《自动控制原理》第4章 线性系统的根轨迹法

69
4.5 广义根轨迹
1
2
2
2
0
( 0)
2 2 4
70
4.5 广义根轨迹
2. 根轨迹族
当系统有两个以上的参数变化时，绘制的根轨 迹称为根轨迹族。
71
4.5 广义根轨迹
绘制方法
1）选定一个参数为常数，另一个参数从0→∞ 绘制根轨迹；
关于第二个参数的 根轨迹
2）再改变第一个参数，重复绘制关于第二 个参数的根轨迹。
s3 1 2 0
s2 3 k* 0
s1
6 k*
3
s0
k*
k* 6 s j 2
38
方法二：
1
k*
0
j( j 1)( j 2)
(k * 32 ) j(2 3) 0
(k * 32 ) 0
(2
3
)
0
k* 6
2
39
Matlab仿真结果
40
法则八：闭环极点之和
当n m 2时：
j1 d p j
d 2.3
•分离角
d
2
54
G0 ( s)
s(s
k* 3)(s2
2s
2)
（6）根轨迹与虚轴的交点
闭环特征方程：s4 5s3 8s2 6s k* 0 s j
(4 82 k*) j(53 6) 0
0
k* 0
或k*
1.1 8.16
55
G0 ( s)
s(s
法则二：根轨迹的分支数，对称性和 连续性
• 根轨迹的分支数与开环有限零点数m和有限 极点数n中的大者相等，它们是连续的并且 对称于实轴。
22
法则三：根轨迹的渐近线(n>m)
• 当开环有限零点数m小于有限极点数n时， 有n-m条根轨迹分支沿着与实轴交点 ，
交角为 的一组渐近线，趋向无穷远处。
n
m
pi z j
k* 3)(s2
2s
2)
（7）确定复数极点的起始角
4
p1 (2k 1) pj p1
j2
71.6
p2 71.6
56
Matlab仿真结果
57
例3、单位负反馈系统开环传递函数
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
5)
绘制系统闭环根轨迹
58
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
5)
解： （1）开环零点：
根轨迹方程第二种形式： j1 n
1
(s pi )
i 1
1.幅值条件： 或
m
K * | s z j |
j 1 n
1
| s pi |
i 1
n
| s pi |
K*
i 1 m
| s zj |
j 1
作用：确定根轨迹上各点对应的K*值。
2.相角条件：
m
n
(s z j ) (s pi ) (2k 1)
第四章 线性系统的根轨迹法
中国石油大学自动化系
第三章 时域分析法
输入信号
系统传递函数
输出信号
分析：动态性能 稳定性 稳态性能
2
主要内容
4.1 根轨迹的基本概念 4.2 根轨迹方程 4.3 根轨迹的绘制法则 4.4 根轨迹绘制举例 4.5 广义根轨迹 4.6 系统性能分析 4.7 用Matlab绘制根轨迹
72
4.5 广义根轨迹
例2、单位负反馈系统开环传递函数
G0 ( s)
k* s(s
p)
绘制k*和p从0→∞的根轨迹
73
4.5 广义根轨迹
解：方法一：绘制关于p的根轨迹
G0 ( s)
k* s(s
p)
闭环特征方程：s2 ps k* 0
等效：1
ps s2 k*
0
74
4.5 广义根轨迹
根轨迹方程： ps s2 k*
k* s(s
p)
当k*=4时，绘制以p为参量的根轨迹
66
4.5 广义根轨迹
解:(1)k*=4,系统的开环传函
G0 ( s)
4 s(s
p)
闭环特征方程为 s2 ps 4 0
1
ps s2 4
0
67
4.5 广义根轨迹
开环传递函数
ps s2 4
(2)绘制p变化时的根轨迹
o 分支数、开环零点、开环极点 o 实轴根轨迹 o 渐近线 o 实轴上的分离点
c(t)
t
0
当K = 0.25 时
闭环特征根: 一对相等的实根 系统临界阻尼状态 系统对阶跃输入的动态响应过程
c(t)
t
0
当K > 0.25 时
闭环特征根：一对共轭复根 系统呈欠阻尼状态 系统对阶跃输入的响应过程
c(t)
1
0
t
4.2 根轨迹方程
14
R(s)
C(s)
G(s)
H(s)
系统的闭环传递函数为：
3
教学重点 根据系统的开环零极点绘制闭环根
轨迹； 通过根轨迹分析系统的性能。
4
4.1 根轨迹的基本概念
