7.1-7.2 方差分析

组 内 自 由 度 2 = 1 4 - 2 = 1 2 组 内 均 方 MS 组内 ＝ 0 . 0 0 0 1 9 2 / 1 2 ＝ 0 . 0 0 0 0 1 6 .
3、计算F值
F＝
0.00052661 ＝ 32.92 0.000016
分 子 分 母 自 由 度 分 别 为 ： 2， 12
表 4.1.6 变异 来源 组间 组内 总 0.00105333 0.000192 0.00124533 2 12 14 SS ν
例4.1.1输出结果：
The ANOVA Procedure Class Level Information Class Levels Values C 3 123 Number of observations 15 The ANOVA Procedure Dependent Variable: y Source DF Sum of Squares Model 2 0.00105333 Error 12 0.00019200 Corrected Total 14 0.00124533
第七章 方差分析
Analysis of Variance （ANOVA )
一个因素（水平间独立） ——单因素方差分析
两个因素（水平间独立或相关）——双因素方差分析
因素也称为处理因素（factor），每一处理因素至少 有两个水平(level)（也称“处理组”）。
用这类资料的样本信息来推断各处理组间多个总体均 值的差别有无统计学意义。
3. 组内变异（within group variation )：每组的 每个测量值Yij与该组均数 Y 的差异
i
下面用离均差平方和(sum of squares of deviations from mean，SS)反映变异的大小
1. 总变异: 所有测量值之间总
的变异程度，计算公式
SS总 Yij Y Y C
离均差平方和分解：
SS总 = SS组间 + SS组内 ，
且
ν总 =ν组间 +ν组内
组内变异 SS 组内： 随机误差 组间变异 SS 组间：处理因素 + 随机误差
均方差，均方(mean square，MS)
变异程度除与离均差平方和的大小有关外， 还与其自由度有关，由于各部分自由度不相等， 因此各部分离均差平方和不能直接比较，须将 各部分离均差平方和除以相应自由度，其比值 称为均方差，简称均方 (mean square ， MS ) 。组 间均方和组内均方的计算公式为 :
说明：因为p-value 值< 0.0001<0.05 (显著性水平) ，所以拒绝原假 设，即认为各台机器生产的薄板厚度有显著差异。
二、SAS/分析员应用
步骤：Solutions→ Analysis→ Analyst (出现空白 数据表)→ File→Open By Sas Name (在Select A Member窗口中) →work →选中数据名 (本例为Data E411见V8文件)→(OK) →Statistics → ANOVA → ONE-WAY ANOVA （在ONE-WAY ANOVA窗口中将分类变量C送入 Independent中,将响应变量Y送入Dependent中) →(OK)
3
216 5403 19.16 99.17 2.99 4.68
4
225 5625 19.25 99.25 2.76 4.18
5
230 5764 19.30 99.30 2.60 3.85
6
234 5859 19.33 99.33 2.49 3.63
25
三、例题的方差分析
1、建立检验假设
H0： 1 = 2 = 3 即3个试验组总体均数相等 H1：3个试验组总体均数不全相等 检验水准 0.05
SS组间 ni (Yi Y )
2 i 1 i 1
a
a
( Yij )
j 1
ni
2
组间 a 1
ni
C
SS组间反映了各组均数 Yi 的变异程度
组间变异＝①随机误差+②处理因素效应
3 ．组内变异 ： 在同一处理组内，虽然每
个受试对象接受的处理相同，但测量值仍各不相同，
注意：当组数为2时，完全随机设计的方 差分析结果与两样本均值比较的t 检验结果等 价，对同一资料,有：
t F
单因素方差分析SAS操作
一、SAS/INSIGHT
步骤：Solutions→Analysis→Interactive data analysis (在SAS/INSIGHT：OPEN窗口中) → work →选中数据名 (本例为Data E411见V8 文件)→(OPEN)→Analyze→Fix(Y X) [在Fix(Y X)窗口中将分类变量(本例为C）送 入X,将响应变量(本例为Y）送入Y] →(OK)
例4.1.1输出结果：
