2017学年福建省厦门市高一下学期期末数学试卷及参考答案

厦门市重点名校2017-2018学年高一下学期期末质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．某小组由2名男生、2名女生组成，现从中选出2名分别担任正、副组长，则正、副组长均由男生担任的概率为（ ） A ．15B ．16C ．13D ．37【答案】B 【解析】 【分析】根据古典概型的概率计算公式，先求出基本事件总数246n C ==，正、副组长均由男生担任包含的基本事件总数221m C ==，由此能求出正、副组长均由男生担任的概率．【详解】某小组由2名男生、2名女生组成，现从中选出2名分别担任正、副组长，基本事件总数246n C ==，∴正、副组长均由男生担任包含的基本事件总数221m C ==，∴正、副组长均由男生担任的概率为16m p n ==．故选B ． 【点睛】本题主要考查古典概型的概率求法。

2．若样本数据1x ，2x ，…，10x 的方差为2，则数据121x -，221x -，…，1021x -的方差为（ ） A ．4 B ．8 C ．16 D ．32【答案】B 【解析】 【分析】根据Y aX b =+，则2()()D Y a D X =即可求解. 【详解】因为样本数据1x ，2x ，…，10x 的方差为2，21(1,2,10)i i y x i =-=所以1y ，2y ，…，10y 的方差为()(21)4()8D y D x D x =-==，故选B. 【点睛】本题主要考查了方差的概念及求法，属于容易题.3．在ABC ∆中，sin sin cos cos A B A B ⋅<⋅，则这个三角形的形状为( ) A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形【解析】 解：sin sin cos cos ,cos()0ABC A B A B A B A B C ∆⋅<⋅∴+>∴+中，为锐角，则为钝角故三角形是钝角三角形。

福建2017-2018学年下学期期末考试卷高一数学·必修4一、选择题（每小题5分，共65分；在给出的A,B,C,D 四个选项中，只有一项符合题目要求）1. 角的终边与单位圆交于，则（ ）A.B.C.D.2. 已知三角形的角的三边为，满足以下条件的三角形的解个数为1的是（ ）A. B.C.D.3. 若=(2,1)，=(3,4)，则向量在向量方向上的投影为（ ）A.B. 2C.D. 104. 如图，已知表示，则等于（ ）A. B. C. D.5.（ ）A. 1B. 2C. 4D. 8 6. 若为平面内一点，且满足，则形状为 （ ）A. 钝角三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 锐角三角形 7. 设函数，其中.若且的最小正周期大于，则的值分别为（ ）A.B.C.D.8. 飞机沿水平方向飞行，在A 处测得正前下方地面目标C 的俯角为30°，向前飞行10000米，到达B 处，此时测得正前下方目标C 的俯角为75°，这时飞机与地面目标的距离为（ ）A. 5000米B. 5000米C. 4000米D. 米9. 已知，,则（）A. B. C. D.10. 若方程在区间上有两个实根，则实数取值范围为（）A. B. C. D.11. 已知函数①函数关于对称②函数关于对称③函数最小正周期为④函数向左平移个单位后的新函数为偶函数以上四个命题中，正确的命题的序号是：（）A. ①②③B. ①③C. ②③D. ①③④12. 已知函数，若函数在区间内单调递减，则的取值范围为( )A. B. C. D.13. 如图，在同一平面内，点位于两平行直线同侧，且到的距离分别为．点分别在上，，则的最大值为( )A. 15B. 12C. 10D. 9二、填空题（每小题5分，共25分）14. 函数的定义域为____________．15. 已知单位向量的夹角为，那么=_______16. 已知，，那么________．17. 在中，，，则_________18. 如图，在中，时，点在边上，，，为垂足若，则__________三、解答题（要求写出过程，共60分）19. 知为两个不共线向量，，(Ⅰ)若∥，求实数；(Ⅱ)若且⊥，求与的夹角.20. 已知向量,，记（Ⅰ）求的单调增区间；（Ⅱ）若，求的值域.21. 如图所示，等腰梯形的点，为半圆上的动点，∥，底边为圆的直径，，. 设等腰梯形的周长为.（Ⅰ）请写出与之间的函数关系；（Ⅱ）当取何值时，等腰梯形的周长最大?22. 如图，锐角三角形中，角所对的边分别为，若（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若线段上存在一点使得，且,，求的面积.23. 已知函数，将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图像.（Ⅰ）求函数的解析式（Ⅱ）若对任何实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.（Ⅲ）若区间（且）满足：在上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的中，求的最小值．一、选择题（每小题5分，共65分；在给出的A,B,C,D 四个选项中，只有一项符合题目要求）1. 角的终边与单位圆交于，则（ ）A.B.C.D.【答案】D【解析】由单位圆的性质可得：，则： .本题选择D 选项.2. 已知三角形的角的三边为，满足以下条件的三角形的解个数为1的是（ ）A. B.C.D.【答案】D【解析】由所给条件：，满足题意的三角形 个数为0个；，满足题意的三角形 个数为2个；，满足题意的三角形 个数为0个；，满足题意的三角形 个数为1个；本题选择D 选项.3. 若=(2,1)，=(3,4)，则向量在向量方向上的投影为（ ）A. B. 2 C. D. 10【答案】A【解析】由题意可得：，则向量在向量方向上的投影为 .本题选择A 选项.4. 如图，已知表示，则等于（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可得： .本题选择D选项.点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．5. （）A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】A【解析】由题意：，则： .本题选择A选项.6. 若为平面内一点，且满足，则形状为（）A. 钝角三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 锐角三角形【答案】B【解析】由题意可得：,即：，据此有：，即形状为等腰三角形.本题选择B选项.点睛：判断三角形形状的两种途径一是化边为角；二是化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.7. 设函数，其中.若且的最小正周期大于，则的值分别为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由f(x)的最小正周期大于2π,得，又,得，∴T=3π,则 .∴，∴ .取k=0,得 .∴ .本题选择A选项.8. 飞机沿水平方向飞行，在A处测得正前下方地面目标C的俯角为30°，向前飞行10000米，到达B处，此时测得正前下方目标C的俯角为75°，这时飞机与地面目标的距离为（）A. 5000米B. 5000米C. 4000米D. 米【答案】B【解析】试题分析：由题意可得，AB=10000，A=30°，C=45°，△ABC中由正弦定理可得，，，故选B。

厦门市2016-20１7学年度第二学期高一年级质量检测数 学 试 题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题)两部分,满分1５0分，考试时间１20分钟.一、选择题：本大题共12小题，每小题５分，共60分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.在答题卷上相应题目的答题区域作答.1.已知角α的终边经过点(错误!，-错误!)，则α是( ）Ａ.第一象限角 B .第二象限角 C .第三象限角 D ．第四象限角2．已知向量ａ＝(１,3），b ＝（－２,-４)则( )Ａ．a ⊥ｂ Ｂ.ａ∥ｂ C .a ⊥(ａ－ｂ） D .a ∥(a －ｂ)3.已知平面α和两条直线a ，b 则下列结论成立的是( )A .如果ａ∥α，b ∥α那么a ∥b Ｂ.如果ａ∥b ，a ∥α,ｂ⊄α,那么b ∥α C .如果ａ∥b ,那么a 平行于经过ｂ的任何平面 Ｄ.如果a ∥α那么ａ与α内的任何直线平行 4.已知直线l １:ｘ+m ｙ＋m －３=０与直线l ２:(m -１)ｘ+2y +8=０平行,则m 的值为（ )Ａ.－1或2 B .1或-2 C .2 D .－2５．若一扇形的弧长等于其所在圆的内接正方形边长，则其圆心角α（0<α<π)的弧度数为( ） A .＼f （π，4) B ．π2C .错误! D6.在正六边形A ＢCDEF 中,设错误!=a ,错误!＝b 则错误!=( )Ａ．2a +b B .2a －b C .-2a +b D .-2a -ｂ７．已知ａ=tan ＼ｆ(2π,5），b =ｔa ｎ（－错误!），c ＝c ｏｓ错误!，则a ,b ,c ) A .a ＜ｂ<ｃ B ．a <c ＜b C .c ＜a <b 8．祖暅是我国南北朝时代伟大的数学家，他在实践的基础上提出了体积计算的 原理:祖暅原理：”幂势既同,则积不容异”，意思是,如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等,那么这两个几何体的体积相等。

