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定积分练习题题型1.定积分与极限的计算2.计算下列定积分3.计算下列⼴义积分内容⼀．定积分的概念与性质1.定积分的定义2.定积分的性质3.变上限函数及其导数4.⽜顿—莱布尼茨公式5.换元积分公式与分部积分公式6.⼴义积分题型题型I 利⽤定积分定义求极限题型II⽐较定积分的⼤⼩题型III利⽤积分估值定理解题题型IV关于积分上限函数以及⽜顿—莱布尼茨公式问题题型V定积分的计算题型VI 积分等式证明题型VII 积分不等式证明题型VIII ⼴义积分的计算⾃测题五1.根据极限计算定积分2.根据定积分求导3.求极限4.求下列定积分5.证明题4⽉21⽇定积分练习题基础题：⼀．选择题、填空题1．将和式的极限)0(.......321lim1>+++++∞→p n n P pp p p n 表⽰成定积分（）A ．dx x101 B ．dx x p ?10 C ．dx x p10)1(D ．dx nx p10)(2．将和式)21 .........2111(lim nn n n +++++∞→表⽰为定积分．3．下列等于1的积分是（）A ．dx x ?10B ．dx x ?+1)1(C ．dx ?11D ．dx ?10214．dx x |4|102-=（）A ．321B ．322C ．323D ．325 5．曲线]23,0[,cos π∈=x x y 与坐标周围成的⾯积（）A ．4B ．2C ．25D ．36．dx e e x x ?-+1)(=（）A ．e e 1+B ．2eC ．e 2D ．ee 1-7.若10xm e dx =?，11e n dx x=?，则m 与n 的⼤⼩关系是（）A ．m n >B ．m n <C ．m n =D ．⽆法确定8. 按万有引⼒定律，两质点间的吸引⼒221rm m kF =，k 为常数，21,m m 为两质点的质量，r 为两点间距离，若两质点起始距离为a ，质点1m 沿直线移动⾄离2m 的距离为b 处，试求所作之功（b >a ）．9．由曲线21y x =-和x 轴围成图形的⾯积等于S ．给出下列结果：①121(1)x dx --?；②121(1)x dx --?；③1202(1)x dx -?；④0212(1)x dx --?．则S 等于（）A ．①③B ．③④C ．②③D ．②④10.0(sin cos sin )xy t t t dt =+?，则y 的最⼤值是（）A ．1B ．2C ．72-D ．011. 若()f x 是⼀次函数，且1()5f x dx =?，1017()6xf x dx =?，那么21()f x dx x的值是．12．=≠?=0,0,)()(2x x dt t tf x F x,其中)(x f 在0=x 处连续，且0)0(=f 若)(x F 在 0=x 处连续，则=c （）。
第五章 定积分(A 层次)1．⎰203cos sin πxdx x ； 2．⎰-adx x a x222； 3．⎰+31221xxdx ；4．⎰--1145x xdx ； 5．⎰+411x dx ； 6．⎰--14311x dx ；7．⎰+21ln 1e xx dx； 8．⎰-++02222x x dx； 9．dx x ⎰+π02cos 1； 10．dx x x ⎰-ππsin 4； 11．dx x ⎰-224cos 4ππ； 12．⎰-++55242312sin dx x x xx ；13．⎰342sin ππdx x x； 14．⎰41ln dx x x ； 15．⎰10xarctgxdx ； 16．⎰202cos πxdx e x ； 17．()dx x x ⎰π2sin ； 18．()dx x e⎰1ln sin ；19．⎰--243cos cos ππdx x x ； 20．⎰+4sin 1sin πdx xx ； 21．dx x xx ⎰+π02cos 1sin ；22．⎰-+2111ln dx xxx ； 23．⎰∞+∞-++dx x x 4211； 24．⎰20sin ln πxdx ； 25．()()⎰∞+++0211dx x x dxα()0≥α。
(B 层次)1．求由0cos 0=+⎰⎰xyttdt dt e 所决定的隐函数y 对x 的导数dxdy 。
2．当x 为何值时，函数()⎰-=xt dt te x I 02有极值？3．()⎰x x dt t dxd cos sin 2cos π。
4．设()⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=1,211,12x x x x x f ，求()⎰20dx x f 。
5．()1lim22+⎰+∞→x dt arctgt xx 。
6．设()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它,00,sin 21πx x x f ，求()()⎰=x dt t f x 0ϕ。
