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信号与系统 第二章习题 王老师经典解法(青岛大学)小白发布

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信号与系统课后题解第二章

信号与系统课后题解第二章


⑺
对⑺式求一阶导，有：
de(t ) d 2 i 2 (t ) di (t ) du (t ) =2 +2 2 + c 2 dt dt dt dt de(t ) d 2 i2 (t ) di (t ) =2 + 2 2 + 2i1 (t ) + 2i 2 (t ) 2 dt dt dt
⑻
将⑸式代入⑻式中，有：
λ 2 + 2λ + 1 = 0
可解得特征根为 微分方程齐次解为
λ1, 2 = −1
y h (t ) = C1e −t + C2 te− t
由初始状态为 y (0 ) = 1, y ' (0 ) = 0 ，则有：
C1 = 1 − C 1 + C 2 = 0
由联立方程可得 故系统的零输入响应为：
由联立方程可得 故系统的零输入响应为：
A1 = 2, A2 = −1
y zi (t ) = 2e − t − e −2 t
（2）由原微分方程可得其特征方程为
λ 2 + 2λ + 2 = 0
可解得特征根为 微分方程齐次解为
λ1, 2 = −1 ± i
y h (t ) = e −t (C1 cos t + C2 sin t )
(− 3C1 + 3C2 )δ (t ) + (C1 + C2 )δ ' (t ) − (− 2C1 + C 2 )δ (t ) = δ (t )
(
(
( + C e )δ (t ) + (C e
2 1
)
−2 t
+ C2 e t δ ' (t )
信号与系统第二章习题

信号与系统第二章习题

当激励为et sin tut ut 1时的零状态响应为
rt et ht
sin tut ut 1ut ut 1
t
0
sin
d
τ
u
t
ut
2
1
t 1
sin
τ
d
τut
u
t
2
1 1 costut ut 2
X
20
第
例2-4 计算卷积 f1(t) f2(t)，并画出波形。
页
f1 t
f2 t
2
1
1 e t1u t 1
则得
A1 A2 3 3A1 2A2 2
解得
A1 A2
4 7
代入（1）得
ht 4e2t 7e3t ut X
18
例2-3
第
页
已知线性时不变系统的一对激励和响应波形如下图所示，
求该系统对激励的 et sin tut ut 1零状态响应。
et
r t
1
1
O 12
t
对激励和响应分别微分一次，得
t0
因为特解为3，所以 强迫响应是3，自由响应是 4 et e2t
X
12
方法二
第
页
零状态响应rzs t是方程
d2 r dt
t
2
3
dr d
t
t
2r
t
2
t
6ut
且满足rzs 0 rzs0 0的解
（5）
由于上式等号右边有 t项 ，故rzst应含有冲激函数，
从而rzs t 将发生跳变，即 rzs 0 rzs 0
d2 rt 3 d rt 2rt 0
dt2
dt
信号与系统课后题答案

信号与系统课后题答案

《信号与系统》课程习题与解答第二章习题(教材上册第二章p81-p87)2-1,2-4～2-10,2-12～2-15,2-17～2-21,2-23,2-24第二章习题解答2-1 对下图所示电路图分别列写求电压的微分方程表示。

图(a)：微分方程：11222012()2()1()()()2()()()()2()()()c cc di t i t u t e t dtdi t i t u t dtdi t u t dt du t i t i t dt ⎧+*+=⎪⎪⎪+=⎪⇒⎨⎪=⎪⎪⎪=-⎩图（b ）：微分方程：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-==+++=+++⎰⎰2021'2'21'2'11)(01)(1Ri t v Ri Mi Li dt i Ct e Ri Mi Li dt i C)()(1)(2)()2()(2)()(33020022203304422t e dtd MR t v C t v dt d C R t v dt d C L R t v dt d RL t v dt d M L =+++++-⇒ 图(c)微分方程：dt i C i L t v ⎰==211'101)(⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⇒⎰dt t v L i t v L i dtdt v L i dt d)(1)(1)(10110'1122011∵ )(122111213t i dt d L C i i i i +=+=)(0(1]1[][101011022110331t e dt dR t v RL v dt d RR L C v dt d R C R C v dt d CC μ=+++++⇒图(d)微分方程：⎪⎩⎪⎨⎧+-=++=⎰)()()()()(1)()(11111t e t Ri t v t v dt t i C t Ri t e μRC v dt d 1)1(1+-⇒μ)(11t e V CR = ∵)()(10t v t v μ=)()(1)1(0'0t e R v t v R Cv v =+-⇒2-4 已知系统相应的其次方程及其对应的0+状态条件，求系统的零输入响应。

《信号与系统》课后习题参考答案

《信号与系统》课后习题参考答案

《信号与系统》课后习题参考答案第二章 连续信号与系统的时域分析2-9、（1）解：∵系统的微分方程为：)(2)(3)(t e t r t r '=+'，∴r(t)的阶数与e(t) 的阶数相等，则h(t)应包含一个)(t δ项。

又∵系统的特征方程为：03=+α，∴特征根3-=α∴)()(2)(3t u Ae t t h t -+=δ∴)]()(3[)(2)(33t e t u e A t t h t t δδ--+-+'=')()(3)(23t A t u Ae t t δδ+-'=-将)(t h 和)(t h '代入微分方程（此时e(t)= )(t δ），得：)()(3)(23t A t u Ae t t δδ+-'-+3)(2)]()(2[3t t u Ae t t δδ'=+-∴A=-6则系统的冲激响应)(6)(2)(3t u et t h t --=δ。

