轴向拉压

例题2-2 试画出图示杆件的轴力图。
FR
F1=40kN F2=55kN F3=25kN
1
2
3
4
F4= 20kN
A1
B 2 C 3D 4 E
50
3、绘制轴力图。
20 10
5
由轴力图可看出
FN图(kN)
FNmax = FN2 = 50kN
FN1 = 10kN FN 2 = 50kN FN 3 = −5kN FN 4 = 20kN
∑ Fx = 0
FN 2 + F2 − F1 = 0
F4
FN 2 = F1 − F2 = −10kN
25 CD段 ∑ Fx = 0
FN 3 = F4 = 25kN
x
2、绘制轴力图。
例题2-2 试画出图示杆件的轴力图。
FR
F1=40kN F2=55kN F3=25kN
1
2
3
4
F4= 20kN
A1
B 2 C 3D 4 E
二、假设及判断： 平面假定：变形前的横截面，变形后仍为平面 且各横截面沿杆轴线作相对平移。 在横截面上只有线应变，没有切应变 直杆轴向拉压时，横截面上只产生正应力σ 纵向纤维变形相同
F
F
§2-3 横截面上的应力
应力的分布规律:
正应力σ在横截面上均匀分布 均匀材料、均匀变形，内力当然均匀分布。
§2-3 横截面上的应力
§2-2 轴力和轴力图
4、轴力图： 轴力沿杆件轴线变化的图形
当杆受多个力作用时，在杆的不同部分的横截面上 的轴力是不相同的，此时必须分段求轴力。同时，为了 形象地表示杆内轴力随横截面位置的变化情况，通常将 其绘成轴力图。
具体做法是：以杆的左端为坐标原点，取x轴为横坐 标轴，称为基线，x坐标代表横截面位置；取FN轴为纵标 轴，其值代表对应横截面上的轴力值，正值绘制在x轴上 方，负值在下方。
三、正应力计算公式：
dFN = σ ⋅ dA
∫ ∫ FN =
σ ⋅ dA = σ
A
dA = σ A
A
σ = FN A
A──横截面面积
单位： N = Pa m2
N mm2
=
MPa
§2-3 横截面上的应力
σ = FN A
正应力的符号规定——同轴力 σ > 0 拉应力为正值，方向背离所在截面。 σ < 0 压应力为负值，方向指向所在截面。
4P、P 的力，方向如图，试画出杆的轴力图。
OA
BC
D
FA
FB
FC
FD
FN1
A
BC
D
FA
FB
FC
FD
解： 求OA段内力FN1：
∑ Fx = 0 FN1 − FA + FB − FC − FD = 0
FN1 − 5P + 8P − 4P − P = 0 FN1 = 2P
同理，求得AB、 FN2 BC、CD段内力分 别为：
§2-2 轴力和轴力图
注意： 在求解轴力时，宜将轴力事先假定为拉力
（正），这样答案前的正负号既表明了所设轴力的 方向是否正确，也符合轴力的正负号的规定
——拉正压负。 事实上，这一事先假定轴力为正方向的原则具
有普遍适用性。对于其它形式的内力，无论是对于 扭矩、剪力还是弯矩同样适用。
例题2-3 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、
A 1
45°
C
2
FN1
y
FN 2 45° B
F
FN1 = 28.3kN FN 2 = −20kN 2、计算各杆件的应力。
B
σ1
=
FN1 A1
=
π
28.3×103 × 202 ×10−6
=
4
F
90×106 Pa = 90MPa
x
σ2
=
FN 2 A2
=
− 20×103 152 ×10−6
=
− 89×106 Pa = −89MPa
始长度，即得到单位伸长 。用 表示，无量纲， 为代数量。正负号规定：拉正压负。
ε = Δl l
Δl = FN l EA
σ = Eε ——胡克定律
σ = FN A
F
பைடு நூலகம்
d1
d
F
l
F
F
l1
§2-5 拉压杆的变形
横向线应变：用 ε 1表示。
ε1
=
Δd d
F
d1
d
F
l
l1
Δd = d1 − d
● 横向变形系数 在弹性范围内有：
解：1、取整体求FR
BC段
∑ Fx = 0 F4 − F3 + F2 − F1 − FR = 0
