2019级高一期中考试数学试卷

人教A 版师大附中2019-2020学年上学期高一年级期中考试数学试卷 说明：本试卷共150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设集合S ＝{1，3，5}，T ＝{3，6}，则S T 等于A. φB. {3}C.{1，3，5，6}D. Ｒ2. 函数f （x ）＝x -12的定义域是A. （－∞，1）B. (]1,∞-C. ＲD. （－∞，1） ()∞+，13. 下列函数中在其定义域上是偶函数的是A. y ＝2xB. y ＝x 3C. y ＝x 21D. y ＝x 2-4. 下列函数中，在区间（0，＋∞）上是增函数的是A. y ＝－x 2B. y ＝ x 2－2C. y ＝221⎪⎭⎫ ⎝⎛ D. y ＝log 2x 1 5. 已知函数f （x ）＝x ＋1，x ∈Ｒ，则下列各式成立的是A. f （x ）＋f （－x ）＝2B. f （x ）f （－x ）＝2C. f （x ）＝f （－x ）D. –f （x ）＝f （－x ）6. 设函数f （x ）＝a x -（a>0），且f （2）＝4，则A. f （－1）>f （－2）B. f （1）>f （2）C. f （2）<f （－2）D.f （－3）>f （－2）7. 已知a ＝log 20.3，b ＝23.0，c ＝0.32.0，则a ，b ，c 三者的大小关系是A. a>b>cB. b>a>cC. b>c>aD. c>b>a8. 函数f （x ）＝log a （x －2）＋3，a>0，a ≠1的图像过点（4，27），则a 的值为 A. 22 B. 2 C. 4 D. 21 9. 当0<a<1时，下列不等式成立的是 A. a 1.0<a 2.0B. log a 0.1> log a 0.2C. a 2<a 3D. log a 2< log a 310. A semipro baseball league has teams with 21 players each. League rules state that aplayer must be paid at least ＄15，000，and that the total of all players’ salaries for each team cannot exceed ＄700，000. What is the maximum possible salary ，in dollars ，for a single player ？A. 270，000B. 385，000C. 400，000D. 430，000E.700，000二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分。

2018-2019江苏省常州高级中学高一下学期期中考试数学试卷说明：1. 以下题目的答案做在答卷纸上.2. 本卷总分160分，考试时间120分钟.一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．． 1.数列{}n a 中，)2(1,1111≥+==--n a a a a n n n ，则3a = ▲ ．2.在△ABC 中，已知bc c b a ++=222，则A 为 ▲ ．3.在函数①1y x x =+,②1sin sin y x x =+π0 2x ∈（，）,③2y =,④42x x y e e =+-中， 最小值为2的函数的序号是 ▲ ．4.设n S 是等差数列{a n }的前n 项的和．若27a =，77S =-，则7a 的值为 ▲ ．5.在ABC ∆中，若3,6==a A π，则=++++CB A cb a sin sin sin ▲ ．6.已知数列{}n a 满足*1112,()1nn na a a n a ++==∈-N ，则2018a 的值为 ▲ ． 7.设正项等比数列{a n }满足4352a a a -=．若存在两项a n 、a m ，使得m n a a a ⋅=41，则n m + 的值为 ▲ ．8.在△ABC 中，若1a =，b 6π=A ，则△ABC 的面积是 ▲ ．9.已知数列{}n a 的通项公式,12+=n a n 则1132211111+-++⋅⋅⋅++n n n n a a a a a a a a = ▲ ．10.在ABC ∆中,,2,60a x b B ===,若该三角形有两解,则x 的取值范围为 ▲ ． 11.在△ABC 中，已知π32,4==A BC ，则⋅的最小值为 ▲ ． 12.已知钢材市场上通常将相同的圆钢捆扎为正六边形垛（如图）．现将99根相同的圆钢捆扎为1个尽可能大的正六边形垛，则剩余的圆钢根数为 ▲ ．（第12题）13.已知数列{}n a 为公比不为1的等比数列，满足12()n n n a k a a ++=+对任意正整数n 都成立，且对任意相邻三项12,,m m m a a a ++按某顺序排列后成等差数列，则k 的值为 ▲ ． 14.已知,4,,=+∈b a R b a 则111122+++b a 的最大值是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．(本小题满分14分)在等比数列}{n a 中， 0n a >，公比)1,0(∈q ，252825351=++a a a a a a ， 且2是3a 与5a 的等比中项．(1)求数列}{n a 的通项公式；(2)设n n a b 2log =，数列}{n b 的前n 项和为n S ，当nS S S n +++ 2121最大时，求n 的值．16．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，c B c C b +=cos sin 3 (1)求角B ； (2)若2b ac =，求11tan tan A C+的值．17．(本小题满分14分)某厂花费2万元设计了某款式的服装．根据经验，每生产1百套该款式服装的成本为 1万元，每生产x （百套）的销售额（单位：万元）20.4 4.20.805()914.7 5.3x x x P x x x ⎧-+-<⎪=⎨->⎪-⎩≤，，， （1）该厂至少生产多少套此款式服装才可以不亏本？（2）试确定该厂生产多少套此款式服装可使利润最大，并求最大利润． （注：利润=销售额-成本，其中成本=设计费+生产成本）18．(本小题满分16分)已知0x >，0y >，24xy x y a =++. (1)当16a =时，求xy 的最小值； (2)当0a =时，求212x y x y+++的最小值.19．(本小题满分16分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，121n n S S +-=（*n ∈N ）． (1)求证：数列{}n a 为等比数列； (2)若数列{}n b 满足：11b =，1112nn n b b a ++=+，求数列{}n b 的通项公式及数列{}n b 的前n 项和．20．(本小题满分16分)已知数列{}n a 的首项1a a =（0a >），其前n 项和为n S ，设1n n n b a a +=+（n *∈N ）．(1)若21a a =+，322a a =，且数列{}n b 是公差为3的等差数列，求2n S ； (2)设数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足2n T n =． ① 求数列{}n a 的通项公式；② 若对N n *∀∈，且2n ≥，不等式1(1)(1)2(1)n n a a n +--≥-恒成立，求a 的取值范围．第二学期期中质量检查高一年级数 学 试 卷(附加)说明：1. 以下题目均为必做题，请将答案写在答卷纸上. 2. 本卷总分40分，考试时间30分钟. 一、 填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分． 1.等比数列{}na 中，若对任意正整数n 都有1221n n a a a ++⋅⋅⋅+=-，则22212n a a a ++⋅⋅⋅+= ▲ ．2.在△ABC 中,A B 2=,则ab的取值范围是 ▲ ．3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，且数列也为等差数列，则10a = ▲ ．4.正数y x ,满足111=+y x ，则1813-+-y yx x 的最小值是 ▲ ． 二、解答题：本大题共16分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．5.在数列{}n a 中，11a =，28a =，111(1)n n nn a a n λ++=++，λ为常数，*n ∈N ． （1）求λ的值； （2）设nn a b =，求数列{}n b 的通项公式； （3）是否存在正整数r s t ，，（r s t <<），使得r s t ，，与r s t a a a ，，都为等差数列？若存在，求r s t ，，的值；若不存在，请说明理由．第二学期期中质量检查高一年级数 学 试 卷答案1.25 2.32π 3.④ 4. -13 5.326.-37.68.42 9.96+n n 10.)334,2(11.38-12.8 13.25- 14. 452+二、解答题15.解：⑴ 由252825351=++a a a a a a 得235()25a a +=.................2分0>n a ,得355a a +=因为354a a ⋅=得354,1a a ==, 求得12q =, ...................5分 所以52n n a -= ...........................................7分 ⑵ 2log 5n n b a n ==-．...........................................9分 因为对任意n N *∈，11n n b b +-=-，所以{}n b 是以4为首项，1-为公差的等差数列．所以292n n n S -=．..........................................12分9,90,90,90,2n n n n S S S S n n n n n n n n-=<>==><时，时，时， 所以nS S S n +++ 2121最大为89n =或者． ...................14分16．解：（1sin cos sin sin B C B C C =+，ABC ∆中，sin 0C >，所以cos 1B B -=，................................................3分所以1sin()62B π-=，5666B πππ-<-<，66B ππ-=，所以3B π=；........................6分（2）因为2b ac =，由正弦定理得2sin sin sin B A C =，........................8分11cos cos cos sin sin cos sin()sin()sin tan tan sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin A C A C A C A C B B A C A C A C A C A C A C π++-+=+==== ...............................................................................................................12分所以，211sin1tan tan sin sinBA CB B+==..................................14分17(1)05x<≤时，利润()()22()20.4 4.20.820.4 3.2 2.8y P x x x x x x x=-+=-+--+=-+-．........................................................................................3分令20.4 3.2 2.80y x x=-+-≥得，17x≤≤，从而15x≤≤，即min1x=．.................6分（2）当05x<≤时，由（1）知()220.4 3.2 2.80.44 3.6y x x x=-+-=--+，所以当4x=时，max3.6y=（万元）．.....................................8分当5x>时，利润()()()99()214.729.7333y P x x x xx x=-+=--+=--+--．...10分因为9363xx-+=-≥（当且仅当933xx-=-即6x=时，取“=”），所以max3.7y=（万元）．.......................................................... 13分综上，当6x=时，max3.7y=（万元）．答：（1）该厂至少生产1百套此款式服装才可以不亏本；（2）该厂生产6百套此款式服装时，利润最大，且最大利润为3.7万元．.......14分18.（1）当16a=时，241616xy x y=++≥， (3)分即280-≥，4)0∴≥，4，16xy∴≥，.......................................6分当且仅当48x y==时，等号成立。

l l l l2l 22A ． 1B ．C ．D ．12 C ． 1 A ．-1 B ． 12 D ．-1 或-2l江苏省西亭高级中学 2019-2020 学年（下）期中测试高一数学命题人：审核人：一、单项选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1． 如图所示的平面结构（阴影部分为实心，空白部分为空心），绕中间轴旋转一周，形成的几何体为（ ）A ．一个球C ．一个圆柱B ．一个球中间挖去一个圆柱D ．一个球中间挖去一个棱柱2． 某中学有学生 2500 人，其中男生1500 人，为了解疫情期间学生居家自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从该校全体学生中抽取一个容量为n 的样本，若样本中女生恰有 20 人，则 n 的值为（ ）A ．30B ．50C ．70D ．803． △在 ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别是 a ，b ，c ，若 A ∶ B ∶ C ＝1∶ 2∶ 3，则 a ∶ b ∶ c 等于（ ）A ．1∶2∶3B ．2∶3∶4C ．3∶4∶5D ．1∶ 3 ∶24． △ ABC 中，若 c= a 2 + b 2 + ab ，则角 C 的度数是（）A ．60°B ．120°C ．60°或 120°D ．45°5． 已知直线 l : y = kx + b ， l : y = bx + k ，则它们的图象可能为（）1 21l l 1l26． 已知直线 l :3 m x + (m + 2) y + 1 = 0 ，直线 l : (m - 2)x + (m + 2) y + 2 = 0 ，12且 l 1//2 ，则 m 的值为（）或-27． △在 ABC 中， B = 60︒ ， b 2 = ac △，则 ABC 一定是（ ）A ．锐角三角形C ．等腰三角形 B ．钝角三角形D ．等边三角形8． 已知点 M (a, b )在圆 O : x 2 + y 2 = 1 外，则直线 ax + by = 1 与圆 O 的位置关系3C ． 32D ．3参考公式： s 2 = [(x 1 - x )2 + ( x 2 - x )2 + ( x 3 - x )2 + Λ + ( x n - x )2 ] .是（ ）A ．相切9． 已知圆 方程B ．相交C ．相离，圆 与直线D ．不确定相交于 两点，且 （ 为坐标原点），则实数 的值为（ ）A ． -4 5 B ． 1 2 C ． 8 5 D ． 1510．在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 y = kx - 2 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C ： x2 + y 2 - 8 x + 15 = 0 有公共点，则实数 k 的最大值为（）A ． 0B ．4二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分，在每小题的四个选项中，至少两项是符合题目要求.11．圆 x 2 + y 2 - 4x - 1 = 0 （）A ．关于点 (2,0 )对称C ．关于直线 x + 3 y - 2 = 0 对称B ．关于直线 y = 0 对称D ．关于直线 x - y + 2 = 0 对称12．在△ABC 中，角 A 、B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c ，下列结论正确的是（）A ．a 2=b 2+c 2-2bccosAB ．asinB =bsinAC ．a =bcosC +ccosBD ．acosB +bcosC =c13． a ， b ， c 是空间中的三条直线，下列说法中正确的是（ ）A ．若 a / /b ， b / /c ，则 a / /cB ．若 a 与 b 相交， b 与 c 相交，则 a 与 c 也相交C ．若 a ， b 分别在两个相交平面内，则这两条直线可能平行、相交或异面D ．若 a 与 c 相交， b 与 c 异面，则 a 与 b 异面三、填空题：本题共 4 题，每小题 4 分，其中第 16 题每空两分，共 16 分.14．已知一组数据 6，7，8，9，m 的平均数是 8，则这组数据的方差是．1 n15．我国古代数学名著《数学九章》中有云：“今有木长三丈五尺，围之 4 尺.葛生其下，缠木三周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为：圆木长 3 丈 5 尺，圆周为 4 尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木三周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长尺．（注：1 丈等于10 尺）16．已知直线 l ： 3x + y - 6 = 0 与圆心为 M (0,1)，半径为 5 的圆相交于 A ，B 两点，1另一直线 l 2 ： 2kx + 2 y - 3k - 3 = 0 与圆 M 交于 C ，D 两点，则 AB = ______，4 ， BC = 1 .四边形 ACBD 面积的最大值为．17．已知实数 x ， y 满足 ( x - 1) 2 + y 2 = 1 ，则 3x - 4 y + 2 的最大值为．四、解答题:本大题共 6 小题，共 82 分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤.18.（本小题 12 分）如图，在空间四边形 ABCD 中， E, F 分别是 AB, AD 的中点， G , H 分别在BC , CD 上，且 BG : GC = DH : HC = 1: 2 .（1）求证： E, F , G , H 四点共面；（2）设 EG 与 FH 交于点 P ，求证： P , A, C 三点共线.19.（本小题 14 分）如图，在 △ABC 中， D 为 AB 边上一点，且 DA = DC ，已知 B =π（1）若 △ABC 是锐角三角形， DC = 6 3，求角 A 的大小；1（2）若 VBCD 的面积为 ，求 AB 的长.620.（本小题 14 分）下表提供了工厂技术改造后某种型号设备的使用年限 x 和所支出的维修费 y （万元）的几组对照数据:求出y关于x的线性回归方程yˆ=bx+aˆ；参考公式:b=∑(x-x)(y-y)∑x y-nx y∑(x-x)∑x-nx22，aˆ=y-bx.x（年）y（万元）2132.5435464.5（1）若知道y对x呈线性相关关系，请根据上表提供的数据，ˆ（2）已知该工厂技术改造前该型号设备使用10年的维修费用为9万元，试根据（1）求出的线性回归方程，预测该型号设备技术改造后，使用10年的维修费用能否比技术改造前降低？ˆn ni i i ii=1=i=1n n2i ii=1i=1ˆ21.（本小题14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M点为圆心的圆M:x2+y2-14x-12y+60=0及其上一点A(4,2).（1）设圆N与y轴相切，与圆M外切，且圆心在直线y=6上，求圆N的标准方程；（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点且BC=OA，求直线l的方程.22.（本小题14分）在∆ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知满足(2a-c)cos B=b cos C.（1）求角B的大小；（2）若b=2，求∆ABC面积的取值范围．23.（本小题14分）已知圆O：x2+y2=2，直线．l：y=kx-2．（1）若直线l与圆O相切，求k的值；（2）若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当∠AOB为锐角时，求k的取值范围；（3）若k=1，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC，PD，切点为C，D，2探究：直线CD是否过定点．l江苏省西亭高级中学 2019-2020 学年（下）期中测试高一数学参考答案及评分标准命题人：审核人：一、单项选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1． 如图所示的平面结构（阴影部分为实心，空白部分为空心），绕中间轴旋转一周，形成的几何体为（ ）A ．一个球C ．一个圆柱B ．一个球中间挖去一个圆柱D ．一个球中间挖去一个棱柱【答案】B2． 某中学有学生 2500 人，其中男生1500 人，为了解疫情期间学生居家自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从该校全体学生中抽取一个容量为n 的样本，若样本中女生恰有 20 人，则 n 的值为（）A ．30B ．50C ．70D ．80【答案】B3． △在 ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别是 a ，b ，c ，若 A ∶ B ∶ C ＝1∶ 2∶ 3，则 a ∶ b ∶ c 等于（ ）A ．1∶2∶3B ．2∶3∶4C ．3∶4∶5D ．1∶ 3 ∶2【答案】D4． △ ABC 中，若 c= a 2 + b 2 + ab ，则角 C 的度数是（）A ．60°B ．120°C ．60°或 120°D ．45°【答案】B5． 已知直线 l : y = kx + b ， l : y = bx + k ，则它们的图象可能为（）1 2A ．B ．C ．D ．【答案】C6． 已知直线 l :3 m x + (m + 2) y + 1 = 0 ，直线 l : (m - 2)x + (m + 2) y + 2 = 0 ，12且 l 1//2 ，则 m 的值为（）2C．1B．12D．-1或-2 3C．3B．4A．-1或-2【答案】D7．△在ABC中，B=60︒，b2=ac△，则ABC一定是（）A．锐角三角形C．等腰三角形B．钝角三角形D．等边三角形【答案】D8．已知点M(a,b)在圆O:x2+y2=1外，则直线ax+by=1与圆O的位置关系是（）A．相切【答案】B 9．已知圆方程B．相交C．相离D．不确定，圆与直线相交于两点，且（为坐标原点），则实数的值为（）A．-45B．12C．85D．15【答案】C10．在平面直角坐标系xOy中，若直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C：x2+y2-8x+15=0有公共点，则实数k的最大值为（）A．02D．3【答案】B二、多项选择题：本题共3小题，每小题4分，共12分，在每小题的四个选项中，至少两项是符合题目要求.11．圆x2+y2-4x-1=0（）A．关于点(2,0)对称C．关于直线x+3y-2=0对称B．关于直线y=0对称D．关于直线x-y+2=0对称【答案】ABC12．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列结论正确的是（）A．a2=b2+c2-2bccosAC．a=bcosC+ccosB D．acosB+bcosC=c【答案】ABCB．asinB=bsinA参考公式： s 2 = [(x 1 - x )2 + ( x 2 - x )2 + ( x 3 - x )2 + Λ + ( x n - x )2 ] .13． a ， b ， c 是空间中的三条直线，下列说法中正确的是（ ）A ．若 a / /b ， b / /c ，则 a / /cB ．若 a 与 b 相交， b 与 c 相交，则 a 与 c 也相交C ．若 a ， b 分别在两个相交平面内，则这两条直线可能平行、相交或异面D ．若 a 与 c 相交， b 与 c 异面，则 a 与 b 异面【答案】AC三、填空题：本题共 4 题，每小题 4 分，其中第 16 题每空两分，共 16 分.14．已知一组数据 6，7，8，9，m 的平均数是 8，则这组数据的方差是．1 n【答案】215．我国古代数学名著《数学九章》中有云：“今有木长三丈五尺，围之 4 尺.葛生其下，缠木三周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为：圆木长 3 丈 5 尺，圆周为 4 尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木三周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长尺．（注：1 丈等于10 尺）【答案】37(或 1369 )16．已知直线 l ： 3x + y - 6 = 0 与圆心为 M (0,1)，半径为 5 的圆相交于 A ，B 两点，1另一直线 l 2 ： 2kx + 2 y - 3k - 3 = 0 与圆 M 交于 C ，D 两点，则 AB = ______，四边形 ACBD 面积的最大值为 ．【答案】 10, 5 217．已知实数 x ， y 满足 ( x - 1) 2 + y 2 = 1 ，则 3x - 4 y + 2 的最大值为．【答案】10四、解答题:本大题共 6 小题，共 82 分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤.18.（本小题 12 分）如图，在空间四边形 ABCD 中， E, F 分别是 AB, AD 的中点， G , H 分别在BC , CD 上，且 BG : GC = DH : HC = 1: 2 .（1）求证： E, F , G , H 四点共面；（2）设 EG 与 FH 交于点 P ，求证： P , A, C 三点共线.证明：（1）因为 E, F 分别为 AB, AD 的中点，所以 EF PBD .在∆BCD中，BG4，BC=1.4，BC=1，DC==2=323.…………7分=1⋅BC⋅BD⋅sin=，解得BD=，DH=，GC HC所以GH PBD，所以EF PGH.所以E,F,G,H四点共面.…………6分（2）因为EG⋂FH=P，所以P∈EG，又因为EG⊂平面ABC，所以P∈平面ABC，同理P∈平面ADC，所以P为平面ABC与平面ADC的一个公共点.又平面ABC平面ADC=AC.所以P∈AC，所以P,A,C三点共线.…………12分19.（本小题14分）如图，在△ABC中，D为AB边上一点，且DA=DC，已知B=π（1）若△ABC是锐角三角形，DC=63，求角A的大小；1（2）若VBCD的面积为，求AB的长.6解：（1）在V BCD中，B=π63BC CD，由正弦定理得，sin∠BDC sinB解得sin∠BDC=1⨯3因为V ABC是锐角三角形，所以∠BDC=又DA=DC，所以A=π2π3.（2）由题意可得Sπ12 2463求出 y 关于 x 的线性回归方程 y ˆ = bx + a ˆ ；参考公式: b =∑ (x - x )( y - y ) ∑ x y - nx y∑ (x - x )∑ x- nx22， a ˆ = y - bx .∑ x y ∑ x ∑ x y - 5x ⋅ y∑ x- 5x 2= 0.85 , a ˆ = y - bx = -0.4 ,ˆ ˆˆ由余弦定理得 C D 2= BC 2+ BD 2- 2BC ⋅ BD ⋅ cos解得 CD =5，3π4 = 1 + 2 2 2 5- 2 ⨯1⨯ ⨯ = ， 9 3 2 9则 AB = AD + BD = CD + BD =5 + 23.所以 AB 的长为5 + 2.…………14 分 320.（本小题 14 分）下表提供了工厂技术改造后某种型号设备的使用年限 x 和所支出的维修费 y （万元）的几组对照数据:x （年）y （万元）21 32.5 43 54 64.5（1）若知道 y 对 x 呈线性相关关系，请根据上表提供的数据， ˆ（2）已知该工厂技术改造前该型号设备使用 10 年的维修费用为 9 万元，试根据（1）求出的线性回归方程，预测该型号设备技术改造后，使用 10 年的维修费用能否比技术改造前降低？ˆnni i i i i =1 = i =1 n n2i iˆi =1解：（1）根据所给表格数据计算得 x = i =1 2 + 3 + 4 + 5 + 6 1 + 2.5 + 3 + 4 + 4.5= 4 , y = = 3 ,5 55 i i = 2 + 7.5 + 12 + 20 + 27 = 68.5 ,5i2 = 4 + 9 + 16 + 25 + 36 = 90 , i =1i =1∴ b =5 i =15i i 2 i =68.5 - 60 90 - 20ˆ i =1所以,y 关于 x 的线性回归方程为 y = 0.85 x - 0.4 .…………10 分（2）由（1）得,当 x = 10 时, y = 0.85 ⨯10 - 0.4 = 8.1 ,即技术改造后的 10 年的维修费用为 8.1由圆 N 圆心在直线 y =6 上，可设 N (x ,6 ) 解得 x = 1 . d = | 7 - 12 + 2m | 而 MC 2 = d 2 + ⎪万元,相比技术改造前,该型号的设备维修费降低了 0.9 万元. …………14 分21.（本小题 14 分） 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知以 M 点为圆心的圆 M : x 2 + y 2 - 14 x - 12 y + 60 = 0 及其上一点 A(4,2) .（1）设圆 N 与 y 轴相切，与圆 M 外切，且圆心在直线 y = 6 上，求圆 N 的标准方程；（2）设平行于 OA 的直线 l 与圆 M 相交于 B ，C 两点且 BC = OA ，求直线 l 的方程.解：（1）圆 M 的标准方程为 ( x - 7) 2 + ( y - 6)2 = 25 ，所以圆心 M （7，6），半径为 5,.因为圆 N 与 y 轴相切，与圆 M 外切所以 0 < x 0 < 7 ，圆 N 的半径为 x0 从而 7 - x 0 = 5 + x 0所以圆 N 的标准方程为 ( x - 1)2 + ( y - 6)2 = 1 .…………7 分（2）因为直线 l 平行于 OA ，所以直线 l 的斜率为 2 - 0 1 = . 4 - 0 2 设直线 l 的方程为 y = 1 2x + m ，即 x - 2 y + 2m = 0 则圆心 M 到直线 l 的距离| 2m - 5 | = 5 5因为 BC = OA = 22 + 42 = 2 5⎛ BC ⎫2 ⎝ 2 ⎭所以 25 = (2m - 5)2 5 + 5 ，解得 m = 15 5 或 m = - 2 2 .故直线 l 的方程为 x - 2y + 15 = 0 或 x - 2 y - 5 = 0 .…………14 分22.（本小题 14 分）在 ∆ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，已知满足 (2 a - c)cos B = b cos C .（1）求角 B 的大小；sin - C ⎪ sin C = cos C + sin C ⎪⎪ sin C 3 ⎝ 2 2 sin 2C - cos 2C + ⎪⎪ = sin 2C - 3 ⎝ 6 ⎭ 2 ⎪⎭ 3 ⎝ 4 4 4 ⎭< sin 2C - ⎪ ≤ 1 ∴ 0 < sin 2C - ⎪ + ⎪≤ 3 ⎝∴∆ABC 的面积的取值范围为： 0, 3 ⎤⎦ …………14 分（2）若 b = 2 ，求 ∆ABC 面积的取值范围．解：（1）Q (2a - c )cos B = b cos C由正弦定理得： (2sin A - sin C )cos B = sin B cos C∴ 2sin A c os B = sin C cos B + sin B cos C = sin (B + C ) = sin AQ A ∈ (0,π )∴sin A ≠ 0∴ c os B = 1 2 Q B ∈ (0,π ) ∴ B = π 3 …………6 分（2）由正弦定理得： a = b sin A sin B∴ a = 2sin A 324 3 = sin A 3同理： c = 4 3 3sin C ∴ S∆ABC = 1 1 4 3 4 3 3 4 3 ac sin B = ⨯ sin A ⨯ sin C ⨯ = sin A s in C 2 2 3 3 2 3= 4 3 3 ⎛ 2π ⎫ ⎝ 3 ⎭ 4 3 ⎛ 3 1 ⎫ ⎭= 4 3 ⎛ 3 1 1 ⎫ 2 3 ⎛ ⎛ π ⎫ 1 ⎫ ⎪+ ⎝ Q 0 < C < 2π π π 7π ∴- < 2C - < 3 6 6 6∴- 1 2 ⎛ π ⎫ 2 3 ⎛ ⎛ π ⎫ 1 ⎫ ⎝ 6 ⎭ 3 ⎝ 6 ⎭ 2 ⎭(23.（本小题 14 分）已知圆 O ：x 2+y 2=2，直线．l ：y =kx -2．（1）若直线 l 与圆 O 相切，求 k 的值；（2）若直线 l 与圆 O 交于不同的两点 A ，B ，当∠AOB 为锐角时，求 k 的取值范围； （3）若 k = 1 2，P 是直线 l 上的动点，过 P 作圆 O 的两条切线 PC ，PD ，切点为 C ，D ，∴ x + x = 4k1 + k2 1 + k 2 = 1 + k 2 x x - 2k (x + x - ∴ x 2 - tx + y 2 - ⎛ 1 t - 2 ⎪ y = 0 ， t - 2 ⎪ y - 2 = 0 ，即（x+ ）t -2y -2=0， 两圆作差得 l CD ：tx+ ?，得{ ∴ 直线 CD 过定点（ ，- 1 ）．…………5 分探究：直线 CD 是否过定点．解：（1）∵ 圆 O ：x 2+y 2=2，直线 l ：y=kx -2．直线 l 与圆 O 相切，∴ 圆心 O （0，0）到直线 l 的距离等于半径 r=2 ， 即 d=-2 k 2 + 1 = 2 ， 解得 k=±1．…………4 分（2）设 A ，B 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2）， 将直线 l ：y=kx -2 代入 x 2+y 2=2，整理，得（1+k 2）x 2-4kx+2=0，1 2 1 2 ， x x = 2 ， △=（-4k ）2-8（1+k 2）＞0，即 k 2＞1， 当∠ AOB 为锐角时， uuur uuur OA ⋅ OB =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+（kx 1-2）（kx 2-2） () 1 2 12 )+ 4 6 - 2k 2 = ＞0， 1 + k 2解得 k 2＜3，又 k 2＞1，∴ - 3＜k ＜ - 1 或 1＜k ＜ 3 ．故 k 的取值范围为（- 3， 1 ）∪（1， 3 ）．…………5 分（3）由题意知 O ，P ，C ，D 四点共圆且在以 OP 为直径的圆上，设 P （t ， 1 1 t - 2 ），其方程为 x （x -t ）+y （y - t + 2 ）=0， 2 2 ⎫ ⎝ 2 ⎭又 C ，D 在圆 O ：x 2+y 2=2 上，⎛ 1 ⎫ y ⎝ 2⎭ 2由 { x + y 1 = 0 x = 22 ?， 2 y + 2 = 0 y = -11 2。

