最新沪科版九年级相似三角形知识点汇总讲义

沪科版九上数学图形的相似 知识点总结知识点一1.相似图形：把具有相同形状的图形称为相似图形。

2.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边成比例。

知识点二：比例线段1.比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即dc b a =（或a ：b=c ：d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）2.比例性质的基本性质: bc ad d c b a =⇔= （两外项的积等于两内项积）3.更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a b c d a c d c b d b ad b c a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项4.合比性质：dd c b b a d c b a ±=±⇒=（分子加（减）分母,分母不变） 5.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.） 如果)0(≠++++====n f d b n m fe d c b a ，那么ba n f db m ec a =++++++++ ． 注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．知识点三：黄金分割1. 定义：在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果AC BC AB AC =，即AC 2=AB×BC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比。

其中AB AC 215-=≈0.618AB 。

知识点四：相似三角形1.相似三角形：两个三角形中，如果三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。

如△ABC 与△DEF 相似，记作△ABC ∽△DEF 。

相似三角形知识点总结知识点1、三角对应相等，三边对应成比例的三角形叫相似三角形。

如△ABC 与△A /B /C /相似，记作: △ABC ∽△A /B /C /。

相似三角形的比叫相似比相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是三角形相似的判定方法。

注意：（1）相似比是有顺序的。

（2）对应性，两个三角形相似时，通常把对应顶点写在对应位置，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边。

（3）顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的，若△ABC ∽△A /B /C /，相似比为k ，则△A /B /C /与△ABC 的相似比是1k知识点2、相似三角形与全等三角形的关系（1）两个全等的三角形是相似比为1的相似三角形。

（2）两个等边三角形一定相似，两个等腰三角形不一定相似。

（3）二者的区别在于全等要对应边相等，而相似要求对应边成比例。

知识点3、平行线分线段成比例定理1. 比例线段的有关概念：在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a bc da b c d a d b c a c ()b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。

把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2=AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。

2. 比例性质：①基本性质：a bc dadbc ②合比性质：±±a b c d a b b c d d③等比性质：……≠……a bc dm nb dn a c m bdna b()03. 平行线分线段成比例定理（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.已知l1∥l2∥l3,A D l1B E l2CF l3可得EF BC DEAB DFEF ACBC DFEF ABBC DFDE ACAB EFDE BCAB或或或或等.（2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. AD EBC由DE ∥BC 可得：AC AEABAD EAEC ADBD ECAE DBAD 或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.（3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.（4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. 知识点4：相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等②相似三角形的对应边成比例③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比④相似三角形周长的比等于相似比⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方知识点5：相似三角形的判定：①两角对应相等，两个三角形相似②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似③三边对应成比例，两三角形相似④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似如果两个三角形的两角分别于另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。

九年级数学上22.2.1相似三角形的判定（最新沪科版）相似三角形的判定一、授目的与考点分析：相似三角形的判定二、授内容：(一)相似三角形1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．强调：①当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条，缺一不可；②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例．2、相似三角形对应边的比叫做相似比．强调：①全等三角形一定是相似三角形，其相似比=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△AB∽△A′B′′的对应边的比，即相似比为，则△A′B′′∽△AB的相似比，当它们全等时，才有=′=1．③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．强调：①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE∥B，∴△AB∽△ADE；（双A型）②这个定理是用相似三角形定义推导出的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”；③有了预备定理后，在解题时不但要想到“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”．(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。

例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△AB∽△ADE．例2、如图，E、F分别是△AB的边B上的点，DE∥AB,DF∥A ,求证：△AB∽△DEF判定定理2：如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

可编辑修改精选全文完整版相似三角形知识点整理重点、难点分析：1、相似三角形的判定性质是本节的重点也是难点．2、利用相似三角形性质判定解决实际应用的问题是难点。

☆内容提要☆ 一、本章的两套定理第一套（比例的有关性质）：涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。

第二套：二、有关知识点： 1.相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。

2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。

3.相似三角形的相似比：相似三角形的对应边的比叫做相似比。

4.相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三反比性质：cda b = 更比性质：dbc a a c bd ==或 合比性质：ddc b b a ±=± ⇒=⇔=bc ad d c b a （比例基本定理） ban d b m c a n d b n m d c b a =++++++⇒≠+++=== :)0(等比性质 相似基本定理 推论(骨干定理)平行线分线段成比例定理(基本定理)应用于△中 相似三角形定理1定理2 定理3 Rt △ 推论推论的逆定理推论角形相似。

5.相似三角形的判定定理：(1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：类型斜三角形直角三角形全等三角形的判定SAS SSS AAS（ASA）HL相似三角形的判定两边对应成比例夹角相等三边对应成比例两角对应相等一条直角边与斜边对应成比例从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。