7．设()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+≥+=时当时当0,110,11x e x xx f x，求()⎰-21dx x f 。
清华数学试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列哪个函数是奇函数？A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = x^3 \)C. \( f(x) = |x| \)D. \( f(x) = \cos(x) \)答案：B2. 求极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}\) 的值是多少？A. 0B. 1C. \(\frac{1}{2}\)D. \(\infty\)答案：B3. 以下哪个矩阵是可逆的？A. \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\)B. \(\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\)C. \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)D. \(\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\)答案：C4. 计算定积分 \(\int_{0}^{1} x^2 dx\) 的结果是多少？A. \(\frac{1}{3}\)B. \(\frac{1}{2}\)C. \(\frac{1}{4}\)D. \(\frac{1}{6}\)答案：A5. 以下哪个方程的解是 \(x = 2\)？A. \(x^2 - 4x + 4 = 0\)B. \(x^2 - 3x + 2 = 0\)C. \(x^2 - 5x + 6 = 0\)D. \(x^2 - 6x + 9 = 0\)答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数 \(y = \ln(x)\) 的导数是 ________。
答案：\(\frac{1}{x}\)2. 向量 \(\vec{a} = (3, -2)\) 和 \(\vec{b} = (-1, 4)\) 的点积是 ________。
定积分题目及答案定积分（DefiniteIntegral）是求解一定范围内函数值的积分，也就是说获得一定范围內函数的总和。
定积分可以用于计算曲线围成的面积，这就是经典地定积分公式，即：∫a b f(x)dx = F(b) - F(a)这里F(x)表示从x = a 到 x = b 的函数f(x)在任意取值时f(x)的积分，从数学上讲就是函数F(x)的反函数，叫做反积分，是微积分领域里最重要的概念之一。
解定积分问题，就要先根据函数的特性和定积分区间确定积分的类型，然后用定积分的几何形式和数学形式来求解。
一、几何形式法几何形式法在求由直线交织而成的函数的积分时特别有用，常见的几何形式有落圆式，锐角式，三角式，折线式，对称折线式等。
求几何形式法的定积分可以根据公式：∫a b f(x)dx = (b-a)hf(i)公式中，i表示定积分区间的分割点，h表示该分割点的步长，即f(i)表示该分割点处的函数值。
二、数学形式法将定积分的问题转化成数学形式，然后求得结果，就是用数学形式法求定积分。
数学形式法主要分三步：1）先要得到积分函数函数原函数 F（x）的易解形式；2）再利用这个易解形式，求出F（x）在指定范围内的积分 F（b）-F（a）；3）最后返回结果。
例题1：求函数f ( x )=3x3-2x2-x+（1）在区间［2,6］内的定积分解：F(x)=x^4-x^3-0.5*x^2+CF(6)-F(2)=1093/2-21+C∫2 6f ( x )dx=1093/2-21+C例题2：求函数 f ( x )=2x2-3x2+（1）在区间［0,1］内的定积分解：F(x)=-x^3+x^2+CF(1)-F(0)=-1+C∫0 1f ( x )dx=-1+C。
