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卡平方测验

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第七章 卡平方测验

第七章 卡平方测验


多个样本方差是否来自同一总体方差的统计测验
若总共有k个样本，第i个样本的样本方差si2来自总体方 差i2。想了解这k个总体方差之间是否有显著差异。
第二节 2在方差同质性测验中的应用
如果是大样本，计算出的2值可利用正态分布转为u 一个样本方差与已知总体方差的统计测验 值，直接与u比较，做出推断。即： 1.针对研究的问题提出一对统计假设。 u H : 2 = 2vvs 1 H : 2 ≠ 2 22 2 两尾测验时 0 0 A 0 (大端)一尾测验时 H0: 2 ≤ 02 vs HA: 2 ＞ 02 (小端)一尾测验时 H0: 2 ≥ 02 vs HA: 2 ＜ 02 2.利用试验数据计算一个统计量的值。 ( n 1) s 2 用df=n－1查2分布表。 2 计算统计量： 02 3.根据“小概率事件实际上不可能发生”原理作判断。
第二节 2在方差同质性测验中的应用
2 i 多个样本方差是否来自同一总体方差的统计测验 若总共有k个样本，第i个样本的样本方差si2来自总体方 5.077671 96.47574 1 160.4 19 3047.6 差i2。想了解这k个总体方差之间是否有显著差异。 4.782479 90.8671 2 119.4 19 2268.6 1.针对研究的问题提出一对统计假设。 2 vs 84.5662 3H0:85.72 =19 22 1628.3= 4.450853 A: 并非都相等 1 = … H k 用df=k－1查2分布表。 2.利用试验数据计算一个统计量的值。 4.837075 91.90443 4 126.1 19 2395.9 k 1 k 2 2 2 19.14808 ) 计算统计量： 9340.4 dfi ) ln s p (dfi ln si363.8135 76 (
第5章-卡平方测验

第5章-卡平方测验


花色 F2代实际株数（O） 理论株数（E）
白色
192
187.5
黄皮
58
62.5
总数
250
250
O－E 4.5 -4.5
1.提出假设:观察次数与理论次数的差异由抽样误 差所引起，即H0:F2代南瓜果皮色泽分离符合 3:1比率，对备择假设HA：不符合3:1。
2.确定显著水平： 0.0,50.01
184
175
.3

1 2

50

41 .3

1
2

2
2
175 .3
41 .3
200
208 .7

1 2

2 4 .267
208 .7
当df=1时，(20.05,1) 3.84，(20.01,1) 6.63
由于 2 0 .0,1 5 3 .8 4 c 2 4 .2 62 0 7 .0,1 1 6 .63
效假设或否定无效假设。
第二节 适合性测验
一、适合性 2 测验的方法
适合性测验是指测验观察的实际次数与某种 理论或需要预期的理论次数是否相符合。
例1：某项试验观察淀粉质与非淀粉质玉米杂 交的F1代花粉粒，经碘处理后有3437粒呈 蓝色反映，3482粒呈非蓝色反映。如果属于 1对等位基因控制的遗传性状，F1代花粉粒 碘反映的理论比例应该是1:1，问其遗传性 状是否符合1对等位基因控制的遗传规律。
将本例数据代入上式
26200184504602 460
c2
2 76384210250
4.267
2. 2XC表的独立性测验
2XC表是指横行分为两组，纵列分为 C大于等于3组，因为df=(r-1)(c-1) ≥ 2，因此可以不做连续性的矫正。
五、卡平方测验

五、卡平方测验


F2代红花与白花的理论比例为3：1
于是将各差数平方除以相应的理 论次数再相加，记为 论次数再相加，记为χ2，即：
(O − E ) 2 χ2 = ∑ E
故χ2是度量实际观察次数与理论次数 偏离程度的一个统计量， 越小， 偏离程度的一个统计量，χ2越小，表明实 际观察次数与理论次数越接近； χ2=0， 际观察次数与理论次数越接近 ； ， 表示二者完全吻合； 越大， 表示二者完全吻合；χ2越大，表示二者相 差越大。 差越大。
各种自由度下右尾概率取α的临界
χα，df值列于附表4，供测验时查用。 值列于附表4 供测验时查用。
例如， 例如， df=10， α=0.05， ， ，
χ20.05，10=18.31，表示 0.05， =18.31，
P( χ2 > 18.31)=0.05 图5.2)。 )=0.05(图 。 )=0.05
2×2表的独立性测验 × 表的独立性测验
H0:种子灭菌与散黑穗病发病无关， 种子灭菌与散黑穗病发病无关， 种子灭菌与散黑穗病发病无关 HA:种子灭菌与散黑穗病发病有关 种子灭菌与散黑穗病发病有关 显著水平 α=0.05 。
E11=460×(76/460)×(210/460)=34.7 × × 同理，O12=184相应的理论次数为 同理， 相应的理论次数为 E12=460×(384/460)×(210/460)=175.3 × × O21=50相应的理论次数为 相应的理论次数为 E21=460×(76/460)×(250/460)=41.3 × × O22=200相应的理论次数为 相应的理论次数为 E22=460×(384/460)×(250/460)=208.7 × ×
( x i − x ) 2 = ( n − 1) S 2
卡平方测验

