沪科版九年级上册 相似三角形 单元综合检测试卷 (无答案)

相似三角形测试题及答案图形的放缩与比例线段（1）一、填空题（每小题4分,共40分）1、如果,那么＝________。

2、已知：，则＝________。

3、与的比例中项是________。

4、对一段长为20cm的线段进行黄金分割,那么分得的较长线段长为________cm。

（不取近似值)5、如图，DE∥BC，AD＝1，DB＝2，则的值为________。

6、如图，DE∥BC，AB＝12，AC＝16，AE＝10，则AD＝________。

7、如图，线段AB＝10cm，，，则CD＝________cm。

8、已知：线段AB＝10cm，点C是AB的黄金分割点，且AC＞CB，则BC＝________cm。

（不取近似值)9、如图，AD∥EF∥BC,，DF＝4cm,则DC＝________cm。

10、如图，AB∥EF∥DC，AB＝，DC＝,，则EF＝________。

（用式子表示）二、选择题（每小题4分，共16分）1、若,则下列等式中不正确的是（）。

（A）;（B）；（C）;（D）.2、如图，△ABC中，DE∥BC，则下列等式中不成立的是（）。

（A)；（B)；（C）；（D）.3、如图,△ABC中，DE∥BC，AD＝1，EC＝3，则下列等式中成立的是（ )。

（A）；(B);(C）；（D）.4、如图,△ABC中，DE∥BC,AD＝1，DB＝DE＝2，则BC长是（）。

(A）3； (B）4；（C）5；（D）6。

三、（本题8分）如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，，FC＝2,AC＝6,求DE和CE长四、（本题8分）如图，△ABC中，AD＝2DC,G是BD中点,AC延长线交BC于E，求的值。

五、（本题8分）如图，△ABC中，DE∥BC，AH⊥BC于F，AH交DE于G，DE＝10，BC＝15，AG＝12,求线段AH长.六、（本题10分)如图，平行四边形ABCD中,E是AB的中点，G是AC上一点，，连EC延长交AD于F,求的值。

沪科新版九年级上册数学《第22章相似形》单元测试卷一．选择题1．若＝，则等于（）A．B．C．D．2．已知＝，则的值为（）A．B．C．D．3．下列四组线段中，不构成比例线段的一组是（）A．1cm，2cm，3cm，6cm B．2cm，3cm，4cm，6cmC．1cm，cm，cm，cm D．1cm，2cm，3cm，4cm4．下列各组图形一定相似的是（）A．两个矩形B．两个等边三角形C．各有一角是80°的两个等腰三角形D．任意两个菱形5．已知，那么下列等式中，不成立的是（）A．B．C．（y≠﹣4a）D．4x＝3y6．如图，在△ABC中，D，E两点分别在BC，AC上，且AD平分∠BAC，若∠ABE＝∠C，BE与AD相交于点F，则图中与△ABD相似的是（）A．△ABC B．△ABF C．△BFD D．△AEF7．如图，在△ABC中，D为AB上一点，若AC2＝AD•AB，则（）A．△ADC∽△CBD B．△BDC∽△BCA C．△ADC∽△ACB D．无法判断8．若△ABC∽△ADE，AB＝9，AC＝6，AD＝3，则EC的长是（）A．2B．3C．4D．59．如图，顶角为36°的等腰三角形，其底边与腰之比等于k，这样的三角形称为黄金三角形，已知腰AB＝1，△ABC为第一个黄金三角形，△BCD为第二个黄金三角形，△CDE 为第三个黄金三角形以此类推，第2020个黄金三角形的周长（）A．k2018B．k2019C．D．k2019（2+k）10．如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，作AF⊥BE于F，连接DF，若AB＝6，DF ＝BC，则CE的长度为（）A．2B．C．3D．二．填空题11．如果x：y＝1：2，那么＝．12．如图，△ABC的两条中线AD，BE交于点G，EF∥BC交AD于点F．若FG＝1，则AD＝．13．已知△ABC的三边分别是5，6，7，则与它相似△A′B′C′的最短边为10，则△A′B′C′的周长是．14．若x：y＝5：2，则（x+y）：y的值是．15．已知线段AB，点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，设以AP为边的正方形的面积为S1，以PB、AB为边的矩形的面积为S2，则S1S2（填＜、≤、＝、＞或≥）．16．某课外活动小组的同学在研究某种植物标本（如图所示）时，测得叶片①最大宽度是8cm，最大长度是16cm；叶片②最大宽度是7cm，最大长度是14cm；叶片③最大宽度约为6.5cm，请你用所学数学知识估算叶片③的完整叶片的最大长度，结果约为cm．17．如图，∠B＝∠D，请你添加一个条件，使得△ABC∽△ADE，这个条件可以是．18．如果＝，那么＝．19．在1：40000的地图上，村犀路的距离是7厘米，则实际距离是千米．20．如图，在△ABC中，P为AB上的一点，补充条件，能使△APC∽△ACB，这个条件可以是．（写出一个即可）三．解答题21．已知＝＝，且2x+3y﹣z＝18，求x，y，z的值．22．已知，求m的值．23．已知，求的值．24．如图，a∥b∥c，直线m，n与直线a，b，c分别相交于点A，B，C和点D，E，F．若AB＝3，BC＝5，DE＝4，求EF的长．25．已知＝＝2，求和的值．26．阅读理解：如图1，点C将线段AB分成两部分，若＝，则点C为线段AB的黄金分割点．某研究学习小组，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，而给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1、S2，如果＝，那么称直线l为该图形的黄金分割线．问题解决：如图2，在△ABC中，若点D是AB的黄金分割点．（1）研究小组猜想：直线CD是△ABC的黄金分割线，你认为对吗？为什么？（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？（3）研究小组探究发现：过点C作直线交AB于E，过D作DF∥CE，交AC于F，连接EF（如图3），则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．27．如图1，将A4纸2次折叠，发现第一次的折痕与A4纸较长的边重合，如图2，将1张A4纸对折，使其较长的边一分为二，沿折痕剪开，可得2张A5纸．（1）A4纸较长边与较短边的比为；（2）A4纸与A5纸是否为相似图形？请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题1．解：∵＝，∴a＝b，则＝＝．故选：A．2．解：由＝，得＝＝．故选：D．3．解：A、1：2＝3：6，即1cm，2cm，3cm，6cm成比例；B、2：3＝4：6，即2cm，3cm，4cm，6cm成比例；C、1：＝：，即1cm，cm，cm，cm成比例；D、四条线段中，任意两条的比都不相等，因而不成比例．故选：D．4．解：两个矩形对应边的比不一定相等，故不一定相似；两个等边三角形相似对应边的比相等，对应角相等，一定相似；各有一角是80°的两个等腰三角形对应角不一定相等，故不一定相似；任意两个菱形对应角不一定相等，故不一定相似；故选：B．5．解：A、∵，∴＝，此选项正确，不合题意；B、∵，∴＝﹣，此选项错误，符合题意；C、∵，∴＝，此选项正确，不合题意；D、∵，∴4x＝3y，此选项正确，不合题意；故选：B．6．解：在△ABE与△ACB中，∠ABE＝∠C，∠BAE＝∠CAB，∴△ABE∽△ACB，∴∠AEB＝∠ABC，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠EAF，∴△ABD∽△AEF．故选：D．7．解：∵AC2＝AD•AB，∴，∵∠A＝∠A，且∠A为AD、AC和AB、AC的夹角，∴△ADC∽△ACB．故选：C．8．解：设EC＝x，∵AC＝6，∴AE＝6﹣x，∵△ABC∽△ADE，∴，∴，解得：x＝4，故选：C．9．解：∵AB＝AC＝1，∴△ABC的周长为2+k；△BCD的周长为k+k+k2＝k（2+k）；△CDE的周长为k2+k2+k3＝k2（2+k）；依此类推，第n个黄金三角形的周长为k n﹣1（2+k），∴第2020个黄金三角形的周长为k2019（2+k）．故选：D．10．解：过D作DH⊥AF于点H，延长DH与AB相交于点G，∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC，∵DF＝BC，∴DA＝DF，∴AH＝FH，∵AF⊥BE，∴DG∥BE，∴AG＝BG＝，∵矩形ABCD中，AB＝DC＝6，AB∥DC，∴四边形BEDG为平行四边形，∴DE＝BG＝3，∴CE＝CD﹣DE＝6﹣3＝3．故选：C．二．填空题11．解：+1＝+1，即＝．故答案为：．12．解：∵△ABC的两条中线AD，BE交于点G，∴BD＝CD，AE＝CE，∵EF∥CD，∴＝＝1，即AF＝FD，∴EF为△ADC的中位线，∴EF＝CD，∴EF＝BD，∵EF∥BD，∴＝＝，∴DG＝2FG＝2，∴FD＝2+1＝3，∴AD＝2FG＝6．故答案为6．13．解：∵△ABC∽△A′B′C′，△ABC的三边分别是5，6，7，△A′B′C′的最短边为10，∴相似比是：＝，∴△A′B′C′的另外两条边是6×2＝12，7×2＝14，∴△A′B′C′的周长是：10+12+14＝36，故答案为：36．14．解：由合比性质，得＝＝，故答案为：．15．解：根据黄金分割的概念得：AP：AB＝PB：AP，即AP2＝PB•AB，则S1：S2＝AP2：（PB•AB）＝1，即S1＝S2．故答案为：＝．16．解：根据叶片①②的最大长度和宽度，可得出这种植物的叶片的最大宽度：最大长度＝1：2．由此可得出完整的叶片③的最大长度应是6.5×2＝13cm．故答案为：13．17．解：∵∠B＝∠D，∴添加∠C＝∠E或∠BAC＝∠DAE或∠BAD＝∠CAE或＝，可证△ABC∽△ADE．故答案为：∠C＝∠E或∠BAC＝∠DAE或∠BAD＝∠CAE或＝．18．解：∵＝，则x＝y，∴＝＝＝．故答案为：．19．解：因为实际距离＝图上距离÷比例尺，则：7÷＝280000（厘米）＝2800（米）＝2.8千米；答：这两地之间的实际距离是2.8千米．故答案为：2.8．20．解：∵∠PAC＝∠CAB，∴当∠ACP＝∠B时，△ACP∽△APC，故答案为：∠ACP＝∠B（答案不唯一）三．解答题21．解：由＝＝，得y＝，z＝2x．将y＝，z＝2x代入2x+3y﹣z＝1中，得2x+﹣2x＝18．解得x＝4，y＝＝6，z＝2x＝8．22．解：由可知：x+y＝mz，y+z＝mx，z+x＝my．这几式相加可得：2（x+y+z）＝m（x+y+z），当x+y+z≠0时，有m＝2，当x+y+z＝0时，有x+y＝﹣z，y+z＝﹣x，x+z＝﹣y，m＝﹣1．故m＝2或﹣1．23．解：设＝＝＝k，所以，a＝3k，b＝4k，c＝5k，则＝＝．24．解：∵a∥b∥c，∴，即，解得：EF＝．25．解：因为＝＝2，可得：a ＝2b ，c ＝2d ， 所以＝，＝．26．解：（1）直线CD 是△ABC 的黄金分割线．理由如下：∵点D 是AB 的黄金分割点， ∴＝， ∵＝，＝， ∴＝，∴直线CD 是△ABC 的黄金分割线；（2）∵三角形的中线把AB 分成相等的两条线段，即AD ＝BD ， ∴＝，＝＝1，∴三角形的中线不是该三角形的黄金分割线；（3）∵DF ∥CE ，∴S △FDE ＝S △FDC ，S △DEC ＝S △FEC ，∴S △AEF ＝S △ADC ，S 四边形BEFC ＝S △BDC ， ∵＝， ∴＝，∴直线EF 是△ABC 的黄金分割线．27．解：（1）如图1，由折叠过程可以看到：第一次折叠，A 与D 重合，四边形ABDC 为正方形，折痕BC 为对角线，由勾股定理可得BC ＝AB ；第二次折叠，第一次的折痕与A 4纸较长的边重合，即BC 与较长边重合．所以，较长边＝AB ． ∴A 4纸较长边与较短边的比为：．故答案为：．（2）A4纸与A5纸是相似图形．理由：∵A4纸较长边与较短边的比为：，∴设A4纸较短边的长为a，则较长边为a．∵由图2可知：A5纸的长边与A4纸的短边重合，短边等于A4纸的长边的一半，∴A5纸的长边为a，短边为．∴A5纸的长边与短边的比为：＝．∴A4纸较长边与较短边的比＝A5纸的长边与短边的比．又∵A4纸与A5纸的四个角均为直角，∴A4纸与A5纸相似．。

