2017年全国高中数学联合竞赛试题与解答(B卷)

2017年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分.1.在等比数列{}n a中，2a =，3a =1201172017a a a a ++的值为 .2.设复数z 满足91022z z i +=+，则||z 的值为 .3.设()f x 是定义在R 上的函数，若2()f x x +是奇函数，()2xf x +是偶函数，则(1)f 的值为 . 4.在ABC ∆中，若sin 2sin A C =，且三条边,,a b c 成等比数列，则cos A 的值为 .5.在正四面体ABCD 中，,E F 分别在棱,AB AC 上，满足3BE =，4EF =，且EF 与平面BCD 平行，则DEF ∆的面积为 .6.在平面直角坐标系xOy 中，点集{(,)|,1,0,1}K x y x y ==-，在K 中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为 .7.设a 为非零实数，在平面直角坐标系xOy 中，二次曲线2220x ay a ++=的焦距为4，则a 的值为 .8.若正整数,,a b c 满足2017101001000a b c ≥≥≥，则数组(,,)a b c 的个数为 .二、解答题 （本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）9.设不等式|2||52|xxa -<-对所有[1,2]x ∈成立，求实数a 的取值范围.10.设数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 满足212n n n n b a a a ++=-，1,2,n =L .（1）证明：数列{}n b 也是等差数列；（2）设数列{}n a 、{}n b 的公差均是0d ≠，并且存在正整数,s t ，使得s t a b +是整数，求1||a 的最小值.11.在平面直角坐标系xOy 中，曲线21:4C y x =，曲线222:(4)8C x y -+=，经过1C 上一点P 作一条倾斜角为45o的直线l ，与2C 交于两个不同的点,Q R ，求||||PQ PR ⋅的取值范围.2017年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）一、（本题满分40分）设实数,,a b c 满足0a b c ++=，令max{,,}d a b c =，证明：2(1)(1)(1)1a b c d +++≥-二、（本题满分40分）给定正整数m ，证明：存在正整数k ，使得可将正整数集N +分拆为k 个互不相交的子集12,,,k A A A L ，每个子集i A 中均不存在4个数,,,a b c d （可以相同），满足ab cd m -=.三、（本题满分50分）如图，点D 是锐角ABC ∆的外接圆ω上弧BC 的中点，直线DA 与圆ω过点,B C 的切线分别相交于点,P Q ，BQ 与AC 的交点为X ，CP 与AB 的交点为Y ，BQ 与CP 的交点为T ，求证：AT 平分线段XY .四、（本题满分50分）设1220,,,{1,2,,5}a a a ∈L L ，1220,,,{1,2,,10}b b b ∈L L ，集合{(,)120,()()0}i j i j X i j i j a a b b =≤<≤--<，求X 的元素个数的最大值.一试试卷答案1.答案：89解：数列{}n a的公比为32a q a ==，故120111201166720171201118()9a a a a a a q a a q ++===++. 2.解：设,,z a bi a b R =+∈，由条件得(9)10(1022)a bi a b i ++=+-+，比较两边实虚部可得9101022a ab b +=⎧⎨=-+⎩，解得：1,2a b ==，故12z i =+，进而||z =3.答案：74-解：由条件知，2(1)1((1)(1))(1)1f f f +=--+-=---，1(1)2(1)2f f +=-+， 两式相加消去(1)f -，可知：12(1)32f +=-，即7(1)4f =-. 4.答案：4-解：由正弦定理知，sin 2sin a A c C==，又2b ac =，于是::2a b c =，从而由余弦定理得：222222cos 24b c a A bc +-===. 5.答案：解：由条件知，EF 平行于BC ，因为正四面体ABCD 的各个面是全等的正三角形，故4AE AF EF ===，7AD AB AE BE ==+=.由余弦定理得，DE==，同理有DF =作等腰DEF ∆底边EF 上的高DH ，则122EH EF ==，故DH ==于是12DEF S EF DH ∆==g6.答案：514解：注意K 中共有9个点，故在K 中随机取出三个点的方式数为3984C =种，当取出的三点两两之间距离不超过2时，有如下三种情况： （1）三点在一横线或一纵线上，有6种情况，（2）三点是边长为2的等腰直角三角形的顶点，有4416⨯=种情况，（32,2,2的等腰直角三角形的顶点，其中，直角顶点位于(0,0)的有4个，直角顶点位于(1,0)±，(0,1)±的各有一个，共有8种情况.综上可知，选出三点两两之间距离不超过2的情况数为616830++=，进而所求概率为3058414=. 7.答案：1172解：二次曲线方程可写成2221x y a a--=，显然必须0a ->，故二次曲线为双曲线，其标准方程为22221()()x a a =--，则2222)()c a a a a =-+-=-，注意到焦距24c =，可知24a a -=，又0a <，所以117a -=. 