卡平方测验

卡平方测验
实验目的
1.以提供的数据练习计算x2值，并测定其是否近似理论假设的期望比值。

2.依据相应自由度，检验计算所得x2值。

3.熟练掌握x2值的计算和利用x2值评估实验结果
实验原理
卡平方（x2）测验的目的是以吻合度断定所获得的资料与理论上期望的比值是否满足或近似,也就是x2测验可以测定所得数据是否偏离吻合概率。

显然，如果偏差小是因为偶然机会，偏差大则不是出于偶然机会。

卡平方x2测验试图为我们解决这个问题：“骗差小到何种程度才可以认为只是出于偶然机会。

”卡平方x2值的公式如下：
x2 =∑（O-E）2/E
这里的o是特定表现型个体的观察数目；E是这一表现型在理论上期望的数目；∑是各种表现型（O-E）2/E的累加值。

例如，高茎番茄和矮茎番茄杂交，F1全为高茎，F2有102株高茎和44株矮茎。

这些资料是否符合3:1的概率？回答这个问题必须计算x2值，把计算过程综合整理于表2-1。

2
计算所得的x值为2.0548，x值意味着什么呢？如果实际观察值（O）精确等于理论期望值（E），x2值为 0，是一个完满的好适度。

于是x2值小，表明观察结果接近期望比率；x2值大，表明观察结果与期望比率存在明显差异。

一般统计学家把P=1/20或P=0.05定为显著水平。

当两组变数自由度为1时，卡平方x2值为3.841的概率是0,05，观察值与期望值相抵触。

在刚才的实例中x2=2.0548，它小于允许最大值x2 =3.841，P>0.05。

因而可以认为偏差只是偶然机会，实验数据符合3：1的概率的假设。

卡平方检验

卡平方检验


观测值 Oi 4 36 129 188 211 176 142 80 30 4 1000
编码 Vi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
V i2 0 1 4 9 16 564 844 880 852 560 240 36 4270
Oi*Vi2 0 36 516 1692 3376 4400 5112 3920 1920 324 21296
当样本的方差等于理论平均数时: 即 当样本的方差等于理论平均数时 (即: δ2 = µ) (Ｘ－ ２ Ｘ－µ)２ Ｘ－ U 则： X2＝ ∑ 由此可知： 由此可知： １．X2分布是当样本的方差等于理论平均数时的一种特 殊形式的正态离差平方的分布． 殊形式的正态离差平方的分布． 其分布是连续的， ２．其分布是连续的，其值域的大小随着自由度的 增加 而增加。 而增加。 项数越多， 值越大）。 （即：项数越多，X2值越大）。 2、适合性检验： 、适合性检验： 已知：男女性别比例为： ： 。调查某地100名新生 例：已知：男女性别比例为：1：1。调查某地 名新生 儿，得：男：58，女：42。 ， 。 该地区新生儿是否符合1： 比例 比例？ 问：该地区新生儿是否符合 ：1比例？ 假设： 符合1： 比例 比例）。 解：假设：H0:O-T=0(符合 ：1比例）。 符合 HA:O-T≠0(不符合 ：1比例）。 不符合1： 比例 比例）。 不符合
= = = = = =
2(|a-T|-1/2)2 + 2(|b-T|-1/2)2 n 分子分母同乘以2） （分子分母同乘以 ） 2[|a-(1/2a+1/2b)|-1/2]2+2[|b-(1/2a+1/2b)|-1/2]2 n 2[|a-1/2a-1/2b|-1/2]2 + 2[|b-1/2a-1/2b|-1/2]2 n 2[|1/2a-1/2b|-1/2]2 + 2[|1/2b-1/2a|-1/2]2 n 2×1/4[|a-b|-1]2 +2×1/4[|b-a|-1]2 × × n (|a-b|-1)2 n 一对基因 1：1分离 ： 分离
卡平方χ2测验