沪科版九上数学相似三角形练习题一、选择题1、下列各组图形中不是位似图形的是（）A．B．C．D．2、若2：3=7：x，则x=（）A．2B．3C．3.5D．10.53、两个相似三角形的一组对应边分别为5cm和3cm，如果它们的面积之和为136cm2，则较大三角形的面积是（）A．36cm2B．85cm2C．96cm2D．100cm24、如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD=90°，CO=CD，若B（1，0），则点C的坐标为（）A．（1，-2）B．（-2，1）C．（）D．（1，-1）5、如图，已知点A在反比例函数y=(x < 0)上，作Rt△ABC，点D是斜边AC的中点，连DB并延长交y轴于点E，若△BCE的面积为8，则k的值为( )A .8B .12C .16D .206、如图，平面直角坐标系中，直线y=-x+a与x、y轴的正半轴分别交于点B和点A，与反比例函数y=-的图象交于点C，若BA：AC=2：1，则a的值为（）A．2B．-2C．3D．-37、如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，已知AB=4，则DE的长等于( )A .6B .5C .9D .8、如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB=3：5，那么CF：CB等于( )A .5∶8B .3∶8C .3∶5D .2∶59、如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③=；④=AD•AB．其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为( )A .1B .2C .3D .410、如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=6，BD=8，动点P从点B出发，沿着B-A-D在菱形ABCD的边上运动，运动到点D停止，点P′是点P关于BD的对称点，PP′交BD于点M，若BM=x，△OPP′的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（）A ．B ．C ．D ．11、在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，点B 的坐标为（4，3）．平行于对角线AC 的直线m 从原点O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m 与矩形OABC 的两边分别交于点M ，N ，直线m 运动的时间为t （秒）．设△OMN 的面积为S ，则能反映S 与t 之间函数关系的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．12、如图，已知在梯形ABCD 中，AD∥BC，BC=2AD ，如果对角线AC 与BD 相交于点O ，△AOB、△BOC、△COD、△DOA 的面积分别记作S 1、S 2、S 3、S 4，那么下列结论中，不正确的是（）A．S1=S3B．S2=2S4C．S2=2S1D．S1•S3=S2•S4二、填空题13、如图，将边长为6的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在点Q处，EQ与BC交于点G，则△EBG的周长是 __________ cm．14、如图，在△PMN中，点A、B分别在MP和NP的延长线上，==，则= __________ ．三、解答题15、已知=,求下列算式的值．（1）;（2）16、如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E、H分别在AB、AC上，已知BC=40cm，AD=30cm．（1）求证：△AEH∽△ABC；（2）求这个正方形的边长与面积。

沪科版九年级上册相似三角形的性质习题1.若ΔABC∽ΔA'B'C'.相似比为1:2,则ΔABC 与ΔA'B'C'的面积的比为A.1:2B.2:1C.1:4D.4:12.如图，AB//CD,32 OD AO ,则ΔAOB 的周长与ΔDOC 周长的比值是( ) A.52 B.23 C.84 D.32 3.如图，在梯形ABCD 中，AD//BC,/B=ZACD=90°,AB=2,DC=3,则ΔABC 与ΔDCA 的面积比为（ )A.2:3B.2:5C.4:9D.3:24.如图，DE 是ΔABC 的中位线，则ΔADE 与ΔABC 的面积比为_______.5. 在ΔABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，BC=4,下列四个结论：①DE=2;②ΔADE∽ΔABC;③AA DE 的面积与ΔABC 的面积之比为1:4;④ΔADE 的周长与ΔABC 的周长之比为1:4.其中正确的有________（填序号）。

6. 在ΔABC 中，ED 交AB 于点E,交AC 于点D,53==AC AE AB AD ,且ΔABC 与ΔADE 的周长之差是16cm,求ΔABC 和ΔADE 的周长。

7. 如图，在平行四边形ABCD 中，E 是AD 边上的中点，连接BE,并延长BE 交CD 的延长线于点F,则ΔEDF 与ΔBCF 的周长之比是( )A.1:2B.1:3D.1:5C.1:48.如图，在ΔABC 中．∠C=90°,将ΔABC 沿直线M.N 翻折后，顶点C 恰好落在AB 边上的点D 处，已知MN//AB.MC=6.NC=32,则四边形MABN 的面积是（ ） A.36 B.312 C.318D. 3249.如图，在ΔABC 中，D 、E 分别是AB 、BC 上的点，且DE//AC,若S ΔBDE :S ΔCDE =1:4,则S ΔBDE :S ΔADC 为（ )A.1:16B.1:18C.1:20D.1:2410. 兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为( )A.11.5米B.11.75米C.11.8米D.12.25米11.已知ΔABC∽ΔA'B'C',相似比为3:4,ΔABC 的周长为6,则ΔA'B'C'的周长为_____.12.如图，在平行四边形ABCD 中，CD=10,F 是AB 边上一点，DF 交AC 于点E,且52 EC AE ,则CDE AEF S S =______,BF=_______.13.一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影长来测量一路灯D 的高度．如图，当李明走到点A 处时，张龙测得李明直立时的身高AM 与其影长AE 正好相等，接着李明沿AC 方向继续向前走，走到点B 处时，测得李明直立时的身高BN 与其影长线段AB,并测得AB=1.25m.已知李明直立时的身高为1.75m,求路灯CD 的高度（结果精确到0.1m).14.如图，有一边长为5cm 的正方形ABCD 和等腰三角形PQR,PQ=PR=5cm,QR=8cm,点B 、C 、Q 、R 在同一条直线l 上，当C 、Q 两点重合时，等腰三角形PQR 以1cm/s 的速度沿直线l 按箭头所示方向开始匀速运动，ts 后正方形ABCD 与等腰三角形PQR 重合部分的面积为S(c ㎡),解答下面的问题：（1)当t=3时，求S 的值；（2)当t=5时，求S 的值．1、最困难的事就是认识自己。

