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《高等数学二》复习教程第一讲函数、连续与极限一、理论要求1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）2.极限极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限3.连续函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A.极限的求法（1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法（4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor级数法（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）1.612arctan lim )21ln(arctan lim3030-=-=+->->-xx x x x x x x （等价小量与洛必达） 2.已知2030)(6lim 0)(6sin limx x f x x xf x x x +=+>->-，求解：20303')(6cos 6lim )(6sin limx xy x f x x x xf x x x ++=+>->- 72)0(''06)0(''32166'''''36cos 216lim6'''26sin 36lim 00=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x362722''lim 2'lim )(6lim0020====+>->->-y x y x x f x x x （洛必达）3.121)12(lim ->-+x xx x x （重要极限） 4.已知a 、b 为正常数，xx x x b a 30)2(lim +>-求解：令]2ln )[ln(3ln ,)2(3-+=+=x x x x x b a xt b a t2/300)()ln(23)ln ln (3limln lim ab t ab b b a a b a t xx x x x x =∴=++=>->-（变量替换） 5.)1ln(12)(cos lim x x x +>-解：令)ln(cos )1ln(1ln ,)(cos 2)1ln(12x x t x t x +==+ 2/100212tan limln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x （变量替换）6.设)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求1)()(lim202=⎰⎰>-xx x dtt f x dtt f（洛必达与微积分性质）7.已知⎩⎨⎧=≠=-0,0,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续，求a解：令2/1/)ln(cos lim 2-==>-x x a x （连续性的概念）三、补充习题（作业） 1.3cos 11lim-=---->-xx x e x x （洛必达）2.)1sin 1(lim 0xx ctgx x ->- （洛必达或Taylor ） 3.11lim22=--->-⎰x xt x edte x （洛必达与微积分性质）第二讲 导数、微分及其应用一、理论要求 1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理 理解Roll 、Lagrange 、Cauchy 、Taylor 定理 会用定理证明相关问题3.应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径）二、题型与解法A.导数微分的计算 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导1.⎩⎨⎧=+-==52arctan )(2te ty y t x x y y 由决定，求dx dy2.x y x y x x y y sin )ln()(32+=+=由决定，求1|0==x dxdy解：两边微分得x=0时y x y y ==cos '，将x=0代入等式得y=1 3.y x x y y xy+==2)(由决定，则dx dy x )12(ln |0-==B.曲线切法线问题4.求对数螺线)2/,2/πθρρπθe e （），在（==处切线的直角坐标方程。
![[理学]高等数学大二第二学期总复习](https://img.taocdn.com/s1/m/28e8205b01f69e314232941f.png)
大学数学二复习资料推荐大学数学二复习资料推荐数学作为一门基础学科，对于大学生来说是必修的一门课程。
而大学数学二作为数学系列课程的延续，内容更加深入和复杂。
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首先，我们推荐《高等数学（第二册）》。
这本教材是大多数高校大学数学二的教材，由高等教育出版社出版。