∴⎰⎰∞--∞--==t td ue d h t g τττδτττ)](6)(2[)()(3⎰∞-=t d ττδ)(2⎰∞---t d u e τττ)(63 )()(6)(203t u d e u t t ⎰-∞--=τττ )()3(6)(203t u e t u t --=-τ)()1(2)(23t u e t u t -+=- )(23t u e t -=则系统的阶跃响应)(2)(3t u et g t -=。

2-11、解：①求)(t r zi ： ∵系统的特征方程为：0)3)(2(652=++=++αααα，∴特征根：21-=α，32-=α ∴t t zi e C eC t r 3221)(--+= (t ≥0) ②求)(t r zs ：t t e A eA t h 3221)(--+= (t ≥0)，可求得：11=A ，12-=A （求解过程略） ∴)()()(32t u e e t h t t ---=∴)(*)()(*)()]()[(*)()(*)()(3232t u e t u e t u e t u e t u e e t u e t h t e t r t t t t t t t zs --------=-==)()2121()()(21)()(3232t u e e e t u e e t u e e t t t t t t t -------+-=---= ③求)(t r ：)(t r =)(t r zi +)(t r zs ++=--)(3221t te C e C )2121(32t t t e e e ---+- t tt e C e C e 3221)21()1(21---++-+= (t ≥0) ∵)()(t u Ce t r t -=，21=C 21=C ∴ 011=-C ， ∴ 11=C0212=+C 212-=C ∴=-)0(r 21211)0(21=-=+=+C C r zi ， ='-)0(r 2123232)0(21-=+-=--='+C C r zi 2-12、解：（1）依题意，得：)(2)(*)()(t u e t h t u t r tzi -=+)()()(t t h t r zi δ=+∴)(2)]()([*)()(t u e t r t t u t r t zi zi -=-+δ)(2)()()()1(t u e t r t u t r t zi zi --=-+∴)()12()()()1(t u e t r t r t zi zi -=---，两边求导得：)()12()(2)()(t e t u e t r t r t t zi ziδ-+-=-'-- )(2)()()(t u e t t r t r t zi zi--=-'δ ∴)(11)(112)()()1(t p p t p t t r p zi δδδ+-=+-=- ∴)()(11)(t u e t p t r t zi -=+=δ （2）∵系统的起始状态保持不变，∴)()(t u e t r t zi -=∵)()()(t t h t r zi δ=+，∴)()()(t u e t t h t--=δ∴)]()([*)()()(*)()()(33t u e t t u e t u e t h t e t r t r t t t zi ----+=+=δ )()()(t u te t u e t u e tt t ----+=)()2(t u e t t --= 2-16、证：∑∑∞-∞=--∞-∞=--=-=k k t k t k t u e k t t u e t r )3()3(*)()()3(δ∑∞-∞=--=k k t k t u e e )3(3 ∵当t-3k>0即3t k <时：u(t-3k)为非零值 又∵0≤t ≤3，∴k 取负整数，则：3003311)(---∞=∞=----===∑∑e e e e e et r t k k k t k t 则t Ae t r -=)(，且311--=e A 。

信号与系统第2章作业解答

信号与系统第2章作业解答

P58 2.15
解：（1） f (t t0 ) (t) f (t0 ) (t)
（2） f (t t0 ) (t t0 )dt f (0)
（3） 2 et (t 3)dt e3 2 (t 3)dt e3
4
4
(4) et sin t (t 1)dt 0 0
第二章 连续时间信号的时域分析
2
n
（4） x1(n) x2 (n) 2n u(n) 3n u(n) 2k 3nk k 0
3n
n
( 2 )k
1 ( 2)n1 3n 3 [3n1 2n1]u(n)
k0 3
1 2
3
（5） x1(n) x2 (n) [(0.5)n u(n 4)][4nu(n 2)]
( 1)k u(k 4) 4nk u(n k 2) 2 k
P59 2.24 解： （2） f1 f3 r(t) r(t 1) r(t 2)
2r(t 1) 2r(t 2) 2r(t 3) r(t 2) r(t 3) r(t 4)
f1 f3
1
0
1
2
34
t
-1
r(t) 3r(t 1) 4r(t 2) 3r(t 3) r(t 4)
4
42
（2） (t 3)etdt e3
（3） (1 t)(t2 4)dt 5
（4） (t) sin 2t dt 2 (t) sin 2t dt 2
t
2t
第二章 连续时间信号的时域分析
6 / 11
P91 3.1 (5) (6) 解： 由题意知 x(n) 的波形如下图示
eatu(t) sin tu(t) a sin t cos t eat u(t) 1 a2
第二章 连续时间信号的时域分析
【VIP专享】信号与系统王明泉第二章习题解答