第22章《相似形》单元测试卷一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P 是线段AB 上一点（AP ＞BP ），若满足，则称点P 是AB 的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x 米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x 满足的方程是（ ）A ．（20﹣x ）2＝20xB ．x 2＝20（20﹣x ）C ．x （20﹣x ）＝202D ．以上都不对2．如图，点D ，E ，F 分别在的边上，，，，点M 是的中点，连接并延长交于点N ，则的值是（ ）A ．B ．C ．D ．3．将含有的三角板按如图所示放置，点在直线上，其中，分别过点，作直线的平行线，，点到直线，的距离分别为，，则的值为（ ）BP APAP AB=ABC V 13AD BD =DE BC ∥EF AB ∥EF BM AC ENAC32029161730︒ABC A DE 15BAD ∠=︒B C DE FG HIB DE HI 1h 2h 12h hA ．1 BCD4．如图，点D 是△ABC 中AB 边上靠近A 点的四等分点，即4AD ＝AB ，连接CD ，F 是AC 上一点，连接BF 与CD 交于点E ，点E 恰好是CD 的中点，若S △ABC ＝8，则四边形ADEF 的面积是（ ）A ．4B ．C ．2D ．5．如图，在边长为的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点为位似中心，画使它与的相似比为，则点的对应点的坐标是（ ）A ．B ．C ．或D ．或6．如图，已知、，与相交于点，作于点，点是的中点，于点，交于点，若，，则值为（ ）11-1181171ABC V O 111A B C △ABC V 2B 1B ()42，()42--，()42，()42--，()42，()42，-AB BC ⊥DC BC ⊥AC BD O OM BC ⊥M E BD EF BC ⊥G AC F 4AB =6CD =OM EF -A．B ．C ．D ．7．如图，在平面直角坐标系中，为原点，为平面内一动点，，连接，点是线段上的一点，且满足．当线段取最大值时，点的坐标是（ ）A ．B ．C ．D ．8．如图，四边形是矩形，平分，，、的延长线交于点，连接，连接交于点．下列结论错误的是（）A ．图中共有三个等腰直角三角形B ．C ．D ．9．如图，在平面直角坐标系中，点，点B 是线段上任意一点，在射线上取一点C ，使，在射线上取一点D ，使．所在直线的关系式为，点F 、G分别为线段的中点，则的最小值是（）751253525O OA OB ==C 32BC =AC M AC :1:2CM MA =OM M36,55⎛⎫ ⎪⎝⎭612,55⎛⎫ ⎪⎝⎭ABCD CE BCD ∠AE CE ⊥EA CB F DE BD CE G DGC EBC∠=∠AB AD CG CE⋅=⋅∽CDG CEBV V ()E OE OA OB BC =BC BD BE =OA 12y x =OC DE 、FGABC ．D ．4．810．如图所示，正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，且内接于正方形，连接，．已知正方形与正方形面积之比为，若，则（ ）A BCD ．二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．已知，且，则 ．12．在中，M ，N 分别是BC ，AC 边上一点，连接AM ，BN 交于点P ，若，，则 ．13．正方形中，E ，F 分别是，上的点，连结交对角线于点G ，若恰好平分，，则的值为 ．ABCD FGHI DE BE CE>ABCD FGHI 59DE CH ∥BECE=32::3:5:7a b c =10a b c -+=a b c ++=ABC V :2:3BM CM =:1:4AN CN =:AP MP =ABCD AD DC EF BD BE AEF ∠413DG GB =DE AE14．宽与长的比等于黄金比的矩形称为黄金矩形．古希腊很多矩形建筑中宽与长的比都等于黄金比，如图，矩形ABCD 为黄金矩形，AB ＜AD ，以AB 为边在矩形ABCD 内部作正方形ABEF ，若AD ＝1，则DF ＝ ．15．如图，矩形的两条对角线相交于点O ，，垂足为E ，F 是的中点，连接交于点P，那么．16．如图，中，，，，若正方形的顶点在上，顶点、都在上，射线交边于点，则长为 ．17．如图：等腰直角三角形中，E 为边上一点，．将沿着翻折得到线段，连接，若．ABCD AC BD ，OE AB ⊥OC EF OB OPPB=ABC V 90ACB ∠=︒2BC =4AC =DEFC D AB F G AC AF BC H CH ABC BC 3BE CE =AB AE AD CD AB =CD =18．如图，在矩形中，，，点在直线上，从点出发向右运动，速度为每秒，点在直线上，从点出发向右运动，速度为每秒，相交于点，则的最小值为 ．三、解答题19．（8分）如图，，于点D ，M 是的中点，交于点P ，．若，求的长．ABCD 5cm AB =6cm BC =E AD A 0.5cm F BC B 2cm BE AF 、G BG CG +cm AB AC =AD BC ⊥AD CM AB DN CP ∥6cm AB =PN20．（8分）如图，四边形ABCD 中，AB=AC=AD ，AC 平分∠BAD ，点P 是AC 延长线上一点，且PD ⊥AD ．（1）证明：∠BDC=∠PDC ；（2）若AC 与BD 相交于点E ，AB=1，CE ：CP=2：3，求AE 的长．21．（10分）如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB ，B 是CD 的中点，CD 是水平的，在阳光的照射下，塔影DE 留在坡面上.若铁塔底座宽CD=12m ，塔影长 m ，小明和小华的身高都是1.6m ，同一时刻小明站在点E 处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m 和1m ，求塔高AB．18DE22．（10分）如图1，在，，，D 为上一点，连接，分别过点A 、B 作于点N ，于点M ．（1）求证：；（2）若点D 满足，求的长；（3）如图2，若点E 为中点，连接，求证：．图1 图2Rt ABC △90ACB ∠=︒1AC BC ==AB CD AN CD ⊥BM CD ⊥ACN CBM V V ≌21BDAD =∶∶DM AB EM 45EMN ∠=︒23．（10分）如图，在正方形中，点是对角线上一点，的延长线交于点，交的延长线于点，连接．（1）求证：；（2）求证：；（3）若的长．ABCD G BD CG AB E DA F AG CG AG =2AB BE DF =⋅GE =GC =EF24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点A 在轴的正半轴上，点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，且，线段、的长是一元二次方程的两个根，且.（1）求点A 、点的坐标；（2）求点的坐标；（3）若直线过点A 交线段于点，且，求点坐标；（4）在平面内是否存在一点，使得以为直角顶点的与相似，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.x B x C y 90ACB ∠=︒OB OA 213360x x -+=OB OA <B C l BC D :1:2ABD ADC S S =△△D P P APC △ABC V P答案一、单选题1．A【分析】点P 是AB 的黄金分割点，且PB ＜PA ，PB ＝x ，则PA ＝20−x ，则，即可求解．解：由题意知，点P 是AB 的黄金分割点，且PB ＜PA ，PB ＝x ，则PA ＝20−x ，∴，∴（20−x ）2＝20x ，故选：A ．2．A【分析】过点F 作交AC 于点G,可证．同理，可得，，；由,得，于是；设，则，，，从而得．解：过点F 作交AC 于点G,∴∴．BP AP AP AB=BP AP AP AB =FG BN ∥EN GN =13AE AD EC DB ==3EC AE =13AE BF EC FC ==FG BN ∥13BF NG FC GC ==3GC NG =EN NG a ==3=GC a 5EC a =203AC a =320EN AC =FG BN ∥1EN EM GN FM==EN GN =∵，∴．∴．∵，∴．∵,∴．∴．设，则，∴∴．∴．∴．∴．故选：A3．B【分析】设交于点，由，得三角形BCM 为等腰直角三角形，再由含30度角直角三角形三边长比及等腰直角三角形的边长比，设BC 为x ，可得MA 为，再由平行线分线段成比例求解．解：设交于点，∵，，DE BC ∥13AE AD EC DB ==3EC AE =EF AB ∥13AE BF EC FC ==FG BN ∥13BF NG FC GC ==3GC NG =EN NG a ==3=GC a 5EC EN NG GC a=++=35EC AE a ==53AE a =520+533AC AE EC a a a =+==320203EN a AC a ==CE FG M 45DAC BAD CAB ∠=∠+∠=︒MA x =-CE FG M 30CAB ∠=︒15BAD ∠=︒∴，∵，∴，三角形为等腰直角三角形，在Rt △ABC 中，设长为，则，∵，∴，∴，∵，∴，故选：B ．4．D【分析】过D 点作DG∥EF ，连接AE ，，GF ＝FC ，再计算△ADE 和△AEF 的面积即可．解：过D 点作DG ∥EF ，连接AE ，∵点E 恰好是CD 的中点，4AD ＝AB ，∴，GF ＝FC ，设AG ＝k ，则AF ＝4k ，GF ＝3k ，FC ＝3k ，∴，∵，S △ABC ＝8，∴，∴，∵，∴，∴＝．45DAC BAD CAB ∠=∠+∠=︒//FG DE 45CMB DAC ∠=∠=︒BCM BC x CM BC x ==30CAB ∠=︒CA ==MA x =-////HI FG DE 121h MA h CM ===14AG AD AF AB ==14AG AD AF AB ==43AF FC =14ACD ABC S AD S AB ∆∆==124ACD ABC S S ∆∆==112ADE AEC ACD S S S ∆∆∆===43AEFCEF S AF S CF ∆∆==4477AEF AEC S S ∆∆==417ADE AEF ADEF S S S ∆∆=+=+四边形117故选：D ．5．C【分析】直接利用位似图形的性质画出三角形顶点的对应点，再顺次连接即可画出图形，根据点的位置写出坐标即可．解：如图所示，当和在原点同侧时，∵与的相似比为2，，∴，即；如图所示，当和在原点两侧时，∵与的相似比为2，，∴，即；综上所述，或，故选C．1B ABC V 111A B C △111A B C △ABC V ()2,1B ()122,12B ⨯⨯()142B ，ABC V 111A B C △111A B C △ABC V ()2,1B ()122,12B -⨯-⨯()142B --，()142B --，()142B ，6．A【分析】证明，，，，求出，求出，，得出即可得出答案．解：、，，∴，，，∴，，∴，，∴，，∴，点是的中点，，，，∴，，∴，∴，故选：．7．DCOM CAB △∽△BOM BDC V V ∽OM CM AB BC =OM BM DC BC =125OM =132EG CD ==122FG AB ==1EF EG FG =-=AB BC ⊥ DC BC ⊥OM BC ⊥OM AB CD ∥∥COM CAB ∴V V ∽BOM BDC V V ∽OM CM AB BC =OM BM DC BC =4OM CM BC =6OM BM BC=125OM =EF BC ⊥ EG AB CD ∥∥ E BD BE DE ∴=BG CG ∴=CF AF ∴=132EG CD ==122FG AB ==1EF EG FG =-=75OM EF -=A【分析】由题意可得点在以点为圆心，为半径的上，在轴的负半轴上取点，连接，分别过、作，，垂足为、，先证，得，从而当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值，然后分别证，，利用相似三角形的性质即可求解．解：∵点为平面内一动点，，∴点在以点为圆心，为半径的上，在轴的负半轴上取点，连接，分别过、作，，垂足为、，∵∴∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值，C B 32OB x 0D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭BD C M CF OA ⊥ME OA ⊥F E OAM DAC V V ∽23OM OA CD AD ==CD OM D B C B DC CD BDO CDF V V ∽AEM AFC V V ∽C 32BC =C B 32OB x 0D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭BD C M CF OA ⊥ME OA ⊥F E OA OB ==AD OD OA =+=23OA AD =:1:2CM MA =23OA CM AD AC==OAM DAC ∠∠=OAM DAC V V ∽23OM OA CD AD ==CD OM D B C B DC CD∵∴，∴，∵，∴，∵轴轴，，∴，∵，∴，∴，解得同理可得，，∴，解得∴∴当线段取最大值时，点的坐标是，故选D ．8．A【分析】根据矩形的性质以及角平分线的性质得，是等腰直角三角形，，是等腰直角三角形，由证明，可得，，则，是等腰直角三角形，由，可得，由三角形外角的性质可得，证明，列比例式并结合等量代换可得．OAOB ==OD =BD =152==9CD BC BD =+=23OM CD =6OM =y x ⊥CF OA ⊥90DOB DFC ∠∠==︒BDO CDF ∠∠=BDO CDF V V ∽OB BD CF CD =1529=CF =AEM AFC V V ∽23ME AM CF AC ==23=ME =OE ===OM M 45DCE BCE ∠=∠=︒CEF △45F DCE ∠=∠=︒ABF △SAS (SAS)≌EBF EDC V V FEB CED ∠=∠BE ED =90FEB CEB CEB CED ∠+∠=∠+∠=︒BED V EBF EDC △≌△FEB CED ∠=∠DGC EBC ∠=∠∽CDG CEB V V AB AD CG CE ⋅=⋅解：如图：四边形是矩形，，，，平分，，，，是等腰直角三角形，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，故A 错误；，，，，故B 正确；，，故D正确；ABCD AB CD ∴=90ABC BCD ADC ∠=∠=∠=︒90ABF ∴∠=︒CE BCD ∠45DCE BCE ∴∠=∠=︒AE CE ⊥ 90FEC ∴∠=︒CEF ∴V EF CE ∴=45F ∠=︒ABF ∴V BF AB CD ∴==45F DCE ∠=∠=︒ (SAS)≌EBF EDC ∴V △FEB CED ∴∠=∠BE ED =90FEB CEB CEB CED ∴∠+∠=∠+∠=︒BE ED = BED ∴V DCH V 45EBD ∴∠=︒45DGC GCB CBG CBG ∠=∠+∠=︒+∠ 45EBC EBD CBG CBG ∠=∠+∠=︒+∠DGC EBC ∴∠=∠DCG ECB ∠=∠ ∽CDG CEB ∴V V，，，，，故C 正确．故选：A ．9．A【分析】如图所示，连接，设射线交射线于H ，过点H 作于M ，连接，先根据三线合一定理得到，，进而证明四边形是矩形，得到，，故当点B 与点M 重合时，最小，即最小，最小值为，设，则，求出，利用相似三角形的性质求出（舍去），则的最小值为．解：如图所示，连接，设射线交射线于H ，过点H 作于M ，连接，∵，，点F 、G 分别为线段的中点，∴，，∵，∴，即，∴四边形是矩形，∴，，∴当最小时，最小，∴当点B 与点M 重合时，最小，即最小，最小值为，∵点H 在直线上，∴可设，∴，∵，CD CG CE CB∴=CD AB = BC AD =AB CG CE AD∴=AB AD CG CE ∴⋅=⋅BF BG ，ED OA HM OE ⊥BH BF OC BG DE ⊥，⊥OBF CBF DBG EBG ==∠∠，∠∠BFHG FG BH =90OHE ∠=︒BH FG HM ()2H m m ，2OM m HM m ==，OE =OMH HME △∽△m =0m =FG BF BG ，ED OA HM OE ⊥BH OB BC =BD BE =OC DE 、BF OC BG DE ⊥，⊥OBF CBF DBG EBG ==∠∠，∠∠180OBF CBF DBG EBG +++=︒∠∠∠∠90CBF DBG +=︒∠∠90FBG ∠=︒BFHG FG BH =90OHE ∠=︒BH FG BH FG HM 12y x =()2H m m ，2OM m HM m ==，()E∴∵，∴，又∵，∴，∴，∴∴（舍去），经检验，∴，故选A ．10．A【分析】设，，则，根据正方形与正方形面积之比为，得到，求出，作交于点M ，作交于点P ，证明出，设，则然后利用相似三角形的性质得到，然后解方程求解即可．解：由题意可得，∴设，，则，∵，∴，OE =90MEH HOE MHO MOH +=︒=+∠∠∠∠MHO MEH =∠OMH HME =∠∠OMH HME △∽△OM HM HM ME=2m m =m =0m =m =FG CI DH a ==CH b =IH a b =+ABCD FGHI 59()22259a b a b +=+2BI CH a ==BM GH ⊥GH NE BM ⊥BM BPE ENC ∽V V CN m =IN BP a m ==+a m a a m +=BIC CHD ≌V V CI DH a ==CH b =IH a b =+90H ∠=︒22222CD CH DH a b =+=+∵正方形与正方形面积之比为，∴，即，∴整理得，∴，解得或（舍去），∴，∴，如图所示，作交于点M ，作交于点P ，由题意可得，，∵，∴四边形，是矩形，∴，，∴，∴设，则，∵，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，ABCD FGHI 592259CD IH =()22259a b a b +=+222520a ab b -+=25220a a b b ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭12a b =2a b=2b a =2BI CH a ==BM GH ⊥GH NE BM ⊥BM AGD DHC ≌V V ED CH ∥BINP ENHD 2PN BI a ==EN DH a ==PE PN EN a =-=CN m =IN BP a m ==+BE CE ⊥90BEP CEN ∠+∠=︒BP PN ⊥90BEP PBE ∠+∠=︒CEN PBE ∠=∠90BPE ENC ∠=∠=︒BPE ENC ∽V V∴，即，∴整理得，∴，∴解得，∴故选：A ．二、填空题11．30【分析】设，，，根据得到，求得，从而得出，，，代入进行计算即可．解：，设，，，，，解得：，，，，，故答案为：30．12．【分析】过点M 作，交于点Q ，根据平行线分线段成比例可得，设，求出，即可求解．解：过点M 作，交于点Q ，BP PE BE EN CN CE ==a m a a m+=220a am m -+=210a a m m ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭a m =BE CE =3a k =5b k =7c k =10a b c -+=35710k k k -+=2k =6a =10b =14c =::3:5:7a b c = ∴3a k =5b k =7c k =10a b c -+= 35710k k k ∴-+=2k =6a ∴=10b =14c =6101430a b c ∴++=++=5:8MQ BN ∥AC 23BM NQ CM CQ ==2,3NQ k CQ k ==54k AN =MQ BN ∥AC∵，∴，设，∴，∵，∴，则，∵，∴，故答案为：．13．或4【分析】延长交于R ，作于T ，不妨设，，，可证得是等腰三角形，可推出，进而表示出，然后解，从而求出x 的值，进而可得结果．解：如图，延长交于R ，作于T ，，不妨设，，则，设，MQ BN ∥23BM NQ CM CQ ==2,3NQ k CQ k ==5CN NQ CQ k =+=:1:4AN CN =154AN k =54k AN =MQ PN ∥55428kAP AN MP NQ k ===5:812EF BC GT DE ⊥4DG =13GB =4DE x =REB V 413EG DE DG RG BR BG ===EG DEG △EF BC GT DE ⊥ 413DG GB =∴4DG =13GB =17BD =4DE x =四边形是正方形，，，，，，恰好平分，，，，，在中，，由勾股定理得，解得，，当，当，综上所述，或4，故答案为：或4．14【分析】先根据黄金矩形求出AB ，再利用正方形的性质求出AF ，然后进行计算即可解答．解：∵矩形ABCD 为黄金矩形，AB ＜AD ，ABCD ∴BC AD ∥AD ==∴EBC AEB ∠=∠4AE AD DE x =-=413EG DE DG RG BR BG ===∴13BR x = BE AEF ∠∴AEB FEB ∠=∠∴EBC FEB ∠=∠∴13ER BR x ==∴4521717EG ER x ==Rt EGT V GT DT DG ===4ET DE DT x =-=-((22252417x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭1x =2x =∴4DE x ==DE =AE ==∴4DE AE=DE =AE ==∴12DE AE =12DE AE =12∴∴∵四边形ABEF 是正方形，∴∴DF=AD -AF=15．【分析】根据矩形性质得到，利用三角形的三线合一得，过O 作交于点Q ，则有，，计算即可．解：∵是矩形，∴，∵F 是的中点，∴，又∵，∴，过O 作交于点Q ，∴，，∴，故答案为：．16．AB AD =AB AD ==1=13OA OB OC ==AE EB =OQ AB P EF OQF AEF V V ∽OQP BEP V V ∽ABCD OA OB OC ==OC 1122OF OC OA ==OA OB =OE AB⊥AE EB =OQ AB P EF OQF AEF V V ∽OQP BEP V V ∽13OP OQ OQ OF PB BE AE AF ====1343【分析】证明，，由相似三角形的性质得出 ， ，设， 可得，， 从而可得出答案．解：∵四边形为正方形， ，∴，，∴，， ∴， ， 设， ∴，， ∴， ∴， ∴．故答案为 ．17．2【分析】如图，作，使，连接，，交于，过作于，可得，，可得，求解，，可得，由对折可得：，，，证明，可得，再证明，可得，有，，求解，可得，从而可得答案．解：∵等腰直角三角形，∴，如图，作，使，连接，，交于，过作于，△∽△ADG ABC AEF AHC V V ∽DG AG BC AC=EF AF CH AC =DG EF x ==24x AG =4x AG x CH +=DGFE 90ACB ∠=︒DG EF BC ∥∥DG EF =△∽△ADG ABC AEF AHC V V ∽DG AG BC AC=EF AF CH AC =DG EF x ==24xAG =4x AG x CH +=2AG x =24x x x CH +=43CH =43AH AE ⊥AH AE =DE EH CH DE K A AF BC ⊥F BAE CAH ∠=∠BC ==12AF CF BC ===()SAS BAE CAH ≌△△454590BCH ∠=︒+︒=︒BE CH ==CE EF ==AH AE ===52EH ==AB AD ==BAE DAE ∠=∠DE BE =45ADE ABE ∠=∠=︒()SAS AEC AHD V V ≌90ECH EDH ∠=∠=︒()Rt Rt HL HEC EHD V V ≌HED CHE ∠=∠CH DE ==EK HK =CK DK =EK HK ==CK DK ===HKE CKD V V ∽ABC AB =AB AC ==BC =AH AE ⊥AH AE =DE EH CH DE K A AF BC ⊥F∵等腰直角三角形，∴，，∴，∴，∴，，∴，∵，∴，，∴∴，由对折可得：，，，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，ABC 90BAC EAH ∠=︒=∠AB AC ==45B ACB ∠=∠=︒BAE CAH ∠=∠BC ==12AF CF BC ===()SAS BAE CAH ≌△△BE CH =45B ACH ∠=∠=︒454590BCH ∠=︒+︒=︒3BE CE =BE CH ==CE EF ==AH AE ===52EH =AB AD ==BAE DAE ∠=∠DE BE ==45ADE ABE ∠=∠=︒90BAC EAH ∠=∠=︒90BAE EAC DAE DAH ∠+∠=︒=∠+∠EAC DAH ∠=∠AE AH =AB AC AD ==()SAS AEC AHD V V ≌45ACE AHD ∠=∠=︒CE HD ==454590EDH ∠=︒+︒=︒90ECH EDH ∠=∠=︒EH EH =CE DH =()Rt Rt HL HEC EHD V V ≌∴，，∴，，由勾股定理可得：，∴，∴，∴，∴，，∴，∴，∴，故答案为：218．10【分析】过点作直线，分别交、于点，过点作直线，分别交、于点，易知四边形、、为矩形，证明，由相似三角形的性质可得；设两点运动时间为，则，，易得，；作点关于直线的对称点，由轴对称的性质可得，故当三点共线时，的值最小，即取最小值，此时，在中，由勾股定理求得的值，即可获得答案．解：如下图，过点作直线，分别交、于点，过点作直线，分别交、于点，HED CHE ∠=∠CH DE ==EK HK =CK DK =222EK CE CK =+222EK EK ⎫=-+⎪⎪⎭EK HK ==CK DK ===45DK CK EK HK ===HKE DKC ∠=∠HKE CKD V V ∽45CD CK HE HK ==4452552CD EH ==⨯=G MN BC ⊥AD BC M N 、G PQ CD ∥AB DC P Q 、ABNM PBNG GNCQ GAE GFB V V ∽AE GM BF GN =E F 、t 0.5AE t =2BF t =1cm GM =4cm GN =C PQ K CG KG =B G K 、、BG KG +BG CG +Rt BCK △BK G MN BC ⊥AD BC M N 、G PQ CD ∥AB DC P Q 、易知四边形、、为矩形，，∵四边形为矩形，∴，∴，，∴，∴，设两点运动时间为，则，，则有，即，∵，∴，，∵四边形为矩形，∴，作点关于直线的对称点，如图，则，，由轴对称的性质可得，当三点共线时，的值最小，即取最小值，此时，在中，，∴的最小值为．故答案为：10．三、解答题19．ABNM PBNG GNCQ 5cm MN AB ==ABCD AD BC ∥AB DC∥GAE GFB ∠=∠GEA GBF ∠=∠GAE GFB VV ∽AEGM BF GN=E F 、t 0.5AE t =2BF t =0.5124GM t GN t ==4GN GM =5cm MN =1cm GM =4cm GN =GNCQ 4cm QC GN ==C PQ K 4cm QK QC ==8cm KC QK QC =+=CG KG =B G K 、、BG KG +BG CG +Rt BCK △10cm BK ===BG CG +10cm解：∵，，∴，又∵，∴，∴，∵点M 是线段的中点，，∴，∴，∴，∵，∴．20．解：（1）证明：∵AB=AD ，AC 平分∠BAD ，∴AC ⊥BD ，∴∠ACD+∠BDC=90°，∵AC=AD ，∴∠ACD=∠ADC ，∴∠ADC+∠BDC=90°，∵PD ⊥AD ，∴∠ADC+∠PDC=90°，∴∠BDC=∠PDC ；（2）解：过点C 作CM ⊥PD 于点M ，AB AC =AD BC ⊥BD DC =DN CM ∥1BN BD PN DC==BN NP =AD DN CM ∥1AP AM PN MD==AP PN =13PN AB =6cm AB =()1162cm 33PN AB ==⨯=∵∠BDC=∠PDC ，∴CE=CM ，∵∠CMP=∠ADP=90°，∠P=∠P ，∴△CPM ∽△APD ，∴=，设CM=CE=x ，∵CE ：CP=2：3，∴PC=x ，∵AB=AD=AC=1，∴=，解得：x=，故AE=1-=．21．解：如图，过点D 作，交AE 于点F ，过点F 作，垂足为点G.由题意得，，∴，∵，，∴，∴，答：塔高AB 为24m.CM AD PC PA32x 13x 23x 12+131323DF CD ⊥FG AB ⊥1.62DF DE =18 1.6214.4(m)DF =⨯÷=16m 2GF BD CD === 1.61AG GF =1.669.6(m)AG =⨯=14.49.624(m)AB =+=22．解：（1）证明：∵，，∴，，又∵，∴，∴∵，∴；（2）解：∵，，∴，∴，设，则，由（1）知，，∵，∴，∴，∴，∴，∴；（3）解：延长，相交于点H，AN CD ⊥BM CD ⊥90ANC ∠=︒90BMC ∠=︒90ACB ∠=︒90ACN BCM BCN CBM ∠+∠=∠+∠=︒ACN CBM∠=∠AC BC =()ACN CBM ASA V V ≌AND BMD ∠=∠ADN BDM ∠=∠AND BMD V V ∽12AN DN AD BM DM DB ===AN x =2BM x =AN CM x ==2BM CN x ==222AN CN AC +=()22221x x +=x =CM =CN =MN 2233DM MN ===ME AN∵E 为的中点，∴∵，，∴，∴，，∴，∴，又∵，∴，又∴，∴，∴．23．解：（1）证明：∵是正方形的对角线，∴，，在和中，，∴，∴；（2）证明：∵四边形是正方形，∴，，，AB AE BE=90ANM ∠=︒90BMN ∠=︒AN BM ∥HAE MBE ∠=∠AHE BME ∠=∠()AAS AHE BME V V ≌AH BM =BM CN =CN AH =CM AN=MN HN =45HMN ∠=︒45EMB ∠=︒BD ABCD 45C D B A D B ∠=∠=︒DC DA =CDG V ADG △DC DA CDG ADG DG DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS CDG ADG ≌△△CG AG =ABCD 90CBE FDC ∠=∠=︒CB CD AB ==CB DF ∥∴，∴，∴，即，∴；（3）解：∵∴，∵四边形是正方形，∴，，，∴，∴，，∴，∴，设，则，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，∴的长为24．（1）解：∵，∴．∴．∵点A 在轴的正半轴上，点在轴的负半轴上，BCE DFC ∠=∠BCE DFC ∽△△CB FD BE DC =AB FD BE AB=2AB BE DF =⋅GE =GC =CE CG GE =+=ABCD CD AB ∥CD AB =CB AD ∥BE CD ∥EBG CDG ∠=∠BEG DCG ∠=∠BEG DCG ∽△△BE GE DC GC ==BE =6CD x =(66AE AB BE CD BE x x =-=-==AF CB ∥FAE CBE ∠=∠AFE BCE ∠=∠AFE BCE △∽△EF AE EC BE==EF =EF 213360x x -+=(4)(9)0x x --=124,9x x ==x B x∴A 点坐标为，B 点坐标为，（2）∵A 点坐标为，B 点坐标为，∴，设点C 的坐标为，则，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，解得，经检验，是方程的解且符合题意，∴点C 的坐标是；（3）过点D 作轴于点E ，轴于点F ，如图，则，∴，，∵，∴．∴；，∵，，∴；，()9,0()4,0-()9,0()4,0-9,4OA OB ==()0,t ()0t >OC t =90ACB ∠=︒90AOC COB ∠=∠=︒90OCB ACO OCB OBC ∠+∠=∠+∠=︒ACO OBC ∠=∠ACO CBO V V ∽OC AO OB OC=94tt =6t =6t =()0,6DE x ⊥DF y ⊥DE OC ∥DF OB∥BED BOC V V ∽CDF CBO V V ∽:1:2ABD ADC S S =△△:1:2BD DC =13DE BD OC BC ==23DF CD BO BC ==4OB =6OC =2DE =243DF =解得．∴．（4）解：存在，求解过程如下：设，由题意可得：，，当时，，即，，解得，或，即点坐标为或，当时，，即，，解得或，即点坐标为或，综上可知，满足条件的P 点为：或或或83DF =8,23D ⎛⎫- ⎪⎝⎭(,)P x y 13AB OB OA =+=BC ===AC ===AP =CP =APC ACB △∽△AP AC PC AC AB CB ==29AC AP AB===6AC CB CP AB ⨯===00x y =⎧⎨=⎩721310813x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩P (0,0)72108,1313⎛⎫⎪⎝⎭APC BCA △∽△AP AC PC BC AB AC ==6AC BC AP AB ⨯===29AC CP AB===96x y =⎧⎨=⎩45133013x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩P ()9,64530,1313⎛⎫- ⎪⎝⎭(0,0)72108,1313⎛⎫ ⎪⎝⎭()9,64530,1313⎛⎫- ⎪⎝⎭。