8.答案：574 解：由条件知2017[]21000c ≤=，当1c =时，有1020b ≤≤，对于每个这样的正整数b ，由10201b a ≤≤知，相应的a 的个数为20210b -，从而这样的正整数组的个数为2010(1022)11(20210)5722b b =+⨯-==∑，当2c =时，由201720[]100b ≤≤，知，20b =，进而2017200[]20110a ≤≤=， 故200,201a =，此时共有2组(,,)abc .综上所述，满足条件的正整数组的个数为5722574+=.9.解：设2xt =，则[2,4]t ∈，于是|||5|t a t -<-对所有[2,4]t ∈成立，由于22|||5|()(5)t a t t a t -<-⇔-<-，(25)(5)0t a a ⇔---<，对给定实数a ，设()(25)(5)f t t a a =---，则()f t 是关于t 的一次函数或常值函数，注意[2,4]t ∈，因此()0f t <等价于(2)(1)(5)0(4)(3)(5)0f a a f a a =---<⎧⎨=--<⎩，解得35a <<所以实数a 的取值范围是35a <<.10.解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则22123112()()n n n n n n n n b b a a a a a a ++++++-=---23111()()()n n n n n n n a a a a a a a +++++=--+-212()n n n a d a a d ++=-+g g 221(2)3n n n a a a d d ++=--=g所以数列{}n b 也是等差数列.（2）由已知条件及（1）的结果知：23d d =，因为0d ≠，故13d =，这样2212()(2)n n n n n n n b a a a a d a d a ++=-=++-22329n n da d a =+=+若正整数,s t 满足s t a b Z +∈，则1122(1)(1)99s t s t a b a b a s d a t d +=++=+-++-+ 122239s t a Z +-=++∈. 记122239s t l a +-=++，则l Z ∈，且1183(31)1a l s t =--++是一个非零的整数，故1|18|1a ≥，从而11||18a ≥.又当1118a =时，有1311711818a b Z +=+=∈，综上所述，1||a 的最小值为118.11.解：设2(,2)P t t ，则直线l 的方程为22y x t t =+-，代入曲线2C 的方程得，222(4)(2)8x x t t -++-=，化简可得：222222(24)(2)80x t t x t t --++-+=①，由于l 与2C 交于两个不同的点，故关于x 的方程①的判别式∆为正，计算得，222222222(24)2((2)8)(2)8(2)162(2)164t t t t t t t t t t ∆=-+--+=---+---222(2)8(2)t t t t =--+-22(2)(28)t t t t =----(2)(2)(4)t t t t =--+-，因此有(2,0)(2,4)t ∈-U ，②设,Q R 的横坐标分别为12,x x ，由①知，21224x x t t +=-+，22121((2)8)2x x t t =-+， 因此，结合l 的倾斜角为45o可知，2224121212||||))22()2PQ PR x t x t x x t x x t --=-++g22224(2)82(24)2t t t t t t =-+--++43243244482482t t t t t t t =-++-+-+ 4248t t =-+ 22(2)4t =-+，③由②可知，22(2,2)(2,14)t -∈-U ，故22(2)[0,4)(4,196)t -∈U ，从而由③得：22||||(2)4[4,8)(8,200)PQ PR t =-+∈g U注1：利用2C 的圆心到l 的距离小于2C 的半径，列出不等式2|< 同样可以求得②中t 的范围.注2：更简便的计算||||PQ PR g 的方式是利用圆幂定理，事实上，2C 的圆心为(4,0)M ，半径为r =故22222242||||||(4)(2)48PQ PR PM r t t t t =-=-+-=-+g.加试试卷答案一、证明：当1d ≥时，不等式显然成立以下设01d ≤<，不妨设,a b 不异号，即0ab ≥，那么有(1)(1)11110a b a b ab a b c d ++=+++≥++=-≥->因此222(1)(1)(1)(1)(1)111a b c c c c c d +++≥-+=-=-≥-二、证明：取1k m =+，令{(mod 1),}i A x x i m x N +=≡+∈，1,2,,1i m =+L 设,,,i a b c d A ∈，则0(mod 1)ab cd i i i i m -≡•-•=+，故1m ab cd +-，而1m m +，所以在i A 中不存在4个数,,,a b c d ，满足ab cd m -=三、证明：首先证明//YX BC ，即证AX AYXC YB=连接,BD CD ，因为ACQ ACQABC ABC ABP ABPS S S S S S ∆∆∆∆∆∆•=， 所以111sin sin sin 222111sin sin sin 222AC CQ ACQ AC BC ACB AC AQ CAQ AB BC ABC