卡平方χ2测验

第八章卡平方（X2 ）测验知知识目标：•理解卡平方（X2）的概念；•掌握适合性测验的方法；•掌握独立性测验的方法；•了解卡平方（为2）的可加性和联合分析。

能力目标：•学会适合性测验的方法；“、,学会独立性测验的方法；前面介绍了数量性状资料的统计分析方法。

在生物和农业科学研究中，还有许多质量性状的资料，这样的资料可以转化为次数资料。

间断性变数的计数资料也可整理为次数资料。

凡是试验结果用次数表示的资料，皆称为次数资料。

次数资料的统计分析方法有二项分布的正态接近法和卡平方（%2）测验法等。

本章主要介绍卡平方测验。

第一节卡平方（X2）测验一、卡平方（X2）概念为了便于理解，现结合一实例说明X2统计量的意义。

菠菜雌雄株的性比为1:1，今观测200 株菠菜，其中有92棵雌株，108棵雄株。

按1:1的性比计算，雌、雄株均应为100株。

以。

表示实际观察次数，£表示理论次数，可将上述情况列成表8-1。

表8-1 菠菜雌雄株实际观测株数与理论株数的比较性别观测株数。

理论株数E 0-E (0-E)2/E雌92( 01) 100( E1) -80. 64雄108 (02) 100( E2) 80. 64合计20020001.28从表8-1看到，实际观察次数与理论次数存在一定的差异，这里雌、雄各相差8株。

这个差异是属于抽样误差，还是菠菜雌雄性比发生了实质性的变化？要回答这个问题，首先需要确定一个统计量用以表示实际观察次数与理论次数偏离的程度，然后判断这一偏离程度是否属于抽样误差，即进行显著性测验。

为了度量实际观察次数与理论次数偏离的程度，最简单的办法是求出实际观察次数与理论次数的差数。

从花-1看出：OjEr 8, O 2-E 2=8,由于这 两个差数之和为0,显然不能用这两个差数之和来表示实际观察次数与理论次数的偏离程度。

为了避免正、负抵消，可将两个差数O ]-E/O 2-E 2平方后再相加，即计算Z （O - E ）2，其 值越大，实际观察次数与理论次数相差亦越大，反之则越小。

卡平方测验

卡平方测验


0.05
（3）测验计算： ： 在假设 H 0为正确的前题下， 则可得如下求理论值的比例式，求出理论值: 300∶100=231∶E1 300∶200=231∶E2 300∶100=69∶E3 300∶200=69∶E4 所以 E1=77 E2=154 E3=23 E4=46
健株 甲品种 乙品种 合 计 O 88 143 231 E 77(E1) 154(E2) 231 O 12 57 69
病株
E 23(E3) 100 46(E4) 200 69 300
合计
当 df r 1c 1 2 12 1 1时，
O E 0.5 2 2 E


77 154 2 2 2 2 2 2 2 .34 .5 6 . 63 4 0.5 9 12 23 0 57 46 0 . 5 0 . 01 , 1 88 77 0.5 143 154 0.5 12 23 54 23 46 77 154 2
注：卡方适合性测验还经常用来测验试验数据的次 数分布是否和某种理论分布（如二项分布、正态分布等） 相符，以推断实际的次数分布究竟属于哪一种曲线类型。
（即：拟合优度检验）
单向分组计数资料：将资料列成表格后，行数 R=1，列数C≥2的计数资料。 [例] 某地进行人口调查，共有人口378万人，其
中男、女人口分别为190、188（万人），即：
2 9.34 0 .05, 1 3.84

88 77 0.5
2

143 154 0.5
2

12 23
所以 p 0.05 。 （4）推断：否定H 0 ，接受 H A ，即发病率的高低与品 种有关。
卡平方测验公式

卡平方测验公式

卡平方测验公式卡平方检验是一种常用的假设检验方法，用于检测两个变量之间是否存在统计学上的关联性。

其中，卡方分布是一种概率分布，常用于统计学分析中。

本文将从卡平方测验的定义、原理、公式、注意事项等方面进行详细介绍。

一、卡平方测验的定义卡平方测验（Chi-square test）是一种用于分析分类资料的统计方法，用来评估随机变量的频率分布与某种理论分布之间的偏离程度。

它通过比较实际观测值和理论值的差异，来判断这种差异是否显著。

二、卡平方测验的原理卡平方测验的原理是基于卡方分布的统计原理。

卡方分布是指自由度为n的卡方变量X2的概率分布，其概率密度函数为f(x) =x^(n/2-1)*e^(-x/2) / (2^(n/2)*Γ(n/2)) ，其中，Γ(n/2)为伽玛函数值。

卡方分布的特点是非对称的，取值范围为[0,+∞)。

卡平方测验的基本思路是：1.设定原假设和备择假设；2.收集样本数据；3.计算观测值的卡方值；4.确定自由度；5.查找卡方分布表，找到临界值；6.比较观测值的卡方值和临界值；7.根据比较结果，判断原假设是否成立。

