黑龙江省大庆实验中学2019届高考数学得分训练试题二理

2019年大庆实验中学得分训练（二）理科综合（考试时间：150分钟试卷满分：300分）注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2. 回答选择题时，选出每小题的正确答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

可能用到的分子量：H-1 C-12 O-16 S-32 Cl-35.5 Fe-56 Ba-137 Ni-59一、选择题：（本题共13题，每小题6分，共78分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 下列关于真核细胞结构和功能的叙述，不正确的是（）A．分泌蛋白的加工与内质网、高尔基体有关B．细胞核是细胞遗传和代谢的控制中心C．细胞膜的功能特性与膜蛋白有关而与磷脂分子无关D．不是所有细胞都具有复杂的生物膜系统2．下列有关细胞生命历程的叙述正确的是（）A．细胞的分裂、分化、衰老、坏死对生物体均有积极意义B．成人体内的造血干细胞是已发生分化的细胞C．原癌基因与抑癌基因在人体的正常细胞中不表达D．细胞分裂都有遗传物质的复制，都出现纺锤体3. 下列关于实验的叙述正确的是（）A．可用溴麝香草酚蓝水溶液鉴定乳酸菌细胞呼吸的产物B．黑藻叶片可作为观察叶绿体和质壁分离的实验材料C．在低温诱导染色体数目的变化实验中，将大蒜根尖制成装片后再进行低温处理D．健那绿染液是将活细胞中线粒体染色的专一性染料，可使线粒体呈现灰绿色4. 下列关于遗传变异的说法错误的是（）A．三倍体无子西瓜中偶尔出现一些可育的种子，原因是母本在进行减数分裂时，有可能形成正常的卵细胞B．染色体结构变异和基因突变的都可使染色体上的DNA分子碱基对排列顺序发生改变C．基因型AaBb的植物自交，若子代有三种表现型且比例为9：6：1，则子代中表现型不同于AaBb的个体所占比例为7/16D．八倍体小黑麦是由普通小麦（六倍体）和黑麦（二倍体）杂交后经染色体加倍后选育，其花药经离体培养得到的植株是可育的5. 科研人员将铁皮石斛的带芽茎段经植物组织培养得到原球茎，并探究6-BA与2，4-D诱导原球茎增殖的最适浓度组合，实验结果如下图。

2019年黑龙江省大庆市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|﹣2＜x≤2}，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1，2}B．{﹣1，0，1}C．{﹣2，﹣1，0，1}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}2．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知向量=（2，﹣1），=（3，x）．若•=3，则x=（）A．6 B．5 C．4 D．34．已知双曲线﹣=1的一条渐近线方程为y=x，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．5．已知条件p：|x﹣4|≤6，条件q：x≤1+m，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣∞，9]C．[1，9]D．[9，+∞）6．运行如图所示的程序框图，输出的结果S=（）A．14 B．30 C．62 D．1267．在二项式（x﹣）n的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数是（）A．35 B．﹣35 C．﹣56 D．568．已知α，β是两个不同的平面，l，m，n是不同的直线，下列命题不正确的是（）A．若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l⊥αB．若l∥m，l⊄α，m⊂α，则l∥αC．若α⊥β，α∩β=l，m⊂α，m⊥l，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥α，n⊥β，，则m⊥n9．已知，函数y=f（x+φ）的图象关于直线x=0对称，则φ的值可以是（）A． B． C． D．10．男女生共8人，从中任选3人，出现2个男生，1个女生的概率为，则其中女生人数是（）A．2人B．3人C．2人或3人D．4人11．已知抛物线y2=4x，过焦点F作直线与抛物线交于点A，B（点A 在x轴下方），点A1与点A关于x轴对称，若直线AB斜率为1，则直线A1B的斜率为（）A． B．C． D．12．下列结论中，正确的有（）①不存在实数k，使得方程xlnx﹣x2+k=0有两个不等实根；②已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且a2+b2=2c2，则角C的最大值为；③函数y=ln与y=lntan是同一函数；④在椭圆+=1（a＞b＞0），左右顶点分别为A，B，若P为椭圆上任意一点（不同于A，B），则直线PA与直线PB斜率之积为定值．A．①④B．①③C．①②D．②④二、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且a1+a3=，a2+a4=，则S6=．14．已知实数x、y满足约束条件，则z=2x+4y的最大值为．15．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的半径为．16．下列命题正确是，（写出所有正确命题的序号）①若奇函数f（x）的周期为4，则函数f（x）的图象关于（2，0）对称；②若a∈（0，1），则a1+a＜a；③函数f（x）=ln是奇函数；④存在唯一的实数a使f（x）=lg（ax+）为奇函数．三、解答题（本题6小题，共70分）17．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a=3，b=4，B=+A．（1）求cosB的值；（2）求sin2A+sinC的值．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA1，E、F分别是CC1，BC的中点．（1）求证：平面AB1F⊥平面AEF；（2）求二面角B1﹣AE﹣F的余弦值．19．某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况（单位：万元），将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），年上缴税收范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．（I）求直方图中x的值；（Ⅱ）如果年上缴税收不少于60万元的企业可申请政策优惠，若共抽取企业1200个，试估计有多少企业可以申请政策优惠；（Ⅲ）从企业中任选4个，这4个企业年上缴税收少于20万元的个数记为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点P（2，），离心率e=，直线l的渐近线为x=4．（1）求椭圆C的方程；（2）经过椭圆右焦点D的任一直线（不经过点P）与椭圆交于两点A，B，设直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3，问是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求出λ的值若不存在，说明理由．21．已知函数f（x）=ax+lnx，其中a为常数，设e为自然对数的底数．（1）当a=﹣1时，求f（x）的最大值；（2）若f（x）在区间（0，e]上的最大值为﹣3，求a的值；（3）设g（x）=xf（x），若a＞0，对于任意的两个正实数x1，x2（x1≠x2），证明：2g（）＜g（x1）+g（x2）．[选修4-1：几何证明选讲]22．在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t 为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=asinθ．（Ⅰ）若a=2，求圆C的直角坐标方程与直线l的普通方程；（Ⅱ）设直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍，求a的值．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+5|，且f（x）≥m恒成立．（Ⅰ）求m的取值范围；（Ⅱ）当m取最大值时，解关于x的不等式：|x﹣3|﹣2x≤2m﹣8．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|﹣2＜x≤2}，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1，2}B．{﹣1，0，1}C．{﹣2，﹣1，0，1}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}【考点】交集及其运算．【分析】根据交集的定义写出A∩B即可．【解答】解：集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|﹣2＜x≤2}，则A∩B={﹣1，0，1，2}．故选：A．2．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【分析】利用两个复数代数形式的乘法，以及虚数单位i的幂运算性质，求得复数为，它在复平面内对应的点的坐标为（，﹣），从而得出结论．【解答】解：∵复数==，它在复平面内对应的点的坐标为（，﹣），故选D ．3．已知向量=（2，﹣1），=（3，x ）．若•=3，则x=（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意， =（2，﹣1），=（3，x ）．•=3，由数量积公式可得到方程6﹣x=3，解此方程即可得出正确选项．【解答】解：∵向量=（2，﹣1），=（3，x ）．•=3， ∴6﹣x=3，∴x=3．故选D4．已知双曲线﹣=1的一条渐近线方程为y=x ，则此双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】因为焦点在 x 轴上的双曲线方程的渐近线方程为y=±，由双曲线的一条渐近线方程为y=，就可得到含a ，b 的齐次式，再把b 用a ，c 表示，根据双曲线的离心率e=，就可求出离心率的值．【解答】解：∵双曲线的焦点在x 轴上，∴渐近线方程为y=±，又∵渐近线方程为y=，∴∴ ∵b 2=c 2﹣a 2，∴化简得，即e 2=，e= 故选A5．已知条件p ：|x ﹣4|≤6，条件q ：x ≤1+m ，若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣1]B ．（﹣∞，9]C ．[1，9]D ．[9，+∞） 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】解出关于p 的不等式，根据充分必要条件的定义求出m 的范围即可．【解答】解：由|x ﹣4|≤6，解得：﹣2≤x ≤10，故p ：﹣2≤x ≤10；q ：x ≤1+m ，若p 是q 的充分不必要条件，则1+m ≥10，解得：m ≥9；故选：D．6．运行如图所示的程序框图，输出的结果S=（）A．14 B．30 C．62 D．126【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当k=6时，不满足条件k≤5，退出循环，计算输出S的值．