6.直角三角形相似：(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。

(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

沪教版初三数学上册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习《相似三角形》全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】（1）了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段的概念；（2）通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，周长的比等于对应边的比，面积的比等于对应边比的平方；（3）了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件；（4）通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题( 如利用相似测量旗杆的高度)；（5）理解实数与向量相乘的定义及向量数乘的运算律.【知识网络】【要点梳理】要点一、比例线段及比例的性质1.比例线段：（1）线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别是m，n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n，或写成,其中a叫做比的前项;b叫做比的后项.（2）成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．（3）比例的项：已知四条线段ａ，ｂ，ｃ，ｄ，如果，那么ａ，ｂ，ｃ，ｄ，叫做组成比例的项，线段ａ，d叫做比例外项，线段ｂ，ｃ叫做比例内项，线段ｄ还叫做ａ，ｂ，ｃ的第四比例项．（4）比例中项：如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b:c或，那么线段ｂ叫做线段ａ和ｃ的比例中项．要点诠释：通常四条线段a,b,c,d的单位应该一致，但有时为了计算方便，a,b的单位一致，c,d的单位一致也可以.2.比例的性质(1)比例的基本性质：(2)反比性质：(3)更比性质:或(4)合比性质:(5)等比性质:且3.平行线分线段成比例定理（1）三角形一边的平行线性质定理: 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.（2）三角形一边的平行线性质定理推论:平行于三角形一边并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边的对应成比例.（3）三角形一边的平行线判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.（4）三角形一边的平行线判定定理推论：如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.（5）平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例.（6）平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等.这几个定理主要提出由平行线可得到比例式；反之,有比例可得到平行线.首先要弄清三个基本图形：这三个基本图形的用途是:1.由平行线产生比例式基本图形(1): 若l1//l2//l3，则或或或基本图形(2): 若DE//BC，则或或或基本图形(3): 若AC//BD，则或或或在这里必须注意正确找出对应线段，不要弄错位置.2．由比例式产生平行线段基本图形(2):若, , , , ,之一成立，则DE//BC.基本图形(3):若, , , , ,之一成立，则AC//DB.要点诠释：（1）平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例；（2）平行线分线段成比例没有逆定理；（3）由于平行线分线段成比例定理中，平行线本身没有参与作比例，因此，有关平行线段的计算问题通常转化到“A”、“X”型中.A型 X型常用的比例式：.（4）判断平行线的条件中，只能是被截的两条直线的对应线段成比例(被判断的平行线本身不能参与作比例).4.三角形的重心三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.要点诠释：（1）重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的二倍；（2）重心的画法：两条中线的交点.要点二、黄金分割1.黄金分割是指把一条线段(AB)分成两条线段，使其中较大的线段(AC)是原线段(AB)与较小线段(BC)的比例中项(AC2＝AB·BC)，C点为黄金分割点.2.黄金分割的求法①代数求法：已知：线段AB ，求作：线段AB的黄金分割点C.分析：设C点为所求作的黄金分割点，则AC2＝AB·CB，设AB＝，AC＝x，那么CB＝－x，由AC2＝AB·CB，得：x2＝·(－x)整理后，得：x2＋x－＝0，根据求根公式，得：x＝∴ (不合题意，舍去)即AC＝AB≈0.618AB，则C点可作.②黄金分割的几何求法（尺规法）：已知：线段AB，求作：线段AB的黄金分割点C.作法：如图：(1)过B点作BD⊥AB，使BD＝AB.(2)连结AD，在AD上截取DE＝DB.(3)在AB上截取AC＝AE.则点C就是所求的黄金分割点.证明：∵AC＝AE＝AD－AB而AD＝∴AC＝∴C点是线段AB的黄金分割点.要点诠释：①一条线段有两个黄金分割点.②这种分割之所以被人们称为黄金分割，是因为黄金分割存在美学规律和具有实用价值.德国著名天文学家开普勒 (Kepler，1571—1630)把这种分割称为“神圣的比例”，说它是几何中的瑰宝，大家也可以看一下课外的阅读材料，体会一下黄金分割中所蕴含的美学.要点三、相似三角形1.相似多边形(1)相似多边形的特征：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等.(2)相似多边形的识别：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似.(3)相似比：我们把相似多边形对应边的比称为相似比.(4)相似多边形的性质①相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．②相似多边形的周长比等于相似比．③相似多边形的面积比等于相似比的平方．2.相似三角形（1）相似三角形的定义：形状相同的三角形是相似三角形.（2）相似三角形的表示方法：用“∽”表示，读作相似于.如：△ABC和△DEF相似，可以写成△ABC∽△DEF，也可以写成△DEF ∽△ABC，读作△ABC相似于△DEF.（3）相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.②相似三角形对应边上的高的比相等，对应边上的中线的比相等，对应角的角平分线的比相等，都等于相似比.③相似三角形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.（4）相似三角形的判定：①平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似；②如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；④如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.⑤如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边的比对应相等，那么这两个直角三角形相似.（5）相似三角形应用举例相似三角形的知识在实际生产和生活中有着广泛的应用，可以解决一些不能直接测量的物体的长度问题，加深学生对相似三角形的理解和认识.要点诠释：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.要点四、实数与向量相乘1.实数与向量相乘的意义一般的，设为正整数，为向量，我们用表示个相加；用表示个相加.又当为正整数时，表示与同向且长度为的向量.要点诠释：设P为一个正数，P就是将的长度进行放缩，而方向保持不变；—P也就是将的长度进行放缩，但方向相反.2.