三、卡平方测验的公式卡平方测验的公式如下：卡方值=Σ(观测值-理论值)²/理论值其中，Σ表示对所有分类统计量求和。

四、注意事项1.在进行卡平方测验时，样本数量应该尽可能大，否则可能会导致误差增大；2.进行卡平方测验时，要保证分类变量的独立性，即各分类变量之间应该互相独立；3.进行卡平方测验时，要注意设置显著性水平，一般取α=0.05或α=0.01；4.进行卡平方测验时，要选择合适的观测和理论值，否则可能会导致结果不准确；5.进行卡平方测验时，最好使用专业的卡平方测验软件或计算器，以提高效率和准确性。

五、总结卡平方测验是一种重要的假设检验方法，常用于分析分类数据和判断两个变量之间的关联性。

它基于卡方分布的统计原理，通过比较理论值和观测值的差异来判断原假设是否成立。

在进行卡平方测验时，需要注意样本数量的大小、分类变量的独立性、显著性水平的设置、观测和理论值的选择以及使用专业工具等因素。

第四章 卡平方测验

第四章 卡平方测验


-1 0
3 -3 0 3 -3 0
1 2
9 9 18 9 9 18
糯
非糯
53
4750500 Nhomakorabea180.18 0.36 0.09 0.09 0.18
∑
糯 非糯 ∑
100
97 103 200
100
100 100 200
将观察次数与理论次数差数平方除以相应的理论 次数再相加而得的总和，记为c 2，即：
2 ( O E ) i c2 i Ei i 1 k
0.470
【例4.3】有一批水稻种子，规定发芽率达80%合格，即
发芽:不发芽=4:1。随机抽200粒做发芽试验，发芽种子
数为150粒。这批水稻种子是否合格？
H0：合格，即发芽:不发芽=4:1 ， HA：不合格。 显著水平 a=0.05
该资料分组数k=2，其自由度df=k-1=2-1=1，所以 计算c2时需要进行连续性矫正。
卡平方（c2）的概念 c2分布 c2测验 c2的连续性矫正
一. 卡平方（c2）的概念
玉米花粉粒糯与非糯的观察次数与理论次数
花粉类别 糯 非糯 ∑ 观察次数(O) 理论次数(E) 51 49 100 50 50 100 O-E 1 (O-E)2 1 (O-E)2/E 0.02 0.02 0.04
2
df
2 e
χ
2
c2分布的特性有：
⑴ c2分布的取值范围为[0， ， ) 并且呈反J形的偏 斜分布。 ⑵c2分布的形状决定于自由度df。 ⑶ c2分布曲线与横坐标轴所围成的面积等于1，即
P(0≤ c2
<+ ) f(c02)d(c2)=1
+
f(c2) 0.5 0.4 0.3
第五章卡平方测验-

第五章卡平方测验-


11
5.3 适合性测验
西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作
12
适合性χ2测验的方法
适合性测验(test for goodness-of-fit):比较 实验数据与理论假设是否符合的假设测验。 现以玉米花粉粒碘染反应为例，予以说明：
玉米花粉粒碘反应观察次数与理论次数
碘反应 蓝色 非蓝色 观察次数(O) 3437(O1) 3482(O2) 理论次数(E) 3459.5(E1) 3459.5(E2) O-E -22.5 +22.5 (O-E)2/E 0.1463 0.1463
西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作
15
(| O E | 1 2) E
2 C
2
本例
2 2 (| 22 . 5 | 1 2 ) (| 22 . 5 | 1 2 ) 2 C 0.2798 3459.5 3459.5
2 ，实得 0 查附表6，当ν=k-1=2-1=1时， .05,1 3.84
2 2 1 2 2 2 i 2 n 2 i
xi i
)2
(
2
xi

)2
χ2分布图形为一组具有不同自由度ν值的曲线。 χ2值最 2 小为0，最大为+∞，因而在坐标轴的右边。附表6为χ2≥ p
时的右尾概率表。
西南科技大学生命科学与工程学院周海廷制作
3
若所研究的总体μ不知，而以样本
(
2
代替，则 x
xi x