【解答】解：模拟执行程序框图，可得k=1，S=0满足条件k≤5，S=2，k=2满足条件k≤5，S=6，k=3满足条件k≤5，S=14，k=4满足条件k≤5，S=30，k=5满足条件k≤5，S=62，k=6不满足条件k≤5，退出循环，输出S的值为62，故选：C．7．在二项式（x﹣）n的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数是（）A．35 B．﹣35 C．﹣56 D．56【考点】二项式系数的性质．【分析】根据二项式展开式中恰好第5项的二项式系数最大，得出n 的值，再利用展开式的通项公式求出展开式中含x2项的系数即可．【解答】解：∵在二项式（x﹣）n的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，∴展开式中第5项是中间项，共有9项，∴n=8；展开式的通项公式为T r+1=•x8﹣r•=（﹣1）r••x8﹣2r，令8﹣2r=2，得r=3，∴展开式中含x2项的系数是（﹣1）3•=﹣56．故选：C．8．已知α，β是两个不同的平面，l，m，n是不同的直线，下列命题不正确的是（）A．若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l⊥αB．若l∥m，l⊄α，m⊂α，则l∥αC．若α⊥β，α∩β=l，m⊂α，m⊥l，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥α，n⊥β，，则m⊥n【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据线面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面，进行判定即可．【解答】解：若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，不能推出l⊥α，缺少条件m与n相交，故不正确．故选A9．已知，函数y=f（x+φ）的图象关于直线x=0对称，则φ的值可以是（）A． B． C． D．【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；运用诱导公式化简求值；图形的对称性．【分析】化简函数的表达式，函数y=f（x+φ）的图象关于直线x=0对称，说明是偶函数，求出选项中的一个φ即可．【解答】解：=2sin（x+），函数y=f（x+φ）=2sin（x+φ+）的图象关于直线x=0对称，函数为偶函数，∴φ=故选D．10．男女生共8人，从中任选3人，出现2个男生，1个女生的概率为，则其中女生人数是（）A．2人B．3人C．2人或3人D．4人【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】设女生人数是x人，则男生（8﹣x）人，利用从中任选3人，出现2个男生，1个女生的概率为，可得=，即可得出结论．【解答】解：设女生人数是x人，则男生（8﹣x）人，∵从中任选3人，出现2个男生，1个女生的概率为，∴=，∴x=2或3，故选C．11．已知抛物线y2=4x，过焦点F作直线与抛物线交于点A，B（点A 在x轴下方），点A1与点A关于x轴对称，若直线AB斜率为1，则直线A1B的斜率为（）A． B．C． D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求得直线AB的方程，代入椭圆方程，根据直线的斜率公式及韦达定理，即可求得直线A1B的斜率．【解答】解：∵抛物线y2=4x上的焦点F（1，0），设A（x1，y1），B （x2，y2），A1（x1，﹣y1），则可设直线AB的方程为y=x﹣1联立方程，可得x2﹣6x+1=0则有x1+x2=6，x1x2=1，直线A1B的斜率k====，∴直线A1B的斜率为，故选C．12．下列结论中，正确的有（）①不存在实数k，使得方程xlnx﹣x2+k=0有两个不等实根；②已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且a2+b2=2c2，则角C的最大值为；③函数y=ln与y=lntan是同一函数；④在椭圆+=1（a＞b＞0），左右顶点分别为A，B，若P为椭圆上任意一点（不同于A，B），则直线PA与直线PB斜率之积为定值．A．①④B．①③C．①②D．②④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①，函数f（x）=xlnx﹣x2在定义域内单调，不存在实数k，使得方程xlnx﹣x2+k=0有两个不等实根；②，a2+b2=2c2≥2ab，cosC=则角C的最大值为；③，函数y=ln与y=lntan的定义域不同，不是同一函数；④，设A（﹣a，0），B（a，0），P（m，n），则b2m2+a2n2=a2b2⇒a2n2=b2（a2﹣m2）⇒直线PA与直线PB斜率之积为（定值）．【解答】解：对于①，函数f（x）=xlnx﹣x2在定义域内单调，不存在实数k，使得方程xlnx﹣x2+k=0有两个不等实根，正确；对于②，∵a2+b2=2c2，∴a2+b2=2c2≥2ab，cosC=，则角C的最大值为，故错；对于③，函数y=ln与y=lntan的定义域不同，不是同一函数，故错；对于④，设A（﹣a，0），B（a，0），P（m，n），则b2m2+a2n2=a2b2⇒a2n2=b2（a2﹣m2）⇒直线PA与直线PB斜率之积为（定值），故正确．故选：A．二、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且a1+a3=，a2+a4=，则S6=．【考点】等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1+a3=，a2+a4=，∴a2+a4==q（a1+a3）=q，解得q=．∴=，解得a1=2．则S6==故答案为：．14．已知实数x、y满足约束条件，则z=2x+4y的最大值为20．【考点】简单线性规划．【分析】先画出可行域，结合z为目标函数纵截距四倍，平移直线0=2x+4y，发现其过（0，2）时z有最大值即可求出结论．【解答】解：画可行域如图，z为目标函数z=2x+4y，可看成是直线z=2x+4y的纵截距四倍，画直线0=2x+4y，平移直线过A（2，4）点时z有最大值20故答案为：20．15．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的半径为．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图知该几何体是平放的直三棱柱，可还原为长方体，利用外接球的直径是长方体对角线的长，求出半径．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是平放的直三棱柱，且三棱柱的底面为直角三角形，高为12；可还原为长宽高是12、8、6的长方体，其外接球的直径是长方体对角线的长，∴（2R）2=122+82+62=244，即R2=61，∴半径为R=．故答案为：．16．下列命题正确是①③，（写出所有正确命题的序号）①若奇函数f（x）的周期为4，则函数f（x）的图象关于（2，0）对称；②若a∈（0，1），则a1+a＜a；③函数f（x）=ln是奇函数；④存在唯一的实数a使f（x）=lg（ax+）为奇函数．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①，若奇函数f（x）的周期为4，则f（﹣x）=f（﹣x+4）=﹣f（x），则函数f（x）的图象关于（2，0）对称；②，若a∈（0，1），1+a＜1+则a1+a＞a；③，函数f（x）=ln满足f（x）+f（﹣x）=0，且定义域为（﹣1，1），f（x）是奇函数；④，f（x）=lg（ax+）为奇函数时（ax+）（ax+）=1⇒a=±1．【解答】解：对于①，若奇函数f（x）的周期为4，则f（﹣x）=f（﹣x+4）=﹣f（x），则函数f（x）的图象关于（2，0）对称，故正确；对于②，若a∈（0，1），1+a＜1+则a1+a＞a，故错；对于③，函数f（x）=ln满足f（x）+f（﹣x）=0，且定义域为（﹣1，1），f（x）是奇函数，正确；对于④，f（x）=lg（ax+）为奇函数时，（ax+）（ax+）=1⇒a=±1，故错．故答案为：①③三、解答题（本题6小题，共70分）17．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a=3，b=4，B=+A．（1）求cosB的值；（2）求sin2A+sinC的值．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）运用正弦定理和诱导公式、以及同角公式，即可得到cosB；（2）由二倍角的正弦和余弦公式，以及诱导公式，化简计算即可得到．【解答】解（1）∵，∴cosB=cos（+A）=﹣sinA，又a=3，b=4，所以由正弦定理得，所以=，所以﹣3sinB=4cosB，两边平方得9sin2B=16cos2B，又sin2B+cos2B=1，所以，而，所以．（2）∵，∴，∵，∴2A=2B﹣π，∴sin2A=sin（2B﹣π）=﹣sin2B=又A+B+C=π，∴，∴sinC=﹣cos2B=1﹣2cos2B=．∴．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA1，E、F分别是CC1，BC的中点．（1）求证：平面AB1F⊥平面AEF；（2）求二面角B1﹣AE﹣F的余弦值．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）连结AF，由已知条件推导出面ABC⊥面BB1C1C，从而AF⊥B1F，由勾股定理得B1F⊥EF．由此能证明平面AB1F⊥平面AEF．（2）以F为坐标原点，FA，FB分别为x，y轴建立直角坐标系，利用向量法能求出二面角B1﹣AE﹣F的余弦值．【解答】（1）证明：连结AF，∵F是等腰直角三角形△ABC斜边BC 的中点，∴AF⊥BC．又∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴面ABC⊥面BB1C1C，∴AF⊥面BB1C1C，AF⊥B1F．…设AB=AA1=1，则，EF=，．∴=，∴B1F⊥EF．又AF∩EF=F，∴B1F⊥平面AEF．…而B1F⊂面AB1F，故：平面AB1F⊥平面AEF．…（2）解：以F为坐标原点，FA，FB分别为x，y轴建立直角坐标系如图，设AB=AA1=1，则F（0，0，0），A（），B1（0，﹣，1），E（0，﹣，），，=（﹣，，1）．…由（1）知，B1F⊥平面AEF，取平面AEF的法向量：=（0，，1）．…设平面B1AE的法向量为，由，取x=3，得．…设二面角B1﹣AE﹣F的大小为θ，则cosθ=|cos＜＞|=||=．由图可知θ为锐角，∴所求二面角B1﹣AE﹣F的余弦值为．…19．某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况（单位：万元），将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），年上缴税收范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．（I）求直方图中x的值；（Ⅱ）如果年上缴税收不少于60万元的企业可申请政策优惠，若共抽取企业1200个，试估计有多少企业可以申请政策优惠；（Ⅲ）从企业中任选4个，这4个企业年上缴税收少于20万元的个数记为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（I）由直方图可得：20×（x+0.025+0.0065+0.003×2）=1，解得x即可．