一次不定方程的整数解及其应用

精心整理一次不定方程的解我们现在就这个问题，先给出一个定理定理如是互质的正整数是整数，且方,①cby?ax?有一组整数解则此方程的一切整数解可以表示为yx,00其中…3,??1,?2,t?0,证因为是方程①的整数解，当然满足y,x00②c?ax?by00因此．cby?at)?ax?ba(x?bt)?(y?0000这表明，也是方程①的解．at?y??x?xbty00设是方程①的任一整数解，则有??y,x③??caxby???②得④③??)y(?)x(ax??by?00精心整理．精心整理t是整数．将，其中代入④，即得由于，所以，即???atyy?y?at??y ya?y1)?,(ab000．因此可以表示成，的形式，所以，???y?y?atx?x?x?x?btyy?x??x?btatbty,x00000表示方程①的一切整数解，命题得证．有了上述定理，求解二元一次不定方程的关键是求它的一组特殊解. 例1求的整数解．715y?11x?将方程变形得1解是这个方程的的倍数．由观察是整数，所应是因211组整数解，所以方程的解先考，通过观察易得解11114所以(7711，，从而可取21?x??28,y00可见，二元一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是 t一样的．将解中的参数做适当代换，就可化为同一形式．求方程的非负整数解．2例9022y??6x得因为，所以方程两边同除以解2?(6,22)2①45?3x?11y由观察知，是方程1??yx?4,11②1?11y?x3的一组整数解，从而方程①的一组整数解为由定理，可得方程①的一切整数解为精心整理．精心整理因为要求的是原方程的非负整数解，所以必有180?11t?0?③??45?3t?0?由于是整数，由③得，所以只有两种可能．16?t?15,tt16t?15?当；当．所以原方程的非负整数解是3??4,yy?0?t16,xt?15,x?15,x?415x???，??y?3y?0??求方的所有正整数解211?分析这个方程的系数较大，用观察法去求其特殊解比较困难，碰到这种情况们可用逐步缩小系数的方法使系数变小，最后再用观察法求得其解解用方211?的最小系除方程①的各项，并移项211y②?30?2y?x?77y?53．化简得到是整数，故因为也是整数，于是?u yx,3?7u5y?7③3??7u5y3?2u（整数），由此得令?v5④35v?2u?u??1u??1??是方程④的一组解．将代入③得，再将由观察知代入②得2?2y?y??v?1v?1??x?25x?25?19t??t为整数，所以它的一切解为．于是方程①有一组解025x???y?2y?2?7t??0由于要求方程的正整数解，所以解不等式，得只能取．因此得原方程的正整数解为0,1t精心整理．精心整理x?25x?6??，??y?2y?9??当方程的系数较大时，我们还可以用辗转相除法求其特解，其解法结合例题说明．求方程的整数解．4例25??107y37x解为表示，我们把上述辗转相除过程回代，1031由此可是方的一组整数解．于2610322652?x22600是方的一组整数解23107所以原方程的一切整数解某国硬币分分两种，问用这两种硬币支分货款，有多少种不例14的方法解设需枚分，枚分恰好支付分，于是x y57142①1425?y?7x所以由于，所以，并且由上式知．因为，所以，从而1xx?1)5?52(12)?(5,20x?x7?142，所以①的非负整数解为1,6,11,16?x x?1x?6x?11x?16????，，，????y?27y?20y?13y?6????所以，共有4种不同的支付方式．说明当方程的系数较小时，而且是求非负整数解或者是实际问题时，这时候的解的组数往往较少，可以用整除的性质加上枚举，也能较容易地解出方程．多元一次不定方程可以化为二元一次不定方程．精心整理．精心整理求方程的整数解．6例1000?y?5z9x?24解设，即，于是．于是原方程可化为t8y?3t?3x?9x?24y1000??5z3t3x?8y?t?①?3t?5z?1000?用前面的方法可以求得①的解为x?3t?8?（是整数）②u?y??t?3u②的解为200是整数）100，得消去1600都是整数200100年以前，我国古代数学家张丘建在他编写的《张丘建算经》里，曾1500 大约提出并解决了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题，通俗地讲就是下例．只个钱买小鸡每个钱三只．用母鸡每只三个钱，今有公鸡每只五个钱，7 例100100鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？只，由题意列方程组解设公鸡、母鸡、小鸡各买z,x,y①②化简得③300?z?15x?9y②得③?200y?14x?8得，解即1?100x7?4y?4x7?y的一个特解为于是1004x7?y?精心整理．精心整理由定理知的所有整数解为100?x?4y7由题意知，，所以100?y,z0?x,4?25?t?28??7解得?24?28??t14?77?4∴28t?25?7只公鸡只母鸡8811精心整理．。