河南信阳市息县第一高级中学、第二高级中学、息县高中2018-2019学年高一下学期期中联考数学（理）试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、选择题～100这100件产品中，依次抽出号码为3,13,23，…，93的产品进行检验，则这样的抽样方法是( )A. 简单随机抽样B. 系统抽样C. 分层抽样D. 以上都不对2.将八进制数135(8)化为二进制数为( )A. 1 110 101(2)B. 1 010 101(2)C. 1 111 001(2)D. 1 011 101(2)3.某产品在某零售摊位上的零售价x(元)与每天的销售量y(个)统计如下表：据上表可得回归直线方程ŷ=b̂x+â中的b̂=－4，据此模型预计零售价定为16元时，销售量为( )A. 48B. 45C. 50D. 514.一组数据的平均数是4.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是（）A. 55.2，3.6B. 55.2，56.4C. 64.8，63.6D. 64.8，3.65.某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3 500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300人，现在按1100的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为()A. 8B. 11C. 16D. 106.如图是一算法的程序框图，若输出结果为S＝720，则在判断框中应填入的条件是( )A. k ≤6B. k ≤7C. k ≤8D. k ≤97.两人的各科成绩如茎叶图所示，则下列说法不正确的是（ ）A. 甲、乙两人的各科平均分相同B. 甲的中位数是83，乙的中位数是85C. 甲各科成绩比乙各科成绩稳定D. 甲的众数是89，乙的众数为878.sin 2(π＋α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1的值为( ) A. 1B. 2sin 2αC. 0D. 29.利用秦九韶算法求f (x )＝x 5＋x 3＋x 2＋x ＋1当x ＝3时的值为( ) A. 121B. 283C. 321D. 23910.如图椭圆内切于矩形，其中矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300粒黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96粒，以此实验数据为依据，可以估计出椭圆的面积约为（ ）A. 7.68B. 8.68C. 16.32D. 17.3211.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为b,其中a,b∈{1,2,3,4,5,6},若|a-b|≤1,就称甲、乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为( ) A. 316B. 29C. 718D. 4912.《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=12（弦×矢＋矢×矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为2π3，弦长为40√3m 的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米.（其中π≈3，√3≈1.73）A. 15B. 16C. 17D. 18第II 卷（非选择题）二、解答题P 的坐标为(x ，y)，求当x ，y∈R 时，P 满足(x －2)2＋(y －2)2≤4的概率．14.某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图； (2)求出y 关于x 的线性回归方程y ̂=b ̂x +a ̂ (3)试预测加工10个零件需要多少小时？ 15.已知α是第三象限角，f (α)=sin(π−α)cos(2π−α)tan(−α−π)tan(−α)sin(−π−α).(1)化简f (α)； (2)若cos(α−32π)=15，求f (α)的值；16.一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4. （1）从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m,将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，求n≥m+2的概率.17.在育民中学举行的电脑知识竞赛中，将九年级两个班参赛的学生成绩(得分均为整数)进行整理后分成五组，绘制如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30,0.15,0.10,0.05，第二小组的频数是40.(1)求第二小组的频率，并补全这个频率分布直方图； (2)求这两个班参赛的学生人数是多少？ (3)求这两个班参赛学生的成绩的中位数.三、填空题x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归方程：y ̂＝0.234x ＋0.521.由回归方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元． 19.已知sin(π4+α)=√32，则sin(3π4−α)值为20.在抛掷一颗骰子的试验中，事件A 表示“不大于4的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则事件A ∪B 发生的概率为________．(B 表示B 的对立事件)21.设函数()y f x =为区间(]0,1上的图像是连续不断的一条曲线，且恒有()01f x ≤≤，可以用随机模拟方法计算由曲线()y f x =及直线0x =， 1x =， 0y =所围成部分的面积，先产生两组i 每组N 个，区间(]0,1上的均匀随机数1, 2.....n x x x 和1, 2.....n y y y ，由此得到V 个点()(),1,2....x y i N -。

浙江省宁波市北仑中学2019-2020学年高一数学上学期期中试题（1班）一.选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1.已知等差数列{}n a 中，61016a a +=，则8a 的值是（ ）A.4B.16C.2D.82. 已知实数,x y 满足约束条件12220y x x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩，则x y +的最大值为 （ ）A.1B.2C.3D.43. 已知关于x 的不等式|||2|1x a x -++≥的解集为R ，则实数a 的取值范围为： （ ）4.若非零实数,a b 满足a b <，则下列不等式成立的是 （ ） A ．1ab< B.2b a a b +≥ 2211.C ab a b < D.22a a b b +<+5. 设{}n a 为等比数列，给出四个数列： 22(1){2}{}{2},(4){log ||}n an n n a a a 、(2)、(3)，其中一定是等比数列的是（ ）A （1）（3）B （2）（4）C （2）（3）D （1）（2）6. 在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 若ABC ∆的面积为S ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C 等于( )A.34 B.43 C ．43- D ．34- 7. {}12019202020192020,0,0,n n a a a a a a S >+>g 等差数列<0,求使得>0成立的最大自然数n.( )A. 2019B. 4038C. 4039D. 40408．在等比数列{}n a 中，2345623456111119,1a a a a a a a a a a ++++=++++=，则4a =（ ）A.2或-2B. 3C.-3D. 3或-39．在ABC ∆中，2AB =，若1BC 2CA ⋅=u u u r u u u r ，则A ∠的最大值是 （ ）A.4π B. 6π C. 3π D. 2π 10.记max{,,}a b c 为实数,,a b c 中的最大值.若实数,,x y z 满足2220{363x y z x y z ++=++=，则max{,,}x y z 最大值为（ ） A32 B 1D 23非选择题部分（共110分）二.填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分） 11.若关于x 的不等式20x ax b -+<的解集是(1,2),-则_____,_______.a b == 12.已知4cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且,42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭； sin α= .13.在△ABC 中，C ＝60°，AB ＝3，BC ＝2，那么A = ，△ABC 的面积ABC S ∆ = ____.14.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,111a =-,564a a +=-,则公差d= ；当时，n S 取得最小值.15.函数243030,(2)(3)x y x y x y y x y >><<-+-或则的最小值为___________.16.设等差数列{}n a 的前14项和121477,a a a +++=L 已知111,a a 均为正整数，则公差d = ．17.在△ABC 中，∠B 为直角，线段BA 上的点M 满足22BM MA ==，若对于给定的∠ACM ，△ABC 是唯一确定的，则sin ______.ACM ∠=三.解答题（本大题共5小题，共74分。

