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九年级浙教版圆心角PPT课件

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3.4 第2课时圆心角(2) 浙教版数学九年级上册课件

3.4 第2课时圆心角(2) 浙教版数学九年级上册课件
第2课时 圆心角(2)
学习目标 ➢ 经历探索圆心角定理的逆定理的过程，掌握“在同圆或
等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心 距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相 等”这一圆的性质；
➢ 会运用关于圆心角、弧、弦、弦心距之间相互关系的定 理解决简单的几何问题.
复习回顾
圆心角定理
同理，△COD是等边三角形.
A
∴OB=OC=BD=CD，即四边形BDCO是菱形.
O
B PC D
例题讲解
证明：连结OD，OE. ∵OA=OD， ∴△AOD是等边三角形. ∴∠AOD=60°.
C
DE
· A
B
O
例题讲解
=180°-60°-60°=60°， (根据什么？)
C
DE
· A
B
O
随堂练习 1.下列说法中正确的是( C ) ①圆心角是顶点在圆心的角； ②两个圆心角相等，它们所对的弦相等； ③两条弦相等，圆心到这两弦的距离相等； ④在等圆中，圆心角不变，所对的弦也不变．
相等. 如右图， ∠AOB=∠COD
AB=CD OE=OF
A
E
B
· O ·
D
F C
例题讲解
解：四边形BDCO是菱形.证明如下：
A
∵AB=BC=CA，
O
∴∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，
B
∴∠BOD=180°-∠AOB=180°-120°=60°.
PC D
例题讲解
又∵OB=OD，
∴△BOD是等边三角形.
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、 两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余量都 相等.
感谢观看！

浙教版数学九年级上册3.4圆心角(共16张PPT)

浙教版数学九年级上册3.4圆心角(共16张PPT)
求证：AB=CD.
分析： 联想到“角平分线的性质”，作弦心距OM、ON，
要证AB=CD ，只需证OM=ON.
证明: 作OM AB , ON CD , 垂足分别为M 、 N .
MPO NPO
OM AB ON CD
OM=ON P
AB=CD. BE
. A M O
C ND F
思考：
如图，P点在圆上，PB=PD吗？ P点在圆内，AB=CD吗？
┐
①
②
┐
③
④
由上分析，任意给圆心角，对应出现
四个量：
弧
圆心角
弦 弦心距
也就是在图2 中研究不同的圆
心角 AOB 、AOB ，以及它们 所对的弧 AB 、AB , 弦AB 、AB , 弦的弦心距 OM、OM 之间的关
系。
猜 想：
图2
1. 若AOB AOB,则AB ? AB， AB ? AB , OM ?OM .
圆心角定理 : 在同圆或等圆中，相等的圆心角 所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心 距相等。
已知：如图5, ∠AOB = ∠A'OB' , OM、 求证： AB=A'B' , AB= A'B' , OM=OM'
证明：将∠AOB连同AB绕圆心O旋转，
2 .若AOB AOB ,情况又如?何
圆的旋转不变性：
圆绕圆心旋转任意角α，都能 够与原来的圆重合。
注： α=180O 旋转， 说明圆是以圆心为对称中 心的中心对称图形。
图3
将∠AOB连同AB绕圆心O旋转，
使射线OA与射线OA' 重合 , 则：
1 . 射线OB与射线OB'重合吗? 为什么?