多元一次不定方程整数解的通解公式代入排除法选项信息充分，将选项作为已知量，代入方程看是否满足题意。

【基准】3x+4y=25，谋x，y各为多少?x=2，y=5 b.x=4，y=3c.x=5，y=3d.x=3，y=4华图点拨：选项信息充分，我们将选项依次代入。

a选项，3×2+4×5=26，错误。

b 选项，3×4+4×3=24，错误。

c选项，3×5+4×3=27，错误。

d选项，3×3+4×4=25，正确。

数字特性法不定方程：ax+by=c。

当a，b存有一奇一偶，可以利用奇偶特性求解不定方程。

【例】5x+4y=30，求x，y(均为正整数)各为多少?华图指点：利用奇偶特性，两个数和为偶数则两个数奇偶性相同，和30为偶数，所以5x和4y奇偶性相同，4y为偶数，5x也为偶数，故x为偶数：x=2，4，6……，又须要满足用户5x+4y=30，综上x=2，y=5或x=6，y=0。

当c与a，b有公约数，可利用倍数特性解不定方程。

【基准】3x+7y=49，x，y(均为正整数)各为多少?华图点拨:利用倍数特性，7y为7的倍数，49为7的倍数，故3x一定为7的倍数，所以x为7的倍数，x=7，14……，又因为3x+7y=49，解得x=7，y=4或x=14，y=1。

当a，b中存有5的倍数时，可以利用尾数特性求解不定方程。

【例】7x+10y=31，x，y(均为正整数)各为多少?华图指点:利用尾数特性，10y的尾数为0，31的尾数为1，故7x的尾数一定为1，又因7x+10y=21，7乘3的尾数为1，故x=3，y=1。

一次不定方程的整数解及应用
重要定理： 设a 、b 、c 、d 为整数，则不定方程c by ax =+有：
1 、若,),(d b a =且d 不能整除c ，则不定方程c by ax =+没有整数解；
2、 若),(00y x 是不定方程c by ax =+且的一组整数解（称为特解），则⎩⎨⎧-=+=at
y y bt x x 00,（t 为整数）是方程的全部整数解（称为通解）. （其中d b a =),(,且d 能整除c ）.
求整系数不定方程c by ax =+的正整数解，通常有以下步骤：
（1）判断有无整数解； (2)求出一个特解； (3)写出通解；
(4)有整数t 同时要满足的条件（不等式组），代入通解，写出不定方程的正整数解. 例1:求下列不定方程的整数解：（1）862=+y x
解：原方程变形为：43=+y x ， 可知11x y ì=ïí=ïî
是此方程的一组整数解（特解）， ∴原方程的所有整数解为13()1x t t y t
ì=+ïí=-ïî为整数 （2）13105=+y x （3）211147=+y x 解： 解：
（4）11145=-y x
解：可知 是此方程的一组特解，∴原方程的所有整数解为
例2：求下列方程的正整数解.
（1）3147265x y += （2）23732=++z y x
例3：:设正整数m,n 满足698+=+mn n m ，则m 的最大值为。

一次不定方程的非负整数解的个数一、概述在数学上，不定方程是指含有未知数的方程，其未知数不受限制，可以取任意整数。

不定方程是数论中的一个重要分支，研究其非负整数解的个数对于解决一些实际问题有着重要的意义。

本文将对一次不定方程的非负整数解的个数进行详细讨论。

二、一次不定方程的定义一次不定方程是指形如ax + by = c的方程，其中a、b、c为已知的整数，且a和b不全为零。

解(x, y)为方程的非负整数解时，称解为一次不定方程的非负整数解。

三、非负整数解存在的条件对于一次不定方程ax + by = c，解(x, y)为非负整数解的充分必要条件是c是a和b的最大公约数d的倍数，即c = kd，其中k为整数。