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第 2 章 线性时不变连续系统的时域分析
2.1 学习要求 （1）会建立描述系统激励与响应关系的微分方程； （2）深刻理解系统的完全响应可分解为：零输入响应与零状态响应，自由响应与强迫响应， 瞬态响应与稳态响应； （3）深刻理解系统的零输入线性与零状态线性，并根据关系求解相关的响应； （4）会根据系统微分方程和初始条件求解上述几种响应； （5）深刻理解单位冲激响应的意义，并会求解； （6）深刻理解系统起始状态与初始状态的区别，会根据系统微分方程和输入判断 0 时刻的 跳变情况； （7）理解卷积运算在信号与系统中的物理意义和运算规律，会计算信号的卷积。； 2.2 本章重点 （1）系统（电子、机械）数学模型（微分方程）的建立； （2）用时域经典法求系统的响应； （3）系统的单位冲激响应及其求解；
(2)若 x(t) 由几种激励组合而成，则特解也为其相应的组合。 (3)若表中所列特解与齐次解重复，则应在特解中增加一项： t 倍乘表中特解。假
如这种重
复形式有 k 次（特征为 k 次），则依次增加倍乘 t ， t 2 ，…， t k 诸项。
2.4.3 起始点的跳变-从 0 到 0 状态的转换
在系统分析中，定义响应区间为确定激励信号 x(t) 加入后系统的状态变化区间。一般
激励 x(t) 都是从 t 0 时刻加入，此时系统的响应区间定义为 0 t 。当系统用微分 方程表示时，系统从 0 到 0 状态有没有跳变取决于微分方程右端自由项是否包含 (t) 及 其各阶导数项。如果包含有 (t) 及其各阶导数项，说明相应的 0 到 0 状态发生了跳变， 即 y(0 ) y(0 ) 或 y'(0 ) y ' (0 ) 等等。这时为确定 y(0 ) 、 y ' (0 ) 等状态，可以用
信号与系统第二章例题

信号与系统第二章例题


r (0 ) 2 r (0 ) 3 r (0 ) r (0 ) 2
代入r (t ) Ae3t A2et 3e2t 1
A1 A2 3 2 得 3 A1 A2 6 3
r (t ) -4e3t 3et 3e2t
解：1）求自由响应的形式
r '' (t ) 4r ' (t ) 3r (t ) 0
特征方程为： 2 4 3 0 1 3, 2 1
rh (t ) Ae3t A2et 1
2）求强迫响应
利用筛选 特性
e(t ) e2t u(t ) e '(t ) 2e2t u(t ) e2t (t ) 2e2t u(t ) (t )
0 t 0

8
代入方程得
a 2 b 4a 1 c 4b 3a 0
a (t ) b 4a) (t ) (c 4b 3a)u (t ) （ 2 (t ) (t )
a 2 b 7 c 22
4 B 8B 3B 3
rp (t ) 4Be2t
B 3
rp (t ) 3e2t
3）求完全响应
r(t ) rh (t ) rp (t ) Ae3t A2et 3e2t 1
利用冲激函数匹配法求初始条件r (0 )和r(0 )
r '' (t ) 4r ' (t ) 3r (t ) 2 (t ) 3u(t ) r (t ) a (t ) bu (t )

1 3t 5 t (e e )u (t ) 2
注意：1、积分上下限问题； 2、积分结果的始终点问题。
[信号与系统作业解答]第二章

[信号与系统作业解答]第二章


2）
d2 dt 2
r(t)
d r(t) r(t) dt
d e(t) e(t) dt
3）
d dt
r(t)
2r(t)
d2 dt 2
e(t
)
3e(t)
3e(t)
解答：
2）系统的阶跃响应 g(t ) 满足方程
d 2 g(t) d g(t) g(t) (t)
dt 2
dt
其解的形式为
u(t) „„（3）
g(t) e 12t A cos 3 t B sin 3 t
设代入原方程5得从而h0考虑到aabc11代入6式得abte2t1即ht中有t和t因而所求的冲激响应为tut212有一系统对激励为e1tut时的完全响应为r1t2etut对激励为e2tt时的完全响应为r2t1求该系统的零输入响应rzit
第 2 章 连续时间系统的时域分析
2-1 列写电路中电压vo(t)的微分方程表示。
[(t 1)u(t 1) u(t 1) 2u(t 1) u(t 1)]
[u(t) u(t 2) tu(t) u(t 2)]
[(t 1)u(t 1) u(t 2) 2u(t 1) u(t 2)]
[(t 1)u(t 1) 1 (t 1)2u(t 1)] 2
（a）（图略）
解答：符号说明i( 1)(t)
t
i(x )dx
2i1(t) i1(t) i1( 1)(t) i2(t) 2i2(t) i2( 1)(t) vo(t) 2i2(t) (3)
i2( 1)(t) i1( 1)(t)
e(t) (1) 0 (2)
整理得：
2vo(t) 5vo(t) 5vo(t) 3vo(t) 2e (t)
【分析】充分利用冲激函数的卷积性质，卷积的平移性质。
信号与系统课后习题与解答第二章

