高考数学《立体几何-空间直线、平面平行垂直》专项复习
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高考数学《空间直线、平面平行垂直》专项复习
一、考纲解读
1．要理解空间直线和平面各种位置关系的定义.
2．以立体几何的定义，公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定，理解其判定定理与性质定理.
二、命题趋势探究
有关平行的问题是高考的必考内容，主要分为两大类：一类是空间线面关系的判定和推理；一类是几何量的计算，主要考查学生的空间想象能力，思维能力和解决问题的能力.
平行关系是立体几何中的一种重要位置关系，在高考中，选择题、填空题几乎每年都考，难度一般为中档题，且常常以棱柱、棱锥为背景.
（1）高考始终把直线与平面、平面与平面平行的判定与性质作为考查的重点，通常以棱柱、棱锥为背景设计命题.考查的方向是直线与平面、平面与平面的位置关系，结合平面几何有关知识考查.
（2）以棱柱、棱锥为依托考查两平行平面的距离，可转化为点面距离，线面距离和两异面直线间的距离问题，通常是算、证结合，考查学生的渗透转化思想.
三、知识点精讲
(一).直线和平面平行
1．定义
直线与平面没有公共点，则称此直线l与平面平行，记作l∥
2.判定方法(文字语言、图形语言、符号语言)（见表8-9）
表8-9 文字语言 图形语言 符号语言
线∥线线∥面 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（简记为“线线平行线面平行
11lllll∥∥
面∥面线∥面 如果两个平面平行,那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面 aa∥∥
3.性质定理(文字语言、图形语言、符号语言)（见表8-10）
表8-10
文字语言 图形语言 符号语言
线∥面线∥线 如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平行 lllll∥∥
(二).两个平面平行
1．定义
没有公共点的两个平面叫作平行平面,用符号表示为:对于平面和,若,则∥ 2.判定方法(文字语言、图形语言、符号语言)（见表8-11）
表8-11
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理线∥面面∥面 如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行（简记为“线面平行面面平行
,,ababP
ab∥，∥∥
线面面∥面 如果两个平面同垂直于一条直线,那么这两个平面平行
ll∥
3.性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）（见表8-12）
表8-12
文字语言 图形语言 符号语言
面//面
线//面
如果两个平面平行，那么在一个平面中的所有直线都平行于另外一个平面 ////aa
性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行（简记为“面面平行 ////.aabb 线面平行”）
面//面
线面 如果两个平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线
//ll
(三).线面垂直
1.定义：如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直.
2.判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）（见表）
3．性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）（见表2）
文字语言 图形语言 符号语言
性质定理 垂直于同一平面的两条直线平行 babaa////
(四).斜线在平面内的射影
1.斜线的定义
一条直线与一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和这个平面的交点叫做斜足.
2.射影的定义 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.
3.直线与平面所成的角
平面内的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
特别地，一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是的角，故直线与平面所成的角的范围是.
如图8-122所示，是平面的斜线，为斜足；是平面的垂线，为垂足；是在平面的射影，的大小即为直线与平面所成的角的大小.
(五).平面与平面垂直
1.二面角的定义
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.
这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面；如图8-123所示，在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做二面角的平面角，二面角的范围是000,2PAAPOOAOPAPAOPAllOOlOAOBOAOBAOB.平面角是直角的二面角叫做直二面角.
2.平面与平面垂直的定义
如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直.（如图8-124所示，若，，且，，
，则）
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
3.判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂 bb 0,CDCDABBEABBE线，则这两个平面垂直
4.性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言 图形语言 符号语言
性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
babba
四、思路小结
(一).线线平行、线面平行、面面平行的转换如图0所示.
性质
性质 性质 判定 判定 判定 线∥面
线∥线 面∥面
图 0 （1） 证明直线与平面平行的常用方法：
①利用定义，证明直线a与平面没有公共点，一般结合反证法证明；
②利用线面平行的判定定理，即线线平行线面平行.辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面，同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段；
③利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行；
（2） 证明面面平行的常用方法：
①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合；
②利用面面平行的判定定理；
③利用两个平面垂直于同一条直线；
④证明两个平面同时平行于第三个平面.
（3） 证明线线平行的常用方法：○1利用直线和平面平行的判定定理；○2利用平行公理；
(二).证明空间中直线、平面的垂直关系
线线线面面面
（1）证明线线垂直的方法
①等腰三角形底边上的中线是高；
②勾股定理逆定理；
③菱形对角线互相垂直；
④直径所对的圆周角是直角；
⑤向量的数量积为零；
⑥线面垂直的性质（）； 判定定理性质定理判定定理性质定理,abab⑦平行线垂直直线的传递性（∥）.
（2）证明线面垂直的方法
①线面垂直的定义；
②线面垂直的判定（）；
③面面垂直的性质（）；
平行线垂直平面的传递性（∥）；
⑤面面垂直的性质（）.
（3）证明面面垂直的方法
①面面垂直的定义；
②面面垂直的判定定理（）. ,acabbc,,,,abaccbbcPa,,,babaa,abab,,ll,aa性质
性质 性质 性质 性质 判定
判定 判定 判定 判定 线∥面
线∥线 面∥面
线⊥面 线⊥线 面⊥面
图 3
空间中的线面平行、垂直的位置关系结构图如图3所示，由图可知，线面垂直在所有关系中处于核心位置.
五、解答题题型总结
核心考点一：平行证明
【例1】 ⑴如图1，三棱锥DABC中，E、F、O分别是AD、BD、AC的中点，G是OC的
中点；求证：FG∥平面BOE．
⑵如图2，在直四棱柱1111ABCDABCD中，底面ABCD为等腰梯形，ABCD∥，4AB，
2BCCD，12AA，E、1E、F分别是棱AD、1AA、AB的中点．
证明：直线1EE∥平面1FCC．
图1 图2
【解析】 ⑴ 设BE和AF交于点H，连接OH，
在三角形ABD△中，E、F分别是AD、BD的中点，
所以H为重心，23AHAF，
又O为AC中点，G是OC的中点，所以23AOAG，
在AFG△中，23AHAOAFAG，
所以HOFG∥，又FG不在平面BOE内，HO平面BOE，GOEABCDFE1FED1C1B1A1DCBAHFDCBAEOGF1AFBE1EA1DCD1C1B1所以FG∥平面BOE．
⑵ 法一：
取11AB的中点1F，连结1FF，11CF，
由于111FFBBCC∥∥，所以1F平面1FCC，
因此，平面1FCC即为平面11CCFF，
连结1AD，1FC，由于1111AFDCCD∥∥，
所以四边形11ADCF为平行四边形，
因此11ADFC∥．又11EEAD∥，得11EEFC∥，
而1EE平面1FCC，1FC平面1FCC，
故1EE∥平面1FCC．
法二：
因为F为AB的中点，2CD，4AB，ABCD∥，
所以CDAF∥，因此四边形AFCD为平行四边形，
所以ADFC∥．又11CCDD∥，1FCCCC，
FC平面1FCC，1CC平面1FCC，
所以平面11ADDA∥平面1FCC，
又1EE平面11ADDA，所以1EE∥平面1FCC．
【例2】在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，E是PC的中点．求证：PA∥平面BDE．