若d不能整除c，则该一次不定方程无非负整数解。

四、一次不定方程非负整数解的个数对于一次不定方程ax + by = c，解(x0, y0)为其一个特解，即满足方程的整数解。

那么一次不定方程的非负整数解的个数可表达为：N = 1 + [(x - x0) / (b / d)]，其中[]表示向下取整函数，x = x0 + (b / d)t，y = y0 - (a / d)t，t为任意整数。

通过上述公式可以计算得到一次不定方程的非负整数解的个数。

五、实例分析以一次不定方程3x + 5y = 12为例，其中a=3, b=5, c=12，可以求得最大公约数为d=1。

特解为(7, -3)，则根据公式可得非负整数解的个数为：N = 1 + [(x - 7) / 5] = 1 + [t]，其中t为任意整数。

因此一次不定方程3x + 5y = 12的非负整数解的个数为无穷多个。

六、总结通过以上分析，我们了解了一次不定方程的非负整数解的个数的计算方法，并以实例进行了验证。

在实际应用中，这一方法能有效地帮助我们解决一些相关问题，具有一定的参考价值。

七、参考文献1. 王恂, 王蕾, 黄其平. 关于不定方程ax + by = c的非负整数解的个数[J]. 数学研究及应用, 2017, 37(2): 5-12.2. 李文姣. 一次不定方程正整数解的个数研究[J]. 数学科学学报, 2018, 38(3): 291-301.八、进一步讨论一次不定方程的非负整数解个数的计算方法在前述的实例分析中，我们已经了解了一次不定方程的非负整数解的个数的计算方法。

一次不定方程的解法我们现在就这个问题，先给出一个定理．定理如果,a b 是互质的正整数，c 是整数，且方程ax by c +=①有一组整数解00,x y 则此方程的一切整数解可以表示为其中0,1,2,3,t =±±±…证因为00,x y 是方程①的整数解，当然满足00ax by c +=②因此0000()()a x bt b y at ax by c -++=+=．这表明0x x bt =-，0y y at =+也是方程①的解．设,x y ''是方程①的任一整数解，则有ax by c ''+=③③-②得00()()a x x b y y ''-=--④由于(,)1a b =，所以0a y y '-，即0y y at '=+，其中t 是整数．将0y y at '=+代入④，即得0x x bt '=-．因此,x y ''可以表示成0x x bt =-，0y y at =+的形式，所以0x x bt =-，0y y at =+表示方程①的一切整数解，命题得证．有了上述定理，求解二元一次不定方程的关键是求它的一组特殊解.例1求11157x y +=的整数解．解法1将方程变形得因为x 是整数，所以715y -应是11的倍数．由观察得002,1x y ==-是这个方程的一组整数解，所以方程的解为解法2先考察11151x y +=，通过观察易得11(4)1531⨯-+⨯=，所以11(47)15(37)7⨯-⨯+⨯⨯=，可取0028,21x y =-=，从而可见，二元一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的．将解中的参数t 做适当代换，就可化为同一形式．例2求方程62290x y +=的非负整数解．解因为(6,22)2=，所以方程两边同除以2得31145x y +=①由观察知，114,1x y ==-是方程3111x y +=②的一组整数解，从而方程①的一组整数解为由定理，可得方程①的一切整数解为因为要求的是原方程的非负整数解，所以必有1801104530t t -≥⎧⎨-+≥⎩③ 由于t 是整数，由③得1516t ≤≤，所以只有15,16t t ==两种可能．当15,15,0t x y ===；当16,4,3t x y ===．所以原方程的非负整数解是150x y =⎧⎨=⎩，43x y =⎧⎨=⎩ 例3求方程719213x y +=的所有正整数解．分析这个方程的系数较大，用观察法去求其特殊解比较困难，碰到这种情况我们可用逐步缩小系数的方法使系数变小，最后再用观察法求得其解．解用方程719213x y +=①的最小系数7除方程①的各项，并移项得213193530277y y x y --==-+② 因为,x y 是整数，故357y u -=也是整数，于是573y u +=．化简得到 573y u +=③ 令325u v -=（整数），由此得 253u v +=④由观察知11u v =-⎧⎨=⎩是方程④的一组解．将11u v =-⎧⎨=⎩代入③得2y =，再将2y =代入②得25x =．于是方程①有一组解00252x y =⎧⎨=⎩，所以它的一切解为251927x t y t =-⎧⎨=+⎩t 为整数 由于要求方程的正整数解，所以解不等式，得t 只能取0,1．因此得原方程的正整数解为252x y =⎧⎨=⎩，69x y =⎧⎨=⎩当方程的系数较大时，我们还可以用辗转相除法求其特解，其解法结合例题说明．例4求方程3710725x y +=的整数解．解为用37和107表示1，我们把上述辗转相除过程回代，得由此可知1126,9x y =-=是方程371071x y +=的一组整数解．于是025(26)650x =⨯-=-，0259225y =⨯=是方程3710725x y +=的一组整数解．所以原方程的一切整数解为例5某国硬币有5分和7分两种，问用这两种硬币支付142分货款，有多少种不同的方法？解设需x 枚7分，y 枚5分恰好支付142分，于是75142x y +=①所以由于7142x ≤，所以20x ≤，并且由上式知52(1)x -．因为(5,2)1=，所以51x -，从而1,6,11,16x =，所以①的非负整数解为127x y =⎧⎨=⎩，620x y =⎧⎨=⎩，1113x y =⎧⎨=⎩，166x y =⎧⎨=⎩ 所以，共有4种不同的支付方式．说明当方程的系数较小时，而且是求非负整数解或者是实际问题时，这时候的解的组数往往较少，可以用整除的性质加上枚举，也能较容易地解出方程． 多元一次不定方程可以化为二元一次不定方程．例6求方程92451000x y z +-=的整数解．解设9243x y t +=，即38x y t +=，于是351000t z -=．于是原方程可化为38351000x y t t z +=⎧⎨-=⎩① 用前面的方法可以求得①的解为383x t y t u=-⎧⎨=-+⎩（u 是整数）② ②的解为2000510003t v z v=+⎧⎨=+⎩（v 是整数）③消去t ，得600081520003510003x u v y u v z v =-+⎧⎪=-+-⎨⎪=+⎩（,u v 都是整数）大约1500年以前，我国古代数学家张丘建在他编写的《张丘建算经》里，曾经提出并解决了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题，通俗地讲就是下例． 例7今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．用100个钱买100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？解设公鸡、母鸡、小鸡各买,,x y z 只，由题意列方程组①②化简得159300x y z ++=③③-②得148200x y +=即74100x y +=，解741x y +=得于是74100x y +=的一个特解为有整数解为由定理知74100x y +=的所由题意知，0,,100x y z <<，所以 解得42528724142877t t ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩ ∴425287t <<由于t 是整数，故t 只能取26,27,28，而且,,x y z 还应满足100x y z ++=．或8只公鸡，11只母鸡，81只小鸡；或12只公鸡，4只母鸡，84只小鸡．。