向量数乘的定义一般地，实数与向量的相乘所得的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：（1）如果时，则：①的长度：；②的方向：当时，与同方向；当时，与反方向；（2）如果时，则：，的方向任意.实数与向量相乘，叫做向量的数乘.要点诠释：（1）向量数乘结果是一个与已知向量平行（或共线）的向量；（2）实数与向量不能进行加减运算；（3）表示向量的数乘运算，书写时应把实数写在向量前面且省略乘号，注意不要将表示向量的箭头写在数字上面；（4）向量的数乘体现几何图形中的位置关系和数量关系.3.实数与向量相乘的运算律设为实数，则：（1）（结合律）；（2）（向量的数乘对于实数加法的分配律）；（3）（向量的数乘对于向量加法的分配律）4.平行向量定理（1）单位向量：长度为1的向量叫做单位向量.要点诠释：任意非零向量与它同方向的单位向量的关系：，.（2）平行向量定理：如果向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数，使.要点诠释：（1）定理中，，的符号由与同向还是反向来确定.（2）定理中的“”不能去掉，因为若，必有，此时可以取任意实数，使得成立.（3）向量平行的判定定理：是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量平行.（4）向量平行的性质定理：若向量与非零向量平行，则存在一个实数，使.（5）A、B、C三点的共线若存在实数λ，使.要点五、向量的线性运算1.向量的线性运算定义向量的加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算.要点诠释：（1）如果没有括号，那么运算的顺序是先将实数与向量相乘，再进行向量的加减.（2）如果有括号，则先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．2.向量的分解平面向量基本定理：如果是同一平面内两个不共线（或不平行）的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使得.要点诠释：（1）同一平面内两个不共线（或不平行）向量叫做这一平面内所有向量的一组基底.一组基底中，必不含有零向量．(2) 一个平面向量用一组基底表示为形式，叫做向量的分解，当相互垂直时，就称为向量的正分解.(3) 以平面内任意两个不共线的向量为一组基底，该平面内的任意一个向量都可表示成这组基底的线性组合，基底不同，表示也不同．3.用向量方法解决平面几何问题（1）利用已知向量表示未知向量用已知向量来表示另外一些向量，除利用向量的加、减、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．（2）用向量方法研究平面几何的问题的“三步曲”：①建立平面几何与向量的联系，将平面几何问题转化为向量问题.②通过向量运算，研究几何元素的关系.③把运算结果“翻译”成几何关系.【典型例题】类型一、比例线段1.已知线段a、b、c满足a：b：c=3：2：6，且a+2b+c=26．（1）求a、b、c的值；（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．【答案与解析】解：（1）∵a：b：c=3：2：6，∴设a=3k，b=2k，c=6k，又∵a+2b+c=26，∴3k+2×2k+6k=26，解得k=2，∴a=6，b=4，c=12；（2）∵x是a、b的比例中项，∴x2=ab，∴x2=4×6，∴x=2或x=﹣2（舍去），即x的值为．【总结升华】题目中已知三个量a,b,c的比例关系和有关a,b,c的等式,我们可以利用这个等量关系,通过设参数k, 转化成关于k的一元方程,求出k后,问题得解.举一反三：【变式】已知：，求的值.【答案】根据等比性质：由得.2．如图,在□ABCD中,E为AB中点, ,EF,AC相交于G,求.【答案与解析】分别延长FE,CB相交于H,(构造出了基本图形)在□ABCD中,ADBC,∵E为AB中点，∴AE=BE，∵AD//BC，∴∠AFE=∠H.在△AEF和△BEH中：∴△AEF≌△BEH(AAS)∴AF=BH，∵，设AF=k, 则FD=3k，AD=4k，BH=AF=k，BC=AD=4K，CH=5K，∵AD//BC，即AF//HC.∴∴【总结升华】欲求,就需要有平行线,并使已知条件得以利用,虽然题目中有平行线,但无基本图形,不能使已知条件发挥作用,需通过添加辅助线来寻找解题途径,构造基本图形.此题还有其他辅助线的作法,例如分别延长EF,CD相交于M.或取AC中点N,连结EN.请同学们思考,这两种方法构造了哪些基本图形,如何求出.举一反三：【变式】如图，在是两条中线，则（）A．1∶2 B．2∶3C．1∶3 D．1∶4【答案】由题意可知，为的中位线，则△CED∽△CAB，∴，故选D．类型二、相似三角形3．（2016•南平）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=14，AC=7，D是BC上一点，BD=8，DE⊥AB，垂足为E，求线段DE的长．【思路点拨】根据相似三角形的判定与性质，可得答案．【答案与解析】解：∵DE⊥AB，∴∠BED=90°，又∠C=90°，∴∠BED=∠C．又∠B=∠B，∴△BED∽△BCA，∴=，∴DE===4【总结升华】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质得出=是解题关键．举一反三：【变式】如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B与CD的中点重合，若AB=2，BC=3，则△FC与△DG 的面积之比为（）A.9：4B.3：2C.4：3D.16：9【答案】D.设CF=x，则BF=3-x，由折叠得F=BF=3-x,在Rt△FC中，由由勾股定理得CF2+C2=F2，x2+12=(3-x)2,解得x=,由已知可证Rt△FC∽Rt△DG，所以S△FC与S△DG的面积比为（：1）2=.类型三、实数与向量相乘4．已知下列命题：①；②；③；④其中正确命题序号是___________.【答案】②、④.【解析】掌握平面向量数量积的含义，平面数量积的运算律不同于实数的运算律.【总结升华】应用向量的运算性质.类型四、向量的线性运算5．如图，D、E是△ABC边AB上的点，F、G分别是边AC、BC上的点，且满足AD=DE=EB，DF∥BC，EG∥AC．（1）求证：FG∥AB；（2）设=，=，请用向量、表示．【答案与解析】（1）证明：∵AD=DE=EB，∴==，∵DF∥BC，EG∥AC，∴==，，∴，∴FG∥AB；（2）解：∵DF∥BC，FG∥AB，∴，，∴FG=AB，∵与同向，∴=，∵=，=，∴=﹣，∴=．【总结升华】此题考查了平面向量的知识以及平行线分线段成比例定理．解题时注意掌握数形结合思想的应用．类型五、相似与其它知识综合问题6．如图1，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，△BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC=a、AC=b、AB=c.（1）求线段BG的长；（2）求证：DG平分∠EDF；（3）连接CG，如图2，若△BDG与△DFG相似，求证：BG⊥CG.【答案与解析】（1）∵D、C、F分别是△ABC三边中点，∴DE∥AB,DF∥AC，又∵△BDG与四边形ACDG周长相等，即BD+DG+BG=AC+CD+DG+AG.∴BG=AC+AG，∵BG=AB－AG，∴BG==，（2）证明：BG=，FG=BG－BF=－，∴FG=DF,∴∠FDG=∠FGD，又∵DE∥AB，∴∠EDG=∠FGD，∠FDG=∠EDG，∴DG平分∠EDF ，（3）在△DFG中，∠FDG=∠FGD, △DFG是等腰三角形,∵△BDG与△DFG相似,∴△BDG是等腰三角形,∴∠B=∠BGD,∴BD=DG,则CD= BD=DG,∴B、CG、三点共圆,∴∠BGC=90°,∴BG⊥CG.【总结升华】这是一道几何综合题，在计算证明时，根据题中已知条件，结合图形性质来完成.后面的问题可以结合前面问题来做.已知三角形三边中点连线，利用三角形中位线性质计算证明.（1）已知△ABC的边长，由三角形中位线性质知，根据△BDG与四边形ACDG周长相等，可得.（2）由（1）的结论，利用等腰三角形性质和平行线性质可证. （3）利用两个三角形相似，对应角相等，从而等角对等边，BD=DG=CD，即可证明.举一反三：【变式】如图，在口ABCD中，的平分线分别与、交于点、．（1）求证：；（2）当时，求的值．【答案】（1）如图，在口ABCD中，，∴．∵是的平分线，∴．∴．∴．（2）∴△∽△，∴，∴．。