)
2
1
2
2 ( x x ) i

(n 1) s 2
2
s 2 2
χ2的定义二：
第7章 卡平方(X2)测验

第7章 卡平方(X2)测验


比较, 比较,
则否定H 接受H 如果 ,则否定H0接受HA,即试验总体 不符合理论假设.反之则相反.（P147,例题） 不符合理论假设.反之则相反. P147,例题） 例题
2 X 2 ≥ X α ,( df )
当属性类别数大于2 当属性类别数大于2时，可利用下面的简化 2 公式计算。 公式计算。
Oi 1 χ = ∑ −T T pi
2 0.025
f (χ 2 )
0.6 0.5
不同自由度的分布曲线
0.4
ν =1
0.3
0.2
ν =3
ν =5
0.1
0.0 0 2 4 6 8 10 12
χ2
(二).X2分布的特点
1.X2分布是连续性分布,取值区间为[0, ＋∞),平 分布是连续性分布,取值区间为[0, ),平 连续性分布 方差为2df 均数µ x2 = df 方差为2df 分布的形状决定于自由度df, df=1时 形状决定于自由度df 2.X2分布的形状决定于自由度df,当df=1时,曲线极 度左偏,呈反J 随着df增大, df增大 度左偏,呈反J形;随着df增大,曲线逐渐趋向对称而 接近于正态分布. df→∞时为正态分布 时为正态分布. 接近于正态分布.当df→∞时为正态分布. 分布是一组动态变化曲线. 一组动态变化曲线 3.X2分布是一组动态变化曲线. 2分布具有可加性,若 x ~ χ 2 , x ~ χ 2 可加性, 4.X 分布具有可加性 1 (n) 2 (m) 则
第三节 独立性测验
什么是独立性测验? 一.什么是独立性测验? 对次数资料探求两个变量间是否彼此独立 的假设检验. 的假设检验.
二.独立性测验的步骤
1.提出假设H 两个变量相互独立; 1.提出假设H0:两个变量相互独立; HA两个 提出假设 变量彼此相关. 变量彼此相关. 2.确定显著水平 2.确定显著水平 3.根据2个变量相互独立的假设, 3.根据2个变量相互独立的假设,计算每一 根据 组的理论数,再计算X 组的理论数,再计算X2值. 4.推断:当算得的X ,则接受 则接受H 4.推断:当算得的X2值< X α2,( df ) ,则接受H0,即 推断 两个变量独立.反之则相反. 两个变量独立.反之则相反.

第六章 卡平方检验

检验步骤 1、提出假设 H0：大豆花色F2分离符合3:1； HA：大豆花色F2分离不符合3:1。
2、计算理论次数
性状
紫花 白花 总和
实际观察次数 （A）
理论次数（T）
1260
1237.5
390
412.5
1650
1650
3、计算
2 c
( A T 0.5 )2
2 c
T
(12601237.5 0.5 )2 (390 412.5 0.5 )2
种子灭菌
不灭菌
总数
发病穗数 26（34.7） 184（175.3）
210
未发病穗数 50（41.3） 200（208.7）
250
总数
76
384
460
H0:种子灭菌与散黑穗病发病无关， HA:种子灭菌与散黑穗病发病有关 显著水平 a0.05 。
A11=26对应的理论次数 T11=460×(76/460)×(210/460)=34.7
3、计算 2
2 ( A T )2
T
(491 417.94)2 (76 139.31)2 (90 139.31)2 (86 46.44)2
417.94
139.31
139.31
46.44
92.3961
4、统计推断
当自由度df=3时，02.01(3) 11.34 ，因实际计算的 2
=92.71＞
c
34.7
41.3
( 184－175.3 －0.5)2 ( 200－208.7 －0.5)2
4.267
175.3
208.7
df=(2-1)(2-1)=1，由附表6查出20.05，1 3.84
c2 20.05，1 ，否定H0 ，接受HA，种子灭

2.5卡平方测验

小题教学计划2.5 卡平方（χ2）测验一、次数资料的2χ测验凡试验结果出现多少次、多少回来表示的资料称为次数资料或计数资料。

在农业试验中，不论是质量性状还是数量性状，有些性状以次数表示是方便而合理的，这就要找出一个相应的概率分布测验次数资料。

一般采用2χ测验法。

卡平方（2χ）测验这一数学方法，就是判断质量性状的次数资料的某种假设的理论次数与实际次数出现的差异，是属于偶然因素产生的，还是必然的结果？因此2χ测验必须有明确的假设，然后计算实际发生的现象与假设进行比较，以确定假设的概率值，再承认或推翻假设，这同以前所讲的显著性测验的步骤是完全一样的。

（一）2χ的计算方法例题1：菠菜的雌株与雄株的比例为1：1，今观察200株菠菜，其中雌株92株，雄株108株，试测验此二数是否符合1：1的性别比例，如下表1表1 菠菜雌株与雄株的观察株数与理论株数性别 观察株数 （O ） 理论株数（E ） O-E EE O 2）（-雌 92（O 1） 100（E 1） -8 0.64 雄 108（O 2） 100（E 2） 8 0.64 总和 200（n ） 200（n ） 0 1.28计算公式是：2χ=EE O k21）（-∑ O=实际观察数 E=理论次数 k=组数从上式可以看出：2χ值是偏差与理论次数之比值的总和，用以度量观察次数与理论次数的相差程度，当偏差（O-E ）愈大时，其卡平方值愈大，说明观察次数和理论次数愈不符合；当偏差愈小时，其卡平方值愈小，观察次数与理论次数愈接近；当2χ=0时，说明观察值与理论值完全符合。

