2016年高考数学二轮复习 第一部分专题一第1讲 集合与常用逻辑用语专题强化精练提能 理

第一部分专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数 第1讲 集合与常用逻辑用语专题强化精练提能 理[A 卷]1．(2015²高考天津卷)已知全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A ＝{2，3，5，6}，集合B ＝{1，3，4，6，7}，则集合A ∩∁U B ＝( )A ．{2，5}B ．{3，6}C ．{2，5，6}D ．{2，3，5，6，8}解析：选A.由题意得∁U B ＝{2，5，8}，所以A ∩∁U B ＝{2，3，5，6}∩{2，5，8}＝{2，5}．2．已知命题p ：∃x 0>0，log 2x 0＝1，则¬p 是( ) A ．∀x >0，log 2x ≠1 B ．∀x ≤0，log 2x ≠1 C ．∃x 0>0，log 2x 0≠1 D ．∃x 0≤0，log 2x 0≠1解析：选A.由p ：∃x 0>0，log 2x 0＝1推出¬p ：∀x >0，log 2x ≠1.3．设P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R }，Q ＝{y |y ＝2x，x ∈R }，则( ) A ．P ⊆Q B ．Q ⊆P C ．∁R P ⊆Q D ．Q ⊆∁R P解析：选C.因为P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R }＝{y |y ≤1}，Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }＝{y |y >0}，所以∁R P ＝{y |y >1}，所以∁R P ⊆Q ，选C.4．(2015²济南市第一次模拟)命题p ：若sin x >sin y ，则x >y ；命题q ：x 2＋y 2≥2xy .下列命题为假命题的是( )A ．p 或qB ．p 且qC ．qD ．¬p解析：选B.取x ＝π3，y ＝5π6，可知命题p 不正确；由(x －y )2≥0恒成立，可知命题q正确，故¬p 为真命题，p 或q 是真命题，p 且q 是假命题，故选B.5．(2015²高考北京卷)设a ，b 是非零向量，“a ²b ＝|a ||b |”是“a ∥b ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.因为a ²b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉，所以当a ²b ＝|a ||b |时，有cos 〈a ，b 〉＝1，即〈a ，b 〉＝0°，此时a ，b 同向，所以a ∥b .反过来，当a ∥b 时，若a ，b 反向，则〈a ，b 〉＝180°，a ²b ＝－|a ||b |；若a ，b 同向，则〈a ，b 〉＝0°，a ²b ＝|a ||b |，故“a ²b ＝|a ||b |”是“a ∥b ”的充分而不必要条件．6．下列命题中，是真命题的是( )A ．存在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，使sin x ＋cos x ＞ 2B ．存在x ∈(3，＋∞)，使2x ＋1≥x 2C ．存在x ∈R ，使x 2＝x －1D ．对任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，使sin x ＜x解析：选D.A 中，因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2， 所以A 错误；B 中，2x ＋1≥x 2的解集为[1－2，1＋2]，故B 错误；C 中，Δ＝(－1)2－4＝－3＜0，所以x 2＝x －1的解集为∅，故C 错误；D 正确，且有一般结论，对任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，均有sin x ＜x ＜tan x 成立，故选D.7．设函数f (x )＝lg(1－x 2)，集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．[－1，0]B ．(－1，0)C ．(－∞，－1)∪[0，1)D ．(－∞，－1]∪(0，1)解析：选D.因为A ＝{x |y ＝f (x )}＝{x |1－x 2>0}＝{x |－1<x <1}，∁R A ＝(－∞，－1]∪[1，＋∞)．则u ＝1－x 2∈(0，1]，所以B ＝{y |y ＝f (x )}＝{y |y ≤0}，∁R B ＝(0，＋∞)， 所以题图阴影部分表示的集合为 (A ∩∁R B )∪(B ∩∁R A )＝(0，1)∪(－∞，－1]．故选D.8．(2015²南昌市调研测试卷)下列说法正确的是( )A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题是“若x 2＝1，则x ≠1”B ．