2018-2019学年度第一学期沪科版九年级数学上册_第22章_ 相似形 _单元检测试卷考试总分： 120 分考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1.若黄金分割比，则的值是（）A. B. C. D.2.一个直角三角形两条直角边的长分别为，，另一个和它的相似的直角三角形的一条直角边为，则另一条直角边的长为（）A. B.C.或D.或3.如图，在中，点，分别在边，上，，已知，，则的长是（）A. B. C. D.4.中，，，，，则的值为（）A. B. C. D.5.如图，中，，，平分，则下列结论：① ；② ；③ ；④其中成立的有（）个．A. B. C. D.6.如图，在中，，，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.7.已知中，点、分别在边、上．下列条件中，不能推断与相似的是（）A. B.C. D.8.如图，与是位似图形，且相似比为，若的面积为，则的面积为（）A. B. C. D.9.已知，，，，且的最短边边长为，则最长边边长为（）A. B. C. D.10.如图，，若，，则与的相似比是（）A. B. C. D.二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）11.如图，点为外一点，与边的交点为，，，，要使，且点，的对应点为，，那么线段的长应等于________．12.如图，在梯形中，，，，若、、的面积分别为、、，则________．13.（开放题）如图，在中，，是中点，交延长线于点，则相似于________．14.如图，中，交于点，，，，，则的长等于________．15.如图，为了测量学校旗杆的高度，小明用长为的竹竿做测量工具．移动竹竿，旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距，与旗杆相距，则旗杆的高为________．16.如图，已知，是斜边的中点，过作于，连结交于；过作于，连结交于；过作于，…，如此继续，可以依次得到点，，…，，分别记，，，…，的面积为，，，… ．若，则________．17.如图，身高是的某同学直立于旗杆影子的顶端处，测得同一时刻该同学和旗杆的影子长分别为和，则旗杆的高度为________．18.在中，，，垂足为，若，．则的度数为________度．19.如图，在大小为的正方形方格中，的顶点、、在单位正方形的顶点上，请在图中画一个，使（相似比不为），且点、、都在单位正方形的顶点上．________．20.如图，中，厘米，厘米，点从出发，以每秒厘米的速度向运动，点从同时出发，以每秒厘米的速度向运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以、、为顶点的三角形与相似时，运动时间为________．三、解答题（共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分）21.如图，、分别是的边、上的点．，，，且，求的长．22.如图，已知：，分别是的，边上的点，且，，，求的长．23.已知，如图，，且，，，求、的长．24.如图，在中，，，点从点开始沿向点以的速度移动，点从点开始沿向点以的速度移动，如果，分别从，同时出发，经过几秒与相似？25.如图，用下面的方法可以画的内接等边三角形，阅读后解答相应问题．画法：①在内画等边三角形，使点在上，点在上；②连接并延长，交于点，过点作，交于点，作，交于点；③连接，则是的内接等边三角形．求证：是等边三角形；求作：内接于已知的矩形，使它的边在上，顶点，分别在，上，且．26.如图，在中，已知，，且（足够大）与重叠在一起，即与重合，不动，运动，并满足：点在边上沿到的方向运动（不与点，重合），且始终经过点，与交于点．求证：；当为何值时，？当为何值时，？答案1.D2.C3.B4.A5.C6.A7.C8.B9.B10.B11..12.13.14.15.16.17.18.19.答案如图20.或秒21.解：∵ ，，∴，且，∴ ，∴，即，解得．22.解：∵ ，∴ ，∵∴∵∴ ．23.，．24.解：设秒时，则，，当时，则，即，解得：，当时，则，即，解得：，综上所述：经过或秒与相似．25.证明：∵ ，，∴ ，，∴ ，，，，∴ ，，∴ ，∵ 是等边三角形，∴ 是等边三角形；解：画法：①在内画矩形，使点在上，点在上，且；②连接并延长，交于点，连接并延长交于点，过点作交于点，过点作，交于点；③连接，则矩形是的内接四边形．26.证明：∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，∵ ，∴ ；解：当时，，理由是：∵ ，，∴ ，在和中∴ ，∴ ；解：当时，，理由是：∵ ，，∴ ，∵ ，，∴，∵ ，∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，∴ ．。