因离差总和等于零，必须对（O-E ）加以平方，以免除偏差正负值的影响，因此上式的分子为（O-E ）2。

而分母用理论次数。

（二）2χ分布及显著性测验 1、2χ的分布2χ分布曲线可用下列方式表示：y=2212/2221]2/2[21χυυχυ---e）（）（！）（上式中的υ为自由度，e 为自然对数的底数，即2.71828。

卡平方测验


,
所以否定H0，接受HA，即该水稻稃尖和糯性性 状在F2的实际结果不符合9∶3∶3∶1的理论比率。
这一情况表明，该两对等位基因并非独立遗
传，而可能为连锁遗传。
第三节 独立性测验
一、 2×2表的独立性测验
二、 2×c表的独立性测验 三、 r×c表的独立性测验
14
χ2应用于独立性测验(test for independence)，
O－ E | O－E |－1/2 (|O－E|－1/2)2/E
208 81
216.75 72.25
－8.75 ＋8.75
8.25 8.25
0.3140 0.9420
总数
289
289
0
1.2560
H0：大豆花色F2分离符合3∶1比率；HA：不符合3∶1比率。 显著水平 a =0.05。由于该资料只有k=组， ν k 1 1 ，
2 2 2 0 9 . 49 , 现 5 . 62 .05, 4 0.05, 4 P 0.05
接受H0：不同的灌溉方式对水稻叶片的衰老情况没有显 著影响。
23
21
三、r×c表的独立性测验
若横行分r组，纵行分c组，且r≥3，c≥3，则为r×c相 依表，其ν=(r-1)(c-1) ［例]下表为不同灌溉方式下水稻叶片衰老情况的调查资 料。试测验稻叶衰老情况是否与灌溉方式有关。
灌溉方式 深水 绿叶数 146(140.69) 黄叶数 7(8.78) 枯叶数 7(10.53) 总计 160
故应接受H0，说明大豆花色这对性状是符合3∶1比率，即符
合一对等位基因的表型分离比例。
[例2]
两对等位基因遗传试验，如基因为独立分配，则F2
代的四种表现型在理论上应有9∶3∶3∶1的比率。有一水稻 遗传试验，以稃尖有色非糯品种与稃尖无色糯性品种杂交， 其F2代得表2结果。试检查实际结果是否符合9∶3∶3∶1的理 论比率。

卡方测验


2 6.0 5 30.0 1.79176 8.95880
3 3.1 11 34.1 1.13140 12.44540
∑
20 80.9 4.35824 27.14452
s2p=∑υi Si2/∑υi=80.9/20=4.045 ∑υi lns2p=20×4.045=27.94960
C=1+[1/(3k-3)][∑(1/υi)-1/∑υi]=1+[1/(9-3)][1/4+1/5+1/11-1/20]=1.0818
若若如本所果χ所得算²值属得χ与总的²值 χ体χ不²α方²,显cυ差值接著不＞近，是χ应则同²作不α质,矫必υ的，正在。便。做否矫定正H，0，应表接明受这H0些; 样
[例] 假定有3个样本方差s21 =4.2 s22=6.0 s2k=3.1，各具有自
由度υ1=4, υ2=5,υ3=11,试测验其是否同质。
(2.5758)2

Z2 0.01/ 2
2.2分布密度曲线是随自由度不同而改变的
一组曲线。随自由度的增大， 曲线由偏
斜渐趋于对称；df≥30时，接近正态分布。
若研究的总体μ不知，而以样本y代替，则
此时独立的正态离差个数为n-1个，故df=n-1。
χ2与u,t,F统计数比较 按定义: ∑ui2=χ2,
假定有3个或3个以上样本，每一样本均可估得一方差，由χ2测 验各样本方差是否来自相同方差总体的假设。
H0: σ21 =σ22=…=σ2k (k为样本数) H A: σ21、σ22、…、σ2k不全相等。 假如有k个独立的方差估计值：
同质性测验
各具υ1,υ2,…υk个自由度, 合并的方s2p为：
由此，Bartlett χ²值为：