（II）企业缴税收不少于60万元的频率=0.003×2×20=0.12，即可得出1200个企业中有1200×0.12个企业可以申请政策优惠．（III）X的可能取值为0，1，2，3，4．由（I）可得：某个企业缴税少于20万元的概率=0.0125×20=．因此X～B（4，），可得分布列为P（X=k）=，（k=0，1，2，3，4），再利用E（X）=4×即可得出．【解答】解：（I）由直方图可得：20×（x+0.025+0.0065+0.003×2）=1，解得x=0.0125．（II）企业缴税收不少于60万元的频率=0.003×2×20=0.12，∴1200×0.12=144．∴1200个企业中有144个企业可以申请政策优惠．（III）X的可能取值为0，1，2，3，4．由（I）可得：某个企业缴税少于20万元的概率=0.0125×20=0.25=．因此X～B（4，），∴分布列为P（X=k）=，（k=0，1，2，3，4），∴E（X）=4×=1．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点P（2，），离心率e=，直线l的渐近线为x=4．（1）求椭圆C的方程；（2）经过椭圆右焦点D的任一直线（不经过点P）与椭圆交于两点A，B，设直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3，问是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求出λ的值若不存在，说明理由．【考点】圆锥曲线的存在性问题；椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系；圆锥曲线的定值问题．【分析】（1）利用点在椭圆上，椭圆的离心率，求解a，b，得到椭圆方程．（2）假设存在常数λ，使得k1+k2=λk3．设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x﹣2），代入椭圆方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理，结合A、F、B共线，通过k=k AF=k BF，求出k1+k2，然后推出k1+k2=2k3．即可．【解答】解：（1）由点在椭圆上得，①②由①②得c2=4，a2=8，b2=4，故椭圆C的方程为…..（2）假设存在常数λ，使得k1+k2=λk3．由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x﹣2）③代入椭圆方程并整理得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣8=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则有④…在方程③中，令x=4得，M（4，2k），从而，，．又因为A、F、B共线，则有k=k AF=k BF，即有…所以k1+k2===⑤…将④代入⑤得k+k2=，又，所以k1+k2=2k3．故存在常数λ=2符合题意…21．已知函数f（x）=ax+lnx，其中a为常数，设e为自然对数的底数．（1）当a=﹣1时，求f（x）的最大值；（2）若f（x）在区间（0，e]上的最大值为﹣3，求a的值；（3）设g（x）=xf（x），若a＞0，对于任意的两个正实数x1，x2（x1≠x2），证明：2g（）＜g（x1）+g（x2）．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）在定义域（0，+∞）内对函数f（x）求导，求其极大值，若是唯一极值点，则极大值即为最大值．（2）在定义域（0，+∞）内对函数f（x）求导，对a进行分类讨论并判断其单调性，根据f（x）在区间（0，e]上的单调性求其最大值，并判断其最大值是否为﹣3，若是就可求出相应的最大值．（3）先求导，再求导，得到g′（x）为增函数，不妨令x2＞x1，构造函数，利用导数即可证明【解答】解：（1）易知f（x）定义域为（0，+∞），当a=﹣1时，f（x）=﹣x+lnx，，令f′（x）=0，得x=1．当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数．f（x）max=f（1）=﹣1．∴函数f（x）在（0，+∞）上的最大值为﹣1，（2）∵．①若，则f′（x）≥0，从而f（x）在（0，e]上是增函数，∴f（x）max=f（e）=ae+1≥0，不合题意，②若，则由，即由，即，从而f（x）在（0，﹣）上增函数，在（﹣，e]为减函数∴令，则，∴a=﹣e2，（3）证明：∵g（x）=xf（x）=ax2+xlnx，x＞0∴，∴g′（x）为增函数，不妨令x2＞x1令，∴，∵，∴而h（x1）=0，知x＞x1时，h（x）＞0故h（x2）＞0，即[选修4-1：几何证明选讲]22．在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t 为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=asinθ．（Ⅰ）若a=2，求圆C的直角坐标方程与直线l的普通方程；（Ⅱ）设直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍，求a的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）直接把极坐标方程和参数方程转化成直角坐标方程．（Ⅱ）利用点到直线的距离公式，建立方程求出a 的值．【解答】解：（Ⅰ）当a=2时，ρ=asinθ转化为ρ=2sinθ整理成直角坐标方程为：x2+（y﹣1）2=1直线的参数方程（t为参数）．转化成直角坐标方程为：4x+3y ﹣8=0（Ⅱ）圆C的极坐标方程转化成直角坐标方程为：直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍，所以：2|3a﹣16|=5|a|，利用平方法解得：a=32或．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+5|，且f（x）≥m恒成立．（Ⅰ）求m的取值范围；（Ⅱ）当m取最大值时，解关于x的不等式：|x﹣3|﹣2x≤2m﹣8．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】对第（1）问，由m≤f（x）恒成立知，m≤f（x）min，只需求得f（x）的最小值即可．对第（2）问，先将m的值代入原不等式中，再变形为|x﹣3|≤4+2x，利用“|g（x）|≤h（x）⇔﹣h（x）≤g（x）≤h（x）”，可得其解集．【解答】解：（Ⅰ）要使f（x）≥m恒成立，只需m≤f（x）min．由绝对值不等式的性质，有|2x﹣1|+|2x+5|≥|（2x﹣1）+（2x+5）|=6，即f（x）min=6，所以m≤6．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，m=6，所以原不等式化为|x﹣3|﹣2x≤4，即|x ﹣3|≤4+2x，得﹣4﹣2x≤x﹣3≤4+2x，转化为，化简，得，所以原不等式的解集为．。

2019年大庆实验中学数学（理）得分训练(二)参考答案一、选择题DABDD DBBDC BD 二、填空题13. 2.2 14. 4 15. ln 33,3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 三、解答题 17.解析：（1）由11S =，得11a =．……………………………………………………………………1分又对任意正整数n ， 111n n n S n S S n +++=-+都成立，即11(1)(1)(1)n n n S n n n S n S ++++=+-+， 所以1(1)(1)n n nS n S n n +-+=+，所以111n n S Sn n+-=+， (3)分即数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为公差，1为首项的等差数列．……………………………………………4分 所以nS n n=，即2n S n =，得121(2)n n n a S S n n -=-=-≥， (5)分 又由11a =，所以2n a n n N *=-∈．……………………………………………………………6分解法2：由1111n n n n S n S S a n ++++=-=+，可得11(1)(1)n n S n n n a ++++=+， 当2n ≥时，(1)n n S n n na +-=，两式相减，得112(1)n n n a n n a na +++=+-，整理得12n n a a +-=，在111n n S n a n +++=+中，令2n =，得2212Sa +=，即22122a a ++=，解得23a =，212a a ∴-=，所以数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，12(1)21n a n n ∴=+-=-．（2）由（1）可得2122n n n na nb -==，…………………………………………………………………7分 所以23113522222n n nn n T ---=+++++， ①………………………………………………8分 则234111352321222222n nn n n T +--=+++++， ②……………………………………………9分-①②，得2341112222212222222n n n n T +-=+++++-，………………………………………10分整理得1113221323222222n n n n n n T ++-+=--=-， (11)分所以2332n nn T +=-． (12)分 18.（1）因为的观测值4.000 3.841=> ，所以有的把握认为“生产能手”与性别有关.（2）当员工每月完成合格产品的件数为3000件时，得计件工资为 元， 由统计数据可知，男员工实得计件工资不少于3100元的概率为，女员工实得计件工资不少于3100元的概率为， 设2名女员工中实得计件工资不少于3100元的人数为，1名男员工中实得计件工资在3100元以及以上的人数为，则，，的所有可能取值为，，，，，，，，故 .19.（1） 为矩形，且平面 平面 ， 平面 ，又 ，所以可以以 为原点建立如图所示空间直角坐标系，则 ，． （2） ， 设平面 的法向量为 ，则， 令 ，得 ．设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，得 ．， 因为二面角 为锐角，所以二面角 的余弦值为． 20. 解：（Ⅰ）由解得 得椭圆 的方程为.（Ⅱ）当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 或 ，此时四边形 的面积为 ．当直线 的斜率存在时，设直线 方程是 ，联立椭圆方程，点 到直线 的距离是由 得因为点 在曲线 上，所以有整理得由题意四边形 为平行四边形，所以四边形 的面积为由 得 , 故四边形 的面积是定值，其定值为 ．21. 解：（1）f （x ）＝（x 2+x ）lnx +2x 3+x 2﹣x的导数为f ′（x ）＝（2x +1）lnx +（x 2+x ）•+6x 2+2x ﹣1＝（2x +1）（lnx +3x ）， 可得切线的斜率为9，切点为（1，2），则切线方程为y ﹣2＝9（x ﹣1），即y ＝9x ﹣7； （2）f ′（x ）＝（2x +1）lnx +（x 2+x ）•+6x 2+2（1﹣a ）x ﹣a ﹣1＝（2x +1）（lnx +3x ﹣a ）， 令h （x ）＝lnx +3x ﹣a ，则h （x ）在（0，+∞）上单调递增，()0a h e > 若()330,330a h e e a --≥=-+-< ，若()330,330a a a h e e --<=-< ∴存在唯一一个x 0∈（0，+∞），使得h （x 0）＝0，即a ＝3x 0+lnx 0． 