“x ＝－1”是“x 2－x －2＝0”的必要不充分条件C ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题是真命题D ．“tan x ＝1”是“x ＝π4”的充分不必要条件解析：选C.由原命题与否命题的关系知，原命题的否命题是“若x 2≠1，则x ≠1”，即A 不正确．因为x 2－x －2＝0⇔x ＝－1或x ＝2，所以由“x ＝－1”能推出“x 2－x －2＝0”，反之，由“x 2－x －2＝0”推不出“x ＝－1”，所以“x ＝－1”是“x 2－x －2＝0”的充分不必要条件，即B 不正确．因为由x ＝y 能推得sin x ＝sin y ，即原命题是真命题，所以它的逆否命题是真命题．由tan x ＝1推不出x ＝π4，而由x ＝π4可推出tan x ＝1，则“tan x ＝1”是“x ＝π4”的必要不充分条件，即D 不正确．9．设命题甲：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，命题乙：对数函数y ＝log (4－2a )x 在(0，＋∞)上单调递减，那么甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.因为关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，所以Δ＝(2a )2－4³4<0，解得－2<a <2；因为y ＝log (4－2a )x 在(0，＋∞)上单调递减，所以0<4－2a <1，解得32<a <2，易知甲是乙的必要不充分条件，故选B. 10．已知集合A ＝{x |1≤x <5}，C ＝{x |－a <x ≤a ＋3}．若C ∩A ＝C ，则a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，－1B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－32 C.(]－∞，－1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞ 解析：选C.因为C ∩A ＝C ，所以C ⊆A .①当C ＝∅时，满足C ⊆A ，此时－a ≥a ＋3，得a ≤－32；②当C ≠∅时，要使C ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧－a <a ＋3，－a ≥1，a ＋3<5，解得－32<a ≤－1.由①②得a ≤－1. 11．命题“存在x 0∈R ，使得|x 0－1|－|x 0＋1|>3”的否定是________________________________________________________________________．解析：命题“存在x 0∈R ，使得|x 0－1|－|x 0＋1|>3”的否定是“对任意的x ∈R ，都有|x －1|－|x ＋1|≤3”．答案：对任意的x ∈R ，都有|x －1|－|x ＋1|≤312．已知集合A ＝{x ，x ＋y ，xy }，B ＝{0，|x |，y }，且A ＝B ，则x －y 的值为________． 解析：已知A ＝B ，即{x ，x ＋y ，xy }＝{0，|x |，y }，根据集合中元素互异性可知x ≠0且y ≠0，所以x ＋y ＝0，即y ＝－x .此时A ＝{0，x ，－x 2}＝B ＝{0，|x |，－x }，即－x 2＝－x .又由x ≠0知x ＝1，则y ＝－1，所以x －y ＝2.答案：213．已知集合A ＝{x |x 2－2x －8≤0}，B ＝{x |x 2－(2m －3)x ＋m (m －3)≤0，m ∈R }，若A ∩B ＝[2，4]，则实数m ＝________.解析：由题意知A ＝[－2，4]，B ＝[m －3，m ]，因为A ∩B ＝[2，4]，故⎩⎪⎨⎪⎧m －3＝2，m ≥4，则m＝5.答案：5 14．若命题p ：曲线x 2a －2－y 26－a＝1为双曲线，命题q ：函数f (x )＝(4－a )x在R 上是增函数，且p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：当p 为真命题时，(a －2)(6－a )>0， 解之得2<a <6.当q 为真命题时，4－a >1，即a <3.由p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，知p ，q 一真一假． 当p 真q 假时，3≤a <6；当p 假q 真时，a ≤2. 因此实数a 的取值范围是(－∞，2]∪[3，6)． 答案：(－∞，2]∪[3，6)15．(2015²济宁模拟)设集合A ＝{－1，0，1}，集合B ＝{0，1，2，3}，定义A *B ＝{(x ，y )|x ∈A ∩B ，y ∈A ∪B }，则A *B 中元素的个数是________．