高考数学大二轮专题复习：第二编空间中平行与垂直

高考数学大二轮专题复习：第二编空间中平行与垂直

第2讲 空间中的平行与垂直 「考情研析」 1.从具体内容上：①以选择题、填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面平行和垂直的判定定理与性质定理对命题的真假进行判断，属于基础题；

②以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系交汇综合命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查． 2.从高考特点上，难度中等，常以一道选填题或在解答题的第一问考查． 核心知识回顾 1.直线与平面平行的判定和性质 (1)判定 ①判定定理：a∥b，b⊂α，a⊄α⇒a∥α． ②面面平行的性质：α∥β，a⊂α⇒a∥β． (2)性质：l∥α，l⊂β，α∩β＝m⇒l∥m． 2．直线和平面垂直的判定和性质 (1)判定 ①判定定理：a⊥b，a⊥c，b，c⊂α，b∩c＝O⇒a⊥α． ②线面垂直的其他判定方法：

a．a∥b，a⊥α⇒b⊥α． b．l⊥α，α∥β⇒l⊥β． c．α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β． (2)性质 ①l⊥α，a⊂α⇒l⊥a． ②l⊥α，m⊥α⇒l∥m． 3．两个平面平行的判定和性质 (1)判定 ①判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α． ②面面平行的其他判定方法：

a．l⊥α，l⊥β⇒α∥β． b．α∥γ，α∥β⇒β∥γ． (2)性质：α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b⇒a∥b． 4．两个平面垂直的判定和性质 (1)判定：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β． (2)性质：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β． 热点考向探究 考向1 空间线面位置关系的判定

例1 (1)(多选)(2020·山东省烟台市模拟)已知m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则( ) A．若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n B．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n C．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β D．若m∥n，n⊥α，α⊥β，则m∥β

答案 BC 解析 由m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，知：对于A，若m∥α，n∥β，α∥β，则m与n相交、平行或异面，故错误；

对于B，若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则由线面垂直、面面垂直的性质定理得m⊥n，故正确；

对于C，若m∥n，m⊥α，n⊥β，则由线面垂直的性质定理和面面平行的判定定理得α∥β，故正确；

对于D，若m∥n，n⊥α，α⊥β，则m∥β或m⊂β，故错误．故选BC. (2) (多选)(2020·山东省实验中学高考预测卷)在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M在棱CC1上，则下列结论正确的是( ) A．直线BM与平面ADD1A1平行 B．平面BMD1截正方体所得的截面为三角形 C．异面直线AD1与A1C1所成的角为 D．MB＋MD1的最小值为 答案 ACD 解析

对于A，因为平面ADD1A1∥平面BCC1B1，BM⊂平面BCC1B1，即可判定直线BM与平面ADD1A1平行，故正确；

对于B，如图1，平面BMD1截正方体所得的截面为四边形，故错误；

对于C，如图2，异面直线AD1与A1C1所成的角为∠D1AC，即可判定异面直线AD1与A1C1所成的角为，故正确；

对于D，如图3，将正方体的侧面展开，可得当B，M，D1共线时，MB＋MD1有最小值，最小值为BD1＝＝，故正确．故选ACD. 判断空间线面位置关系常用的方法 (1)根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题． (2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断. (多选)(2020·山东省聊城市一模)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则( ) A．直线D1D与直线AF垂直 B．直线A1G与平面AEF平行 C．平面AEF截正方体所得的截面面积为 D．点C与点G到平面AEF的距离相等 答案 BC

解析 ∵CC1与AF不垂直，而DD1∥CC1，∴AF与DD1不垂直，故A错误；

取B1C1的中点N，连接A1N，GN，可得平面A1GN∥平面AEF，则直线A1G∥平面AEF，故B正确； 把截面AEF补形为四边形AEFD1，由四边形AEFD1为等腰梯形可得平面AEF截正方体所得的截面面积S＝，故C正确；