当0＜x ＜x 0时，f ′（x ）＜0，当x ＞x 0时，f ′（x ）＞0， ∴f （x ）在（0，x 0）上单调递减，在（x 0，+∞）上单调递增． ∴f min （x ）＝f （x 0）＝（x 02+x 0）lnx 0+2x 03+（1﹣a ）x 02﹣（a +1）x 0+b ＝（x 02+x 0）lnx 0+2x 03+（1﹣3x 0﹣lnx 0）x 02﹣（3x 0+lnx 0+1）x 0+b ＝﹣x 03﹣2x 02﹣x 0+b ．∵f （x ）≥0恒成立， ∴﹣x 03﹣2x 02﹣x 0+b ≥0，即b ≥x 03+2x 02+x 0．∴b ﹣2a ≥x 03+2x 02+x 0﹣2a ＝x 03+2x 02+x 0﹣6x 0﹣2lnx 0＝x 03+2x 02﹣5x 0﹣2lnx 0， 设φ（x ）＝x 3+2x 2﹣5x ﹣2lnx ，x ∈（0，+∞），3x（x﹣1）+＝，则φ′（x）＝3x2+4x﹣5﹣＝2∴当0＜x＜1时，φ′（x）＜0，当x＞1时，φ′（x）＞0，∴φ（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴φ（x）≥φ（1）＝﹣2．∴当x0＝1时，即a＝3x0+lnx0＝3，b＝x03+2x02+x0＝4时，b﹣2a取得最小值﹣2．22. 将椭圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，得曲线C，设为椭圆上的点，在已知变换下变为C上点，依题意，得．由，得，曲线C的普通方程为．直线l的极坐标方程为．直线l的直角坐标方程为．点且直线l与曲线C交于A、B两点，在直线l上，把直线l的参数方程代入，得：，则，．．23.【详解】解：（1）因为.当时取等号，故，即.（2）由（1）知，则，等号当且仅当，即时成立.∵，∴.。

2019年大庆实验中学数学（理）得分训练（一）参考答案参考答案:1．B 2．C 3．A 4．A 5．B 6．C 7．B 8．A 9.D 10．A 11．B 12.C13．答案：y ＝x ＋7或y ＝x －1 14．(3)(4) 15．64. 16．17. （1）(cos )a x x =-，2()sin cos f x a b x x x =⋅=-1sin 2sin(2)22232x x x π=--=-－()f x ∴的最大值为12-………………4分 此时22,32x k πππ-=+ 即512x k ππ=+ k z ∈ 5=,12M x x k k Z ππ⎧⎫∴=+∈⎨⎬⎩⎭………………6分 （2）24C M π+∈ 52412C k πππ∴+=+ 23C k ππ=+, (0,)C π∈ 3C π∴= ………………7分 1c =由2222cos c b a ab c =+-得222c a b ab =+- 22223()()()3()44a b a b a b ab a b ++=+-≥+-= 2a b ∴+≤ ………………10分又1a b +> ………………11分故23a b c <++≤，即周长的范围为(]2,3∈. ………………12分 18. 解：（1）由已知数据可得 ， .所以相关系数. 因为 ，所以 与 具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型拟合 与 的关系.（2）由（1）可知，，所以与之间线性回归方程为.当时，.（3），而，故2019年3月该城市的网约车已对城市交通带来较大的影响，交通管理部门将介入进行治理19. 4.在平面ABE内，过点作（或）的平行线，即为所求直线.和交于一点，四点共面.又四边形边长均相等.四边形为菱形，从而.又平面，且平面，平面.平面，且平面平面，.取的中点，连结，.，，，.又，平面，平面，故.又四边形为菱形，.又，平面.又平面，平面平面.由，即.设三棱锥的高为，则，解得.又，平面.建立如图的空间直角坐标系，则，，，.，，.由得，平面的一个法向量为.又，于是.故直线与平面所成角的正弦值为.20. 解：（1）由题设条件可得，，解得，∴，所以椭圆的方程为（2）当矩形的一组对边斜率不存在时，得矩形的面积当矩形四边斜率都存在时，不防设，所在直线斜率为，则，斜率为，设直线的方程为，与椭圆联立可得，由，得显然直线的直线方程为，直线，间的距离，同理可求得，间的距离为所以四边形面积为（等号当且仅当时成立）又，故由以上可得外切矩形面积的取值范围是21. 解：（1）G（x）＝﹣a sin x+lnx，则G′（x）＝﹣a cos x，由于x∈（0，1），故＞1，又a∈[0，1]，cos x∈[﹣1，1]，故a cos x≤1，故﹣a cos x＞0，即G′（x）＞0在（0，1）上恒成立，故G（x）在（0，1）递增；（2）F（x）＝e x sin x，由对任意x∈[0，]，F（x）≥kx恒成立，设h（x）＝e x sin x﹣kx，则h′（x）＝e x sin x+e x cos x﹣k，再设m（x）＝e x sin x+e x cos x﹣k，则m′（x）＝2e x cos x≥0，因此m （x ）在[0，]递增，故m （x ）≥m （0）＝1﹣k ，①当k ≤1时，m （x ）≥0即h ′（x ）≥0，h （x ）在[0，]递增，故h （x ）≥h （0）＝0，即k ≤1适合题意，②当k ＞1时，m （0）＝1﹣k ＜0，m （）＝﹣k ，若﹣k ＜0，则取x 0＝，x ∈（0，x 0）时，m （x ）＜0，若﹣k ≥0，则在（0，]上m （x ）存在唯一零点，记为x 0，当x ∈（0，x 0）时，m （x ）＜0，总之，存在x 0∈（0，]使x ∈（0，x 0）时m （x ）＜0，即h ′（x ）＜0，故h （x ）递减，h （x ）＜h （0）＝0，故k ＞1时，存在（0，x 0）使h （x ）＜0，不合题意，综上，{}|1k k ≤．22. （1）由得， 所以曲线的方程为， 设曲线上任意一点，变换后对应的点为， 则 即 代入曲线的方程中，整理得, 所以曲线的直角坐标方程为；（2）设，则到直线：的距离为，其中为锐角，且，当时，取得最大值为，所以点到直线l距离的最大值为．23.（1）依题意， ,由得，,，解得， ,解得，或 ,不等式的解集为 .（2）依题意，无零点,。

黑龙江省大庆实验中学2019届高考数学得分训练试题（二）文一、单选题（共12小题，共60分）1．设全集{}|15U x N x =∈-<<，集合{}13A =，，则集合U C A 的子集的个数是（ ） A ．16 B ．8 C ．7 D ．42．下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ）A ． ()21i i +B ．()21i i - C ．()21i + D ．()1i i +3．数列{}n a 的通项公式2328n a n n =-，则数列{}n a 各项中最小项是（ ）A ．第4项B ．第5项C ．第6项D ．第7项4．在矩形ABCD 中，2AB BC == ，点E 为BC 的中点，点F 在CD 上，若AB AF ⋅=u ur u u r u u AE BF ⋅uu u r uu u r的值是（ ）A B ．．5．已知函数()f x 的图象如图所示，则函数()f x 的解析式可能是（ ）A ．()()244log x x f x x -=+ B ．()()244log x x f x x -=-C ．()()1244logxxf x x -=+ D ．()()44x x f x x -=+6．某程序框图如图所示，若输出3S = ，则判断框中M 为（ ） A ． 14?k < B ．14?k ≤ C ．15?k ≤ D ．15?k >7．实数，满足，则的最大值为（ ） A.3B. 4C.18D. 248．在区间[]2,2-上随机取一个数b ,若使直线y x b =+与圆22x y a +=有交点的概率为12，则 a = ( ) A ．14 B ．12C ．1D ．2 9．若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如图所示，则所截去的三棱锥．．．．．．的外接球的表面积等于（ ）A ．34πB ．32πC ．17πD ．172π 10．若将函数()2cos sin cos 1y x x x =+-的图象向左平移ϕ个单位，得到函数是偶函数，则ϕ的最小正值是（ ）A ．8π B ．38π C ．2π D ．34π11．设函数()21,25,2xx f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩ ，若互不相等的实数,,a b c 满足()()()f a f b f c == ，则222a b c++的取值范围是( )A ．()16,32B ．()18,34C ．()17,35D ．()6,712．在平面直角坐标系xOy 中，点P 为椭圆2222:1(0)y x C a b a b+=>>的下顶点，M N ，在椭圆上，若四边形OPMN 为平行四边形，α为直线ON 的倾斜角，若64ππα∈（,]，则椭圆C 的离心率的取值范围为 ( )A.B.C.D.二、填空题（共4小题，共20分）13．曲线xy e ＝在点()0,1处的切线方程为________．14．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确命题的序号是________．(1)若////,m n αα，则//m n (2)若,m m n α⊥⊥ 则//n α(3)若m α⊥,n β⊥ 且m n ⊥ ，则αβ⊥ (4)若m β⊂,//αβ ，则//m α 15．设圆上的点A(2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点仍在圆上，且与直线x －y ＋1＝0相交的弦长为2，则圆的方程为________．16.已知定义在上的偶函数的导函数为，对定义域内的任意，都有成立，则使得成立的的取值范围为________．三. 解答题 17.（本题满分12分）已知向量3sin(),3sin (),(sin ,cos ),()22a x x b x x f x a b ππ⎛⎫=--==⋅ ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的最大值及()f x 取最大值时x 的取值集合M ；（2）在△ABC 中，,,a b c 是角,,A B C 的对边，若24C M π+∈且1c =，求△ABC 的周长的取值范围.18．（本题满分12分）如图，在边长为3的正方形ABCD中，点分别在上（如图1），且，将分别沿折起，使两点重合于点（如图2）.（1）求证：；（2）当时，求点到平面的距离.19．（本题满分12分）某小学举办“父母养育我，我报父母恩”的活动，对六个年级（一年级到六年级的年级代码分别为）的学生给父母洗脚的百分比进行了调查统计，绘制得到下面的散点图.由散点图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明.建立关于的回归方程，并据此预计该校学生升入中学的第一年（年纪代码为）给父母洗脚的百分比.附注：参考数据：参考公式：相关系数,若，则与的线性相关程度相当高，可用线性回归模型拟合与的关系.回归方程中20．（本题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>> ，右焦点为F ，以原点O 为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切.（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，过定点()2,0P 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，连接AF 并延长交C 于M ，求证：.PFM PFB ∠=∠21．（本题满分12分）已知函数()()221ln 0.2f x x a x a =->Ⅰ讨论()f x 的单调性；Ⅱ若()f x 在[]1,e 上没有零点，求a 的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做。