《相似形》要点回顾与考点透视告诉你一个事实：给我一块巴掌大的玉石，我能在上面雕刻出古典名著《红楼梦》，也许你会觉得太离谱了，也许你会瞠目结舌：那样的话所写的字该有多小啊？这太难了！但我可以借助于放大镜.其实在放大镜下的玉石和实际的玉石只是大小不同，然而形状却完全相同.你看这是多么神奇啊！为了能弄清问题的本质，让我和同学们一起走进相似的图形世界吧. 希望同学们能感兴趣.一、知识网络二、要点回顾1.在同一单位下，两条线段的长度的比叫做这两条线段的比，求线段的比时，两条线段的长度单位一定要统一，不过在同一单位下的线段长度的比与选用的单位又无关.在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.就是说在四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 和b 的比等于c 和d 的比，那么，这四条线段叫做成比例线段或简称比例线段. 2.式子b a ＝dc ，或a ∶b ＝c ∶d 叫做比例式.即比例式是由两个比值相等的比用等号连接而成的，并且在比例式b a ＝d c ，或a ∶b ＝c ∶d 中，a 、b 、c 、d 称为比例的项.其中，a 、d 叫做比例外项；b 、c 叫做比例内项；d 叫做第四比例项.特别地，若比例中两个比例内项相等时，我们把这一项叫做另外两项的比例中项。