解析：因为A ＝{－1，0，1}，B ＝{0，1，2，3}，所以A ∩B ＝{0，1}，A ∪B ＝{－1，0，1，2，3}．因为x ∈A ∩B ，所以x 可取0，1；因为y ∈A ∪B ，所以y 可取－1，0，1，2，3.答案：10[B 卷]1．设集合A ＝{－1，0，2}，集合B ＝{－x |x ∈A 且2－x ∉A }，则B ＝( ) A ．{1} B ．{－2} C ．{－1，－2} D ．{－1，0}解析：选A.当x ＝－1时，2－x ＝3∉A ，此时－x ＝1∈B ， 当x ＝0时，2－0＝2∈A ， 当x ＝2时，2－2＝0∈A ， 所以B ＝{1}．2．(2015²洛阳市统考)已知集合A ＝{1，m 2＋1}，B ＝{2，4}，则“m ＝3”是“A ∩B ＝{4}”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.A ∩B ＝{4}⇒m 2＋1＝4⇒m ＝±3，故“m ＝3”是“A ∩B ＝{4}”的充分不必要条件．3．命题“若α＝π6，则sin α＝12”的逆否命题是( )A ．若α≠π6，则sin α≠12B ．若α＝π6，则sin α≠12C ．若sin α≠12，则α≠π6D ．若sin α≠12，则α＝π6解析：选C.以否定的条件作结论，否定的结论作条件得出的命题为逆否命题，即“若α＝π6，则sin α＝12”的逆否命题是“若sin α≠12，则α≠π6”．4．设非空集合A ，B 满足A ⊆B ，则以下表述正确的是( ) A ．∃x 0∈A ，x 0∈B B ．∀x ∈A ，x ∈B C ．∃x 0∈B ，x 0∉A D ．∀x ∈B ，x ∈A解析：选B.根据集合的关系以及全称、特称命题的含义可得B 正确．5．已知非空集合A ，B ，全集U ＝A ∪B ，集合M ＝A ∩B ，集合N ＝(∁U B )∪(∁U A )，则( ) A ．M ∪N ＝M B ．M ∩N ＝∅ C ．M ＝N D ．M ⊆N解析：选B.作出满足题意的Venn 图，如图所示，容易知道M ∩N ＝∅.6．(2015²唐山市第一次模拟)命题p ：∃x ∈N ，x 3<x 2；命题q ：∀a ∈(0，1)∪(1，＋∞)，函数f (x )＝log a (x －1)的图象过点(2，0)，则( )A ．p 假q 真B ．p 真q 假C ．p 假q 假D ．p 真q 真解析：选A.因为x 3<x 2，所以x 2(x －1)<0，所以x <0或0<x <1，在这个范围内没有自然数，命题p 为假命题．因为f (x )的图象过点(2，0)，所以log a 1＝0，对∀a ∈(0，1)∪(1，＋∞)的值均成立，命题q 为真命题．7．(2015²山东省考前质量检测)给定下列三个命题： p 1：函数y ＝a x ＋x (a >0，且a ≠1)在R 上为增函数； p 2：∃a ，b ∈R ，a 2－ab ＋b 2<0；p 3：cos α＝cos β成立的一个充分不必要条件是α＝2k π＋β(k ∈Z )． 则下列命题中的真命题为( ) A ．p 1∨p 2 B ．p 2∧p 3 C ．p 1∨(¬p 3) D ．(¬p 2)∧p 3解析：选D.对于p 1：令y ＝f (x )，当a ＝12时，f (0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120＋0＝1，f (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1－1＝1，所以p 1为假命题；对于p 2：a 2－ab ＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b 2＋34b 2≥0，所以p 2为假命题；对于p 3：由cos α＝cos β，可得α＝2k π±β(k ∈Z )，所以p 3是真命题，所以(¬p 2)∧p 3为真命题，故选D.8．(2015²南昌市调研测试卷)下列说法错误的是( )A ．命题“若x 2－5x ＋6≠0，则x ≠2”的逆否命题是“若x ＝2，则x 2－5x ＋6＝0”B ．若命题p ：存在x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0，则¬p ：对任意x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0C ．若x ，y ∈R ，则“x ＝y ”是“xy ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22”的充要条件 D ．已知命题p 和q ，若“p 或q ”为假命题，则命题p 与q 中必一真一假解析：选D.由原命题与逆否命题的关系知A 正确；由特称命题的否定知B 正确；由xy ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22⇔4xy ≥(x ＋y )2⇔4xy ≥x 2＋y 2＋2xy ⇔(x －y )2≤0⇔x ＝y 知C 正确；对于D ，命题p 或q 为假命题，则命题p 与q 均为假命题，所以D 不正确．