第七章卡平方测验

一个样本方差与已知总体方差的统计测验
若从一个总体抽取一个大小为n的样本，算得样本方差
为s2，想了解此总体方差 2是否与已知方差02间有显
著的差异。
两个样本方差是否来自同一总体方差的统计测验
若样本方差s12来自总体方差12，样本方差s22来自总体 方差22，想了解这两个总体方差之间是否有显著差异。
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附表5是各种ν 1和ν 2下右尾概率为
0.05和0.01时的临界F值表。
该显表著时大专于S供2测2的验总S体12方的差总而体设方计差的是。否
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第三节 适合性测验
适合性测验是比较实际比率与理论比率之间是否有显
著差异的方法。
例题： 玉米花粉粒中形成淀粉粒或糊精是由一对等位
附表6为时的右尾概率表，当v=12时，
2
0.05
=21.03，它的
统计意义是从总体中以n=13进行抽样，计算出的值大于21.03
的概率有5%。
K.Pearson 根据的定义从属性性状的分布推导出用于次 数资料分析的公式：
2
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(OE)2 其中：O为观察次数，E为理论次数。 E
第二节 2在方差同质性测验中的应用
根据各因素的水平数多少分为：
2×2 相依表的独立性测验 2×C 相依表的独立性测验
R×C 相依表的独立性测验
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第七章 卡平方测验
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第七章 卡平方（ 2）测验
第一节 卡平方（ 2）的定义和分布