第十六讲 一次不定方程一、知识要点1、不定方程：未知数的个数多于方程的个数的方程（或方程组）称为不定方程（或方程组）。

2、二元一次不定方程的一般形式：ax+by=c 。

3、二元一次不定方程ax+by=c 有整数解的判定：定理1：若二元一次不定方程ax+by=c 中，a 和b 的最大公约数不能整除c ，则方程没有整数解。

例如，方程2x+4y=5没有整数解。

（想一想为什么？）定理2：如果正整数a,b 互质，则方程ax+by=1有整数解，同时方程ax+by=c 有整数解。

例如，3x+5y=7，3与5互质，x=-1,y=2是这个方程的一组整数解。

定理3：如果a,b 互质，且方程ax+by=c 有一组整数解x 0,y 0，则此方程式的所有整数解可表示为⎩⎨⎧-=+=）t at y y bt x x 为整数(00 或 ⎩⎨⎧+=-=）t at y y bt x x 为整数(00 例如，3x+5y=7的所有整数解可表示为⎩⎨⎧+=--=）t t y t x 为整数(3251 4、一次不定方程的整数解的求法：观察法；辗转相除法。

二、例题示范例1、判断下列不定方程（组）哪些有整数解，哪些没有整数解。

(1) 4x+6y=7 (2) 4x+8y=10(3) ⎩⎨⎧=-=+12536z y y x (4) ⎩⎨⎧=-=+121036z y y x例2、求方程3x+5y=1的整数解。

（1）观察法； （2）辗转相除法。

练习：求4x+5y=7的整数解。

例3、求方程37x+107y=25的整数解。

例4、求方程7x+4y=100的所有正整数解。

例5、如果三个既约真分数32,4a ,5b 的分子都加上b ，这时得到的三个分数的和为6，求这三个既约真分数的积。

例7、百鸡问题：鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？提示：列不定方程组，化为不定方程解之。

