高中数学必修5第3章 第2节 第2课时一元二次不等式的应用学业分层测评18

课时作业(十八) 一元二次不等式的应用(限时：10分钟)1．不等式3x －12－x≥1的解集是( )A.⎣⎡⎦⎤34，2B.⎣⎡⎭⎫34，2C.⎝⎛⎦⎤－∞，34∪(2，＋∞) D ．(－∞，2)解析：原不等式变形为3x －12－x －1≥0，即4x －32－x≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧(4x －3)(x －2)≤0，2－x ≠0，∴34≤x ＜2.答案：B2．不等式(x －1)2(x －2)(x ＋3)3(x ＋1)4x 5＜0的解集为( )A ．(－∞，－3)∪(0,2)B ．(－∞，－3)∪(0,1)C ．(－∞，－3)∪(1,2)D ．(－∞，－3)∪(0,1)∪(1,2) 解析：原不等式等价于 ⎩⎨⎧(x －2)(x ＋3)x＜0，x ≠1，x ≠－1，即⎩⎪⎨⎪⎧x (x －2)(x ＋3)＜0，x ≠1，x ≠－1， ∴x ∈(－∞，－3)∪(0,1)∪(1,2)．答案：D3．下列不等式中与x －43－x≥0同解的是( )A ．(x －4)(3－x )≥0 B.3－xx －4≥0C ．lg(x －3)≤0D ．(x －4)(3－x )＞0解析：方法一：排除法．取x ＝4，排除B 、D ；取x ＝3，满足A 而不满足x －43－x ≥0，排除A ，故选C.方法二：∵x －43－x≥0，解得3＜x ≤4，对A 解集为{x |3≤x ≤4}，不同解；对B 得3≤x ＜4不同解；对C 得3＜x ≤4，同解；对D 得3＜x ＜4，不同解．答案：C4．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个．每个涨价1元，其销售量就减少20个，为获得最大利润，售价应定为每个( )A ．95元B ．100元C ．105元D ．110元解析：设每个涨价x 元，则y ＝(x ＋10)(400－20x )＝－20x 2＋200x ＋4 000，∴当x ＝20040＝5时，y 取得最大值．∴应涨价5元，即每个售价95元．答案：A5．解不等式：3x －5x 2＋2x －3≤2.解析：原不等式等价变形为3x －5x 2＋2x －3－2≤0，即为－2x 2－x ＋1x 2＋2x －3≤0，∴2x 2＋x －1x 2＋2x －3≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧(2x 2＋x －1)(x 2＋2x －3)≥0，x 2＋2x －3≠0，即等价变形为⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)(x ＋1)(x ＋3)(x －1)≥0，x ≠－3且x ≠1.画出示意图如图：可得原不等式的解集为{x |x ＜－3或－1≤x ≤12或x ＞1}．(限时：30分钟)1．不等式x －3x ＋2＜0的解集为( )A ．{x |－2＜x ＜3}B ．{x |x ＜－2}C ．{x |x ＜－2或x ＞3}D ．{x |x ＞3} 解析：x －3x ＋2＜0⇒(x －3)(x ＋2)＜0⇒－2＜x ＜3.答案：A2．不等式x 2－x －6x －1＞0的解集是( )A ．{x |x ＜－2或x ＞3}B ．{x |x ＜－2或1＜x ＜3}C ．{x |－2＜x ＜1或x ＞3}D ．{x |－2＜x ＜1或1＜x ＜3}。

第三章不等式
一元二次不等式及其解法
第课时含参数的一元二次不等式的解法
级基础巩固
一、选择题
．不等式＜的解集为( )
．(－，)∪(，＋∞) ．(－∞.－)∪(，)
．(－，) ．(－∞，－)
解析：因为＜，所以＋＜，
即＜－.
答案：
．设＋＞，则关于的不等式(－)(＋)＞的解是( )
．＜－或＞．－＜＜
．＜－或＞．－＜＜
解析：方程(－)(＋)＝的两根为，－，
因为＋＞，所以＞－，结合函数＝(－)(＋)的图象，得原不等式的
解是－＜＜，故选.
答案：．已知不等式－－≥的解集是则不等式－－＜的解集是( )
．(，) ．(－∞，)∪(，＋∞)
∪
解析：由题意知－，－是方程－－＝的根，所以由根与系数的关
系得－＋＝，－×＝－.解得＝－，＝, 不等式－－＜即为－＋＜，解
集为(，)，
答案：
.二次函数()的图象如图所示，则(－)＞的解集为( )
．(－，)
．(，)
．(，]
．(－∞，)∪(，＋∞)
解析：由题图，知()＞的解集为(－，)．把()的图象向右平移个单
位长度即得(－)的图象，所以(－)＞解集为(，)．
答案：
．不等式≤的解集为( )
∪
∪
解析：原不等式等价于
即即－＜≤.
故原不等式的解集为
答案：
二、填空题
．不等式＋＋＞恒成立的条件是．
解析：由Δ＝－·＜，解得：＜＜.
答案：＜＜．若函数＝(为常数)的定义域为，则的取值范围是．
解析：函数＝的定义域为，即－＋(＋)≥对一切∈恒成立，当＝。