福建省厦门市重点名校2017-2018学年高一下学期期末复习检测数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】A 【解析】每个同学参加的情形都有3种，故两个同学参加一组的情形有9种，而参加同一组的情形只有3种，所求的概率为p=3193=选A 2．在等比数列{}n a 中，227a =，13q =-，则5a =（ ） A ．3- B ．3C ．1-D ．1【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的性质求解即可. 【详解】因为等比数列{}n a ,故335212713a a q ⎛⎫=⋅=⋅-=- ⎪⎝⎭.故选：C 【点睛】本题主要考查了等比数列性质求解某项的方法,属于基础题.3．在ABC 中，π4ABC ∠=，AC =3BC =，则sin BAC ∠=（ ）A ．10B ．5C D 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理,代入即可求解. 【详解】因为ABC ∆中,π4ABC ∠=,5AC =,3BC = 由正弦定理可知sin sin BC ACBAC ABC=∠∠代入可得3sin sin 10BC ABCBAC AC⨯∠∠===故选:C 【点睛】本题考查了正弦定理在解三角形中的应用,属于基础题. 4．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当zxy取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为( ) A ．0 B ．98 C ．2 D ．94【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】由题得z=x 2+4y 2-3xy≥4xy -3xy=xy(x,y,z>0), 即z≥xy,zxy≥1.当且仅当x=2y 时等号成立, 则x+2y-z=2y+2y-(4y 2-6y 2+4y 2) =4y-2y 2=-2(y 2-2y) =-2[(y-1)2-1]=-2(y-1)2+2.当y=1时,x+2y-z 有最大值2.故选C.5．已知数列{}n a 中，12213,6,n n n a a a a a ++===-,则2016a =（ ） A ．6 B ．6-C ．3D ．3-【答案】B 【解析】 【分析】由数列的递推关系21n n n a a a ++=-，可得数列的周期性，再求解即可. 【详解】解:因为21n n n a a a ++=-,①则321n n n a a a +++=-,②①+②有: 3n n a a +=-,即63n n a a ++=-,则6n n a a +=, 即数列{}n a 的周期为6,又123,6a a ==,得3453,3,6a a a ==-=-，63a =-, 则2016a =633663a a ⨯==-, 故选:D. 【点睛】本题考查了数列的递推关系，重点考查了数列周期性的应用，属基础题. 6．已知a,b ∈R ,若关于x 的不等式20x ax b ++≥的解集为R ,则( ) A ．20a b -≥ B ．20a b -≤ C ．240a b -≥ D ．240a b -≤【答案】D 【解析】 【分析】由不等式20x ax b ++≥的解集为R ，得2y x ax b =++的图象要开口向上，且判别式0∆≤，即可得到本题答案. 【详解】由不等式20x ax b ++≥的解集为R ，得函数2y x ax b =++的图象要满足开口向上，且与x 轴至多有一个交点，即判别式240a b ∆=-≤. 故选：D 【点睛】本题主要考查一元二次不等式恒成立问题.7．若(3,1)P 为圆222240x y x +--=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ） A ．250x y +-= B ．20x y --= C ．250x y --= D ．270x y +-=【答案】D 【解析】 【分析】圆222240x y x +--=的圆心为O ，求出圆心坐标，利用垂径定理，可以得到OP AB ⊥，求出直线OP 的斜率，利用两直线垂直斜率关系可以求出直线AB 的斜率，利用点斜式写出直线方程，最后化为一般式方程.【详解】设圆222240x y x +--=的圆心为O ，坐标为（1，0），根据圆的垂径定理可知：OP AB ⊥，因为011132OP k -==-，所以2AB k =-， 因此直线AB 的方程为12(3)270y x x y -=--⇒+-=，故本题选D. 【点睛】本题考查了圆的垂径定理、两直线垂直斜率的关系，考查了斜率公式. 8．已知两条直线，两个平面，给出下面四个命题： ①，；②，，；③，；④，，其中正确命题的序号是（ ）A ．①④B ．②④C ．①③D ．②③ 【答案】A【解析】依据线面垂直的判定定理可知命题①是正确的；对于命题②，直线还有可能是异面，因此不正确；对于命题③，还有可能直线，因此③命题不正确；依据线面垂直的判定定理可知命题④是正确的，故应选答案A.9．已知0a b +<，且0b >，那么a ，b ，a -，b -的大小关系是（ ） A ．b a b a -<<<- B ．b a a b -<<-< C ．a b a b <-<-< D ．a b b a <-<<-【答案】D 【解析】 【分析】直接用作差法比较它们的大小得解. 【详解】()()0,a b a b a b --=-+>∴->； ()20,b b b b b --=>∴>-； ()0,b a a b b a --=-+>∴->.故a b b a <-<<-. 故选：D 【点睛】本题主要考查了作差法比较实数的大小，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.10．用数学归纳法证明()11113212224n n n n ++⋅⋅⋅+>≥++的过程中，设()111122k f k k k =++⋅⋅⋅+++，从n k =递推到1n k =+时，不等式左边为（）A ．()112k f k ++ B ．()111212k k f k ++++ C ．()11112121k k f k k +++⋅⋅⋅+-++ D ．()11121k f k k ++-+【答案】C 【解析】 【分析】比较n k =与1n k =+时不等式左边的项，即可得到结果 【详解】()()11111111112222212k k k k f k f k k k k +=++⋅⋅⋅+∴+=+⋅⋅⋅++++++++ 因此不等式左边为()11112121k k f k k +++⋅⋅⋅+-++，选C. 【点睛】本题考查数学归纳法，考查基本分析判断能力，属基础题11．已知x ，y 的线性回归直线方程为0.82 1.27y x =+，且x ，y 之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法错误的为A ．变量x ，y 之间呈现正相关关系B ．可以预测，当5x =时， 5.37y =C ． 2.09m =D ．由表格数据可知，该回归直线必过点()1.5,2.5【答案】C 【解析】 【分析】A 中，根据线性回归直线方程中回归系数b =0.82＞0，判断x ，y 之间呈正相关关系；B 中，利用回归方程计算x ＝5时y 的值即可预测结果；C 中，计算x 、y ，代入回归直线方程求得m 的值；D 中，由题意知m ＝1.8时求出x 、y ，可得回归直线方程过点（x ，y ）． 【详解】已知线性回归直线方程为y =0.82x+1.27，b =0.82＞0，所以变量x ，y 之间呈正相关关系，A 正确；计算x ＝5时，y =0.82×5+1.27＝5.37，即预测当x ＝5时y ＝5.37，B 正确；14x =⨯（0+1+2+3）＝1.5，14y =⨯（0.8+m+3.1+4.3）8.24m +=， 代入回归直线方程得8.24m+=0.82×1.5+1.27，解得m ＝1.8，∴C 错误； 由题意知m ＝1.8时，x =1.5，y =2.5，所以回归直线方程过点（1.5，2.5），D 正确． 故选C ． 【点睛】本题考查了线性回归方程的概念与应用问题，是基础题．12．已知点()1,2A -，()1,4B ，若直线l 过原点，且A 、B 两点到直线l 的距离相等，则直线l 的方程为( )A ．y x =或0x =B ．y x =或0y =C ．y x =或4y x =-D ．y x =或12y x =【答案】A 【解析】 【分析】分为斜率存在和不存在两种情况，根据点到直线的距离公式得到答案. 【详解】当斜率不存在时：直线l 过原点0x ⇒=，验证满足条件. 当斜率存在时：直线l 过原点，设直线为：y kx =1k =⇒= 即y x =故答案选A 【点睛】本题考查了点到直线的距离公式，忽略斜率不存在的情况是容易犯的错误. 二、填空题：本题共4小题13．正项等比数列{}n a 中，n S 为数列{}n a 的前n 项和，21a =，则3S 的取值范围是____________． 【答案】[3,)+∞ 【解析】 【分析】利用2123=1a a a =结合基本不等式求得3S 的取值范围【详解】由题意知，31232S a a a a =++≥+2213a a a =，所以3233S a ≥=，当且仅当13=1a a =等号成立，所以3[3,)S ∈+∞. 故答案为：[3,)+∞ 【点睛】本题考查等比数列的前n 项和及性质，利用性质结合基本不等式求最值是关键 14．已知1tan 2α=，则sin 3cos sin cos αααα-=+______. 【答案】53- 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得. 【详解】解：sin 3cos tan 3sin cos tan 1αααααα--=++，1tan 2α=13sin 3cos tan 3521sin cos tan 1312αααααα---∴===-+++ 故答案为：53-【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，齐次式的计算，属于基础题. 15．空间两点(1,2,4)M --，(1,1,2)N -间的距离MN 为_____．【答案】3 【解析】 【分析】根据空间中两点间的距离公式即可得到答案 【详解】由空间中两点间的距离公式可得; 3MN ==; 故距离为3 【点睛】本题考查空间中两点间的距离公式，属于基础题。