The ANOVA Procedure Class Level Information Class Levels Values C 3 123 Number of observations 15 The ANOVA Procedure Dependent Variable: y Source DF Sum of Squares Mean Square F Value Pr > F Model 2 0.00105333 0.00052667 32.92 <.0001 Error 12 0.00019200 0.00001600 Corrected Total 14 0.00124533 R Square Coeff Var Root MSE y Mean 0.845824 1.578947 0.004000 0.253333
例4.1.1输出结果：
Analysis of Variance Source DF Sum of Squares Mean Square F Stat Pr > F Model 2 0.0011 Error 12 0.0002 C Total 14 0.0012 0.0005 1.600E-05 32.92 < .0001
方差分析表 MS 0.00052661 0.000016 F比 32.92
4、下结论
查 附 表 4 F 界 值 表 ， 得 F0 . 0 5 ( 2 , 1 2 ) = 3 . 8 9 < 3 2 . 9 2 。 由 于 F＞ F0 . 0 5 ( 2 , 1 2 ) ， 故 有 概 率 P ＜ 0 . 0 5 ， 根 据 推 断 规则拒绝零假设，接受备择假设。处理因素的 3 个 水平中至少有一个组的总体均值不同于其他各组。 认为各台机器生产的薄板厚度有显著的差异。
第二节 双因素试验的方差分析 （Two-way analysis of variance）
假定条件：
2个或以上（处理）因素（factor）(分类变量) （本节只考虑两个因素） 每个因素有2个或以上水平（level） 每一组合涉及全部因素，每一因素只有一个水平 参与 几个因素的组合中至少有 2个或以上的观察值 观测值为定量数据（需满足随机、独立、正态、 等方差的ANOVA条件）
此例R2=0.845824说明了机器这一因素有 84.58%影响了铝合金板厚度
2. 剩余标准差（ Root MSE ）
Root MSE MS error
反映了模型效应的程度，其值越小说明模型 效应越显著.
对于不等重复试验,方差分析同样进行,请看例4.1.2：
Data E412; input c $ t @@; cards; 1 19 1 15 1 22 1 20 1 18 2 20 2 40 2 21 2 33 2 27 3 16 3 17 3 15 3 18 3 16 4 18 4 22 4 19 ; proc glm data=E412; /*glm也可用于方差分析*/ class c ; /*分类变量c*/ model t=c; /*模型 因变量=自变量*/ RUN;
a 2 a i 1 j 1 i 1 j 1 2 ij ni ni
Y C＝(N 1) S
i, j 2 ij
N
2
总 N 1
2
校正系数： C
( Yij )
i 1 j 1
a ni
N

( Yij )
i, j
N
2
N
2 ．组间变异： 各组均数与总均数的
离均差平方和，计算公式为
Mean Square F Value Pr > F 0.00052667 32.92 <.0001 0.00001600
三、SAS编程
Data E411; input c $ y @@; cards; 1 0.236 2 0.257 3 0.258 1 0.238 2 0.253 3 0.264 1 0.248 2 0.255 3 0.259 1 0.245 2 0.254 3 0.267 1 0.243 2 0.261 3 0.262 ; proc anova data=E411; class c ; /*分类变量c*/ model y=c; /*模型 因变量=自变量*/ run;
ANOVA 由英国统 计学家R.A.Fisher首 创，为纪念Fisher， 以F命名，故方差分析 又称 F 检验 （F test）。用于推断多 个总体均值有无差异
方差分析的基本思想
所有测量值上的总变异按照其变异的来
源分解为多个部份，然后进行比较，评价由
某种因素所引起的变异是否具有统计学意 义。
方差分析的假定条件
1. 正态性 2. 方差齐性 各处理组样本是相互独立的 相互比较的各处理组样本
随机样本，其总体服从正态分布；
的总体方差相等，即具有方差齐性 （homogeneity of variance）。