方博教育九年级数学质量测试卷姓名： 得分：一、选择题（12×4=48）1.如图,已知△ADE ∽△ACB,其中∠AED=∠B,则下列比例式成立的是( )A BC DE AB AE AC AD == B BC DEAC AE AB AD == C BC DE AB AC AEAD == D BC DEEC AE AB AD == 2.如图,过梯形ABCD 对角线AC,BD 的交点O 作EF ∥AD,分别交两腰AB,DC 于E,F 两点,则图中的相似三角形共有( )A.7对B.6对C.5对D.4对3.在△ABC 和△A′B′C′中,∠B=∠B′,下列条件不能判断这两个三角形相似的是( )A.∠A=∠C′B.∠A=∠A′C.C B B A BC AB ''''=D.C A B A AC AB ''''=4.如图,正方形ABCD 内接于等腰三角形PQR,则PA ∶PQ 等于( ) A.1∶2 B.1∶2 C.1∶3 D.2∶35.如图，已知AB CD ∥，AD 与BC 相交于点P ，4AB =，7CD =， 10AD =，则AP 的长等于（ ）A ．4011B ．407C ．7011D. 2276.如图6，AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点O ，那么在下列比例式中，正确的是（ ）A.AD OACD AB = B.BC OB OD OA = C.OC OBCD AB = D.OD OBAD BC =图6 图77.如图7，D 为△ABC 的边AB 上一点，且∠ABC=∠ACD ，AD=3 cm, AB=4 cm ，则AC 的长为（ ） A.2 cmB 3 cm C.12 cm D. 23 cm8.在平行四边形ABCD 中，E 在BC 边上，AE 交BD 于F ，若BE ∶EC=4∶5，则BF ∶FD 等于（ ） A.4∶5 B.5∶4 C.5∶9 D.4∶9二、填空题(4×4=16) 9.下列命题中,正确的命题有__________.① 所有的正三角形都相似 ② 所有的直角三角形都相似 ③ 所有的等腰三角形都相似 ④ 所有的等腰直角三角形都相似10.如图（10）,点D 为△ABC 的AB 边一点（AB>AC ）,下列条件能保证△ACD ∽△ABC 的有 ． ①∠ADC=∠ACB ②∠ACD=∠B ③DC AD BC AC = ④AD ACAC AB=11.如图（11），为测得一养鱼池的两端A ，B 间的距离，可在平地上取一直接到达A 和B•的点O ，连接 AO ，BO 并分别延长到C ，D ，使12OC OA =，12OD OB =，如果量得CD=30m ，•那么池塘宽AB=________． 12.如图（12），已知AC 与BD 相交于点O ，且AO ：OC=BO ：OD=2：3，AB=5，则CD=______．图（9） 图（10） 图（11） 图（12）三、解答题(共52分) 2、（9分） 如图27-2-1-11,已知△ABC,△DCE,△FEG 是三个全等的等腰三角形,底边BC,CE,EG 在同一直线上,且3连结BF,分别交AC,DC,DE 于点P,Q,R. 求BF 的长;(2)求BR 的长;(3)求BQ 的长;(4)求PQ 的长.ABCDP3、（10分） 小明正在攀登一个如图所示的攀登架,DE 和BC 是两根互相平行的固定架, DE=10 m ,BC=18 m,小明从底部固定点B 开始攀登,攀行8米,遇上第二个固定点D,小明再 攀行多少米可到达这个攀登架的顶部A?4、（10分）如图10，点O 是ABC △外的一点，分别在射线OAOB OC ，， 上取一点A B C '''，，，使得3OA OB OC OA OB OC '''===，连结A B B C C A ''''''，，，所得A B C '''△与ABC △是否相似？证明你的结论．5、（14分） 如图，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，将边BC 折叠，使点B 落在边OA 的点D 处．已知折叠55CE =，且 34EA AD =．（1）判断OCD △与ADE △是否相似？请说明理由； （2）求直线CE 与x 轴交点P 的坐标；（3）是否存在过点D 的直线l ，使直线l 、直线CE 与x 轴所围成的三角形和直线l 、直线CE 与y 轴 所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由．OACBA 'C 'B 'Oxy CB ED A。