即若a ∶b ＝c ∶d ，则b 叫做a 、c 的比例中项.比例的基本性质是：如果a ∶b ＝c ∶d ，那么ad ＝bc .比例的基本性质反过来也成立，即：如果ad ＝bc ，那么a ∶b ＝c ∶d (ad ≠0)；特别地，如果a ∶b ＝b ∶c ，那么b 2＝ac ；反过来也有如果b 2＝ac ，那么a ∶b ＝b ∶c (bc ≠0).3.把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点.此时还有215-=AB AC ，即AC ∶AB ≈0.618∶1.黄金分割在自然、社会、生活等多方面有着重要的应用，同学们在复习时应注意理解.4.对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形.其中对应边的比叫做相似比.相似比应讲究一个顺序性.5.识别两个三角形相似常有以下几种方法：①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似；②如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；③如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且这两条边的夹角也对应相等，那么这两个三角形相似；④如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似；⑤平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）截得的三角形与原三角形相似.特别地对于直角三角形相似，除了运用一般地三角形相似的判定方法外，还有其特殊的判定方法，即：①如果一个直角三角形的一个锐角与另一个直角三角形的一个锐角边对应相等，那么这两个直角三角形相似；②如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似；③直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原直角三角形相似.6.相似三角形有以下几个重要性质：①相似三角形的对角相等，对应边成比例；②相似三角形对应线段的比等于它们的相似比，即相似三角形对应边的比、对应中线、对应角平分线、对应高、对应周长的比都等于相似比；③相似三角形的对应面积的比等于相似比的平方.7.利用相似三角形的有关知识可以测量一些建筑物的高度.如测量旗杆的高度：方法1：利用太阳光的影子.即如图1，让一名同学站立于旗杆的影子的末端D 处，测出旗杆影长BD ，再测出这名同学的高度C 和影长在BD ，由于此时△ABD ∽△CDE ，即可求出旗杆高AB .方法2：利用标杆.即如图2，选一名同学作为观测者，在观测者与旗杆之间的地面上直图1D 图2 D E图3 D M立一根高度适当的标杆，当旗杆的顶部、标杆的顶端与人的眼睛恰好在一条直线上时，分别测出观测者的脚到标杆底部的距离DE和到旗杆底部的距离BE，再测出标杆的高CD，利用相似三角形的知识即可求出旗杆的高AB.方法3：利用镜子的反射.即如图3，选一名同学作为观测者，在观测者与旗杆之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记，当观测者看到旗杆的顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合时，测出观测者的脚到镜子的距离DM和旗杆底部到镜子的距离BM，再测出观测者的高CD，由于∠AMB=∠CMD，易得△AMB∽△CMD，即可求出旗杆高AB.8.相似多边形的周长比等于它们的相似比，相似多边形的面积比等于它们的相似比的平方，相似多边形对应对角线的比也等于它们的相似比.9.两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的相似图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小，在作位似变换时，可以把位似中心取在多边形的外部、内部、多边形的边或顶点上.三、方法导引1.比例的基本性质是比例式变形、求值、证明的重要依据．在比例式变形、求值、证明中，引人参数k的方法能化繁为简、化难为易.2.灵活运用相似三角形的判定条件解决有关问题，关键是确定相似三角形，通常按下列思路分析：①若已有一组角相等，可再找另一组角相等；或者再找这组角的两边对应成比例.②若已有两组边对应成比例，可再找夹角相等；或者再找第三组边也对应成比例.难点在于找准对应关系.一般地图形中的对顶角、公共角、同角（等角）的余角（或补角）相等或者已知相等的两个角，可能是对应角.最大的边（角）的对角（边）可能是对应角（边），最小的边（角）的对角（边）可能是对应角（边），余下的第三对边（角）的对角（边）可能是对应角（边）.3.由待求的比例式可按如下步骤分析：“横找三角形，竖找对应边，再找对应角”.或也可按“竖找三角形，横找对应边，再找对应角”的方法分析，找出待证的相似三角形.在应用上述方法无法解决时，可利用中间量（中间线段、中间比、中间积等）进行代换，转化为容易解决的问题.四、考点解析所选例题均出版2009年全国部分省市中考试卷.考点1 线段成比例例1（上海市)如图，已知AB ∥CD ∥EF ，那么下列结论正确的是（ ）A.AD DF ＝BC CEB.BC CE ＝DF ADC.CD EF ＝BC BED.CD EF ＝AD AF分析 由平行线分线段成比例的意义逐一对照即求.解 因为AB ∥CD ∥EF ，所以AD DF ＝BC CE.故应选A . 说明 由平行线写出的成比例线段时，一定要对照图形，按照一定的顺序进行，切不可以随便乱写一通，从而造成错误.考点2 黄金分割例2美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感.如图，某女士身高165cm ，下半身长x 与身高l 的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（ ）A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm分析 若设出穿的高跟鞋的高度为a cm ，由条件可先求出x 的值，进而利用黄金分割的意义列式求解.解 若设出穿的高跟鞋的高度为a cm ，因为某女士身高165cm ，下半身长x 与身高l 的比值是0.60，所以165x ＝0.60，解得x ＝0.60×165. 