07卡平方测验


(7·10)
σ
2
νs 2 = 2 σ
(7·3)
此时独立的正态离差个数为n－1个，故 v =n－1。 个 此时独立的正态离差个数为 － 。
χ 2 与u、t、F统计数的比较： 统计数的比较： 统计数的比较
2 2 当只有1个正态离差时 按定义 ∑ u i = χ ，当只有 个正态离差时 u 2 = χ 2 , u = χ 2 i
χ 分布推导出用于次数资料(亦称计数资料 分析的 公式： 分布推导出用于次数资料 亦称计数资料)分析的2 公式： 亦称计数资料
(O − E ) 2 χ2 =∑ i E
(7·4)
上式中O为观察次数，E为理论次数，i=1，…，k为 为理论次数， 上式中 为观察次数， 为理论次数 为观察次数 为 计数资料的分组数， 计数资料的分组数，自由度为 v ，依分组数及其相互独 立的程度决定，这种形式的 χ 2分布图形与图7.1相同。 立的程度决定， 分布图形与图 相同。 相同
2 1 2 2 2 i 2 n 2 i
χ = u + u +L+ u +L+ u = ∑u = ∑(
i i
yi − µ i
σi
)2
(7·1)
其中， 其中，yi 服从正态分布 N(µ i，σ i2 )， i = ( yi − µi ) / σ i u 为标准正态离差。 为标准正态离差。
yi不一定来自同一个正态总体，即 不一定来自同一个正态总体， 则 µi
2 测验假设H σ 对 。 测验假设 0： 2 ≥50对HA： σ ＜50。
为显著水平。 取5%为显著水平。 为显著水平
2 查附表6， 查附表 ，这一测验的 χ 2 临界值为 χ 0.95，3 = 0.35 ，
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根据处理及考察指标的多少分为不同的列联表：
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第四章 孟德尔遗传
检验程序
1、提出假设 H0：O-E=0；HA： O-E≠0 2、根据概率的乘法法则计算理论数：理论数的计算方法——
E ij
3、检验统计量:
i行总数 j列总数
总数
4、统计推断
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第四章 孟德尔遗传
[例] 表5.11为不同灌溉方式下水稻叶片衰老情况的调查资料。试
H0：稃尖和糯性性状在F2的分离符合9∶3∶3∶1； HA：不符合9∶3∶3∶1。
显著水平： 然后计算
表现型
=0.05。 值
稃尖有色非 糯 稃尖有色 糯稻 稃尖无色 非糯 稃尖无色 糯稻 总数
观察次数(O) 理论次数(E) O －E
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491 417.94 73.06
76 139.31 -63.31
4、依所得概率值的大小，接受或否定无效假设
在实际应用时，往往并不需要计算具体的概率值。 若实得 若实得 ≥ ＜ 时，则H0发生的概率小于等于 时，则H0被接受。 ， 属小概率事件，H0便被否定；
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第四章 孟德尔遗传
情况1：大豆花色一对等位基因的遗传研究如 下图：
P F1 F2 紫花 白花 紫花
稃尖有色 非糯 491 稃尖有色 糯稻 76 稃尖无色 非糯 90 稃尖无色 糯稻 86 总数 743
结果是否符合 9∶3∶3∶1的 理论比率？
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第四章 孟德尔遗传
二、 适合性检验
有一水稻遗传试验的适合性测验 按9∶3∶3∶1的理论比率算得各种ห้องสมุดไป่ตู้现型的理论次数E，
如稃尖有色非糯稻 E=743×(9/16)=417.94……
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第四章 孟德尔遗传
注：卡方通常只基于原始数据而不给予百分率或频率进行计算
在一个实验中得到雌果蝇44%，雄果蝇56%，总数是50只，现在要测验这 个实际数与理论数是否相符，就需要首先把百分比根据总数化成频数。
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第四章 孟德尔遗传
三、独立性检验
范围：检验两个以上因子彼此之间是相互独立的还是相互影 响的一种统计分析方法。 方法：将数据列成列联表，也称列联表卡方检验。
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第四章 孟德尔遗传
紫花 ：白花 208 81 2.58 : 1
这个结果符合 3:1吗？
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第四章 孟德尔遗传
例1：大豆花色一对等位基因遗传的适合性测验 H0：大豆花色F2分离符合3∶1比率；HA：不符合3∶1比率。
显著水平
自由度
=0.05。
。
O－E
－8.75 ＋8.75
花色 F2代实际株数(O) 理论株数(E)
紫色 白色 208 81 216.75 72.25
(O－E)2/E
0.3532 1.059
总数
289
289
0
1.4122
查附表，
。现
2=1.4122<
故应接受H0，说明大豆
花色这对性状是符合3∶1比率，即符合一对等位基因的表型分离比例。
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第四章 孟德尔遗传
情况2 ：有一水稻遗传试验，以稃尖有色非糯品种与稃尖 无色糯性品种杂交，其F2代得到如下的结果。
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4
第四章 孟德尔遗传
一、 2测验(Chi平方测验)
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第四章 孟德尔遗传
二、 适合性检验
在遗传学试验中，实际获得的各项数值与其理论值常具有一定
的偏差。这种偏差究竟是属于试验误差造成的，还是真实的差 异，通常用2测验进行判断： (O-E)2 2 = -----------E
P F1 F2 紫花 白花 紫花
情况2 ：有一水稻遗传试验，以稃尖 有色非糯品种与稃尖无色糯性品种杂交， 其F2代得到如下的结果。
稃尖有色 非糯 稃尖有色 糯稻 稃尖无色 非糯 稃尖无色 糯稻 总数
491
76
90
86
743
紫花 ：白花 208 81 2.58 : 1 结果是否符合 9∶3∶3∶1的 理论比率？
O是实测值，E是理论值，是总和
自由度：就是数据的类别数减1。 查出P值
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6
第四章 孟德尔遗传
二、 适合性检验
适合性测验的步骤 1 ．提出假设:
H0：实际次数与理论次数相符。 HA：实际次数与理论次数不符。
２．确定显著水平 ３．检验计算： 求卡平方值
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第四章 孟德尔遗传
二、 适合性检验
这个结果符合 3:1吗？
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3
第四章 孟德尔遗传
一、 2测验(Chi平方测验)
χ 2检验(Chi-square test)是现代统计学的创始人之一， 英国人K.Pearson（1857-1936）于1900年提出的一种具
有广泛用途的统计方法，可用于两个或多个率间的比较， 计数资料的关联度分析，拟合优度检验等等。
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第四章 孟德尔遗传
H0：稻叶衰老情况与灌溉方式无关；HA：稻叶衰老情况与灌溉方
式有关。 取 =0.05。
根据H0的假定，计算各组格观察次数的相应理论次数：如与146相
应的E=(481×160)/547=140.69， 与183相应的E=(481×205)/547=180.26，……，
所得结果填于表7.11括号内。
12
90 139.31 -49.31
86 46.44 39.56
743 743 0
第四章 孟德尔遗传
二、 适合性检验
因本例共有k=4组，故df=k-1=3。查附表，
,
理论比率。
现实得
,
所以否定H0，接受
HA，即该水稻稃尖和糯性性状在F2的实际结果不符合9∶3∶3∶1的
这一情况表明，该两对等位基因并非独立遗传，而 可能为连锁遗传。
测验稻叶衰老情况是否与灌溉方式有关。
表5.11 水稻在不同灌溉方式下叶片的衰老情况 灌溉方式 深 水 浅 水 湿 润 总 计 绿叶数 146 (140.69) 183 (180.26) 152 (160.04) 481 黄叶数 7 (8.78) 8 (11.24) 14 (9.98) 30 枯叶数 7 (10.53) 13 (13.49) 16 (11.98) 36 总 计 160 205 182 547
根据
可得
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第四章 孟德尔遗传
本例 现
=(3－1)(3－1)=4，查附表4， ,P>0.05， 故应接受H0，即不
同灌溉方式对水稻叶片的衰老情况没有显著影响。
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第四章 孟德尔遗传
课堂小结 重点内容：
适合性检验——2测验
步骤：1、提出假设 2、确定显著水平 3、求卡平方值 适合性检验（了解）
2 测验(Chi平方测验)
——选自第四章第三节 遗传学数据的统计处理
专业基础课程 为《作物育种学》奠定基础 课程目标 掌握遗传学基本规律及研究方法
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1
第四章 孟德尔遗传
主要内容
2测验 适合性检验

独立性检验
重点内容：适合性检验
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2
第四章 孟德尔遗传
情况1：大豆花色一对 等位基因的遗传研究如 下图：