高考数学二轮复习 考前专题五 立体几何与空间向量 第2讲 空间中的平行与垂直讲学案 理

第2讲 空间中的平行与垂直

1.以选择题、填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面的判定定理与性质定理对命题的真假进行判断，属于基础题．

2．以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系交汇综合命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查，难度中等．

热点一 空间线面位置关系的判定

空间线面位置关系判断的常用方法

(1)根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题．

(2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断．

例1 (1)(2017·四川省眉山中学月考)已知m，n为空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个不同的平面，下列命题正确的是( )

A．若n⊥α，n⊥β，m⊂β，则m∥α

B．若m⊥α，α⊥β，则m∥β

C．若m，n在α内的射影互相平行，则m∥n

D．若m⊥l，α∩β＝l，则m⊥α

答案 A

解析 由题意知，n⊥α，n⊥β，则α∥β，又m⊂β，则m∥α，A正确；若m⊥α，α⊥β，可能会现m⊂β， B错误；若m，n在α内的射影互相平行，两直线异面也可以， C错误；若m⊥l，α∩β＝l，可能会出现m⊂α， D错误．故选A.

(2)(2017届泉州模拟)设四棱锥P－ABCD的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α( )

A．有无数多个 B．恰有4个

C．只有1个 D．不存在

答案 A

解析 如图，由题知面PAD与面PBC相交，面PAB与面PCD相交，可设两组相交平面的交线分别为m，n，由m，n决定的平面为β，作α与β平行且与四条侧棱相交，交点分别为A1，B1，

C1，D1，则由面面平行的性质定理得A1B1∥n∥C1D1，A1D1∥m∥B1C1，从而得截面必为平行四边形．由于平面α可以上下平移，可知满足条件的平面α有无数多个．故选A.

思维升华 解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中．

跟踪演练1 (1)α，β，γ是三个平面，m, n是两条直线，则下列命题正确的是( )

A．若α∩β＝m, n⊂α，m⊥n，则α⊥β

B．若α⊥β，α∩β＝m, α∩γ＝n，则m⊥n

C．若m不垂直平面α，则m不可能垂直于平面α内的无数条直线

D．若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β

答案 D

解析 逐一分析所给的命题：

A项，若α∩β＝m, n⊂α，m⊥n，并非一条直线垂直于平面内的两条相交直线，不一定有α⊥β，该说法错误；

B项，若α⊥β，α∩β＝m, α∩γ＝n，无法确定m，n的关系，该说法错误；

C项，若m不垂直平面α，则m可能垂直于平面α内的无数条直线，该说法错误；

D项，若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β，该说法正确．故选D.

(2)(2017届株洲一模)如图，平面α⊥平面β，α∩β＝直线l, A，C是α内不同的两点，B，D是β内不同的两点，且A，B，C，D∉直线l, M，N分别是线段AB，CD的中点．下列判断正确的是( )

A．当CD＝2AB时，M，N两点不可能重合

B．M，N两点可能重合，但此时直线AC与l不可能相交

C．当AB与CD相交，直线AC平行于l时，直线BD可以与l相交

D．当AB，CD是异面直线时，直线MN可能与l平行

答案 B

解析 由于直线CD的两个端点都可以动，所以M，N两点可能重合，此时两条直线AB，CD共面，由于两条线段互相平分，所以四边形ACBD是平行四边形，因此AC∥BD，则BD⊂β，所以由线面平行的判定定理可得AC∥β，又因为AC⊂α，α∩β＝l，所以由线面平行的性质定理可得AC∥l，故应排除答案A，C，D，故选B.

热点二 空间平行、垂直关系的证明

空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定定理、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化．

例2 (1)(2017·全国Ⅱ)如图，四棱锥P—ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝12AD，∠BAD＝∠ABC＝90°.

①证明：直线BC∥平面PAD；

②若△PCD的面积为27，求四棱锥P—ABCD的体积．

①证明 在平面ABCD内，因为∠BAD＝∠ABC＝90°，所以BC∥AD.

又BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，

所以BC∥平面PAD.

②解 如图，取AD的中点M，连接PM，CM.由AB＝BC＝12AD及BC∥AD，∠ABC＝90°得四边形ABCM为正方形，则CM⊥AD.

因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD.因为CM⊂底面ABCD，

所以PM⊥CM.

设BC＝x，则CM＝x，CD＝2x，PM＝3x，PC＝PD＝2x.

取CD的中点N，连接PN，则PN⊥CD，

所以PN＝142x.

因为△PCD的面积为27，

所以12×2x×142x＝27，

解得x＝－2(舍去)或x＝2.

于是AB＝BC＝2，AD＝4，PM＝23.

所以四棱锥P—ABCD的体积

V＝13×22＋42×23＝43.