FR A
F1=40kN B
FN2
FR = 10kN
∑ Fx = 0 FN 2 − F1 − FR = 0
2、计算各段的轴力
AB段
FR
FN1
∑ Fx = 0 FN1 = FR = 10kN
FN 2 = 50kN FN3 = −5kN FN 4 = 20kN
FN2= –3P FN3= 5P FN4= P
轴力图: FN
2P + – 3P
BC
FB
FC
FN3
C
FC FN4
5P
+
P
D FD
D FD D
FD
x
§2-3 横截面上的应力
在已知横截面上的内力后，要求出其上的应力， 需要解决三个方面的问题：
1）横截面上各点处产生何种应力 （正应力或切应力）；
2）应力在横截面上的分布规律； 3）各点处应力的数值（计算公式）。
§2-4 斜截面上的应力
§2-5 拉压杆的变形
n
符号规定：
k
一、轴向拉压杆的变形
⑴ α：斜截面外法线与 x 轴的夹角。 F
α x
绝对改变量：
F
d1
d
F
由 x 轴逆时针转到斜截面外法线
——α 为正值； 由 x 轴顺时针转到斜截面外法线 F
——α 为负值
α
k
k pα
σα α pα
α
τα
k
l
Δl = l1 − l
∑ Fy = 0 FN1 sin 45o − F = 0
x
FN1 = 28.3kN
∑ Fx = 0
FN1 cos 45o + FN 2 = 0
FN 2 = −20kN
例题2-4
图示结构，试求杆件AB、CB的应力。已知 F=20kN；斜 杆AB为直径20mm的圆截面杆，水平杆CB为15×15mm的方 截面杆。
ε A — 原始横截面面积 σ — 名义应力 l — 原始标距 ε — 名义应变
§2-6 材料在拉伸、压缩时的力学性质
σ
σe σP
b a c σs
α o
E — 线段oa的斜率 E = σ = tanα ε
e
（1）强度性质
σ b f 拉伸过程四个阶段的变
形特征及应力特征：
Ⅰ、弹性阶段ob:
此阶段试件变形完全是弹性 的，且ob段σ 与ε 成线性关系 ε
FN
x
例题2-1
已知F1=10kN；F2=20kN； F3=35kN；F4=25kN; 试画出图示杆件的轴力图。
A
F1 F1 F1
FN (kN)
1 B 2 C 3D
解：1、计算各段的轴力。
1 F2
2 F3 3
FN1
FN2
F2 FN3
10
10
∑ F4 AB段
Fx = 0
BC段
FN1 = F1 = 10kN
k A α Aα
pα
= FN cosα A
= σ cosα
式中: σ = FN ，为横截面上的应力
A
§2-4 斜截面上的应力
k
斜截面上全应力： pα = σ cosα F
F
⎧⎪σα = pα cosα = σ cos2 α
⎨ ⎪⎩τα
=
pα
sin α
=
1σ 2
sin 2α
F
反映：通过构件上一点不同方向截面上
第二章 轴向拉伸和压缩
§2-1 轴向拉伸、压缩及工程实例
§2-1 轴向拉伸、压缩及工程实例
§2-1 轴向拉伸、压缩及工程实例
§2-1 轴向拉伸、压缩及工程实例
§2-1 轴向拉伸、压缩及工程实例
受力特点：外力合力的作用线与杆件轴线重合 变形特点：杆件沿轴线方向伸长或缩短
拉伸
F
FF
压缩 F
§2-2 轴力和轴力图
FN
FN = F
F
由于外力的作用线与 杆件的轴线重合，内力的 作用线也与杆件的轴线重 F 合。所以称为轴力。
§2-2 轴力和轴力图
3、轴力正负号：拉为正、压为负
FN
FN FN>0
（方向背离所在截面）
FN
FN FN<0 （方向指向所在截面）
§2-2 轴力和轴力图
F
F
FN F
+
x
5、轴力图的意义 ① 直观反映轴力与截面位置变化的关系； ② 确定出最大轴力的数值及其所在位置， 即确定危险截面位置，为强度计算提供依据。
m
F
F
m
F
FN
FN
F
∑ Fx = 0 FN − F = 0
FN = F
1、轴力：横截面上的内力
2、截面法求轴力
截开: 假想沿m-m横截面将 杆截开；
代替:留下左半段或右半 段，将抛掉部分对留下部分 的作用用内力代替；