)”解决(jiějué)简单的直线上的追及问题λ通过画图使较复杂的问题具体化、形象化,融合多种方法达到正确理解题目的目的知识梳理有两个人同时行走,一个走得快,一个走得慢,当走得慢的在前,走得快的过了一些时间就能追上他.这就产生了“追及问题”.实质上,要算走得快的人在某一段时间内,比走得慢的人多走的路程,也就是要计算两人走的路程之差（追及路程）.如果设甲走得快,乙走得慢,在相同的时间（追及时间）内：追及路程＝甲走的路程-乙走的路程＝甲的速度×追及时间-乙的速度×追及时间＝（甲的速度-乙的速度）×追及时间＝速度差×追及时间.一般地,追击问题有这样的数量关系：追及路程=速度差×追及时间,即例如：假设甲乙两人站在100米的跑道上,甲位于起点(0米)处,乙位于中间5米处,经过时间t后甲乙同时到达终点,甲乙的速度分别为和,那么我们可以看到经过时间t后,甲比乙多跑了5米,或者可以说,在时间t内甲的路程比乙的路程多5米,甲用了时间t追了乙5米典例分析例1、小明(xiǎo mínɡ)步行上学,每分钟行70米．离家12分钟后,爸爸(bàbà)发现小明的明具盒忘在家中,爸爸(bàbà)带着明具盒,立即骑自行车以每分钟280米的速度(sùdù)去追小明．问爸爸出发几分钟后追上小明?当爸爸(bàbà)追上小明时他们离家多远?【解析】当爸爸开始追小明时,小明已经离家： 70×12=840(米),即爸爸要追及的路程为840米,也就是爸爸与小明的距离是840米,我们把这个距离叫做“路程差”,爸爸出发后,两人同时走,每过1分,他们之间的距离就缩短280-70=210(米),也就是爸爸与小明的速度差为280-70=210 (米/分),爸爸追及的时间：840÷210=4 (分钟)．当爸爸追上小明时,小明已经出发12+4=16 (分钟),此时离家的距离是：70×16=1120(米)例2、下午放学时,弟弟以每分钟40米的速度步行回家.5分钟后,哥哥以每分钟60米的速度也从学校步行回家,哥哥出发后,经过几分钟可以追上弟弟?（假定从学校到家有足够远,即哥哥追上弟弟时,仍没有回到家）.【解析】若经过5分钟,弟弟已到了A地,此时弟弟已走了40×5=200（米）；哥哥每分钟比弟弟多走20米,几分钟可以追上这200米呢?40×5÷（60-40）=200÷20=10（分钟）,哥哥10分钟可以追上弟弟.例3、甲、乙两架飞机同时从一个机场(jīchǎng)起飞,向同一(tóngyī)方向飞行,甲机每小时(xiǎoshí)行300千米,乙机每小时(xiǎoshí)行340千米,飞行4小时后它们相隔(xiānggé)多少千米?这时候甲机提高速度用2小时追上乙机,甲机每小时要飞行多少千米?【解析】（1）4小时后相差多少千米：（340-300）×4=160（千米）．（2）甲机提高速度后每小时飞行多少千米： 160÷2+340=420（千米）．例4、王芳和李华放学后,一起步行去体校参加排球训练,王芳每分钟走110米,李华每分钟走70米,出发5分钟后,王芳返回学校取运动服,在学校又耽误了2分钟,然后追赶李华．求多少分钟后追上李华?【解析】已知二人出2分钟后,王芳返回学校取运动服,这样用去了5分钟, 在学校又耽误了2分钟,王芳一共耽误了5×2+2= 12(分钟)．李华在这段时间比王芳多走：70×12= 840(米),速度差为：110-70=40 (米/秒),王芳追上李华的时间是：840 ÷40=21(分钟)例5、两地相距米,甲、乙二人同时、同地向同一方向行走,甲每分钟走80米,乙每分钟走100米,当乙到达目标后,立即返回,与甲相遇,从出发到相遇共经过多少分钟?【解析】甲、乙二人开始是同向行走,乙走得快,先到达目标．当乙返回时运动的方向变成了同时相对而行,把相同方向行走时乙用的时间和返回时相对而行的时间相加,就是共同经过的时乙到达目标时所用时间：(分钟),甲9分钟走的路程：(米),甲距目标还有：(米),相遇时间：(分钟),共用时间：9+1=10 (分钟)．例6、龟、兔进行(jìnxíng)1000米的赛跑．小兔斜眼瞅瞅乌龟,心想(xīn xiǎnɡ)：“我小兔每分钟能跑100米,而你乌龟(wūguī)每分钟只能跑10米,哪是我的对手．”比赛(bǐsài)开始后,当小兔跑到全程(quánchéng)的一半时,发现把乌龟甩得老远,便毫不介意地躺在旁边睡着了．当乌龟跑到距终点还有40米时,小兔醒了,拔腿就跑．请同学们解答两个问题：它们谁胜利了?为什么?【解析】（1）乌龟胜利了．因为兔子醒来时,乌龟离终点只有40米,乌龟需要(分钟)就能到达终点,而兔子离终点还有500米,需要(分钟)才能到达,所以乌龟胜利了．÷=(分钟),而小兔跑到终点还要（2）乌龟跑到终点还要40104(分钟),慢1分钟．当胜利者乌龟跑到终点时,小兔离终点还有：(米)．例7、小红和小蓝练习跑步,若小红让小蓝先跑20米,则小红跑5秒钟就可追上小蓝；若小红让小蓝先跑4秒钟,则小红跑6秒钟就能追上小蓝．小红、小蓝二人的速度各是多少?【解析】小红让小蓝先跑20米,则20米就是小红、小蓝二人的路程差, 小红跑5秒钟追上小蓝,5秒就是追及时间,据此可求出他们的速度差为(米/秒)；若小红让小蓝先跑4秒,则小红6秒可追上小蓝,在这个过程中,追及时间为6秒,根据上一个条件,由追及差和追及时间可求出在这个过程中的路程差,这个路程差即是小蓝4秒钟所行的路程,路程差就等于(米),也即小蓝在4秒内跑了24米,所以可求出小蓝的速度,也可求出小红的速度．综合(zōnghé)列式计算如下：小蓝的速度为：(米/秒),小红(xiǎo hónɡ)的速度为：(米/秒)例8、刘老师骑电动车从学校(xuéxiào)到韩丁家家访,以10千米(qiān mǐ)/时的速度行进,下午1点到；以15千米(qiān mǐ)/时的速度行进,上午11点到.如果希望中午12点到,那么应以怎样的速度行进?【解析】这道题没有出发时间,没有学校到韩丁家的距离,也就是说既没有时间又没有路程,似乎无法求速度.这就需要通过已知条件,求出时间和路程.假设有A,B两人同时从学校出发到韩丁家,A每小时行10千米,下午1点到；B每小时行15千米,上午11点到.B到韩丁家时,A距韩丁家还有10×2=20（千米）,这20千米是B从学校到韩丁家这段时间B比A多行的路程.因为B比A每小时多行15-10=5（千米）,所以B从学校到韩丁家所用的时间是20÷（15-10）=4（时）.由此知,A,B是上午7点出发的,学校离韩丁家的距离是15×4=60（千米）.刘老师要想中午12点到,即想（12-7=）5时行60千米,刘老师骑车的速度应为60÷（12-7）=12（千米/时）．例9、甲、乙二人分别从山顶和山脚同时出发,沿同一山道行进。