九年级数学上册 第3章 圆的基本性质 3.4 圆心角课件浙教版

九年级数学上册 第3章 圆的基本性质 3.4 圆心角课件浙教版

弦相等，所对的弦的弦 心距相等.
使射线OA与射线OA' 重合 .
A O B AO B
O B 与 O B 重 合
O A O A , O B O B
A与 A 重 合 , B 与 B 重 合
A B A B , A B A B
又根据弦心距的唯一性，得OM=OM′
例1 如图，AC与BD为⊙O的两条互 相垂直的直径. 求证：A⌒B=B⌒C=C⌒D=D⌒A;
2. 若把圆5等分,那么每一份弧是多少度?若把圆 8等分,那么每 一份弧是多少度?
2、如图:⊙Ｏ的直径AB垂直于弦CD,
AB与CD相交于点E，
∠COD＝1000，求BC,AD的度数
解:∵OC=OD,OE⊥CD
A ∴∠1= ∠2
∵∠COD=1000
C
O
12 E
D
∴∴∠B1⌒C==∠520=0500 B⌒D=500 ∴A⌒D=AD⌒B-B⌒D
这样,1º的圆心角对着1º的弧, 1º的弧对着1º的圆心角. n º的圆心角对着nº的弧, n º的弧对着nº的圆心角.
性质:弧的度数和它所对圆心角的度数相等.
n°弧 n° 1°
1°弧
1. 在半径相等的⊙O和⊙O´ 中,A⌒B和 A⌒´B´所对的圆心角都是60°.
(1)⌒AB和 A⌒´B´各是多少度? (2)A⌒B和 A⌒´B´相等吗?
1 . 射线OB与射线OB'重合吗?为什么?
2 . 点A与A' ，点B与B'重合吗？ 为什么？
3 . AB与A' B' ,弦AB与弦A' B'重合吗？为什么？
4 . OM 与OM' 呢？为什么？
于是，若∠AOB = ∠A'OB'， 则 AB=A'B'， AB= A'B'，OM=OM' .

九年级数学上册第三章圆的基本性质3.4圆心角①课件新版浙教版

九年级数学上册第三章圆的基本性质3.4圆心角①课件新版浙教版
3.4 圆心角①
教学目标：
1.经历探索圆的中心对称性和旋转不变性的过程.
2.理解圆心角的概念，并掌握“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相 等，所对的弦也相等”的定理（圆心角定理）.
3.体验利用旋转变换来研究圆的性质的思想方法.
重难点：
●本节教学的重点是圆心角定理.
●根据圆的旋转不变性推出圆心角定理，需用到图形的旋转，是本节教学 的难点.
问题：度数相等的弧相等吗?长度相等的弧相等吗?
注意：弧既有度数又有长度!
如图，在⊙O 中，∠AOB＝135°.求 ，»A B 的度¼ A 数C B .
»A B =135° ¼ A C B =225°.
2.任意画两个半径不相等的圆，然后在每一 个圆上任意取一段90°的弧.这两段弧的度数 相等吗？能说这两段弧相等吗？为什么？
2.已知：如图，A，B，C，D是⊙O上的点，∠1＝∠2.求证： AC＝BD.
• 证明: • ∵ ∠1＝∠2， • ∴ ∠1+∠BOC=∠BOC+∠2， • 即 ∠AOC=∠BOD. • ∴ AC=BD • （在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等).
（第2题）
B» C ¼A D
B» C 的度数为50° ¼A D 的度数为130°.
∵ OE⊥AB，
AEBE1AB（根据是什么 . ？）
2
同理 O ， F D， C 由 D 得 F C F 1C.D
图3-29
2
∴ AE=DF. 又∵ OA=OD,
∴ Rt△AOE≌Rt△DOF,
∴ OE=OF.
1.已知：如图，∠1＝∠2. 求证： ¼A C＝ B» D.
•证明： ∵∠1＝∠2，
•度数相等，但不能说这两段弧相等，因为 这两段弧不能重合.

九年级数学上册 3.4 圆心角课件 (新版)浙教版

九年级数学上册 3.4 圆心角课件 (新版)浙教版

的。
第二页，共16页。
B
M A
O
图1
1、判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明(shuōmíng)理由。
①
②
③
第三页，共16页。
④
2、下列(xiàliè)图中弦心距做对了的是（ ）
┐
①
②
┐
③
④
第四页，共16页。
由上分析，任意(rènyì)给圆心角，对应出 四个量：
弧 圆心角
弦 弦心距
第五页，共16页。
2 . 点A与A' ，点B与B' 重合(chónghé)吗？ 为什么？
图4
3 . AB与A' B' ,弦AB与弦A' B'重合吗？为什么？
4 . OM 与OM' 呢？为什么？
于是，若∠AOB = ∠A'OB' ， 则 AB=A'B' , AB= A'B' , OM=OM' .
第八页，共16页。
如图，⊙O 和⊙O' 是等圆， 如果(rúguǒ) ∠AOB= ∠ A'O'B' 那么 AB=A'B' 、AB= A'B' 、OM=O'M', 为什么？
第十一页，共16页。
在同圆或等圆中 那么 如果(rúguǒ)圆心角相等
圆心角所对的弧相等 圆心角所对的弦相等
圆心角所对的弦的弦心距相等
第十二页，共16页。
在同圆或等圆中 如果弧相等
在同圆或等圆中 如果弦相等
在同圆或等圆中 如果弦心距相等
那么
弧所对的圆心角相等 弧所对的弦相等 弧所对的弦的弦心距相等