信号与系统课后习题与解答第二章

2-1 对图2-1所示电路分别列写求电压)(0t v 的微分方程表示。

2(t ei )(t +-(e )(e )(t +-图2-1解 （a ）对于图2-1（a ）所示电路列写网孔电流方程，得[]⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=-++⎰⎰⎰∞-∞-∞-t t t t v i d i i t e d i d i dt t di i )()()()()()()()(202122111ττττττττ 又 dtt di t v )(2)(20= 消元可得如下微分方程：)(3)(5)(5)(200022033t v t v dt dt v dtd t v dt d +++=2)(te dt d（b ）对于图2-1（b ）所示的双耦合电路，列写电路微分方程，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=+++=+++⎰⎰∞-∞-)()(0)()()()(1)()()()()(10221221211t v t Ri t Ri dt t di M dt t di L d i Ct e t Ri dtt di M dt t di L d i C ttττττ 消元可得如下微分方程：)()(1)(2)(2)(2)()(22020022203304422t e dtd MR t v C t v dt d C R t v dtd R R L t v dtd RL t v dt d M L =++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++- （c ）对于图2-1（c ）所示电路列写电路方程，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=⎰∞-)()()(1)()()()(10101011t v t v dt d C dt t v L R t v R t v t v dt d C t i t μ 消元可得如下微分方程：)()(1)(1)()(101011022110331t i dt dR t v RL t v dt d R R L C t v dt d R C R C t v dt d CC μ=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++ （d ）对图2-1（d ）所示电路列写电路方程，电流)(t i 如图2-2所示，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=++⎰∞-)()()()()()()()(1)(1011t v t v t e t v t Ri t e t v d i C t Ri t μμττ 消元可得如下微分方程：(t e )(t +-图2-2)()(1)()1(00t e Rt v R t v dt d Cμμ=+-2-2 图2-3所示为理想火箭推动器模型。

《信号与系统分析基础》第二章部分习题参考答案

《信号与系统分析基础》第二章部分习题参考答案

第二章部分习题参考答案2-6 试求下列各函数1()f t 与2()f t 之卷积。

121212(-)01(1) ()() ()() (0) ()()()(-) ()(-)11(1) 0(2) ()t tt t tt t f t u t f t e u t f t f t f f t d u eu t d e e d e e e t f t ααταατααταατττττττααδ-+∞-∞+∞---∞--==>*===⋅=⋅=-≥=⎰⎰⎰，解：，2121212() ()cos(45)()()()cos[()45] cos(45)(3) ()(1)[()(1)] ()(1)(2) ()()t f t t f t f t t d t f t t u t u t f t u t u t f t f t ωδτωττω+∞-∞=+*=-+=+=+--=---*⎰，解：，解：ττ222221211211()(-1)(-1)-2(-2)(-2)(-1)(-1)-(-2)(-2)2211-(-2)(-2)(-3)(-3)-(-2)(-2)(-3)(-3)22()*()()1,()0123, (1-)(1)21(1)--(12ttf t t u t t u t t u t t u t t u t t u t t u t t u t f t f t f t t f t t t dt t ft t t t τττ=+++=<=<<+=+-=++⎰222-112222212111)-222123, (1-)(1)-221()2(1)-2(1-)(-1)211121---152223, ()*()0.t t t t t t d t f t t t t t t t t t t t f t f t ττττ-+=<<+=+=+++=+++=++>=⎰121221--(4) cos , (1)-(-1)()*()()(-) [(1)-(-1)][cos(-)] cos[(1)]-cos[(-1)]f t t f t t t f t f t f f t d t t t d t t ωδδτττδδωττωω+∞∞+∞∞==+==+⋅=+⎰⎰ -212-212--2-220(5) ()(), ()sin ()()()*()()sin(-)(-) sin(-)sin t t ttt tf t e u t f t t u t f t f t f t e u t u t d e t d ee d τττττττττ+∞∞==⋅==⋅⋅⋅=⋅=⋅⎰⎰⎰-12-(-)--0022-(-)-33-2-3(6) ()2[()-(-3)], ()4()-(-2)0, ()0.02,()2488-825, 88()8(-)5, ()0.t tt t t tt t t t t f t e u t u t f t u t u t t f t t f t e d e e e t ft ed ef t e e e t f t ττττττ-==<=<<==⋅=<<===>=⎰⎰2-8 求阶跃响应为32()(21)()t t s t e e u t --=-+的LTI （线性时不变）系统对输入()()t x t e u t =的响应。

信号与系统课后答案 第2章 习题解

信号与系统课后答案 第2章 习题解

第2章 习 题2-1 求下列齐次微分方程在给定起始状态条件下的零输入响应（1）0)(2)(3)(22=++t y t y dt d t y dt d ；给定：2)0(,3)0(==--y dt dy ； （2）0)(4)(22=+t y t y dt d ；给定：1)0(,1)0(==--y dtd y ；（3）0)(2)(2)(22=++t y t y dt d t y dt d ；给定：2)0(,1)0(==--y dt dy ； （4）0)()(2)(22=++t y t y dt d t y dt d ；给定：2)0(,1)0(==--y dtdy ； （5）0)()(2)(2233=++t y dt d t y dt d t y dt d ；给定：2)0(,1)0(,1)0(22===---y dt d y dt d y 。