福建省厦门市2016-2017学年高一上学期期末质检数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}1,234,5U =，，，集合{}34A =，，{}12B =，，则()U C A B 等于（ ）A ．{}12，B ．{}13，C ．{}125，，D ．{}123，， 2.下列函数中，是奇函数且在()0+∞，上单调递减的是（ ） A ．1y x -= B ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭ C ．3y x = D ．12log y x =3.用系统抽样方法从编号为1,2,3，…，700的学生中抽样50人，若第2段中编号为20的学生被抽中，则第5段中被抽中的学生编号为（ ）A ．48B ．62C ．76D ．904.如图所示为某城市去年风向频率图，图中A 点表示该城市去年有的天数吹北风，点表示该城B 市去年有10%的天数吹东南风，下面叙述不正确．．．的是（ ）A ．去年吹西北风和吹东风的频率接近B ．去年几乎不吹西风C ．去年吹东风的天数超过100天D ．去年吹西南风的频率为15%左右 5.已知函数()1ln 2f x x =-，若a b ≠，()()f a f b =，则ab 等于（ ） A ．1 B ．1e - C. e D ．2e6.保险柜的密码由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中的四个数字组成，假设一个人记不清自己的保险柜密码，只记得密码全部由奇数组成且按照递增顺序排列，则最多输入2次就能开锁的频率是（ ） A ．15 B ．14 C.25 D ．9207.如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的,a b 分别为98,63，则输出的a 为（ ）A ．0B ．7 C.14 D ．288.已知函数xy a =（0a >且1a ≠）是减函数，则下列函数图象正确的是（ ）A ．B ． C. D ．9.已知()2ln 11f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则()()()()()()()()75313579f f f f f f f f -+-+-+-++++=（ ）A ．0B ．4 C.8 D ．1610.矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点E ，记“AEB ∆的最大边是AB ”为事件M ，则()P M 等于（ ）A ．2B 1-11.元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》一书，是中国古代数学的重要著作之一，共分卷首、上卷、中卷、下卷四卷，下卷中《果垛叠藏》第一问是：“今有三角垛果子一所，值钱一贯三百二十文，只云从上一个值钱二文，次下层层每个累贯一文，问底子每面几何？”据此，绘制如图所示程序框图，求得底面每边的果子数n 为（ ）A ．7B ．8 C.9 D ．1012.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()1f x x =-.若方程()f x =4个不相等的实根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．5,14⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.4,15⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．31,4⎛⎫- ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.某学习小组6名同学的英语口试成绩如茎叶图所示，则这些成绩的中位数为 ．14.空气质量指数（Air Quality Index ，简称AQI ）是定量描述空气质量状况的指数.AQI 数值越小，说明空气质量越好.某地区1月份平均()AQI y 与年份()x 具有线性相关关系.下列最近3年的数据：根据数据求得y 关于x 的线性回归方程为14y x a =-+，则可预测2017年1月份该地区的平均AQI 为 ．15.已知()()321f x x a x =+-是奇函数，则不等式()()f ax f a x >-的解集是 ．16.已知函数()()2log 11,1,1,x x k f x x x k x a ⎧-+-≤<⎪=⎨-≤≤⎪⎩，若存在实数k 使得函数()f x 的值域为[]0,2，则实数a的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）已知集合{}|20A x x x =<->或，1|33xB x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≥⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭.（Ⅰ）求A B ；（Ⅱ）若集合{}|1C x a x a =<≤+，且A C C =，求a 的取值范围.18. （本小题满分12分）已知函数()24,0,1,0xx x x f x a x ⎧-+≥=⎨-<⎩（0a >且1a ≠）的图象经过点()2,3-.（Ⅰ）求a 的值，并在给出的直角坐标系中画出()y f x =的图象； （Ⅱ）若()f x 在区间(),1m m +上是单调函数，求m 的取值范围. 19. （本小题满分12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可参加抽奖，抽奖有两种方案可供选择. 方案一：从装有4个红球和2个白球的不透明箱中，随机摸出2个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖；方案二：掷2颗骰子，如果出现的点数至少有一个为4则中奖，否则不中奖. （注：骰子（或球）的大小、形状、质地均相同）（Ⅰ）有顾客认为，在方案一种，箱子中的红球个数比白球个数多，所以中奖的概率大于12.你认为正确吗？请说明理由；（Ⅱ）如果是你参加抽奖，你会选择哪种方案？请说明理由. 20. （本小题满分12分）下面给出了2010年亚洲一些国家的国民平均寿命（单位：岁）（Ⅰ）请补齐频率分布表，并求出相应频率分布直方图中的,a b ；（Ⅱ）请根据统计思想，利用（Ⅰ）中的频率分布直方图估计亚洲人民的平均寿命.21. （本小题满分12分）某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲，这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲覆盖面积为224m ，三月底测得覆盖面积为236m ，凤眼莲覆盖面积y （单位：2m ）与月份x （单位：月）的关系有两个函数模型()0,1xy kak a =>>与()120y pxq p =+>可供选择.（Ⅰ）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； （Ⅱ）求凤眼莲覆盖面积是元旦放入面积10倍以上的最小月份. （参考数据：lg 20.3010≈，lg 30.4771≈） 22. （本小题满分12分）已知函数()()20f x x ax a =+>在[]1,2-上的最大值为8，函数()g x 是()xh x e =的反函数.（Ⅰ）求函数()()g f x 的单调区间； （Ⅱ）求证：函数()()()10y f x h x x x=->恰有一个零点0x ，且()()02001g x x h x <-.（参考数据：2.71828e =…，ln 20.693≈）福建省厦门市2016-2017学年高一上学期期末质检数学试题答案一、选择题1-5:AABDC 6-10:CBDCB 11、12：CB二、填空题13. 85 14.36 15.1|2x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭16.12a ≤≤ 三、解答题17.本小题考查集合的运算，集合间的关系，指数不等式解法等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想．本题满分10分． 解：（Ⅰ）111()3(),33x -≥=且函数1()3x y =在R 上为减函数， ∴1x ≤-，18.本小题考查二次函数、指数函数、分段函数等基础知识，考查函数的基本性质；考查运算求解能力、推理论证能力；考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想．本题满分12分． 解：（Ⅰ）∵函数()f x 的图象经过点(2,3)-，∴213a --=，解得12a =， ∴24,0,()1()1,0.2x x x x f x x ⎧-+≥⎪=⎨-<⎪⎩（Ⅱ）由（Ⅰ）可知函数()f x 的单调递增区间是()0,2，单调递减区间是(),0-∞，()2,+∞，∴10m +≤或2m ≥或120m m +≤⎧⎨≥⎩，∴m 的取值范围为1m ≤-或01m ≤≤或2m ≥.19.本小题考查古典概型等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力以及应用数学知识解决实际问题的能力，考查化归与转化等数学思想. 本题满分12分．解：（Ⅰ）将4个红球分别记为1a ，2a ，3a ，4a ，2个白球分别记为1b ，2b ，则从箱中随机摸出2个球有以下结果：{1a ,2a }，{1a ,3a }，{1a ,4a }，{1a ,1b }，{1a ,2b }，{2a ,3a }，{2a ,4a }，{2a ,1b }，{2a ,2b }，{3a ,4a }，{3a ,1b }，{3a ,2b }，{4a ,1b }，{4a ,2b }，{1b ,2b }，总共15种， 其中2个都是红球的有{1a ,2a }，{1a ,3a }，{1a ,4a }，{2a ,3a }，{2a ,4a }，{3a ,4a }共6 种， 所以方案一中奖的概率为16211552p ==<， 所以顾客的想法是错误的.（Ⅱ）抛掷2颗骰子，所有基本事件共有36种，其中出现的点数至少有一个4的基本事件有（1,4），（2,4），（3,4），（4,4），（5,4），（6,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,5），（4,6）共11种，所以方案二中奖的概率为2112365p =<， 所以应该选择方案一.20.本题考查学生收集、整理、分析数据的能力；考查学生利用频率分布直方图估计样本平均值的能力以及用样本估计总体的思想. 本题满分12分． 解：（Ⅰ）频率分布表补齐如下：0.2250.056254a ==，0.1750.043754b == （Ⅱ）由频率分布直方图可知，以上所有国家的国民平均寿命的平均数约为610.05650.15690.275730.225x =⨯+⨯+⨯+⨯770.175810.125+⨯+⨯71.8=根据统计思想，估计亚洲人民的平均寿命大约为71.8岁.21.本小题考查数学建模能力、运算求解能力、分析问题和解决问题的能力；考查数学应用意识．本小题满分12分．