第22章相似形检测题（本检测题满分：100分，时间：90分钟）一.选择题（每小题3分，共30分）1.下列四组图形中，不是相似图形的是（）2.若△ABC∽△A′B′C′,相似比为1∶2,则△ABC与△A′B′C′的面积的比为（）A.1∶2B.2∶1C.1∶4D.4∶13.在比例尺为的地图上，量得两地的距离是，则这两地的实际距离是（）A． B. C. D.4.如图，在△中，为边上一点，∠∠，，，则的长为（）A.1B.4C.3D.25.如图，在△中，点分别是的中点，则下列结论：①；②△∽△；③.其中正确的有（）A.3个B.2个C.1个D.0个A B C D6.如图，//，//，分别交于点，则图中共有相似三角形（ ）A.4对B.5对C. 6对D.7对 7.如图，已知△，则下列4个三角形中，与△相似的是（ ）8.如图，在□ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线 BD 于点F ，则EF ︰FC 等于（ ） A.3︰2 B.3︰1 C.1︰1 D.1︰2 9.如图，点是线段的黄金分割点，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C.D.10．如图，正五边形是由正五边形经过位似变换得到的，若，则下列结论正确的是( ) A. B. C.D.二.填空题（每小题3分，共24分）第10题图FHMAB CDE第8题图11.已知，且，则_______.12.如果一个三角形的三边长为 5.12.13，与其相似的三角形的最长的边为39，那么较大的三角形的周长为_______，面积为________． 13.如图，在△中，∥，，则______．14.若5.0===fe d c b a，则fd be c a +-+-2323=__________.15.如图，是的黄金分割点，，以为边的正方形的面积为，以为边的矩形的面积为，则_______（填“＞”“＜”“=”）． 16.五边形∽五边形，，，，，________.17.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ,23DE BC =,△ADE 的面积是8，则△ABC的面积为 .18.如图，线段AB 两个端点的坐标分别为A (6，6)，B (8，2)，以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的12后得到线段CD ，则端点C 的坐标为 .第17题图第18题图第13题图第15题图三.解答题（共46分）19.（6分）已知：如图，是上一点，∥，，分别交于点，∠1=∠2，探索线段之间的关系，并说明理由.20.（6分）某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，先在河岸边选择了一点B(点B与河对岸岸边上的一棵树的底部点D所确定的直线垂直于河岸).①小明在B点面向树的方向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐正好落在树的底部点D处，如图所示，这时小亮测得小明眼睛距地面的距离AB=1.7米；②小明站在原地转动180°后蹲下，并保持原来的观察姿态（除身体重心下移外，其他姿态均不变），这时视线通过帽檐落在了DB延长线上的点E处，此时小亮测得BE=9.6米，小明的眼睛距地面的距离CB=1.2米.第20题图根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽BD是多少米？21.（6分）已知：如图，在△中，∥，点在边上，与相交于点，且∠．求证：（1）△∽△；（2）22．（7分）如图，在正方形中，分别是边上的点，连接并延长交的延长线于点（1）求证：ABE DEF △∽△； （2）若正方形的边长为4，求的长．23．(7分) 如图，为线段的中点，与交于点，∠∠∠且交于点F ，交于．写出图中两对相似三角形，并证明其中的一对.ABMF GDEC第23题图AED FBC第22题图CAD E FG 第21题图24.（7分）如图，梯形中，∥，点在上，连接并延长与的延长线交于点．（1）求证：△∽△；（2）当点是的中点时，过点作∥交于点，若求的长．25.(7分)如图，是的直径，是上的两点，且，的延长线与的延长线交于点．（1）求证：△∽△；（2）若，，求的长．参考答案一.选择题1.D 解析：根据相似图形的定义知，A.B.C 项都为相似图形，D 项中一个是等边三角形，一个是直角三角形，不是相似图形.2.C 解析：根据相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质直接得出结果.△ABC 与△A ′B ′C ′的面积的比为1∶4.故选C.3.D 解析：4.D 解析：∵ 在△中，为边上一点，，，∴ △∽△，∴ . 又∵，，∴,∴． 5.A 解析：因为点分别是的中点，所以是△的中位线.由中位线的性质可推出①②③全部正确. 6.C 解析：△∽△∽△∽△.7.C 解析：由对照四个选项知，C 项中的三角形与△相似.8.D 解析：∵ AD ∥BC ，∴ DEF BCF ∠=∠，EDF CBF ∠=∠， ∴ △DEF ∽△BCF ，∴ EF ED CFBC=.又∵AD BC =，∴ 12ED BC =，∴ 1.2EF FC =9.C 解析：根据黄金分割的定义可知，．10.B 解析：由正五边形是由正五边形经过位似变换得到的，知，所以选项B 正确.二.填空题 11.4 解析：因为，所以设所以，所以所以12.90 270 解析：设另一三角形的其他两边为由题意得，所以又因为所以三角形是直角三角形，所以周长为13.9 解析：在△中，因为∥，所以∠∠∠ ∠，所以△∽△，所以，所以，所以14.解析：由5.0===fe dc ba ，得，，，所以fd be c a +-+-2323.5.0235.05.1=+-+-=f d b f d b 15. 解析：由黄金分割的概念知，又所以所以．16. 解析：因为五边形∽五边形所以 又因为五边形的内角和为所以.17.18 解析：∵ DE ∥BC ,∴△ADE ∽△ABC ，∴ 249ADE ABC S DE S BC ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△. ∵ △ADE 的面积为8，∴84,9ABCS =△解得ABC S △=18. 18.(3，3) 解析：因为12CD AB=，所以点A （6，6）经过缩小变换后点C 的坐标为(3，3). 三.解答题 19.解：. 理由如下： ∵ ∥∴ ∠∠.又∴ . 又∵ ∴ △∽△，∴即.20.解：由题意，知∠BAD =∠BCE .∵ ∠ABD =∠ABE =90°， ∴ △BAD ∽△BCE .∴ BD AB BEBC=，∴ 1.79.61.2BD =.∴ BD =13.6.∴ 河宽BD 是13.6米. 21.证明：（1）∵，∴ ∠．∵∥，∴，．∴． ∵，∴△∽△．（2）由△∽△，得EFDEDE DB =，∴ EF DB DE ⋅=2． 由△∽△，得． ∵∠∠，∴ △∽△．∴DFDEDE DG =． ∴DF DG DE ⋅=2． ∴ EF DB DF DG ⋅=⋅． 22.（1）证明：在正方形中，︒=∠=∠90D A ，.∵ ∴，∴DFAEDE AB =，∴ABE DEF △∽△. （2）解：∵ ∴ 522422=+=BE .由（1）知DEF ABE ∠=∠，∴ 90AEB ABE AEB DEF ∠+∠=∠+∠=︒， ∴︒=∠90BEG .由∥，得EBG AEB ∠=∠，∴ △∽△，∴BGBEBE AE =，∴102==AE BE BG . 23.解：△∽△，△∽△，△∽△（写出两对即可）.以下证明△∽△．∵ ∠＝∠＋∠＝∠＋∠＝∠，∠＝∠，∴ △∽△．24. （1）证明：∵ 梯形中，∥，∴∴ △∽△．（2）解： 由（1）知，△∽△，又是的中点，∴∴△≌△∴ 又∵ ∥∥，∴ ∥，得． ∴∴．25.（1）证明：∵ ，∴．∴ ∠∠．又∠∠，∴ △∽△．（2）解：∵ △∽△，∴ ．∵ ，，∴．∴．∴ ．∵ 是的直径，∴ ∠°． 在Rt△中，∴ ．第22章 相似形复习检测题类型之一 比例线段与比例性质1．如果x ∶(x ＋y )＝3∶5，那么x ∶y 等于( )A. 85B. 38C. 23D. 322．如图22－X －1，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 分别交直线l 1，l 2，l 3于点A ，B ，C ，直线DF 分别交直线l 1，l 2，l 3于点D ，E ，F .若DE＝3，EF ＝6，AB ＝4，则AC 的长是( )A ．6B ．8C ．9D ．12图22－X －13．如图22－X －2，在▱ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 是OD 的中点，连接AE 并延长交CD 于点F ，则DF ∶FC 等于( )A ．1∶4B ．1∶3C ．1∶2D ．1∶1图22－X －24．如图22－X －3，在△ABC 中，AM ∶MD ＝4∶1，BD ∶DC ＝2∶3，求AE ∶EC 的值．图22－X －3类型之二 相似三角形的判定与性质5．如图22－X －4，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是( )图22－X －4A ．①和②B ．②和③C ．①和③D ．②和④6．如果两个相似三角形的面积比是1∶2，那么它们的周长比是( )A ．1∶2B ．1∶4C ．1∶ 2D ．2∶17．在△ABC 与△A ′B ′C ′中，有下列条件：(1)AB A′B′＝BC B′C′；(2)BC B′C′＝AC A′C′；(3)∠A ＝∠A ′；(4)∠C ＝∠C ′.如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC ∽△A ′B ′C ′的共有( )A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组8．如图22－X －5，在直角梯形ABCD 中，AB ＝7，AD ＝2，BC ＝3，若在线段AB 上取一点P ，使得以P ，A ，D 为顶点的三角形和以P ，B ，C 为顶点的三角形相似，则这样的P 点有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个图22－X－59．［2016·泰安］如图22－X－6，△ABC是边长为4的等边三角形，P为BC边上的任意一点(不与点B，C重合)，且∠APD＝60°，PD交AB于点D，设BP＝x，BD＝y，则y关于x的函数图象大致是( )图22－X－6图22－X－710．［2016·宿州二模］在▱ABCD中，M，N是AD边上的三等分点，连接BD，MC相交于点O，则S△MOD∶S△COB＝________．11．如图22－X－8，在矩形ABCD中，AB＝10 cm，AD＝20 cm，两只小虫P和Q分别从点A，B同时出发沿AB，BC向终点B，C方向前进，小虫P的速度为1 cm/s，小虫Q的速度为2 cm/s.它们同时出发多少秒时，以P，B，Q为顶点的三角形与以A，C，D为顶点的三角形相似？图22－X－812．如图22－X－9所示，先把一张矩形纸片ABCD对折，设折痕为MN，再把点B叠在折痕线上，得到△ABE，过点B折纸片使点A叠在直线AD上，得折痕PQ.(1)求证：△PBE∽△QAB.(2)你认为△PBE和△BAE相似吗？如果相似，给出证明；如果不相似，请说明理由．图22－X－9类型之三相似三角形的实际应用13．如图22－X－10，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去．当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC＝3米，CA＝1米，则树的高度为( )A．3米 B．4米 C．4.5米 D．6米图22－X－1014．如图22－X－11，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT 与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R.如果QS＝60 m，ST＝120 m，QR＝80 m，则河的宽度PQ为( )A．40 m B．60 m C．120 m D．180 m图22－X －1115．如图22－X －12，小军在地面上合适的位置平放了一块平面镜(平面镜的高度忽略不计)，刚好在平面镜中的点C 处看到旗杆顶部E ，此时小军的站立点B 与点C 的水平距离为2 m ，旗杆底部D 与点C 的水平距离为12 m ．若小军的眼睛距离地面的高度为1.5 m (即AB ＝1.5 m )，则旗杆的高度为________m .图22－X －1216．如图22－X －13所示的示意图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF 来测量操场旗杆AB 的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF 与地面保持平行并使直角边DE 与旗杆顶点A 在同一直线上，已知DE ＝0.5米，EF ＝0.25米，且测点D 到地面的距离DG ＝1.5米，到旗杆的水平距离DC ＝25米，求旗杆AB 的高度．图22－X －13类型之四 位似图形的性质及作法17．如图22－X －14，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 在坐标原点，边OA 在x 轴上，OC 在y 轴上，如果矩形OA ′B ′C ′与矩形OABC 关于点O 位似，且矩形OA ′B ′C ′的面积等于矩形OABC面积的14，那么点B ′的坐标是( ) A ．(－2，3) B ．(2，－3)C ．(3，－2)或(－2，3)D ．(－2，3)或(2，－3)图22－X－1418．如图22－X－15所示，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，若点F的坐标为(－1，1)，点C的坐标为(－4，2)，则这两个正方形的位似中心的坐标是____________．图22－X－1519．［2017·包河区二模］如图22－X－16，在边长为1个单位的小正方形组成的网格中，给出了格点四边形ABCD(顶点是网格线的交点)和直线l，按要求画图．(1)作出四边形ABCD关于直线l成轴对称的四边形A′B′C′D′；(2)以B为位似中心，在点B的下方将四边形ABCD放大2倍得到四边形A1B1C1D1，画出四边形A1B1C1D1.图22－X－16类型之五阅读理解型的相似问题20．如图22－X－17(a)，P为△ABC所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P叫做△ABC的费马点．(1)如果△ABC是锐角三角形，点P为△ABC的费马点，且∠ABC ＝60°.①求证：△ABP∽△BCP；②若PA＝3，PC＝4，则PB＝________．(2)如图(b)，已知△ABC是锐角三角形，分别以AB，AC为边向外作△ABE和△ACD，△ABE和△ACD均为等边三角形，且CE和BD相交于点P.①求∠CPD的度数；②求证：点P为△ABC的费马点．图22－X－1721．［2016·宁波］从三角形(不是等腰三角形的)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．(1)如图22－X－18①，在△ABC中，CD为∠ACB的平分线，∠A ＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的完美分割线；(2)在△ABC中，若∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB 的度数；(3)如图22－X －18②，△ABC 中，AC ＝2，BC ＝2，CD 是△ABC 的完美分割线，且△ACD 是以CD 为底边的等腰三角形，求完美分割线CD 的长．图22－X －18类型之六 数学活动22．类比.转化.从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．原题：如图22－X －19①，在▱ABCD 中，E 是BC 边的中点，F 是线段AE 上一点，BF 的延长线交射线CD 于点G .若AF EF ＝3，求CD CG的值． (1)尝试探究在图22－X －19①中，过点E 作EH ∥AB ，交BG 于点H ，则AB 和EH 的数量关系是________，CG 和EH 的数量关系是________，CD CG的值是________．(2)类比延伸如图22－X －19②，在原题的条件下，若AF EF ＝m (m ＞0)，则CD CG的值是____________(用含m的代数式表示)，试写出解答过程．(3)拓展迁移如图22－X－19③，四边形ABCD中，DC∥AB，E是BC延长线上的一点，AE和BD相交于点F.若ABCD＝a，BCBE＝b(a＞0，b＞0)，则AFEF的值是________(用含a，b的代数式表示)．图22－X－19参考答案1．D [解析] ∵x ∶(x ＋y )＝3∶5，∴5x ＝3x ＋3y ，整理，得2x ＝3y ，∴x ∶y ＝3∶2.2．D [解析] ∵l 1∥l 2∥l 3，∴AB BC ＝DE EF ，即4BC ＝36. ∴BC ＝8，∴AC ＝AB ＋BC ＝12.故选D .3．C [解析] 在▱ABCD 中，AB ∥CD ，则△DFE ∽△BAE ，∴DE BE ＝DF AB. ∵O 为对角线的交点，∴DO ＝BO .又∵E 为OD 的中点，∴DE ＝14BD ， 则DE ∶BE ＝1∶3，∴DF ∶AB ＝1∶3.∵CD ＝AB ，∴DF ∶CD ＝1∶3，∴DF ∶FC ＝1∶2.4．解：如图，过点D 作DF ∥ BE 交AC 于点F ，则EF ∶FC ＝BD ∶DC ，AM ∶MD ＝AE ∶EF .∵BD ∶DC ＝2∶3，∴EF ∶FC ＝2∶3.设EF ＝2a ，则CF ＝3a .∵AM ∶MD ＝4∶1，∴AE ∶EF ＝4∶1，∴AE ＝8a ，∴AE ∶EC ＝8a ∶5a ＝8∶5. 5．C6．C [解析] ∵两个相似三角形的面积比是1∶2， ∴这两个相似三角形的相似比是1∶2， ∴它们的周长比是1∶ 2. 故选C .7．C [解析] 共有3组，其组合分别是(1)和(2)，根据是三边成比例的两个三角形相似；(2)和(4)，根据是两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； (3)和(4)，根据是两角分别相等的两个三角形相似．8．C [解析] ①当△DAP ∽△CBP 时，AD ∶AP ＝BC ∶BP ，即2AP ＝7－AP 3，解得AP ＝145； ②当△DAP ∽△PBC 时，AD ∶AP ＝BP ∶BC ，即2AP ＝7－AP 3，解得AP＝1或AP ＝6.综上可得，这样的点P 有3个． 9．C [解析] ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠B ＝∠C ＝60°.又∵∠BPD ＋∠APD ＝∠C ＋∠CAP ，∠APD ＝60°， ∴∠BPD ＝∠CAP ，∴△BPD ∽△CAP ， ∴BP ∶AC ＝BD ∶PC . ∵△ABC 的边长为4，BP ＝x ，BD ＝y ，∴x ∶4＝y ∶(4－x )，∴y ＝－14x 2＋x .故选C .10．4∶9或1∶9 [解析] 已知M ，N 是AD 边上的三等分点． (1)当DM BC ＝23时，如图①所示．∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ， ∴△MOD ∽△COB ，∴S △MOD ∶S △COB ＝(DM BC)2＝4∶9.(2)当DM BC ＝13时，如图②所示．∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ， ∴△MOD ∽△COB ，∴S △MOD ∶S △COB ＝(DM BC )2＝1∶9.故答案为4∶9或1∶9.11．解：设它们同时出发t s 时，以P ，B ，Q 为顶点的三角形与以A ，C ，D 为顶点的三角形相似，则AP ＝t cm ，BQ ＝2t cm ，PB ＝(10－t )cm .(1)当△PBQ ∽△ADC 时，有PB AD ＝BQDC ，即10－t 20＝2t 10，解得t ＝2；(2)当△PBQ ∽△CDA 时，有PB CD ＝BQ DA ，即10－t 10＝2t 20，解得t ＝5.综上可得，当它们同时出发2 s 或5 s 时，以P ，B ，Q 为顶点的三角形与以A ，C ，D 为顶点的三角形相似．12．解：(1)证明：∵∠PBE ＋∠ABQ ＝180°－90°＝90°，∠PBE ＋∠PEB ＝90°，∴∠ABQ ＝∠PEB .又∵∠BPE ＝∠AQB ＝90°， ∴△PBE ∽△QAB . (2)相似．证明：∵△PBE ∽△QAB ，∴BE AB ＝PE BQ .由折叠可知BQ ＝PB ， ∴BE AB ＝PE PB ，即BE PE ＝AB PB. 又∵∠ABE ＝∠BPE ＝90°， ∴△PBE ∽△BAE . 13．D14．C [解析] ∵RQ ⊥PS ，TS ⊥PS ， ∴RQ ∥TS ， ∴△PQR ∽△PST ，∴PQ PS ＝QR ST ，即PQ PQ ＋60＝80120， ∴PQ ＝120(m )． 故选C .15．9 [解析] 由题意可得AB ＝1.5 m ，BC ＝2 m ，DC ＝12 m . 易得△ABC ∽△EDC ，则AB ED ＝BC DC ，即1.5ED ＝212，解得ED ＝9. 故答案为9.16．解：∵∠ADC ＝∠FDE ，∠ACD ＝∠FED ＝90°，∴△ACD ∽△FED ，∴AC EF ＝CD DE ，即AC 0.25＝250.5， 解得AC ＝12.5.∵AB ⊥BG ，DG ⊥BG ，DC ⊥AB ， ∴∠ABG ＝∠BGD ＝∠DCB ＝90°， ∴四边形BGDC 是矩形， ∴BC ＝DG ＝1.5，∴AB ＝AC ＋BC ＝12.5＋1.5＝14(米)． 答：旗杆AB 的高度是14米．17．D [解析] ∵矩形OA ′B ′C ′与矩形OABC 关于点O 位似，∴矩形OA ′B ′C ′∽矩形OABC .∵矩形OA ′B ′C ′的面积等于矩形OABC 面积的14，∴矩形OA ′B ′C ′与矩形OABC 的相似比为1∶2.∵点B 的坐标为(－4，6)，∴点B ′的坐标是(－2，3)或(2，－3)．故选D .18．(2，0)或(－43，23) [解析] ①当两个位似图形在位似中心同旁时，位似中心就是CF 与x 轴的交点．设直线CF 所对应的函数表达式为y ＝kx ＋b ，将C (－4，2)，F (－1，1)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧－4k ＋b ＝2，－k ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－13，b ＝23，即y ＝－13x ＋23.令y ＝0，得x ＝2，∴点O ′的坐标是(2，0)．②当位似中心点O ′在两个正方形之间时，可求得直线OC 所对应的函数表达式为y ＝－12x ，直线DE 所对应的函数表达式为y ＝14x＋1.联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ，y ＝14x ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－43，y ＝23，即点O ′的坐标是(－43，23)．综上可知，点O ′的坐标为(2，0)或(－43，23)．19．解：(1)如图，四边形A ′B ′C ′D ′即为所求． (2)如图，四边形A 1B 1C 1D 1即为所求．20．解：(1)①证明：∵∠PAB ＋∠PBA ＝180°－∠APB ＝60°，∠PBC ＋∠PBA ＝∠ABC ＝60°，∴∠PAB ＝∠PBC .又∵∠APB ＝∠BPC ＝120°， ∴△ABP ∽△BCP .②∵△ABP ∽△BCP ，∴PA PB ＝PBPC ，∴PB 2＝PA ·PC ＝12，∴PB ＝23.(2)①如图，∵△ABE 与△ACD 都为等边三角形， ∴BAE ＝∠CAD ＝60°，AE ＝AB ，AC ＝AD ， ∴∠BAE ＋∠BAC ＝∠CAD ＋∠BAC ， 即∠EAC ＝∠BAD .在△ACE 与△ADB 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝AD ，∠EAC ＝∠BAD ，AE ＝AB ，∴△ACE ≌△ADB ，∴∠1＝∠2. ∵∠3＝∠4，∴∠CPD ＝∠5＝60°.②证明：如图，连接AP ，设AC 与BD 交于点F . 易证△ADF ∽△PCF ，∴AF PF ＝DFCF .又∵∠AFP ＝∠CFD ， ∴△AFP ∽△DFC ， ∴∠APF ＝∠DCF ＝60°.∴∠APC ＝∠CPD ＋∠APF ＝60°＋60°＝120°.