2019-2020学年山东省枣庄八中东校区高一（下）期中数学试卷试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）若复数z= 1−ii ，则复数z 的虚部为（ ） A.1 B.-1 C.-i D.i2.（单选题，5分）某中学的高一、高二、高三共有学生1350人，其中高一500人，高三比高二少50人，为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生120人，则该样本中的高二学生人数为（ ） A.80 B.96 C.108 D.1103.（单选题，5分）设复数z 满足（1+i ）z=2i ，则|z|=（ ） A. 12 B. √22 C. √2 D.24.（单选题，5分）点P 是△ABC 所在平面上一点，若 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则△ABP 与△ACP 的面积之比是（ ） A.3 B.2 C. 13 D. 125.（单选题，5分）箱中装有标号为1，2，3，4，5且大小相同的5个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖，现有2人参与摸奖，恰好有1人获奖的概率是（ ） A. 25B. 425 C. 625 D. 12256.（单选题，5分）如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（ ）A.（1）（2）B.（1）（3）C.（1）（4）D.（1）（5）7.（单选题，5分）在△ABC 中， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ • BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3，其面积S∈[ √32，3√32 ]，则 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与 BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角的取值范围为（ ） A.[ π6， π4] B.[ π4 ， π3 ] C.[ π6 ， π3 ] D.[ 2π3 ， 3π4 ]8.（单选题，5分）已知腰长为3，底边长2为的等腰三角形ABC ，D 为底边BC 的中点，以AD 为折痕，将三角形ABD 翻折，使BD⊥CD ，则经过A ，B ，C ，D 的球的表面积为（ ） A.10π B.12π C.16π D.20π9.（多选题，5分）如图所示，在四个正方体中，l 是正方体的一条体对角线，点M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出l⊥平面MNP 的图形为（ ）A.B.C.D.10.（多选题，5分）某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60）元的学生有60人，则下列说法正确的是（）A.样本中支出在[50，60）元的频率为0.03B.样本中支出不少于40元的人数有132C.n的值为200D.若该校有2000名学生，则定有600人支出在[50，60）元11.（多选题，5分）甲乙两个质地均匀且完全一样的四面体，每个面都是正三角形，甲四个面上分别标有数字1，2，3，4，乙四个面上分别标有数字5，6，7，8，同时抛掷这两个四面体一次，记事件A为“两个四面体朝下一面的数字之和为奇数”，事件B为“甲四面体朝下一面的数字为奇数”，事件C为“乙四面体朝下一面的数字为偶数”，则下列结论正确的是（）A.P（A）=P（B）=P（C）B.P（BC）=P（AC）=P（AB）C.P（ABC）= 18D.P（A）•P（B）•P（C）= 1812.（多选题，5分）已知a，b⃗，c是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（）A.| a• b⃗|≤| a || b⃗ |B.若a• b⃗ = c• b⃗且b⃗≠0，则a = cC.两个非零向量a，b⃗，若| a - b⃗ |=| a |+| b⃗ |，则a与b⃗共线且反向D.已知a =（1，2），b⃗ =（1，1），且a与a+λ b⃗的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（- 53，+∞）13.（填空题，4分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶D在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=___ m．14.（填空题，4分）某大街在甲、乙、丙三处设有红、绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为13，12，23，则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为___ ．15.（填空题，4分）某人5次下班途中所花的时间（单位：分钟）分别为m，n，5，6，4．已知这组数据的平均数为5，方差为2，则|m-n|的值为___ ．16.（填空题，4分）已知三棱锥S-ABC的四个顶点在以O为球心的同一球面上，且∠ACB=90°，SA=SB=SC=AB，当球的面积为400π时，O到平面ABC的距离是___ ．17.（问答题，12分）在平面直角坐标系中，已知a=(1，−2)，b⃗=(3，4)．（Ⅰ）若(3a−b⃗)∥(a+kb⃗)，求实数k的值；（Ⅱ）若(a−tb⃗)⊥b⃗，求实数t的值．18.（问答题，12分）某校为了解全校高中学生五一小长假参加实践活动的情况，抽查了100名学生，统计他们假期参加实践活动的时间，绘成的频率分布直方图如图所示．（1）估计这100名学生参加实践活动时间的众数、中位数和平均数；（2）估计这100名学生参加实践活动时间的上四分位数．19.（问答题，12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC+（cosA- √3 sinA）cosB=0．（1）求角B的大小；（2）若a+c=1，求b的取值范围．20.（问答题，12分）在如图所示的圆锥中，底面直径与母线长均为4，点C是底面直径AB 所对弧的中点，点D是母线PA的中点．（1）求该圆锥的侧面积与体积；（2）求异面直线AB与CD所成角的正切值．21.（问答题，12分）某校为了解学生寒假期间的学习情况，从初中及高中各班共抽取了50名学生，对他们每天平均学习时间进行统计．请根据下面的各班人数统计表和学习时间的频率分布直方图解决下列问题：年级人数初一 4初二 4初三 6高一12高二 6高三18合计50（Ⅱ）经调查，每天平均学习时间不少于6小时的学生均来自高中．现采用分层抽样的方法，从学习时间不少于6小时的学生中随机抽取6名学生进行问卷调查，求这三个年级各抽取了多少名学生；（Ⅲ）在（Ⅱ）抽取的6名学生中随机选取2人进行访谈，求这2名学生来自不同年级的概率．22.（问答题，14分）如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，点M是线段B1D1上的一个动点，E，F分别是BC，CM的中点．（1）求证：EF || 平面BDD1B1；的值；若（2）在棱CD上是否存在一点G，使得平面GEF || 平面BDD1B1？若存在，求出CGGD不存在，请说明理由．2019-2020学年山东省枣庄八中东校区高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）若复数z= 1−ii，则复数z的虚部为（）A.1B.-1C.-iD.i【正确答案】：B【解析】：利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】：解：复数z= 1−ii = −i(1−i)−i•i=-i-1，则复数z的虚部为-1．故选：B．【点评】：本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.（单选题，5分）某中学的高一、高二、高三共有学生1350人，其中高一500人，高三比高二少50人，为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生120人，则该样本中的高二学生人数为（）A.80B.96C.108D.110【正确答案】：C【解析】：求出高一、高二、高三的人数分别为：500，450，400，即可得出该样本中的高二学生人数．【解答】：解：设高二x人，则x+x-50+500=1350，x=450，所以，高一、高二、高三的人数分别为：500，450，400因为 120500 = 625 ，所以，高二学生抽取人数为： 450×625 =108， 故选：C ．【点评】：本题主要考查分层抽样的应用，根据比例关系是解决本题的关键． 3.（单选题，5分）设复数z 满足（1+i ）z=2i ，则|z|=（ ） A. 12 B. √22 C. √2 D.2【正确答案】：C【解析】：利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】：解：∵（1+i ）z=2i ，∴（1-i ）（1+i ）z=2i （1-i ），z=i+1． 则|z|= √2 ． 故选：C ．【点评】：本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.（单选题，5分）点P 是△ABC 所在平面上一点，若 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则△ABP 与△ACP 的面积之比是（ ） A.3 B.2 C. 13D. 12【正确答案】：D【解析】：过P 作PE || AC ，PF || AB ，由 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ = AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF⃗⃗⃗⃗⃗ ，根据题意，△ABP 与△ACP 的面积之比为BP ：PC=1：2，得出结论．【解答】：解：点P 是△ABC 所在平面上一点，过P 作PE || AC ，PF || AB ， 由 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ = AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF⃗⃗⃗⃗⃗ ，故AE：EB=2：1=PC：PB，所以△ABP与△ACP的面积之比为BP：PC=1：2，故选：D．【点评】：考查平面向量的基本定理，共线向量的性质，面积之比与边的比的关系，基础题．5.（单选题，5分）箱中装有标号为1，2，3，4，5且大小相同的5个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖，现有2人参与摸奖，恰好有1人获奖的概率是（）A. 25B. 425C. 625D. 1225【正确答案】：D【解析】：如果两球号码之积是4的倍数，则获奖，求出获奖的概率为：4C52 = 25，现有2人参与摸奖，利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出恰好有1人获奖的概率．【解答】：解：箱中装有标号为1，2，3，4，5且大小相同的5个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖，获奖的概率为：4C52 = 25，现有2人参与摸奖，恰好有1人获奖的概率是：p= 25×(1−25)+(1−25)×25= 1225．故选：D．【点评】：本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.（单选题，5分）如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（ ）A.（1）（2）B.（1）（3）C.（1）（4）D.（1）（5）【正确答案】：D 【解析】：该平面过圆柱上、下底中心时截面图形为（1），不过上、下底的中心时截面图形为（5）．【解答】：解：当该平面过圆柱上、下底中心时截面图形为（1）；当不过上、下底的中心时，截面图形为（5）．所以只有（1）、（5）正确．故选：D ．【点评】：本题考查了圆柱体的截面图形应用问题，是基础题．7.（单选题，5分）在△ABC 中， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ • BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3，其面积S∈[ √32，3√32]，则 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与 BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角的取值范围为（ ）A.[ π6 ， π4 ]B.[ π4 ， π3 ]C.[ π6 ， π3 ]D.[ 2π3 ， 3π4 ]【正确答案】：C【解析】：可设 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与 BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角为θ，则据题意得出θ为锐角，且 |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3cosθ，从而根据△ABC 的面积 s ∈[√32，3√32] 可得出 √33≤tanθ≤√3 ，这样根据正切函数在 (0，π2) 的单调性即可求出θ的范围．【解答】：解：∵ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ •BC⃗⃗⃗⃗⃗ =3 ； ∴ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为锐角，设 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ，则： |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ | cosθ=3； ∴ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3cosθ； 又 s ∈[√32，3√32] ； ∴ √32≤12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinθ≤3√32 ； ∴ √32≤32tanθ≤3√32 ； ∴ √33≤tanθ≤√3 ； ∴ π6≤θ≤π3 ；∴ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与 BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角的取值范围为 [π6，π3] ． 故选：C ．【点评】：考查向量数量积的计算公式，三角形的面积公式，以及正切函数的单调性．8.（单选题，5分）已知腰长为3，底边长2为的等腰三角形ABC ，D 为底边BC 的中点，以AD 为折痕，将三角形ABD 翻折，使BD⊥CD ，则经过A ，B ，C ，D 的球的表面积为（ ）A.10πB.12πC.16πD.20π【正确答案】：A【解析】：如图所示，由题意可得：DB ，DC ，DA 两两相互垂直．根据长方体的对角线与外接球的直径的关系即可得出．【解答】：解：如图所示，由题意可得：DB ，DC ，DA 两两相互垂直．AD 2=32-12=8．设经过A ，B ，C ，D 的球的半径为R ．则4R 2=12+12+8=10．∴球的表面积=10π．故选：A．【点评】：本题考查了等腰三角形的性质、长方体的性质、球的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.（多选题，5分）如图所示，在四个正方体中，l是正方体的一条体对角线，点M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥平面MNP的图形为（）A.B.C.D.【正确答案】：AD【解析】：根据正方体的性质即可判断出结论．【解答】：解：对于AD．根据正方体的性质可得：l⊥MN，l⊥MP，可得l⊥平面MNP．而BC无法得出l⊥平面MNP．故选：AD．【点评】：本题考查了正方体的性质、线面垂直的判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.（多选题，5分）某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60）元的学生有60人，则下列说法正确的是（）A.样本中支出在[50，60）元的频率为0.03B.样本中支出不少于40元的人数有132C.n的值为200D.若该校有2000名学生，则定有600人支出在[50，60）元【正确答案】：BC【解析】：在A中，样本中支出在[50，60）元的频率为0.3；在B中，样本中支出不少于40元的人数有：0.0360.03×60+60 =132；在C中，n= 600.03=200；D．若该校有2000名学生，则可能有600人支出在[50，60）元．【解答】：解：由频率分布直方图得：在A中，样本中支出在[50，60）元的频率为：1-（0.01+0.024+0.036）×10=0.3，故A错误；在B中，样本中支出不少于40元的人数有：0.0360.03×60+60 =132，故B正确；在C中，n= 600.03=200，故n的值为200，故C正确；D．若该校有2000名学生，则可能有600人支出在[50，60）元，故D错误．故选：BC ．【点评】：本题考查命题真假的判断，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．11.（多选题，5分）甲乙两个质地均匀且完全一样的四面体，每个面都是正三角形，甲四个面上分别标有数字1，2，3，4，乙四个面上分别标有数字5，6，7，8，同时抛掷这两个四面体一次，记事件A 为“两个四面体朝下一面的数字之和为奇数”，事件B 为“甲四面体朝下一面的数字为奇数”，事件C 为“乙四面体朝下一面的数字为偶数”，则下列结论正确的是（ ）A.P （A ）=P （B ）=P （C ）B.P （BC ）=P （AC ）=P （AB ）C.P （ABC ）= 18D.P （A ）•P （B ）•P （C ）= 18【正确答案】：ABD【解析】：利用古典概型、相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式直接求解．【解答】：解：甲乙两个质地均匀且完全一样的四面体，每个面都是正三角形，甲四个面上分别标有数字1，2，3，4，乙四个面上分别标有数字5，6，7，8，同时抛掷这两个四面体一次，记事件A 为“两个四面体朝下一面的数字之和为奇数”，事件B 为“甲四面体朝下一面的数字为奇数”，事件C 为“乙四面体朝下一面的数字为偶数”， 则P （A ）= C 21C 21+C 21C 214×4 = 12 ．P （B ）= 24 = 12 ，P （C ）= 24 = 12 ， ∴P （A ）=P （B ）=P （C ），故A 正确；P （BC ）=P （B ）P （C ）= 12×12 = 14 ，P （AC ）= C 21C 214×4 = 14 ，P （AB ）= C 21C 214×4 = 14 ，∴P （BC ）=P （AC ）=P （AB ），故B 正确；P （ABC ）= C 21C 214×4 = 14 ，故C 错误；P （A ）•P （B ）•P （C ）= 12×12×12 = 18 ，故D 正确．故选：ABD ．【点评】：本题考查概率的求法，考查古典概型、相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12.（多选题，5分）已知 a ， b ⃗ ， c 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（ ）A.| a • b ⃗ |≤| a || b⃗ |B.若 a • b ⃗ = c • b ⃗ 且 b ⃗ ≠0，则 a = cC.两个非零向量 a ， b ⃗ ，若| a - b ⃗ |=| a |+| b ⃗ |，则 a 与 b⃗ 共线且反向 D.已知 a =（1，2）， b ⃗ =（1，1），且 a 与 a +λ b⃗ 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（- 53 ，+∞）【正确答案】：AC【解析】：根据平面向量数量积的定义判断A 正确；平面向量数量积的消去律不成立，判断B 错误；利用平面向量的数量积与模长公式，判断C 正确；根据 a 与 a +λ b⃗ 的夹角为锐角时 {a •(a +λb ⃗ )＞0a 与a +λb ⃗ 不共线，列不等式求出λ的取值范围，判断D 错误．【解答】：解：对于A ，由平面向量数量积的定义知| a • b ⃗ |=| a |×| b ⃗ |×|cosθ|≤| a || b⃗ |，所以A 正确；对于B ，由 a • b ⃗ = c • b ⃗ 且 b ⃗ ≠0，不能得出 a = c ，所以B 错误；对于C ，两个非零向量 a ， b ⃗ ，若| a - b ⃗ |=| a |+| b⃗ |， 则 a 2 -2 a • b ⃗ + b ⃗ 2 = |a |2 +2| a |×| b ⃗ |+ |b ⃗ |2 ， 所以 a • b ⃗ =-| a |×| b ⃗ |，所以cosθ=-1，即 a 与 b⃗ 共线且反向，C 正确； 对于D ， a =（1，2）， b ⃗ =（1，1），则 a +λ b⃗ =（1+λ，2+λ）； 若 a 与 a +λ b⃗ 的夹角为锐角，则 {a •(a +λb ⃗ )＞0a 与a +λb⃗ 不共线 ，即 {(1+λ)+2(2+λ)＞02+λ≠2(1+λ) ，解得λ＞- 53 且λ≠0所以实数λ的取值范围是（- 53 ，0）∪（0，+∞），D 错误．故选：AC ．【点评】：本题考查了平面向量数量的应用问题，也考查了命题真假的判断问题，是中档题．13.（填空题，4分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶D 在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=___ m ．【正确答案】：[1]100 √6【解析】：利用正弦定理求出BC，再计算出CD即可．【解答】：解：由题意可得AB=600，∠BAC=30°，∠ABC=180°-75°=105°，∴∠ACB=45°，在△ABC中，由正弦定理可得：ABsin∠ACB =BCsin∠BAC，即√22 = BC12，∴BC=300 √2，在Rt△BCD中，∠CBD=30°，∴tan30°= DCBC = √33，∴DC=100 √6．故答案为：100 √6．【点评】：本题考查了正弦定理解三角形，属于中档题．14.（填空题，4分）某大街在甲、乙、丙三处设有红、绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为13，12，23，则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为___ ．【正确答案】：[1] 718【解析】：利用相互独立事件概率乘法公式和对立事件概率计算公式直接求解．【解答】：解：某大街在甲、乙、丙三处设有红、绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为13，12，23，则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为：p=（1- 13）× 12×23+ 13×(1−12)×23+ 13×12×(1−23) = 718．故答案为：718．【点评】：本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.（填空题，4分）某人5次下班途中所花的时间（单位：分钟）分别为m，n，5，6，4．已知这组数据的平均数为5，方差为2，则|m-n|的值为___ ．【正确答案】：[1]4【解析】：利用平均数、方差的概念列出关于m，n的方程组，解这个方程组，利用整体思想，只要求出|m-n|即可，故可设m=5+t，n=5-t，求解即可．【解答】：解：由题意可得：m+n+5+6+4=25，m+n=10，根据方差公式得（m-5）2+（n-5）2=8，设m=5+t，n=5-t，则2t2=8，解得t=±2，∴|m-n|=2|t|=4，故答案为：4．【点评】：本题考查统计的基本知识，样本平均数与样本方差的概念以及求解方程组的方法，比较简单．16.（填空题，4分）已知三棱锥S-ABC的四个顶点在以O为球心的同一球面上，且∠ACB=90°，SA=SB=SC=AB，当球的面积为400π时，O到平面ABC的距离是___ ．【正确答案】：[1]5【解析】：根据题意可得：球的半径R=10，并且三棱锥顶点S在底面ABC内的射影D是△ABC的外心，由∠ACB=90°，可得D是AB的中点，所以点O到ABC的距离h=OD．再利用三角形的有关性质求出答案即可．【解答】：解：设球半径为R，因为球的表面积为400π，所以球的半径R=10．因为SA=SB=SC，所以三棱锥顶点S在底面ABC内的射影D是△ABC的外心，又因为∠ACB=90°，所以D是AB的中点，所以点O到ABC的距离h=OD．因为SA=SB=AB，所以可得△SAB是等边三角形，所以点O是三角形△SAB的外心，即三角形的中心．又因为其外接圆的半径为10，所以OD=5．故答案为：5．【点评】：本题考查的知识点是空间点、线、面之间的距离计算，解决此类问题的一般方法是根据球心距d，球半径R，截面圆半径r，构造直角三角形，满足勾股定理，是与球相关的距离问题常用方法．属于中档题．17.（问答题，12分）在平面直角坐标系中，已知a=(1，−2)，b⃗=(3，4)．（Ⅰ）若(3a−b⃗)∥(a+kb⃗)，求实数k的值；（Ⅱ）若(a−tb⃗)⊥b⃗，求实数t的值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）可以求出3a−b⃗=(0，−10)，a+kb⃗=(3k+1，4k−2)，根据(3a−b⃗)∥(a+kb⃗)即可得出3k+1=0，解出k即可；（Ⅱ）可以求出a−tb⃗=(1−3t，−2−4t)，根据(a−tb⃗)⊥b⃗即可得出(a−tb⃗)•b⃗=0，进行向量坐标的数量积的运算即可求出t的值．【解答】：解：（Ⅰ）3a−b⃗=(0，−10)，a+kb⃗=(3k+1，4k−2)，∵ (3a−b⃗)∥(a+kb⃗)，∴3k+1=0，解得k=−1；3（Ⅱ）a−tb⃗=(1−3t，−2−4t)，∵ (a−tb⃗)⊥b⃗，．∴ (a−tb⃗)•b⃗=3(1−3t)−4(2+4t)=0，解得t=−15【点评】：本题考查了向量坐标的加法、减法、数量积和数乘运算，向量平行时的坐标关系，向量垂直的充要条件，考查了计算能力，属于基础题．18.（问答题，12分）某校为了解全校高中学生五一小长假参加实践活动的情况，抽查了100名学生，统计他们假期参加实践活动的时间，绘成的频率分布直方图如图所示．（1）估计这100名学生参加实践活动时间的众数、中位数和平均数；（2）估计这100名学生参加实践活动时间的上四分位数．【正确答案】：【解析】：（1）由众数、中位数和平均数得定义结合直方图先求出a=0.14，再直接各自求出．（2）设参加实践活动时间的上四分位数为m，解方程0.04×2+0.12×（m-4）=0.25，可得所求值．【解答】：解：（1）因为（0.04+0.12+0.15+a+0.05）×2=1，所以a=0.14，则众数是7．设中位数是x，则（0.04+0.12）×2+（x-6）×0.15=0.5，即x=7.2，则中位数是7.2．平均数x =3×0.08+5×0.24+7×0.3+9×0.28+11×0.1=7.16．（2）设参加实践活动时间的上四分位数为m，则0.04×2+0.12×（m-4）=0.25，则m=5.41．故这100名学生参加实践活动时间的上四分位数大约是5.41．【点评】：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了众数、中位数和平均数，上四分位数的应用问题，是基础题．19.（问答题，12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC+（cosA- √3 sinA）cosB=0．（1）求角B的大小；（2）若a+c=1，求b的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）已知等式第一项利用诱导公式化简，第二项利用单项式乘多项式法则计算，整理后根据sinA不为0求出tanB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（2）方法一：由余弦定理列出关系式，变形后将a+c及cosB的值代入表示出b2，根据a的范围，利用二次函数的性质求出b2的范围，即可求出b的范围．方法二：由余弦定理列出关系式，变形后将a+c及cosB的值代入表示出b2，然后利用基本不等式求出b的取值范围即可．【解答】：解：（1）由已知得：-cos（A+B）+cosAcosB- √3 sinAcosB=0，即sinAsinB- √3 sinAcosB=0，∵sinA≠0，∴sinB- √3 cosB=0，即tanB= √3，又B为三角形的内角，则B= π3；（2）方法一：∵a+c=1，即c=1-a，cosB= 12，∴由余弦定理，得b2=a2+c2-2ac•cosB，即b2=a2+c2-ac=（a+c）2-3ac=1-3a（1-a）=3（a- 12）2+ 14，∵0＜a＜1，∴ 14≤b2＜1，则12≤b＜1．∴b的取值范围为[ 12，1）．方法二：∵a+c=1，即c=1-a，cosB= 12，∴由余弦定理，得b2=a2+c2-2ac•cosB，即b2=a2+c2-ac=（a+c）2-3ac=1-3ac≥1−3(a+c2)2=1−34=14，∴b≥ 12，又b＜a+c=1，∴ 12≤b＜1，∴b的取值范围为[ 12，1）．【点评】：此题考查了余弦定理，二次函数的性质，诱导公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．20.（问答题，12分）在如图所示的圆锥中，底面直径与母线长均为4，点C是底面直径AB 所对弧的中点，点D是母线PA的中点．（1）求该圆锥的侧面积与体积；（2）求异面直线AB与CD所成角的正切值．【正确答案】：【解析】：（1）由题意结合图形求得圆锥的侧面积和体积；（2）取PO的中点E，连接DE、CE，得出∠CDE或其补角即为所求．【解答】：解：（1）由题意，得OB=2，PB=4，∴ PO=√PB2−OB2=2√3，∴圆锥的侧面积为S=πrl=8π；体积为V=13πr2ℎ=13⋅π⋅22⋅2√3=8√33π；（2）取PO的中点E，连接DE，CE，则∠CDE或其补角即为所求，如图所示；由CO⊥平面PAB得CO⊥DE，由PD=DO=2得DE⊥PO，易得DE⊥平面EOC，∴DE⊥EC，∴ DE=12OA=1，CE=√OC2+OE2 = √22+(√3)2=√7，=√7，计算tan∠CDE=√71即异面直线AB与CD所成角的正切值为√7．【点评】：本题主要考查了空间中直线与直线的位置关系和应用问题，也考查了表面积与体积的计算问题．21.（问答题，12分）某校为了解学生寒假期间的学习情况，从初中及高中各班共抽取了50名学生，对他们每天平均学习时间进行统计．请根据下面的各班人数统计表和学习时间的频率分布直方图解决下列问题：年级人数初一 4初二 4初三 6高一12高二 6高三18合计50（Ⅱ）经调查，每天平均学习时间不少于6小时的学生均来自高中．现采用分层抽样的方法，从学习时间不少于6小时的学生中随机抽取6名学生进行问卷调查，求这三个年级各抽取了多少名学生；（Ⅲ）在（Ⅱ）抽取的6名学生中随机选取2人进行访谈，求这2名学生来自不同年级的概率．【正确答案】：【解析】：（I ）利用频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1，求得学习时间为6～8小时的频率，再根据频数=频率×样本容量求解；（II ）求得分层抽样的抽取比例，再根据高中三个年级的人数分别乘以抽取比例可得三个年级的抽取人数；（III ）利用列举法写出从6名学生中选取2人所有可能的情形，从中找出2名学生来自不同年级的情形，利用个数比求概率．【解答】：解：（Ⅰ）由直方图知，学习时间为6～8小时的频率为1-（0.02+2×0.12+0.06）×2=0.36，∴学习时间为～小时的人数为50×0.36=18；（Ⅱ）由直方图可得，学习时间不少于 6小时的学生有18+12+6=36 人． ∵从中抽取6名学生的抽取比例为 636= 16，高中三个年级的人数分别为12、6、18， ∴从高中三个年级依次抽取2名学生，1名学生，3名学生；（Ⅲ）设高一的2 名学生为A 1，A 2高二的 1名学生为B ，高三的 3名学生为C 1，C 2，C 3． 则从6名学生中选取2人所有可能的情形有（ A 1，A 2），（A 1，B ），（A 1，C 1），（ A 1，C 2），（ A 1，C 3），（A 2，B ），（ A 2，C 1），（ A 2，C 2），（A 2，C 3），（B ，C 1），（C 1，C 2），（C 1，C 3），（C 2，C 3），（B ，C 2），（B ，C 3），共15种可能． 其中2名学生来自不同年级的有（ A 1，B ），（A 1，C 1），（ A 1，C 2），（A 1，C 3），（ A 2，B ），（ A 2，C 1），（A 2，C 2），（A 2，C 3），（ B ，C 1），（B ，C2），（ B ，C 3），共11种情形， 故所求概率为P= 1115 ．【点评】：本题考查了频率分布直方图，古典概型的概率计算，是概率统计的典型题，根据频率分布直方图中频率=频数样本容量 =小矩形的高×组距来获得数据，是解答此类问题的基本方法．22.（问答题，14分）如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，点M是线段B1D1上的一个动点，E，F分别是BC，CM的中点．（1）求证：EF || 平面BDD1B1；的值；若（2）在棱CD上是否存在一点G，使得平面GEF || 平面BDD1B1？若存在，求出CGGD不存在，请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）连结BM，推导出EF || BM，由此能证明EF || 平面BDD1B1．（2）推导出EG || BD，由E是BC中点，得G是DC中点，从而棱CD上存在一点G，使得平=1．面GEF || 平面BDD1B1，且CGGD【解答】：证明：（1）连结BM，∵BE=EC，CF=FM，∴EF || BM，又EF⊄平面BDD1B1，BM⊂平面BDD1B1，∴EF || 平面BDD1B1．解：（2）棱CD上存在一点G，使得平面GEF || 平面BDD1B1．理由如下：∵平面GEF∩平面ABCD=EG，平面BDD1B1∩平面ABCD=BD，∴EG || BD，又∵E是BC中点，∴G是DC中点，=1．∴棱CD上存在一点G，使得平面GEF || 平面BDD1B1，且CGGD【点评】：本题考查线面平行证明，考查满足面面平行的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．。