（6）0)(4)(22=+t y dt d t y dt d ；给定：2)0(,1)0(==--y dtdy 。

解：（1）微分方程的特征方程为：2320λλ++=，解得特征根：121, 2.λλ=-=- 因此该方程的齐次解为：2()t th y t Ae Be --=+.由(0)3,(0)2dy y dt--==得:3,2 2.A B A B +=--=解得:8, 5.A B ==- 所以此齐次方程的零输入响应为:2()85tty t e e--=-.（2）微分方程的特征方程为：240λ+=，解得特征根：1,22i λ=±.因此该方程的齐次解为：()cos(2)sin(2)h y t A t B t =+.由(0)1,(0)1d y y dx --==得:1A =,21B =,解得:11,2A B ==. 所以此齐次方程的零输入响应为:1()cos(2)sin(2)2y t t t =+.（3）微分方程的特征方程为：2220λλ++=，解得特征根:1,21i λ=-± 因此该方程的齐次解为：()(cos()sin())th y t e A t B t -=+.由(0)1,(0)2dy y dx--==得:1,2,A B A =-= 解得:1,3A B ==.所以齐次方程的零输入响应为:()(cos()3sin())ty t e t t -=+.（4）微分方程的特征方程为：2210λλ++=，解得二重根:1,21λ=-.因此该方程的齐次解为：()()th y t At B e -=+. 由(0)1,(0)2dy y dx--==得:1,2,B A B =-=解得:3, 1.A B == 所以该方程的零输入响应为:()(31)ty t t e -=+.（5）微分方程的特征方程为：3220λλλ++=，解得特征根: 1,21λ=-,30λ=. 因此该方程的齐次解为：()()th y t A Bt C e -=++.由22(0)1,(0)1,(0)2d d y y y dx dt---===得:1,1,22A C B C C B +=-=-=. 解得:5,3,4A B C ==-=-.所以方程的零输入响应为:()5(34)ty t t e -=-+.（6）微分方程的特征方程为：240λλ+=，解得特征根:120,4λλ==-. 因此该方程的齐次解为：4()th y t A Be -=+.由(0)1,(0)2d y y dx --==得:1,42A B B +=-=.解得:31,22A B ==-. 所以此齐次方程的零输入响应为:431()22ty t e -=-.2-2 已知系统的微分方程和激励信号，求系统的零状态响应。

信号与系统第二章答案

令
f (n ) x (n ) y ( n) ，欲使 f (n ) 是周期的，必须有 N 0 kN1 mN 2
(h)
(i)
(j)
x (n ) 2 cos( n / 4) sin( n / 8) 2 sin( n / 2 / 6) x (t ) 2 cos(3t / 4) ，周期信号， T
2 3
。
解：(a)
(b)
x (n ) cos(8 n / 7 2) ，周期信号， Q 0 x (t ) e j ( t 1) ，周期信号， T 2 。
(c)
(a)
h (t 3)
(b)
h (1 2t )
(3) 根据图 P2.1(a) 和(b) 所示的
x (t ) 和 h (t ) ，画出下列各信号的波形图，并加以标注。
(b)
(a)
x(t )h(t )
x(1 t )h(t 1)
(c)
t x (2 )h (t 4) 2
图 P2.1 解：(1) 各信号波形如下图所示：

(d)
x (n ) e j (n / 8 )
(e)
x (n ) (n 3m ) (n 1 3m)
m 0
(f)
x (t ) cos 2 t u (t ) x (t ) Ev cos 2 t u (t )
(g)
x (n ) cos( n / 4) cos( n / 4) x (t ) Ev cos(2 t / 4) u (t )
(b) 不正确。设
x (n ) g (n ) h (n ) ，其中 g ( n) sin
n ，对所有 n ， 4

信号与系统课后答案 第2章 习题解

第2章 习 题2-1 求下列齐次微分方程在给定起始状态条件下的零输入响应（1）0)(2)(3)(22=++t y t y dt d t y dt d ；给定：2)0(,3)0(==--y dt dy ； （2）0)(4)(22=+t y t y dt d ；给定：1)0(,1)0(==--y dtd y ；（3）0)(2)(2)(22=++t y t y dt d t y dt d ；给定：2)0(,1)0(==--y dt dy ； （4）0)()(2)(22=++t y t y dt d t y dt d ；给定：2)0(,1)0(==--y dtdy ； （5）0)()(2)(2233=++t y dt d t y dt d t y dt d ；给定：2)0(,1)0(,1)0(22===---y dt d y dt d y 。

（6）0)(4)(22=+t y dt d t y dt d ；给定：2)0(,1)0(==--y dtdy 。

解：（1）微分方程的特征方程为：2320λλ++=，解得特征根：121, 2.λλ=-=- 因此该方程的齐次解为：2()t th y t Ae Be --=+.由(0)3,(0)2dy y dt--==得:3,2 2.A B A B +=--=解得:8, 5.A B ==- 所以此齐次方程的零输入响应为:2()85tty t e e--=-.（2）微分方程的特征方程为：240λ+=，解得特征根：1,22i λ=±.因此该方程的齐次解为：()cos(2)sin(2)h y t A t B t =+.由(0)1,(0)1d y y dx --==得:1A =,21B =,解得:11,2A B ==. 所以此齐次方程的零输入响应为:1()cos(2)sin(2)2y t t t =+.（3）微分方程的特征方程为：2220λλ++=，解得特征根:1,21i λ=-± 因此该方程的齐次解为：()(cos()sin())th y t e A t B t -=+.由(0)1,(0)2dy y dx--==得:1,2,A B A =-= 解得:1,3A B ==.所以齐次方程的零输入响应为:()(cos()3sin())ty t e t t -=+.（4）微分方程的特征方程为：2210λλ++=，解得二重根:1,21λ=-.因此该方程的齐次解为：()()th y t At B e -=+. 由(0)1,(0)2dy y dx--==得:1,2,B A B =-=解得:3, 1.A B == 所以该方程的零输入响应为:()(31)ty t t e -=+.（5）微分方程的特征方程为：3220λλλ++=，解得特征根: 1,21λ=-,30λ=. 因此该方程的齐次解为：()()th y t A Bt C e -=++.由22(0)1,(0)1,(0)2d d y y y dx dt---===得:1,1,22A C B C C B +=-=-=. 解得:5,3,4A B C ==-=-.所以方程的零输入响应为:()5(34)ty t t e -=-+.（6）微分方程的特征方程为：240λλ+=，解得特征根:120,4λλ==-. 因此该方程的齐次解为：4()th y t A Be -=+.由(0)1,(0)2d y y dx --==得:1,42A B B +=-=.解得:31,22A B ==-. 所以此齐次方程的零输入响应为:431()22ty t e -=-.2-2 已知系统的微分方程和激励信号，求系统的零状态响应。