解：(Ⅰ)两个函数xy ka =(0,1)k a >>，12(0)y px q p =+>在(0,)+∞上都是增函数，随着x 的增加，函数xy ka =(0,1)k a >>的值增加的越来越快，而函数12(0)y px q p =+>的值增加的越来越慢. 由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，所以函数模型xy ka =(0,1)k a >>适合要求．由题意可知，2x =时，24y =；3x =时，36y =，所以2324,36.ka ka ⎧=⎨=⎩解得32,33.2k a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以该函数模型的解析式是32332xy ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭()x N *∈．(Ⅱ) 0x =时, 032332323y ⎛⎫=⋅=⎪⎝⎭, 所以元旦放入凤眼莲面积是232,3m 由3233210323x⎛⎫⋅>⨯ ⎪⎝⎭得310,2x⎛⎫> ⎪⎝⎭所以32lg101log 10,3lg 3lg 212x g >==- 因为115.7,lg 3lg 20.47700.3010=≈--所以6x ≥，所以凤眼莲覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是6月份.22.本小题考查二次函数、反函数、函数的单调性、函数的零点等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力和创新意识；考查函数与方程、数形结合、化归与转化等数学思想．本小题满分12分．解：(Ⅰ) 函数2()(0)f x x ax a =+>的图象开口向上，且()(2)1330f f a --=+>，所以()f x 在[]1,2-上的最大值为(2)428f a =+=， 所以2a =，2()2f x x x =+， 因为()g x 是()e x h x =的反函数，所以()ln g x x =，()2(())ln 2g f x x x =+， 由220x x +>，得0x >或2x <-，又因为()f x 在(),2-∞-上单调递减，在()0,+∞上单调递增， 所以(())g f x 的单调递增区间为()0,+∞，单调递减区间为(),2-∞-. (Ⅱ) 由(Ⅰ)知，2()2,f x x x =+记()()1()()0x f x h x x xϕ=->， 设120x x <<，则12120,0x x x x -<>，所以12120x x x x -<， 因为()f x 在(0,)+∞上递增且()0f x >，所以()()210f x f x >>，又因为21e >e 0x x>，所以()()1212e e x xf x f x <，所以21212111)()()()(21x x e x f ex f x x x x +--=-ϕϕ=21212121)()(x x x x e x f e x f x x -+-.0< 即()()12x x ϕϕ<，所以()x ϕ在(0,)+∞上递增，又因为12202ϕ⎛⎫=->-= ⎪⎝⎭，11e e 212e 1e e e e 0e e ϕ+⎛⎫=-<-< ⎪⎝⎭，即1102e ϕϕ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以函数()1()()0y f x h x x x =->恰有一个零点0x ，且0x 11,e 2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以()0200012e 0xx x x +-=，即()020001e 2x x x x =+， 所以()22000000200011()()ln ln 22x h x g x x x x x x x x -=-=-++，因为1ln 2y x x =-+在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数， 所以0012122ln ln ln 20.6125255x x ->-=+>+=+，即2000()()1g x x h x <-， 综上，函数()1()()0y f x h x x x=->恰有一个零点0x ，且2000()()1g x x h x <-.。

福建省重点名校2017-2018学年高一下学期期末学业质量监测数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数()cos f x x x x =+在[],ππ-上的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性和函数图像上的特殊点，对选项进行排除，由此得出正确选项. 【详解】由于()()()cos f x x x x f x -=-+=-，所以函数为奇函数，图像关于原点对称，排除C 选项.由于()π0f =，所以排除D 选项.由于ππππ03632f ⎛⎫=+=> ⎪⎝⎭，所以排除B 选项.故选：A. 【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性、特殊点，属于基础题.2．袋子中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“和”、“谐”、“校”、“园”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“和”、“谐”两个字都摸到就停止摸球，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止摸球的概率。

利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，分别用1，2，3，4代表“和”、“谐”、“校”、“园”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 343432341342234142243331112342241244431233214344142134由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为（ ） A ．16B ．29C ．518D ．19【答案】B 【解析】 【分析】随机模拟产生了18组随机数，其中第三次就停止摸球的随机数有4个，由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率． 【详解】随机模拟产生了以下18组随机数：343 432 341 342 234 142 243 331 112 342 241 244 431 233 214 344 142 134 其中第三次就停止摸球的随机数有：142，112，241，142，共4个， 由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为p 42189==． 故选：B ． 【点睛】本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 3．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A ，B 的坐标分别为(1，1)，(-3，3).若动点P 满足OP OA OB λμ=+，其中λ，μ∈R ，且λ+μ=1，则点P 的轨迹方程为() A ．0x y -= B ．0x y +=C ．230x y +-=D ．22(1)(2)0x y ++-=【答案】C 【解析】 【分析】设P 点坐标(,)x y ，代入OP OA OB λμ=+，得到即33x y λμλμ=-⎧⎨=+⎩，再根据1λμ+=，即可求解.【详解】设P 点坐标(,)x y ，因为点,A B 的坐标分别为(1,1),(3,3)-， 将各点坐标代入OP OA OB λμ=+,可得(,)(1,1)(3,3)x y λμ=+-，即33x y λμλμ=-⎧⎨=+⎩，解得1()21()6x y y x λμ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，代入1λμ+=，化简得230x y +-=，故选C. 【点睛】本题主要考查了平面向量的坐标运算和点的轨迹的求解，其中解答中熟记向量的坐标运算，以及平面向量的基本定理是解答的关键，着重考查了推理运算能力，属于基础题. 4．函数sin(2),y x =-[0,2]x π的简图是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】变形为sin 2y x =-，求出周期排除两个选项，再由函数值正负排除一个，最后一个为正确选项． 【详解】函数sin 2y x =-的周期是22T ππ==，排除AB ，又04x π<<时，sin 2y x =-0<，排除C ．只有D 满足． 故选：D. 【点睛】本题考查由函数解析式选图象，可通过研究函数的性质如单调性、奇偶性、周期性、对称性等排除某些选项，还可求出特殊值，特殊点，函数值的正负，函数值的变化趋势排除一些选项，从而得出正确选项． 5．设全集U =R ，集合{}13A x x =-<<,{}21B x x x =≤-≥或,则()U A C B =（ ）A ．{}11x x -<< B ．{}23x x -<< C ．{}23x x -≤< D ．{}21x x x ≤->-或【答案】A 【解析】 【分析】进行交集、补集的运算即可． 【详解】∁U B ＝{x|﹣2＜x ＜1}；∴A∩（∁U B ）＝{x|﹣1＜x ＜1}． 故选：A ． 【点睛】考查描述法的定义，以及交集、补集的运算． 6．如果直线a 平行于平面α，则（ ） A ．平面α内有且只有一直线与a 平行B ．平面α内有无数条直线与a 平行C ．平面α内不存在与a 平行的直线D ．平面α内的任意直线与直线a 都平行 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面平行的性质解答本题． 【详解】根据线面平行的性质定理，已知直线//a 平面α.对于A ，根据线面平行的性质定理，只要过直线a 的平面与平面α相交得到的交线，都与直线a 平行；所以平面α内有无数条直线与a 平行；故A 错误；对于B ，只要过直线a 的平面与平面α相交得到的交线，都与直线a 平行；所以平面α内有无数条直线与a 平行；故B 正确；对于C ，根据线面平行的性质，过直线a 的平面与平面α相交得到的交线b ，则直线//a b ，所以C 错误； 对于D ，根据线面平行的性质，过直线a 的平面与平面α相交得到的交线b ，则直线//a b ，则在平面α内与直线b 相交的直线与a 不平行，所以D 错误； 故选：B ． 