该教材内容全面，结构清晰，涵盖了数学二的各个章节，包括多元函数微分学、多元函数积分学、无穷级数等。
教材中的例题和习题设计合理，能够帮助学生理解和掌握各个知识点。
此外，教材中还有一些历年考试真题和习题解析，这对于考生来说是非常有帮助的。
其次，我们推荐《大学数学（第二册）》。
这本教材由李建平主编，人民教育出版社出版。
与《高等数学（第二册）》相比，这本教材在内容和难度上稍微有所增加，更加适合那些想要深入学习和了解数学二的同学。
教材中的例题和习题设计灵活多样，能够培养学生的解题能力和思维能力。
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除了教材，还有一些辅助资料也是备考数学二的好帮手。
首先推荐的是《大学数学辅导丛书》系列。
这个系列的书籍包括了大学数学二的各个知识点，如多元函数微分学、多元函数积分学等。
每本书都有详细的讲解和大量的例题和习题，能够帮助学生巩固和应用所学知识。
此外，该系列的书籍还有一些考试技巧和解题方法的介绍，对于备考数学二的同学来说是非常有用的。
另外，还有一些网络资源也可以作为数学二复习的参考资料。
例如，一些知名的教育网站和数学学习平台上都有大学数学二的相关课程和习题。
通过这些平台，学生可以根据自己的学习进度和需求选择合适的课程和习题进行学习和练习。
此外，还有一些数学论坛和社区，学生可以在这些平台上与其他同学交流和讨论数学问题，提高自己的学习效果。
综上所述，选择一份好的复习资料对于备考大学数学二是非常重要的。
第六章 定积分的应用学习指导一、基本内容 （一）微元法根据问题的具体情况选取积分变量x 与变化区间，再小区间[]dx x x +,。
求出部分量的近似值的积分元素()dx x f du =，从而求出所求量()⎰=ba dxx f u 。
（二）平面图形的面积1．由平面曲线()x f y =，直线a x =，b x =和0=y 所围图形的面积：()dxx f A b a⎰=。
2．由平面曲线()x f y 1=，()x f y 2=和直线a x =，b x =所转图形的面积：()()⎰-=b adxx f x f A 21。
3．由极坐标曲线()θγγ=， αθ=、βθ=转的图形的面积：()⎰=βαθθγd A 221。
4．由参数方程()t x x =，()t y y =给出的曲线和直线()()αx a x ==，()()βx b x ==，0=y 所围图形的面积：()()⎰⎰'==βαdtt x t y dx y SA b a。
（三）体积1．由曲线()x f y =和直线a x =，b x =，0=y 所围图形绕x 轴旋转一周所得旋转体体积：()⎰+=ba x dxx f V 2π。
2．由曲线()y x x =和直线c y =，d y =，0=x 所围图形绕y 轴旋转一周所得旋转体积：()⎰=dc y dyy x V 2π。
3．垂直于x 轴的平行截面面积为x 的函数()x A 的立体的体积：()⎰=ba dxx A V 。
（四）平面曲线的弧长1．直角坐标曲线()x f y =b x ≤≤0：()[]⎰'+=b adxx f L 21。
2．参数方程曲线()t x x =，()t y y =，βα≤≤t ：()[]()[]⎰'+'=βαdtx y t x L 22。
3．极坐标曲线()θγγ=，βθα≤≤：()()[]⎰'+=βαθθγθd r L 22。
（五）定积分在物理上的应用对实际问题先取积分变量，积分区间，求出所求量的微元，利用微元法求解。
高数二复习资料高数二复习资料高等数学是大学数学的重要组成部分，也是让许多学生头疼的科目之一。
高数二作为高数的进阶课程，内容更加深入和复杂。
为了帮助同学们更好地复习高数二，我整理了一些复习资料，希望能对大家有所帮助。
一、函数与极限函数与极限是高数二的基础，也是后续章节的重要基石。
在这一部分的复习中，我们需要掌握函数的性质和常见函数的图像特征。
同时，对于极限的计算和性质也需要有清晰的认识。
可以通过大量的练习题来巩固这些知识点。
二、导数与微分导数与微分是高数二中的重要内容，也是数学在自然科学和工程技术中的应用基础。
在这一部分的复习中，我们需要熟练掌握导数的定义和性质，包括导数的四则运算、复合函数的导数、隐函数的导数等。
同时，对于微分的计算和应用也需要有一定的了解。
通过大量的例题和实际问题的应用，可以更好地理解和掌握这一部分知识。
三、定积分与反常积分定积分与反常积分是高数二中的重要内容，也是数学在物理学、经济学等领域中的重要工具。
在这一部分的复习中，我们需要掌握定积分的性质和计算方法，包括换元积分法、分部积分法等。
同时，对于反常积分的计算和性质也需要有一定的了解。
通过大量的练习题和实际问题的应用，可以更好地掌握这一部分知识。
四、级数与幂级数级数与幂级数是高数二中的重要内容，也是数学分析的基础。
在这一部分的复习中，我们需要熟练掌握级数的性质和判敛方法，包括比较判别法、积分判别法、根值判别法等。
同时，对于幂级数的性质和收敛半径的计算也需要有一定的了解。
通过大量的例题和实际问题的应用，可以更好地理解和掌握这一部分知识。
五、微分方程微分方程是高数二中的重要内容，也是数学在物理学、生物学等领域中的重要工具。