江苏省太湖高级中学201—2019学年度第二学期期中考试试卷高 一 数 学2019．4一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上） 1．在△ABC 中，若a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则角A 为A ．30°B ．45°C ．120°D ．150°2．已知点A(1，B(﹣1，，则直线AB 的倾斜角是A ．60°B ．30°C ．120°D ．150°3．在△ABC 中，a ＝2，b ＝B ＝6π，则角A 为A ．4πB ．3πC ．34πD ．4π或34π 4．在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角为30°，则该长方体的体积为A ．8B ．C ．D ．5．在△ABC 中，A ：B ：C ＝1：1：4，则a ：b ：c 等于A ．1：1B ．2：2C ．1：1：2D ．1：1：46．已知一圆锥的侧面展开图是一个中心角为直角的扇形，若该圆锥的侧面积为4π，则该圆锥的体积为A B ．43π C ．3π D7．在△ABC 中，若cosC ＝，b cosA ＋a cosB ＝3，则△ABC 外接圆的半径为A ．B ．C ．4D ．68．如图，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为A ．15 B ．25 C ．35 D ．459．已知M(1，2)，N(4，3)，直线l 过点P(2，﹣1)且与线段MN 相交，那么直线l 的斜率k的取值范围是A．[﹣3，2] B．(-∞，﹣3][2，+∞)C．[13-，12] D．(-∞，13-][12，+∞)10．已知两条直线m、n与两个平面α、β，有下列四个命题：①若m∥n，n∥α，则m ∥α；②若α∥β，m∥n，且m⊥α，则n⊥β；③若m⊥n，m⊥α，则n∥α或n⊂α；④若α⊥β，m∥α，则m⊥β．其中，正确命题的个数是A．1 B．2 C．3 D．411．在△ABC中，若(a﹣b)(sinA＋sinB)＝(c﹣b)sinC，a b2＋c2的取值范围是A．(3，6) B．(3，5) C．(5，6] D．[5，6]12．在△ABC中，若cos2C2＝54a cosA﹣14c cosB＋12，且b＝2，则边a的最小值为A．5B．5C．9625D．11225二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．）13．若直线l1：ax＋(1﹣a)y＝3与l2：(a﹣1)x＋(2a＋3)y＝2互相垂直，则实数a的值为．14．在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为．15．如图，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝4，AC BC＝1，E、F分别为AB、PC 的中点，则三棱锥B—EFC的体积为．16．在△ABC中，若b＝6，ac cosB＝a2﹣b2，O为△ABC内一点，且满足OA+ OB OC0+=，∠BAO＝30°，则OA＝．第8题第15题三、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（本题满分10分）已知在平面直角坐标xOy 中，A(8，﹣6)，B(2，2)．（1）求线段AB 的中垂线方程；（2）求过点P(﹣2，1)且与直线AB 平行的直线l 的方程．18．（本题满分10分）如图，在四棱锥V —ABCD 中，底面四边形ABCD 是矩形，VD ⊥平面ABCD ，过AD 的平面分别与VB ，VC 交于点M ，N ．（1）求证：BC ⊥平面VCD ；（2）求证：AD ∥MN ．19．（本题满分12分）在△ABC 中，若A ＝4，a 2﹣c 2＝12b 2． （1）求sinC 的值；（2）若△ABC 的面积为3，求边长a ．20．（本题满分12分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面四边形ABCD 是矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥PD ，PA ＝PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点．（1）求证：PE ⊥BC ；（2）求证：平面PAB ⊥平面PCD ；（3）求证：EF ∥平面PCD ．21．（本题满分12分）某学校的平面示意图为如下五边形区域ABCDE，其中三角形区域ABE为生活区，四边形区域BCDE为教学区，AB，BC，CD，DE，EA，BE为学校的主要道路（不考虑宽度）．∠BCD＝∠CDE＝23π，∠BAE＝3π，DE＝3BC＝3CD＝3 km．（1）求道路BE的长度；（2）求生活区△ABE面积的最大值．22．（本题满分14分）如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为CD的中点，F为AE的中点，现在沿AE将△ADE向上折起，在折起的图形中解答下列问题：（1）在线段AB上是否存在一点K，使得BC∥平面DFK？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由；（2）若平面ADE⊥平面ABCE，求证：平面BDE⊥平面ADE．。

高级中学2019—2019学年第二学期期中测试高一理科数学命题人：李浩宾 审题人：张宏伟本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为1-8题，共40分，第Ⅱ卷为9-20题，共110分．全卷共计150分．考试时间为120分钟．第Ⅰ卷（本卷共40分）一、选择题：（本大题共8题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．不等式()()31210x x +->的解集是（ ）A ．}2131|{>-<x x x 或 B ．}2131|{<<-x x C ．}21|{>x x D ．}31|{->x x 2．已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是（ ）A ．15B ．30C ．31D ．643．过点（－1，3）且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ） A ．012=-+y x B ．052=-+y x C ．052=-+y xD ．072=+-y x4．已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =225a ，2a =1，则1a =（ ） A.21 B. 22C. 2D.25．在ABC ∆中，若°60A ∠=，°45B ∠=，BC =，则AC =（ ）A ．B ．C ．D ．26．已知点n A （n ，n a ）（∈n N *）都在函数x y a =（01a a >≠，）的图象上，则46a a +与52a的大小关系是（ ）A ．46a a +＞52aB ．46a a +＜52aC ．46a a +＝52aD ．46a a +与52a 的大小与a 有关7．如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使1AE =， 连接EC 、ED ，则sin CED ∠=（ ） A ．31010 B ．1010 C ．510 D ．5158．已知整数按如下规律排成一列：()1,1、()1,2、()2,1、()1,3、()2,2，()3,1，()1,4，()2,3，()3,2，()4,1，……，则第70个数对是（ ）A ．()2,11B ．()3,10C ．()4,9D ．()5,8第Ⅱ卷（本卷共计110分）二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．已知两条直线12:330,:4610.l ax y l x y +-=+-=若12//l l ，则a = ． 10．若011<<b a ，则下列不等式①ab b a <+；②|;|||b a >③b a <；④2>+baa b 中，正确的不等式是 ．（填写正确序号）11．已知点P (),a b 在直线23x y +=上，则24a b +的最小值为 ． 12．在ABC ∆中，若︒=120A ，AB =5，BC =7，则ABC ∆的面积S=__________. 13．在ABC ∆中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为 ．14．等比数列{}n a 的首项为12015a =，公比12q =-．设()f n 表示该数列的前n 项的积， 则当n = 时，()f n 有最大值．三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程，或演算步骤）15．（本小题满分12分） （Ⅰ）求以下不等式的解集：（1） 22150x x --< （2） 23x≥- （Ⅱ）若关于x 的不等式2122x x mx -+>的解集为()0,2，求实数m 的值．16．（本小题满分12分）已知ABC ∆三个顶点的直角坐标分别为A (3，4)、B (0，0)、C (c ，0)． （Ⅰ)若AB BC ⊥,求c 的值； （Ⅱ）若c =5，求sin ∠A 的值．17．（本小题满分14分）等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +==（Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设3102log ,n n b a =+求数列{}n b 的前n 项和n S ；（III ）设()23log n n c a =,求证：123111174n c c c c ++++<．18．（本小题满分14分）如图所示，某海岛上一观察哨A 在上午11时测得一轮船在海岛北偏东060的C 处，12时20分测得船在海岛北偏西060的B 处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5km 的E 港口，如果轮船始终匀速直线前进，问船速多少？19．（本小题满分14分）已知点(1,1)P 到直线l ：3(0)y x b b =+>的距离为2105.数列{a n }的首项11a =，且点列()*1,n n a a n N +∈均在直线l 上.（Ⅰ)求b 的值；（Ⅱ）求数列{a n }的通项公式； （III ）求数列{}n na 的前n 项和n S .20．（本小题满分14分）已知数列{a n }的前n 项和为n S ，且满足2n S n =，数列{}n b 满足11n n n b a a +=⋅，n T 为数列{}nb 的前n 项和.（Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若对任意的*n N ∈，不等式8(1)n n T n λ<+⋅-恒成立，求实数λ的取值范围；（III ）是否存在正整数m ，n （1＜m ＜n ），使得1T ，m T ，n T 成等比数列？若存在，求出所有m ，n 的值；若不存在，请说明理由.高级中学2019—2019学年第二学期期中测试高一理科数学参考答案一．选择题：（本大题共8题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）第Ⅱ卷（本卷共计110分）二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．2 10. ①④ 11. 12．4 13. 1214. 126612015()2⨯14.解112015()2n n a -=⨯-，(1)21()2015()2n n nf n -=⋅- ∵|(1)|2015|()|2nf n f n +=，∴当n ≤10时，|(1)|2015|()|2nf n f n +=＞1，∴ | f (11) |＞| f (10) |＞…＞| f (1) |； 当n ≥11时，|(1)|2015|()|2n f n f n +=＜1，∴ | f (11) |＞| f (12) |＞…∵(11)0,(10)0,(9)0,(12)0f f f f <<>>，∴()f n 的最大值为(9)f 或(12)f 中的最大者．∵126633031093612015()(12)1201522015()()11(9)222015()2f f ⨯==⨯=>⨯-，∴ 当n =12时，()f n 有最大值为12661(12)2015()2f =⨯．三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程，或演算步骤）15．（本小题12分） （Ⅰ）求以下不等式的解集：1． 22150x x --< 2． 23x≥- （Ⅱ）若关于x 的不等式2122x x mx -+>的解集为()0,2，求m 的值． 解：（Ⅰ）1. 22150x x --<的解集为5,32⎛⎫- ⎪⎝⎭3分2．23x ≥-的解集为()20,,3⎛⎤+∞-∞- ⎥⎝⎦ 7分（Ⅱ）若关于x 的不等式2122x x mx -+>的解集为()0,2，则0,2是2122x x mx -+=的解．故 2122222m -+⋅=，解得1m =，所以1m = 12分 16．（本小题满分12分）已知ABC ∆三个顶点的直角坐标分别为A (3，4)、B (0，0)、C (c ，0)． （Ⅰ)若AB BC ⊥,求c 的值； （Ⅱ）若c =5，求sin ∠A 的值．(1) (3,4)AB =-- (3,4)AC c =--由 3(3)162530AB AC c c =--+=-= 得 253c = 5分 (2) (3,4)AB =-- (2,4)AC =-6cos 5AB AC A ABAC-∠===sin 5A ∠==12分 17．（本小题14分）等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +==（Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）（Ⅱ）设3102log ,n n b a =+求数列{}n b 的前n 项和n S . （III ）设()23log n n c a =,求证：123111174n c c c c ++++<． 解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，由23269a a a =得32349a a =所以219q =。