AB BP ABP AB AP BAP •∠•∠•∠•=•∠•∠•∠， ① 由题设，,BP CQ 是圆ω的切线，所以ACQ ABC ∠=∠，ACB ABP ∠=∠，又CAQ DBC DCB BAP ∠=∠=∠=∠（注意D 是弧BC 的中点），于是由①知AB AQ CQAC AP BP•=• ② 因为CAQ BAP ∠=∠，所以BAQ CAP ∠=∠，于是1sin 21sin 2ABQ ACP AB AQ BAQ S AB AQ S AC APAC AP CAP ∆∆•∠•==••∠ ③ 而1sin 21sin 2BCQ BCPBC CQ BCQ S CQ S BP BC BP CBP ∆∆•∠==•∠ ④由②，③，④得ABQ CBQ ACPBCPS S S S ∆∆∆∆=，即ABQ ACPCBQ BCPS S S S ∆∆∆∆=又ABQ CBQS AX S XC ∆∆=，ACP BCPS AYS YB ∆∆= 故AX AY XC YB=设边BC 的中点为M ，因为1AX CM BYXC MB YA••=， 所以由塞瓦定理知，,,AM BX CY 三线共点，交点即为T ，故由//YX BC 可得AT 平分线段XY四、解：考虑一组满足条件的正整数12201220(,,,,,,,)a a a b b b L L对1,2,,5k =L ，设120,,a a L 中取值为k 的数有k t 个，根据X 的定义，当i j a a =时，(,)i j X ∉，因此至少有521kt k C=∑个(,)i j 不在X 中，注意到5120kk t==∑，则柯西不等式，我们有5555522211111111120()(())20(1)3022525kt k k k k k k k k k C t t t t ======•-≥•-=••-=∑∑∑∑∑ 从而X 的元素个数不超过2203019030160C -=-=另一方面，取4342414k k k k a a a a k ---====（1,2,,5k =L ），6i i b a =-（1,2,,20i =L ）， 则对任意,i j （120i j ≤<≤），有2()()()((6)(6))()0i j i j i j i j i j a a b b a a a a a a --=----=--≤等号成立当且仅当i j a a =，这恰好发生24530C =次，此时X 的元素个数达到22030160C -=综上所述，X 的元素个数的最大值为160.。

2017年全国高中数学联赛试题与答案第一试一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．1.设()f x 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有()()341f x f x +⋅-=-．又当07x ≤<时，()()2log 9f x x =-，则()100f -的值为 ．答案：1.2-解：由条件知，()()()114,7f x f x f x +=-=+所以()()()()21111001001472.5log 42f f f f -=-+⨯=-=-=-=- 2.若实数,x y 满足22cos 1x y +=，则cos x y -的取值范围是 ．答案：1.⎡⎤-⎣⎦解：由于[]212cos 1,3x y =-∈-，故.x ⎡∈⎣由21cos 2x y -=可知，()2211cos 1 1.22x x y x x --=-=+-因此当1x =-时，cos x y -有最小值（这时y 可以取2π）；当x =cos x y -1（这时y 可以取π）．由于()21112x +-的值域是1⎡⎤-⎣⎦，从而cos x y -的取值范围是1.⎡⎤-⎣⎦ 3.在平面直角坐标xOy 中，椭圆C 的方程为221910x y +=，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积的最大值为 ．解：易知()()3,0,0,1.A F 设P的坐标是()3cos ,0,,2πθθθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则11313cos 23OAPF OAP OFP SS S θθ=+=⋅+⋅⋅)()3sin .2θθθϕ=+=+其中ϕ=当θ=时，四边形OAPF 另解：易知()()3,0,0,1.A F 经过C 上位于第一象限内点()000,P x y 一条切线与直线1AF 平行．该切线方程为001910x x y y+=． 因为这两条平行直线的斜率相等，所以 00101.93x y -⋅=- 又因22001,910x y +=所以00x y ==易得点0P ⎝⎭到直线1:330AF x y +-=)1.于是，四边形OAPF 的面积的最大值为)01131122OAF FAP S S +=⋅⋅+=4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过1，则称其为“平稳数”．平稳数的个数是 ．答案：75.解：考虑平稳数abc ．若0b =，则{}1,0,1a c =∈，有2个平稳数．若1b =，则{}1,2a ∈，{}0,1,2c ∈，有236⨯=个平稳数． 若28b ≤≤，则{},1,,1a c b b b ∈-+，有73363⨯⨯=个平稳数． 若9b =，则{},8,9a c ∈，有224⨯=个平稳数． 综上可知，平稳数的个数是2663475.+++= 另解：设abc 是一个平稳数，则1b a -≤且 1.c b -≤ 由1b a -≤可知0b a -=，1．由1c b -≤可知c b -=0，1. 