光学信息处理
1. 引 言
自六十年代激光出现以来，光学的重要发展之一是形成了一个新的光学分支——傅里叶光学。傅里叶光学是指把数学中的傅里叶分析方法用于波动光学，把通讯理论中关于时间、时域、时间调制、频率、频谱等概念相应地改为空间、空域、空间调制、空间频率、空间频谱，并用傅里叶变换的观点来描述和处理波动光学中学波的传播、干涉、衍射等。傅里叶变换已经成为光信息处理的极为重要的工具。
光学信息处理就是对光学图像或光波的振幅分布作进一步的处理。自从阿贝成像理论提出以后，近代光学信息处理通常是在频域中进行。由于光的衍射,图像的夫琅和费衍射分布,即图像的空间频谱分布与图像的空间分布规律不同,这使得在频谱面上对其进行处理可获得一些特殊的图像处理效果。近代光学信息处理具有容量大，速度快，设备简单，可以处理二维图像信息等许多优点，是一门既古老又年青的迅速发展的学科。光学信息存储、遥感、医疗、产品质量检验等方面有着重要的应用。
2. 实验目的
1) 通过实验，加强对傅里叶光学中有关空间频率、空间频谱和空间滤波等概念的理解。 2) 掌握光学滤波技术，观察各种光学滤波器产生的滤波效果，加深对光学信息处理基本思想的认识。
3) 加深对卷积定理的理解
4) 了解用光栅滤波实现图像相加减及光学微分的原理和方法。 5) 了解黑白图像等密度的假彩色编码。
3. 实验原理
1) 二维傅里叶变换和空间频谱
在信息光学中常用傅里叶变换来表达和处理光的成像过程。设在物屏X -Y 平面上光场的复振幅分布为g (x ，y ) ，根据傅里叶变换特性，可以将这样一个空间分布展开成一系列二维基元函数的线性叠加，即
)](2exp[y f x f i y x +π∫∫+∞
∞
−+=
y x y x y x
df df y f x f i f f
G y x g )](2exp[),(),(π （1）
式中f x 、f y 为x 、y 方向的空间频率，即单位长度内振幅起伏的次数，G (f x ，f y )表示原函数g (x ，y )中相应于空间频率为f x 、f y 的基元函数的权重，亦即各种空间频率的成分占多大的比例，也称为光场（optical field ）g (x ，y )的空间频谱。G (f x 、f y )可由g (x ，y )的傅里叶变换求得
∫∫+∞
∞
−+−=
dxdy y f x f i y x g f f G y x y x )](2exp[),(),(π (2)
g (x ，y )与G (f x ，f y )是一对傅里叶变换式，G (f x ，f y )称为g (x ，y )的傅里叶的变换，g (x ，y )是G (f x ，f y )的逆变换，它们分别描述了光场的空间分布及光场的频率分布，这两种描述是等
效的。
当g (x ，y )是空间周期函数时，空间频率是不连续的。例如空间周期为x 0的一维函数g (x)，即g (x )=g (x +x 0)。描述空间周期为x 0的一维光栅时，光栅面上光振幅分布可展成傅里叶级数
∑∑==)2exp()2exp()(0x nf i G x f i G x g n n n ππ (3)
上式中，n ＝0，±1，±2，……；f 0=1/x 0 ，称为基频；f n =nf 0，是基频的整数倍频，称为n 次谐波的频率。G n 是g (x )的空间频率，由傅里叶变换得
dx x nf i x g x G x x n )2exp()(102/2
/0
00π−=
∫+− (4)
2) 透镜的二维傅里叶变换性质
在光学上，透镜是一个傅里叶变换器，它具有二维傅里叶变换的本领。理论证明，若在焦距为F 的正透镜L 的前焦面（X -Y 面）上放一光场振幅透过率为g (x ，y )的物屏，并以波长为λ的相干平行光照射，则在L 的后焦面（X ′-Y ′面）上就得到g (x ，y )的傅里叶变换，即g (x ，y )的频谱，此即夫琅禾费衍射情况。其空间频谱
∫∫+∞
∞
−′+′−=′′dxdy y F y x F x i y x g F y F x G )](2exp[),(),(λλπλλ (5)