定积分练习题(总14页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--题型1.定积分与极限的计算2.计算下列定积分3.计算下列广义积分内容一．定积分的概念与性质1.定积分的定义2.定积分的性质3.变上限函数及其导数4.牛顿—莱布尼茨公式5.换元积分公式与分部积分公式6.广义积分题型题型I 利用定积分定义求极限题型II比较定积分的大小题型III利用积分估值定理解题题型IV 关于积分上限函数以及牛顿—莱布尼茨公式问题 题型V 定积分的计算 题型VI 积分等式证明 题型VII 积分不等式证明 题型VIII 广义积分的计算自测题五1.根据极限计算定积分2.根据定积分求导3.求极限4.求下列定积分5.证明题4月21日定积分练习题基础题：一．选择题、填空题1．将和式的极限)0(.......321lim 1>+++++∞→p nn P pp p p n 表示成定积分 （ ）A ．dx x⎰101B ．dx x p⎰1C ．dx xp ⎰10)1(D ．dx nxp ⎰10)(2．将和式)21.........2111(lim nn n n +++++∞→表示为定积分 ． 3．下列等于1的积分是（ ）A ．dx x ⎰1B ．dx x ⎰+10)1(C ．dx ⎰11D ．dx ⎰10214．dx x |4|102⎰-= （ ）A ．321B ．322C ．323D ．325 5．曲线]23,0[,cos π∈=x x y 与坐标周围成的面积（ ）A ．4B ．2C ．25D ．3 6．dx e e x x ⎰-+1)(=（ ）A ．ee 1+B ．2eC ．e2D ．ee 1-7.若10xm e dx =⎰，11e n dx x=⎰，则m 与n 的大小关系是（ ） A ．m n >B ．m n <C ．m n =D ．无法确定8. 按万有引力定律，两质点间的吸引力221rm m kF =，k 为常数，21,m m 为两质点的质量，r 为两点间距离，若两质点起始距离为a ，质点1m 沿直线移动至离2m 的距离为b 处，试求所作之功（b >a ） ．9．由曲线21y x =-和x 轴围成图形的面积等于S ．给出下列结果： ①121(1)x dx --⎰；②121(1)x dx --⎰；③122(1)x dx -⎰；④0212(1)x dx --⎰．则S 等于（ ） A ．①③B ．③④C ．②③D ．②④10.0(sin cos sin )x y t t t dt =+⎰，则y 的最大值是（ ） A ．1B ．2C ．72-D ．011. 若()f x 是一次函数，且1()5f x dx =⎰，1017()6xf x dx =⎰，那么21()f x dx x⎰的值是 ．12．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠⎰=0,0,)()(2x cx x dt t tf x F x,其中)(x f 在0=x 处连续，且0)0(=f 若)(x F 在 0=x 处连续，则=c （ ）。
清华考研数学试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求f(2)的值。
A. 0B. 4C. -4D. 8答案：A2. 已知等差数列{a_n}的首项a_1 = 3，公差d = 2，求a_5的值。
A. 13B. 11C. 9D. 7答案：A3. 计算定积分∫(0到π) sin(x) dx的值。
A. 2B. -2C. 0D. π答案：C4. 设矩阵A = [[1, 2], [3, 4]]，求A的行列式值。
A. -2B. 2C. 5D. 7答案：B二、填空题（每题5分，共20分）5. 设函数g(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求g'(x)的值。
答案：3x^2 - 6x6. 已知等比数列{b_n}的首项b_1 = 2，公比q = 3，求b_3的值。
答案：187. 计算极限lim (x→0) [(sin(x) - x) / x^3]的值。
答案：1/68. 设矩阵B = [[5, -1], [2, 3]], 求B的逆矩阵。
答案：[[3/7, 1/7], [-2/7, 5/7]]三、解答题（每题10分，共60分）9. 求函数h(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的单调区间。
解答：首先求导数h'(x) = 3x^2 - 12x + 11。
令h'(x) > 0，解得x < 1或x > 3。
令h'(x) < 0，解得1 < x < 3。
因此，函数h(x)在(-∞, 1)和(3, +∞)上单调递增，在(1, 3)上单调递减。
10. 已知数列{c_n}满足c_1 = 1，c_2 = 2，且c_n = 2c_(n-1) +c_(n-2)，求c_5的值。
解答：根据递推公式，c_3 = 2c_2 + c_1 = 2*2 + 1 = 5，c_4 = 2c_3 + c_2 = 2*5 + 2 = 12，c_5 = 2c_4 + c_3 = 2*12 + 5 = 29。