同理可得∠BPA ＝120°，∴∠BPC ＝360°－∠BPA －∠APC ＝120°，∴点P 为△ABC 的费马点． 21．解：(1)证明：如图①. ∵∠A ＝40°，∠B ＝60°， ∴∠ACB ＝80°，∴△ABC 不是等腰三角形． ∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD ＝∠BCD ＝12∠ACB ＝40°，从而∠ACD ＝∠A ＝40°， ∴△ACD 为等腰三角形．∵∠BCD ＝∠A ＝40°，∠CBD ＝∠ABC ， ∴△BCD ∽△BAC ，∴CD 是△ABC 的完美分割线．(2)(i )当AD ＝CD 时，如图①，∠ACD ＝∠A ＝48°. ∵△BDC ∽△BCA ， ∴∠BCD ＝∠A ＝48°，∴∠ACB ＝∠ACD ＋∠BCD ＝48°＋48°＝96°.(ii )当AD ＝AC 时，如图②，∠ACD ＝∠ADC ＝180°－48°2＝66°.∵△BDC ∽△BCA ， ∴∠BCD ＝∠A ＝48°，∴∠ACB ＝∠ACD ＋∠BCD ＝66°＋48°＝114°. (iii )当AC ＝CD 时，如图③，∠ADC ＝∠A ＝48°.∵△BDC ∽△BCA ， ∴∠BCD ＝∠A ＝48°.∵∠ADC 应大于∠BCD ，∴此种情况不存在． 综上可知∠ACB 的度数为96°或114°. (3)由已知得AC ＝AD ＝2. ∵△BCD ∽△BAC ， ∴BC BA ＝BD BC .设BD ＝x ，从而2x ＋2＝x 2， 即(2)2＝x (x ＋2)．∵x >0，∴x ＝3－1，即BD ＝3－1. ∵△BCD ∽△BAC ，∴CD AC ＝BD BC ，即CD 2＝3－12， ∴CD ＝3－12×2＝6－ 2.22．[解析] (1)体现了“特殊”的情形，AFEF ＝3是一个确定的数值．如图a ，过点E 作AB 的平行线，构造相似三角形，利用相似三角形和中位线的性质，分别将各相关线段统一用EH 来表示，即可求得比值．(2)体现了“一般”的情形，AFEF＝m 不再是一个确定的数值，但(1)问中的方法仍适用，如图b 所示．(3)体现了“类比”与“转化”的情形，将(1)(2)问中的方法推广转化到梯形中，如图c 所示．解：(1)AB ＝3EH CG ＝2EH 32(2)m 2 过点E 作EH ∥AB ，交BG 于点H ，则△ABF ∽EHF ，∴AB EH ＝AF EF ＝m ，则AB ＝m ·EH ，CD ＝m ·EH .易得EH 为△BCG 的中位线，则CG ＝2EH .∴CD CG ＝m·EH 2EH ＝m2.(3)ab第22章相似形单元检测（满分：150分时间：120分钟）一.选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1.下列说法不正确的是…………………………【】A.顶角为100°的两个等腰三角形相似B.有一个内角为60°的两个菱形相似C.周长相等的两个矩形相似D.任意两个等腰直角三角形相似2.顺次连接三角形各边中点所得三角形与原三角形的周长之比为…………………【】A.1︰2B.1︰3C.1︰4D.2︰33.如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝2，D为AB上一点，DE∥BC交AC于点E，DF∥AC交BC于点F，若四边形DECF为菱形，则其周长为………………………【】A.125 B.5 C.245D.6FED第3题图CBAED第5题图BAD第6题图CBOA4.我校足球场的面积大约为6000m2，若按1︰120000的比例尺缩小后，则其面积大约相当于…………………………【】A.一个篮球场的面积B.教室内一块黑板的面积C.一张课桌桌面的面积D.一本《数学》教科书封面的面积 5.如图，△ABC 中，DE ∥BC ，AD DB ＝23，则下列为正确结论的是…………………【 】 A.CEEA＝23 B.DE BC ＝35 C.ADE ABC C C ∆∆＝49 D.ADE DBCE S S ∆四边形＝4216.如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 相交于点O ，下列结论：①△AOD ∽△COB ；②△AOB ∽△DCB ；③S △AOB ＝S △DOC ；④AOD CODS S ∆∆＝ADBC.其中一定正确的有………………………【 】 A.① B.①③④ C.②③④ D.①②③④ 7.如图，四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠ACB ＝90°，AB ＝9，AC ＝6，AD ＝4，CE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，则DFCE的值为…【 】 A.32B.23C.12D.49F E D第7题图CBAD 第8题图CAGF 第9题图C BA8.如图，在△ABC 中，D 为BC 边上一点，下列条件：①∠CAD ＝∠B ；②∠CDA ＝∠CAB ；③∠ACD ＝∠BCA ；④AC 2＝CD ·CB .其中不能判定△ADC 与△ACB 相似的是…………………【 】 A.① B.② C.③ D.④9.如图，在△ABC 中有一个矩形DEFG ，点D .E 在边AB 上，点F 在边BC上，点G在边AC上，记△ADG的面积为S1，△EBF的面积为S2，矩形形DEFG的面积为S3，若CGGA ＝12，则S1，S2，S3三者之间的关系是…………………………………………【】A.S1＋S2＜S3B.S1＋2S2＝S3C.S1＋S2＝12S3 D.S1＋S2＝S310.下列说法不正确的是…………………………【】A.相似三角形是相似图形，而相似图形又是位似图形B.位似图形是相似图形，且位似比等于相似比C.利用位似变换既能放大图形，又能缩小图形D.位似图形分同向位似图形和反向位似图形两种二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11.已知m＝0.7，n＝352，则m.n的比例中项是___________. 12.在△ABC中，∠A＝36°，CD是AB边上的高，且CD2＝AD·BD,则∠ABC的度数为_________________.13.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AE是∠CAB的平分线，交CD于点F，交CB于点E，若AD＝4，BD＝2，则AFAE 的值为_______________.14.如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB与CD间的距离为1cm，AB＝1.8cm，CD＝1.2cm，AD与BC的延长线相交于点E，则△ABE 的面积为____________.FE第13题图C BAD第14题图C BA三.（本大题共两小题，每小题8分，满分16分） 15．已知x y z +＝x z y +＝y zx+＝k ，求k 的值.16.如图，点D .E 分别是△ABC 的边AB .BC 上一点，且AD ︰DB ＝1︰4，CE ︰EB ＝3︰2，，AE 与CD 交于点F ,求DF ︰FC 的值.F ECBA四.（本大题共两小题，每小题8分，满分16分）17.如图，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的中线，CE ⊥CD 于点C ，CE 交AB 的延长线于点E .求证：CE 2＝EB ·EA .AE18.如图，在4×4的方格网中，每个小正方形的边长均为1，△ABC为格点三角形，请画出△ABC的一个相似三角形，且满足下列条件：①是格点三角形；②相似比不为1；③两个三角形互不重叠.并加以证明.ACB五.（本大题共两小题，每小题10分，满分20分）19.下面方格网中的多边形是什么形状的多边形？请以点O为位似中心，画出它的位似图形，要求位似比为2.20.如图，在平行四边形ABCD中，延长BC至E，使BC＝CE，连接AE，交DC于点F，交DB于点G.（1）请写出图中各对相似三角形（不包括相似比为1的三角形）；（2）求EF︰FG︰GA的值.G FED CBA六.（本题满分12分）21.如图，将三个全等的正方形拼成一个大矩形ABCD，连接AG.AH.AC，试判断∠AHF与∠ACB之间的关系，并证明你的结论.HG FE DCBA七.（本题满分12分）22.如图，点D .E 在△ABC 的边BC 上，△ADE 为等边三角形. （1）若∠BAC ＝120°，求证：AB 2＝BD ·BC . （2）若DE 2＝BD ·CE ，试求∠BAC 的度数.ED CBA八.（本题满分14分）23.如图，在△ABC 中，AB ＝5cm ，BC ＝4cm ，AC ＝3cm ，点P .Q 分别同时从点A .B 出发，分别以1cm/s.2cm/s 的速度向点C .B 运动，设运动时间为t s.（1）连接PQ ，当t 为多少时，PQ ∥AB ？并求出此时PQ 的长. （2）连接PQ .PB ，设△PQB 的面积为y （cm 2），试求y 与t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围.B参考答案1.C 解析：∵由顶角为100°对应相等，∴由三角形内角和定理及等边对等角可得底角对应相等，∴A 对；由菱形四边相等可得两菱形四边成比例，又由有一个60°内角对应相等，∴由菱形的性质可得两菱形四个角对应相等，∴B 对；由两矩形周长相等可得邻边之和相等，但不能得出对应边成比例，∴C 错；∵两个三角形均为等腰直角三角形，∴90°.45°角对应相等，∴可由两角对应相等的两个三角形相似判定这两个等腰直角三角形相似，∴D 对.2.A 解析：由三角形中位线定理可得所得三角形与原三角形相似，且相似比为1︰2，又相似三角形周长之比等于相似比，∴所得三角形与原三角形的周长之比为1︰2，∴A 对.3.C 解析：∵四边形DECF 是菱形，∴可设DE ＝DF ＝x ，则AE ＝3－x ，BF ＝2－x ，∵DE ∥BC ，DF ∥AC ，∴∠B ＝∠ADE ，∠BDF ＝∠A ∴△ADE ∽△DBE ，∴AE DF ＝DEBF ，∴3x x -＝2xx -，解得x ＝65，∴其周长为4×65＝245，∴C 对.6.B 解析：∵AD ∥BC ，∴△AOD ∽△COB ，∴①正确；△AOB 与△DCB中既不能得出对应边成比例，又不能得出角相等，∴△AOB 与△DCB 不相似，∴②错误；∵AD ∥BC ，∴S △ABC ＝S △DBC（同底等高的两个三角形面积相等），∴S △ABC －S △OBC ＝S △DBC－S △OBC ，∴S △AOB ＝S △DOC ，∴③正确；∵AO ，CO 在一条直线上，∴AOD COD S S ∆∆＝AOCO (底AO .CO 上的高相同)，又∵△AOD ∽△COB ，∴AO CO ＝AD CB ,∴AOD COD S S ∆∆＝ADCB，∴④正确.∴B 对.7.B 解析：∵AD ＝4，AC ＝6，AB ＝9，∴AD AC ＝AC AB ＝23，又∵∠ADC ＝∠ACB ＝90°，∴△ADC ∽△ACB ，又DF ⊥AC ，CE ⊥AB ，∴DF CE ＝AC AB ＝23（相似三角形对应高的比等于相似比），∴B对.8.C 解析：由∠CAD＝∠B，∠ACD＝∠BCA，可得△CAD∽△CBA，∴①正确；由∠CDA＝∠CAB，∠ACD＝∠BCA，可得△CAD∽△CBA，∴②正确；∵∠ACD＝∠BCA是公共角，只有一对角相等，不能判定两个三角形相似，∴③错误；∵AC2＝CD·CB，∴ACBC ＝CDCA,又∠ACD＝∠BCA，∴△CAD∽△CBA，∴④正确.∴C对.9.D 解析：∵CGGA＝12，∴CGCA＝13，∵GF∥AB，∴△CGF∽△CAB，∴CGFCABSS∆∆＝（CGCA）2＝（13）2＝19，设S△CGF＝x，则S△CAB＝9x，∴S四边形GABF＝S1＋S2＋S3＝8x，如下图，过点C作CH⊥GF于点H，由∠CGH＝∠GAB，∠CHG＝∠GDA，可得△CGH∽△GAD，∴CHGD＝CGGA＝12，∴CGFGDEFSS∆矩形＝12GF CHGF GD⨯⨯＝14，∴S矩形GDEF＝S2＝4x，∴S1＋S3＝4x，∴S1＋S3＝S2，∴D对.10.A 解析：相似三角形是相似图形，但相似图形不一定是位似图形，如下图，Rt△ABD∽Rt△CAD，但它们不是位似图形，位似图形是有特殊位置关系（对应点连线或其延长线相交于同一点）的相似图形，∴A错误，B.C.D正确，∴选A.11.±72解析：设m .n 的比例中项为x 由题意得x 2＝mn ＝0.7×352＝494，∵x ＝±72. 12.54°或126° 解析：当CD 在△ABC 内部时，如下图①，∵CD 2＝AD ·BD ,∴AD CD ＝CDBD, 又∠CDA ＝∠BDC ＝90°，∴△CDA ∽△BDC ，∴∠B ＝∠ACD ＝54°；当CD 在△ABC 外部时，如下图②，∵CD 2＝AD ·BD ,∴ADCD＝ CDBD,又∠CDA ＝∠BDC ＝90°，∴△CDA ∽△BDC ，∴∠CBD ＝∠ACD ＝54°，∴∠ACB ＝180°－∠CBD ＝180°－54°＝126°.∴综上，∠ABC ＝54°或126°.①D CBA②DCB A13.6解析：∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴△ACD ∽△ABC ，又∵AE 是∠CAB 与∠CAD 的平分线，∴AF AE ＝CDBC,又∵△ACD ∽△CBD ，∴AD CD ＝CD BD ,∴CD 2＝AD ·BD ＝4×2＝8，∴CD ＝22，在Rt △BCD 中，由勾股定理得BC ＝22CD BD +＝222+(22)＝23，∴CD BC ＝2223＝63，∴AF AE ＝63. 14.2．7cm 2 解析：如下图，过点E 作EF ⊥AB 于点F ，交CD 于点G ，∵AB ∥CD ，则EG ⊥CD ，∵△EDC ∽△EAB ，∴EG EF ＝DC AB ＝1.21.8＝23,又由题意GF ＝1，∴1EG EG +＝23,解得EG ＝2，∴EF ＝3，∴S △EAB ＝12×AB ×EF ＝12×1.8×3＝2.7（cm 2）.15.解：当x ＋y ＋z ＝0时，则x ＋y ＝﹣z ，∴x y z +＝z z-＝﹣1＝k ；当x ＋y ＋z ≠0时，∵ x y z + ＝x z y +＝y z x+＝k ，∴由等比性质得()()()x y x z y z x y z+++++++＝k ，解得k ＝2.∴综上，k 的值为﹣1或2.16.解：如下图，过点D 作DG ∥AE ，交CB 于点G ，则AD DB ＝EG GB ＝14，∴EG EB ＝15①，又∵CE EB＝32②，①÷②得EG EC ＝215，由EF ∥DG ，可得DFFC ＝GEEC＝215，∴DF︰FC的值为215.17.证明：∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＋∠DCB＝90°，又∵CD⊥CE，∴∠BCE＋∠DCB＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，又∵CD为斜边AB的中线，∴AD＝CD，∴∠ACD＝∠CAD，∴∠ACD＝∠CAE，又∠E＝∠E，∴△BCE∽△CAE，∴CEAE ＝BECE，∴CE2＝EB·EA.18.解：答案不唯一，如下图所示的△DEF，证明：∵△ABC.△DEF均为格点三角形，∴由勾股定理得，AB＝221+1＝2，BC＝3，AC＝221+2＝5，DE＝2，EF＝223+3＝32，DF＝221+3＝10，∵ABDE ＝2，BCEF＝32＝2，ACDF＝510＝2，∴ABDE＝BCEF ＝ACDF，∴△ABC∽△DEF.19. 解：正八边形；位似图形如下图：20.解：（1）△EFC ∽△EAB ，△EAB ∽△AFD ，△DFG ∽△BAG ；（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴FC ∥AB ，∴△EFC ∽△EAB ，∴EF EA ＝EC EB ,∵BC ＝CE ，∴EC EB ＝12，∴EF EA ＝12，∴EF AF＝1，∴EF ＝AF ，又AD ∥CE ，∴△EFC ∽△AFD ，∴△EFC ≌△AFD ，∴DF ＝CF ，又DC ＝AB ，∴DF AB ＝12，∵DF ∥AB ，∴△DFG ∽△BAG ，∴FG AG ＝DF AB ＝12，设FG ＝x ，则AG ＝2x ，∴EF ＝AF ＝AG ＋FG ＝x ＋2x ＝3x ，∴EF ︰FG ︰GA ＝3x ︰x ︰2x ＝3︰1︰2.21.解：∠AHF 与∠ACB 之间的关系是∠AHF ＜∠ACB 且∠AHF ＋∠ACB＝135°.证明：∵∠AHF ＋∠AHD ＝∠ACD ＋∠ACB ＝90°,又∠AHD ＞∠ACD ，∴∠AHF ＜∠ACB ；设正方形边长为x ，则GH ＝x ，GC ＝2x ，在Rt △AGD 中，由勾股定理得AG ＝，∵AGGC ，GH AG ，∴AG GC ＝GH AG ，又∠AGH ＝∠CGA ，∴△AGH ∽△CGA ，∴∠GAH ＝∠GCA ，∴∠GHA ＋∠GCA ＝∠GHA ＋∠GAH ＝∠AGD ＝45°，又∵∠GHA ＋∠AHF ＋∠GCA ＋∠ACB ＝90°＋90°＝180°，∴∠AHF ＋∠ACB ＝180°－（∠GHA＋∠GCA）＝135°.（2）∵DE2＝BD·CE，∴DEBD ＝CEDE，∵DE＝AE＝AD，∴AEBD＝CEAD，又∠ADE ＝∠AED＝60°，∴∠ADB＝∠CEA＝120°，∴△DBA∽△EAC，∴∠B＝∠EAC，又∠EAC＋∠C＝∠AED＝60°，∴∠B＋∠C＝60°，∴∠BAC＝180°－（∠B＋∠C）＝190°－60°＝120°.23.解：（1）由题意得AP＝t，CQ＝2t，∵AC＝3，BC＝4，∴CP＝3－t，QB＝4－2t，令PQ∥AB，则CPAP ＝CQQB，∴3tt-＝242tt-，解得t＝1.2，∴当t＝1.2s时，PQ∥AB，,此时CP＝1.8，由PQ∥AB得△CPQ∽△CAB，∴CPCA ＝PQAB，又AB＝5，∴1.8 3＝5PQ，解得PQ＝3，∴此时PQ的长为3cm.（2）∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，32＋42＝52，∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形，∴S△ABC＝12×AC×BC＝12×3×4＝6，由题意得30420ttt⎧⎪-⎨⎪-⎩＞＞＞，解得0＜t＜2，∴y与t的函数关系式为y＝t2－5t＋6，出自变量t的取值范围是0＜t＜2.九年级上册数学单元综合测试卷（第22章相似形）注意事项：本卷共23题，满分：150分，考试时间：120分钟. 一.精心选一选（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1﹒如果x：(x+y)＝3：5，那么x yx-的值是（）A.13 B.12C.23D.322﹒若ab c+＝ba c+＝ca b+＝k，则直线y＝kx+k一定经过（）A.第一.二象限B.第二.三象限C.第三.四象限D.第一.四象限3﹒已知线段a＝2，c＝6，线段b是a.c的比例中项，则线段b的值为（）A.±3±3 D.124﹒已知两点A（5，6）.B（7，2），先将线段AB向左平移一个单位，再以原点O为位似中心，在第一象限内将其缩小为原来的12，得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为（）A.（2，3）B.（3，1）C.（2，1）D.（3，3）5﹒已知点C在线段AB上，且点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论正确的是（）A.AB2＝AC BCB.BC2＝AC BCC.AC＝51-BCD.BC＝35-AB6﹒如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F.AC与DF相交于点H，且AH＝2，HB＝1，BC＝5，则DEEF的值为（）A.12 B.2 C.25D.35第6题图第7题图第8题图第9题图7﹒如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD＝90°，若AB＝2，DC ＝3，则△ABC与△DCA的面积比是（）A.2：3B.2：5C.4：238﹒如图，在△ABC中，D.E分别是BC.AC上的点，AD与BE相交于点G，若AG：GD＝4：1，BD：DC＝2：3，则AE：EC的值是（）A. 83 B.32C.85D.43第10题图9﹒如图，Rt△ABC 中，∠C ＝90°，以点C 为顶点向△ABC 内做正方形DECF ，使正方形的另三个顶点D ，E ，F 分别在的边AB ，BC ，AC 上.若BC ＝6，AB ＝10，则正方形DECF 的边长为（ ） A.187B.247C.43 D.5310.如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝90°，BM 是AC 边 中线，点D ，E 分别在边AC 和BC 上，DB ＝DE ，EF ⊥AC于点F ，以下结论：①△BMD ≌△DFE ；②△NBE ∽△DBC ； ③AC ＝2DF ；④EF AB ＝CF BC ，其中正确结论的个数是（ ）A.1B.2C.3D.4二.细心填一填（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）11.如图，△ABC 中，D 为BC 上一点，∠BAD ＝∠C ，AB ＝6，BD ＝4，则CD 的长为_______.第11题图 第12题图 第13题图 第14题图12.如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，将△ABC 沿直线MN 翻折后，顶点C 恰好落在边AB 上的点D 处，已知MN ∥AB ，MC ＝6，NC ＝3，则四边形MABN 的面积是___________. 13.如图，在钝角△ABC 中，AB ＝6cm ，AC ＝12cm ，动点D 从点A 出发到B 点止，动点E 从点C 出发到A 点止，点D 运动的速度为1cm/s ，点E 运动的速度为2cm/s.如果两点同时运动，那么当以点A ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似时，运动的时间是_______________.14.如图，正方形ABCD 中，△BPC 是等边三角形，BP .CP 的延长线分别交AD 于点E .F ，连接BD .DP .BD 与CF 相交于点H .给出下列结论：①△ABE ≌△DCF ；②FP PH＝35；③DP 2＝PH PB ；④BPDABCD S S ∆正方形＝31－.其中正确的是________.（填写正确结论的序号）三.（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15.已知实数x .y .z 满足430320x y y z -=⎧⎨-=⎩，试求22x y zx y z +--+的值.16.在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在格点上，P 1，P 2，P 3，P 4，P 5是△DEF 边上的5个格点，请你按要求完成下列各小题：（1）求证：△ABC 是直角三角形；（2）判断△ABC 与△DEF 是否相似，并说明理由；（3）画一个三角形，使它的三个顶点为P 1，P 2，P 3，P 4，P 5中的3个格点并且与△ABC 相似（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法与证明）.四.（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17.已知，△ABC在直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长均为一个单位长度）.（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是______________；（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC 位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是______________；（3）求△A2B2C2的面积是__________平方单位.18.如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于E，交BA的延长线于点F.（1）图中△APD与哪个三角形全等？并说明理由；（2）求证：PC2＝PE PF.五.（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19.已知，如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE＝OB，连接DE.（1）求证：DE⊥BE；。