2019年黑龙江省大庆实验中学高考数学二模试卷（理科）（二）（5月份）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1. 设全集U＝R，集合A＝{x|1og2x≤2}，B＝{x|(x−3)(x+1)≥0}，则(∁U B)∩A＝（）A.(−∞, −1]B.(−∞, −1]∪(0, 3)C.[0, 3)D.(0, 3)【答案】D【考点】交、并、补集的混合运算【解析】根据题意，先求出集合A，B，进而求出B的补集，进而根据交集的定义，可得答案．【解答】∵集合A＝{x|1og2x≤2}＝(0, 4]，B＝{x|(x−3)(x+1)≥0}＝(−∞, −1]∪[3, +∞)，∴∁U B＝(−1, 3)，∴(∁U B)∩A＝(0, 3)，2. i是虚数单位，(1+i1−i)2019=()A.iB.−iC.1D.−1【答案】B【考点】虚数单位i及其性质复数的运算复数的基本概念【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚数单位i的性质计算．【解答】∵1+i1−i =(1+i)2(1−i)(1+i)=i，∴(1+i1−i)2019=i2019＝(i4)504⋅i3＝−i．3. 执行如图所示的程序框图，则输出的i的值为（）A.4B.5C.6D.7【答案】B【考点】程序框图【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算S，i并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】第一次执行循环体后，i＝2，s＝lg2，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，i＝3，s＝lg6，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，i＝4，s＝lg24，不满足退出循环的条件；第四次执行循环体后，i＝5，s＝lg120>2，满足退出循环的条件；故输出i值为5，4. 若α∈(0, π)，且3sinα+2cosα＝2，则tanα2等于（）A.2 3B.12C.√32D.32【答案】D【考点】半角公式【解析】由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得要求式子的值．【解答】∵α∈(0, π)，且3sinα+2cosα＝6sinα2cosα2+2(2cos2α2−1)＝2，∴6sinα2cosα2+4cos2α2=4，即3sinα2cosα2+2cos2α2=2，∴3sinα2cosα2+2cos2α2sin2α2+cos2α2=3tanα2+2tan2α2+1=2，解得tanα2=32，或tanα2=0（舍去），5. 已知a =(13)23,b =(12)23,c =log 3π，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A.a >b >cB.a >c >bC.c >a >bD.c >b >a【答案】 D【考点】 对数值大小的比较 【解析】容易得出(13)23<(12)23<1,log 3π>1，从而得出a ，b ，c 的大小关系．【解答】(13)23<(12)23<(12)0=1,log 3π>log 33＝1；∴ c >b >a ．6. 已知函数f(x)=Asin(πx +φ)的部分图象如图所示，点B ，C 是该图象与x 轴的交点，过点C 的直线与该图象交于D ，E 两点，则(BD →+BE →)⋅(BE →−CE →)的值为( )A.−1B.−12 C.12D.2【答案】 D【考点】向量的线性运算性质及几何意义 平面向量数量积y=Asin （ωx+φ）中参数的物理意义 【解析】根据三角函数的图象和性质，求出函数的周期，利用向量的基本运算和向量的数量积定义即可得到结论． 【解答】解：∵ 函数f(x)=Asin(πx +φ)的周期T =2ππ=2，则BC =T2=1，则C 点是一个对称中心， 则根据向量的平行四边形法则可知： BD →+BE →=2BC →，BE →−CE →=BC →∴ (BD →+BE →)⋅(BE →−CE →)=2BC →⋅BC →=2|BC →|2=2×12=2．故选D ．7. 已知A(3, 2)，若点P 是抛物线y 2＝8x 上任意一点，点Q 是圆(x −2)2+y 2＝1上任意一点，则|PA|+|PQ|的最小值为（ ） A.3 B.4 C.5 D.6【答案】 B【考点】圆与圆锥曲线的综合问题 【解析】求得抛物线的准线方程和焦点坐标，过点P 作PB 垂直准线l ，垂足为B ，由抛物线的定义和当A 、P 、B 三点共线时|PA|+|PQ|取最小值，结合图象即可求出． 【解答】抛物线y 2＝8x 的焦点F(2, 0)，准线l:x ＝−2， 圆(x −2)2+y 2＝1的圆心为F(2, 0)，半径r ＝1， 过点P 作PB 垂直准线l ，垂足为B ， 由抛物线的定义可知|PB|＝PF|，则|PA|+|PQ|≥|PA|+|PF|−r ＝|PA|+|PB|−1， ∴ 当A 、P 、B 三点共线时|PA|+|PB|取最小值， ∴ |PA|+|PQ|≥|PA|+|PB|−1≥(3+2)−1＝4． 即有|PA|+|PQ|取得最小值4．8. 已知O 是坐标原点，点A(−1, 1)，若点M(x, y)为平面区域{x +y ≥2x −1≤00<y −1≤1 上的一个动点，则AO →⋅OM →的取值范围是（ ） A.[−2, 0] B.[−2, 0)C.[0, 2]D.(0, 2]【答案】 B【考点】 简单线性规划 【解析】作出不等式组对应的平面区域，设z =AO →⋅OM →，求出z 的表达式，利用z 的几何意义，利用数形结合即可得到结论． 【解答】不等式组等价为{x +y ≥2x ≤11<y ≤2 ， 作出不等式组对应的平面区域如图： 设z =AO →⋅OM →， ∵ A(−1, 1)，M(x, y)， ∴ z =AO →⋅OM →=x −y ，即y ＝x −z ，平移直线y ＝x −z ，由图象可知当y ＝x −z ，经过点D(0, 2)时，直线截距最大，此时z 最小为z ＝0−2＝−2．当直线y ＝x −z ，经过点B(1, 1)时，直线截距最小，此时z 最大为z ＝1−1＝0． 故−2≤z <0，9. 有红、蓝、黄三种颜色的球各7个，每种颜色的7个球分别标有数字1、2、3、4、5、6、7，从中任取3个标号不同的球，这3个颜色互不相同且所标数字互不相邻的取法种数为（）A.42B.48C.54D.60【答案】D【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】所标数字互不相邻的方法有10种，这3种颜色互不相同有A33种，根据分步计数原理，颜色互不相同且所标数字互不相邻的有10×A33种．【解答】所标数字互不相邻的方法有：135，136，137，146，147，157，246，247，257，357，共10种方法．这3种颜色互不相同有A33＝3×2×1＝6种，∴这3种颜色互不相同且所标数字互不相邻的有10×6＝60种．10. 面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长为a i(i＝1, 2, 3, 4)，此四边形内任一点P到第i条边的距离为ℎi(i＝1, 2, 3, 4)，若a11=a22=a33=a44=k，则ℎ1+2ℎ2+3ℎ3+4ℎ4=2Sk．根据以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为S i(i＝1, 2, 3, 4)，此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为H i(i＝1, 2, 3, 4)，若S11=S22=S33=S44=k，则H1+2H2+3H3+4H4＝（）A.Vk B.3VkC.4VkD.8Vk【答案】B【考点】类比推理【解析】由a11=a22=a33=a44=k可得a i＝ik，P是该四边形内任意一点，将P与四边形的四个定点连接，得四个小三角形，四个小三角形面积之和为四边形面积，即采用分割法求面积；同理对三棱值得体积可分割为5个已知底面积和高的小棱锥求体积．【解答】根据三棱锥的体积公式V=13Sℎ得：13S1H1+13S2H2+13S3H3+13S4H4=V，即S1H1+S2H2+S3H3+S4H4＝3V，∴H1+2H2+3H3+4H4=3VK，即∑4i=1(iH i)=3VK．11. 已知点M 、N 分别是直线l 1:3x +4y +6＝0和l 2:3x +4y −12＝0上的动点，点P(m, n)满足MP →=2PN →，则m 2+n 2的最小值为（ ） A.6425 B.3625C.1625D.0【答案】 B【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】先由MP →=2PN →得3m +4n −6＝0，再设m 2+n 2＝t(t >0)，利用直线3m +4n −6＝0与圆m 2+n 2＝r 有交点，圆心到直线距离小于等于半径，解不等式即可． 【解答】设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，则3x 1+4y 1+6＝0，3x 2+4y 2−12＝0，又MP →=2PN →，所以m −x 1＝2(x 2−m)，n −y 1＝2(y 2−n)， ∴ x 1＝3m −2x 2，y 1＝3n −2y 2，∴ 3(3m −2x 2)+4(3n −2y 2)+6＝0， 即3x 2+4y 2−92m −6n −3＝0，又 3x 2+4y 2−12＝0，所以−92m −6n −3＝−12 ∴ 3m +4n ＝6， 设m 2+n 2＝t(t >0)则由直线3m +4n ＝6与圆m 2+n 2＝r 有交点，得√32+42≤√t ， t ≥3625，即m 2+n 2的最小值为：3625，12. 球O 为边长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的内切球，P 为球O 的球面上动点，M 为B 1C 1中点，DP ⊥BM ，则点P 的轨迹周长为（ ） A.√33π B.2√33π C.2√55πD.4√55π【答案】 D【考点】球内接多面体 【解析】取BB 1的中点N ，连接CN ，确定点P 的轨迹为过D ，C ，N 的平面与内切球的交线，求出截面圆的半径，即可得出结论． 【解答】由题意，取BB 1的中点N ，连接CN ，则CN ⊥BM ，∵ 正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1，∴ CN 为DP 在平面B 1C 1CB 中的射影， ∴ 点P 的轨迹为过D ，C ，N 的平面与内切球的交线， ∵ 正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的边长为2， ∴ O 到过D ，C ，N 的平面的距离为√55，∴截面圆的半径为√1−15=2√55，∴点P的轨迹周长为4√55π．