第十二周习题课一．关于积分的不等式 1． 离散变量的不等式 （1）Jensen不等式：设)(x f 为],[b a 上的下凸函数，则1),,,2,1),1,0(],,[1==∈∀∈∀∑=nk k k k n k b a x λλ ，有2),(11≥≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==n x f x f k nk k k n k k λλ （2）广义AG 不等式：记x x f ln )(=为),0(+∞上的上凸函数，由Jesen 不等式可得1),,,2,1),1,0(,01==∈∀>∑=nk k k k n k x λλ ，有∑==≤∏nk k k k nk x x k11λλ当),2,1(1n k nk ==λ时，就是AG 不等式。
（3）Young 不等式：由（2）可得设111,1,,0,=+>>q p q p y x ，qyp x y x q p +≤11。
（4）Holder 不等式：设111,1,),,,2,1(0,=+>=≥qp q p n k y x k k ，则有 qnk q k pn k p k n k k k y x y x 11111⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===在（3）中，令∑∑======nk qk n k p k p k p k y Y x X Y y y X x x 11,,,即可。
（5） Schwarz 不等式：211221121⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===nk k nk k n k k k y x y x 。
（6）Minkowski 不等式：设1),,,2,1(0,>=≥p n k y x k k ，则有()pnk p k pnk p k pnk p k k y x y x 111111⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∑∑=== 证明：()()()()()∑∑∑∑=-=-=-=+++=+⋅+=+nk p k k k nk p k k k nk p k k k k nk pk ky x y y x x y x y x y x1111111记111,11=+>-=qp p p q ，由Holder 不等式 ()()()qnk p q k k pnk p k qnk p q k k pnk p k n k p k k y x y y x x y x 11)1(1111)1(111⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛≤+∑∑∑∑∑=-==-==()q n k p k k p n k p k p n k p k y x y x 111111⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑===即：()pnk p k pnk p k pnk p k ky x y x 111111⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∑∑===。
第7章 定积分的应用与广义积分 自测题2答案一、填空题1 11 ≤⎰∞+q x dxq发散，则必有若广义积分。
2．211 0=-⎰x dx广义积分.二、 选择题 1 曲线24cos2ρθ=所围成的平面图形的面积A = ( C )2()()()4()8A B C D ππ 2 椭圆2213y x +=与椭圆2213x y +=所围成的平面图形的公共部分的面积A = ( A)1()()()(3()(332A B C D ππ- 3 曲线224y x x =-+上点()00,4M 处的切线0M T 与曲线22(1)y x =-所围成的平面图形的面积A = ( C )214913()()()()49412A B C D 4 摆线(s i n )(1c o s)x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩的一拱与x 轴所围的平面图形绕x 轴旋转所得的旋转体的体积V = ( D )[][]222222022202220()(1cos )(sin )()(1cos )()(1cos )()(1cos )(sin )aa A a t d a t t B a t dt C a t dt D a t d a t t ππππππππ------⎰⎰⎰⎰ 5 以一平面截半径为r 的球,设截得的部分球高为()02h h r <<,体积为V ,则V = ( D )2222()(2)()(2)()(3) ()(3)343h h h A r h B h r h C r h D r h ππππ---- 6 曲线222333x y a +=所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积V = ( C )3333816324()()()()1051051053A a B a C a D a ππππ 7 曲线()1cos a ρθ=+的长度s = ( A)()8()4((A a B a C D 8 一半径为R 的圆弧金属丝,线密度为ρ.