又由黄金分割的意义，得x a l a ++＝0.618，即0.60165165a a⨯++＝0.618，解得a ≈8. 故应选C .说明 求解本题时除了要能灵活运用黄金分割的概念外，还必须弄清楚各个量的意义，不能弄错.考点3相似三角形的性质例3 已知△ABC∽△A′B′C′，且S△ABC∶S△A′B′C′＝1∶2，则AB∶A′B′＝______.分析已知两个三角形相似，且知道面积之比，要求对应边的比，于是可利用相似三角形的性质使线段之比转化成面积比即可求解.解因为△ABC∽△A′B′C′，且S△ABC∶S△A′B′C′＝1∶2，所以ABCA B CSS'''＝2ABA B⎛⎫⎪''⎝⎭＝12，即ABA B''＝2，所以AB∶A′B′＝1∶2.说明本题是逆用相似三角形的性质求解.考点4相似三角形的判定例4如图所示，给出下列条件：①∠B＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③ACCD＝ABBC；④AC2＝AD·AB.其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为（）A.1B.2C.3D.4分析利用相似三角形的判定，结合图形特征求解.解由相似三角形的条件，并由图形特征可知①∠B＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；④AC2＝AD·AB；都能单独判定△ABC∽△ACD.故应选C.说明求解此类问题一定要注意从图形中及时发现隐含条件.如，本题中的∠A是两个三角形的公共角.考点5相似三角形的实际应用例5小明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同.此时，测得小明落在墙上的影子高度CD＝1.2m，CE＝0.8m，CA＝30m（点A、E、C在同一直线上）.已知小明的身高EF是1.7m，请你帮小明求出楼高AB（结果精确到0.1m）.分析 要求楼高AB ，由太阳光所成影子的特点，可通过辅助线构造出三角形，加上人和大楼都垂直于地面，可得到相关的三角形相似，从而列式求解.解 过点D 作DG ⊥AB ，分别交AB 、EF 于点G 、H ，则EH ＝AG ＝CD ＝1.2，DH ＝CE ＝0.8，DG ＝CA ＝30，FH ＝EF －EH ＝1.7－1.2＝0.5.因为EF ∥AB ，所以△DHF ∽△DGB ，所以FH BG ＝DH DG，即0.5BG ＝0.830， 解之，得BG ＝18.75.所以AB ＝BG +AG ＝18.75+1.2＝19.95≈20.0.答：楼高AB 约为20.0米.说明 本题是利用相似三角形的知识解决生活中的高度测量问题，求解时应通过适当的辅助线将问题及时转化，从而运用相似三角形的性质列式求解.考点6 相似多边形例6如图，在长为8cm 、宽为4cm 的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（ ）A.2cm 2B.4cm 2C.8cm 2D.16cm 2分析 依题意，原矩形的面积等于8×4＝32（cm 2），留下的矩形长刚好是原矩形的宽，即两个矩形的相似比等于4∶8，此时，要求阴影部分的面积，利用相似多边形的面积比等于相似比的平方求得.解 设图中阴影部分的面积为x cm 2，因为两个矩形相似，所以32x ＝248⎛⎫ ⎪⎝⎭，解得x ＝8.故应选C .说明 研究相似多边形时，应注意哪是对应边，哪是对应角，否则就容易出现错误. 考点7 图形的位似例7如图，△ABC 与△DEF 是位似图形，位似比为2∶3，已知AB ＝4，则DE 的长为_______.分析 利用位似图形对应边的比等于位似比列式求解.解 因为△ABC 与△DEF 是位似图形，位似比为2∶3，所以AB ∶DE ＝2∶3，而AB ＝4，所以4∶DE ＝2∶3，解得DE ＝6.说明 本题考查位似图形，解题时，可通过观察图形结合所给数据和位似比直接计算结果.考点8 动点与图形的相似例8已知∠ABC ＝90°，AB ＝2，BC ＝3，AD ∥BC ，P 为线段BD 上的动点，点Q 在射线AB 上，且满足ABAD PC PQ （如图1所示）. （1）当AD ＝2，且点Q 与点B 重合时（如图2所示），求线段PC 的长； （2）在图1中，联结AP .当AD ＝32，且点Q 在线段AB 上时，设点B 、Q 之间的距离为x ，APQPBC S S △△＝y ，其中S △APQ 表示△APQ 的面积，S △PBC 表示△PBC 的面积，求y 关于x的函数解析式，并写出函数定义域；（3）当AD ＜AB ，且点Q 在线段AB 的延长线上时（如图3所示），求∠QPC 的大小.分析（1）由题意，结合图形容易知道∠D ＝45°，进而求解.（2）从APQPBC S S △△＝y 出发，可引进参数，将这两个三角形的面积都用k 来表示，从而求解.（3）易得Rt △ABD ∽Rt △EPB ，进而得到Rt △PQF ∽Rt △PCE ，于是可得∠QPC ＝90°. A D P C B Q 图1 D A P C B （Q ） 图2 图3 C A D P BQF F E E E解（1）如图2，因为Rt△ABD中，AB＝2，AD＝2，所以PQPC＝ADAB＝1，∠D＝45°，所以PQ＝PC，即PB＝PC，过点P作PE⊥BC，则BE＝12BC＝32.而∠PBC＝∠D＝45°，所以PC＝PB＝223.（2）在图1中，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥AB于点F.因为∠A＝∠PEB＝90°，∠D＝∠PBE，所以Rt△ABD∽Rt△EPB，所以EBEP＝ADAB＝3 2÷2＝34.设EB＝3k，则EP＝4k，PF＝EB＝3k，所以S△BPC＝12×BC×PE＝12×3×4k＝6k，S△APQ＝AQAB×S△APB＝22x-×12×AB×PF＝22x-×12×2×3k＝()232x k-⋅，所以y＝APQPBCSS△△＝()1223kx k-⋅＝42x-，函数定义域为0≤x＜2.（3）答：90°.证明：在图3中，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥AB于点F.因为∠A＝∠PEB＝90°，∠D＝∠PBE，所以Rt△ABD∽Rt△EPB，所以EBEP＝ADAB，所以PQPC＝ADAB＝EBPE＝PFPE，所以Rt△PQF∽Rt△PCE，所以∠FPQ＝∠EPC，所以∠EPC+∠QPE＝∠FPQ+∠QPE＝90°.说明本题意在考查对等腰直角三角形、相似三角形、共高三角形的面积、直角三角形相似的判定等知识的理解与运用.。