2019-2020学年江苏省南通市如东高级中学高一第二学期期中数学试卷一、选择题（共10小题）.1．直线y＝x+1的倾斜角是（）A．B．C．D．2．某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为（）A．100B．150C．200D．2503．在△ABC中，若a＝2，，，则B＝（）A．B．C．D．或4．对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为200，如图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25，30）的为一等品，在区间[20，25）和[30，35）的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为（）A．30B．40C．50D．605．已知直线（a+2）x+2ay﹣1＝0与直线3ax﹣y+2＝0垂直，则实数a的值是（）A．0B．C．0或D．或6．给出下列四个说法，其中正确的是（）A．线段AB在平面α内，则直线AB不在平面α内B．三条平行直线共面C．两平面有一个公共点，则一定有无数个公共点D．空间三点确定一个平面7．已知直线ax+y﹣2+a＝0在两坐标轴上的截距相等，则实数a＝（）A．1B．﹣1C．﹣2或1D．2或18．两圆与的公切线条数为（）A．1B．2C．3D．49．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A（4，0），B（0，2），且AC＝BC，则△ABC的欧拉线方程为（）A．x﹣2y﹣3＝0B．2x+y﹣3＝0C．x﹣2y+3＝0D．2x﹣y﹣3＝0 10．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝BC，则异面直线AB1和BC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．二、多项选择题：本题共2小题.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 11．已知角A，B，C是△ABC的三个内角，下列结论一定成立的有（）A．sin（B+C）＝sin AB．cos（A+B）＝cos CC．若A＞B，则sin A＞sin BD．若sin2A＝sin2B，则△ABC是等腰三角形12．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q分别为棱BC和CC1的中点，则下列说正确的是（）A．BC1∥平面AQPB．A1D⊥平面AQPC．异面直线A1C与PQ所成角为90°D．平面AQP截正方体所得截面为等腰梯形三、填空题：本大题共4小题.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 13．一组数据：6，8，9，13的方差为．14．已知两点M（0，2），N（2，﹣2），以线段MN为直径的圆的方程为．15．如图，从200m高的电视塔塔顶A测得地面上某两点B，C的俯角分别为30°和45°，∠BAC＝45°，则B，C两点间的距离为m．（俯角：在垂直面内视线与水平线的夹角）16．平面四边形ABCD的对角线AC，BD的交点位于四边形的内部，已知AB＝1，BC＝2，AC＝CD，AC⊥CD，当∠ABC变化时，则BD的最大值为．四、解答题：本大题共6小题.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，，，且C 为锐角．求：（1）sin A的值；（2）△ABC的面积．18．如图在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为BC，CC1的中点，AB＝AD＝2，AA1＝3．（1）证明：EF∥平面A1ADD1；（2）求直线AC1与平面A1ADD1所成角的正弦值．19．已知直线l：kx﹣y﹣4k+3＝0（k∈R），圆C：x2+y2﹣6x﹣8y+21＝0．（1）求证：直线l过定点M，并求出点M的坐标；（2）若直线l与圆C交于A，B两点，当弦长AB最短时，求此时直线l的方程．20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，点E，F分别是侧棱PA，PC上的点，且EF∥底面ABCD．（1）求证：EF∥AC；（2）若PC⊥底面ABCD，，∠ABC＝60°，求证：EF⊥PB．21．根据国际海洋安全规定：两国军舰正常状况下（联合军演除外），在公海上的安全距离为20mile（即距离不得小于20mile），否则违反了国际海洋安全规定．如图，在某公海区域有两条相交成60°的直航线XX′，YY′，交点是O，现有两国的军舰甲，乙分别在OX，OY上的A，B处，起初OA＝30mile，OB＝10mile，后来军舰甲沿XX′的方向，乙军舰沿Y′Y的方向，同时以40mile/h的速度航行．（1）起初两军舰的距离为多少？（2）试判断这两艘军舰是否会违反国际海洋安全规定？并说明理由．22．已知圆O：x2+y2＝1和点M（﹣1，﹣4）．（1）过点M向圆O引切线，求切线的方程；（2）求以点M为圆心，且被直线y＝2x﹣12截得的弦长为8的圆M的方程；（3）设P为（2）中圆M上任意一点，过点P向圆O引切线，切点为Q，试探究：平面内是否存在一定点R，使得为定值？若存在，请求出定点R的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由．参考答案一、单选题（共10小题）.1．直线y＝x+1的倾斜角是（）A．B．C．D．【分析】由方程可得直线的斜率，由斜率和倾斜角的关系可得所求．解：∵直线y＝x+1的斜率为，∴直线y＝x+1的倾斜角α满足tanα＝，∴α＝60°故选：B．2．某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为（）A．100B．150C．200D．250【分析】计算分层抽样的抽取比例和总体个数，利用样本容量＝总体个数×抽取比例计算n值．解：分层抽样的抽取比例为＝，总体个数为3500+1500＝5000，∴样本容量n＝5000×＝100．故选：A．3．在△ABC中，若a＝2，，，则B＝（）A．B．C．D．或【分析】先利用正弦定理求得sin B的值，进而求得B．解：∵＝，∴sin B＝•sin A＝×＝，∴B＝或，∵a＞b，∴A＞B，∴B＝．故选：A．4．对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为200，如图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25，30）的为一等品，在区间[20，25）和[30，35）的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为（）A．30B．40C．50D．60【分析】样品为三等品的频率为（0.0125+0.0250+0.0125）×5＝0.25，又已知样本容量为200，可解得样本中三等品的件数．解：样本为三等品的件数为200×（0.0125+0.0250+0.0125）×5＝50；故选：C．5．已知直线（a+2）x+2ay﹣1＝0与直线3ax﹣y+2＝0垂直，则实数a的值是（）A．0B．C．0或D．或【分析】利用一般式下两直线垂直的判定方法即：L1：A1x+B1y+C1＝0，L2：A2x+B2y+C2＝0，若L1⊥L2，则A1A2+B1B2＝0，带入求解即可．解：因为直线（a+2）x+2ay﹣1＝0与直线3ax﹣y+2＝0垂直，则（a+2）•3a+2a•（﹣1）＝0，解得：．故选：C．6．给出下列四个说法，其中正确的是（）A．线段AB在平面α内，则直线AB不在平面α内B．三条平行直线共面C．两平面有一个公共点，则一定有无数个公共点D．空间三点确定一个平面【分析】利用平面的基本性质及其推论直接求解．解：对于A，线段AB在平面α内，则直线AB一定在平面α内，故A错误；对于B，三条平行直线不一定共面，比如正方体AC1中，三条平行线AB，DC，A1B1不共面，故B错误；对于C，两平面有一个公共点，则这两相平面相交于过这个公共点的一条直线，一定有无数个公共点，故C正确；对于D，空间中不共面的三点确定一个平面，故D错误．故选：C．7．已知直线ax+y﹣2+a＝0在两坐标轴上的截距相等，则实数a＝（）A．1B．﹣1C．﹣2或1D．2或1【分析】根据题意讨论直线它在两坐标轴上的截距为0和在两坐标轴上的截距不为0时，求出对应a的值．解：﹣2+a＝0，即a＝2时，直线ax+y﹣2+a＝0化为2x+y＝0，它在两坐标轴上的截距为0，满足题意；﹣2+a≠0，即a≠2时，直线ax+y﹣2+a＝0化为+＝1，它在两坐标轴上的截距为＝2﹣a，解得a＝1；综上所述，实数a＝2或a＝1．故选：D．8．两圆与的公切线条数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】由两圆的半径和圆心距，判断两圆外切，有3条公切线．解：圆的圆心为C1（0，0），半径为r1＝1，圆的圆心为C2（﹣3，0），半径为r2＝2；且|C1C2|＝3，r1+r2＝3，所以|C1C2|＝r1+r2，所以两圆外切，公切线有3条．故选：C．9．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A（4，0），B（0，2），且AC＝BC，则△ABC的欧拉线方程为（）A．x﹣2y﹣3＝0B．2x+y﹣3＝0C．x﹣2y+3＝0D．2x﹣y﹣3＝0【分析】先根据题意求出AB的垂直平分线，再根据AC＝BC，可知三角形的外心、重心、垂心依次位于AB的垂直平分线上，即AB的垂直平分线即为所求．解：线段AB的中点为（2，1），，∴线段AB的垂直平分线为：y＝2（x﹣2）+1，即2x﹣y﹣3＝0，∵AC＝BC，∴三角形的外心、重心、垂心依次位于AB的垂直平分线上，因此△ABC的欧拉线方程为2x﹣y﹣3＝0，故选：D．10．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝BC，则异面直线AB1和BC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】如图所示建立空间直角坐标系，不妨设AA1＝AB＝AC＝BC＝2．利用cos＜，＞＝即可得出．解：如图所示建立空间直角坐标系，不妨设AA1＝AB＝AC＝BC＝2．则A（0，﹣1，2），B1（，0，0），B（，0，2），C1（0，1，0），∴＝（，1，﹣2），＝（﹣，1，﹣2），∴cos＜，＞＝＝＝．另解：分别取棱AB，BB1，B1C1的中点，连接，利用余弦定理即可得出．故选：D．二、多项选择题：本题共2小题.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 11．已知角A，B，C是△ABC的三个内角，下列结论一定成立的有（）A．sin（B+C）＝sin AB．cos（A+B）＝cos CC．若A＞B，则sin A＞sin BD．若sin2A＝sin2B，则△ABC是等腰三角形【分析】利用三角形的内角和以及正弦定理，三角方程转化求解判断选项的正误即可．解：因为三角形中，A＝π﹣（B+C），所以sin A＝sin（π﹣B﹣C）＝sin（B+C），所以A正确；cos A＝cos[π﹣（B+C）]＝﹣cos（B+C），所以B不正确；在△ABC中，若A＞B，则a＞b，即有2R sin A＞2R sin B，故sin A＞sin B，所以C正确；sin2A＝sin2B，可得2A＝2B或2A+2B＝π，所以A＝B或A+B＝，三角形为等腰三角形或直角三角形，所以D不正确；故选：AC．12．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q分别为棱BC和CC1的中点，则下列说正确的是（）A．BC1∥平面AQPB．A1D⊥平面AQPC．异面直线A1C与PQ所成角为90°D．平面AQP截正方体所得截面为等腰梯形【分析】利用直线与平面平行的判定判断A；利用反证法说明B错误；通过证明线面垂直，得到线线垂直说明C正确；找出平面AQP截正方体所得截面说明D正确．解：如图，∵P，Q分别为棱BC和CC1的中点，∴PQ∥BC1，∵PQ⊂平面AQP，BC1⊄平面AQP，∴BC1∥平面AQP，故A正确；若A1D⊥平面AQP，则A1D⊥AP，又A1D⊥AB，AB∩AP＝A，∴A1D⊥平面ABCD，与A1D与平面ABCD不垂直矛盾，故B错误；由A1B1⊥BC1，B1C⊥BC1，A1B1∩B1C＝B1，得BC1⊥平面A1B1C，得A1C⊥BC1，则A1C⊥PQ，即异面直线A1C与PQ所成角为90°，故C正确；平面AQP截正方体所得截面为APQD1，为等腰梯形，故D正确．故选：ACD．三、填空题：本大题共4小题.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 13．一组数据：6，8，9，13的方差为．【分析】先求出这组数据的平均数，由此能求出这组数据的方差．解：一组数据：6，8，9，13的平均数为：＝（6+8+9+13）＝9，∴这组数据的方差为：S2＝[（6﹣9）2+（8﹣9）2+（9﹣9）2+（13﹣9）2]＝．故答案为：．14．已知两点M（0，2），N（2，﹣2），以线段MN为直径的圆的方程为（x﹣1）2+y2＝5．【分析】根据题意，设MN的中点为O，由MN的坐标求出O的坐标以及MN的长，即可得要求圆的圆心与半径，由圆的标准方程即可得答案．解：根据题意，设MN的中点为O，则以线段MN为直径的圆的圆心为O，半径r＝，又由M（0，2），N（2，﹣2），则O（1，0），|MN|＝＝2，则r＝，则要求圆的标准方程为：（x﹣1）2+y2＝5；故答案为：（x﹣1）2+y2＝5．15．如图，从200m高的电视塔塔顶A测得地面上某两点B，C的俯角分别为30°和45°，∠BAC＝45°，则B，C两点间的距离为200m．（俯角：在垂直面内视线与水平线的夹角）【分析】由题意，AB＝400m，AC＝200m，△BAC中，利用余弦定理，即可得出结论．解：从200m高的电视塔顶A测得地面上某两点B，C的俯角分别为30°和45°，∴AB＝400m，AC＝200m，△BAC中，∠BAC＝45°，∴由余弦定理得：BC2＝AB2+AC2﹣2AB•AC cos45°＝4002+（200）2﹣2×400×200×＝80000；∴BC＝200（m）．故答案为：200．16．平面四边形ABCD的对角线AC，BD的交点位于四边形的内部，已知AB＝1，BC＝2，AC＝CD，AC⊥CD，当∠ABC变化时，则BD的最大值为2+1．【分析】引入∠ABC＝α，先在△ABC中，利用α借助于正弦定理表示出AC，sin∠ACB．然后再在△BCD中利用余弦定理表示出BD，最后借助三角恒等变换求出BD的最值．解：如图，设∠ABC＝α，在△ABC中，因为AB＝1，BC＝2，∴AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cosα＝5﹣4cosα，即．∴，即，∴，∴＝﹣sin∠ACB＝．所以在△BCD中，BD2＝BC2+CD2﹣2BC•CD•cos∠BCD＝×＝．易知，当时，BD2最大值为，故BD的最大值为．故答案为：．四、解答题：本大题共6小题.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，，，且C 为锐角．求：（1）sin A的值；（2）△ABC的面积．【分析】（1）由已知结合正弦定理可求sin A，（2）由已知结合同角平方关系可求cos C，然后结合余弦定理可求b，代入三角形的面积公式即可求解．解：（1）在△ABC中，由正弦定理有：，解得；（2）因为，且C为锐角，所以，在△ABC中，由余弦定理有：c2＝a2+b2﹣2ab cos C，解得b＝2；所以△ABC的面积为．18．如图在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为BC，CC1的中点，AB＝AD＝2，AA1＝3．（1）证明：EF∥平面A1ADD1；（2）求直线AC1与平面A1ADD1所成角的正弦值．【分析】（1）连接BC1，则EF∥BC1，推导出四边形ABC1D1为平行四边形，从而BC1∥AD1，EF∥AD1，由此能证明EF∥平面A1ACD1．（2）连AD1C1D1⊥平面A1ADD1，从而∠C1AD1为直线AC1与平面A1ADD1所成角，由此能求出直线AC1与平面A1ADD1所成角的正弦值．解：（1）证明：连接BC1，在△BDC1中，由E，F分别为BC，CC1的中点，可得：EF∥BC1，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥C1D1，AB＝C1D1，因此四边形ABC1D1为平行四边形，所以BC1∥AD1所以EF∥AD1，EF⊄平面A1ACD1，AD1⊂平面A1ACD1，所以EF∥平面A1ACD1．（2）解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，连AD1C1D1⊥平面A1ADD1，所以AC1在平面A1ADD1中的射影为AD1，所以∠C1AD1为直线AC1与平面A1ADD1所成角由题意知：在Rt△AD1C1中，，即直线AC1与平面A1ADD1所成角的正弦值为．19．已知直线l：kx﹣y﹣4k+3＝0（k∈R），圆C：x2+y2﹣6x﹣8y+21＝0．（1）求证：直线l过定点M，并求出点M的坐标；（2）若直线l与圆C交于A，B两点，当弦长AB最短时，求此时直线l的方程．【分析】（1）将直线l方程整理：kx﹣y﹣4k+3＝0可化为：（x﹣4）k﹣y+3＝0，可得恒过直线x﹣4＝0和﹣y+3＝0的交点，及直线恒过定点．（2）由圆的几何性质可知，当直线l⊥MC时，弦长最短，求出直线MC的斜率，进而可得直线l的斜率，再由过的点的坐标可得直线l的方程．【解答】（1）证明：直线l：kx﹣y﹣4k+3＝0可化为：（x﹣4）k﹣y+3＝0，可得所以直线l过定点M（4，3）．（2）解：由圆的几何性质可知，当直线l⊥MC时，弦长最短，因为直线MC的斜率为﹣1，所以直线l的斜率为1，此时直线l的方程为x﹣y﹣1＝0．20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，点E，F分别是侧棱PA，PC上的点，且EF∥底面ABCD．（1）求证：EF∥AC；（2）若PC⊥底面ABCD，，∠ABC＝60°，求证：EF⊥PB．【分析】（1）由EF∥平面ABCD，利用线面平行的性质即可证明EF∥AC．（2）在三角形ABC中，由正弦定理得，解得∠BAC＝30°，可知AC⊥BC，又利用线面垂直的性质可知PC⊥AC，利用线面垂直的判定可证AC⊥平面PBC，利用线面垂直的性质可知AC⊥PB，又EF∥AC，即可证明EF⊥PB．解：（1）因为EF∥平面ABCD，EF⊂平面PAC，平面PAC∩平面ABCD＝AC，所以由线面平行的性质定理，可得EF∥AC．（2）在三角形ABC中，因为，且∠ABC＝60°，由正弦定理可得，解得∠BAC＝30°．得∠ACB＝90°，即AC⊥BC；又PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，故可得PC⊥AC，又BC，PC⊂平面PBC，且BC∩PC＝C，可得AC⊥平面PBC，又因为PB⊂平面PBC，则AC⊥PB；又因为EF∥AC，得EF⊥PB，即证．21．根据国际海洋安全规定：两国军舰正常状况下（联合军演除外），在公海上的安全距离为20mile（即距离不得小于20mile），否则违反了国际海洋安全规定．如图，在某公海区域有两条相交成60°的直航线XX′，YY′，交点是O，现有两国的军舰甲，乙分别在OX，OY上的A，B处，起初OA＝30mile，OB＝10mile，后来军舰甲沿XX′的方向，乙军舰沿Y′Y的方向，同时以40mile/h的速度航行．（1）起初两军舰的距离为多少？（2）试判断这两艘军舰是否会违反国际海洋安全规定？并说明理由．【分析】（1）直接利用余弦定理求解即可；（2）分情况分别利用余弦定理求得CD的长，进而利用二次函数的性质求得其最小值即可求得结论．解：（1）连结AB，在△ABO中，由余弦定理得所以：起初两军舰的距离为mile．（2）设t小时后，甲、乙两军舰分别运动到C，D，连结CD当时，＝；当时，同理可求得；所以经过t小时后，甲、乙两军舰距离（t＞0）因为＝；因为t＞0，所以当时，甲、乙两军舰距离最小为20mile．又20≥20，所以甲、乙这两艘军舰不会违法国际海洋安全规定．22．已知圆O：x2+y2＝1和点M（﹣1，﹣4）．（1）过点M向圆O引切线，求切线的方程；（2）求以点M为圆心，且被直线y＝2x﹣12截得的弦长为8的圆M的方程；（3）设P为（2）中圆M上任意一点，过点P向圆O引切线，切点为Q，试探究：平面内是否存在一定点R，使得为定值？若存在，请求出定点R的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）若过点M的直线斜率不存在，直线方程为x＝﹣1，为圆O的切线；当切线O的斜率存在时，设直线方程为y+4＝k（x+1），通过圆心到直线的距离转化求解即可．（2）点M（﹣1，﹣4）到直线2x﹣y﹣12＝0的距离，圆被直线y＝2x﹣12截得的弦长，求出半径，然后求解圆的方程．（3）假设存在定点R，使得为定值，设R（a，b），P（x，y），，通过点P在圆M上，PQ为圆O的切线，推出（﹣2+2λ+2aλ）x+（﹣8+8λ+2bλ）y+（18﹣19λ﹣a2λ﹣b2λ）＝0，然后转化求解λ，即可推出结果．解：（1）若过点M的直线斜率不存在，直线方程为x＝﹣1，为圆O的切线；当切线O的斜率存在时，设直线方程为y+4＝k（x+1），即kx﹣y+k﹣4＝0，∴圆心O到切线的距离为，解得，∴直线方程为15x﹣8y﹣17＝0综上切线的方程为x＝﹣1或15x﹣8y﹣17＝0．（2）点M（﹣1，﹣4）到直线2x﹣y﹣12＝0的距离为，∵圆被直线y＝2x﹣12截得的弦长为8，∴，∴圆M的方程为（x+1）2+（y+4）2＝36．（3）假设存在定点R，使得为定值，设R（a，b），P（x，y），，∵点P在圆M上，∴（x+1）2+（y+4）2＝36，则x2+y2＝﹣2x﹣8y+19，∵PQ为圆O的切线，∴OQ⊥PQ，∴PQ2＝PO2﹣1＝x2+y2﹣1，PR2＝（x﹣a）2+（y﹣b）2，∴x2+y2﹣1＝λ[（x﹣a）2+（y﹣b）2]，即﹣2x﹣8y+19﹣1＝λ（﹣2x﹣8y+19﹣2ax﹣2by+a2+b2），整理得（﹣2+2λ+2aλ）x+（﹣8+8λ+2bλ）y+（18﹣19λ﹣a2λ﹣b2λ）＝0（*），若使（*）对任意x，y恒成立，则，∴，代入得，化简整理得36λ2﹣52λ+17＝0，解得或，∴或，∴存在定点R（1，4），此时为定值或定点，此时为定值．。

2018-2019学年上海市闵行区七宝中学高一下学期期中考试数学试卷一. 填空题1. 函数12sin(4)y x =-的最小正周期是 【答案】：2π 【解析】：242T ππ== 2. 函数cos2y x =的对称轴方程是 【答案】2k x π=，k ∈Z 【解析】：2x k π=，k ∈Z3. 在平面直角坐标系中，已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直 线3y x =上，则sin2θ= 【答案】35【解析】：sin 22sin cos θθθ= 4. 若锐角α、β满足3cos 5α=，5cos()13αβ+=-，则cos β= 【答案】3365【解析】：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=- 5. 函数2sin(2)3y x π=-的单调递减区间为【答案】511[,]1212k k ππππ++，k ∈Z 【解析】：22,2,322x k k k Z πππππ⎡⎤-∈-++∈⎢⎥⎣⎦6. 已知2sin 5x =-（32x ππ<<），则x = （用反正弦表示） 【答案】2arcsin5π+ 【解析】：,02x ππ⎛⎫-∈-⎪⎝⎭7. 方程sin x x =的解是 【答案】7212x k ππ=+或13212x k ππ=+，k ∈Z 【解析】：先用辅助角公式8. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积为S ，且224()S a b c =+-， 则cos C =【答案】0【解析】：1sin 2S ab C =，222cos 2a b c C ab +-=9. 若将函数()cos()8f x x πω=-（0ω>）的图像向左平移12π个单位后，所得图像对应的 函数为偶函数，则ω的最小值是 【答案】32【解析】：()()f x f x -= 10. 已知函数sin(2)cos(2)sin(2)cos(2)()||22x x x x f x ππππ+-=+，对任意x ∈R ，都有不等式12()()()f x f x f x ≤≤恒成立，则21||x x -的最小值为 【答案】38【解析】：比较sin(2)cos(2)x x ππ和的大小 11. 已知函数1sin()()20192019x xx f x π-=+（x ∈R ），下列命题：① 函数()f x 是奇函数；② 函数()f x 在区间[2,2]ππ-上共有13个零点； ③ 函数()f x 在区间(0,1)上单调递增； ④ 函数()f x 的图像是轴对称图形.其中真命题有 （填所有真命题的序号） 【答案】②④ 【解析】()()112f x f x x -=∴=为()f x 的对称轴，故①错④对； ()()0,sin 0,,.f x x x k k Z π=∴=∴=∈所以区间[2,2]ππ-有654321,0,1,2,3,4,5,6------，，，，，共计13个零点，故②对；()()()01,f f f x =∴在区间(0,1)不可能单调，故③错。