第二十四章相似三角形数学九年级上册-单元测试卷-沪教版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、如图是用卡钳测量容器内径的示意图，已知卡钳的四个端点，，，到支点的距离满足，且．现在只要测得卡钳外端，两个端点之间的距离，就可以计算出容器的内径的大小。

这种测量原理用到了（）A.图形的旋转B.图形的平移C.图形的轴对称D.图形的相似2、按如下方法，将△ABC的三边缩小的原来的，如图，任取一点O，连AO、BO、CO，并取它们的中点D、E、F，得△DEF，则下列说法正确的个数是（）①△ABC与△DEF是位似图形②△ABC与△DEF是相似图形③△ABC与△DEF的周长比为1：2④△ABC与△DEF的面积比为4：1．A.1B.2C.3D.43、如图在△ABC中∠A＝60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AC于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论：①PM＝PN；②；③△PMN为等边三角形；④当∠ABC＝45°时，BN＝BC，其中正确的是（）A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④4、如图，是三个正方形拼成的一个长方形，则∠1+∠2+∠3=（）A.60°B.75°C.90°D.105°5、下列图形一定相似的是（）A.两个矩形B.两个等腰梯形C.对应边成比例的两个四边形D.有一个内角相等的菱形6、如图．利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2m，测得AB＝1.6m．BC ＝12.4m．则建筑物CD的高是（）A.9.3 mB.10.5 mC.12.4 mD.14 m7、已知两个相似三角形的相似比为1：4，则它们的周长比为（）A.1：4B.4：1C.1：2D.1：168、下列各组图形中，一定相似的是（）A.两个矩形B.两个菱形C.两个正方形D.两个等腰三角形9、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为D，AD=8，AB=10，则CD长为（）A.4B.16C.2D.410、如图，△ABC中，点D是AB的中点，点E是AC边上的动点，若△ADE与△ABC相似，则下列结论一定成立的是（）A.E为AC的中点B.DE是中位线或AD·AC=AE·ABC.∠ADE=∠C D.DE∥BC或∠BDE+∠C=180°11、在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，且DE∥AC，EF∥AB，若BD＝2AD，则的值为（）A. B. C. D.12、在△ABC中，DE∥BC，分别交边AB、AC于点D、E，AD：BD=1：2，那么△ADE与△ABC 面积的比为（）A.1：2B.1：4C.1：3D.1：913、若△ABC∽△A'B'C'，∠A＝30°，∠C＝110°，则∠B'的度数为（）A.30°B.50°C.40°D.70°14、已知，那么下列等式中，不一定正确的是（）A. B. C. D.15、在正方形ABCD中，点E为AD中点，DF=CD，则下列说法：（1）BE⊥EF；（2）图中有3对相似三角形；（3）E到BF的距离为AB；（4）=．其中正确的有（）A.4个B.3个C.2个D.1个二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥AD于点E，若点P，A，B构成以AB为腰的等腰三角形时，则线段PE的长是________。