1）若0,0b a c b -=-=，则,1,2,,9abc aaa a ==，有9个平稳数．2）若0,1b a c b -=-=，则 ,1,b a c a =⎧⎨=+⎩或,1.b a c a =⎧⎨=-⎩于是，()1abc aa a =+，1,2,,8a =；或()1abc aa a =-，1,2,,9a =．有8917+=个平稳数．3）若1,0b a c b -=-=，则 ,1,c b a b =⎧⎨=-⎩或, 1.c b a b =⎧⎨=+⎩ 于是，()1abc b bb =-，2,3,,9b =；或()1,0,1,,8abc b bb b =+=．有8917+=个平稳数．4）若1,1b a c b -=-=，则1b a -=±， 1.c b -=± 由1,1b a c b -=-=得()()12,1,2,,7abc a a a a =++=；由1,1b a c b -=-=-得()1,1,2,,8abc a a a a =+=；由1,1b a c b -=--=得()1,1,2,,9abc a a a a =-=；由1,1b a c b -=--=-得()()12,2,3,,9.abc a a a a =--=有789832+++=个平稳数．综上可知，平稳数的个数为 917173275.+++=5.正三棱锥P -ABC 中，1,2AB AP ==，过AB 的平面α将其体积平分，则棱PC 与平面α所成角的余弦值为 ．解：设,AB PC 的中点分别为,K M ，则易证平面ABM 就是平面α．由中线长公式知()()222222*********,24242AM AP AC PC =+-=+-⨯=所以KM ==又易知直线PC 在平面α上的射影是直线MK，而1,CM KC ==所以222531cos 2KM MC KC KMC KM MC +-+-∠===⋅故棱PC 与平面α6.在平面直角坐标系xOy 中，点集(){},|,1,0,1.K x y x y ==-在K 中随机取出三个点，则的概率 ．答案：4.7解：易知K 中有9个点，故在K 中随机取出三个点的方式有3984C =种．将K 中的点按右图标记为128,,,,,A A A O 其中有8由对称性，考虑14,A A 两个点的情况，则剩下的一个点有7种取法．这样有7856⨯=个三点组（不计每组中三点的次序）．对每个()1,2,,8i A i =，K 中恰有35,i i A A ++（这里下标按模8理解），因而恰有{}()35,,1,2,,8i i i A A A i ++=这8个三点组被记了两次．从而满足条件的三点组个数为56848-=，进而所求概率为484.847= 7.在ABC 中，M 是BC 的中点，N 是线段BM 的中点．若3A π∠=，ABC 的面积AM AN ⋅的最小值为 ．1. 解：由条件知，()131,244AM AB AC AN AB AC =+=+，故()22131134.2448AM AN AB AC AB AC AB AC AB AC ⎡⎤⎛⎫⋅=+⋅+=++⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦13sin ,24ABCSAB AC A AB AC ==⋅⋅⋅=⋅⋅所以4AB AC ⋅=，进一步可得 cos 2,AB AC AB AC A ⋅=⋅⋅=从而2212348AM AN AB AC AB AC ⎛⎫⋅≥⋅+⋅ ⎪⎝13 1.2AB AC AB AC ⋅+⋅=+当,2AB AC ==AM AN ⋅ 1.8.设两个严格递增的正整数数列{}n a ，{}n b 满足：10102017a b =<，对任意正整数n ， 有211,2,n n n n n a a a b b +++=+=则11a b +的所有可能值为 ．答案：13,20.解：由条件可知：121,,a a b 均为正整数，且12.a a <由于9101120172512b b b >=⋅=，故{}11,2,3.b ∈反复运用{}n a 的递推关系知 1098877665542325385a a a a a a a a a a a =+=+=+=+=+43322113821131421,a a a a a a =+=+=+ 因此1101032212121133421,a a b a a a a ≡==+=+而13213481⨯=⨯+，故()1111132113226mod34.a a b b ≡⨯≡⨯= ①另一方面，注意到12a a <，有1211553421512,a a a b <+=故11512.55a b <② 当11b =时，①，②分别化为()1151226mod34,,55a a ≡<无解． 当12b =时，①，②分别化为()11102452mod34,,55a a ≡<得到唯一的正整数118,a =此时1120.ab +=当13b =时，①，②分别化为()11153678mod34,55a a ≡<，得到唯一的正整数110,a =此时1113.ab +=综上所述，11a b +的所有可能的值为13,20.二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分16分）设,k m 为实数，不等式21x kx m --≤对所有[],x a b ∈成立．