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§1·2 n 阶行列式的定义1、二、三阶行列式定义对二元线性方程组:11112212112222a x a xb a x a x b +=⎧⎨+=⎩11221122221222112122122212a a x a a xb a a a x a a x b a +=⎧⇒⎨+=⎩122221121122211)(a b a b x a a a a −=−⇒112212210a a a a −≠若:11112212112222,a x a b a a b +=⎧⎨+=⎩对122212111221221211121211221221b a b a x a a a a b a b a x a a a a −⎧=⎪−⎪⎨−⎪=⎪−⎩则：112212210a a a a −≠若211222111222211a a a a a b a b x −−=22211211a a a a =222121a b a b 令：211222112111122,a a a a a b a b x −−22211211a a a a =221111b a b adc ba 二阶行列式＋－bc ad −=3213−如11=1112112111112212211221221121212122222212,,a ab a a b a a a a ba a b a b ba a a b a a b =−=−=−例1, 求方程组的解。
12122233x x x x +=⎧⎨+=⎩解: 因为0121313211≠=×−×=所以方程组有唯一解：121333311123x ===212231111123x −===−⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111ba x a x ab a x a x a b x a x a a 同理，对三元线性方程组：111213212223313233a a a a a a a a a 三阶行列式112233122331132132132231122133112332a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++−−−仿照二阶行列式，引入三阶行列式：112233122331132132112332122133132231a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++−−−＋－333231232221131211a a a a a a a a a ＋＋－－aa aD 111111=问：（1）当a 为何值时，D ≠0（2）当a 为何值时，D =0【例1】设：解:aa aD 111111=311a a a a=++−−−显然：当a ≠1且a ≠-2时，D ≠0当a =1或a =-2时，D =0332a a =−+2(1)(2)a a =−+⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bx a x a x a bx a x a x a b x a x a x a 对三元线性方程组：0333231232221131211≠a a a a a a a a a 若：则方程组有唯一解，且唯一解为：333231232221131211332312222111211333323123222113121133331232211311123332312322211312113332323222131211,,a a a a a a a a a b a a b a a b a a x a a a a a a a a a a b a a b a a b a x a a a a a a a a a a a b a a b a a b x ===2、n 阶行列式nnn n n n a a a a a a a a a """""""212222111211称为n 阶行列式.a ij ———位于行列式中第i 行第j 列的元素.例如, a 32 ——位于行列式中第3行第2列的元素.定义：由n 2个数a ij (i , j =1、2、3…n )组成的符号二阶行列式其中{}{}211221=j j 为两项的代数和，每一项是行列式中不同行不同列的两个元素的乘积1112112212212122a a a a a a a a =−121212()12(1)j j j jj j a a τ=−∑121212()1122211212(1)j j j j j j a a a a a a τ=−=−∑112233122331132132132231122133112332a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++−−−111213212223313233a a a a a a a a a {}{123123,231,312,321,213,132j j j =三阶行列式六项的代数和，每一项是行列式中不同行不同列的三个元素的乘积123123123()123(1)j j j j j j j j j a a a τ=−∑123123123()123(1)j j j j j j j j j a a a τ=−∑{}123123123111213()212223123313233(1)j j j j j j j j j a a a a a a a a a a a a τ=−∑=不同行不同列的两个元素的乘积=不同行不同列的三个元素的乘积2！3！11122122a a a a {}121212()12(1)j j j j j j a a τ=−∑()()121212111212122212121n nnn j j j nj j nj j j j n n nna a a a a a a a a a a a τ=−∑""""""""""nj j j "21n 级排列(由1、2…n 组成，共n!个))(21n j j j "τn 级排列的逆序数n j j j "21nnj j j a a a "2121行列式中n 个不同行不同列的元素的乘积=n!项的代数和，每一项是行列式中不同行不同列的n 个元素的乘积nn nj j j j j j a a a ""212121)()1(τ−行列式的一般项：一般我们称()()nn nnj j j j j j j j j a a a """212121211τ∑−nnn n nna a a a a a a a a """""""212222111211为n 阶行列式的展开式。
第二节 n 阶行列式内容要点一、排列与逆序定义1 由自然数1,2,…,n 组成的不重复的每一种有确定次序的排列，称为一个n 级排列(简称为排列)。
例如，1234和4312都是4级排列，而24315是一个5级排列. 定义2 在一个n 级排列)(21n s t i i i i i 中，若数,s t i i > 则称数t i 与s i 构成一个逆序.一个n 级排列中逆序的总数称为该排列的逆序数, 记为).(21n i i i N根据上述定义,可按如下方法计算排列的逆序数:设在一个n 级排列n i i i 21中,比),,2,1(n t i t =大的且排在t i 前面的数由共有i t 个, 则i t 的逆序的个数为i t , 而该排列中所有自然数的逆序的个数之和就是这个排列的逆序数. 即.)(12121∑==+++=ni i n n t t t t i i i N定义3 逆序数为奇数的排列称为奇排列, 逆序数为偶数的排列称为偶排列.二、n 阶行列式的定义定义4 由2n个元素),,2,1,(n j i a ij =组成的记号nnn n n n a a a a a a a a a212222111211称为n 阶行列式, 其中横排称为行, 竖排称为列, 它表示所有取自不同行、不同列的n 个元素乘积nnj j j a a a 2121的代数和, 各项的符号是: 当该项各元素的行标按自然顺序排列后, 若对应的列标构成的排列是偶排列则取正号; 是奇排列则取负号. 即∑-=nn n j j j nj j j j j j N nnn n n n a a a a a a a a a a a a21212121)(212222111211)1(其中∑nj j j 21表示对所有n 级排列n j j j 21求和. 行列式有时也简记为det )(ij a 或||ij a ，这里数ija 称为元素，称 n n nj j j j j j N a a a 212121)()1(- 为行列式的一般项.注: (1) n 阶行列式是!n 项的代数和, 且冠以正号的项和冠以负号的项(不算元素本身所带的符号)各占一半;(2) nnj j j a a a 2121的符号为)(21)1(n j j jN-(不算元素本身所带的符号);(3) 一阶行列式 ,||a a =不要与绝对值记号相混淆.定理3 n 阶行列式也定义为∑-=n n j i j i j i sa a a D 2211)1(其中S 为行标与列标排列的逆序数之和. 即S=)()(2121n n j j j N i i i N ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅。