在这一部分的复习中，我们需要熟练掌握一阶和二阶微分方程的解法，包括可分离变量法、齐次方程法、常系数线性齐次方程法等。
同时，对于常微分方程的应用也需要有一定的了解。
通过大量的例题和实际问题的应用，可以更好地掌握这一部分知识。
高等数学（二）归纳（归纳不完全，仅供期末复习参考）第一部分：空间解析几何与向量代数||21.6.sin ,.5cos .4,,Pr Pr cos ..3,cos Pr .2}co ,cos ,{cos cos cos ,cos },,{cos ,cos ,cos .1222222222222222AC AB ABC b a c b b b a a a kj ib ac b b b a a a b a b a b a b a b a b a b j a a j b b a b a u AB AB j z y x z z y x y z y x xz y x AB zyxz y xzy x z y x zz y y x x z z y y x x a b u ⨯=⋅==⨯=++⋅++++=++===⋅=⋅=++=++=++==面积三角形两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。
与是向量在轴上的投影：为与则：式：设称为方向余弦。
计算公称为方向角；，，的夹角弦：向量与三个坐标轴向量的方向角与方向余θθθϕϕγβαγβαγβαγβα⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+===-=-=-+++++==++=+++==-+-+-ptz z nty y mt x x p n m s t p z z n y y m x x C B A DCz By Ax d c zb y a x D Cz By Ax z y x M C B A n z z C y y B x x A 00000022200000000002;},,{,)1(.9.81)3(0)2(),,(},,,{0)()()()1(.7）参数方程：（为直线的方向向量其中点向式：空间直线方程：面的距离：平面外任意一点到该平截距式方程：一般方程：，其中点法式：平面的方程：9.二次曲面（常见的）（1）旋转曲面 例如：旋转抛物面22y x z +=（2）锥面 例如 圆锥面222y x z +=（3）球面 例如2222a z y x=++zyzx yx yxFF y zF F x z y x z z z y x F FF dx dy x y y y x F dy yv dx x v dv dy y u dx x u du y x v v y x u u xvv z x u u z x z y x v y x u f z tvv z t u u z dt dz t v t u f z yy x f x y x f dz z dzz udy y u dx x u du dy y z dx x z dz -=∂∂-=∂∂==-===∂∂+∂∂=∂∂+∂∂===∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂==∆+∆=≈∆∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=， ， 则：所确定的函数）方程（， ， 则：所确定的函数）方程（隐函数的求导公式： 时，，当 ：多元复合函数的求导法近似计算： 全微分：分法及其应用第二部分：多元函数微),(0),,(2)(0),(1.4),(),()],(),,([)](),([.3),(),(.2.1性方程组的法则求） 不必记忆公式，用解线数的偏导求法 所确定的两个二元函）方程组：（(0),,,(0),,,(3⎩⎨⎧==v u y x G v u y x F 5.多元函数可微，偏导存在，连续，方向导数存在，偏导连续之间的关系。
高等数学II期末考试复习要点
一、考试题型，题量：
选择题，填空以及计算，约15-20道题
二、复习要点：
（一）微分方程：
1．可分离变量方程
2．二阶常系数线性非齐次微分方程的通解
（二）多元函数微分学
1．多元复合函数的偏导数
2．由一个方程所确定的隐函数的偏导数
3．方向导数的计算
4．曲面的切平面
5．条件极值
（三）多元函数积分学
1．交换二重积分顺序
2．二重积分的基本计算
3．三重积分的基本计算
4．第一类，第二类曲线积分的基本计算
5．第一类，第二类曲面积分的基本计算
6．化三重积分为球面坐标、柱面坐标下的三次积分7．格林公式、曲线积分与路径无关的条件
8．高斯公式
9．函数的奇偶性与积分区域的对称性对积分的影响（四）无穷级数
1．幂级数的收敛域
2．简单函数的幂级数展开
3．简单函数的傅里叶级数以及其和函数。
高等数学二知识点总结（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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大学高等数学第二册复习资料-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN高等数学第二册第七章空间解析几何与向量代数在这一章中，首先建立空间直角坐标系，引进自由向量，并以坐标和向量为基础，用代数的方法讨论空间的平面和直线，在此基础上，介绍一些常用的空间曲线与曲面。