考点梳理：相似三角形章节涉及的18个必考点全梳理考点1 比例线段对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a ：b ＝c ：d （即ad ＝bc ），这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 例题1 下面四组线段中，成比例的是（ ） A ．a ＝2，b ＝3，c ＝4，d ＝5 B ．a ＝1，b ＝2，c ＝2，d ＝4 C ．a ＝4，b ＝6，c ＝5 d ＝10 D ．a =√2，b =√3，c ＝3，d =√2变式1 已知a ，b ，c ，d 是成比例线段，其中a ＝3cm ，b ＝2cm ，c ＝6cm ，则d 的长度为（ ） A ．4cm B ．5cmC ．6cmD ．9cm变式2 若a 是2，4，6的第四比例项，则a ＝ ；若x 是4和16的比例中项，则x ＝ ．变式3 已知四条线段a ，3，a +1，4是成比例线段，则a 的值为 ．考点2 黄金分割黄金分割：把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即AB ：AC ＝AC ：BC ），叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点．其中AC =√5−12AB ≈0.618AB ，并且线段AB 的黄金分割点有两个．例题2 在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果ACAB=BC AC，那么点C 叫做线段AB 的黄金分割点．若点P 是线段MN 的黄金分割点，当MN ＝1时，PM 的长是 ． 变式4 如果点C 是线段AB 的黄金分割点，那么下列线段比的值不可能是√5−12的为（ ） A ．AC BCB ．BC ACC ．BCABD ．AB BC变式5 如图，已知点E 是正方形ABCD 的边AB 边上的黄金分割点，且AE ＞EB ，若S 1表示AE 为边长的正方形面积，S 2表示以BC 为长，BE 为宽的矩形面积，S 3表示正方形ABCD 除去S 1和S 2剩余的面积，则S 3：S 2的值为（ ）A ．√5−12B ．√5+12C ．3−√52D ．3+√52变式6 古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G 将一线段MN 分为两线段MG ，GN ，使得其中较长的一段MG 是全长MN 与较短的一段GN 的比例中项，即满足MG MN=GN MG=√5−12，后人把√5−12这个数称为“黄金分割”数，把点G 称为线段MN 的“黄金分割”点．如图，在△ABC 中，已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若D ，E 是边BC 的两个“黄金分割”点，则△ADE 的面积为（ ）A ．10﹣4√5B ．3√5−5C ．5−2√52D ．20﹣8√5考点3 比例的基本性质解决此类问题通常利用设k 法即可有效解决，注意方程思想以及分类讨论思想的灵活运用. 例题3 已知：a ：b ：c ＝2：3：5 （1）求代数式3a−b+c 2a+3b−c的值；（2）如果3a ﹣b +c ＝24，求a ，b ，c 的值．变式7 已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且满足a+43=b+32=c+84，且a +b +c ＝12，探索△ABC 的形状．变式8 已知2ab+c+d=2b a+c+d=2c a+b+d=2d a+b+c=k ，求k 值．变式9 已知a 、b 、c 均为非零的实数，且满足a+b−c c=a−b+c b=−a+b+ca，求(a+b)(b+c)(c+a)abc的值．考点4 平行线分线段成比例平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．例题4 如图，直线l 1∥l 2∥l 3，AC 分别交l 1，l 2，l 3于点A ，B ，C ；DF 分别交l 1，l 2，l 3于点D ，E ，F ；AC 与DF 交于点O ．已知DE ＝3，EF ＝6，AB ＝4． （1）求AC 的长；（2）若BE ：CF ＝1：3，求OB ：AB ．变式10 如图，已知AB ∥CD ∥EF ，它们依次交直线l 1、l 2于点A 、D 、F 和点B 、C 、E ，如果AD ：DF ＝3：1，BE ＝10，那么CE 等于（ ）A ．103B ．203C ．52D ．152变式11 如图，在△ABC 中，AD ∥BC ，点E 在AB 边上，EF ∥BC ，交AC 边于点F ，DE 交AC 边于 点G ，则下列结论中错误的是（ ）A ．AE BE=AF CFB ．AG GF=DG EGC ．AG GF=AE EBD ．AEAB=AF AC变式12 已知，在△ABC 中，点D 为AB 上一点，过点D 作DE ∥BC ，DH ∥AC 分别交AC 、BC 于点E 、H ，点F 是BC 延长线上一点，连接FD 交AC 于点G ，则下列结论中错误的是（ ）A ．AD DB=AE DHB ．CFDE=DH CGC ．FD FG=EC CGD ．CH BC=AE AC考点5 相似三角形的判定相似三角形的判定方法汇总：1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角 形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两 个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹 角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似例题5 如图，下面图形及各个选项均是由边长为1的小方格组成的网格，三角形的顶点均在小方格的顶点上，下列四个选项中哪一个阴影部分的三角形与已知△ABC 相似（ ）A ．B ．C ．D ．变式13 在△ABC 中，∠ACB ＝90°，用直尺和圆规在AB 上确定点D ，使△ACD ∽△CBD ，根据作图痕迹判断，正确的是（）A．B．C．D．变式14如图，在正方形网格上有5个三角形（三角形的顶点均在格点上）：①△ABC，②△ADE，③△AEF，④△AFH，⑤△AHG，在②至⑤中，与①相似的三角形是（）A．②④B．②⑤C．③④D．④⑤变式15如图，点A、B、C、D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（）A．（4，2）B．（6，0）C．（6，3）D．（6，5）考点6 相似三角形的性质（周长）掌握相似三角形周长比等于对应边的比是解题关键.例题6如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在AD上，如果∠ABE＝∠C，AE＝2ED，那么△ABE与△ADC的周长比为（）A．