例8、设七位数42762xy 为99的倍数，则x,y 的值是 。

摘要不定方程是初等数论的一个重要内容,在相关学科和实际生活中也有着广泛的应用．本文首先归纳了整数分离法、系数逐渐减小法和辗转相除法等几种常用的二元一次不定方程的解法；其次进一步讨论了求n元一次不定方程和二次不定方程整数解的方法;最后论述了不定方程在中学数学竞赛题、公务员行测试题和其他学科中的应用，并举例说明．关键词：不定方程;二元一次不定方程；数学竞赛；公务员试题AbstractThe integral solutions of indeterminate equation solving method is an important content of elementary number theory, has been widely used in related disciplines and in real life。

This paper summarizes the integer separation method, coefficient decreases and the Euclidean algorithm and several commonly used two element indefinite equation solution， secondly is further discussed。

For n linear indeterminate equation and the method of two time indefinite equation integer solution, and finally discusses the indeterminate equation applied in secondary school mathematics， civil servants for test and other subjects， and illustrated with examples。

如何求解二元一次不定方程的整数解这里讨论的二元一次不定方程专指ax+by=c(a*b≠0,a,b,c∈Z)-----①定理一:方程①有整数解的充分必要条件是(a,b)|c((a,b)即Gcd(a,b),下同)定理二(裴蜀定理)设(a,b)=1,则方程①的全部整数解可表为:x=x0+bt,y=y0-at(x0,y0是方程的一组整数解,t为任意整数)也可以表述为:方程①的全部整数解可表为:x=x0+bt/(a,b),y=y0-at/(a,b)(x0,y0是方程的一组整数解,t为任意整数)我以前的一个想法是求出(a,b)并判断是否(a,b)|c,然后约简a,b,c(都除以(a,b)),这样(a,b)=1,如果方程①有整数解的话,根据定理二,在一个长度为|b|的整数范围内必存在一个x的解,在一个长度为|a|的整数范围内必存在一个y的解。

那么在x的[0,|b|-1]或者y的[0,|a|-1]上试解吧,找到x0可以求出y0,找到y0可以求出x0。

为了减少搜索次数,我们先比较|a|和|b|,如果|a|≤|b|就在y上试解,反之则在x上试解。

我用这种办法ac了sgu106和poj1061,但是这种办法的代价并非是最低的,因为有一个著名的欧几里德扩展算法。

这个算法源自于求gcd的欧几里德算法,二者的算法复杂度基本上是一样的。

回忆一下欧几里德算法:有两个数a,b,我们把它们写成u0和u1,求gcd的步骤如下:u0=q0*u1+u2u1=q1*u2+u3u2=q2*u3+u4...uj=qj*u(j+1)u(j+1)便是a和b的最大公约数。

要求出一组整数解,可以先求出ax+by=(a,b)的一组解x0,y0,然后x0=x0*c/(a,b),y0=x0*c/(a,b).同样地,把a和b写成u0和u1,设ui=u0*xi+u1*yi(必然存在这样的xi和yi,因为uj是gcd(u0,u1)的倍数),那么x0=1,y0=0,x1=0,y1=1;u(i+1)=u(i-1)-q(i-1)*ui=u0*x(i-1)+u1*y(i-1)-q(i-1)*u0*x(i)-q(i-1)*u1*y(i)=u0*(x (i-1)-q(i-1)*x(i))+u1*(y(i-1)-q(i-1)*y(i)),而u(i+1)=u0*x(i+1)+u1*y(i+1),因此x(i+1)=x(i-1)-q(i-1)*x(i)y(i+1)=y(i-1)-q(i-1)*y(i)伟大的递推式!我们要求的是xj和yj(uj=u0*xj+u1*yj,uj为gcd),所以只要递推到xj和yj即可。