在圆心处有一质量为m 的质点,则金属丝与质点的引力F = ( C)2200()()()()sin RR RR Rm A R Rm B R C Rm D d R πρρρθθ--⎰⎰⎰⎰ 哪个算法是错误的?二．求解下列各题 1. 求直线x a =,它将两抛物线2225272y x x y x x =-+=-++和所围成的平面图 形二等分.解 :,,,,.y x x y x x x x x x =-+=-++-===⎧⎨⎪⎩⎪2527231200422212S x x x x dx x x dxx x =-++-+-=-+=-+=-+⎰⎰()()()()2204204320472252312332364332=-+=649632..0)4(4)2(,01642.166,26)23(3)4(32222323123023021=---=+--=+-∴=+-=+-=+-=⎰a a a a a a a a SA a a x x dx x x A aa()(),,a a a a ---==248022 04<<aa =±223 舍去()2. 求证图中阴影部分的面积等于平行四边形ABCD 面积的23,其中直线AD 与抛物线2y x =相切.)9 , 3(-证直线方程 ::(),,,BC y x y x x y -=----=-+-=494322660 '==-∴=-=⎧⎨⎩y x x y E E 211214, E BC d d S x x dxx x x 到的距离,()()=-+-+==--=----⎰12142322332611254266213 =1256.S BC d S S ABCD ABCD =⋅=--+-⋅=∴==()(),.32942542125423125622 3. 由原点引抛物线的224y x x =++两条切线,设切点分别为,A B ,求两切线 ,OA OB 与此抛物线所围成的平面图形的面积.解设切点 :(),(,),,,(),y x x x y x y =++=++=++'=+'=+2222412242222αββαααα切线方程 y x =+-+2142().αα过点两切线为 和切点为和(,),,.,,:(,)(,).0004262212242=-+=±==--ααy x y x A B ∴=++-----⎰⎰⎰S x x dx xdx xdx()222222426=--=643412163.4. 求笛卡儿叶形线3330,(0)x y axy a +-=>所围成的平面图形的面积.(提示: 利 用极坐标.)33332:cos sin 3sin cos 0+-=解a ρθρθρθθ333sin cos sin cos =+a θθρθθ4422223320019sin cos (2)2(sin cos )==+⎰⎰a S d d ππθθρθθθθ=+=+⎰⎰9131222320233244a d ad t a n se c (t a n )t a n (t a n )θθθθθθππ=-+=31322324a a t a n θπ5. 设有一容器其中内壁是由曲线2y x =绕y 轴旋转一周所得的旋转抛物面,容器原来盛有8π立方厘米的水,后又注入64π立方厘米的水,试问水面比原来升高多少厘米?解 :()V =+=86472ππ又V x dy ydy h hh===⎰⎰πππ222∴====πππππ2721222821212h h V h h ,,,,原来 h 14=. ∴=-=-=H h h cm 11248().6. 求证: 双纽线22222()()x y a x y +=-所围的平面图形绕横轴旋转一周所得的立体的体积为322ln(21).43a π⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦ 证由得:()()x y a x y 222222+=- y x a a x a 222221228=--++().V y dx x a a x a dxx a a ==--++⎰⎰2212282022220ππ()=--+++++⎡⎣⎢⎤⎦⎥ππ()ln()232222282228320222220x a x a x x a a x x a aa.32)12ln(241ln 22)322ln(23222223533223⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+π=π-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++π+π-=a a a a a a a a7. 设由不等式sin 2,02y x x π≤≤≤确定一个平面区域,(1) 求此区域的面积;(2)求 此区域绕x 轴旋转一周而得的立体的体积;(3) 求区域绕1y =-旋转一周而得的立体的体积.