其中空间频率f x 、f y 与透镜像方焦面（频谱面）上的坐标有如下关系
F x f x λ/′= F y f y λ/′= （6）
显然，),(
F y F x
G λλ′
′就是空间频率为（F
y F x λλ′′,）的频谱项的复振幅，是物的复振幅分布的傅里叶变换，这就为函数的傅里叶变换提供了一种光学手段，将抽象的函数演算变成了实实在
在的物理过程。由于F
y F x λλ′′,分别正比于x ′，y ′，所以当λ、F 一定时，频谱面上远离坐标原点的点对应于物频谱中的高频部分，中心点x ′=y ′=0，f x =f y =0对应于零频。 3) 阿贝成像原理
现在我们知道，物体应该看成是大量空间信息的集合体，光信息处理涉及的空间信息的频谱不再是一个抽象的数学概念，它是展现在透镜焦平面上的物理实在。
1873年，德国人阿贝从波动光学的观点提出了一种成像理论。他把物体或图片看成包含一系列空间频率的衍射屏，在相干光照明下，物体通过透镜成像的过程分为两步：第一步是通过物的夫琅禾费衍射，在物镜后焦面上形成一个衍射图样，第二步是这些衍射图样发出的子波相干涉，在像平面上相干迭加形成物的像，通过目镜可以观察到这个像。
图1 阿贝成像原理图
按频谱分析理论，谱面上的每一点均具有以下四点明确的物理意义： （1）谱面上任一光点对应着物面上的一个空间频率成分。
（2）光点离谱面中心的距离，标志着物面上该频率成分的高低，离中心远的点代表物面上的高频成分，反映物的细节部分。靠近中心的点，代表物面的低频成分，反映物的粗轮廓。中心亮点是0级衍射即零频，反映在像面上呈现均匀背景。
（3）光点的方向，指出物平面上该频率成分的方向，例如横向的谱点表示物面有纵向栅缝。
（4）光点的强弱则显示物面上该频率成分的幅度大小。
由以上定性分析可以看出，阿贝的二次成像理论的第一次衍射是透镜对物作空间傅里叶变换，它把物的各种空间频率和相应的振幅一一展现在它的焦平面上。一般情况下，物体透过率的分布不是简单的空间周期函数，它们具有复杂的空间频谱，故透镜焦平面上的衍射图样也是极复杂的。第二次衍射是指空间频谱的衍射波在像平面上的相干迭加。如果在第二次衍射中，物体的全部空间频谱都参与相干迭加成像，则像面与物面完全相似。如果在展现物的空间频谱的透镜焦平面上插入某种光学器件（称之为空间滤波器），使某些空间频率成分被滤掉或被改变，则像平面上的像就会被改变，这就是空间滤波和光学信息处理的基本思想。
在实际光学成像系统中，像和物不可能完全一样。这是由于透镜的孔径是有限的，总有一些衍射角比较大的高次光线（高频信息）不能进入物镜而被丢掉。所以像的信息总是比物的少些。由于高频信息主要反映物的细节，因此，无论显微镜有多大的放大倍数，也不可能在像面上分辨出这些细节。这是限制显微镜分辨本领的根本原因。当物镜孔径极其小时，有可能只有零级衍射通过物镜，这时像面上有亮的均匀背景而无像分布。
4) 空间滤波和光信息处理
光信息处理是通过空间滤波器来实现的，所谓空间滤波器是指在图1中透镜的后焦平面上放置某种光学元件来改造或选取所需要的信息，以实现光信息处理。这种光学器件称为空间滤波器。
（b ）高通
（c ）带通（d ）方向
（a ）低通
图 2 空间滤波器
图2给出了几种常用的空间滤波器。（a ）低通滤波：目的是滤去高频成分，保留低频成分。由于低频成分集中在谱面的光轴（中心）附近，高频成分落在远离中心的地方，经低通滤波后图像的精细结构将消失，黑白突变处也变得模糊。（b ）高通滤波：目的是滤去低频成
分而让高频成分通过，其结果正好与低通滤波相反，使物的细节及边缘清晰。（c ）
带通滤波：根据需要，有选择的滤掉某些频率成分。（d ）方向滤波：只让某一方向，例如纵向的频率成分通过，则像面上将突出了物的横向线条。
5) 卷积
一个二维函数的卷积定义为：
ηξηξηξ∫∫
−−=
∞
∞
−d d y x h f y x h y x f ),(),(),(*),(
(7)