【点睛】本题考查了线面平行的性质定理；如果直线与平面平行，那么过直线的平面与已知平面相交，直线与交线平行．7．如图，1111ABCD A B C D -为正方体，下面结论错误的是（ ）A ．//BD 平面11CB D B ．1AC BD ⊥ C ．1AC ⊥平面11CB DD ．异面直线AD 与1CB 所成的角为60︒ 【答案】D 【解析】【详解】 在正方体中与11B D 平行，因此有与平面 平行，A 正确；在平面 内的射影垂直于，因此有，B 正确；与B 同理有与垂直，从而平面，C 正确；由知与所成角为45°，D 错．故选D ．8．已知α，β是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，给出下列命题： ①若m ∥α，m ∥β，则α∥β②若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β；③m ⊂α，n ⊂β，m 、n 是异面直线，那么n 与α相交； ④若α∩β=m ，n ∥m ，且n ⊄α，n ⊄β，则n ∥α且n ∥β． 其中正确的命题是（ ） A ．①② B ．②③C ．③④D ．④【答案】D 【解析】 【分析】利用平面与平面垂直和平行的判定和性质，直线与平面平行的判断，对选项逐一判断即可． 【详解】①若m ∥α，m ∥β，则α∥β或α与β相交，错误命题；②若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β或α与β相交．错误的命题； ③m ⊂α，n ⊂β，m 、n 是异面直线，那么n 与α相交,也可能n ∥α，是错误命题； ④若α∩β＝m ，n ∥m ，且n ⊄α，n ⊄β，则n ∥α且n ∥β．是正确的命题． 故选D ． 【点睛】本题考查平面与平面的位置关系，直线与平面的位置关系，考查空间想象力，属于中档题.9．已知实数,x y 满足2050370x y x y x y -≤⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，则3z x y =-+的取值范围是（ ）A ．[]5,11 B ．[]1,13C ．[]5,13D ．[]1,11【答案】D 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合即可得到结论．由线性约束条件作出可行域，如下图三角形ABC 阴影部分区域（含边界），令30z x y =-+=，直线0l ：30x y -+=，平移直线0l ，当过点(1,4)A 时取得最大值13411z =-+⨯=，当过点(2,1)B 时取得最小值2311z =-+⨯=，所以3z x y =-+的取值范围是[1,11].【点睛】本题主要考查线性规划的应用．本题先正确的作出不等式组表示的平面区域，再结合目标函数的几何意义进行解答是解决本题的关键．10．已知2παπ<<,1sin cos 5αα+=,则2cos sin αα-（ ）A ．57- B ．75- C ．107 D ．107-【答案】D 【解析】由题意可得112sin cos 25αα+=，即242sin cos 025αα=-<，则cos 0α<，所以2412sin cos 125αα-=+，即497sin cos 255αα-==，也即7sin cos 5αα-=，所以210cos sin 7αα=--，应选答案D ．点睛：解答本题的关键是借助题设中的条件获得242sin cos 025αα=-<，进而得到cos 0α<，求得7sin cos 5αα-=，从而求出210cos sin 7αα=--使得问题获解． 11．将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，则三棱锥C ABD -的外接球表面积为（） A ．π B ．12πC ．8πD ．4π【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，画出图形，结合图形得出三棱锥C ABD -的外接球直径，从而求出外接球的表面积，得到答案.由题意，将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，得到三棱锥C ABD -， 如图所示，则,,BC CD BA AD OA OB OC OC ⊥⊥===,三棱锥C ABD -的外接球直径为22BD =，即半径为2R =，外接球的表面积为2244(2)8R πππ=⨯=，故选C.【点睛】本题主要考查了平面图形的折叠问题，以及外接球的表面积的计算，着重考查了空间想象能力，以及推理与计算能力，属于基础题.12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）A ．54B ．54185+C ．90D ．81【答案】A 【解析】 【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以正方形为底面的斜四棱柱，进而得到答案． 【详解】由三视图可知，该多面体是一个以正方形为底面的斜四棱柱， 四棱柱的底面是边长为3的正方形，四棱柱的高为6， 则该多面体的体积为33654⨯⨯=. 故选：A. 【点睛】本题考查三视图知识及几何体体积的计算，根据三视图判断几何体的形状，再由几何体体积公式求解，属于简单题.二、填空题：本题共4小题13．在等比数列{}n a 中,若245,20a a ==,则6a =__________. 【答案】80 【解析】 【分析】由2426a a a =即可求出【详解】因为{}n a 是等比数列，245,20a a ==所以2426a a a =， 所以64005a =即680a = 故答案为：80 【点睛】本题考查的是等比数列的性质，较简单14．已知{}n a 为等差数列,135246105,99a a a a a a ++=++=,{}n a 前n 项和n S 取得最大值时n 的值为___________. 【答案】20 【解析】 【分析】先由条件求出1,a d ，算出n S ，然后利用二次函数的知识求出即可 【详解】设{}n a 的公差为d ，由题意得135********d a a a a d a a ++++==++即1235a d +=，①2461113599a a a a d a d a d ++=+++++=即1333a d +=，②由①②联立得139,2a d ==-所以()()22139(2)40204002n S n n n n n n -=+⨯-=-+=--+故当20n =时，n S 取得最大值400 故答案为：20 【点睛】等差数列的n S 是关于n 的二次函数，但要注意n 只能取正整数. 15．已知α为锐角，cos 5α=，则tan 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭________．【答案】17- 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系求出tan α，并利用二倍角正切公式计算出tan2α的值，再利用两角和的正切公式求出tan 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 【详解】α为锐角，则sin 5α===，sin tan 2cos ααα∴==，由二倍角正切公式得222tan 224tan 21tan 123ααα⨯===---， 因此，41tantan 2134tan 24471tan tan 21143παπαπα-+⎛⎫+===- ⎪⎛⎫⎝⎭--⨯- ⎪⎝⎭，故答案为17-. 【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系求值、二倍角正切公式和两角和的正切公式求值，解题的关键就是灵活利用这些公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.16．已知数列{}n a 为等差数列，754a a -=，1121a =，若9k S =，则k =________. 【答案】3 【解析】 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据已知条件列方程组解出1a 和d 的值，可求出k S 的表达式，再由9k S =可解出k 的值. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由7511421a a a -=⎧⎨=⎩，得1241021d a d =⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，()()211192k k k S ka d k k k k -∴=+=+-==，k N *∈，因此，3k =，故答案为：3.【点睛】本题考查等差数列的求和，对于等差数列的问题，通常建立关于首项和公差的方程组求解，考查方程思想，属于中等题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

