高考数学二轮复习 专题二 立体几何 第2讲 空间中的平行与垂直学案

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马明风整理

第2讲 空间中的平行与垂直

[考情考向分析] 1.以选择题、填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面平行和垂直的判定定理与性质定理对命题的真假进行判断，属于基础题.2.以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系的交汇综合命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查，难度中档．

热点一 空间线面位置关系的判定

空间线面位置关系判断的常用方法

(1)根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题．

(2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断．

例1 (1)(2018·宁波模拟)已知直线l，m与平面α，β，l⊂α，m⊂β，则下列命题中正确的是( )

A．若l∥m，则必有α∥β

B．若l⊥m，则必有α⊥β

C．若l⊥β，则必有α⊥β

D．若α⊥β，则必有m⊥α

答案 C

解析 对于选项A，平面α和平面β还有可能相交，所以选项A错误；对于选项B，平面α和平面β还有可能相交且不垂直或平行，所以选项B错误；对于选项C，因为l⊂α，l⊥β，所以α⊥β，所以选项C正确；对于选项D，直线m可能和平面α平行或相交，所以选项D错误．

(2)如图，平面α⊥平面β，α∩β＝l，A，C是α内不同的两点，B，D是β内不同的两》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《《《《《《《《《《《《

马明风整理 点，且A，B，C，D∉直线l，M，N分别是线段AB，CD的中点．下列判断正确的是(

)

A．当CD＝2AB时，M，N两点不可能重合

B．M，N两点可能重合，但此时直线AC与l不可能相交

C．当AB与CD相交，直线AC平行于l时，直线BD可以与l相交

D．当AB，CD是异面直线时，直线MN可能与l平行

答案 B

解析 由于直线CD的两个端点都可以动，所以M，N两点可能重合，此时两条直线AB，CD共面，由于两条线段互相平分，所以四边形ACBD是平行四边形，因此AC∥BD，而BD⊂β，AC⊄B，所以由线面平行的判定定理可得AC∥β，又因为AC⊂α，α∩β＝l，所以由线面平行的性质定理可得AC∥l，故选B.

思维升华 解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中．

跟踪演练1 (1)(2018·湖州、衢州、丽水质检)设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )

A．若α⊥β，l∥α，则l⊥β

B．若l∥α，l∥β，则α∥β

C．若l⊥α，l∥β，则α∥β

D．若l⊥α，l⊥β，则α∥β

答案 D

解析 A中，直线与平面可能相交、可能平行，也可能直线在平面内，故A错误；B中，两平面可能平行，也可能相交，故B错误；C中，根据线面平行、线面垂直的性质定理和面面垂直的判定定理可判断出两平面垂直，故C错误；D中，由线面垂直的性质和面面平行的判定定理可以判断出两平面平行，故D正确，故选D.

(2)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《《《《《《《《《《《《

马明风整理 线，则下列命题正确的是

A．l与l1，l2都相交

B．l与l1，l2都不相交

C．l至少与l1，l2中的一条相交

D．l至多与l1，l2中的一条相交

答案 C

解析 方法一 如图1，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A，B不正确；如图2，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故D不正确，故选C.

方法二 因为l分别与l1，l2共面，故l与l1，l2要么都不相交，要么至少与l1，l2中的一条相交．若l与l1，l2都不相交，则l∥l1，l∥l2，从而l1∥l2，与l1，l2是异面直线矛盾，故l至少与l1，l2中的一条相交，故选C.

热点二 空间平行、垂直关系的证明

空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定定理、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化．

例2 (1)如图，三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长均为2，AA1⊥平面ABC，E，F分别为棱A1B1，BC的中点．

①求证：直线BE∥平面A1FC1；

②平面A1FC1与直线AB交于点M，指出点M的位置，说明理由，并求三棱锥B－EFM的体积． 》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《《《《《《《《《《《《

马明风整理 ①证明 取A1C1的中点G，

连接EG，FG，

因为点E为A1B1的中点，

所以EG∥B1C1

且EG＝12B1C1，

因为F为BC的中点，

所以BF∥B1C1且BF＝12B1C1，

所以BF∥EG且BF＝EG.

所以四边形BFGE是平行四边形，所以BE∥FG，

又BE⊄平面A1FC1，FG⊂平面A1FC1，

所以直线BE∥平面A1FC1.