证明：b a -≤证明：令()2f x x kx m =--，[],x a b ∈，则()[]1,1.f x ∈-于是 ()21,f a a ka m =--≤ ① ()21,f b b kb m =--≤ ②21.222a b a b a b f k m +++⎛⎫⎛⎫=-⋅-≥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭③ 由①+②2-⨯③知，()()()22 4.22a b a b f a f b f -+⎛⎫=+-≤ ⎪⎝⎭故b a -≤另证：令()2f x x kx m =--，[],.x a b ∈因为不等式()1f x ≤对所有[],x a b ∈成立，所以()f x 在[],a b 上的最大值与最小值之差不超过2．下面用反证法证明b a -≤假设b a ->1）当2ka ≥时，()()(()2f b f a f a f a ≥->+-((()22a k a m a ka m =+-+----228a ka m a ka m =++----++888.2k=-+≥-+=矛盾．2）当2kb ≤时， ()()(()2f a f b f b f b ≥->--888.2k=-++≥-++=矛盾．3）当2ka b <<时， ⅰ）若22k a b+≤，则 ()()222k a b f b f f b f +⎛⎫⎛⎫≥-≥-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222a b a b a b f f +++⎫⎛⎫>-=+⎪ ⎪⎭⎝⎭2 2.2k≥+=矛盾．ⅱ）若22k a b+>，则 ()()22222k a b a b a b f a f f a f f f +++⎛⎫⎛⎫⎛⎛⎫≥->->- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎝⎭22 2.22a b k+=-++>-+=矛盾．10.（本题满分20分）设123,,x x x 是非负实数，满足1231x x x ++=，求 ()3212313535x x x x x x ⎛⎫++++⎪⎝⎭的最大值和最小值．解：由柯西不等式()3212313535x x x x x x ⎛⎫++++≥ ⎪⎝⎭ ()2123 1.x x x =++=当1231,0,0x x x ===时不等式等号成立，故欲求的最小值为1. 因为()()52123113312315353553553x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫++++=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()2123123115355543x x x x x x ⎡⎤⎛⎫≤⋅+++++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦212311466203x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()212319666,205x x x ≤++= 当12311,0,22x x x ===时不等式等号成立，故欲求的最大值为9.511.（本题满分20分）设复数12,z z 满足()()12Re 0,Re 0z z >>，且()()2212Re Re 2z z ==（其中()Re z 表示复数z 的实部）． （1）求()12Re z z 的最小值；（2）求121222z z z z +++--的最小值．解：对1,2k =，设()i ,k k k k k z x y x y R =+∈．由条件知()()222Re 0,Re 2.k k k k k x z z y z =>-== 因此()()()()1211221212Re Re i i z z x y x y x x y y =++=-()12122 2.y y y y +-≥又当12z z ==()12Re 2z z =．这表明，()12Re z z 的最小值为2.（2）对1,2k =，将k z 对应到直角坐标系xOy 中的点(),k k k P x y ．记2P '是2P 关于x 轴的对称点，则12,P P '均位于双曲线22:2C x y -=的右支上．设12,F F 分别是C 的左、右焦点，易知()()122,0,2,0.F F -根据双曲线的定义，有11122122PF PF P FP F ''=+=+进而得 1212112222z z z z z z z +++--=++-112112122212PF P F PP PF P F PP ''''=+-=+-≥等号成立当且仅当2F 位于线段12P P '上（例如，当122z z ==时，2F 恰是12P P '的中点）．综上可知，121222z z z z +++--的最小值为加试题一、（本题满分40分）如图，在ABC 中，AB AC =，I 为ABC 的内心．以A 为圆心，AB 为半径作圆1Γ，以I 为圆心，IB 为半径作圆2Γ，过点B 、I 的圆3Γ与1Γ、2Γ分别交于点P 、Q （不同于点B ）．设IP 与BQ 交于点R ．证明：.BR CR ⊥证明：连接,,,,.IB IC IQ PB PC由于点Q 在圆2Γ上，故,IB IQ =所以.IBQ IQB ∠=∠又,,,B I P Q 四点共圆，所以,IQB IPB ∠=∠于是,IBQ IPB ∠=∠ 故IBP ∽IRB ，从而有,IRB IBP ∠=∠且RQP ICBA A BCIP Q R,IB IP IR IC= 注意到AB AC =，且I 为ABC 的内心，故IB IC =，所以,IC IP IR IC= 于是ICP ∽IRC ，故.IRC ICP ∠=∠又点P 在圆1Γ的弧BC 上，故11802BPC A ∠=-∠，因此BRC IRB IRC IBP ICP ∠=∠+∠=∠+∠360BIC BPC =-∠-∠113609018022A A ⎛⎫⎛⎫=-+∠--∠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭90,= 故.BR CR ⊥二、（本题满分40分）设数列{}n a 定义为11,a = 1,,1,2,.,,n n n nn a n a n a n a n a n ++≤⎧⎪==⎨->⎪⎩若若求满足20173r a r <≤的正整数r 的个数．