当K： 0→∞变化时，系统闭环特征根变化的规律。
R(s)
KK
C(s)
ss((0s.5s 11))
闭环特征方程为 s2+s+K=0
5
闭环特征根：s1
1 2
1 4K
1
2 ,s2 2
1 4K 2
K 0 0.1 0.25 0.5
…
∞
s1 0 -0.11 -0.5 -0.5+j0.5 … s2 -1 -0.89 -0.5 -0.5-j0.5 …
-0.5+j∞ -0.5-j∞
6
7
根轨迹的定义 根轨迹是指系统中某个参数由0→∞变 化时，闭环特征根在s 平面上变化的 曲线。
8
1948年，Evans提出根轨迹法： 1. 在[s]，由系统 开环传递函数绘出闭环
根轨迹。 2.根据闭环极点的分布对系统性能分析。
9
引例系统分析
• 稳定性分析
条件：闭环特征根都位于[s]的左半平面。
当开环增益K： 0→∞时，根轨迹均在[s]平面的 左半部，因此，系统对所有的K值都是稳定的。
• 动态分析 当0 ≤ K < 0.25时 闭环特征根：两个不等实根 系统呈过阻尼状态 系统对阶跃输入的动态响应过程
5)
（5）分离点与分离角
N(s) 1 N(s) 0
D(s) s2 (s 2)(s 5) D(s) 4s3 21s2 20s
N (s)D(s) N (s)D(s) 0
s1 0 s2 5 s3 4 4
•分离角
d
2
61
62
4.5 广义根轨迹
除了K*变化的常规根轨迹，其他情 况的根轨迹属于广义根轨迹。
j 1
j 1
ji
35
法则七：根轨迹与虚轴的交点
方法一：利用Routh表 ，出现全零行 方法二： 1+G(jw)H(jw)=0
令 实部=0 虚部=0
例题：
已知系统的开环传递函数为：
G(s)H(s)
K*
s(s 1)(s 2)
试求根轨迹与虚轴的交点。
37
解：方法一
特征方程： s3 3s2 2s k* 0
（2）实轴上的根轨迹 （3）根轨迹分支数
4
52
G0 ( s)
s(s
k* 3)(s2
2s
2)
（4）渐近线
4条
渐近线与实轴的夹角
a
4
3
4
3
4
4
渐近线与实轴的交点（σa ， 0）
4
pi
a
i 1
4
1.25
53
G0 ( s)
s(s
k* 3)(s2
2s
2)
（5）分离点与分离角
解析法：
4 1 0
2)
（4）渐近线
3条
渐近线与实轴的夹角
a
3
5
3
渐近线与实轴的交点（σa ， 0）
3
pi
a
i 1
3
6.67
47
（5）分离点与分离角
G0 ( s)
s3
k 20s2
50s
1
1
1
0
d d 10 5 2 d 10 5 2
d 2 20d 50 d 2 (10 5 2 )d d 2 (10 5 2 )d
0
k 0
或 5 2
k 1000
49
Matlab仿真结果
50
例2、单位负反馈系统开环传递函数
G0 ( s)
s(s
k* 3)(s2
2s
2)
绘制系统闭环根轨迹
51
G0 ( s)
s(s
k* 3)(s2
2s
2)
解： （1）开环零点： 开环极点：
p1 1 j p2 1 j p3 0 p4 3
求分离点？
31
法则六：根轨迹的起始角和终止角
起始角：离开开环复数极点的切线与正实轴的夹 角。
pi
终止角：进入开环复数零点的切线与正实轴的夹角。
zi
32
× P1
× P4
Z1
× P3
× P2
33
分析：
S1满足相角条件
(s1 z1) (s1 p1) (s1 p2) (s1 p3) (s1 p4)
d 3 20d 2 50d
0
3d 2 40d 50 0
d1 20 5 10 d 2 20 5 10 1.39
3
3
•分离角
d
2
48
G0 ( s)
s3
k 20s2
50s
（6）根轨迹与虚轴的交点
闭环特征方程：s3 20s2 50s k 0 s j
(k 202 ) j(50 3) 0
63
4.5 广义根轨迹
一、参数根轨迹
绘制根轨迹增益以外的其他参数变 化时的根轨迹称为参数根轨迹。
64
4.5 广义根轨迹
1、绘制参量根轨迹的方法
1) 写出闭环特征方程； 2) 转化为等效系统的开环传递函数； 3) 绘制等效系统的根轨迹。
65
4.5 广义根轨迹
例1、单位负反馈系统开环传递函数
G0 ( s)
G0 (s)
s3
k 20s2
50s
绘制系统闭环根轨迹
45
解：