1：2B．2：3C．1：4D．4：9变式16如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG＝8，则△CEF的周长为（）A．16B．17C．24D．25变式17 如图，点E 是▱ABCD 的边AD 上的一点，且DE AE=12，连接BE 并延长交CD 的延长线于点F ，若DE ＝3，DF ＝4，则▱ABCD 的周长为（ ）A ．21B ．28C ．34D ．42变式18 如图，已知平行四边形ABCD ，点E 在DC 上，DE ：EC ＝2：1，连接AE 交BD 于点F ，则△DEF 与△BAF 的周长之比为（ ）A ．4：9B ．1：3C ．1：2D ．2：3考点7 相似三角形的性质（面积）掌握相似三角形面积比是对应边比的平方的性质是解题关键.例题7 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，BE 和CD 相交于点F ，且S △EFC ＝3S △EFD ，则S △ADE ：S △ABC 的值为（ ）A ．1：3B ．1：8C ．1：9D ．1：4变式19 如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在DA 的延长线上，且AE =13AD ，连接CE 交BD 于点F ，交AB 于点G ，则S △BGC ：S 四边形ADCG 的值是（ ）A ．35B ．53C ．57D ．34变式20 如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，且DE ∥AC ，AE 、CD 相交于点O ，若S △DOE ：S△COA＝1：25，则S △DOE 与S △COE 的比是（ ）A ．1：25B ．1：5C ．1：4D ．1：3变式21 已知如图，DE 是△ABC 的中位线，点P 是DE 的中点，CP 的延长线交AB 于点Q ，那么S △CPE ：S △ABC ＝ ．考点8 相似基本模型（A 字型）基础模型：A 字型（平行） 反A 字型（不平行）例题8已知：如图，点D，F在△ABC边AC上，点E在边BC上，且DE∥AB，CD2＝CF•CA．（1）求证：EF∥BD；（2）如果AC•CF＝BC•CE，求证：BD2＝DE•BA．变式22如图：AD∥EG∥BC，EG交DB于点F，已知AD＝6，BC＝8，AE＝6，EF＝2．（1）求EB的长；（2）求FG的长．变式23如图所示，在△ABC中，DE∥BC，AD＝5，BD＝10，AE＝3．（1）求CE的长．（2）在△ABC中，点D，E，Q分别是AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P．小明认为DPBQ =PEQC，你认为小明的结论正确吗？请说明你的理由．变式24 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，∠AED ＝∠B ，线段AG 分别交线段DE ，BC 于点F ，G ，且AD AC=DF CG．（1）求证：△ADF ∽△ACG ； （2）若AD AC=37，求AF FG的值．考点9 相似基本模型（X 字型）基础模型：X 字型（平行） 反X 字型（不平行）例题9 如图，AD 与BC 交于点O ，EF 过点O ，交AB 与点E ，交CD 与点F ，BO ＝1，CO ＝3，AO =32，DO =92．（1）求证：∠A ＝∠D ．（2）若AE ＝BE ，求证：CF ＝DF ．变式25如图：已知▱ABCD，过点A的直线交BC的延长线于E，交BD、CD于F、G．（1）若AB＝3，BC＝4，CE＝2，求CG的长；（2）证明：AF2＝FG×FE．变式26如图，AG∥BD，AF：FB＝1：2，BC：CD＝2：1，求GEED的值变式27如图，已知在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于E，点D在BE延长线上，且BA•BC＝BD•BE．（1）求证：△ABD∽△EBC；（2）求证：AD2＝BD•DE．考点10 相似基本模型（A X型）A字型及X字型两者相结合，通过线段比进行转化.例题10如图，△ABC中，D．E分别是AB、AC上的点，且BD＝2AD，CE＝2AE．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若DF＝2，求FC的长度．变式28 如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边BC 上，连结AE 并延长，交对角线BD 于点F 、DC 的延长线于点G ．如果CE BE=23，求FEEG的值．变式29 已知，如图，在平行四边形ABCD 中，M 是BC 边的中点，E 是边BA 延长线上的一点，连接EM ，分别交线段AD 于点F 、AC 于点G ． （1）求证：△AFG ∽△CMG ； （2）求证：GF GM=EF EM．变式30 如图，已知AB ∥CD ，AC 与BD 相交于点E ，点F 在线段BC 上，AB CD=12，BF CF=12．（1）求证：AB ∥EF ；（2）求S △ABE ：S △EBC ：S △ECD ．考点11 相似基本模型（作平行线）解决此类问题的关键是作平行线去构造相似三角形从而利用相似三角形的性质去解决问题. 基础模型：例题11如图，△ABC中，D为BC中点，E为AD的中点，BE的延长线交AC于F，则AFFC为（）A．1：5B．1：4C．1：3D．1：2变式31如图，D、E分别是△ABC的边BC、AB上的点，AD、CE相交于点F，AE=15EB，BD=13BC，则CF：EF＝．变式32如图，AD是△ABC的中线，点E是线段AD上的一点，且AE=13AD，CE交AB于点F．若AF＝2cm，则AB＝cm．变式33如图，等边三角形ABC中，AB＝3，点D是CB延长线上一点，且BD＝1，点E在直线AC上，当∠BAD＝∠CDE时，AE的长为．考点12 相似基本模型（双垂直型）直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD ∽△ABC ∽△CBD .例题12 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高．如果BD ＝4，CD ＝6，那么BC ：AC 是（ ）A ．3：2B ．2：3C ．3：√13D ．2：√13．变式34 如图，矩形ABCD 中，F 是DC 上一点，BF ⊥AC ，垂足为E ，AD AB=12，△CEF 的面积为S 1，△AEB 的面积为S 2，则S 1S 2的值等于（ ）A ．116B ．15C ．14D ．125变式35 边长为1的正方形ABCD ，在BC 边上取一动点E ，连接AE ，作EF ⊥AE ，交CD 边于点F ，若CF 的长为316，则CE 的长为 ．。