通过这一章的学习，培养空间想象能力，娴熟的向量代数的计算能力和推理、演绎的逻辑思维能力。
也为学习多元微积分做准备。
重点：曲面方程，曲线方程难点：较深刻地理解曲面（平面）、曲线（直线）方程，并能把握方程所表示的图形的特征。
（一）1．空间笛卡尔坐标系的构成：空间的一个定点O，连同三个两两互相垂直的有序向量组，称为笛卡尔坐标系。
当1e，e，3e的相互关系和右手拇指、食指、中指相同时，称为右手2坐标系。
在通常的讨论中，常用右手笛卡尔坐标系。
关于一般的坐标系称为仿射坐标系，有兴趣的同学可参阅《空间解析几何》这类专业教材。
2．空间向量可以从两个途径来认识：①由定义：具有大小和方向的量称为向量，因此可由方向（可由方向角来确定）连同大小（模长）来确定（注意，这样定义的向量称为自由向量，简称向量，自由向量与起点和终点无关）。
书上往往用黑体字母表示，手写时用黑体并不方便，常在字母上面加一个箭头表示，例：AB ，a 等。
②可由向量的坐标来把握向量。
必须分清向量坐标与点坐标这两个概念，一般情况下，设{}z y x a ,,= 的始点的坐标分别为()321,,x x x ，()321,,y y y ，则{}121212,,z z y y x x a ---= ，即向量的坐标与向量的起点及终点的坐标间有下列关系：12x x x -=，12y y y -=，12z z z -=。
因此，若确定了向量的坐标，则这个向量就确定了。
当向量的起点与坐标系的原点重合时，向量的坐标与向量的终点的坐标在数值上相等。
3．在学习向量的代数运算时，利用几何或物理模型比较容易掌握。
如求向量的加法和减法可以平行四边形或以力的相加或相减为模型，求两向量的数量积可以求力在某段路程上所作的功为模型，求两向量的向量积可以求力关于某点的力矩为模型，并要熟练掌握每种运算的算律。
4．一个平面具有各种形式的方程，如点法式，三点式，截距式，一般式。
在学习平面的各种形式的方程时，对方程中常数的几何意义应引起充分的注意。
如：平面方程0=+++D Cz By Ax ，则{}C B A ,,为平面的一个法向量，建立平面的方程时应根据条件灵活处理。
点法式方程是应用较方便，常用的方程类型，这是因为在讨论平面问题时，平面的法向量常常起着关键性的作用。
5．确定空间一条直线的方法很多，在《高等数学》中把它归结为由直线上的一个定点和与直线平行的一个非零向量来确定，或将它看成两个平面的交线。
空间直线的标准式方程与参数式方程，二维空间中的直线均有对应的形式，但要注意，只有空间直线可看成两个平面的交线。
6．在《高等数学》中，常用的曲面方程为：（二）1．向量在轴上的投影是个常用的概念，要注意向量在轴上的投影是一个数量而不是一个向量，也不是一个线段。
设向量，其中投影轴为l ，点A ，B 在轴上的投影分别为A '，B '，若取与轴同方向的单位向量为e ，则有,e x B A ='称x 为在轴l 上的投影。
因此向量AB 在轴上的投影不是有向线段B A '，而是一个数值，记为j l Pr ，易知j lPr ϕcos ||=，其中ϕ为AB 与轴l 的夹角。
2．向量在坐标轴上的投影称为向量的坐标。
3．向量的数量积，向量积一览表：4．要熟练掌握平面，直线的各种形式的方程互化，关键在于明确在各种形式的方程中，各个量（常量、变量）的几何意义以及它们之间的关系，在此基础上，互化是容易做到的。
如建立平面的三点式方程时，若硬记公式则不容易记牢的，但从三个向量共面的角度去思考就能牢牢地记住。
5．要深刻理解空间直角坐标系下平面的方程是一个关于x，y，z的一次方程。
反之，任何一个关于x，y，z的一次方程都表示一个平面。
6．平面与平面、直线与直线、平面与直线间的位置关系均是通过平面的法向量间，直线的方向向量间，或平面法向量与直线的方向向量间的位置关系来讨论，因此可归结为向量问题来解决。
如：两个平面间的夹角问题通过它们的法向量的夹角来解决。
7．常用的曲面方程见（A）中6，要真正掌握这些曲面的形状、特征，可以用“平行平面截割法”，也就是用一族平行平面（一般平行于坐标面）来截割曲面，研究所截得的一族曲线是怎样变化的，从这一族截线的变化情况即可推想出所表示的曲面的整体形状，这是认识曲面的重要方法，它的基本思想是把复杂的空间图形归结为比较容易认识的平面曲线。
8．空间曲线一般由两个曲面相交而得，这样的曲面有无穷多个，若曲线的形状不易把握时，可先将两个曲面方程通过消去未知数的方法得两个过曲线的射影柱面的方程，而射影柱面的形状是较容易把握的。
9．空间曲面和曲线除了利用图形上的点的坐标所满足的关系建立方程外，还常用参数方程来表示。
参数方程的特征是方程中既有表示坐标的变量，也有坐标以外的其他变量（称参数），且坐标变量x ，y ，z 分别可以表示成参数的函数。
10．曲线（直线）的参数方程均含一个参数，曲面（平面）的参数方程含两个参数。
简单的参数方程消去参数后可化得普通方程，但并不是所有的参数方程都能化成普通方程的。
