医科数学C课件：25第二十五讲 总复习(五年制)

x y
⑵.连续、可导、可微
一元函数：可导连续；可导可微；
多元函数：可微连续；偏导数存在 连续；
可微偏导数存在；偏导数存在 可微；积分
1．概念：
D
f (x, y)d
n
lim d 0 i1
f (i ,i ) i =数
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2．性质：见书P130--131
3．方法：第一步:先画出积分区域 D 草图,求出必要交点。 第二步：先看被积函数是否含 x2 y2或 y / x项，积分区
吉林大学数学教学与研究中心
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第49-50讲
共计：50讲
主讲教师：王颖
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导数与微分
一元函数 微积分学
不定积分 定积分
反常积分
多元函数 微积分学
医用数学C
微分方程
一阶微分方程
可降阶的 二阶微分方程
偏导数 全微分 二重积分
微分方程 在医学上的应用 3
医用数学C
一、一元函数微积分学 预备知识 一元函数微分学 一元函数积分学
得出极值点； f (x)的符号，从而确定该区间上的凹
凸性，并可得出拐点；
⑤求出一些补充点的函数值； ⑥绘图。 5．类型题
⑴．利用导数定义，求相应的极限问题；
⑵．利用导数来求切线、法线方程；
⑶．求导数；
⑷．求微分；
⑸．利用单调性、 Lagrange中值定理证明不等式；
⑹．利用 Lagrange中值定理推论证明恒等式；
㈡．一元函数微分学：导数、微分、应用
1．理解导数的概念，掌握导数的公式、法则（四则运
算法则、复合函数的求导法则、隐函数的求导法则），会
求一函数的导数；
2．理解微分的概念，弄清函数的可导与连续，可微与
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连续，可导与可微的关系，会求微分 dy f (x)dx
3．关系：
可导可微连续； 可导(x0, f (x0 ))切线存在； (x0, f (x0 ))切线存在 可导。
3．理解连续的概念，会讨论函数在一点的连续性；会
求函数的间断点，并判断其类型；了解闭区间连续函数的
性质，会用零点定理讨论方程根存在问题；
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4．类型题 ⑴．求函数的极限； ⑵．讨论无穷小量的阶； ⑶．讨论函数一点的连续性； ⑷．求间断点并判断间断点的类型，连续区间； ⑸．利用零点定理讨论方程 f (x) 0根存在问题；
⑺．利用Rolle中值定理讨论方程 f (x) 0根存在问题； 8
⑻．求单调区间、极值；凹凸性、拐点；渐近线；绘图。
㈢、一元函数积分学
1．不定积分：概念、公式、性质、计算手法（直接、
换元、分部积分法）、会求不定积分；
2．定积分:概念、性质、积分上限函数求导、 Newton _ Leibniz 公式(将定积分求解问题归属于求不定积 分)，会求定积分及积分上限函数的导数.
f
y(
x,
y)
=
z y
=
zy
=
lim
x0
z y y
lim y0
f (x, y y) y
f (x, y) ．
高阶偏导数：二阶及二阶以上偏导数.
计算:
①.直接求导：将其余变量视为常量，对于一个自变量进 11 行一元函数求导；
②．复合函数求导：u (x, y),v (x, y)在(x, y)点偏
4．应用：⑴． Lagrange中值定理及其推论．
⑵．Rolle 定理．
⑶．函数绘图
① 求定义域 D；讨论简单性质：奇偶性、周期性
② 渐近线；
③ 求 f (x), f (x)在 D 内等于零的点和不存在的点：
x1 x2 xn；
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④ 用上述点将 D 分成若干个区间，在每一小区间上讨
论 f (x)的符号，从而确定该区间上的单调性，并可
函极 连 导 微 导 不 定 反 定
数 应
定 积
积
常 积
积 分
数限 续 数 分 用 分 分 分 应
用
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一、一元函数微积分 ㈠．预备知识：函数、极限、连续
1．理解函数概念，掌握函数性质，基本初等函数的简 单性质和草图以及有关公式；（不考）
2．利用一些简单函数的极限结果、两个重要极限，极 限运算法则，无穷小量的性质，LHospital 法则，以及一 些运算技巧，会求函数的极限。会讨论无穷小量的阶；
导数存在，z f (u,v)在相应地(u,v)点可微，则复
合函数 z f ((x, y),(x, y))
z z u z v ；
x u x v x
z z u z v y u y v y
③．隐函数求导：
F(x, y, z) 0确定 z f (x, y)，若Fz 0，则 z Fx , z Fy ； x Fz y Fz
④．高阶偏导数：一阶一阶去求，无新的方法。
2．微分： z f (x, y)，若z Ax By o()
dz
Ax
By
z x
dx
z y
dy
dzx
dzy
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3．与一元函数微分学的本质差别
⑴记号： dy 是微商，不是整体记号，dy, dx可参加运算； dx
z , z 是整体记号，y, x不可参加运算；
3．反常积分：无穷积分、瑕积分；
4．应用：平面图形面积、旋转体体积；弧长、平均值(不考)；
5．类型题：
(1).求不定积分、定积分、反常积分(先判断后计算)；
(2).讨论积分上限函数的导数；
(3).应用：求平面图形的面积、旋转体的体积；
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二、多元函数微积分学 预备知识 多元函数微分学 多元函数积分学
空多
间元
解函
析 几 何
数
基 本 概
念
偏全 导微 数分
二二 重重 积积 分分
应
用
简
介
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二、多元函数的微积分学 不考㈠．预备知识：空间解析几何、函数、极限和连续。
㈡．多元函数微分学
1．偏导数
⑴．概念：
f
x(
x,
y
)
=
z x
==
z
x
=
lim
x0
zx x
lim
x0
f
(x x, y) x
f
(x, y)
域是否为圆或圆环(包括它们的一部分)，若是，一般选 择极坐标系下的方法，否则选择直角坐标系下去做。
第三步：㈠．直角坐标系下：1．先看被积函数 f (x, y)， 先谁积分容易。若先 x后 y积分容易，将积分区域 D 从Dy 型域考虑；若先 y后 x积分容易，将 D 从Dx型域考虑，若 先谁积分难易差别不大时，从积分区域本身考虑。
2．只从区域本身考虑，找出 x, y 的变化范围 x [a,b]，
y [c,d ]围成 D 的边界用 y f (x), x ( y)表示： 14
①固定 x (a,b)，用 y f (x)表示 D 的边界的条数为m，
②固定 y (c,d)，用 x ( y)，表示 D 的边界的条数为n，