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）已知x，y的取值如表：若x，y具有线性相关关系，且回归方程为y^=0.95x+2.6，则a＝________．【答案】2.2【考点】求解线性回归方程【解析】求出样本中心点，代入y^=0.95x+2.6，可得a的值．【解答】由题意，x=14(0+1+3+4)＝2，y=14(a+4.3+4.8+6.7)=14(15.8+a)，代入y^=0.95x+2.6可得14(15.8+a)＝0.95×2+2.6，∴a＝2.2．已知正项数列{a n}中，a1＝1，a2＝2，2a n+12=a n+22+a n2，n∈N∗，则a6等于________．【答案】4【考点】数列递推式【解析】首先求出数列的通项公式，进一步求出结果．【解答】正项数列{a n}中，a1＝1，a2＝2，2a n+12=a n+22+a n2，所以：数列{a n2}是以a12=1为首项，以a22−a12=3为公差的等差数列．故：a n2=1+3(n−1)=3n−2，所以：a62=18−2=16，所以：a6＝4，若△ABC的内角满足sinA+√2sinB＝2sinC，则cosC的最小值是________．【答案】√6−√24【考点】正弦定理余弦定理【解析】根据正弦定理和余弦定理，利用基本不等式即可得到结论．【解答】由正弦定理得a+√2b＝2c，得c=12(a+√2b)，由余弦定理得cosC=a2+b2−c22ab =a2+b2−14(a+√2b)22ab=34a2+12b2−√22ab2ab=34a2+12b22ab−√24≥2⋅√32a⋅√22b2ab−√24=√6−√24，当且仅当√32a=√22b时，取等号，故√6−√24≤cosC<1，故cosC的最小值是√6−√24．已知函数y＝(e m)x的图象与函数y＝x3的图象在(0, 27]内有两个公共点，则m的取值范围是________[ln33,3e )．【答案】[ln33, 3e)【考点】函数与方程的综合运用【解析】由(e m)x＝x3求得m，求导判断单调性，通过x的取值范围，解得m的取值范围．【解答】由题意得，(e m)x＝x3，两边取自然对数，解得m=31nxx；x在(0, 27]内m′=3−31nxx =0解得x＝e，故当x＝e时m取得最大値m=3e，当x＝27时m取得最小値m=ln33．故m的取值范围是[ln33, 3e )．三、解答题（共6大题，选作题10分，其它每题12分，共70分）已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S1＝1，且对任意正整数n，都有S n+1n+1+n=S n+1−S n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=a n2n，求数列{b n}的前n项和T n．【答案】由S1＝1，得a1＝1．又对任意正整数n，S n+1n+1+n=S n+1−S n都成立，即S n+1+n(n+1)＝(n+1)S n+1−(n+1)S n，所以nS n+1−(n+1)S n＝n(n+1)，所以S n+1n+1−S nn=1．即数列{S nn}是以1为公差，1为首项的等差数列．所以S nn=n，即S n=n2，得a n＝S n−S n−1＝2n−1(n≥2)，又由a1＝1，所以a n=2n−1(n∈N∗)．解法2：由S n+1n+1+n=S n+1−S n=a n+1，可得S n+1+n(n+1)＝(n+1)a n+1，当n≥2时，S n+n(n−1)＝na n，两式相减，得a n+1+2n＝(n+1)a n+1−na n，整理得a n+1−a n＝2，在S n+1n+1+n=a n+1中，令n＝2，得S22+1=a2，即1+a2+2＝2a2，解得a2＝3，∴a2−a1＝2，所以数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，∴a n＝1+2(n−1)＝2n−1．由（1）可得b n=a n2n =2n−12n，所以T n=12+322+523+⋯+2n−32n−1+2n−12n，①则12T n=122+323+524+⋯+2n−32n+2n−12n+1，②①-②，得12T n=12+22+22+22+⋯+22−2n−12，整理得12T n=32−22n−2n−12n+1=32−2n+32n+1，所以T n=3−2n+32n．【考点】数列递推式【解析】（1）首先利用递推关系式求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用乘公比错位相减法求出数列的和．【解答】由S1＝1，得a1＝1．又对任意正整数n，S n+1n+1+n=S n+1−S n都成立，即S n+1+n(n+1)＝(n+1)S n+1−(n+1)S n，所以nS n+1−(n+1)S n＝n(n+1)，所以S n+1n+1−S nn=1．即数列{S nn}是以1为公差，1为首项的等差数列．所以S nn=n，即S n=n2，得a n＝S n−S n−1＝2n−1(n≥2)，又由a1＝1，所以a n=2n−1(n∈N∗)．解法2：由S n+1n+1+n=S n+1−S n=a n+1，可得S n+1+n(n+1)＝(n+1)a n+1，当n≥2时，S n+n(n−1)＝na n，两式相减，得a n+1+2n＝(n+1)a n+1−na n，整理得a n+1−a n＝2，在S n+1n+1+n=a n+1中，令n＝2，得S22+1=a2，即1+a2+2＝2a2，解得a2＝3，∴a2−a1＝2，所以数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，∴a n＝1+2(n−1)＝2n−1．由（1）可得b n=a n2=2n−12，所以T n=12+32+52+⋯+2n−32+2n−12，①则12T n=122+323+524+⋯+2n−32n+2n−12n+1，②①-②，得12T n=12+222+223+224+⋯+22n−2n−12n+1，整理得12T n=32−22−2n−12=32−2n+32，所以T n=3−2n+32n．某工厂共有男女员工500人，现从中抽取100位员工对他们每月完成合格产品的件数统计如下：（1）其中每月完成合格产品的件数不少于3200件的员工被评为“生产能手”由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“生产能手”与性别有关？（2）为提高员工劳动的积极性，工厂实行累进计件工资制：规定每月完成合格产品的件数在定额2600件以内的，计件单价为1元；超出(0, 200]件的部分，累进计件单价为1.2元；超出(200, 400]件的部分，累进计件单价为1.3元；超出400件以上的部分，累进计件单价为1.4元，将这4段中各段的频率视为相应的概率，在该厂男员工中随机选取1人，女员工中随机选取2人进行工资调查，设实得计件工资（实得计件工资＝定额计件工资+超定额计件工资）不少于3100元的人数为Z ，求Z 的分布列和数学期望． 附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，【答案】列联表：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(48×8−42×2)250×50×90×10=4>3.841．∴ 有95%的把握认为“生产能手”与性别有关．当员工每月完成合格产品的件数为3000时，实得计件工资为2600×1+200×1.2+200×1.3＝3100元．从已知可得男员工实得计件工资不少于3100元的概率p 1=25，女员工实得计件工资不少于3100元的概率p 1=12．在该厂男员工中随机选取1人，女员工中随机选取2人进行工资调查，实得计件工资不少于3100元的人数为Z ＝0，1，2，3，P(Z ＝0)=(1−12)2×(1−25)=320，P(Z ＝1)=C 21×12×(1−12)×(1−25)+(1−12)2×25=820．P(Z ＝2)=(12)2×(1−25)+C 21×12×(1−12)×25=720， P(Z ＝3)=220． ∴ Z 的分布列：E(Z)＝0×320+1×820+2×720+3×220=75 【考点】 独立性检验离散型随机变量的期望与方差 离散型随机变量及其分布列 【解析】（1）求得K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(48×8−42×2)250×50×90×10=4>3.841．即可判定有95%的把握认为“生产能手”与性别有关．（2）可计算得当员工每月完成合格产品的件数为3000时，实得计件工资为3100元．从已知可得男员工实得计件工资不少于3100元的概率p 1=25，女员工实得计件工资不少于3100元的概率p 1=12．可得Z ＝0，1，2，3，计算相应的概率即可． 【解答】 列联表：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(48×8−42×2)250×50×90×10=4>3.841．∴ 有95%的把握认为“生产能手”与性别有关．当员工每月完成合格产品的件数为3000时，实得计件工资为2600×1+200×1.2+200×1.3＝3100元．从已知可得男员工实得计件工资不少于3100元的概率p 1=25，女员工实得计件工资不少于3100元的概率p 1=12．在该厂男员工中随机选取1人，女员工中随机选取2人进行工资调查，实得计件工资不少于3100元的人数为Z ＝0，1，2，3，P(Z ＝0)=(1−12)2×(1−25)=320，P(Z ＝1)=C 21×12×(1−12)×(1−25)+(1−12)2×25=820．P(Z ＝2)=(12)2×(1−25)+C 21×12×(1−12)×25=720， P(Z ＝3)=220． ∴ Z 的分布列：E(Z)＝0×320+1×820+2×720+3×220=75如图，已知四边形ABCD为梯形，AB // CD，∠DAB＝90∘，BDD1B1为矩形，平面BDD1B1⊥平面ABCD，又AB＝AD＝BB1＝1，CD＝2．（1）证明：CB1⊥AD1；（2）求二面角B1−AD1−C的余弦值．【答案】∵BDD1B1为矩形，且平面BDD1B1⊥平面ABCD，∴BB1⊥平面ABCD，DD1⊥平面ABCD，在Rt△D1DC中，D1C=√5，AD1=√2，AB1=√2，连结AC=√5，BC=√2，从而B1C=√3，在△B1D1C中，D1C=√5，B1D1＝BD=√2，B1C=√3，∴B1C⊥AB1，∵B1D1∩AB1＝B1，∴B1C⊥面B1D1A，又AD1⊂平面B1D1A，∴CB1⊥AD1．取AD1中点E，连结B1E，CE，由B1D1＝AB1=√2，知B1E⊥AD1，由CD1＝AC=√5，知CE⊥AD1，由（1）知B1C⊥面B1D1A，则∠B1EC＝90∘，∴∠B1EC是二面角B1−AD1−C的平面角，又B1E=√32⋅√2=√62，tan∠B1EC=√3√62=√2，∴cos∠B1EC=√3=√33，∴二面角B1−AD1−C的余弦值为√33．【考点】二面角的平面角及求法B 1C =√3，进而B 1C ⊥AB 1，B 1C ⊥面B 1D 1A ，由此能证明CB 1⊥AD 1．（2）取AD 1中点E ，连结B 1E ，CE ，推导出B 1E ⊥AD 1，CE ⊥AD 1，从而B 1C ⊥面B 1D 1A ，进而∠B 1EC 是二面角B 1−AD 1−C 的平面角，由此能求出二面角B 1−AD 1−C 的余弦值． 