2019-2020学年北京师大附中高一（上）期中数学试卷一、选择题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 若集合A={0, 1, 2, 4}，B={1, 2, 3}，则A∩B=()A.{0, 1, 2, 3, 4}B.{0, 4}C.{1, 2}D.{3}2. 已知ln2＝a，ln3＝b，那么log32用含a，b的代数式表示为（）A.a+bB.a−bC.abD.ab3. 下列函数中，既是偶函数又在区间(0, +∞)上单调递增的是（）A.f(x)＝ln|x|B.f(x)＝2−xC.f(x)＝x3D.f(x)＝−x24. 设函数D(x)={1,x∈Q0,x∉Q，则f[f(−√2)]的值为（）A.0B.1C.−1D.不存在5. 已知a=log52，b=log0.50.2，c=0.50.2，则a，b，c的大小关系为( )A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b6. 设a、b是实数，则“a>b>0”是“a2>b2”的（）A.充分必要条件B.必要而不充分条件C.充分而不必要条件D.既不充分也不必要条件7. 已知函数f(x)=6x −log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是()A.(0, 1)B.(1, 2)C.(2, 4)D.(4, +∞)8. 地震里氏震级是地震强度大小的一种度量．地震释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lg E＝4.8+1.5M．已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为E1和E2，则E1E2的值所在的区间为（）A.(1, 2)B.(5, 6)C.(7, 8)D.(15, 16)二、填空题共10小题，每小题4分，共40分函数f(x)=√2x−4的定义域为________．已知函数f(x)={2x ,x >1log 12x,0<x ≤1 ，则f(f(14))=________；若f(x)＝1，则x ＝________．函数f(x)=x +2x−1(x >1)的最小值是________；取到最小值时，x ＝________．设a 为常数，函数f(x)＝x 2−6x +3，若f(x +a)为偶函数，则a ＝________．定义在R 上的函数f(x)是奇函数，且f(x)在(0, +∞)是增函数，f(3)＝0，则不等式f(x)>0的解集为________．能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a >b >c ，则a +b >c ”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为________．已知非空集合A ，B 满足以下两个条件：(ⅰ)A ∪B ＝{1, 2, 3, 4}，A ∩B ＝⌀；(ⅱ)集合A 的元素个数不是A 中的元素，集合B 的元素个数不是B 中的元素．那么用列举法表示集合A 为________．对于函数f(x)，若f(x 0)＝x 0，则称x 0为f(x)的“不动点”，若f[f(x 0)]＝x 0，则称x 0为f(x)的“稳定点”，函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ，即A ＝{x|f(x)＝x}，B ＝{x|f[f(x)]＝x}，那么：（1）函数g(x)＝x 2−2的“不动点”为________；（2）集合A 与集合B 的关系是________．若x 、y ∈R +，且1x +3y =4，则y x 的最大值为________．已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f(x)＝x 2−2ax +a ，其中a ∈R ①f(−12)＝________−14②若f(x)的值域是R ，则a 的取值范围是________三、解答题共6小题，每小题13分，共78分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．已知全集U ＝R ，集合P ＝{x|x(x −2)≥0}，M ＝{x|a <x <a +3}．(Ⅰ)求集合∁U P；(Ⅱ)若a＝1，求集合P∩M；(Ⅲ)若∁U P⊆M，求实数a的取值范围．解下列关于x的不等式(Ⅰ)(x−1)(x−2)<0；(Ⅱ)|2x−1|<3；(Ⅲ)x2−(3a+1)x+2a(a+1)>0．已知函数f(x)=x+1x+2．(Ⅰ)求f[f(1)]的值；(Ⅱ)若f(x)>1，求x的取值范围；(Ⅲ)判断函数在(−2, +∞)上的单调性，并用定义加以证明．已知函数f(x)＝x2−2ax+1，x∈[0, 2]上．(Ⅰ)若a＝−1，则f(x)的最小值；(Ⅱ)若a=12，求f(x)的最大值；(Ⅲ)求f(x)的最小值．如果定义在[0, 1]上的函数f(x)同时满足：①f(x)≥0；②f(1)＝1③若x1≥0，x2≥0且x1+x2≤1，则f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立．那么就称函数f(x)为“梦幻函数”．(Ⅰ)分别判断函数f(x)＝x与g(x)＝2x，x∈[0, 1]是否为“梦幻函数”，并说明理由；(Ⅱ)若函数f(x)为“梦幻函数”，求函数f(x)的最小值和最大值；设函数f(x)的定义域为R，如果存在函数g(x)，使得f(x)≥g(x)对于一切实数x都成立，那么称g(x)为函数f(x)的一个承托函数．已知函数f(x)＝ax2+bx+c的图象经过点(−1, 0)．（1）若a＝1，b＝2．写出函数f(x)的一个承托函数（结论不要求证明）；（2）判断是否存在常数a，b，c，使得y＝x为函数f(x)的一个承托函数，且f(x)为函数y=12x2+12的一个承托函数？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，说明理由．参考答案与试题解析2019-2020学年北京师大附中高一（上）期中数学试卷一、选择题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.【答案】C【解答】解：∵A={0, 1, 2, 4}，B={1, 2, 3}，∴A∩B={0, 1, 2, 4}∩{1, 2, 3}={1, 2}．故选C．2.【答案】D【解答】∵In2＝a，In3＝b，又∵log32=ln2ln3∴log32=ab3.【答案】A【解答】函数f(x)＝ln|x|是偶函数又在区间(0, +∞)上单调递增，满足题意；函数f(x)＝2−x是非奇非偶函数，不满足题意；函数f(x)＝x3是奇函数，不满足题意；函数f(x)＝−x2是偶函数，但在区间(0, +∞)上单调递减，不满足题意；4.【答案】B【解答】∵函数D(x)={1,x∈Q0,x∉Q，∴f(−√2)＝0，∴f[f(−√2)]=f(0)＝1．5.【答案】A【解答】解：由题意，可知：a=log52<1，b=log0.50.2=log1215=log2−15−1=log25>log24=2．c=0.50.2<1，∴b最大，a、c都小于1．∵a=log52=1log25，c=0.50.2=(12)15=√125=√25．而log25>log24=2>√25，∴1log25<√25，∴a<c，∴a<c<b．故选A.6.【答案】C【解答】若a>b>0，则a2>b2成立，若a＝−2，b＝1，满足a2>b2，但a>b>0不成立，故“a>b>0”是“a2>b2”的充分不必要条件，7.【答案】C【解答】解：∵f(x)=6x −log2x，∴f(2)=2>0，f(4)=−12<0，满足f(2)f(4)<0，∴f(x)在区间(2, 4)内必有零点.故选C.8.【答案】B【解答】lg E＝4.8+1.5M，∴lg E1＝4.8+1.5×8＝16.8，lg E2＝4.8+1.5×7.5＝16.05，∴E1＝1016.8，E2＝1016.05，∴E1E2=100.75，∵100.75>90.75＝31.5＝3×√3>5，∴E1E2的值所在的区间为(5, 6)，二、填空题共10小题，每小题4分，共40分【答案】[2, +∞)【解答】由题意得：2x−4≥0，解得：x≥2，故函数的定义域是[2, +∞)，4,12 【解答】函数f(x)={2x ,x >1log 12x,0<x ≤1 ，则f(f(14))=f(log 1214)＝f(2)＝22＝4， 若f(x)＝1，若x >1，可得2x ＝1，解得x ＝0（舍去）；若0<x ≤1，可得log 12x ＝1，解得x =12，综上可得x =12．【答案】2√2+1,1+√2【解答】∵ x >1，∴ x −1>0，由基本不等式可得y ＝x +2x−1=x −1+2x−1+1≥2√(x −1)⋅2x−1+1＝2√2+1， 当且仅当x −1=2x−1即x ＝1+√2时，函数取得最小值2√2+1．【答案】3【解答】根据题意，函数f(x)＝x 2−6x +3＝(x −3)2−6，为二次函数且其对称轴为x ＝3， f(x +a)＝(x +a −3)2−6，为偶函数，必有a ＝3；【答案】(−3, 0)∪(3, +∞)【解答】∵ f(x)在R 上是奇函数，且f(x)在(0, +∞)上是增函数，∴ f(x)在(−∞, 0)上也是增函数，由f(−3)＝0，得−f(3)＝0，即f(3)＝0，由f(−0)＝−f(0)，得f(0)＝0，作出f(x)的草图，如图所示：∴ f(x)>0的解集为：(−3, 0)∪(3, +∞)，故答案为：(−3, 0)∪(3, +∞)．【答案】−1，−2，−3解：设a ，b ，c 是任意实数．若a >b >c ，则a +b >c ”是假命题，则若a >b >c ，则a +b ≤c ”是真命题，可设a ，b ，c 的值依次−1，−2，−3，（答案不唯一）.故答案为：−1,−2,−3．【答案】{3}或{1, 2, 4}【解答】∵ (ⅰ)A ∪B ＝{1, 2, 3, 4}，A ∩B ＝⌀；(ⅱ)集合A 的元素个数不是A 中的元素，集合B 的元素个数不是B 中的元素． 则A ，B 不能为空集，且A ，B 不能均为二元集合，若A 含一个元素，则该元素只能是3，即A ＝{1}若A 含三个元素，则元素不能有3，即A ＝{1, 2, 4}【答案】x 0＝2，或x 0＝−1B⫋A【解答】∵ 若f(x 0)＝x 0，则称x 0为f(x)的“不动点”，即即A ＝{x|f(x)＝x}，设函数g(x)＝x 2−2的“不动点”为x 0，x 02−2＝x 0，求得x 0＝2，或x 0＝−1，故A ＝{2, −1}．故答案为：x 0＝2，或x 0＝−1．∵ 满足f[f(x 0)]＝x 0，则称x 0为f(x)的“稳定点”，即B ＝{x|f[f(x)]＝x}．∵ 函数g(x)＝x 2−2，∴ 函数g[g(x)]＝g 2(x)−2＝[x 2−2]2−2＝x 4−4x 2+2， 由g[g(x)]＝x 2，可得 x 4−4x 2+2＝x ，求得x ＝2，故B ＝{2}，∴ B⫋A ，故答案为：B⫋A ．【答案】4 【解答】∵ x 、y ∈R +，且1x +3y =4，∴ y =43−13x ，∵ x >0，y =43−13x >0，∴ 0<1x <4， 则y x =43x −13x 2=−13(1x )2+43⋅1x ，结合二次函数的性质可知，当1x =2即x =12时，y x 取得最大值43．【答案】,(−∞, 0]∪[1, +∞)【解答】①f(−12)＝−f(12)＝−[(12)2−a +a]=−14；②因为f(x)是R 上的奇函数，且值域为R ，所以x >0时，△＝(−2a)2−4a ≥0，解得：a ≤0或a ≥1；三、解答题共6小题，每小题13分，共78分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．【答案】（1）∵ 全集U ＝R ，集合P ＝{x|x(x −2)≥0}＝{x|x ≤0或x ≥2}，∴ 集合∁U P ＝{x|0<x <2}．（2）a ＝1时，M ＝{x|a <x <a +3}＝{x|1<x <4}．∴ 集合P ∩M ＝{x|2≤x <4}．(Ⅲ)∵ 集合∁U P ＝{x|0<x <2}，M ＝{x|a <x <a +3}，∁U P ⊆M ，∴ {a ≤0a +3≥2，解得−1≤a ≤0． ∴ 实数a 的取值范围是[−1, 0]．【解答】（1）∵ 全集U ＝R ，集合P ＝{x|x(x −2)≥0}＝{x|x ≤0或x ≥2}，∴ 集合∁U P ＝{x|0<x <2}．（2）a ＝1时，M ＝{x|a <x <a +3}＝{x|1<x <4}．∴ 集合P ∩M ＝{x|2≤x <4}．(Ⅲ)∵ 集合∁U P ＝{x|0<x <2}，M ＝{x|a <x <a +3}，∁U P ⊆M ，∴ {a ≤0a +3≥2，解得−1≤a ≤0． ∴ 实数a 的取值范围是[−1, 0]．【答案】（1）由(x −1)(x −2)<0，可得1<x <2，故原不等式的解集为{x|1<x <2}．（2）由|2x −1|<3，可得−3<2x −1<3，求得−1<x <2，故原不等式的解集为(−1, 2)．(Ⅲ)由x 2−(3a +1)x +2a(a +1)>0，可得[x −(2a)][x −(a +1)]>0， 当2a >a +1时，即a >1时，不等式的解集为(−∞, a +1)∪(2a, +∞)；当2a ＝a +1时，即a ＝1时，不等式的解集为{x|x ≠2}；当2a <a +1时，即a <1时，不等式的解集为(−∞, 2a)∪(a +1, +∞)．【解答】（1）由(x −1)(x −2)<0，可得1<x <2，故原不等式的解集为{x|1<x <2}．（2）由|2x −1|<3，可得−3<2x −1<3，求得−1<x <2，故原不等式的解集为(−1, 2)．(Ⅲ)由x 2−(3a +1)x +2a(a +1)>0，可得[x −(2a)][x −(a +1)]>0， 当2a >a +1时，即a >1时，不等式的解集为(−∞, a +1)∪(2a, +∞)；当2a ＝a +1时，即a ＝1时，不等式的解集为{x|x ≠2}；当2a <a +1时，即a <1时，不等式的解集为(−∞, 2a)∪(a +1, +∞)．【答案】（1）f[f(1)]=f(23)=23+123+2=58；（2）由f(x)>1得，x+1x+2>1，化简得，1x+2<0，∴ x <−2，∴ x 的取值范围为(−∞, −2)；(Ⅲ)f(x)=x+1x+2=1−1x+2，f(x)在(−2, +∞)上是增函数，证明如下：设x 1>x 2>−2，则：f(x 1)−f(x 2)=1x 2+2−1x 1+2=x 1−x 2(x 1+2)(x 2+2)，∵ x 1>x 2>−2，∴ x 1−x 2>0，x 1+2>0，x 2+2>0，∴ x 1−x 2(x 1+2)(x 2+2)>0，∴ f(x 1)>f(x 2)，∴ f(x)在(−2, +∞)上是增函数．【解答】（1）f[f(1)]=f(23)=23+123+2=58；（2）由f(x)>1得，x+1x+2>1，化简得，1x+2<0，∴ x <−2，∴ x 的取值范围为(−∞, −2)；(Ⅲ)f(x)=x+1x+2=1−1x+2，f(x)在(−2, +∞)上是增函数，证明如下：设x 1>x 2>−2，则：f(x 1)−f(x 2)=1x 2+2−1x 1+2=x 1−x 2(x 1+2)(x 2+2)，∵ x 1>x 2>−2，∴ x 1−x 2>0，x 1+2>0，x 2+2>0，∴ x 1−x 2(x 1+2)(x 2+2)>0，∴ f(x 1)>f(x 2)，∴ f(x)在(−2, +∞)上是增函数．【答案】（1）当a ＝−1时，f(x)＝x 2+2x +1，因为x ∈[0, 2]，f(x)min ＝1；（2）当a =12，f(x)＝x 2−x +1， 因为x ∈[0, 2]，f(x)max ＝3；(Ⅲ)当a <0时，f(x)min ＝1，当0≤a ≤2时，f(x)min ＝1−a 2，当a >2时，f(x)min ＝5−4a ，综上：f(x)={1a <01−a 20≤a ≤25−4aa >2．【解答】（1）当a ＝−1时，f(x)＝x 2+2x +1，因为x ∈[0, 2]，f(x)min ＝1；（2）当a =12，f(x)＝x 2−x +1，因为x ∈[0, 2]，f(x)max ＝3；(Ⅲ)当a <0时，f(x)min ＝1，当0≤a ≤2时，f(x)min ＝1−a 2，当a >2时，f(x)min ＝5−4a ，综上：f(x)={1a <01−a 20≤a ≤25−4aa >2．【答案】（1）①显然，在[0, 1]上满足f(x)＝x ≥0，g(x)＝2x ≥0；②f(1)＝1，g(1)＝2；③若x 1≥0，x 2≥0且x 1+x 2≤1，则f(x 1+x 2)−[f(x 1)+f(x 2)]＝x 1+x 2−[x 1+x 2]＝0，即f(x 1+x 2)≥f(x 1)+f(x 2)成立；∴ f(x)＝x 是“梦幻函数”，g(x)＝2x 不是“梦幻函数”；（2）设x 1，x 2∈[0, 1]，x 1<x 2，则x 2−x 1∈(0, 1],∴ f(x 1)−f(x 2)＝f(x 1)−f(x 2−x 1+x 1)≤f(x 1)−[f(x 1)+f(x 2−x 1)]＝−f(x 2−x 1)≤0，∴ f(x 1)≤f(x 2)，∴ f(x)在[0, 1]单调递增，令x 1＝x 2＝0，∵ x 1≥0，x 2≥0且x 1+x 2≤1，则f(x 1+x 2)≥f(x 1)+f(x 2)成立， ∴ 0≥2f(0)，又f(x)≥0，∴ f(0)＝0，∴ 当x ＝0时，f(x)取最小值f(0)＝0，当x ＝1时，f(x)取最大值f(1)＝1．【解答】（1）①显然，在[0, 1]上满足f(x)＝x ≥0，g(x)＝2x ≥0；②f(1)＝1，g(1)＝2；③若x 1≥0，x 2≥0且x 1+x 2≤1，则f(x 1+x 2)−[f(x 1)+f(x 2)]＝x 1+x 2−[x 1+x 2]＝0，即f(x 1+x 2)≥f(x 1)+f(x 2)成立；∴ f(x)＝x 是“梦幻函数”，g(x)＝2x 不是“梦幻函数”；（2）设x 1，x 2∈[0, 1]，x 1<x 2，则x 2−x 1∈(0, 1],∴ f(x 1)−f(x 2)＝f(x 1)−f(x 2−x 1+x 1)≤f(x 1)−[f(x 1)+f(x 2−x 1)]＝−f(x 2−x 1)≤0，∴ f(x 1)≤f(x 2)，∴ f(x)在[0, 1]单调递增，令x 1＝x 2＝0，∵ x 1≥0，x 2≥0且x 1+x 2≤1，则f(x 1+x 2)≥f(x 1)+f(x 2)成立， ∴ 0≥2f(0)，又f(x)≥0，∴ f(0)＝0，∴ 当x ＝0时，f(x)取最小值f(0)＝0，当x ＝1时，f(x)取最大值f(1)＝1．【答案】函数f(x)＝ax 2+bx +c 的图象经过点(−1, 0)，可得a −b +c ＝0，又a ＝1，b ＝2，则f(x)＝x 2+2x +1，由新定义可得g(x)＝x 为函数f(x)的一个承托函数；假设存在常数a ，b ，c ，使得y ＝x 为函数f(x)的一个承托函数，且f(x)为函数y =12x 2+12的一个承托函数． 即有x ≤ax 2+bx +c ≤12x 2+12恒成立，令x ＝1可得1≤a +b +c ≤1，即为a +b +c ＝1，即1−b ＝a +c ，又ax 2+(b −1)x +c ≥0恒成立，可得a >0，且(b −1)2−4ac ≤0，即为(a +c)2−4ac ≤0，即有a ＝c ；又(a −12)x 2+bx +c −12≤0恒成立，试卷第11页，总11页 可得a <12，且b 2−4(a −12)(c −12)≤0， 即有(1−2a)2−4(a −12)2≤0恒成立．故存在常数a ，b ，c ，且0<a ＝c <12，b ＝1−2a ， 可取a ＝c =14，b =12．满足题意．【解答】函数f(x)＝ax 2+bx +c 的图象经过点(−1, 0)，可得a −b +c ＝0，又a ＝1，b ＝2，则f(x)＝x 2+2x +1，由新定义可得g(x)＝x 为函数f(x)的一个承托函数；假设存在常数a ，b ，c ，使得y ＝x 为函数f(x)的一个承托函数， 且f(x)为函数y =12x 2+12的一个承托函数． 即有x ≤ax 2+bx +c ≤12x 2+12恒成立，令x ＝1可得1≤a +b +c ≤1，即为a +b +c ＝1，即1−b ＝a +c ，又ax 2+(b −1)x +c ≥0恒成立，可得a >0，且(b −1)2−4ac ≤0， 即为(a +c)2−4ac ≤0，即有a ＝c ；又(a −12)x 2+bx +c −12≤0恒成立，可得a <12，且b 2−4(a −12)(c −12)≤0，即有(1−2a)2−4(a −12)2≤0恒成立． 故存在常数a ，b ，c ，且0<a ＝c <12，b ＝1−2a ，可取a ＝c =14，b =12．满足题意．。