3.4.2 圆心角定理的推论 课件(共16张PPT)2023-2024学年浙教版九年级上册数学

3.4.2 圆心角定理的推论 课件(共16张PPT)2023-2024学年浙教版九年级上册数学
Ⴃ
∴ 的度数是120°.
D
A C
E
B
O
F
1．如图，A，B，C，D是⊙O上的点，AB＝CD，
下列结论错误的是( C )
A．∠AOB＝∠COD
B．∠AOC＝∠BOD
︵ ︵
C. AC＝BC
︵ ︵
D. AC＝BD
2．【2024·温州月考】如图，AB是⊙O的直径，
︵
︵ ︵
BC＝CD＝DE，∠AOE＝78°，则∠COB的度数是
AB=CD
OE=OF
Ⴃ Ⴃ

= .
E
A
B
·
O·
F
C
D
要点提醒
应用圆心角定理时应注意：
①“_________________”是前提；
在同圆或等圆中
②弦所对的弧有两条；
③互相重合的弧是等弧，等弧隐含着“在同圆或等圆中”
的前提．
例1 如图，等边三角形ABC内接于⊙O，连结OA，OB，OC，延
34°
________．
︵ ︵
3．如图，已知AD＝BC，若AB＝3，则CD的长是( C )
A．1.5
B．2.5
C．3
D．6
圆心角定理的推论
在同圆或等圆中：知一求三
两个圆心角
两条弦
两条弧
两个弦心距
同理，△COD是等边三角形.
∴OB=OC=BD=CD，即四边形BDCO是菱形.
O
B
P
D
C
例2 已知：如图，△ABC是等边三角形，以AB为直径的⊙O分别
Ⴃ
Ⴃ
Ⴃ
交AC，BC于点D，E.求证： = = .
证明：连结OD，OE.

3.3 圆心角 课件1(数学浙教版九年级上册)

z```x```xk
A O E C B D
说能出你这节课的收获和体验让大家
与你分享吗？
D
C
2 1
O
B AΒιβλιοθήκη z```xxkOO
例1: 已知:如图,A,B,C,D是⊙O上的点，∠1=∠2。 求证：AC=BD
例2：把⊙O等分
做一做： ⌒的 1、如图,在⊙O中,AB为直径，∠BAC=400,则AC 0 0 ⌒ 度数为_______ ， BC 的度数为 _______ 80 100
A C O B
例3：如图, ⊙O的直径垂直于弦CD，AB，CD相交 于点E，∠COD=1000,求⌒ BC，⌒ AD的度数。
1、圆即是轴对称图形，又是中心对称图形。 2、顶点在圆心的角叫做圆心角。 做一做:判别下列各图中的角是不是圆心角，并
说明理由。
①
②
③
④
生活中的很多实物给我们以圆心角的直观感受
在同圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.
在同圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等. 在等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相 等.

浙教版九年级数学上册课件：3.4圆心角 (共18张PPT)

A 圆心角定理
B
在⊙O中，
O
若圆心角∠AOB=∠COD，则
C
AB=CD， AB=CD。
D
2020/5/17
圆心角定理
在同圆或等圆中，
相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等
。
A
【注意】：
B
1.去掉“在同圆或等圆中”结论不一定成
O
立。
C
D
O
2 .要证弧（弦）相等，只需证它们所对的圆心角相
等即可。
A
B
C
D
2020/5/17
弧的度数的定义
我们把1º的圆心角所对的弧叫做1º的弧.
性质：弧的度数和它所对圆心角的度数相等.
60°的弧
60°
2020/5/17
【概括】在同圆中，把圆周角等分成360份，则每一
份的圆心角的度数是 1º 。因为相等的圆心角所对的 弧 相等 ，所以每一份的圆心角所对的弧也 相等 。
∴ ⊿ABC是等边三角形 , AB=BC=CA.
·O 60° C
∴、如图，AB是⊙O 的直径， BC = CD = DE ∠COD=35°，求∠AOE 的度数．
解：
E
D
∵ BC = CD = DE
C
B O C = C O D = D O E = 3 5 o
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？ 为什么？
OE﹦OF
2020/5/17
A
E
B
O·
D
F C
1 如图，在⊙O中， AB⌒=AC⌒,∠ACB=60°,
求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC
A
证明：
∵ AB = AC