【解答】∵ BDD 1B 1为矩形，且平面BDD 1B 1⊥平面ABCD ， ∴ BB 1⊥平面ABCD ，DD 1⊥平面ABCD ，在Rt △D 1DC 中，D 1C =√5，AD 1=√2，AB 1=√2， 连结AC =√5，BC =√2，从而B 1C =√3，在△B 1D 1C 中，D 1C =√5，B 1D 1＝BD =√2，B 1C =√3， ∴ B 1C ⊥AB 1，∵ B 1D 1∩AB 1＝B 1，∴ B 1C ⊥面B 1D 1A ， 又AD 1⊂平面B 1D 1A ，∴ CB 1⊥AD 1． 取AD 1中点E ，连结B 1E ，CE ，由B 1D 1＝AB 1=√2，知B 1E ⊥AD 1， 由CD 1＝AC =√5，知CE ⊥AD 1，由（1）知B 1C ⊥面B 1D 1A ，则∠B 1EC ＝90∘， ∴ ∠B 1EC 是二面角B 1−AD 1−C 的平面角，又B 1E =√32⋅√2=√62，tan∠B 1EC =√3√62=√2，∴ cos∠B 1EC =√3=√33， ∴ 二面角B 1−AD 1−C 的余弦值为√33．已知椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为√22，焦点分别为F 1，F 2，点P 是椭圆C 上的点，△PF 1F 2面积的最大值是2．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，点D 是椭圆C 上的点，O 是坐标原点，若OM →+ON →=OD →，判定四边形OMDN 的面积是否为定值？若为定值，求出定值；如果不是，请说明理由． 【答案】 （1）由{ca=√22bc =2a 2=b 2+c 2，解得a =2,b =c =√2，则椭圆C 的方程为x 24+y 22=1．此时可求得四边形OMDN的面积为√6．当直线l的斜率存在时，设直线l方程是y＝kx+m，代入x24+y22=1得(1+2k2)x2+4kmx+2m2−4＝0，∴x1+x2=−4km1+2k2,y1+y2=2m1+2k2，△＝8(4k2+2−m2)>0，∴|MN|=√1+k22√2√4k2+2−m21+2k2，点O到直线MN的距离是d=√1+k2，由OM→+ON→=OD→，得x D=−4km1+2k2,y D=2m1+2k2，∵点D在曲线C上，所以有(−4km1+2k2)24+(2m1+2k2)22=1，整理得1+2k2＝2m2，由题意四边形OMDN为平行四边形，∴OMDN的面积为S OMDN=|MN|d=√1+k22√2√4k2+2−m21+2k22=2√2|m|√4k2+2−m21+2k2，由1+2k2＝2m2得S OMDN=√6，故四边形OMDN的面积是定值，其定值为√6．【考点】椭圆的标准方程直线与椭圆的位置关系椭圆的应用椭圆的离心率【解析】(Ⅰ)由由{ca =√22bc=2a2=b2+c2，解得即可得到所求椭圆方程；(Ⅱ)当直线l的斜率不存在时，直线MN的方程为x＝−1或x＝1，此时可求得四边形OMDN的面积为√6．当直线l的斜率存在时，设直线l方程是y＝kx+m，根据弦长公式，即可求出四边形OMDN的面积．【解答】（1）由{ca =√22bc=2a2=b2+c2，解得a=2,b=c=√2，则椭圆C的方程为x24+y22=1．（2）当直线l的斜率不存在时，直线MN的方程为x＝−1或x＝1，此时可求得四边形OMDN的面积为√6．当直线l的斜率存在时，设直线l方程是y＝kx+m，代入x24+y22=1得(1+2k2)x2+4kmx+2m2−4＝0，−4km2m△＝8(4k2+2−m2)>0，∴|MN|=√1+k22√2√4k2+2−m21+2k2，点O到直线MN的距离是d=√1+k2，由OM→+ON→=OD→，得x D=−4km1+2k2,y D=2m1+2k2，∵点D在曲线C上，所以有(−4km1+2k2)24+(2m1+2k2)22=1，整理得1+2k2＝2m2，由题意四边形OMDN为平行四边形，∴OMDN的面积为S OMDN=|MN|d=√1+k22√2√4k2+2−m21+2k2√1+k2=2√2|m|√4k2+2−m21+2k2，由1+2k2＝2m2得S OMDN=√6，故四边形OMDN的面积是定值，其定值为√6．已知函数f(x)＝(x2+x)lnx+2x3+(1−a)x2−(a+1)x+b(a, b∈R)．（1）当a＝0，b＝0时，求f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程；（2）若f(x)≥0恒成立，求b−2a的最小值【答案】f(x)＝(x2+x)lnx+2x3+x2−x的导数为f′(x)＝(2x+1)lnx+(x2+x)⋅1x+6x2+2x−1＝(2x+1)(lnx+3x)，可得切线的斜率为9，切点为(1, 2)，则切线方程为y−2＝9(x−1)，即y＝9x−7；f′(x)＝(2x+1)lnx+(x2+x)⋅1x+6x2+2(1−a)x−a−1＝(2x+1)(lnx+3x−a)，令ℎ(x)＝lnx+3x−a，则ℎ(x)在(0, +∞)上单调递增，又x→0时，ℎ(x)→−∞，当x→+∞时，ℎ(x)→+∞，∴存在唯一一个x0∈(0, +∞)，使得ℎ(x0)＝0，即a＝3x0+lnx0．当0<x<x0时，f′(x)<0，当x>x0时，f′(x)>0，∴f(x)在(0, x0)上单调递减，在(x0, +∞)上单调递增．∴f min(x)＝f(x0)＝(x02+x0)lnx0+2x03+(1−a)x02−(a+1)x0+b＝(x02+x0)lnx0+2x03+(1−3x0−lnx0)x02−(3x0+lnx0+1)x0+b＝−x03−2x02−x0+b．∵f(x)≥0恒成立，∴−x03−2x02−x0+b≥0，即b≥x03+2x02+x0．∴b−2a≥x03+2x02+x0−2a＝x03+2x02+x0−6x0−2lnx0＝x03+2x02−5x0−2lnx0，设φ(x)＝x3+2x2−5x−2lnx，x∈(0, +∞)，则φ′(x)＝3x2+4x−5−2x =3x(x−1)+7x2−5x−2x=(x−1)(3x2+7x+2)x，∴当0<x<1时，φ′(x)<0，当x>1时，φ′(x)>0，∴φ(x)≥φ(1)＝−2．∴当x0＝1时，即a＝3x0+lnx0＝3，b＝x03+2x02+x0＝4时，b−2a取得最小值−2．【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】（1）求得f(x)的解析式，以及导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程；（2）f′(x)＝(2x+1)(lnx+3x−a)，设x0为ℎ(x)＝lnx+3x−a的零点，得出a，b关于x0的表达式及f(x)的单调性，从而得出b−2a关于x0的函数，根据x0的范围再计算函数的最小值．【解答】f(x)＝(x2+x)lnx+2x3+x2−x的导数为f′(x)＝(2x+1)lnx+(x2+x)⋅1x+6x2+2x−1＝(2x+1)(lnx+3x)，可得切线的斜率为9，切点为(1, 2)，则切线方程为y−2＝9(x−1)，即y＝9x−7；f′(x)＝(2x+1)lnx+(x2+x)⋅1x+6x2+2(1−a)x−a−1＝(2x+1)(lnx+3x−a)，令ℎ(x)＝lnx+3x−a，则ℎ(x)在(0, +∞)上单调递增，又x→0时，ℎ(x)→−∞，当x→+∞时，ℎ(x)→+∞，∴存在唯一一个x0∈(0, +∞)，使得ℎ(x0)＝0，即a＝3x0+lnx0．当0<x<x0时，f′(x)<0，当x>x0时，f′(x)>0，∴f(x)在(0, x0)上单调递减，在(x0, +∞)上单调递增．∴f min(x)＝f(x0)＝(x02+x0)lnx0+2x03+(1−a)x02−(a+1)x0+b＝(x02+x0)lnx0+2x03+(1−3x0−lnx0)x02−(3x0+lnx0+1)x0+b＝−x03−2x02−x0+b．∵f(x)≥0恒成立，∴−x03−2x02−x0+b≥0，即b≥x03+2x02+x0．∴b−2a≥x03+2x02+x0−2a＝x03+2x02+x0−6x0−2lnx0＝x03+2x02−5x0−2lnx0，设φ(x)＝x3+2x2−5x−2lnx，x∈(0, +∞)，则φ′(x)＝3x2+4x−5−2x =3x(x−1)+7x2−5x−2x=(x−1)(3x2+7x+2)x，∴当0<x<1时，φ′(x)<0，当x>1时，φ′(x)>0，∴φ(x)在(0, 1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增，∴φ(x)≥φ(1)＝−2．∴当x0＝1时，即a＝3x0+lnx0＝3，b＝x03+2x02+x0＝4时，b−2a取得最小值−2．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做．则按所做的第一题记分．答题时用2B铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，将椭圆x2+y24=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，得曲线C，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ(sinθ−2cosθ)＝1．（2）已知点M(1, 3)且直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求1|MA|+1|MB|的值． 【答案】 将椭圆x 2+y 24=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，得曲线C ，设(x 1, y 1)为椭圆上的点，在已知变换下变为C 上点(x, y)，依题意，得{x =x 1y =12y 1．由x 12+y 124=1，得x 2+(2y)24=1，∴ 曲线C 的普通方程为x 2+y 2＝1．∵ 直线l 的极坐标方程为ρ(sinθ−2cosθ)＝1． ∴ 直线l 的直角坐标方程为2x −y +1＝0．点M(1, 3)且直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，M(1, 3)在直线l 上，把直线l 的参数方程{x =1√5y =3√5 代入x 2+y 2＝1，得：t 2+14√55t +9＝0， 则t 1+t 2=−14√55，t 1t 2＝9． ∴1|MA|+1|MB|=1|t 1|+1|t 2|=|t 1+t 2||t 1t 2|=14√559=14√545． 【考点】 椭圆的离心率 圆的极坐标方程 【解析】（1）设(x 1, y 1)为椭圆上的点，在已知变换下变为C 上点(x, y)，依题意，得{x =x 1y =12y 1．由此能求出曲线C 的普通方程；由直线l 的极坐标方程，能求出直线l 的直角坐标方程．（2）求出直线l 的参数方程代入x 2+y 2＝1，得：t 2+14√55t +9＝0，由此能求出1|MA|+1|MB|的值． 【解答】 将椭圆x 2+y 24=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，得曲线C ，设(x 1, y 1)为椭圆上的点，在已知变换下变为C 上点(x, y)，依题意，得{x =x 1y =12y 1．由x 12+y 124=1，得x 2+(2y)24=1，∴ 曲线C 的普通方程为x 2+y 2＝1．∵ 直线l 的极坐标方程为ρ(sinθ−2cosθ)＝1． ∴ 直线l 的直角坐标方程为2x −y +1＝0．点M(1, 3)且直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，M(1, 3)在直线l 上，把直线l 的参数方程{x =1√5y =3√5 代入x 2+y 2＝1，得：t 2+14√55t +9＝0，则t 1+t 2=−14√55，t 1t 2＝9． ∴1|MA|+1|MB|=1|t 1|+1|t 2|=|t 1+t 2||t 1t 2|=14√559=14√545． [选修4-5：不等式选讲]已知关于x 的不等式|x −3|+|x −5|≤m 的解集不是空集，记m 的最小值为t ． （Ⅰ）求t ；（Ⅱ）已知a >0，b >0，c =max {1a,a 2+b 2tb}，求证：c ≥1．注：maxA 表示数集A 中的最大数． 【答案】（Ⅰ）解：因为|x −3|+|x −5|≥|(x −3)−(x −5)|=2， 当且仅当3≤x ≤5时取等号，故m ≥2，即t =2． （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知c =max {1a ,a 2+b 22b}．则c 2≥1a ⋅a 2+b 22b=a 2+b 22ab≥1，当且仅当1a=a 2+b 22b=1，即a =b =1时等号成立．因为c >0，所以c ≥1． 【考点】绝对值不等式的解法与证明 【解析】本题考查绝对值不等式的解法． 【解答】（Ⅰ）解：因为|x −3|+|x −5|≥|(x −3)−(x −5)|=2， 当且仅当3≤x ≤5时取等号，故m ≥2，即t =2． （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知c =max {1a ,a 2+b 22b}．则c 2≥1a⋅a 2+b 22b=a 2+b 22ab≥1，当且仅当1a=a 2+b 22b=1，即a =b =1时等号成立．因为c >0，所以c ≥1．。