G0 (s) s(s 10 5
k 2 )(s 10 5
2)
（1）开环零点： 开环极点： p1 0 p2 2.93 p3 17.07
（2）实轴上的根轨迹 （3）根轨迹分支数
3
46
G0 (s) s(s 10 5
k 2 )(s 10 5
(
s
)
1
G(s) G(s)H
(
s)
15
闭环特征方程： 1 G(s)H(s) 0
G(s)H (s) 1
根轨迹方程
16
将开环传函写成零极点形式：
m
G(s)H (s)
M (s) N (s)
K* (s zj )
j 1
n
(s pi )
i 1
K* ：开环(根轨迹)增益
m
K * (s z j )
开环极点与开环零点之间，可能存在。
28
分离点坐标
n
1
Leabharlann Baidu
m
1
i1 d pi j1 d z j
注：若无有限开环零点，令右端=0
29
2、分离角
分离角：根轨迹进入分离点的切线方向与 离开分离点的切线方向的夹角。
d
1 (2k l
1)
(k 0,1,,l 1)
l：进入分离点的分支数
例： 开环传函
G(s)H (s) K*(s 4) s(s 2)
a
i 1
j 1
nm
a
(2k 1)
nm
(k 0,1,，n m 1)
23
结论 渐近线以（σa，0）为出发点的一组射线； 射线条数是n-m,且均分360。
24
法则四：实轴上的根轨迹的分布
若s1右侧实轴上的开环零、极点数目之和 为奇数，则s1所在的区域是根轨迹。 找一测试点s1
25
例：已知单位负反馈系统开环传递函数
n
n
pi si const
i1
i1
根轨迹重心 当增益Ｋ变化， 某些闭环极点在Ｓ平面上向左移动时， 则必有另一些极点向右移动。
4.4 根轨迹绘制举例
42
一、典型开环零极点分布及闭环根轨迹 (P159 图4-15)
43
j
j
00
j 0
j
j
00
j
j
00
j j
00
j j
0
二、实例
例1、单位负反馈系统开环传递函数
s=-2 分离角=±90。 o 与虚轴的交点
68
4.5 广义根轨迹
根轨迹部分是个半圆,半径是 k *
证明：根轨迹上一点S满足相角条件
s (s j2) (s j2)
代入s j
( j) ( j( 2)) ( j( 2))
arctan arctan 2 arctan 2
1
根轨迹特征：半圆
半径： k*
负实轴
分离点： （ k*，0）
(2k 1)
4
p1 (2k 1) ( p1 z1) ( p1 pj )
j2 4
(2k 1) z1p1 pj p1 j2
34
起始角终止角计算公式
m
n
pi (2k 1) z j pi pj pi
j 1
j 1
ji
m
n
zi (2k 1) ( z jzi ) pjzi
开环极点：
p1 0 p2 0 p3 2 p4 5
（2）实轴上的根轨迹 （3）根轨迹分支数
4
59
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
5)
（4）渐近线
4条
渐近线与实轴的夹角
a
4
3
4
3
4
4
渐近线与实轴的交点（σa ， 0）
4
pi
a
i 1
4
1.75
60
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
j 1
i 1
结论：相角条件是确定[S]根轨迹的充要条件
说明：
此根轨迹方程决定的根轨迹称为常规根轨迹 （或180。根轨迹）
4.3 根轨迹的绘制法则
20
表示开环极点 表示开环零点 箭头 表示参数增加的方向
21
法则一：根轨迹的起点和终点
• 根轨迹起于开环极点，终于开环零点。
（有限零极点与无限零极点）
K* G(s)
s(s 2)(s 1)
26
法则五：根轨迹的分离点与分离角
分离点：几条根轨迹在[s]某一点相遇后又分开 的点。
说明有重根
27
实轴上的分离点（常见）
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环极点之间， 其中一个可以是无限极点，则在这两个极点之间至 少存在一个分离点；
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环零点之间， 其中一个可以是无限零点，则在这两个零点之间至 少存在一个分离点；