新浙教版九年级上册初中数学 3.4 圆心角 教学课件

第四页，共二十二页。
新课讲解
知识点1 圆心角
顶点在圆心的角,叫圆心角，
如AOB, 圆心角 AOB 所对
的弧为 AB，所对的弦为AB；
过点O作弦AB的垂线, 垂足 为M, 则垂线段OM的长度,即圆 心到弦的距离，叫弦心距 , 图1 中，OM为AB弦的弦心距。
OM是唯一的。
第五页，共二十二页。
B
M
A
O
又根据弦心距的唯一性，得OM=OM′
第十三页，共二十二页。
新课讲解
条件 在同圆或等圆中 如果圆心角相等
那么
结论
圆心角所对的弧相等
圆心角所对的弦相等 圆心角所对的弦的弦心距相等
在同圆或等圆中 那么 如果弧相等
弧所对的圆心角相等 弧所对的弦相等 弧所对的弦的弦心距相等
第十四页，共二十二页。
新课讲解
条件
分别是弦 AB、弦 A'B' 的弦心距. 求证： AB=A'B' , AB= A'B' , OM=OM'
第十二页，共二十二页。
图5
新课讲解
证明：将∠AOB连同AB绕圆心O旋转，
使射线OA与射线OA' 重合 .
AOB AOB， OB与 OB重合. OA OA,OB OB， A与 A重 合 ,B与 B重合. AB AB, AB AB.
A．60C° B．90° C．120° D．180°
第二十一页，共二十二页。
拓展与延伸
已知：如图，在⊙O中，∠AOD＝∠BOC.求证：AB＝CD. 证明：∵∠AOD＝∠BOC，∴∠AOD－∠AOC＝∠BOC－ ∠AOC，即∠AOB＝∠COD.∴AB＝CD
第二十二页，共二十二页。

