5-4 广义积分(反常积分)

反常积分定义
反常积分又叫广义积分，是对普通定积分的推广，指含有无穷上限/下限，或者被积
函数含有瑕点的积分，前者称为无穷限广义积分，后者称为瑕积分（又称无界函数的反常
积分）。

简述
的定分数的分数区间都就是非常有限的，被内积函数都就是有界的。

但在实际应用领
域和理论研究中，还可以碰到一些在无穷区间上定义的函数或非常有限区间上的无界函数，对它们也须要考量类似的定分数的问题。

因此，存有必要定分数的概念予以推展，并使之
能够适用于于上述两类函数。

这种推展的分数，由于它异于通常的定分数，故称作广义分数，也称作反常分数。

积分是微积分的一个重要组成部分。

功能积分学包括两个部分：不定积分和定积分。

换元积分法和部分积分法是计算积分的最基本方法。

单元法是定积分的基本思想，所以作
为定积分的应用，必须掌握元素法的基本思想。

重点原产：
(1)基本计算
①不定积分;
②定积分;
③反常分数;
(2)定积分的应用(重要考点)
①平面图形的面积;
②旋转体的体积;
③曲率(数一、二);
④侧面积(数一、二);
⑤物理应用领域(数一、二)。

曲线曲边梯形的面积可记作21x y =A1b+∞定义 1 设函数)(x f 在区间),[+∞a 上连续，取a b >，如果极限⎰+∞→bab dx x f )(lim存在，则称此极限为函数)(x f在无穷区间),[+∞a 上的广义积分，记作⎰∞+adx x f )(.⎰∞+adx x f )(⎰+∞→=ba b dxx f )(lim 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散.一、无穷限的广义积分类似地，设函数)(x f 在区间],(b -∞上连续，取b a <，如果极限⎰-∞→baa dx x f )(lim存在，则称此极限为函数)(x f 在无穷区间],(b -∞上的广义积分，记作⎰∞-bdx x f )(.⎰∞-bdxx f )(⎰-∞→=baa dx x f )(lim当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散.设函数)(x f 在区间),(+∞-∞上连续,如果广义积分0()f x dx -∞⎰和0()f x dx +∞⎰都收敛，则称上述两广义积分之和为函数)(x f 在无穷区间),(+∞-∞上的广义积分，记作⎰∞+∞-dx x f )(.⎰∞+∞-dx x f )(⎰∞-=0)(dx x f ⎰∞++0)(dxx f ⎰-∞→=0)(limaa dx x f ⎰+∞→+bb dxx f 0)(lim 极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散.注意:⎰∞+∞-dx x f )(0()f x dx -∞=⎰0()f x dx+∞+⎰lim ()aa f x dx →-∞=⎰0lim ()bb f x dx→+∞+⎰0lim ()aa f x dx →-∞⎰0lim ()bb f x dx→+∞⎰与只要有一个极限不存在, 就称发散.()f x dx +∞-∞⎰引入记号()lim ();x F F x →+∞+∞=()lim ()x F F x →-∞-∞=则有类似牛顿–莱布尼茨公式的计算表达式:()()F F a =+∞-()()F b F =--∞()()F F =+∞--∞⎰∞+∞-dx x f )([]()F x +∞-∞=[]()bF x -∞=[]()a F x +∞=()af x dx +∞⎰()bf x dx -∞⎰xo y211y x=+lim arctan x →+∞=与开口曲边梯形的面积xy 1=0A 1xyε1A =⎰定义2 设函数)(x f 在区间],(b a 上连续，而lim ()x af x +→=∞．取0>ε，如果极限0lim ()ba f x dxεε++→⎰存在，则称此极限为函数)(x f 在区间],(b a 上的广义积分，记作⎰ba dx x f )(.⎰badx x f )(⎰+→+=ba dxx f εε)(lim 0当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散.定义中a 称为瑕点．类似地，设函数)(x f 在区间),[b a 上连续，而lim ()x bf x -→=∞.取0>ε，如果极限0lim ()b af x dxεε+-→⎰存在，则称此极限为函数)(x f 在区间),[b a 上的广义积分，记作当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散.⎰ba dx x f )(⎰-→+=εεb adxx f )(lim 0定义中b 称为瑕点．设函数)(x f 在区间],[b a 上除点)(b c a c <<外连续，而lim ()x cf x →=∞.如果两个广义积分⎰ca dxx f )(和⎰bc dx x f )(都收敛，则定义广义积分⎰b a dx x f )(⎰=c a dx x f )(⎰+bcdxx f )(否则，就称广义积分⎰ba dx x f )(发散.定义中c 称为瑕点.110lim ()c af x dx εε+-→=⎰220lim ()bc f x dxεε++→+⎰公式的的计算表达式:无界函数的广义积分（瑕积分）无穷限的广义积分（无穷积分）⎰∞+∞-dxx f )(⎰∞-bdx x f )(⎰∞+adxx f )(⎰⎰⎰+=c a bcb a dxx f dx x f dx x f )()()(（注意：不能忽略内部的瑕点）⎰ba dx x f )(小结11=⎰当一题同时含两类广义积分时,应划分积分区间分别讨论每一区间上的广义积分.若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类(3)例如,间断点,而不是广义积分.则本质上是常义积分,1⎤下述解法是否正确:讨论广义积分的收敛性所以广义积分。

( x)dx
发散
.
y f (x)
s
a
b
x
b
定义
b
f ( x)dx lim f ( x)dx .

a a
右端极限存在,
则称 反 广常 义积分
b

f
( x)dx
收敛
,
否则
,
则称
b

f
( x)dx
发散
.
2

f ( x)dx
定义
0
f ( x)dx
F () lim F (x) ; F () lim F (x)
x
x
则有类似牛 – 莱公式的计算表达式 :

a f (x) dx F (x)
F () F (a)
b
f (x) dx F (x)

f (x) dx F (x)
F (b) F () F () F ()
(a 0)
解.
x
3a 是
x 3a2
x
2
的无穷间断点
.
3a x dx
0
3a2 x2

( 3a)
3a2 x2
0
(0 3a) 3a . #
上限 (
3 a)
代入的含义是
lim
x( 3 a)

3a2 x2 .
13
例6.
1 1 1 x
解:
[ arctan x ]|0

[ arctan x ]|



0 22
思考:
分析:
原积分发散 !

解
0
计算反常积分‫׬‬−∞ − 。
0
‫׬‬−∞

−
0 −
‫ ׬‬
→−∞
=
= (− − )|0 = (−1 + − ) = +∞
→−∞
→−∞
0
所以，反常积分‫׬‬−∞ − 发散。
例3
解
+∞ 1
计算反常积分‫׬‬−∞
。
→0+
→0+
1
1
计算反常积分‫׬‬0
。
1− 2
解 因为
1
→1− 1− 2
1
1
‫׬‬0 1− 2
=
= +∞，所以 = 1是瑕点。故有
1−
1
‫׬‬0

2
1−
→0+
=
|1−
0
= = ( 1 − ) =
→0+

2
3
2
‫ ׬‬2
=
2 1
(

−
1
).

2
,
2
当 → +∞时,其极限就是火箭无限远离地球需作的功.
我们很自然地会把这个极限写作上限为+∞的“积分”:
+∞ 2

‫׬‬
2
=
2
‫׬‬

→+∞ 2
=
2 1
(

→+∞
1
− ).

1
最后,由机械能守恒定律可求得初速度0 至少应使 0 2
2
用 = 9.81/ 2 , = 6.371 × 106 代入得0 =