2019年大庆实验中学得分训练（一）数学（文）参考答案：一选择题：DBACA CDABC CD 二填空题13. 8 14. [73，+∞) 15.(1)(4) 16.ℎ=3 【解析】 【分析】设四棱锥底面边长为a ，高为h ，由四棱锥的体积，得a,h 的关系，利用四棱锥中的三角形建立外接球的半径R 关于h 的函数，再利用导数求函数何时区得最小值. 【详解】设四棱锥底面边长为a ，高为h ，底面对角线交于O ，由条件四棱锥P-ABCD 为正四棱锥，其外接球的球心M 在高PO 上，设外接球半径为R ，在直角三角形MAO 中 R 2=(ℎ−R)2+(√22a)2，R =2ℎ2+a 24ℎ，又该四棱锥的体积为9，所以13a 2ℎ=9所以R =12(ℎ+272ℎ2)，R ′=12(1−27ℎ3)，0<ℎ<3，时R ′<0，ℎ>3时，R ′>0 所以ℎ=3时R 极小即R 最小，此时体积最小. 故答案为3.17. 解：（I ） 62tan =C ,62cos sin =∴CC，……………………………………………………1分 又22sin cos 1C C +=，解得51cos ±=C ．………………………………………………3分tan 0C >，C ∴是锐角．51cos =∴C ……………………………………………………4分（II ）20ab =．又9a b += 22281a ab b ∴++=． 2241a b ∴+=．33cos 2222=-+=∴C ab b a c ． 33=∴c ．…………………………………………………9分ABC ∴△的周长为：9a b c ++=+………………………………………………………………10分18（1）依题意，所求频率P =1−0.1−0.15−0.2−0.15−0.1=0.3. （2）由（1）可知各组的中间值及对应的频率如下表：∴x =45×0.1+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.15+95×0.1 =70.5， 即问卷调查的平均得分的估计值为70.5分.（3）依题意，K 2=2000×(400×200−600×800)21000×1000×1200×800≈333.333.因为333.333>10.828，故有99.9%的把握认为居民的学习态度与年龄相关. 【点睛】本小题主要考查频率分布直方图，考查频率分布直方图估计平均数，考查2×2列联表独立性检验，属于中档题. 19.(1) ∵平面ABCD ⊥平面PAD ∠BAD =90°， ∴AB ⊥平面PAD ，∴AB ⊥PD ，在ΔPAD 中，∵AP =12AD ，∠ADP =30°，∴由正弦定理可得： sin∠ADP =12∠APD ，∴∠APD =90°，∴PD⊥PA,又PA∩AB=A, ∴ PD ⊥平面PAD ，∴PD ⊥PB .(2)取AD 的中点F ，连结CF ，PF ，设AD ＝2a ，则AB ＝BC ＝AP ＝a ，PD =√3a,则PB =PC =√2a ，∴ΔPBC 为等腰三角形，且底边BC 上的高为√72a ∵PM =13PC ，ΔMBC 的面积为2√73. ∴ΔPBC 的面积为√7，∴12a ×√72a =√7解得：a =2，∴四梭锥P −ABCD 的体积为13×12×(2+4)×2×√3=2√3 .20. （Ⅰ）易知A(0,−1)，不妨设B(t,t 22p)，则C(t 2,t 2−2p4p)，代入抛物线方程得：(t 2)2=2p ⋅t 2−2p 4p，得：t 2=4p ，∴y C =4p−2p 4p=12为定值.（Ⅱ）∵点C 是AB 中点，∴S ΔBMN =S ΔAMN ∵直线l 的斜率k =12−(−1)t 2=3t ，直线l ′的斜率k ′=−3t ，∴直线l ′的方程：y −12=−3t (x −t 2)，即y =−3t x +2， 不妨记m =−3t ，则l ′：y =mx +2代入椭圆方程整理得：(2m 2+1)x 2+8mx +6=0， 设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2)，则 x 1+x 2=−8m 2m 2+1，x 1x 2=62m 2+1，|MN|=√1+m 2|x 1−x 2|=2√2√1+m 2√2m 2−32m 2+1， A 到MN 的距离d =√m 2+1，所以S ΔAMN =12⋅|MN|⋅d =3√2√2m 2−32m 2+1=√2√2m 2−3+4√2m 2−3≤√22√4=3√24. 取等号时，√2m 2−3=√2m 2−3，得m 2=72，所以t 2=9m 2=187，p =t 24=914.21解：(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f ′(x )=1−ax =x−a x，①当a ≤0时，f ′(x )=x−a x>0，f(x)在(0,+∞)上为增函数. ②当a>0时，由f ′(x )=x−a x>0得x >a ；由f ′(x )=x−a x<0得0<x <a ,所以f(x)在(0,a )上为减函数，在(a,+∞)上为增函数. 综上所述，①当a ≤0时，函数f(x)在(0,+∞)上为增函数 ②当a>0时，f(x)在(0,a )上为减函数，在(a,+∞)上为增函数.(Ⅱ)①当a=0时，因为x ≥1，所以f (x )=x −1≥0恒成立，所以a=0符合题意. ②当a<0时，e a <1，因为f(x)min =f (e a )<f (1)=a <0，所以f (x )≥0不恒成立，舍去. ③当a>0时，由(Ⅰ)知f(x)在(0,a )上为减函数，f(x)在(a,+∞)上为增函数. 下面先证明：e a >a (a >0).设p (a )=e a −a ，因为p ′(a )=e a −1>0， 所以p(a)在(0,+∞)上为增函数. 所以p (a )≥p (0)=1>0，因此有e a >a . 所以f(x)在[e a ,+∞)上为增函数. 所以f (x )min =f (e a )=e a −a 2+a −1.设q (a )=e a −a 2+a −1(a >0)，则q ′(a )=e a −2a +1，q ″(a )=e a −2. 由q ″(a )>0得a >ln2；由q ″(a )<0得0<a <ln2.所以q′(a)在(0,ln2)上为减函数，q′(a)在(ln2,+∞)上为增函数.所以q′(a)≥q′(ln2)=3−2ln2>0.所以q(a)在(0,+∞)上为增函数，所以q(a)>q(0)=0.所以f(x)min>0.所以f(x)≥0恒成立.故a>0符合题意.综上可知，a的取值范围是a≥0.【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．22.曲线的参数方程为，为参数，转换为直角坐标方程为，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．转换为直角坐标方程为．射线l：的倾斜角，由，得，由，得，所以．由，所以，故的取值范围为：23.（I），不等式，即当时，当时，当时，解集为（II）。

黑龙江大庆实验中学2019高三下学期得分练习（六）-数学（文）第一卷(共60分〕1、复数)()ai i a R ∈的实部与虚部互为相反数，那么a 的值等于〔〕A.1B.1-C.2D.2-2、集合12{0,log 3,3,1,2}A =-，集合{|2,}xB y R y x A =∈=∈，那么=B A () A.}1{ B.}2,1{ C.}2,1,3{- D.}1,0,3{-3、一组数据由小到大依次为20,12,,,2,2b a 。

这组数据的中位数为6，假设要使其标准差最小，那么b a ,的值分别为〔〕A 、3，9B 、4，8C 、5，7D 、6，64、集合}0|{<+-=ax ax x A ，假设A ∉1，那么实数a 取值范围为〔〕 A.),1[)1,(+∞⋃--∞ B.]1,1[-C.),1[]1,(+∞⋃--∞D.]1,1(-5、将函数()cos y f x x =的图像向左移4π个单位后，再作关于x 轴的对称变换得到函数22cos 1y x =-的图像，那么()f x 能够是〔〕A 、2cos x -B 、2cos xC 、2sin x -D 、2sin x6、某圆柱被一平面所截得到的几何体如图〔1〕所示，假设该几何体的正视图是等腰直角三角形，俯视图是圆〔如右图〕，那么它的左视图是〔〕7、椭圆221:12x y C m n +=+与双曲线222:1x y C m n-=共焦点，那么椭圆1C 的离心率e 的取值范围为〔〕A、,1)2B、(0,2C 、(0,1)D 、1(0,)28、如图，将045直角三角板和030直角三角板拼在一起，其中045直角三角板的斜边与030直角三角板的030角所对的直角边重合、假设y x +=，那么y x ,等于〔〕A 、1,3==y xB 、3,31=+=y xC 、3,2==y xD 、31,3+==y x9、yx y x yx311,2lg 8lg 2lg ,0,0+=+>>则的最小值是〔〕A 、2B 、22C 、4D 、2310、某人进行驾驶理论测试,每做完一道题,计算机会自动显示已做题的正确率，记已n 题的正确率为()f n ,那么以下关系中不可能成立的是〔〕A 、(1)(2)(3)(8)f f f f <<<<B 、(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f ==<<C 、(4)2(8)f f =D 、(6)(7)(8)f f f <=11、函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f ，假设,0=++c b a 导函数)('x f 满足0)1(')0('>f f ，设0)('=x f 的两根为21,x x ，那么21x x -的取值范围是〔〕A.)32,33[ B.)94,31[ C.)33,31[ D.)31,91[12、过双曲线12222=-by a x 的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B 、C 、假设BCAB 21=，那么双曲线的离心率是 〔〕 A 、 B 、 C 、D 、 第二卷〔共90分〕二、填空题13、圆心在原点上与直线20x y +-=相切的圆的方程为。