假设点C与点G到平面AEF的距离相等，即平面AEF将CG平分，则平面AEF必过CG的中点，连接CG交EF于点H，而H不是CG中点，则假设不成立，故D错误．故选BC. 考向2 空间平行、垂直关系的证明 例2 (2020·山东省青岛市高三期中)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2，PA＝PD＝CD＝BC＝1，面PAD⊥面ABCD，E为AD的中点． (1)求证：PA⊥BD；

(2)在线段AB上是否存在一点G，使得BC∥面PEG？若存在，请证明你的结论；

若不存在，请说明理由． 解 (1)证明：取AB的中点F，连接DF. ∵DC∥AB且DC＝AB， ∴DC∥BF且DC＝BF， ∴四边形BCDF为平行四边形， 又AB⊥BC，BC＝CD＝1， ∴四边形BCDF为正方形． 在Rt△AFD中，∵DF＝AF＝1，∴AD＝， 在Rt△BCD中，∵BC＝CD＝1，∴BD＝， ∵AB＝2，∴AD2＋BD2＝AB2，∴BD⊥AD， ∵BD⊂面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD，面PAD⊥面ABCD， ∴BD⊥面PAD，∵PA⊂面PAD， ∴PA⊥BD.

(2)在线段AB上存在一点G，满足AG＝AB， 即G为AF的中点时，BC∥面PEG， 证明如下：连接EG，∵E为AD的中点，G为AF中点，∴GE∥DF， 又DF∥BC，∴GE∥BC， ∵GE⊂面PEG，BC⊄面PEG，∴BC∥面PEG. 空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定定理、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化． (2020·江苏省泰州中学、宜兴中学、江都中学联考)如图，在四棱锥S－ABCD中，已知SA＝SB，四边形ABCD是平行四边形，且平面SAB⊥平面ABCD，点M，N分别是SC，AB的中点． 求证：(1)MN∥平面SAD；

(2)SN⊥AC. 证明 (1)取SD的中点E，连接EM，EA. ∵M是SC的中点，∴EM∥CD，且EM＝CD. ∵底面ABCD是平行四边形，N为AB的中点， ∴AN∥CD，且AN＝CD， ∴EM∥AN，EM＝AN， ∴四边形EMNA是平行四边形， ∴MN∥AE. ∵MN⊄平面SAD，AE⊂平面SAD， ∴MN∥平面SAD. (2)∵SA＝SB，N是AB的中点，∴SN⊥AB， ∵平面SAB⊥平面ABCD， 平面SAB∩平面ABCD＝AB，SN⊂平面SAB， ∴SN⊥平面ABCD，

∵AC⊂平面ABCD，∴SN⊥AC. 考向3 立体几何中的翻折问题

例3 (1)(2020·山东省潍坊市三模)如图1，四边形ABCD是边长为10的菱形，其对角线AC＝12，现将△ABC沿对角线AC折起，连接BD，形成如图2的四面体ABCD，则异面直线AC与BD所成角的大小为________；

在图2中，设棱AC的中点为M，BD的中点为N，若四面体ABCD的外接球的球心在四面体的内部，则线段MN长度的取值范围为________． 答案 (，8) 解析 连接BM，DM，∵四边形ABCD是菱形，M为棱AC的中点， ∴AC⊥BM，AC⊥DM，

又BM∩DM＝M，则AC⊥平面BMD， ∵BD⊂平面BMD，

∴AC⊥BD，则异面直线AC与BD所成角的大小为. ∵四边形ABCD是边长为10的菱形，其对角线AC＝12， ∴MA＝6，MB＝8. 设O1是△ABC的外心，则O1在中线BM上， 设过点O1的直线l1⊥平面ABC，易知l1⊂平面BMD， 设O2是△ACD的外心，则O2在中线DM上， 设过点O2的直线l2⊥平面ACD，易知l2⊂平面BMD， 由对称性易知l1，l2的交点O在直线MN上， 根据外接球的性质，知点O为四面体ABCD的外接球的球心， O1A2＝O1M2＋MA2，O1A＋O1M＝BM＝8， ∴(8－O1M)2＝O1M2＋36，解得O1M＝， 令∠BMN＝θ，根据题意可知BD⊥CN， BD⊥AN，且CN∩AN＝N， ∴BD⊥平面ACN，又MN⊂平面ACN，∴BD⊥MN， ∴0θ，∴MN＝BM cos θ＝8cos