信号与系统课后答案（ＰＤＦ）

第二章第二章 课后题答案课后题答案2-1.1.图题2-1所示电路，求响应u 2(t)对激励f(t)的转移算子H(p)及微分方程。

解 其对应的算子电路模型如图题2.1（b ）所示，故对节点①，②可列出算子形式的KCL 方程为= +++−=−+0)(111)(1)()(1)(1312121t u p p t u p t f t u p t u p即()=+++−=−+0)(1)()()()(13122121t u p p t u t pf t u t u p联解得)()()(443)(22t f p H t f p p t u =++=故得转移算子为443)()()22++==p p t f t u p H （u 2(t)对f(t)的微分方程为()）（）（t f t u p p 34422=++即）（t f t u t u dt d t u dt d 3)(4)(4)(22222=++2-2图题2-2所示电路，求响应i(t)对激励f(t)的转移算子H(p)及微分方程。

解 其对应的算子电路模型如图2.2（b）所示。

故得）（）（t f p p p p pp t f t i 3011101022221.01)(2+++=+×++=故得转移算子为30111010)()()(2+++==p p p t f t i p Hi(t)对f(t)的微分方程为)()1010()()3011(2t f p t i p p +=++即)(10)(10)(30)(11)(22t f t f dt d t i t i dt d t i dt d +=++2-3图题2-3所示电路，已知u C (0-)=1 V, i(0-)=2 A。

求t>0时的零输入响应i(t)和u C (t)。

解 其对应的算子电路模型如图题2.3（b）所示。

故对节点N 可列写出算子形式的KCL 方程为0)(2312= ++t u p p C又有uc(t)=pi(t)，代入上式化简，即得电路的微分方程为=====++−+−+1)0()0(2)0()0(0)()23(2c cu u i i t i p p电路的特征方程为0232=++p p故得特征根（即电路的自然频率）为p 1=-1，p 2=-2。

《信号与系统》第二章习题解答


14
Chapter 2
Problems Solution
2.47 An LTI system with impulse response h0 (t ) y0 (t ) x0 (t ) → y0 (t ) 1 In each of these cases,determine 0 2 whether or not we have enough Information to determine the output y (t )
∞ ∞ y ( t ) = ∑ δ ( t − kT ) ∗ h ( t ) = ∑ h ( t − kT ) k =−∞ k =−∞
11
Chapter 2
Problems Solution
y (t )
L
1
-4 -3 -1 0 1 3
-5
5
L
t t
L L
(a) T=4 1 y (t )
Problems Solution
2.20. Evaluate the following integrals:
(a ) ∫−∞
பைடு நூலகம்
+∞
u0 (t ) cos(t )dt = cos t
t =0
=1
(b ) ∫0
5
sin (2πt )δ (t + 3)dt = 0
(c) ∫−5 u1 (1 − τ ) cos(2πτ )dτ
(c) S is time-varying.
y [ n ] = u [ n − 2] − u [ n − 6] y [ n] = u [ n − 4] − u [ n − 8]
( d ) x [ n] = u [ n]

信号与系统第二章_连续时间系统时域分析(青岛大学)


N( p) H( p) = 称为系统的传输算子 D( p)
例：
d 2i1 (t ) di1 (t ) di(t ) +2 + i1 (t) = + i(t) 2 dt dt dt
( p + 2 p +1)i1 (t ) = ( p +1)i(t )
2
p +1 i1 (t) = 2 i(t ) p + 2 p +1
1 t iL (t ) = ∫ vL (τ )dτ L −∞
2. 电路的电流、电压约束关系（KVL、KCL）
例：右图所示电路，激励为电流源 i (t ) ， 右图所示电路，
列写微分方程。 响应取 i1 (t )，列写微分方程。
i (t )
i2 (t)
1 1F 1H 1
i1 (t )
解：
{
i1 (t ) + i2 (t ) = i (t )
1 p f (t) = f (t) p
2. 借助算子符号建立微分方程
diL (t ) vL (t ) = L = LpiL (t ) dt 1 t 1 iC (t ) vC (t ) = ∫ iC (τ )dτ =
C
−∞
Cp
广义阻抗
vR (t ) = RiR (t )
例1：i (t ) → i1 (t ) ：
d2 d d r (t ) + 3 r ( t ) + 2 r (t ) = e (t ) + 4 e ( t ) dt 2 dt dt
状态及激励信号如下： 例：系统微分方程、 起始状态及激励信号如下： 系统微分方程、 起始状态及激励信号如下
e r (0 − ) = 1 、r ′(0 − ) = 2 、 (t ) = e u (t ) ，求完全响应。 求完全响应。