（三）1．三个向量相乘有混合积()c b a ⋅⨯和双重向量积()c b a ⨯⨯，其中双重向量积的讨论可见《空间解析几何》这类专业教材，对于混合积在高等数学中应用较多，它具有一个十分重要的几何意义，即当a ，b ，c 不共面时，()c b a ,,的绝对值等于a ，b ，c 为棱的平行六面体的体积。
因此利用混合积可以解决求一类体积的问题。
2．三个以上的向量相乘的问题总可转化为三个向量相乘，因此可归结为三个向量相乘来讨论。
3．混合积的坐标表示与特征性质设{}z y x a a a a ,,= ，{}z y x b b b b ,,= ，{}z y x c c c c ,,= ，则[]()z y x z yx z yx c c c b b b a a a c b a c b a =⋅⨯= ,,，()⇔=0,,c b a a ，b ，c 共面。
4．在学习曲面与空间曲线时，应注意两点：① 空间曲面方程的定义与平面曲线方程的定义相类似，通常将曲面看成具有某种特征性质的空间点的轨迹，用方程()0,,=z y x F 来表示，从集合的观点来看，曲面就是所有满足方程()0,,=z y x F 的点()z y x ,,的集合。
② 要充分理解空间曲线一般方程的定义。
这里强调用通过空间曲线l 的任意两个曲面的方程来表示，即用通过空间曲线l 的两个曲面方程联立起来表示空间曲线。
若由方程()0,,1=z y x F 和()0,,2=z y x F 表示的两个曲面，除去曲线l ：()()⎩⎨⎧==0,,0,,21z y x F z y x F 上的点是它们的公共点外，再也没有别的公共点，则用()()⎩⎨⎧==0,,0,,21z y x F z y x F 表示它们交线的方程。
但要注意，联立任意的两个曲面方程，它们可能不表示任何空间曲线，例如⎪⎩⎪⎨⎧=++=++21222222z y x z y x ，从代数上看这是一个矛盾方程组，不存在解；从几何上看，这是两个同心的球面，它们没有任何的公共点。
第八章 多元函数微分法及其应用学习指导一、知识脉络数函元二 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧︒︒︒︒⎩⎨⎧条件极值无条件极值极值泰勒展开式方向导数几何应用偏导数的应用全微分偏导数连续二次极限二重极限极限概念.4.3.2.1.6.5.4.3.2.1二、重点和难点1．重点：求极限、求偏导数、求全微分、求极值。
2．难点：极限存在、连续、偏导数存在、可微之间的关系，复合函数求偏导数。
三、问题与分析1．()y x f y y x x ,lim 00→→与()y x f P P ,lim 0沿某直线超于仅当前者存在时，才相等。
2．二重极限、连续、偏导数存在、可微间的关系3．多元函数中极限、连续、偏导数的运算法则、一阶微分形式的不变性、初等函数的连续性、最值定理、介值定理均与一元函数中相应内容和结论对应。
4．二重极限与二次极限是本质不同的两个概念。
(1) 当动点()y x P ,沿任意路径趋于()0,y x 时，若()y x f ,都以同一数值为其极限，则这样得到的极限为二重极限；当x ，y 先后相继地趋于0x ，0y 时的极限为二次极限。
(2) 两个二次极限存在且相等，不能得出二重极限存在。
例如：()22,y x xy y x f +=，容易验证两个二次极限()()0,lim lim ,lim lim 0000==→→→→y x f y x f x y y x ，但是()y x f y x ,lim 00→→不存在。
(3) 二重极限存在，不能得出二次极限存在。
例如：()()yx y x y x f 1sin1sin ,+=，因为()y x f ,在不含有两个坐标轴的平面点集上有定义，当()()0,0,→y x P 时，有0→+y x 。
由于有界变量与无穷小量的乘积仍是无穷小量，可得()()01sin 1sin lim ,lim 0000=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=→→→→y x y x y x f y x y x ，对任意给定的0≠y ，由于01sin 1sin lim 0=→y x x x ，而y x y x 1sin 1sin lim 0→不存在，所以()yx y x x 1sin 1sin lim 0+→不存在。
因此先对x 后对y 的二次极限()y x f x y ,lim lim 00→→不存在。
同理()y x f y x ,lim lim 00→→也不存在。
5．学习二次极限应注意以下三个问题：(1) 两个二次极限分别存在时不能保证它们一定相等，因此不能任意地交换求极限的先后顺序。
例：()2222,y x y x y x f +-=，则()1,lim lim 00-=→→y x f x y ，()1,lim lim 00=→→y x f y x 。
(2) 二次极限中一个存在，另一个可以不存在。
例：()yx y x x y x f ++=1sin ,，容易验证()1,lim lim 00=→→y x f x y ，而()y x f y x ,lim lim 00→→不存在。
(3) 两个二次极限都可以不存在。
例：()()yx y x y x f 1sin1sin ,+=。