高数下期末考试试题及答案解析(总6页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--22017学年春季学期《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷（A ）注意： 1、本试卷共 3 页；2、考试时间110分钟；3、姓名、学号必须写在指定地方一、单项选择题（8个小题，每小题2分，共16分）将每题的正确答案的代号A 、B 、C 或D 填入下表中．1．已知a 与b都是非零向量，且满足-=+a b a b ，则必有（ ）. (A)-=0a b (B)+=0a b (C)0⋅=a b (D)⨯=0a b2.极限2222001lim()sin x y x y x y →→+=+( ). (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)不存在3．下列函数中，d f f =∆的是( ).（A ）(,)f x y xy = （B ）00(,),f x y x y c c =++为实数 （C ）(,)f x y =（D ）(,)e x y f x y +=4．函数(,)(3)f x y xy x y =--，原点(0,0)是(,)f x y 的( ). （A ）驻点与极值点 （B ）驻点，非极值点 （C ）极值点，非驻点 （D ）非驻点，非极值点 5．设平面区域22:(1)(1)2D x y -+-≤，若1d 4Dx y I σ+=⎰⎰，2DI σ=，3DI σ=，则有（ ）. （A ）123I I I << （B ）123I I I >> （C ）213I I I << （D ）312I I I <<6．设椭圆L ：13422=+y x 的周长为l ，则22(34)d L x y s +=⎰（ ）. (A) l (B) l 3 (C) l 4 (D) l 127．设级数∑∞=1n n a 为交错级数，0()n a n →→+∞，则（ ）.(A)该级数收敛 (B)该级数发散(C)该级数可能收敛也可能发散 (D)该级数绝对收敛 8.下列四个命题中，正确的命题是（ ）.（A ）若级数1n n a ∞=∑发散，则级数21n n a ∞=∑也发散（B ）若级数21n n a ∞=∑发散，则级数1n n a ∞=∑也发散（C ）若级数21n n a ∞=∑收敛，则级数1n n a ∞=∑也收敛（D ）若级数1||n n a ∞=∑收敛，则级数21n n a ∞=∑也收敛二、填空题(7个小题，每小题2分，共14分)．1.直线3426030x y z x y z a -+-=⎧⎨+-+=⎩与z 轴相交，则常数a 为 .2．设(,)ln(),y f x y x x=+则(1,0)y f '=______ _____.3．函数(,)f x y x y =+在(3,4)处沿增加最快的方向的方向导数为 .4．设22:2D x y x +≤，二重积分()d Dx y σ-⎰⎰= .5．设()f x 是连续函数，22{(,,)|09}x y z z x y Ω=≤≤--，22()d f x y v Ω+⎰⎰⎰在柱面坐标系下的三次积分为 .6.幂级数11(1)!nn n x n ∞-=-∑的收敛域是 . 三峡大学 试卷纸 教学班 序 学 姓名 ……………………．……答 题 不 要 超 过 密 封 线…………．………………………………37.将函数21,0()1,0x f x xx ππ--<≤⎧⎪=⎨+<≤⎪⎩以2π为周期延拓后，其傅里叶级数在点x π=处收敛于 .三、综合解答题一（5个小题，每小题7分，共35分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 1．设(,)x u xf x y=，其中f 有连续的一阶偏导数，求ux∂∂，u y ∂∂． 解：2．求曲面e 3z z xy ++=在点(2,1,0)处的切平面方程及法线方程． 解：3.交换积分次序，并计算二次积分0sin d d xyx y yππ⎰⎰． 解：4．设Ω是由曲面1,,===x x y xy z 及0=z 所围成的空间闭区域，求23d d d I xy z x y z Ω=⎰⎰⎰.解：三峡大学 试卷纸 教学班 序 学 姓名 ……………………．……答 题 不 要 超 过 密 封 线…………．………………………………45．求幂级数11n n nx∞-=∑的和函数()S x ，并求级数12n n n ∞=∑的和．解：四、综合解答题二（5个小题，每小题7分，共35分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1.从斜边长为1的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形． 解2．计算积分22()d Lx y s +⎰，其中L 为圆周22x y ax += (0a >)．解：3．利用格林公式，计算曲线积分22()d (2)d LI xy x x xy y =+++⎰，其中L 是由抛物线2y x =和2x y =所围成的区域D 的正向边界曲线．4． 计算d x S ∑⎰⎰，∑为平面1=++z y x 在第一卦限部分.解：三峡大学 试卷纸 教学班 序 学 姓名 ……………………．……答 题 不 要 超 过 密 封 线…………．………………………………x O 2y x = 2x y = yD55．利用高斯公式计算对坐标的曲面积分d d d d d d x y y z zx ，其中∑为圆锥面222z x y =+介于平面0z =及1z =之间的部分的下侧. 解：2017学年春季学期《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷(A)答案及评分标准一、单项选择题（8个小题，每小题2分，共16分）1．已知a 与b 都是非零向量，且满足-=+a b a b ，则必有（D ） (A)-=0a b ； (B)+=0a b ； (C)0⋅=a b ； (D)⨯=0a b ．2.极限2222001lim()sin x y x y x y →→+=+ ( A )(A) 0； (B) 1； (C) 2； (D)不存在. 3．下列函数中，d f f =∆的是( B )；（A ） (,)f x y xy =； （B ）00(,),f x y x y c c =++为实数； （C ）(,)f x y = （D ）(,)e x y f x y +=.4．函数(,)(3)f x y xy x y =--，原点(0,0)是(,)f x y 的( B ). （A ）驻点与极值点； （B ）驻点，非极值点； （C ）极值点，非驻点； （D ）非驻点，非极值点. 5．设平面区域D ：22(1)(1)2x y -+-≤，若1d 4Dx y I σ+=⎰⎰，2DI σ=，3DI σ=，则有（ A ） （A ）123I I I <<； （B ）123I I I >>； （C ）213I I I <<； （D ）312I I I <<． 6．设椭圆L ：13422=+y x 的周长为l ，则22(34)d L x y s +=⎰（D ） (A) l ； (B) l 3； (C) l 4； (D) l 12．7．设级数∑∞=1n n a 为交错级数，0()n a n →→+∞，则（ C ）(A)该级数收敛； (B)该级数发散；(C)该级数可能收敛也可能发散； (D) 该级数绝对收敛． 8.下列四个命题中，正确的命题是（ D ）（A ）若级数1n n a ∞=∑发散，则级数21n n a ∞=∑也发散；（B ）若级数21n n a ∞=∑发散，则级数1n n a ∞=∑也发散；（C ）若级数21n n a ∞=∑收敛，则级数1n n a ∞=∑也收敛；6（D ）若级数1||n n a ∞=∑收敛，则级数21n n a ∞=∑也收敛．二、填空题(7个小题，每小题2分，共14分)．1.直线3426030x y z x y z a -+-=⎧⎨+-+=⎩与z 轴相交，则常数a 为 3 。

2016-2017学年福建省厦门市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={3，4}，B={1，2}，则（∁U A）∩B等于（）A．{1，2}B．[1，3}C．{1，2，5}D．{1，2，3}2．（5分）下列函数中，是奇函数且在（0，+∞）上单调递减的是（）A．y=x﹣1B．y=（）x C．y=x3 D．3．（5分）用系统抽样方法从编号为1，2，3，…，700的学生中抽样50人，若第2段中编号为20的学生被抽中，则第5段中被抽中的学生编号为（）A．48 B．62 C．76 D．904．（5分）如图所示为某城市去年风向频率图，图中A点表示该城市去年有的天数吹北风，点表示该城B市去年有10%的天数吹东南风，下面叙述不正确的是（）A．去年吹西北风和吹东风的频率接近B．去年几乎不吹西风C．去年吹东风的天数超过100天D．去年吹西南风的频率为15%左右5．（5分）已知函数f（x）=|lnx﹣|，若a≠b，f（a）=f（b），则ab等于（）A．1 B．e﹣1C．e D．e26．（5分）保险柜的密码由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的四个数字组成，假设一个人记不清自己的保险柜密码，只记得密码全部由奇数组成且按照递增顺序排列，则最多输入2次就能开锁的频率是（）A．B．C．D．7．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为98，63，则输出的a为（）A．0 B．7 C．14 D．288．（5分）已知函数y=a x（a＞0且a≠1）是减函数，则下列函数图象正确的是（）A．B．C．D．9．（5分）已知f（x）=ln（1﹣）+1，则f（﹣7）+f（﹣5 ）+f（﹣3）+f（﹣1）+f（3 ）+f （5）+f（7 ）+f（9）=（）A．0 B．4 C．8 D．1610．（5分）矩形ABCD中，AB=2，AD=1，在矩形ABCD的边CD上随机取一点E，记“△AEB的最大边是AB”为事件M，则P（M）等于（）A．2﹣B．﹣1 C．D．11．（5分）元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》一书，是中国古代数学的重要著作之一，共分卷首、上卷、中卷、下卷四卷，下卷中《果垛叠藏》第一问是：“今有三角垛果子一所，值钱一贯三百二十文，只云从上一个值钱二文，次下层层每个累贯一文，问底子每面几何？”据此，绘制如图所示程序框图，求得底面每边的果子数n为（）A．7 B．8 C．9 D．1012．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=|x﹣1|，若方程f（x）=有4个不相等的实根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，1）B．（，1）C．（，1）D．（﹣1，）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）某学习小组6名同学的英语口试成绩如茎叶图所示，则这些成绩的中位数为．14．（5分）空气质量指数（AirQualityIndex，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数．AQI 数值越小，说明空气质量越好．某地区1月份平均AQI（y）与年份（x）具有线性相关关系．下列最近3年的数据：年份2014201520161月份平均AQI（y）766848根据数据求得y关于x的线性回归方程为=﹣14x+a，则可预测2017年1月份该地区的平均AQI为．15．（5分）已知f（x）=x3+（a﹣1）x2是奇函数，则不等式f（ax）＞f（a﹣x）的解集是．16．