解:()sin cos 1212210022S xdx x ==-=⎰ππ()s i n 22202V x d xx =⎰ππ=-=-⎰πππππ214221440022(c o s )(s i n )x dx x=π24()(s i n )3211202V x dxy =-=+⎰ππ=++=+-+=++⎰ππππππππ(s i n s i n )(c o s )()202222214242222x x dxx x=+3422ππ.10分8. 半径为R 的半球形容器中装满水,然后慢慢使容器倾斜060,求流出的水量.解倾斜后只剩下:60的立体部分流出了阴影立体部分,OE R R ==sin .6032dxx R dx y V RR⎰⎰-π=π=∴23232202)(=-π()R x x R2301332=3833R9. 一个号角在xoy 平面的投影是由曲线4y y x ===及所围成.用垂直x 轴平面截得号角的横截面是圆面.试求此号角的体积.解常数截得圆的半径:x r =r x x x =-=1224 圆面积S x r x()==ππ216V S x dx xdx==⎰⎰()040416π.221616π=⋅π=10. 圆锥形容器高位H ,上底半径为R ,顶点在下方.若在其中充满某种液体,设液 体的密度随高度变化0()(1)2EE H ρρ=-其中E 为容器中某点所在水平面到顶点的距离.求圆锥形容器中的这种液体的质量.解：容器在高度为处的半径为E r RH E =.体积微元 dV r dE R H E dE==ππ2222 质量微元 dm dV E H R H E dE==-ρρπ022212().020********)21(ρπ=-ρπ==⎰⎰H R dE E H EHR dm M H H 质量11. 把质量为M 的冰块沿地面匀速推行距离L ,速度为v .设冰块质量每单位时间 减少m ,地面与冰块的摩擦系数为μ.问整个过程中克服摩擦力作了多少功?解: 力f M mt g =-μ()功 W M mt g VdtgV Mt m t L L V=-⋅=-⎰μμ()()0202=-μgL M mLV ()2或用下式解:()()()W M m xV gdxg Mx mx V gL M mL V L LL=-=-=-⎰μμμ0022212. 一抛物线弓形板底边为2米,顶点到底边距离为1米,将此板竖直沉入水中,顶点在上方,底边与水面平行.问顶点下沉到距水面多少米时,板的一侧所受水压力为7315吨? 解：先确定抛物线方程。
定积分习题及答案定积分习题及答案定积分是微积分中的重要概念之一，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
掌握定积分的计算方法和应用是学习微积分的关键。
在本文中，我们将介绍一些常见的定积分习题，并给出详细的解答。
1. 计算定积分∫(0 to 1) x^2 dx。
解答：根据定积分的定义，我们可以先求出x^2的不定积分，然后再进行定积分的计算。
x^2的不定积分为(1/3)x^3，所以∫(0 to 1) x^2 dx = (1/3)x^3 |(0 to1) = (1/3)(1^3 - 0^3) = 1/3。
2. 计算定积分∫(1 to 2) (2x + 1) dx。
解答：根据定积分的性质，我们可以将定积分拆分为两个部分：∫(1 to 2) 2x dx + ∫(1 to 2) 1 dx。
第一个部分的不定积分为x^2，第二个部分的不定积分为x。
所以∫(1 to 2) (2x + 1) dx = (x^2) |(1 to 2) + (x) |(1 to 2) = (2^2 - 1^2) + (2 - 1)= 4 - 1 + 1 = 4。
3. 计算定积分∫(0 to π) sin(x) dx。
解答：sin(x)的不定积分为-cos(x)，所以∫(0 to π) sin(x) dx = (-cos(x)) |(0 to π) = -cos(π) - (-cos(0)) = 1 - (-1) = 2。
4. 计算定积分∫(0 to 1) e^x dx。
解答：e^x的不定积分为e^x，所以∫(0 to 1) e^x dx = (e^x) |(0 to 1) = e^1 -e^0 = e - 1。
5. 计算定积分∫(0 to 2π) cos(x) dx。
解答：cos(x)的不定积分为sin(x)，所以∫(0 to 2π) cos(x) dx = (sin(x)) |(0 to 2π)= sin(2π) - sin(0) = 0。
第7章 定积分的应用与广义积分 自测题1答案一、填空题1．广义积分212+∞-=⎰xxedx 。
2．11>⎰∞+n xdx n收敛，则自然数若广义积分。