解：由数列定义可知121, 2.a a ==假设对某个2r ≥有r a r =，我们证明对1,,1t r =-，有2122121,2.r t r t a r t r t a r t r t +-+=+->+-=-<+ ①对t 归纳证明．当1t =时，由于r a r r =≥，由定义，121,r r a a r r r r r +=+=+=>+()()2112112r r a a r r r r r ++=-+=-+=-<+，结论成立．设对某个11t r ≤<-，①成立，则由定义()21222221,r t r t a a r t r t r t r t r t +++=++=-++=+>++()()222121221122,r t r t a a r t r t r t r t r t ++++=-++=+-++=--<++即结论对1t +也成立．由数学归纳法知，①对所有1,2,,1t r =-成立，特别当1t r =-时，有321r a -=，从而()3132323 1.r r a a r r --=+-=- 若将所有满足r a r =的正整数r 从小到大记为12,,,r r 则由上面的结论可知1211,2,31,2,3,.k k r r r r r +===-=由此可知，()11131,,122k k r r k m +⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，从而11111313.222m m m r r --+⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭由于201730182017201820193131322r r ++=<<=，在20171,2,,3中满足r a r =的数r 共有2018个，为122018,,,.r r r由①可知，对每个1,2,,2017k =，1,2,,32k k k r r r ++-中恰有一半满足.r a r <由于2017201831112r ++=+与20173均为奇数，而在201720181,,3r +中，奇数均满足r a r >，偶数均满足r a r <，其中偶数比奇数少1个．因此满足20173r a r <≤的正整数r 的个数为()20172017132019320181.22---= 另解：易知1231,2,4a a a ===；4567891,5,10,4,11,3,a a a a a a ======10111212,2,13a a a ===；1314151617181920211,14,28,13,29,12,30,11,31,a a a a a a a a a =========222310,32,a a == 242526272829309,33,8,34,7,35,6,a a a a a a a =======31323336,5,37,a a a ===344,a = 353637383938,3,39,2,40a a a a a =====；……当正整数n 足够大时，若1n a =，则()121321,1,122,2,n n n n n n n a a a n n a a n n a a n n +++++==+=+=++=+=-+=()435465323,41,524,n n n n n n a a n n a a n n a a n n ++++++=++=+=-+=-=++=+由以上等式易观察出：若1n a =，正整数2k n <+，则 2122,2 1.n k n k a n k a n k +-+=-+=++因为当21n k -+=时，1k n =+，2131,n k n +-=+所以，当1n a =时，使得1m a =且m n >的最小正整数3 1.m n =+当1n >，且1n a =时， 11,11n n a n a n n +=<=+≤+，2222,n a n n +=+>+ 212221,212,2,,.n k n k a n k n k a n k n k k n +-+=-+<+-=++>+= 因为11a =，所以使得1m a =且1m >的最小正整数31m =+．因为311a +=，所以使得1m a =且31m >+的最小正整数()2331133 1.m =⋅++=++依此类推下去，可知使得1n a =的一切正整数n 分别为221,13,133,,1333,k +++++++．设220121,13,133,,1333,k k n n n n ==+=++=++++．易知2007201620173,n n <<20161n a =，2016201612016201622016201611,22 2.n n a n n a n n ++=+≤+=+>+ 201620162120162016220162016221,212,n k n k a n k n k a n k n k +-+=-+<+-=++>+2017201632,,.2n k -=满足01,r a r n r n <≤<的正整数r 的个数为零；满足,3r i i a r n r n <≤<+ 的正整数r 的个数为1，1,2,,2016.i =满足1331i i i n r n n ++≤<=+的正整数r 共有22i n -（偶数）个，1,2,,2015,i =其中分别使得r a r <和r a r >的各占一半．