3.4 圆心角(2)浙教版数学九年级上册课件

（2）如果要把直径为30cm的圆柱形原木锯成一根横截面为正方 形的木材，并使截面尽可能地大，应怎样锯？最大横截面面积是 多少？
Ｄ
Ｃ
Ｏ
Ｄ
Ｃ
Ｏ
Ａ
Ｂ
Ａ
Ｂ
小结
圆心角定理的逆定理:
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条 弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所 对应的其余的各组量都分别相等.
∠AOB=∠COD AB=CD OE=OF AB=CD 圆心角 弦 弦心距 弧
以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点
D，E.
Ｄ
E
求证： AD=DE=EB
Ａ
ＯＢLeabharlann 练一练已知：如图，在⊙Ｏ中，弦AB＝CD．
求证：AD＝BC
Ｄ
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｏ·
拓展提高
在一根轴的正中位置打一个正三角形孔，正三角形 的边长为15cm，AB长为5cm.求这根轴的直径.
拓展提高
（1）如图，顺次连结⊙O的两条直径AC和BD的端点，所得的四 边形是什么特殊四边形？
OE=OF
∠AOB=∠COD AB=CD AB=CD
A EB
o
C F D
探究新知 圆心角定理的逆定理 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两 条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它 们所对应的其余的各组量都分别相等.
A EB
o
C F
D
做一做
1.已知：如图，AB、CD是⊙O的两条弦，OE、OF为AB、 CD的弦心距，填空：
O_E__=_O_F_ ,_A_B_=_C__D , A_⌒_B_=_C_⌒D_.
E
Ｄ
Ａ
ＯF
Ｃ
例题讲解
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n º的圆心角对着nº的弧,
n º的弧对着nº的圆心角.
性质:弧的度数和它所对圆心角的度数相等.
2020年10月2日
39
1. 在半径相等的⊙O和⊙O´ 中,A⌒B和 A⌒´B´所对的
圆心角都是60°.
(1)A⌒B和 A⌒´B´各是多少度? (2)A⌒B和 A⌒´B´相等吗?
2. 若把圆5等分,那么每一份弧是多少度?若把圆 8等分,那么每一份弧是多少度?
180°
所以圆是中心对称图形. 圆心就是它的对称中心.
2020年10月2日
13
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度， N O
2020年10月2日
14
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，
N' N
O
2020年10月2日
15
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度， N'
N
O
2020年10月2日
A
如图：
∠AOB=∠COD
B
2020年10月2日
o
C
D 23
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
A
如图：
∠AOB=∠COD
B
2020年10月2日
o
C
D 24
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
A
如图：
∠AOB=∠COD
B
2020年10月2日
o
C
D 25
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
A
如图：
∠AOB=∠COD
B
2020年10月2日
o
C
D 32
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
A
如图：
∠AOB=∠COD
B
2020年10月2日
o
C
D 33
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
A
如图：
∠AOB=∠COD
B
2020年10月2日
o
C
D 34
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
想一想:如何用直尺和圆规把⊙Ｏ八等分?
2020年10月2日
38
我们把顶点在圆心的周角等分成360份,则 n°弧 每一份的圆心角是1º.因为在同圆或等圆
中，相等的圆心角所对的弧相等，所以整
个圆也被等分成360份.我们把每一份这样
n°
的弧叫做1º的弧.
这样,1º的圆心角对着1º的弧,
1°
1°弧
1º的弧对着1º的圆心角.
A
如图：
∠AOB=∠COD
B
2020年10月2日
o
C
D 26
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
A
如图：
∠AOB=∠COD
B
2020年10月2日
o
C
D 27
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
A如图：ຫໍສະໝຸດ ∠AOB=∠CODB
2020年10月2日
o
C
D 28
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90º
∴
⌒⌒ ⌒ ⌒ AB=BC=CD=DA
AB=BC=CD=DA(圆心角定理 )
2020年10月2日
37
例2: 用直尺和圆规把⊙Ｏ四等分． C
作法：
１、作⊙Ｏ的直径ＡＢ.
AＯ
B
２、过点Ｏ作ＣＤ⊥ＡＢ，
D
交⊙Ｏ于点Ｃ和点Ｄ.
∴点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ就把⊙Ｏ四等分.
A
如图：
∠AOB=∠COD
B
2020年10月2日
o
C
D 35
∵OA=OC ，OB=OD，
∠AOB=∠COD,
∴ 当点A与点C重合时，
点B与点D也重合。
∴ AB=CD， ⌒⌒
∴ AB = CD。
弦AB和弦ＣＤ 对应的弦心距 有什么关系？
A Ｅ B
o
C Ｆ D
圆心角定理：在同圆或等圆中， 相等的圆心角所对的弧相等，
A
如图：
∠AOB=∠COD
B
2020年10月2日
o
C
D 29
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
A
如图：
∠AOB=∠COD
B
2020年10月2日
o
C
D 30
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
A
如图：
∠AOB=∠COD
B
2020年10月2日
o
C
D 31
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
16
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度， N'
N
O
2020年10月2日
17
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度， N'
N
O
2020年10月2日
18
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度， 由此可以看出，点N'仍落在圆上。
N' N
O
2把020圆年10绕月2圆日 心旋转任意一个角度后，仍与原来的圆重合。19
2020年10月2日
5
圆绕圆心旋转
2020年10月2日
6
圆绕圆心旋转
2020年10月2日
7
圆绕圆心旋转
2020年10月2日
8
圆绕圆心旋转
2020年10月2日
9
圆绕圆心旋转
2020年10月2日
10
圆绕圆心旋转
2020年10月2日
11
圆绕圆心旋转
2020年10月2日
12
圆绕圆心旋转180°后仍与原来的圆 重合。
定义：顶点在圆心的角叫做圆心角． N'
N
O
如2020图年10中月2日所示， ∠NON '就是一个圆心角。
20
判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。
①
②
③
④
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系
如图：
A
∠AOB=∠COD
B
2020年10月2日
o C
D 22
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等。
2020年10月2日
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例1 如图，AC与BD为⊙O的两条互
相垂直的直径.
求证：A⌒B=B⌒C=C⌒D=D⌒A;
B
A
O
D
AB=BC=CD=DA.
C
分析：要想证明在圆里面有关弧、弦相等，根据这节课所学
的圆心角定理，应先证明什么相等？
证明: ∵AC与BD为⊙O的两条互相垂直的直径,
垂径定理: 垂直于弦的直径平分弦,并且平分
弦所对的弧.
逆定理1: （不是直径）的直径垂直于弦, 并且平
分弦所对的弧.
逆定理2: 平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.
2020年10月2日
1
2020年10月2日
2
圆绕圆心旋转
A
.
B
O
2020年10月2日
3
圆绕圆心旋转
2020年10月2日
4
圆绕圆心旋转
做课本P70课内练习
2020年10月2日
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