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3 1.讨论级数 n的敛散性 n 1 10
n 1
1 3
2.判别无穷级数 22 n 31 n 的收敛性.
发散
二、级数的基本性质
性质8.1
设 c 为非零常数 , 则级数 cun 与级数
n 1
u
n 1
n
同时收敛或同时发散 , 且同时收敛时 , 有
cu
n 1
n
c un .
1 n 2
n lim
n 1
n( n 1) n 2
1 1 n 1 ( ) 2 2 1 lim n 1 1 2
例1 无穷级数 aq
n 1
n -1
a aq
aq
n -1
Hale Waihona Puke 称为几何级数 ( 又称为等比级数 ), 其中 a 0, q 0. 试讨论该级数的敛散性 .
T 1 1 2
2T
0.3333 0.3 0.03 0.003 0.0003
2 1 0.4 0.01 0.004
1 1 1 4(1 3 5 7
1 2 3 1 x x x 1 x
)
1 1 1 e 1 1! 2! 3!
§8.1 常数项级数的概念和性质
一、常数项级数的概念
二、级数的基本性质
一、常数项级数的概念
1. 芝诺悖论
悖论：在逻辑上可以推导出相互矛盾之结果 ，但表面上 又能自圆其说的命题或理论体系。
公元前五世纪，古希腊数学家芝诺用他关于无限、连续 等知识，提出四个著名的关于运动不可分性的哲学悖论。 i. 二分法悖论 ii. 阿基里斯追不上乌龟悖论 iii. 飞矢不动悖论 iv. 运动场悖论
n 1
证明
设级数 un 与级数 cun 的部分和分别为 Sn
n 1 n 1
与 n , 则有
n cu1 cu2 cun cSn
于是 , 由数列极限的性质 , 当 n 时,
n 与 Sn 同时收敛或同时发散 ,
即级数 cun 与 un 同时收敛或同时发散 ,
n 1
则其一般项趋向于零 , 即有 lim un 0.
n
证明
由于级数 un 收敛 , 则有和数 S , 且有
n 1
lim Sn lim Sn1 S
n n
从而有
Sn lim Sn1 0. lim un lim( Sn Sn1 ) lim n n
证明
设级数 ( un vn ) , un 与 vn 的部分和分别
n 1 n 1 n 1
为 n , Sn 与 Tn , 则有
n ( u1 v1 ) ( u2 v2 ) ( un vn )
( u1 u2 un ) (v1 v2 vn ) Sn Tn
nk
且 un un un .
n 1 n 1
k 1
nk
( 级数的敛散性与前有限项无关 , 收敛和发生改变 . )
4 . 收敛级数加括号后仍收敛 . ( 逆命题不成立 ) . 逆否 : 加括号后级数发散 , 则原级数发散 .
5.
n 1
un 0 . un 收敛 nlim
部分和 :
若 lim Sn S , 则称级数 un 收敛 , 记 S un .
n n 1 n 1
若 lim Sn 不存在 , 则称级数 un 发散 .
n n 1
性质 :
1 . 若 un S1 ,
n 1 n 1
vn S2 ,
n 1
由于 n 时 Sn , Tn 极限存在 , 知 Sn Tn 极限也存在 , 且有 lim n lim Sn lim Tn
即有
（un v n） un v n n 1 n 1 n 1
n
n
n
由性质 8.1和性质 8.2 ,
对于收敛级数
n 1 n 1
且在收敛时有 lim n c lim Sn ,
n n
即有
cun c un . n 1 n 1
性质8.2 若级数 un 与级数 vn 都收敛 , 则级数
n 1 n 1
( un vn ) 收敛 , 且有 n 1 ( un vn ) un vn . n 1 n 1 n 1
un 与 vn , 以及任意常数 n 1 n 1
a , b , 级数 (aun bvn ) 也收敛 , 且有
n 1
（aun bvn ） a un b vn . n 1 n 1 n 1
线性运算性质
由例1和例2可知，
( 1)n 3 级数 n1 收敛， 且有 n( n 1) n1 2
n
n
注意 （1）如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;(逆否命题)
例如,
1 2 3 n ( 1)n1 2 3 4 n1
收敛 发散
lim un 0
n
lim un 0
n
（2）一般项趋于零只是级数收敛的必要条件，而非充分条件.
1 1 1 例如调和级数 1 2 3 n 1 有 lim un lim 0 , 但级数是发散的. n n n
n
( 逆命题不成立 ) .
n 1
逆否 : lim un 0 ( 或不存在 ) un 发散 .
重要级数 :
1 . 几何级数 a q n 1 .
a 当 q 1 时收敛 , 和 s , 当 q 1 时发散 . 1 q 2 . 调和级数 1 1 1 1 1 n n 2 3 n 1
( 1)n 3 1 1 1 3 2n1 n( n 1) 2 2 n 1 n 1 n 1 n( n 1)
n
1 1 2 3 2 1 1 2
17 , 6
级数 un 发散 , vn 收敛 ,
a n -1 aq 1 q n 1 发散
几何级数
q 1 q 1
例2
1 判断级数 的敛散性 . n 1 n( n 1)
利用“抵项相消”求和
1 1 n 1 n( n 1)
n 1 练习 ln n n 1
发散
例3
练习
1 证明调和级数 发散 . n 1 n
其部分和数列实际上是原级数部分和数列 { Sn } 的 子列 { S2 n }:
S2 , S4 , S2 n ,
于是 , 当级数 un 收敛时 , 必有部分和数列 { Sn } 收敛 ,
其子列{ S2n } 也必然收敛 ,
n 1
且有相同的极限 S .
注意1
对于收敛级数，可以对它的项任意加括号，但要注意不能改变
二分法悖论
一位旅行者前往特定的地点，他必须先走完一半的路程， 然后走剩下路程的一半，然后再走剩下路程的一半，由于 他永远有剩下路程的一半要走，因而这位旅行者永远走不 到目的地。
T
T 2
C
T 4
D E
T 8
A
F
B
T T T 总时间 T + 2 4 8 (n 1, 2,3, )
T n 1 2
五、小结
常数项级数的基本概念
基本审敛法
1.由定义,若sn s ,则级数收敛;
2.当lim un 0 ,则级数发散;
n
3.按基本性质.
以下为本节内容的小结 , 要熟练掌握 .
级数
n 1
un u1 u2 un
Sn uk .
k 1 n
un 为通项 .
相关项的次序. 注意2
加括号后的级数收敛，不能推得原级数收敛 （即性质的逆命题
不一定成立）.
将级数 ( 1)n1 的相邻两项合并得级数
n 1
(1 1) (1 1) (1 1)
收敛，且和为零， 但原级数发散的.
性质8.5 ( 级数收敛的必要条件 ) 如果级数 un 收敛 ,
x 1
2. 常数项级数
一般地，对于给定的数列 u1 , u2 ,
, un ,
称 u1 u2
n 1
un
n 1
为常数项无穷级数 , 简称级数 ,
un
记作 un , 即 un u1 u2
其中第 n 项 un 称为级数的一般项（或通项） , 级数的前 n 项和 u1 u2 un 称为级数的部分和 ,
un 有相同的敛散性 . n k 1
性质8.4 收敛级数加括号后所成 的级数仍然为收敛 级数 , 且收敛于原级数的和 .
例如 , 将相邻两项加括号 , 得级数
( u2 n1 u2 n ) n 1
( u1 u2 ) ( u3 u4 ) ( u2 n1 u2 n )
n 1
调和级数发散 .
则 ( un vn ) S1 S2 .
n 1
2 . 设 k 0 , 则 kun 与 un 同敛散 .