②解

M为棱AB的中点．

理由如下：

因为AC∥A1C1，AC⊄平面A1FC1，A1C1⊂平面A1FC1，

所以直线AC∥平面A1FC1，

又平面A1FC1∩平面ABC＝FM，所以AC∥FM.

又F为棱BC的中点，所以M为棱AB的中点．

S△BFM＝14S△ABC＝14×12×2×2×sin 60°＝34，

所以三棱锥B－EFM的体积VB－EFM＝VE－BFM＝13×34×2＝36.

(2)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为a的菱形，PD⊥平面ABCD，∠BAD＝60°，PD＝2a，O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点． 》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《《《《《《《《《《《《

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①证明：平面EAC⊥平面PBD；

②若PD∥平面EAC，三棱锥P－EAD的体积为183，求a的值．

①证明 因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，

所以PD⊥AC.

又四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，

又PD∩BD＝D，PD，BD⊂平面PBD，

所以AC⊥平面PBD.

又AC⊂平面EAC，所以平面EAC⊥平面PBD.

②解 连接OE.

因为PD∥平面EAC，平面EAC∩平面PBD＝OE，

所以PD∥OE.

又AC∩BD＝O，

所以O是BD的中点，所以E是PB的中点．

因为四边形ABCD是菱形，且∠BAD＝60°，

所以取AD的中点H，连接BH，可知BH⊥AD，

又因为PD⊥平面ABCD，BH⊂平面ABCD，

所以PD⊥BH.

又PD∩AD＝D，PD，AD⊂平面PAD，

所以BH⊥平面PAD.

在等边三角形ABD中，由于AB＝a，所以BH＝32a.

因此点E到平面PAD的距离d＝12BH＝12×32a＝34a，

所以VP－EAD＝VE－PAD＝13S△PAD×d＝13×12×a×2a×34a＝312a3＝183.

解得a＝6. 》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《《《《《《《《《《《《

马明风整理 思维升华 垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下：

(1)证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证明线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换．

(2)证明线线垂直常用的方法：①利用等腰三角形底边中线即高线的性质；②勾股定理；③线面垂直的性质，即要证线线垂直，只需证明一条直线垂直于另一条直线所在的平面即可，l⊥α，a⊂α⇒l⊥a.

跟踪演练2 如图，在四棱锥P－ABCD中，∠ADB＝90°，CB＝CD，点E为棱PB的中点．

(1)若PB＝PD，求证：PC⊥BD；

(2)求证：CE∥平面PAD.

证明 (1)取BD的中点O，连接CO，PO，

因为CD＝CB，

所以△CBD为等腰三角形，

所以BD⊥CO.

因为PB＝PD，

所以△PBD为等腰三角形，

所以BD⊥PO.

又PO∩CO＝O，PO，CO⊂平面PCO，

所以BD⊥平面PCO.

因为PC⊂平面PCO，所以PC⊥BD.

(2)由E为PB的中点，连接EO，则EO∥PD，

又EO⊄平面PAD，PD⊂平面PAD， 》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《《《《《《《《《《《《

马明风整理 所以EO∥平面PAD.

由∠ADB＝90°及BD⊥CO，可得CO∥AD，

又CO⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，

所以CO∥平面PAD.

又CO∩EO＝O，CO，EO⊂平面COE，

所以平面CEO∥平面PAD，

而CE⊂平面CEO，所以CE∥平面PAD.

热点三 平面图形的翻折问题

平面图形经过翻折成为空间图形后，原有的性质有的发生变化，有的没有发生变化，这些发生变化和没有发生变化的性质是解决问题的关键．一般地，在翻折后还在一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化，解决这类问题就是要根据这些变与不变，去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值，这是解决翻折问题的主要方法．

例3 如图1，已知菱形AECD的对角线AC，DE交于点F，点E为AB中点．将△ADE沿线段DE折起到△PDE的位置，如图2所示．

(1)求证：DE⊥平面PCF；

(2)求证：平面PBC⊥平面PCF；

(3)在线段PD，BC上是否分别存在点M，N，使得平面CFM∥平面PEN？若存在，请指出点M，N的位置，并证明；若不存在，请说明理由．

(1)证明 折叠前，因为四边形AECD为菱形，

所以AC⊥DE，

所以折叠后，DE⊥PF，DE⊥CF，

又PF∩CF＝F，PF，CF⊂平面PCF，

所以DE⊥平面PCF.

(2)证明 因为四边形AECD为菱形，

所以DC∥AE，DC＝AE.