石家庄二中2019-2020学年度高一年级上学期期中考试数学试卷一、选择题（每题5分，共计60分）1.设集合A ＝{x|－x 2－x ＋2＜0}，B ＝{x|2x －5＞0}，则集合A 与B 的关系是( ) A. B ⊆A B. B ⊇A C. B ∈A D. A ∈B【答案】A 【解析】集合与集合之间的关系不能用∈符号，选项CD 错误；因为A ＝{x |－x 2－x ＋2<0}＝{x |x ＞1或x ＜－2}，B ＝{x |2x －5＞0}＝{x |x ＞52}，所以B ⊆A ， 本题选择A 选项.2.已知幂函数()af x x =的图象过点12⎛ ⎝，则α=（ ） A. 12-B. 1C.32D. 2【答案】A 【解析】 【分析】将点12⎛⎝代入()a f x x =中，求解α的值即可.【详解】因为幂函数()af x x =的图象过点12⎛ ⎝1()2α=，即12α=-.故选：A.【点睛】本题考查幂函数的概念，属于基础题. 3.函数f (x )( )A. (－3,0)B. (－3,0]C. (－∞，－3)∪(0，＋∞)D. (－∞，－3)∪(－3,0)【答案】A【解析】 【分析】 函数f (x )＝()ln 312xx +-的定义域满足30120xx +⎧⎨-⎩＞＞ ，由此能求出结果． 【详解】∵f (x )＝，∴要使函数f (x )有意义，需使，即－3<x <0.【点睛】本题考查对数函数的定义域的求法，是基础题，解题时要注意不等式的解法的合理运用．4.已知0.21.6a =，0.2log 1.6b =， 1.60.2c =，则（ ） A. a b c >>B. b c a >>C. c a b >>D.a cb >>【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性直接求解.【详解】0.201.16.61a >==，0.20.2log 1.6log 10b =<=， 1.600.2100.2c <==<，故a cb >>.故选：D.【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，属于基础题.5.函数()xe f x x=的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】函数()xe f x x=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞U ，排除选项A ；当0x >时，()0f x >，且()2(1)'xx e f x x -= ，故当()0,1x ∈时，函数单调递减，当()1,x ∈+∞时，函数单调递增，排除选项C ；当0x <时，函数()0xe f x x=<，排除选项D ，选项B 正确．选B ．点睛：函数图象的识别可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复； (5)从函数的特征点，排除不合要求的图象． 6.已知函数3,10()((5)),10n n f n f f n n -≥⎧=⎨+<⎩，其中*n ∈N ，则(8)f 的值为（ ）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】B 【解析】 【分析】根据解析式先求出[8)1]((3)f f f =，依次再求出(13)f 和)[](13f f ，即得到所求的函数值．【详解】Q 函数3,10()((5)),10n n f n f f n n -≥⎧=⎨+<⎩，∴[8)1]((3)f f f =，又(13)13310f =-=，∴[](13)107(83)f f f ==-=.故选：B.【点睛】本题考查分段函数的求值问题，属于基础题.7.已知函数228y ax x =--在(1,2)上不具有单调性，则实数a 的取值范围为（ ） A 12a << B.112a ≤≤ C.112a << D. 12a <或1a > 【答案】C 【解析】 【分析】由函数228y ax x =--在区间(1,2)上不具有单调性，可得函数228y ax x =--的对称轴位于区间(1,2)上，即112a<<，解不等式即可. 【详解】函数228y ax x =--的对称轴为212x a a-=-=， 又因为函数228y ax x =--在(1,2)上不具有单调性，所以有112a <<，解之得：112a <<. 故选：C.【点睛】本题考查二次函数的单调性，解题关键是认真分析对称轴和区间的位置关系，属于基础题.8.已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()2x xf xg x a a -+=-+，若(2)g a =，则(2)f =（ ）A. 2B.174C.154D. 2a【答案】C 【解析】 【详解】故选C.9.已知函数()()log 23a f x x =++的图象恒过定点(),m n ，且函数()22g x mx bx n=-+在[1,)+∞上单调递减，则实数b 的取值范围是（ ） A. [1,)+∞B. [1,)-+∞C. (,1)-∞-D.(,1)-∞【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数图像的性质可确定定点(),m n ，再根据二次函数的性质可求实数b 的取值范围.【详解】∵函数()()log 23a f x x =++的图象恒过定点(),m n ，令21x +=，求得1x =-，3y =，故它的图象经过定点()1,3-，∴1m =-，3n =．故函数()22223g x mx bx n x bx =-+=--+，因为()g x 在[1,)+∞上单调递减，∴1bb m=-≤，∴1b ≥-， 故选：B ．【点睛】本题考查含参数的对数型复合函数的图象过定点问题、二次函数的单调性，前者是在函数图象上找一个与参数无关的点（即真数部分整体为1），后者可根据开口方向和对称轴的位置来考虑．10.已知函数()f x 是定义域为R 上的偶函数，若()f x 在(,0]-∞上是减函数，且1()22f =，则不等式4(log )2f x >的解集为（ ）A. 1(0,)(2,)2+∞UB. (2,)+∞C. 2(0,)(2,)2+∞U D. 2(0,) 【答案】A 【解析】因为偶函数()f x 在(,0]-∞上是减函数，所以()f x 在(0,)+∞上是增函数， 由题意知:不等式4(log )2f x >等价于41(log )()2f x f >,即41(|log )()2f x f ⇔41log 2x >,即41log 2x >或41log 2x <-,解得102x <<或2x > 11.已知(21)4,1()1,1a x a x f x x x -+<⎧=⎨-+≥⎩是定义在整数集Z 上的减函数，则a 的取值范围为（ ） A. 1(0,)2B. 11[,)32C. 11[,)62D. 11[,]32【答案】A 【解析】()f x 为定义在上的减函数；∴210(21)0411a a a -<⎧⎨-⨯+>-+⎩解得10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．故选A ．点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间[,]a b 上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.12.已知()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，且()11f =，当a ，[]1,1b ∈-，且0a b +≠时，()()0f a f b a b+>+成立，若()221f x m am <-+对任意的[]1,1a ∈-恒成立，则实数m 的取值范围是( )A. (){}(),202,-∞-⋃⋃+∞B. ()(),22,-∞-⋃+∞C. ()2,2-D. ()()2,00,2-⋃【答案】B 【解析】 【分析】先利用函数是奇函数的性质将已知不等式化为：a ，b ∈[﹣1，1]时，且a ≠﹣b 时，()()()()()0f a f b f a f b a ba b +--=>+--成立，根据增函数定义得函数f （x ）在[﹣1，1]上是增函数，从而求得最大值为f （1）=1，然后将已知不等式先对x 恒成立，再对a 恒成立，就可以求出m 的范围．【详解】∵f （x ）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，∴当a ，b ∈[﹣1，1]，且a ≠﹣b 时， 有()()f a f b a b+=+()()()f a f b a b ---->0 成立，∴f （x ）是定义在[﹣1，1]上的增函数，∴f （x ）max =f （1）=1，∴f （x ）＜m 2﹣2am+1对任意的x ∈[﹣1，1]恒成立⇔f （x ）max ＜m 2﹣2am+1， ∴1＜m 2﹣2am+1，即2am ﹣m 2＜0对任意的a ∈[﹣1，1]恒成立． 令g （a ）=2am ﹣m 2，则2am ﹣m 2＜0对任意的a ∈[﹣1，1]恒成立转化为：()()1010g g ⎧-<⎪⎨<⎪⎩解得：m ＜﹣2 或m ＞2．故选B ．【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单点调性、含三个变量的不等式对2个变量恒成立求第三个变量取值范围的问题．解决办法是按顺序先对一个字母恒成立，转化为最值，再对另一个字母恒成立，转化为最值即可．属难题． 二、填空题（每题5分，共计20分）13.若函数2()243f x x x =+-的定义域是[2,2]-，则该函数的值域是________. 【答案】[5,13]- 【解析】 【分析】现将函数解析式配方得：22()2432(1)5f x x x x =+-=+-，再结合二次函数的性质求解.【详解】Q 22()2432(1)5f x x x x =+-=+-，∴当1x =-时，()f x 取得最小值5-，当2x =时，()f x 取得最大值13.∴()[5,13]f x ∈-.故答案为：[5,13]-.【点睛】本题考查函数值域的求法，属于基础题. 14.已知2211f x x x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭,则()2f =______． 【答案】6 【解析】 【分析】 把1x x -看成一个整体,将等式右边表示成1x x -的形式,然后把1x x-整体换成x ,即可得()f x ,令x=2,即可得f （2）的值．【详解】∵2211f x x x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭, ∴222111()2f x x x x x x⎛⎫-=+=-+ ⎪⎝⎭ 把1x x-整体换成x,可得, 2()2f x x =+, ∴2(2)226f =+=． 故答案为6【点睛】本题考查了利用配凑法求函数的解析式,求函数解析式一般应用配凑法和换元法,属于基础题.15.已知函数221,0()2,0x x f x x x x ⎧-<=⎨--≥⎩，若函数()()g x f x m =-有2个零点，则实数m 的取值范围是________. 【答案】(1,0)- 【解析】【分析】“()()g x f x m =-有2个零点”等价于“()f x m =有2个零点”，画出图象，观察图象即可得解.【详解】函数()f x 的图象如下：由函数()()g x f x m =-有2个零点， 可知()f x m =有2个零点， 所以实数m 的取值范围是(1,0)-. 故答案为：(1,0)-.【点睛】本题考查函数零点的应用，考查数形结合能力，解题关键是正确作出函数的图象，属于常考题.16.已知函数f 1(x )＝|x －1|，f 2(x )＝13x ＋1，g (x )＝()()122f x f x +＋()()122f x f x -，若a ，b ∈[－1,5]，且当x 1，x 2∈[a ，b ]时，()()1212g x g x x x --＞0恒成立，则b －a 的最大值为________． 【答案】5 【解析】【详解】[15]a b ∈-Q ，，， 且()()121212[]0g x g x x x a b a b x x -∈∴-Q ，，，＜，＞ 恒成立，g x ∴（）在区间[]a b ，上单调第增，∵函数()()()()121212111322f x f x f x f x f x x f x xg x -+=-=+=+（），（），（），()][()12[1035][03]f x x g x f x x ⎧∈-⋃⎪∴=⎨∈⎪⎩，，，（），，当[10x ∈-，） 时，1g x x =-（），单调减； 当1[03]13x g x x ∈=+，时，（）， 单调增； 当[35]x ∈，时，1g x x =-（），单调递增．min max 05a b b a ∴==-，．的最大值为505-=．故答案为5.．【点睛】本题考查了恒成立问题，考查了转化思想方法，解得的关键是对题意的理解，以及对隐含条件的挖掘，是中档题．三、解答题（17题10分，18-22每题12分）17.已知集合，|2162xA x ⎧⎫⎪⎪=<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭，{|3221}B x a x a =-<<+.（1）当0a =时，求A B I ； （2）若A B φ⋂=，求a 的取值范围. 【答案】（1）1|12A B x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭；（2）3,[2,)4⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦.【解析】 【分析】（1）可以求出1|42A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，0a =时，{|21}B x x =-<<，然后进行交集的运算即可；（2）根据A B φ⋂=，可讨论B 是否为空集：当B φ=时，3221a a -≥+；当B φ≠时，31213242a a a <⎧⎪⎨+≤--≥⎪⎩或，解出a 的范围即可． 【详解】（1）1|42A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，0a =时，{|21}B x x =-<<， ∴1|12A B x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭（2）∵A B φ⋂=，∴当B φ=时，3221a a -≥+，即3a ≥，符合题意；当B φ≠时，31213242a a a <⎧⎪⎨+≤--≥⎪⎩或，解得34a ≤-或23a ≤<， 综上，a 的取值范围为3,[2,)4⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查交集及其运算，考查分类讨论思想和运算能力，属于常考题. 18.已知函数 f （x ）是定义在 R 上的偶函数，当 x ≥0 时，f （x ）＝x 2+ax +b 的部分图象如图所示:（1）求 f （x ）的解析式；（2）在网格上将 f （x ）的图象补充完整，并根据 f （x ）图象写出不等式 f （x ）≥1的解集．【答案】（1）f （x ）＝2222,022,0x x x x x x ⎧--⎨+-<⎩…；（2）（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）【解析】 【分析】（1）根据函数图像，将()()0,2,1,3--代入解二元一次方程即可求得解析式（2）结合图像1y =，采用数形结合的方法，当f （x ）的图像在1y =上方时，即可求得x 的取值范围【详解】（1）由题意知f （0）＝﹣2，f （1）＝﹣3，即132a b b ++=-⎧⎨=-⎩得a ＝﹣2，b ＝﹣2，即当x ≥0时，f （x ）＝x 2﹣2x ﹣2．∵f （x ）是偶函数，∴当x ＜0时，﹣x ＞0，则f （﹣x ）＝x 2+2x ﹣2＝f （x ），即f （x ）＝x 2+2x ﹣2，x ＜0，即f （x ）＝2222,022,0x x x x x x ⎧--⎨+-<⎩…．（2）对应图象如图：当f （x ）＝1时，得x ＝3或x ＝﹣3，若f （x ）≥1，得x ≥3或x ≤﹣3，即不等式的解集为：（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数解析式、数形结合法求解不等式，对于高一学生来说，数形结合的思想方法要多加体会，重点培养19.近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“Mobike ”计划在甲、乙两座城市共投资120万元，根据行业规定，每个城市至少要投资40万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P 与投入a （单位：万元）满足326P a =，乙城市收益Q 与投入a （单位：万元）满足124Q a =+，设甲城市的投入为x （单位：万元），两个城市的总收益为()f x （单位：万元）． （1）求()f x 及定义域；（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？ 【答案】（1）1()3226,(4080)4f x x x x =-+≤≤；（2）甲城市投资72万元，乙城市投资48万元时，总收益最大，且最大收益为44万元. 【解析】 分析】（1）由题知，甲城市投资x 万元，乙城市投资120x -万元，1()6(120)24f x x =+-+，即可求出答案．（2）令t =，则t ⎡∈⎣．221126(4444y t t =-++=--+．利用二次函数的单调性即可得出答案．【详解】解：（1）由题知，甲城市投资x 万元，乙城市投资120-x 万元．∴11()6(120)22644f x x x =+-+=-+， 依题意得4012040x x ≥⎧⎨-≥⎩，解得4080x ≤≤．故1()26,(4080)4f x x x =-+≤≤．（2）令t =，则t ⎡∈⎣．∴221126(4444y t t =-++=--+．当t =，即72x =万元时，y 的最大值为44万元∴当甲城市投资72万元，乙城市投资48万元时，总收益最大，且最大收益为44万元． 【点睛】本题考查了函数模型、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.已知函数f （x ）=a x +b x （其中a ，b 为常数，a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1）的图象经过点A （1，6），3B 14，⎛⎫- ⎪⎝⎭． （Ⅰ）求函数f （x ）的解析式；（Ⅱ）若a ＞b ，函数()xx11g x ()()2a b=-+，求函数g （x ）在[-1，2]上的值域．【答案】（Ⅰ）f （x ）=2x +4x ； （Ⅱ）[74，4]. 【解析】 【分析】（Ⅰ）把A 、B 两点的坐标代入函数的解析式，求出a 、b 的值，可得函数f （x ）的解析式． （Ⅱ）令t=x1()2，在[-1，2]上，t ∈[14，2]，g （x ）=h （t ）=t 2-t+2，利用二次函数的性质求得函数g （x ）在[-1，2]上的值域．【详解】（Ⅰ）∵函数f （x ）=a x +b x （其中a ，b 为常数，a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1）的图象经过点A （1，6），3B 14，⎛⎫- ⎪⎝⎭． ∴f （1）=a+b=6，且f （-1）=1a +1b =34，∴a=2，b=4；或a =4，b=2． 故有f （x ）=2x+4x．（Ⅱ）若a ＞b ，则a=4，b=2，函数()xx11g x ()()2ab=-+=x1()4-x 1()2+2，令t=x 1()2，在[-1，2]上，t ∈[14，2]，g （x ）=h （t ）=t 2-t+2=21(t )2-+74∈[74，4]，故函数g （x ）在[-1，2]上的值域为[74，4]．【点睛】本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，求二次函数的在闭区间上的最值，属于基础题．21.已知函数()()log 1(0,1)xa f x a a a =->≠.（1）当1a >时，判断并证明()f x 的单调性，解关于x 的不等式：()(1)f x f <； （2）当2a =时，不等式()2()log 12xf x m -+>对任意实数[1,3]x ∈恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()f x 在(0,)+∞上是增函数，证明见解析，不等式的解集为{}1|0x x <<；（2）2log 3m <-.【解析】 【分析】（1）先按照定义证明函数的单调性，然后再利用函数的单调性解不等式即可； （2）令()222()()log 12log121xxg x f x ⎛⎫=-+=- ⎪+⎝⎭，故()g x 在[1,3]上单调递增，“不等式()2()log 12xf x m -+>对任意实数[1,3]x ∈恒成立”转化为“()mg x <在区间[1,3]上恒成立”，求出()g x 最小值即可．【详解】（1）当1a >时，任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <， 则12x x a a <，所以1211x x a a -<-，因为1a >，所以()()12log 1log 1xxa a a a -<-，即()()12f x f x <.故当1a >时，()f x 在(0,)+∞上是增函数； 不等式()(1)f x f <，即11x a a -<-， 因为1a >，所以1x <，又因为函数()()log 1(0,1)xa f x a a a =->≠的定义域为{}|0x x >，所以不等式的解集为{}1|0x x <<； （2）令()222()()log 12log121xxg x f x ⎛⎫=-+=- ⎪+⎝⎭， ∴()g x 在区间[1,3]上单调递增， ∴min 2()log 3g x =-， Q ()m g x <，∴min ()m g x <，即2log 3m <-.【点睛】本题考查函数单调性的证明以及利用单调性解不等式，考查不等式恒成立问题，考查转化思想和计算能力，属于中档题.22.已知函数()4()log 41xf x kx =++为偶函数，()4()log 32xh x a =⋅+. （1）求实数k 的值；（2）当3a >-时，求函数()()416f x kxh x y -=-+在[0,1]x ∈上的最小值()g a .【答案】（1）12k =-；（2）22867,3()181,383a a a g a a a ⎧++≥⎪⎪=⎨⎪--<<-⎪⎩.【解析】 【分析】（1）利用()()f x f x -=，建立方程，解方程求得k 的值即可； （2）先将函数()()416f x kxh x y -=-+化为()2282621x x y a a =⨯+⨯+-，令2xt =（12t ≤≤），然后讨论函数22()861h t t at a =++-的最小值即可. 【详解】（1）∵()f x 是偶函数，∴()()f x f x -=， 则()()44log 41log 41-+-=++xx kx kx ，得4442log 4log 41(1)()log 4xx x kx x --=-++==-，得21k =-，得12k =-. （2）由（1）知12k =-，∴当3a >-时，()()416f x kx h x y -=-+()()424log 41log 3244x xa +⨯+=-+()2412()3xxa =-++⨯+()2282621x x a a =⨯+⨯+-，设2x t =，∵[0,1]x ∈， ∴12t ≤≤，则22()861h t t at a =++-， 函数的对称轴为63288a at =-=-⨯， ∵3a >-， ∴3988a -<， ①若318a -≤，即83a ≥-时，函数在[1,2]上的最小值2()(1)67g a h a a ==++， ②若39188a <-<，即833a -<<-时， 函数在[1,2]上的最小值231()188a g a h a ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，综上，函数()()416f x kxh x y -=-+在[0,1]x ∈上的最小值22867,3()181,383a a a g a a a ⎧++≥⎪⎪=⎨⎪--<<-⎪⎩.【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，考查指数型函数最值的求法，考查运算能力和逻辑思维能力，解题关键是熟练运用换元法将指数型函数的最值问题化为二次函数的最值问题从而求解，属于中档题.。

南京师大附中2019-2020学年度第1学期高一年级期中考试数学试卷、单选题：本大题共10小题，每小题2分，共计20分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设集合A {2,4,6,8,10} B {4,8},则C A B( ).A. {4,8}B. {2,6}C. {2,6,10}D. {2,4,6,8,10}2.2 _ _ {0, x,x }，则3. 4. 5.A. B. C.0 或 1 D.0或 1 函数A.1y 4 x2(1,2)卜列各组的函数,ln(1 x)的定义域为(B. (1,2]C. (2,1)D. [ 2,1)f (x)与g(x)是同一个函数的是(A. f (x) x,g(x) x2B. f(x) 1,g(x)C. f (x) x, g(x) (- x)2D. f(x) 1,g(x)已知函数f (x)2x 1 x 0, 0,则下列图像错误x ,0 x 1的是(C. y f( x)的图像D. y f(x)的图像A. y f(x 1)的图像B. y f(x)的图像2已知log 2 x 0 ,那么x 的取值范围是（）.取值范围是（二、多选题：本大题共 3小题，每小题3分，共计9分.每小题给出的四个选项中，不止一 项是符合题目要求的，每题全选对者得3分，其他情况不得分.511 .若指数函数y a x在区间［1,1］上的最大值和最小值的和为则a 的值可能是（）.12 .在一次社会实践活动中，某数学调研小组根据车间持续产品的总产量y （单位：千克）与时间 x （单位：小时）的 函数图像，则以下关于该产品生产状况的正确判断是 （）.A.在前三小时内，每小时的产量逐步增加6. 7. 8. 9. A. (0,)若集合A {x （kA.2 或 1若函数f （x ） A. [0,3)(k 已知函数f （x ） B. (1,)C. (0,1)D.(,1)2)x 23)x 2 2xa x2kx 1 0}有且仅有1个元素，则实数B. 2或 1C. 2 或 12kx 1 在(B. [0,3]1 .一一，右对任思k 的值是（D. 2,0］上为增函数，则k 的取值范围是（C. (0,3]D. [3,（1,），不等式f （x ） 1恒成立，则实数a 的A. ( , 1)B. 1]C. ( 1,)D. [ 1,)10.若函数f (x)xa 4x 22ax1， 、， 〜 一在R 上单调递增，则实数 1a 的取值范围是（）.A. (1,4]B. [3,4]C. (1,3]D. [4,)A. 2B.2C. 3D.5个小时的生产情况画出了某种3B.在前三小时内，每小时的产量逐步减少C.最后一小时内的产量与第三小时内的产量相同D.最后两小时内，该车间没有生产该产品 13.下列四个说法中，错误.的选项有().A.若函数f(x)在(，0］上是单调增函数，在(0,)上也是单调增函数，则函数 f(x)在R 上是单调增函数B.已知函数的解析式为 y x 2,它的值域为［1,4］,这样的函数有无数个C.把函数y 22x 的图像向右平移2个单位长度，就得到了函数 y 22x2的图像D.若函数f(x)为奇函数，则一定有 f(0) 0三、填空题：本大题共 4小题5个空，共计15分，每空填对得3分，其他情况不得分.x 2x 114 .若 f(x),'，则 f(f(0)).15 .已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，当x 0时，f(x) x(2x1).则当x 0时，函 数 f(x) ^ 16 .某新能源汽车公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2018年全年投入研发资金100万元，在此基础上，以后每年投入的研发资金比上一年增长8%,则该公司全年投入的研发资金开始超过 1000万元的年份是 年.(参考数据：lg1.08 0.033 )17 .已知关于x 的方程(1)x2 t 0有两个不等的实数根 X 和x 2,且X I x 2.①实数t 的取值范围是 ;②2x 2 X 的取值范围是 . 四、解答题：本大题共 6小题，共计56分.18 .(本小题满分8分)求下列各式的值：81 25610g 2 x,x(1) 2)(2)3*4 (lg5)2 lg2 lg50 .19.(本小题满分8分)解关于x的不等式(x a)(x 1) 0(a R).20.(本小题满分10分)已知集合A {xx2 2x 8 0}, B {x—x- 0},C {xa 1 x 2a}.x 1(1)求AI B ;(2)若AUC A ,求实数a的取值范围.21.(本小题满分10分)暑假期间，某旅行社为吸引游客去某风景区旅游，推出如下收费标准：若旅行团人数不超过30,则每位游客需交费用600元；若旅行团人数超过30,则游客每多1人，每人交费额减少10元，直到达到70人为止.(1)写出旅行团每人需交费用y (单位：元)与旅行团人数x之间的函数关系式；(2)旅行团人数为多少时，旅行社可以从该旅行团获得最大收入？最大收入是多少？22.(本小题满分10分)已知函数f(x) 1 rm—为奇函数.3 1(1)求实数m的值；(2)判断函数f(x)的单调性；(3)求不等式f(x2 x 1) 1 0的解集.23.(本小题满分10分)一一皿v v 1已知函数f(x) log2[k 4x(k 1)2x k -].(1)当k 0时，求函数的值域；(2)若函数f (x)的最大值是1,求k的值；(3)已知0 k 1 ,若存在两个不同的正数a,b,当函数f(x)的定义域为[a,b]时，f(x) 的值域为[a 1,b 1],求实数k的取值范围.5。