不定方程的整数解不定方程形如ax+by=c（a，b，c均为常数，且a，b均不为0），一般情况下，每一个x的值都有一个y值和它相对应，有无穷多组解。

如果方程（组）中，解的数值不能唯一确定，这样的方程（组）称为不定方程。

对于不定方程，我们常常限定于只求整数解，甚至只求正整数解，在加上这些限定条件后，解可能只有有限个或唯一确定。

不定方程有整数解的条件整系数二元不定方程ax+by=c中的系数a，b的最大公约数能整除c。

不定方程的基本解法解不定方程主要根据一个未知数的取值进行讨论，如果抓住方程自身的特点，可以大大减少讨论的次数，节省解题时间。

1、尾数法例、求方程4x+5y=76的所有正整数解。

分析：由题意知5y的尾数只能是0或5，因为4x、76是偶数，所以5y只能是偶数，故其尾数只能是0，那么4x的尾数就只能是6，因此x的尾是4或9，又4x<76，所以整数x<19，故x可取4，9，14。

当x=4时，y=12；当x=9时，y=8；当x=14时，y=4。

所以原方程的正整数解为：x=4，x=9，x=14，y=12；y=8；y=4。

2、枚举法例、求方程3x+11y=53的所有正整数解。

分析：因为y前面的系数较大，且x、y均为正整数，故11y≤53，所以y可取1、2、3、4，四个数值，分别将y=1，2，3，4代入原方程，可以发现y=2、3时方程无整数解。

当y=1时，x=14；当y=4时，x=3。

所以原方程的解为：x=3，x=14，y=4；y=1。

3、奇偶判断例、求方程5x+4y=43的所有正整数解。

分析：因为4y是偶数，43是奇数，所以5x应该是奇数，所以x可取1，3，5，7四个数值。

将x=1、3、5、7分别代入原方程，可以发现x=1、5时方程无整数解。

当x=3时，y=7；当x=7时，y=2。

所以原方程的解为：x=3，x=7，y=7；y=2。

4、余数分析余数的和等于和的余数。

例、求4x+5y=102的整数解。

多元一次不定方程整数解的存在性及求解方法尹国成;叶扩会;石函早【摘要】多元一次不定方程整数解是我们学习数论中的难点,用多种方法研究多元一次不定方程整数解的求法,并由此法推导出三元一次不定方程整数解的通解公式,再依此法推导出四元一次不定方程整数解的通解公式,其中四元一次不定方程整数解的通解公式是新的,以供大家学习与参考.【期刊名称】《保山学院学报》【年(卷),期】2014(033)002【总页数】4页(P56-59)【关键词】多元一次不定方程;整数解;存在性;求解方法【作者】尹国成;叶扩会;石函早【作者单位】保山学院数学学院,云南保山678000;保山学院数学学院,云南保山678000;保山学院数学学院,云南保山678000【正文语种】中文【中图分类】O13我国古代存在着一类问题。

例如：“鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁母雏各几何？”题目意思是一只公鸡五个钱，一只母鸡三个钱，三只小鸡一个钱，现有一百个钱要买一百只鸡，则公鸡、母鸡、小鸡各买多少只？我们设买公鸡x 只，母鸡y 只，小鸡为z 只根据题目意思可以列出以下式子:要研究这个问题，就是要求出上述方程的非负整数解。

但上述方程不过是二元一次不定方程的一个具体例子。

下面我们一起来探讨一下多元一次不定方程整数解存在的条件和解法[1]P25-34。

1 三元一次不定方程整数解的存在性与求解方法定义整系数ax+by+cz=d 叫做三元一次不定方程，a,b,c,都是不为零的整数，d 为整数。

1.1 三元一次不定方程整数解存在性定理定理1.1 三元一次不定方程ax+by+cz=d有整数解的充分必要条件是D|d，D=(a,b,c)，a,b,c 都是不为零的整数。

推论1.1 在方程ax+by+cz=d中，如果d不能被(a,b,c)整除，那么这个不定方程无整数解。

1.2 三元一次不定方程整数解求法和通解公式定理1.2 如果不定方程ax+by=1 有整数解x0,y0，那么ax+by+cz=d 的通解为证明：由ax+by=1 有整数解x0,y0，则ax+by=t通解为为任意整数），又因为 t+cz=d得z=，令z=v，则d-cv=t 把它代入通解首先证明x,y,z 的表达式（1）是方程ax+by+cz=d 的解，显然表达式（1）右边的值都为整数，代入方程ax+by+cz=d 左边，并根据ax+by=1 得ax+by+cz=a(x0d-x0cv+bu)+b(y0d-y0cv-au)+cv=(ax0+by0)d-(ax0+by0)cv+abu-abu+cv=d-cv+cv=d故此表达式（1）中的x,y,z 为方程ax+by+cz=d 的整数解。