满足2017201633n r +≤≤的正整数r 共有2017201632n --（偶数）个，其中分别使得r a r <和r a r >的各占一半．于是，满足20173r a r <≤的正整数r 的个数为20172017332017320192016.22-⨯-+=三、（本题满分50分）将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等．若相邻两个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”．试求分隔边条数的最小值．解：记分隔边的条数为L ．首先，将方格纸按如图分成三个区域，分别染成三种颜色， 粗线上均为分隔边，此时共有56条分隔边，即56.L =粗线上均为分隔边，此时共有56条分隔边，即56.L =下面证明56.L ≥将方格纸的行从上至下依次记为1233,,,A A A ，列从左至右依次记为1233,,,B B B ．行i A 中方格出现的颜色数记为()i n A ，列i B 中方格出现的颜色个数记为()i n B ．三种颜色分别记为123,,.c c c 对于一种颜色j c ，设()j n c 是含有j c 色方格的行数与列数之和．记()1,,0,i j i j A c A c δ⎧⎪=⎨⎪⎩若行含有方格，否则，类似地定义(),i j B c δ．于是()()()()()()33333111,,iiijiji i j n A n B A c B c δδ===+=+∑∑∑11331716()()()()3333111,,.i j i j j j i j A c B c n c δδ====+=∑∑∑由于染j c 色的方格有21333633⋅=个，设含有j c 色方格的行有a 个，列有b 个，则j c 色的方格一定在这a 行和b 列的交叉方格中，因此363ab ≥，从而()38,j n c a b =+≥> 故 ()39,1,2,3.j n c j ≥= ①由于在行i A 中有()i n A 种颜色的方格，因此至少有()1i n A -条分隔边．同理在列j B 中，至少有()1j n B -条分隔边．于是()()()()33331111i i i i L n A n B ==≥-+-∑∑()()()33166i i i n A n B ==+-∑ ②()3166.j j n c ==-∑ ③下面分两种情形讨论．情形 1：有一行或一列全部方格同色．不妨设有一行全为1c 色，从而方格纸的33列中均含有1c 色方格．由于1c 色方格有363个，故至少有11行中含有1c 色方格，于是()1113344.n c ≥+= ④由①，③及④即得()()()123664439396656.L n c n c n c ≥++-≥++-=情形2：没有一行也没有一列的全部方格同色．则对任意133i ≤≤，均有 ()()()33166334666656.i i i L n A n B =≥+-≥⨯-=>∑综上所述，分隔边条数的最小值等于56. 四、（本题满分50分）设,m n 均是大于1的整数，.m n ≥12,,,n a a a 是n 个不超过m 的互不相同的正整数，且12,,,n a a a 互素．证明：对任意实数x ，均存在一个()1i i n ≤≤，使得()2,1i a x x m m ≥+这里y 表示实数y 与它最近的整数的距离．证明：首先证明以下两个结论． 结论1：存在整数12,,,n c c c ，满足11221,n n c a c a c a +++=并且,1.i c m i n ≤≤≤由于()12,,,1n a a a =，由裴蜀定理，存在整数12,,,n c c c ，满足1122 1.n n c a c a c a +++= ①下面证明，通过调整，存在一组12,,,n c c c 满足①，且绝对值均不超过m ．记()()112212,,,0,,,,0.i j n in j c mc mS c c c cS c c c c ><-=≥=≥∑∑如果10S >，那么存在1,i c m >>于是1,i i c a >又因为12,,,n a a a 均为正数，故由① 可知存在0.j c <令i i c c a '=-。

2017年全国高中数学联赛甘肃赛区试卷一、填空题（每题7分，满分70分，将答案填在答题纸上）1.已知函数()1f x +为奇函数，函数()1f x -为偶函数，且()02f =，则()4f = ．2.已知0a >，,x y 满足约束条件()133x x y y a x ⎧≥⎪+≤⎨⎪≥-⎩，若2z x y =+的最小值为1，则a = ．3. 已知向量()222,cos ,,sin 2m a b m λλαα⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭，其中,,m λα为实数，若2a b =，则m λ的取值范围是 ．4.某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等），则在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少一个被选中的概率是 ．5.若()()()()()234550123452121212121a a x a x a x a x a x x +-+-+-+-+-=，则2a = ． 6.已知PAD ∆所在平面与矩形ABCD 所在平面互相垂直，2,60PA PD AB APD ===∠=︒，若点,,,,P A B C D 都在同一个球面上，则此球的表面积为 ．