（5分）已知函数f（x）=，若存在实数k使得函数f（x）的值域为[0，2]，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知集合A={x|x＜﹣2或x＞0}，B={x|（）x≥3}（Ⅰ）求A∪B（Ⅱ）若集合C={x|a＜x≤a+1}，且A∩C=C，求a的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）=，（x＞0且a≠1）的图象经过点（﹣2，3）．（Ⅰ）求a的值，并在给出的直角坐标系中画出y=f（x）的图象；（Ⅱ）若f（x）在区间（m，m+1）上是单调函数，求m的取值范围．19．（12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可参加抽奖，抽奖有两种方案可供选择．方案一：从装有4个红球和2个白球的不透明箱中，随机摸出2个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖；方案二：掷2颗骰子，如果出现的点数至少有一个为4则中奖，否则不中奖．（注：骰子（或球）的大小、形状、质地均相同）（Ⅰ）有顾客认为，在方案一种，箱子中的红球个数比白球个数多，所以中奖的概率大于．你认为正确吗？请说明理由；（Ⅱ）如果是你参加抽奖，你会选择哪种方案？请说明理由．20．（12分）下面给出了2010年亚洲一些国家的国民平均寿命（单位：岁）国家平均寿命国家平均寿命国家平均寿命国家平均寿命国家平均寿命阿曼76.1巴林76.1朝鲜68.9韩国80.6老挝64.3蒙古67.6缅甸64.9日本82.8泰国73.7约旦73.4越南75.0中国74.8伊朗74.0印度66.5文莱77.6也门62.8阿富汗59.0阿联酋76.7东帝汶67.3柬埔寨66.4卡塔尔77.8科威特74.1菲律宾67.8黎巴嫩78.5尼泊尔68.0土耳其74.1伊拉克68.5以色列81.6新加坡81.5叙利亚72.3巴基斯坦65.2马来西亚74.2孟加拉国70.1塞浦路斯79.4沙特阿拉伯73.7哈萨克斯坦68.3印度尼西亚68.2土库曼斯坦65.0吉尔吉斯斯坦69.3乌兹别克斯坦67.9（Ⅰ）请补齐频率分布表，并求出相应频率分布直方图中的a，b；分组频数频率[59.0，63.0）20.05[63.0，67.0）[67.0，71.0）[71.0，75.0）90.225[75.0，7.0）70.175[79.0，83.0]50.125合计40 1.00（Ⅱ）请根据统计思想，利用（Ⅰ）中的频率分布直方图估计亚洲人民的平均寿命．21．（12分）某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲，这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲覆盖面积为24m2，三月底测得覆盖面积为36m2，凤眼莲覆盖面积y（单位：m2）与月份x（单位：月）的关系有两个函数模型y=ka x（k＞0，a＞1）与y=px+q （p＞0）可供选择．（Ⅰ）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；（Ⅱ）求凤眼莲覆盖面积是元旦放入面积10倍以上的最小月份．（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）22．（12分）已知函数f（x）=x2+ax（a＞0）在[﹣1，2]上的最大值为8，函数g（x）是h（x）=e x的反函数．（1）求函数g（f（x））的单调区间；（2）求证：函数y=f（x）h（x）﹣（x＞0）恰有一个零点x0，且g（x0）＜x02h（x0）﹣1（参考数据：e=2.71828…，ln2≈0.693）．2016-2017学年福建省厦门市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={3，4}，B={1，2}，则（∁U A）∩B等于（）A．{1，2}B．[1，3}C．{1，2，5}D．{1，2，3}【解答】解：全集U={1，2，3，4，5}，集合A={3，4}，B={1，2}，则∁U A={1，2，5}，∴（∁U A）∩B={1，2}．故选：A．2．（5分）下列函数中，是奇函数且在（0，+∞）上单调递减的是（）A．y=x﹣1B．y=（）x C．y=x3 D．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、y=x﹣1=，是奇函数，且其在（0，+∞）上单调递减，符合题意；对于B、y=（）x是指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于C、y=x3是幂函数，是奇函数但其在（0，+∞）上单调递增，不符合题意；对于D、y=是对数函数，不是奇函数，不符合题意；故选：A．3．（5分）用系统抽样方法从编号为1，2，3，…，700的学生中抽样50人，若第2段中编号为20的学生被抽中，则第5段中被抽中的学生编号为（）A．48 B．62 C．76 D．90【解答】解：因为是从700名学生中抽出50名学生，组距是14，∵第2段中编号为20的学生被抽中，∴第5组抽取的为20+3×14=62号，故选B．4．（5分）如图所示为某城市去年风向频率图，图中A点表示该城市去年有的天数吹北风，点表示该城B市去年有10%的天数吹东南风，下面叙述不正确的是（）A．去年吹西北风和吹东风的频率接近B．去年几乎不吹西风C．去年吹东风的天数超过100天D．去年吹西南风的频率为15%左右【解答】解：根据风向频率图，可知去年吹西南风的频率为5%左右，故选D．5．（5分）已知函数f（x）=|lnx﹣|，若a≠b，f（a）=f（b），则ab等于（）A．1 B．e﹣1C．e D．e2【解答】解：∵函数f（x）=|lnx﹣|，a≠b，f（a）=f（b），∴|lna﹣|=|lnb﹣|，∴lna﹣=lnb﹣或lna﹣=，即lna=lnb或ln（ab）=1，解得a=b（舍）或ab=e．∴ab=e．故选：C．6．（5分）保险柜的密码由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的四个数字组成，假设一个人记不清自己的保险柜密码，只记得密码全部由奇数组成且按照递增顺序排列，则最多输入2次就能开锁的频率是（）A．B．C．D．【解答】解：满足条件的数分别是1，3，5，7，9，共1，3，5，7；1，3，5，9；1，3，7，9；1，5，7，9；3，5，7，9 共5种密码，最多输入2次就能开锁的频率是p=，故选：C．7．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为98，63，则输出的a为（）A．0 B．7 C．14 D．28【解答】解：由程序框图可知：a=98＞63=b，∴a←35=98﹣63，b←28=63﹣35，∴a←7=35﹣28，b←21←28﹣7，a←14=21﹣7，b←7=21﹣14，a←7=14﹣7，则a=b=7，因此输出的a为7．故选：B．8．（5分）已知函数y=a x（a＞0且a≠1）是减函数，则下列函数图象正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：函数y=a x（a＞0且a≠1）是减函数，是指数函数，a∈（0，1），函数y=x a的图象为：所以A不正确；y=x﹣a，第一象限的图象为：第三象限也可能有图象．所以B不正确；y=log a x，是减函数，所以选项C不正确；y=log a（﹣x），定义域是x＜0，是增函数，所以D正确．故选：D．9．（5分）已知f（x）=ln（1﹣）+1，则f（﹣7）+f（﹣5 ）+f（﹣3）+f（﹣1）+f（3 ）+f （5）+f（7 ）+f（9）=（）A．0 B．4 C．8 D．16【解答】解：∵f（x）=ln（1﹣）+1，则f（﹣7）=ln9﹣ln7+1，f（﹣5 ）=ln7﹣ln5+1，f（﹣3）=ln5﹣ln3+1，f（﹣1）=ln3+1，f（3 ）=﹣ln3+1，f（5）=ln3﹣ln5+1，f（7 ）=ln5﹣ln7+1，f（9）=ln7﹣ln9+1，则f（﹣7）+f（﹣5 ）+f（﹣3）+f（﹣1）+f（3 ）+f（5）+f（7 ）+f（9）=8，故选：C．10．（5分）矩形ABCD中，AB=2，AD=1，在矩形ABCD的边CD上随机取一点E，记“△AEB的最大边是AB”为事件M，则P（M）等于（）A．2﹣B．﹣1 C．D．【解答】解：分别以A、B为圆心，AB为半径作弧，交C、D于P1，P2，当E在线段P1P2间运动时，能使得△ABE的最大边为AB，∵在矩形中ABCD中，AB=2，AD=1，∴AP1=BP2=2，∴CP1=DP2=2﹣，∴P1P2=2﹣2（2﹣）=2﹣2，∴△ABE的最大边是AB的概率：p==﹣1故选：B．11．（5分）元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》一书，是中国古代数学的重要著作之一，共分卷首、上卷、中卷、下卷四卷，下卷中《果垛叠藏》第一问是：“今有三角垛果子一所，值钱一贯三百二十文，只云从上一个值钱二文，次下层层每个累贯一文，问底子每面几何？”据此，绘制如图所示程序框图，求得底面每边的果子数n为（）A．7 B．8 C．9 D．10【解答】解：由S0=2，S n+1=S n+×（n+2），∴S9=2+++＞1320，故选：C．12．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=|x﹣1|，若方程f（x）=有4个不相等的实根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，1）B．（，1）C．（，1）D．（﹣1，）【解答】解：设x＜0，则﹣x＞0，∵当x≥0时，f（x）=|x﹣1|，∴f（﹣x）=|﹣x﹣1|=|x+1|，∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（x）=f（﹣x）=|x+1|，则f（x）=，即，由f（x）=得，f2（x）=x+a，画出函数y=x+a与y=f2（x）的图象，如图所示：由图知，当直线y=x+a过点A时有三个交点，且A（1，1），此时a=1，当直线y=x+a相切与点P时有三个交点，由图知，y=f2（x）=（x+1）2=x2+2x+1，则y′=2x+2，令y′=2x+2=1得x=，则y=，此时切点P（，），代入y=x+a得a=，∵方程f（x）=有4个不相等的实根，∴函数y=x+a与y=f2（x）的图象有四个不同的交点，由图可得，实数a的取值范围是（，1），故选B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）某学习小组6名同学的英语口试成绩如茎叶图所示，则这些成绩的中位数为85．