9. 如图所示的程序框图，已知集合A ＝{x |x 是程序框图中输出的x 的值}，集合B ＝{y |y 是程序框图中输出的y 的值}，全集U ＝Z ，Z 为整数集．当输入的x ＝－1时，(∁U A )∩B 等于( )A ．{－3，－1，5}B ．{－3，－1，5，7}C ．{－3，－1，7}D ．{－3，－1，7，9}解析：选D.根据程序框图所表示的算法，框图中输出的x 值依次为0，1，2，3，4，5，6；y 值依次为－3，－1，1，3，5，7，9.于是A ＝{0，1，2，3，4，5，6}，B ＝{－3，－1，1，3，5，7，9}，因此(∁U A )∩B ＝{－3，－1，7，9}．10．已知“命题p ：(x －m )2>3(x －m )”是“命题q ：x 2＋3x －4<0”成立的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－7]B ．[1，＋∞)C ．[－7，1]D ．(－∞，－7]∪[1，＋∞)解析：选D.记P ＝{x |(x －m )2>3(x －m )}＝{x |(x －m )(x －m －3)>0}＝{x |x <m 或x >m ＋3}，Q ＝{x |x 2＋3x －4<0}＝{x |(x ＋4)(x －1)<0}＝{x |－4<x <1}，p 是q 成立的必要不充分条件，即等价于Q P .所以m ＋3≤－4或m ≥1，解得m ≤－7或m ≥1.故选D.11．某个含有三个实数的集合既可表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫b ，b a，0，也可表示为{a ，a ＋b ，1}，则a2 015＋b2 015＝________.解析：由题意得a ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，ba＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，所以a2 015＋b2 015＝0.答案：012．设命题p ：∀a >0，a ≠1，函数f (x )＝a x－x －a 有零点，则¬p ：________________.解析：全称命题的否定为特称命题，¬p ：∃a 0>0，a 0≠1，函数f (x )＝a x0－x －a 0没有零点．答案：∃a 0>0，a 0≠1，函数f (x )＝a x0－x －a 0没有零点13．已知命题p ：∃x 0∈R ，ax 20＋x 0＋12≤0.若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：因为命题p 是假命题，所以¬p 为真命题，即∀x ∈R ，ax 2＋x ＋12>0恒成立．当a＝0时，x >－12，不满足题意；当a ≠0时，要使不等式恒成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1－4³12³a <0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a >12，所以a >12，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 14．(2015²烟台模拟)函数f (x )＝x 2＋2x ，集合A ＝{(x ，y )|f (x )＋f (y )≤2}，B ＝{(x ，y )|f (x )≤f (y )}，则由A ∩B 的元素构成的图形的面积是________．解析：集合A ＝{(x ，y )|x 2＋2x ＋y 2＋2y ≤2}，可得(x ＋1)2＋(y ＋1)2≤4，集合B ＝{(x ，y )|x 2＋2x ≤y 2＋2y }，可得(x －y )²(x ＋y ＋2)≤0.在平面直角坐标系上画出A ，B 表示的图形可知A ∩B 的元素构成的图形的面积为2π.答案：2π15．设命题p ：已知非零向量a ，b ，“|a |＝|b |”是“(a ＋b )⊥(a －b )”的充要条件；命题q ：平面上M 为一动点，A ，B ，C 三点共线的充要条件是存在角α，使MA →＝sin 2αMB →＋cos 2αMC →，下列命题①p ∧q ；②p ∨q ；③(¬p )∧q ；④(¬p )∨q .其中假命题的序号是________．(将所有假命题的序号都填上)解析：(a ＋b )⊥(a －b )⇔(a ＋b )²(a －b )＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝0⇔|a |＝|b |，故p 是真命题．若A ，B ，C 三点共线，则存在x ，y ∈R ，使MA →＝xMB →＋yMC →(x ＋y ＝1)； 若MA →＝sin 2αMB →＋cos 2αMC →，则A ，B ，C 三点共线． 故q 是假命题．故p ∧q ，(¬p )∧q ，(¬p )∨q 为假命题． 答案：①③④。