(2)(2017·重庆市巴蜀中学三模)如图，平面ABCD⊥平面ADEF，四边形ABCD为菱形，四边形ADEF为矩形，M，N分别是EF，BC的中点，AB＝2AF, ∠CBA＝60°.

①求证：DM⊥平面MNA；

②若三棱锥A－DMN的体积为33，求MN的长．

①证明 连接AC，在菱形ABCD中，∠CBA＝60°，且AB＝BC，

∴△ABC为等边三角形，

又∵N为BC的中点，

∴AN⊥BC，

∵BC∥AD，

∴AN⊥AD，

又∵平面ABCD⊥平面ADEF，平面ABCD∩平面ADEF＝AD，AN⊂平面ABCD，

∴AN⊥平面ADEF，又DM⊂平面ADEF，∴DM⊥AN.

∵在矩形ADEF中，AD＝2AF，M为EF的中点，

∴△AMF为等腰直角三角形，∴∠AMF＝45°，

同理可证∠DME＝45°，∴∠DMA＝90°，

∴DM⊥AM，

又∵AM∩AN＝A，且AM，AN⊂平面MNA，

∴DM⊥平面MNA.

②设AF＝x，则AB＝2AF＝2x，

在Rt△ABN中，AB＝2x, BN＝x, ∠ABN＝60°，

∴AN＝3x，

∴S△ADN＝12×2x×3x＝3x2.

∵平面ABCD⊥平面ADEF, AD为交线，FA⊥AD，

∴FA⊥平面ABCD，

设h为点M到平面ADN的距离，则h＝AF＝x，

∴VM－ADN＝13×S△ADN×h＝13×3x2×x＝33x3，

∵VM－ADN＝VA－DMN＝33，∴x＝1.

∴MN＝AN2＋AM2＝5.

思维升华 垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下

(1)证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换．

(2)证明线线垂直常用的方法：①利用等腰三角形底边中线即高线的性质；②勾股定理；③线面垂直的性质，即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可，l⊥α，a⊂α⇒l⊥a.

跟踪演练2 (2017·北京市海淀区适应性考试)如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝3，E是侧棱PA上的动点．

(1)求四棱锥P－ABCD的体积；

(2)如果E是PA的中点，求证：PC∥平面BDE；

(3)是否无论点E在侧棱PA的任何位置，都有BD⊥CE？证明你的结论．

(1)解 ∵PA⊥平面ABCD，

∴VP－ABCD＝13S正方形ABCD·PA＝13×12×3＝33，

即四棱锥P－ABCD的体积为33.

(2)证明 连接AC交BD于O，连接OE.

∵四边形ABCD是正方形，

∴O是AC的中点，

又∵E是PA的中点，∴PC∥OE，

∵PC⊄平面BDE, OE⊂平面BDE，

∴PC∥平面BDE.

(3)解 无论点E在任何位置，都有BD⊥CE.

证明如下：∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC，

∵PA⊥底面ABCD，且BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PA，

又∵AC∩PA＝A，AC，PA⊂平面PAC，

∴BD⊥平面PAC.

∵无论点E在任何位置，都有CE⊂平面PAC，

∴无论点E在任何位置，都有BD⊥CE.

热点三 平面图形的折叠问题

平面图形经过翻折成为空间图形后，原有的性质有的发生变化，有的没有发生变化，这些发生变化和没有发生变化的性质是解决问题的关键．一般地，在翻折后还在一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化，解决这类问题就是要根据这些变与不变，去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值，这是化解翻折问题的主要方法．

例3 (2017·孝义质检)如图(1)，在五边形ABCDE中，ED＝EA，AB∥CD，CD＝2AB，∠EDC＝150°.如图(2)，将△EAD沿AD折到△PAD的位置，得到四棱锥P－ABCD.点M为线段PC的中点，且BM⊥平面PCD.

(1)求证：平面PAD⊥平面ABCD；

(2)若四棱锥P－ABCD的体积为23，求四面体BCDM的体积．

(1)证明 取PD的中点N，连接AN，MN，如图所示，则MN∥CD，MN＝12CD.

又AB∥CD，AB＝12CD，∴MN∥AB且MN＝AB，

∴四边形ABMN为平行四边形，∴AN∥BM，

又BM⊥平面PCD，

∴AN⊥平面PCD，

∴AN⊥PD，AN⊥CD.

由ED＝EA，即PD＝PA及N为PD的中点，可得△PAD为等边三角形，

∴∠PDA＝60°，又∠EDC＝150°，

∴∠CDA＝90°，∴CD⊥AD，

又AN∩AD＝A，AN⊂平面PAD，

AD⊂平面PAD，

∴CD⊥平面PAD，又∵CD⊂平面ABCD，