信号与系统 第一章习题 王老师经典解法(青岛大学)小白发布

2 2
1-4 说明下列信号是周期信号还是非周期信号，若是周期信号，求其周期。 （1） f 1 (t ) = a sin(3t ) + b sin(8t ) ； （3） f 3 (t ) = a sin(3t )U (t ) ； （2） f 2 (t ) = a sin(π t ) + b sin(8t ) ； （4） f 4 (t ) = [ a sin(3t )] 。
（4） f 4 (t ) = sin(ωt ) ⋅ sin(8ωt ) ； （5） f 5 (t ) = [1 +
题图 1-7-1
1 sin(ωt )] ⋅ sin(8ωt ) 。 2
1-9 粗略绘出题图 1-9-1 所示波形的偶分量和奇分量。
1 0 -1 -1
f1 (t )
1
f 2 (t )
t
0 -1
∫
t
−∞
e(τ )dτ ；
d e(t ) ； dt 1 （4） r (t ) = e( t ) 。 4
（2） r (t ) = 3
1-14 有一线性时不变系统，当激励 e1 (t ) = U (t ) 时，响应 r1 (t ) = e
−2 t
cos(3t )U (t ) ，试求当
激励 e2 (t ) = δ (t ) 时，响应 r2 (t ) 的表达式（假定起始时刻系统无储能） 。
1-17 一具有两个初始条件 x1 (0) 、 x 2 (0) 的线性时不变系统，其激励为 e(t ) ，响应为 r (t ) 。 已知： （1）当 e(t ) = 0 ， x1 (0) = 5 ， x 2 (0) = 2 时， r (t ) = e (7t + 5) ， t > 0 ； （2）当 e(t ) = 0 ， x1 (0) = 1 ， x 2 (0) = 4 时， r (t ) = e (5t + 1) ， t > 0 ； （3）当 e(t ) =
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2-16 已知 f1 (t ) =
画出下列各卷积的波形。 （1） s1 (t ) = f1 (t ) ∗ f 2 (t ) ； （2） s2 (t ) = f1 (t ) ∗ f 2 (t ) ∗ f 2 (t ) ； （3） s3 (t ) = f1 (t ) ∗ f 3 (t ) 。
2-17 求题图 2-17 所示电路在 e(t ) = (1 + 2e
第二章
连续时间系统的时域分析
2-1 电路如题图 2-1 所示，列写求 vo (t ) 的微分 方程。
L1 1H R1 2Ω + e(t) i 1 (t )
R2 1Ω + L2 2H 题图 2-1
C
1F
i 2 (t )
vo(t)
2-2 电路如题图 2-2 所示， 列写求 i2 (t ) 的微分方 程。
题图 2-18
−2 t
− 1)U (t ) ， 试利用卷积的性质求题
1 0 -1
e2(t)=tU(t) 1 t 0
e3(t)
t 0 1
2-19 一线性时不变的连续时间系统，其初始状态一定，当输入 e1 (t ) = δ (t ) 时，其全响应
r1 (t ) = −3e − tU (t ) ； 当 输 入 e2 (t ) = U (t ) 时 ， 其 全 响 应 r2 (t ) = (1 − 5e − t )U (t ) 。 求 当 输 入 e(t ) = tU (t ) 时的全响应。
2-14 计算卷积 f (t ) = f 1 (t ) ∗ f 2 (t ) ，其中 f1 (t ) = sgn(t − 1) ， f 2 (t ) = e 2-15 求下列卷积 （1） f1 (t ) = e
−αt
− ( t +1)
U (t + 1) 。
U (t ) ∗ sin(t )U (t ) ；
2-8 电路如题图 2-8 所示， e(t ) 为激励， v(t ) 为响应，求传输算子 H ( p ) ，冲激响应 h(t ) 和
R1
阶跃响应 g (t ) 。
R2 10Ω + v(t) 2H L
+ e(t)
-
20Ω
+
-
0.5v(t)
题图 2-8
2-9 题 图 2-9-1 所 示 电 路 中 ， L1 = L2 = M = 1H ，
（2）
（3）
2-4 已知系统的传输算子 H ( p ) 及 0 + 状态条件，求系统的自然频率和零输入响应。 （1） H ( p ) =
p+3 ， r (0 + ) = 2 ， r ′(0 + ) = 1 ； p + 3p + 2
2
（2） H ( p ) =
p+3 ， r (0 + ) = 1 ， r ′(0 + ) = 2 。 p + 2p + 2
R1 20Ω + e(t) i 1 (t ) i (t ) L1 0.5H
题图 2-2
R3 10Ω R2 30Ω i 2 (t )
-
+
10i(t)
L2 1H
2-3 已知系统方程及对应的 0 + 状态条件， 求系统 的零输入响应。 （1）
d2 d r (t ) + 3 r (t ) + 2r (t ) = 3e(t ) ， r (0 + ) = 4 ， r ′(0 + ) = −5 ； 2 dt dt d2 d r (t ) + 2 r (t ) + 5r (t ) = e(t ) ， r (0 + ) = 1 ， r ′(0 + ) = 1 ； 2 dt dt d3 d2 d d r ( t ) + 2 r (t ) + r (t ) = e(t ) + 3e(t ) ， r (0 + ) = r ′(0 + ) = 0 ， r ′′(0 + ) = 1 。 3 2 dt dt dt dt
（2）
（3）
（4）
2-11 设 H ( p ) 是线性时不变系统的传输算子，且系统起始状态为零，试证明：
[ H ( p )δ (t )]e − βt = H ( p + β )δ (t )
2-12 求下列函数 f 1 (t ) 与 f 2 (t ) 的卷积 f1 (t ) ∗ f 2 (t ) 。 （1） f1 (t ) = U (t ) ， f 2 (t ) = e U (t ) ； （2） f1 (t ) = U (t + 2) ， f 2 (t ) = e
e(t ) = x(t )[U (t ) − U (t − 2)] + βδ (t − 2)
式中 x(t ) 为任意 t 函数，若要求系统在 t > 2 的响应为零，试确定 β 值应等于多少。
2-22 设 线 性 时 不 变 系 统 在 零 状 态 条 件 下 ， 当 输 入 为 e(t ) 时 ， 输 出 为
−2 ( t − 2 ) −2 t
U (t − 2) ；
（3） f1 (t ) = sin(5t +
π
6
) ， f 2 (t ) = δ (t − 1) 。
2-13 求下列卷积，并注意相互间的区别。 （1） f a (t ) = A[U (t + 1) − U (t − 1)] ，求 f1 (t ) = f a (t ) ∗ f a (t ) ； （2） f b (t ) = A[U (t ) − U (t − 2)] ，求 f 2 (t ) = f a (t ) ∗ f b (t ) ； （3） f c (t ) = A[U (t ) − U (t − 1)] ，求 f 3 (t ) = f b (t ) ∗ f c (t ) ；
（2） f 2 (t ) = sin( 2πt )[U (t ) − U (t − 1)] ∗ U (t ) ； （3） f 3 (t ) = f a (t ) ∗ f b (t ) ，其中 f a (t ) =
∑ [U (t − 3k ) − U (t − 2 − 3k )] ，
k =0
∞
f b (t ) = sin(πt )U (t ) 。 2− | t | , | t |≤ 2 ， f 2 (t ) = δ (t + 5) + δ (t − 5) ， f 3 (t ) = δ (t + 1) + δ (t − 1) ， , | t |> 2 0
2-24 画出 f (t ) =
∫
t
0−
δ [sin(πt )]dt 的波形图。 π π
2-25 求 f (t ) = [U (t +
) − U (t − )] ∗ {cos(t ) ⋅ δ [sin(t )]} ，并画出结果的波形。 2 2
−3t
)U (t )
+ e(t)
-
R1 1Ω
C