7.已知正数,a b 满足21a b +=，则224a b ++的最大值为 ．8.设复数123z z i =-=，)2z iθθ=++，则12z z z z -+-的最小值是 ．9. 已知,a R b R +∈∈，e 为自然对数的底数，则()()22ln a e b a b -+-的最小值为 ． 10.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，12,A A 是实轴顶点，F 是右焦点，()0,B b 是虚轴端点，若在线段BF 上（不含端点）存在不同的两点()1,2i P i =，使得()121,2i P A A i ∆=构成以12A A 为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e 的取值范围是 ．二、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）11. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分为,,a b c ，且()(222a b c bc --=，2sin sin cos 2C A B =，BC 上的中线AM（1）求角A 和角B 的大小；（2）求ABC ∆的面积.12. 在一次全省科普知识竞赛中，某市3000名参赛选手的初赛成绩统计如图所示.（1）求t 的值，并估计该市选手在本次竞赛中，成绩在[)80,90上的选手人数；（2）如果在本次竞赛中该市计划选取1500人入围决赛，那么进入决赛选手的分数应该如何制定？（3）如果用该市参赛选手的成绩情况估计全省参赛选手的成绩情况，现从全省参赛选手中随机抽取4名选手，记成绩在80（含80）分以上的选手人数为ξ，试求ξ的分布列和期望.13.已知在数列{}n a 中，11a =，当2n ≥时，其前n 项和n S 满足212n n n S a S ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭. （1）求n S 的表达式；（2）设21n n S b n =+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明12n T <. 14.如图，将边长为4的等边三角形ABC ∆沿与边BC 平行的直线EF 折起，使得平面AEF ⊥平面BCFE ，O 为EF 的中点.（1）求二面角F AE B --的余弦值；（2）若BE ⊥平面AOC ，试求折痕EF 的长.15. 设向量,i j 为平面直角坐标系中,x y 轴正方向上的单位向量，若向量()()2,2a x i yj b x i yj =++=-+，且2a b -=.（1）求满足上述条件的点(),P x y 的轨迹方程；（2）设()()1,0,2,0A F -，问是否存在常数()0λλ>，使得PFA PAF λ∠=∠恒成立？证明你的结论.16.已知函数()()ln ,x x f x g x e x==. （1）若关于x 的不等式()()f x mx g x ≤≤恒成立，试求实数m 的取值范围；（2）设120x x >>，试证：()()()()221122122122x f x x f x x x x x x -+>-⎡⎤⎣⎦.。

2017年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。

1、在等比数列{}n a 中，22=a ，333=a ，则2017720111a a a a ++为2、设复数z 满足i z z 22109+=+，则z 的值为3、设)(x f 是定义在R 上的函数，若2)(x x f +是奇函数，x x f 2)(+是偶函数，则)1(f 的值 为在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为110922=+y x ，F 是C 的焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积最大值为4、在ABC ∆中，若C A sin 2sin =，且三条边c b a ,,成等比数列，则A cos 的值为5、在正四面体ABCD 中，F E ,分别在棱AC AB ,上，满足4,3==EF BE ，且EF 与面BCD 平行，则DEF ∆的面积为 ．6、在平面直角坐标系xOy 中，点集{}1,0,1,|),(-==y x y x K ，在K 中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离不超过2的概率为7、设a 为非零实数，在平面直角坐标系xOy 中，二次曲线0222=++a ay x 的焦距为4，则实数a 的值为 ．8、若正整数c b a ,,满足c b a 1000100102017≥≥≥，则数组),,(c b a 的个数为二、解答题：本大题共3小题，共56分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

9、（本题满分16分） 设为实数，不等式x x a 252-<-对所有[]2,1∈x 成立，求实数a 的取值范围。

10、（本题满分20分）设数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 满足221n n n n a a a b -=++， ,2,1=n（1）证明：数列{}n b 也是等差数列；（2） 设数列{}n a 、{}n b 的公差均是0≠d ，并且存在正整数t s ,，使得t s b a +是整数，求1a 的最小值。