二、选择题1曲线,x xy e y e -==及x e =所围成的平面图形的面积A = ( C )1()()()(ln ln)()()()()eee e eex xee eex xxxA e edx B y dyyC e edx D ee dx---------⎰⎰⎰⎰ 2曲线3cos ρθ=和1cos ρθ=+所围成的平面图形的公共部分的面积A =( D )44323424323222222022011()(1cos )(3cos )2211()(1cos )(3cos )2211()2(1cos )(3cos )2211()2(1cos )(2cos )22A d dB d dC d dD d d ππππππππππππθθθθθθθθθθθθθθθθ++++++⎡++⎢⎣⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰3 由曲线()321y x =-和2x =所围成的平面图形绕x 轴旋转所得的旋转体的体积为( D )1() ()()()2344A B C D πππ 4 星形线33cos sin x a t y a t ⎧=⎪⎨=⎪⎩的全长为 ( D )222222()4sec 3cos (sin )()2sec 3cos (sin )()2sec 3cos (sin )()4sec 3cos (sin )A t a t t dtB t a t t dtC t a t t dtD t a t t dtππππ⋅-⋅-⋅-⋅-⎰⎰⎰⎰ 5 一圆盘的半径为R ,而密度为()r ρ,其中r 为圆盘上一点到圆心的距离,则其质量M =( C )000()()()2()()2()()4()RR R RA r drB r drC r r drD r drρπρπρρ⎰⎰⎰⎰ 6 一火箭有燃料M ,发射升空H 后耗尽,设燃料消耗是均匀的,则运送燃料所做的功是W = ( C )2000()(1)()(1)()(1)()HHHHh h A M gh dh B M ghdhH Hh C M gdh D M ghdhH---⎰⎰⎰⎰ 7 两个半径为a 的直交圆柱面所围立体的体积V = ( A )22222222()8()()16()()2()()4()aaaaA a x dxB a x dxC a x dxD a x dx----⎰⎰⎰⎰ 8 设1s 是由抛物线24y x =与直线,1,0x a x y ===所围成平面图形, 2s 是由抛物线24y x =与直线,0x a y ==所围成平面图形(01a <<),设1s ,2s 分别绕x 轴,y 轴旋转而得到的旋转体的体积为1V ,2V ,则1V +2V 为最大时的a 值是( D )111()1()()()342A B C D 9 x x x 1sinlim ∞→之值 （ A ）不存在但不是无穷大 )()(0)(1)(D C B A ∞===。
以下是几个广义积分的典型例题：1. 求定积分 |x^2 - 1|， 1≤x≤2。
解答：这个定积分可以分成两部分来计算。
对于1≤x≤1，有|x^2 - 1| = 1 - x^2，而对于1≤x≤2，有|x^2 - 1| = x^2 - 1。
因此，我们可以得到：∫(1 to 1) (1 - x^2) dx + ∫(1 to 2) (x^2 - 1) dx = (1 - 1) + (2^2 - 1) = 1 + 3 = 4。
所以，|x^2 - 1|在1≤x≤2的定积分的值为4。
2. 求不定积分 ∫(0 to π) (sin x)^3 dx。
解答：这个不定积分可以使用分部积分法来计算。
我们令u = (sin x)^2，dv = cos x dx，那么 du = 2sin x cos x dx，v = sin x。
因此：∫(0 to π) (sin x)^3 dx = ∫(0 to π) u(dv) = u(v) - ∫(0 to π) u du = sin x(sin x)^2 - 2∫(0 to π) (sin x)^2 dx。
现在，我们计算∫(0 to π) (sin x)^2 dx。
这个积分可以使用幂函数的积分公式来计算：∫(0 to π) (sin x)^2 dx = (-1/3)π^3/6 + C。
因此，不定积分 ∫(0 to π) (sin x)^3 dx 的结果为 sin x(sin x)^2 - (-1/3)π^3/6。
3. 求广义积分 ∫(-1 to 1) (sin x)^2 dx。
解答：这个广义积分可以使用柯西积分公式来计算。
对于任意的x，有：|sin x|^2 dx = 1 - (cos 2x)/2 = 1/2 - sin 2x/2。
因此，广义积分 ∫(-1 to 1) (sin x)^2 dx = (1/2) - ∫(-1 to 1) sin 2x/2 dx。
∫(-1 to 1) sin 2x/2 dx 可以使用幂函数的积分公式来计算：∫(-1 to 1) sin 2x/2 dx = (-1/4)π^2/2 + C。