θ8. ∵cos θ＝＝， ∴OM·MN＝O1M·BM＝×8＝14， 又OMMN，∴MN214，∴MN， ∴MN8， 即线段MN长度的取值范围为(，8). (2)如图1，在直角梯形ABCP中，CP∥AB，CP⊥BC，AB＝BC＝CP，D是CP的中点，将△PAD沿AD折起，使点P到达点P′的位置得到图2，点M为棱P′C上的动点． ①当M在何处时，平面ADM⊥平面P′BC，并证明；

②若AB＝2，∠P′DC＝135°，证明：点C到平面P′AD的距离等于点P′到平面ABCD的距离，并求出该距离. 解 ①当点M为P′C的中点时，平面ADM⊥平面P′BC， 证明如下：∵DP′＝DC，M为P′C的中点， ∴P′C⊥DM， ∵AD⊥DP′，AD⊥DC，DP′∩DC＝D， ∴AD⊥平面DP′C，∴AD⊥P′C， 又DM∩AD＝D， ∴P′C⊥平面ADM，∴平面ADM⊥平面P′BC. ②在平面P′CD上作P′H⊥CD的延长线于点H， 由①中AD⊥平面DP′C， 可知平面P′CD⊥平面ABCD， 又平面P′CD∩平面ABCD＝CD，P′H⊂平面P′CD，P′H⊥CD， ∴P′H⊥平面ABCD， 由题意，得DP′＝2，∠P′DH＝45°， ∴P′H＝， 又VP′－ADC＝VC－P′AD，

设点C到平面P′AD的距离为h， 即S△ADC×P′H＝S△P′AD×h，

由题意，知△ADC≌△ADP′，则S△ADC＝S△P′AD. ∴P′H＝h，

故点C到平面P′AD的距离等于点P′到平面ABCD的距离，且该距离为. 翻折前后位于同一个半平面内的直线间的位置关系、数量关系不变，翻折前后分别位于两个半平面内(非交线)的直线位置关系、数量关系一般发生变化，解翻折问题的关键是辨析清楚“不变的位置关系和数量关系”“变的位置关系和数量关系”． 如图1所示，直角梯形ABCD，∠ADC＝90°，AB∥CD，AD＝CD＝AB＝2，点E为AC的中点，将△ACD沿AC折起，使折起后的平面ACD与平面ABC垂直(如图2)，在图2所示的几何体D－ABC中， (1)求证：BC⊥平面ACD；

(2)若点F在棱CD上，且满足AD∥平面BEF，求几何体F－BCE的体积． 解 (1)证明：在图1中，由题意，知AC＝BC＝2，AB＝4，所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC. 如图2，因为E为AC的中点，连接DE，则DE⊥AC， 又平面ADC⊥平面ABC，且平面ADC∩平面ABC＝AC，DE⊂平面ACD， 从而ED⊥平面ABC，所以ED⊥BC. 又AC⊥BC，AC∩ED＝E， 所以BC⊥平面ACD. (2)如图2，取DC的中点F，连接EF，BF， 因为E是AC的中点，所以EF∥AD， 又EF⊂平面BEF，AD⊄平面BEF， 所以AD∥平面BEF， 由(1)知，DE为三棱锥D－ABC的高， 因为三棱锥F－BCE的高h＝DE＝×＝， S△BCE＝S△ABC＝__2×2＝2，