1
R2 2Ω
L
2
+ 1H vo(t)
-
激励下的零状态响应 vo (t ) ， 并指出其中的强迫响应 分量与自由响应分量、稳态响应分量与瞬态响应分 量。
2F
0
题图 2-17
2-18 已知某线性时不变系统的单位阶跃响应 g (t ) = ( 2e 图 2-18 所示波形信号激励下的零状态响应。 e1(t) 2 t 1 0 0 2 3 0 1 2
r (t ) = sin(πt )
画出波形图。 2 1 0
,0 ≤ t ≤ 2 ，其波形如题图 2-22-1 所示。试确定该系统的阶跃响应 g (t ) ，并
e(t) 1 t 0 1 2 3
题图 2-22-1
r(t)
0 0 1 2
t
2-23 化简下列两式 （1） δ ( 2t − ) ；
2
1 2
（2） δ [sin(t )] 。
d2 d d （3） 2 r (t ) + 3 r (t ) + 2r (t ) = e(t ) + 3e(t ) ，r (0 − ) = 1 ，r ′(0 − ) = 2 ，e(t ) = e −3tU (t ) 。 dt dt dt
试判断在起始点是否发生跳变，并求 0 + 状态之值。 “1” 且已达稳态，t = 0 时刻开关自 “1” 转至 “2” ： 2-6 题图 2-6 所示电路，t < 0 时开关位于 （1）试从物理概念判断 vC (t ) 、 i (t ) 在 t = 0 时刻是否会发生跳变？ （2）分别写出 t ≥ 0 + 时间内描述响应 vC (t ) 、 i (t ) 的微 分方程，并求 vC (t ) 、 i (t ) 的完全响应；
d r (t ) + 3r (t ) = e(t ) ； dt d2 r (t ) + 4r (t ) = 2e(t ) ； dt 2 d2 d d3 d2 r t r t r t e t ( ) + 3 ( ) + 2 ( ) = ( ) + 4 e(t ) − 5e(t ) ； dt 2 dt dt 3 dt 2 d2 d d r (t ) + 2 r (t ) + r (t ) = 2 e(t ) + 3e(t ) 。 2 dt dt dt
2 S 1 + +
10V 20V
i (t ) R 2Ω + vC(t) 0.25F C
（3）写出可在 − ∞ < t < ∞ 时间内描述 vC (t ) 、i (t ) 的方 程式，然后利用冲激函数匹配原理判断从 0 − 到 0 + 状态的变化，并与（1）的结果比较。 2-7 系统微分方程、 0 − 状态及激励信号如下：