上海市嘉定区封浜高级中学2019-2020学年高一上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．设集合{}1,34A =-,，集合{}23,B a =，若B A ⊆，则实数a =________________. 2．不等式2101x x +≥-的解集为_________________. 3．设全集U =R ,集合{}|1A x x =>，则UA ________.4．设,p q R ∈，{1,0,12}{1,1,1}p q +=+-，则p q +=________5．命题“已知,x y R ∈，如果2x y +≠，那么0x ≠或2y ≠”的逆否命题为_____________. 6．已知集合{}|32,A x x x Z =+<∈，用列举法表示集合A =_________________. 7．若1x >，则当4x x+取到最小值时，x =________.8．已知集合{}35A x x =<<，{}12B x a x a =-≤≤+，若A B A =，则实数a 的取值范围是____________.9．已知不等式0ax b ->的解集为()1,+∞，则不等式()()20ax b x +-<的解集为__________________.10．已知集合2{|440}P x mx mx R =+-<=，则m 的取值范围为______．11．已知不等式组(23)(32)00x x x a +-≤⎧⎨->⎩无实数解，则a 的取值范围是______________.12．关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()2,1-，对于系数a 、b 、c ，有如下结论： ①0a >；②0b >；③0c >；④0a b c ++>；⑤0a b c -+>． 其中正确的结论的序号是______．二、单选题13．下面写法正确的是（ ） A ．(){}01,0∈B ．(){}11,02⎧⎫⊆⎨⎬⎩⎭C ．()(){}1,01,0∈D ．()(){}1,01,0⊆14．对任意实数a 、b 、c ，在下列命题中，真命题是( ) A ．“ac>bc”是“a>b”的必要条件 B ．“ac ＝bc”是“a ＝b”的必要条件C ．“ac>bc”是“a>b”的充分条件D ．“ac ＝bc”是“a ＝b”的充分条件15．设一元二次方程()200ax bx c a ++=<的根的判别式240b ac ∆=-=，则不等式20ax bx c ++≥的解集为A ．RB ．∅C ．2b x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭D ．2b a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭16．设A 、B 是非空集合，定义{|A B x x A B ⨯=∈⋃且}x A B ∉⋂，若{}220A x x x =-≥，{}1B x x =>，则A B ⨯等于A ．[]()0,12,⋃+∞B ．[]0,1[2,)⋃+∞C ．[] 0,1D ．[]0,2三、解答题17．解不等式组： 215111x x ⎧-≤⎪⎨≤⎪-⎩.18．若0,0a b >>，试比较33+a b 与22a b b a +的大小.19．设集合{}260,M x x mx x R =-+=∈，且{}2,3MM =，求实数m 的取值范围.20．某村计划建造一个室内面积为800m 2的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m 宽的通道，沿前侧内墙保留3m 宽的空地．当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？21．不等式220x x -->的解集为A ，关于x 的不等式()225250x a x a +++<的解集为B .(1)求集合A 、集合B ;(2)若集合A B Z ⋂⋂中有2019个元素，求实数a 的取值范围.参考答案1．2± 【分析】根据题意可得24a =，解方程即可得出答案. 【详解】 解：因为B A ⊆，所以24a =或21a =-（舍去）， 所以2a =±. 故答案为：2±. 2．()1,1,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦【分析】将分式不等式等价转化为一元二次不等式，注意分母不为0，解出即可. 【详解】原不等式等价于()()211010x x x ⎧+-≥⎨-≠⎩，解得12x ≤-或1x >，即原不等式的解为()1,1,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦，故答案为()1,1,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦.3．{}1x x ≤ 【分析】由集合的补集运算即可求解. 【详解】全集U =R ，{}|1A x x =＞， {}1UA x x ∴=≤.故答案为：{}1x x ≤. 【点睛】本题主要考查集合的补集运算，属于基础题. 4．-2 【分析】根据集合相等，求出,p q 即可.【详解】因为{1,0,12}{1,1,1}p q +=+-， 所以121p +=-，10q +=， 解得1,1p q =-=-， 所以2+=-p q , 故答案为2- 【点睛】本题主要考查了集合相等，集合中元素的互异性，属于容易题. 5．如果0x =且2y =，那么2x y += 【分析】根据逆否命题的定义和复合命题的否定即可写出原命题的逆否命题. 【详解】“0x ≠或2y ≠”的否定是“0x =且2y =”，“2x y +≠”的否定是“2x y +=”， 所以原命题的否定是“如果0x =且2y =，那么2x y +=”， 故答案为：如果0x =且2y =，那么2x y +=. 6．{}4,3,2--- 【分析】先解不等式化简集合A ，即可求解 【详解】{}{}{}|32,|51,4,3,2A x x x Z x x x Z =+<∈=-<<-∈=---故答案为：{}4,3,2--- 7．2 【分析】利用基本不等式研究最小值，并注意取等号的条件即得到答案. 【详解】若1x >，则44x x +≥=,当且仅当4x x =,即2x =时取“等号”，即当且仅当2x =时4x x+取到最小值4， 故答案为：2.8．[]3,4 【分析】根据题意得出A B ⊆再列出不等式组求解即可. 【详解】由题意得，A B ⊆且A 不是空集.所以1325a a -≤⎧⎨+≥⎩，解得34a ≤≤.故答案为:[]3,4 9．（-1,2）. 【分析】根据不等式0ax b ->的解集为()1,+∞得出a >0，进而得到a ,b 的关系，代入一元二次不等式解出即可. 【详解】由不等式0ax b ->的解集为()1,+∞可知a >0，则b x a >，所以10bb a a=⇒=>， 则不等式()()20ax b x +-<化为()()120x x +-<，其解集为（-1,2）. 故答案为：（-1,2）. 10．(]1,0- 【分析】当0m =时，不等式恒成立，可知符合题意；当0m <时，由恒成立可得∆<0；当0m >时，不可能在实数集上恒成立，由此可得结果. 【详解】当0m =时，40-<恒成立，P R ∴=，符合题意 当0m <时，()24160m m ∆=+<，解得：10m -<< 当0m >时，集合P 不可能为R 综上所述：(]1,0m ∈- 故答案为(]1,0- 【点睛】本题考查一元二次不等式在实数集上恒成立问题的求解，易错点是忽略二次项系数是否为零的讨论，造成求解错误. 11．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】首先求出不等式(23)(32)0x x +-≤的解集，再根据不等式组无解，可得实数a 的取值范围． 【详解】不等式(23)(32)0x x +-≤的解集为3223x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭， 不等式0x a ->的解集为{}|x x a > 因为关于x 的不等式组(23)(32)00x x x a +-≤⎧⎨->⎩无实数解，所以{}3223x x a x x ⎧⎫⋂-≤≤=∅⎨⎬⎩⎭所以23a ≥．即2,3a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭故答案为：2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭12．③⑤ 【分析】根据不等式解集的特征及不等式的解与对应方程的关系可得,,a b c 满足的条件，从而可得正确的选项． 【详解】因为x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()2,1-， 所以0a <且20ax bx c ++=的两个根为2,1-，所以02121a b a c a ⎧⎪<⎪⎪-+=-⎨⎪⎪-⨯=⎪⎩，所以2,,0c a b a a =-=<．故0,0,0,20c b a b c a b c a >++=-+=-， 故填③⑤．【点睛】一元二次不等式的解、一元二次方程及一元二次函数的之间的关系是： （1）一元二次不等式的解集的端点是对应方程的根； （2）一元二次不等式的解集的端点是对应函数的零点； 解题中注意它们之间的联系． 13．C 【分析】根据元素与集合、集合与集合之间的关系判断可得答案. 【详解】(){}1,0的由一个点()1,0构成的点集合，所以(){}01,0∉故A 错误； 12⎧⎫⊆⎨⎬/⎩⎭(){}1,0故B 错误；()(){}1,01,0∈故C 正确，D 错误.故选：C. 14．B 【详解】因为根据不等式的性质可知，“ac ＝bc”是“a ＝b”的必要不充分条件，选项D 错误， 选项A 是不充分不必要条件，选项C 是不充分不必要条件,选B 15．D 【分析】根据240b ac ∆=-=，0a <，将不等式20ax bx c ++≥等价为2()02b a x a+=，解方程即可. 【详解】因为240b ac ∆=-=，则方程的根为：122b x x a==-. 所以20ax bx c ++≥变形为2()02b a x a+≥. 因为0a <，所以等价为：2()02b x a+=. 解得：2b x a=-. 故选：D 【点睛】本题主要考查根据公式法解一元二次方程和一元二次不等式，将不等式变形，是解决本题的关键，属于简单题. 16．A 【分析】解出集合A ，利用交集和补集的定义得出集合A B 和A B ，然后利用题中的定义可得出集合A B ⨯. 【详解】解不等式220x x -≥，即220x x -≤，解得02x ≤≤，则集合[]0,2A =. 所以，[)0,A B =+∞，(]1,2A B =， 根据集合A B ⨯的定义可得[]()0,12,A B ⨯=+∞.故选A. 【点睛】本题考查集合的新定义运算，同时也考查了一元二次不等式的解法、交集与补集的运算，考查运算求解能力，属于中等题. 17．[)[]2,12,3-⋃ 【分析】将绝对值不等式转化为一次不等式组求解；将分式不等式转化为二次不等式，并注意分母不为零求解；然后取交集得到原不等式组的解集. 【详解】由215x -≤得5215x -≤-≤，即23x -≤≤；由111x ≤-得1101x -≤-，即201xx -≤-,等价于()()21010x x x ⎧--≤⎨-≠⎩， 解得1x <或2x ≥；∴原不等式组的解集为[)[]2,12,3-⋃, 故答案为：[)[]2,12,3-⋃.18．3322a b a b b a +≥+，当且仅当a b =时等号成立. 【分析】运用作差法求出两式的差，结合题意将两式的差与0进行比较即可. 【详解】 由题意得,3333222222222))()()()()()()()(()(a b b a a b b a a a b b b a a b a b a b a b a b a b +==-+-=+-=+----+-因为0,0a b >>,所以20,()0a b a b +>-≥，当且仅当a b =时取等号，所以2()()0a b a b -+≥，即32320())(a a b b b a +-≥+，当且仅当a b =时取等号， 故3322a b a b b a +≥+，当且仅当a b =时等号成立.19．({}5-【分析】 由题意{}2,3MM =，可得M 是集合{}2,3的子集，按集合M 中元素的个数，结合根与系数之间的关系，分类讨论即可求解. 【详解】 由题意{}2,3MM =，可得M 是集合{}2,3的子集，又{}260,M x x mx x R =-+=∈，当M 是空集时，即方程260x mx -+=无解，则满足()2460m ∆=--⨯<，解得m -<(m ∈-，此时显然符合题意； 当M 中只有一个元素时，即方程260x mx -+=只有一个实数根，此时()2460m ∆=--⨯=，解得m =±则方程的解为x =x ={}2,3的子集中的元素， 不符合题意，舍去； 当M 中有两个元素时，则2,3M，此时方程260x mx -+=的解为12x =，23x =，由根与系数之间的关系，可得两根之和为5，故235m =+=； 当5m =时，可解得2,3M，符合题意.综上m的取值范围为({}5m ∈-.20．648 【分析】设矩形温室的左侧边长为a m ，后侧边长为b m ，可得出800ab =，并利用a 、b 表示出蔬菜的种植面积S ，再利用基本不等式求出S 的最大值，并利用等号成立的条件求出a 与b 的值，即可对问题进行解答． 【详解】设矩形温室的左侧边长为a m ，后侧边长为b m ，则800.ab = 蔬菜的种植面积()(4)(2)42880822S a b ab b a a b =--=--+=-+，所以2808648().S m ≤-当2a b =时，即当()40a m =，()20b m =时，()max 648S m =.答：当矩形温室的左侧边长为40m ，后侧边长为20m 时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m 2. 【点睛】本题考查基本不等式的实际应用，考查利用基本不等式求最值，在解题过程中寻找定值条件，解题的关键就是对代数式进行合理配凑，同时特别要注意等号成立的条件，考查计算能力与应用能力，属于中等题．21．（1）()(),12,A =-∞-⋃+∞；55,,225,255,,22a a B a a a ⎧⎛⎫--> ⎪⎪⎝⎭⎪⎪=∅=⎨⎪⎪⎛⎫--< ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）[)(]2021,20202021,2022-【分析】（1）利用一元二次不等式的解法可求得集合A ；分别在52a >、52a <和52a =三种情况下，根据一元二次不等式解法求得集合B ；（2）将问题转化为则A B 中包含2019个整数；分别在52a >、512a ≤<、21a -≤<和2a <-四种情况下，确定A B 中整数个数，由此得到a 的范围.本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

江苏省海安高级中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题（创新班）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 已知集合{}π,4k A x x k ∈Z ＝＝，集合{}ππB x x ＝-＜＜，则AB 中元素的个数为（ ）A ．3B ．5C ．7D ．92． 设3log 2x ＝，则33223333x x x x ----的值为（ ） A ．2110 B ．2110- C ．1710 D ．13103． 幂函数()231m y m m x -=--在定义域内为偶函数，则m ＝（ ）A ．－1B ．2C ．－1或2D ．14． 函数()(ln f x x +＝，若()()2540f a f b +++＝，则2a b +＝（ ）A ．－1B ．1C ．－9D ．95． 若等差数列{}n a 的公差d ≠0，且222268101216a a d a a +++＝，则{}n a 的前17项的和17S ＝（ ）A ．17B ．18C ．30D ．32 6． 已知15αβ+＝，则1tan tan tan tan 1tan tan tan tan αβαβαβαβ---++-＝（ ）A B 2 C ．2 D7． 函数()422x f x x +-＝ 的零点与()g x 的零点之差的绝对值不超过14，则()g x 的解析式可能是（ ）A ．()41g x x -＝B ．()()21g x x -＝ C ．()e 1x g x -＝ D ．()()1ln 2g x x -＝8． 将函数2x y ＝的图像向右平移t 个单位长度，所得图像对应的函数解析式为23xy ＝，则t的值为（ ）A ．12B ．2log 3C ．3log 2D 9． 设()f x 是定义在R 上的函数，若存在两个不相等实数1x 、2x ∈R ，使得122x x f +⎛⎫⎪⎝⎭＝()()122f x f x +，则称函数()f x 为“创新函数”．则下列函数不是“创新函数”的是（ ）①()1,0,0,0,x x f x x ⎧≠⎪⎨⎪⎩＝＝ ②()f x x x ＝ ③()22f x x -＝ ④()21x f x -＝A ．①B ．②C ．③D ．④10．已知函数()22x f x x++＝，x ∈R ，则不等式()()2223f x x f x --＜的解集为（ ）A ．()1,2B ．()1,3C ．()0,2D ．(31,2⎤⎥⎦11．已知直线x ＝2，x ＝4与函数lg y x ＝的图像交于A ，B 两点，与函数ln y x ＝的图像交于C ，D 两点，则直线AB 与CD 的交点的横坐标（ ） A ．大于0 B ．等于0 C ．小于0 D ．不确定 12．已知点O 是△ABC 内一点，满足2OA OB mOC +＝，且47AOB ABC S S △△＝，则实数m 为（ ）A ．2B ．－2C ．4D ．－4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在指定的位置上． 13．已知实数a ，b ，c ，d 满足23a ＝，35b =，57c ＝，716d ＝，则abcd ＝ ▲ ． 14．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ．若{}n a,均为公差为d 的等差数列，则n S ＝▲ ．15．已知向量a 与b 的夹角为60，且1＝a ，2＝b ，实数k 满足a ＋k b 与k a ＋b 的夹角为钝角，则k 的取值范围为 ▲ ．16．已知x ＞0且x ≠1，y ＞0且y ≠1，方程组58log log 4log 5log 81x y x y +⎧⎪⎨-⎪⎩＝＝的解为11x x y y ⎧⎨⎩＝＝或22x x y y ⎧⎨⎩＝＝，则()1212lg x x y y ＝▲ ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）设集合{}2320A x x x -+＝＝，集合()(){}222150B x x a x a +++-＝＝（a ∈R ）． （1）若{}1AB ＝，求实数a 的值；（2）若A B A ＝，求实数a 的取值范围．18．（本小题满分12分）“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资120万元，根据行业规定，每个城市至少要投资40万元，由前期市场调研可知：甲城市收益()g x 与投入x （单位：万元）满足()6g x ＝，乙城市收益()h x 与投入x （单位：万元）满足()124h x x +＝，设甲城市的投入为x （单位：万元），两个城市的总收益为()f x （单位：万元） （1）求()f x 及定义域；（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？19．（本小题满分12分）在三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知()()sin sin a c A C -+＝ ()sin sin b A B -．（1）求角C 的大小；（2）若2CB m ＝， 2CA m ＝，O 为△ABC 的外心，且CO CB CA αβ⋅+⋅＝，求αβ+的最大值．20．（本小题满分12分）设函数()22x x f x k --⋅＝在定义域具有奇偶性． （1）求k 的值；（2）已知()()442x x g x mf x -+-＝在区间[)1,+∞上的最小值为－2，求m 的值．21．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 与公比为正数的等比数列{}n b 满足1122b a ＝＝，2310a b +＝，327a b +＝． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若()()11n n n c a b ++＝，求数列{}n c 的前n 项和n S ； （3）若()()111n n n n n n b A a b a b ++++⋅+＝，数列{}n A 的前n 项和n T ，且n T λ＞恒成立，求λ的最小值．22．（本小题满分12分）对于定义域为R 的奇函数()f x 同时满足下列三个条件： ① 对任意的x ∈R ，都有()()2f x f x +＝-； ② ()11f ＝③ 对任意m ，[]0,1n ∈且m ≤n ，都有()()()()12m n f a f m a f n +-⋅+⋅＝成立，其中0＜a ＜1． （1）求a 的值；（2）求()()()201920202021234f f f ++的值．参考答案1-5 CAACA6-10 DABDA11-12 BD13. 414.15.16. 617.。

福建省龙岩高级中学2018-2019学年高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合2，，，则A. B. C. D. 2，【答案】C【解析】解：集合2，，，则．故选：C．直接利用集合的交集的求法求解即可．本题考查交集的求法，考查计算能力．2.已知函数，那么它的反函数是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：函数的反函数为：，故选：A．直接利用已知条件求出函数的反函数关系式．本题考查的知识要点：反函数的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．3.已知集合，则A. B.C. D.【答案】B【解析】解：集合，可得或，则：．故选：B．通过求解不等式，得到集合A，然后求解补集即可．本题考查不等式的解法，补集的运算，是基本知识的考查．4.设函数的定义域为A，函数的定义域为B，则A. B. C. D.【答案】D【解析】解：由，解得：，则函数的定义域，由对数函数的定义域可知：，解得：，则函数的定义域，则，故选：D．根据幂函数及对数函数定义域的求法，即可求得A和B，即可求得．本题考查函数定义的求法，交集及其运算，考查计算能力，属于基础题．5.为了得到函数的图象，可以把函数的图象A. 向左平移3个单位长度B. 向右平移3个单位长度C. 向左平移1个的位长度D. 向右平移1个的位长度【答案】D【解析】解：把函数的图象向右平移1个的位长度可得函数的图象，故选：D．由题意利用函数图象的平移变换规律，得出结论．本题主要考查函数图象的平移变换规律，属于基础题．6.今有一组数据如表所示：12345下列函数模型中，能最接近地表示这组数据满足规律的是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：随着自变量每增加1函数值大约增加2，函数值的增量几乎是均匀的，故一次函数最接近地表示这组数据满足的规律．故选：D．利用表格中的自变量与函数值的对应关系，发现自变量增加一个单位，函数值几乎是均匀增加的，可以确定该函数模型最接近一次函数模型本题考查给出函数关系的表格法，通过表格可以很清楚地发现函数值随着自变量的变化而变化的规律从而确定出该函数的类型7.已知，，，则以下关系式正确的是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由指数式、对数式的性质可知：；；显然：．故选：A．根据指数式、对数式的性质，直接推出，，的范围，即可得到a，b，c的大小关系．本题主要考查对数函数、指数函数的单调性，属于基础题，常规题比较大小，往往借助“0”，“1”这两个数字比较大小．8.函数的零点所在的区间为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：函数，，，，根据函数的零点的判定定理可得，函数的零点所在的区间是，故选：B．由函数的解析式可得，再利用函数的零点的判定定理可得函数的零点所在的区间．本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．9.函数的图象大致是A. B.C. D.【答案】B【解析】解：函数，可知，排除选项A；当时，，，时，，排除选项C，D；故选：B．当时，判断函数的值的符号，时函数值的符号，即可判断选项．本题考查函数的图象的判断，指数函数的单调性与函数值的大小，考查转化思想以及计算能力．10.已知对任意的x，均成立，且，那么A. 0B. 1C.D. 5【答案】C【解析】解：对任意的x，均成立，且，，，．故选：C．推导出，，，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.设函数，则是A. 奇函数，且在上是增函数B. 奇函数，且在上是减函数C. 偶函数，且在上是增函数D. 偶函数，且在上是减函数【答案】A【解析】解：函数，函数的定义域为，函数，所以函数是奇函数．排除C，D，正确结果在A，B，只需判断特殊值的大小，即可推出选项，时，；时，，显然，函数是增函数，所以B错误，A正确．故选：A．求出好的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可．本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用，考查计算能力．12.已知函数，设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：根据题意，函数的图象如图：令，其图象与x轴相交与点，在区间上为减函数，在为增函数，若不等式在R上恒成立，则函数的图象在上的上方或相交，则必有，即，解可得，故选：A．根据题意，作出函数的图象，令，分析的图象特点，将不等式在R上恒成立转化为函数的图象在上的上方或相交的问题，分析可得，即，解可得a的取值范围，即可得答案．本题考查分段函数的应用，关键是作出函数的图象，将函数的恒成立问题转化为图象的上下位置关系．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数的图象必过定点______．【答案】【解析】解：令，解得，此时，故得此点与底数a的取值无关，故函数的图象必经过定点故答案为．由指数函数的定义可知，当指数为0时，指数式的值为1，故令指数，解得，，故得定点．本题考点是指数型函数，考查指数型函数过定点的问题解决此类题通常是令指数为0取得定点的坐标属于指数函数性质考查题．14.已知函数，若，则______．【答案】【解析】解：函数，若，可得：，可得．故答案为：．直接利用函数的解析式，求解函数值即可．本题考查函数的解析式的应用，函数的领导与方程根的关系，是基本知识的考查．15.已知函数，那么______．【答案】【解析】解：根据题意，函数，则，则；故答案为：．根据题意，由函数的解析式计算可得，进而计算，计算可得答案．本题考查分段函数的求值，注意分段函数解析式的形式，属于基础题．16.布兰克先生有一位夫人和一个女儿，女儿有一位丈夫和一个儿子，阅读以下信息：五人中有一人是医生，而在其余四人中有一人是这位医生的病人；医生的孩子和病人父母亲中年龄较大的那一位性别相同；医生的孩子既不是病人，也不是病人父母亲中年龄较大的那一位．根据以上信息，谁是医生？______填写代号：A布兰克先生，B夫人，C女儿，D女婿，E外孙【答案】D【解析】解：根据题意得，布兰克先生不是医生，由医生的孩子和病人父母亲中年龄较大的那一位性别相同知女婿是医生，女儿是病人．运用逐个验证的方法可解决．本题考查简单的合情推理知识．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知幂函数的图象经过点，求的值；化简求值：【答案】解：幂函数的图象经过点，，解得，，．．【解析】推导出，从而，进而，由此能求出．利用指数、对数的性质、运算法则直接求解．本题考查函数值的求法，考查对数式化简求值，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．18.已知集合，．当时，求；若，求实数a的取值范围．【答案】解：当时，集合，．．集合，，，当时，，解得，当时，，解得，综上，实数a的取值范围是，．【解析】当时，集合，由此能求出．由集合，，得，当时，，当时，，由此能求出实数a的取值范围．本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，求函数的解析式；在给定的直角坐标系内画出的图象，并指出的减区间不必说明理由；求在上的最大值和最小值不必说明理由．【答案】解：函数是定义在R上的奇函数，当时，，可得时，，即有，即有，综上可得；函数的图象如右图，可得减区间为，；在上的最大值为2最小值为．【解析】由奇函数的定义，可令，，代入已知解析式，可得的解析式；由分段函数的画法可得的图象，以及减区间；由的图象即可得到所求最值．本题考查函数的解析式和单调区间、最值求法，注意运用函数的奇偶性和单调性，以及二次函数的性质，考查运算能力，属于基础题．20.阅读下面材料：由于设于是根据对数的定义由得由得把代入得仿照上述过程，证明：；已知，求的值．提示：如果需要，也可以直接利用阅读材料及中给论【答案】解：证明：由，设，，可得，，则，即有；，可得，，即．【解析】运用指数的运算性质和对数的定义，即可得证；由对数的运算性质和换底公式计算可得所求和．本题考查对数的运算性质的证明，注意运用对数的定义，考查对数的换底公式和运用：求值，考查运算能力，属于基础题．21.已知且，求实数a的取值范围；若关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围．【答案】解：可化为a，当时，不等式恒成立；当时，，综上所述：实数a的取值范围是：；令，，则在上恒成立，，且，，即时，，故，所以实数a的取值范围是．【解析】将1变成a为底的对数，再对底数分两种情况讨论；构造函数，转化为函数的最大值使不等式成立．本题考查了分类讨论思想、对数函数单调性、换元法、二次函数的最值属中档题．22.已知函数的定义域是，对定义域内的任意、都，且当时，．求，的值；判断函数的奇偶性；解不等式．【答案】解：对定义域内的任意、都有，且当时，，可令，可得，即；令，可得，即；可令，，可得，可得在定义域上为偶函数；可令，，，则，可得，由，则在递增，在递减，由，即为，可得，解得或，则原不等式的解集为．【解析】令，由已知等式可得；令，由条件可得；可令，，结合的结论和奇偶性的定义，即可得到结论；由单调性的定义可得在递增，在递减，由，即为，可得，解不等式可得所求解集．本题考查抽象函数的奇偶性和单调性的判断和运用：解不等式和求函数值，考查赋值法和定义法的运用，以及化简运算能力，属于中档题．。