【解答】解：由茎叶图得：学习小组6名同学的英语口试成绩从小到大为：76，81，84，86，87，90，∴这些成绩的中位数为：．故答案为：85．14．（5分）空气质量指数（AirQualityIndex，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数．AQI 数值越小，说明空气质量越好．某地区1月份平均AQI（y）与年份（x）具有线性相关关系．下列最近3年的数据：年份2014201520161月份平均AQI（y）766848根据数据求得y关于x的线性回归方程为=﹣14x+a，则可预测2017年1月份该地区的平均AQI为36．【解答】解：=2015，=64，故64=﹣14×2015+a，解得：a=14×2015+64，故2017年1月份该地区的平均AQI为：y=﹣14×2017+14×2015+64=36，故答案为：36．15．（5分）已知f（x）=x3+（a﹣1）x2是奇函数，则不等式f（ax）＞f（a﹣x）的解集是{x|x＞} ．【解答】解：若f（x）=x3+（a﹣1）x2是奇函数，则a﹣1=0，即a=1，此时f（x）=x3，在R递增，则不等式f（ax）＞f（a﹣x），即x＞1﹣x，解得：x＞，故不等式的解集是：{x|x＞}，故答案为：{x|x＞}．16．（5分）已知函数f（x）=，若存在实数k使得函数f（x）的值域为[0，2]，则实数a的取值范围是[1，2] ．【解答】解：当﹣1≤x≤k时，函数f（x）=log2（1﹣x）+1为减函数，且在区间左端点处有f（﹣1）=2，令f（x）=0，解得x=，令f（x）=x|x﹣1|=2，解得x=2，∵f（x）的值域为[0，2]，∴k≤，当k≤x≤a时，f（x）=x|x﹣1|=，∴f（x）在[k，]，[1，a]上单调递增，在[，1]上单调递减，从而当x=1时，函数有最小值，即为f（1）=0函数在右端点的函数值为f（2）=2，∵f（x）的值域为[0，2]，∴1≤a≤2故答案为：[1，2]三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知集合A={x|x＜﹣2或x＞0}，B={x|（）x≥3}（Ⅰ）求A∪B（Ⅱ）若集合C={x|a＜x≤a+1}，且A∩C=C，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵，且函数在R上为减函数，∴x≤﹣1．∴A∪B={x|x＜﹣2或x＞0}∪{x|x≤﹣1}={x|x≤﹣1或x＞0}；（Ⅱ）∵A∩C=C，∴C⊆A，∴a+1＜﹣2或a≥0，解得a＜﹣3或a≥0．18．（12分）已知函数f（x）=，（x＞0且a≠1）的图象经过点（﹣2，3）．（Ⅰ）求a的值，并在给出的直角坐标系中画出y=f（x）的图象；（Ⅱ）若f（x）在区间（m，m+1）上是单调函数，求m的取值范围．【解答】本题满分（12分）．解：（Ⅰ）∵函数的图象经过点（﹣2，3），∴a﹣2﹣1=3，解得，∴其图象如图所示：（Ⅱ）由（Ⅰ）可知函数的单调递增区间是（0，2），单调递减区间是（﹣∞，0），（2，+∞），∴m+1≤0或m≥2或，∴m的取值范围为m≤﹣1或0≤m≤1或m≥2．19．（12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可参加抽奖，抽奖有两种方案可供选择．方案一：从装有4个红球和2个白球的不透明箱中，随机摸出2个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖；方案二：掷2颗骰子，如果出现的点数至少有一个为4则中奖，否则不中奖．（注：骰子（或球）的大小、形状、质地均相同）（Ⅰ）有顾客认为，在方案一种，箱子中的红球个数比白球个数多，所以中奖的概率大于．你认为正确吗？请说明理由；（Ⅱ）如果是你参加抽奖，你会选择哪种方案？请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）将4个红球分别记为a1，a2，a3，a4，2个白球分别记为b1，b2，则从箱中随机摸出2个球有以下结果：{a1，a2}，{a1，a3}，{a1，a4}，{a1，b1}，{a1，b2}，{a2，a3}，{a2，a4}，{a2，b1}，{a2，b2}，{a3，a4}，{a3，b1}，{a3，b2}，{a4，b1}，{a4，b2}，{b1，b2}，总共15种，其中2个都是红球的有{a1，a2}，{a1，a3}，{a1，a4}，{a2，a3}，{a2，a4}，{a3，a4}共6 种，所以方案一中奖的概率为，所以顾客的想法是错误的．（Ⅱ）抛掷2颗骰子，所有基本事件共有36种，其中出现的点数至少有一个4的基本事件有（1，4），（2，4），（3，4），（4，4），（5，4），（6，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，5），（4，6）共11种，所以方案二中奖的概率为，所以应该选择方案一．20．（12分）下面给出了2010年亚洲一些国家的国民平均寿命（单位：岁）国家平均寿命国家平均寿命国家平均寿命国家平均寿命国家平均寿命阿曼76.1巴林76.1朝鲜68.9韩国80.6老挝64.3蒙古67.6缅甸64.9日本82.8泰国73.7约旦73.4越南75.0中国74.8伊朗74.0印度66.5文莱77.6也门62.8阿富汗59.0阿联酋76.7东帝汶67.3柬埔寨66.4卡塔尔77.8科威特74.1菲律宾67.8黎巴嫩78.5尼泊尔68.0土耳其74.1伊拉克68.5以色列81.6新加坡81.5叙利亚72.3巴基斯坦65.2马来西亚74.2孟加拉国70.1塞浦路斯79.4沙特阿拉伯73.7哈萨克斯坦68.3印度尼西亚68.2土库曼斯坦65.0吉尔吉斯斯坦69.3乌兹别克斯坦67.9（Ⅰ）请补齐频率分布表，并求出相应频率分布直方图中的a，b；分组频数频率[59.0，63.0）20.05[63.0，67.0）60.15[67.0，71.0）110.275[71.0，75.0）90.225[75.0，7.0）70.175[79.0，83.0]50.125合计40 1.00（Ⅱ）请根据统计思想，利用（Ⅰ）中的频率分布直方图估计亚洲人民的平均寿命．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，计算[63.0，67.0）的频数是6，频率是=0.15；[67.0，71.0）的频数是11，频率是=0.275，补齐频率分布表如下；分组频数频率[59.0，63.0）20.05[63.0，67.0）60.15[67.0，71.0）11 0.275[71.0，75.0）90.225[75.0，7.0）70.175[79.0，83.0]50.125合计40 1.00计算a==0.05625，b==0.04375；（Ⅱ）由频率分布直方图可知，以上所有国家的国民平均寿命的平均数约为=61×0.05+65×0.15+69×0.275+73×0.225+77×0.175+81×0.125=71.8；根据统计思想，估计亚洲人民的平均寿命大约为71.8岁．21．（12分）某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲，这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲覆盖面积为24m2，三月底测得覆盖面积为36m2，凤眼莲覆盖面积y（单位：m2）与月份x（单位：月）的关系有两个函数模型y=ka x（k＞0，a＞1）与y=px+q （p＞0）可供选择．（Ⅰ）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；（Ⅱ）求凤眼莲覆盖面积是元旦放入面积10倍以上的最小月份．（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）【解答】本小题满分（12分）．解：（Ⅰ）两个函数y=ka x（k＞0，a＞1），在（0，+∞）上都是增函数，随着x的增加，函数y=ka x（k＞0，a＞1）的值增加的越来越快，而函数的值增加的越来越慢．由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，所以函数模型y=ka x（k＞0，a＞1）适合要求．由题意可知，x=2时，y=24；x=3时，y=36，所以解得所以该函数模型的解析式是（x∈N*）．（Ⅱ）x=0时，，所以元旦放入凤眼莲面积是，由得，所以，因为，所以x≥6，所以凤眼莲覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是6月份．22．（12分）已知函数f（x）=x2+ax（a＞0）在[﹣1，2]上的最大值为8，函数g（x）是h（x）=e x的反函数．（1）求函数g（f（x））的单调区间；（2）求证：函数y=f（x）h（x）﹣（x＞0）恰有一个零点x0，且g（x0）＜x02h（x0）﹣1（参考数据：e=2.71828…，ln2≈0.693）．【解答】解：（1）函数g（x）是h（x）=e x的反函数，可得g（x）=lnx；函数f（x）=x2+ax（a＞0）在[﹣1，2]上的最大值为8，只能是f（﹣1）=8或f（2）=8，即有1﹣a=8或4+2a=8，解得a=2（﹣7舍去），函数g（f（x））=ln（x2+2x），由x2+2x＞0，可得x＞0或x＜﹣2．由复合函数的单调性，可得函数g（f（x））的单调增区间为（0，+∞）；单调减区间为（﹣∞，﹣2）；（2）证明：由（1）得：f（x）=x2+2x，即φ（x）=f（x）h（x）﹣，（x＞0），设0＜x1＜x2，则x1﹣x2＜0，x1x2＞0，∴＜0，∵f（x）在（0，+∞）递增且f（x）＞0，∴f（x2）＞f（x1）＞0，∵＞＞0，∴f（x1）＜f（x2），∴φ（x1）﹣φ（x2）=f（x1）﹣f（x2）+＜0，即φ（x1）＜φ（x2），∴φ（x）在（0，+∞）递增；∵φ（）=﹣2＞﹣2=0，φ（）=﹣e＜﹣e＜0，即φ（）φ（）＜0，∴函数y=f（x）h（x）﹣（x＞0）恰有1个零点x0，且x0∈（，），∴（+2x0）﹣=0，即=，∴h（x0）﹣g（x0）=﹣lnx0=﹣lnx0，∵y=﹣lnx在（0，）上是减函数，∴﹣lnx0＞﹣ln=+ln2＞+0.6=1，即g（x0）＜h（x0）﹣1，综上，函数y=f（x）h（x）﹣（x＞0）恰有一个零点x0，且g（x0）＜x02h（x0）﹣1．。