学业分层测评（十八）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．不等式4x ＋23x －1>0的解集是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x >13或x <－12 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －12<x <13 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x >13 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <－12 【解析】4x ＋23x －1>0⇔(4x ＋2)(3x －1)>0⇔x >13或x <－12，此不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x >13或x <－12. 【答案】 A2．如果A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的取值集合为( )A ．{a |0<a <4}B ．{a |0≤a <4}C ．{a |0<a ≤4}D ．{a |0≤a ≤4}【解析】 当a ＝0时，有1<0，故A ＝∅.当a ≠0时，若A ＝∅，则有⎩⎨⎧a >0，Δ＝a 2－4a ≤0，解得0<a ≤4.综上，a ∈{a |0≤a ≤4}．【答案】 D3．关于x 的不等式ax －b >0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式ax ＋b x －2>0的解集是( )A ．(－∞，0)∪(1，＋∞)B ．(－1,2)C ．(1,2)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)【解析】 ∵ax －b >0的解集为(1，＋∞)，∴a ＝b >0，∴ax ＋b x －2>0⇔a (x ＋1)x －2>0， ∴x <－1或x >2.【答案】 D4．设集合P ＝{m |－1<m <0}，Q ＝{m ∈R |mx 2＋4mx －4<0对任意实数x 恒成立}，则下列关系式中成立的是( )A ．P QB ．Q PC ．P ＝QD ．P ∩Q ＝∅【解析】 当m ＝0时，－4<0对任意实数x ∈R 恒成立；当m ≠0时，由mx 2＋4mx －4<0对任意实数x ∈R 恒成立可得，⎩⎨⎧m <0，Δ＝16m 2＋16m <0，解得－1<m <0， 综上所述，Q ＝{m |－1<m ≤0}，∴P Q ，故选A. 【答案】 A5．在R 上定义运算×：A ×B ＝A (1－B )，若不等式(x －a )×(x ＋a )<1对任意的实数x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．－1<a <1B ．0<a <2C ．－12<a <32D ．－32<a <12【解析】(x－a)×(x＋a)＝(x－a)[1－(x＋a)]＝－x2＋x＋a2－a，∴－x2＋x ＋a2－a<1，即x2－x－a2＋a＋1>0对x∈R恒成立，∴Δ＝1－4(－a2＋a＋1)＝4a2－4a－3<0，∴(2a－3)(2a＋1)<0，即－12<a<32.【答案】 C 二、填空题6．若a<0，则不等式x－4ax＋5a>0的解集是________．【解析】原不等式可化为(x－4a)(x＋5a)>0，由于a<0，所以4a<－5a，因此原不等式的解集为{x|x<4a或x>－5a}．【答案】{x|x<4a或x>－5a}7．偶函数y＝f(x)和奇函数y＝g(x)的定义域均为[－4，4]，f(x)在[－4,0]上，g(x)在[0,4]上的图象如图3-2-2所示，则不等式f(x)g(x)<0的解集为________．图3-2-2【解析】由已知得当x∈(－4，－2)∪(2,4)时，f(x)>0，当x∈(－2,2)时，f(x)<0，当x∈(－4,0)时，g(x)>0，x∈(0,4)时，g(x)<0.所以当x∈(－2,0)∪(2,4)时，f(x)g(x)<0.所以不等式f(x)g(x)<0的解集为{x∈R|－2<x<0或2<x<4}．【答案】{x∈R|－2<x<0或2<x<4}8．某地每年销售木材约20万m3，每m3价格为2 400元．为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少52t万m3.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是________．【解析】设按销售收入的t%征收木材税时，税金收入为y万元，则y＝2400⎝ ⎛⎭⎪⎫20－52t ×t %＝60(8t －t 2)． 令y ≥900，即60(8t －t 2)≥900，解得3≤t ≤5.【答案】 [3,5]三、解答题9．(2016·亳州高二检测)若不等式(1－a )x 2－4x ＋6>0的解集是{x |－3<x <1}.【导学号：05920076】(1)解不等式2x 2＋(2－a )x －a >0；(2)b 为何值时，ax 2＋bx ＋3≥0的解集为R?【解】 (1)由题意知1－a <0，且－3和1是方程(1－a )x 2－4x ＋6＝0的两根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a <0，41－a ＝－2，61－a ＝－3，解得a ＝3.∴不等式2x 2＋(2－a )x －a >0，即为2x 2－x －3>0，解得x <－1或x >32.∴所求不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <－1或x >32. (2)ax 2＋bx ＋3≥0，即3x 2＋bx ＋3≥0，若此不等式解集为R ，则Δ＝b 2－4×3×3≤0，∴－6≤b ≤6.10．某地区上年度电价为0.8元/kw·h ，年用电量为a kw·h.本年度计划将电价降低到0.55元/kw·h 至0.75元/kw·h 之间，而用户期望电价为0.4元/kw·h.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k )．该地区电力的成本价为0.3元/kw·h.(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y 与实际电价x 的函数关系式；(2)设k ＝0.2a ，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%?注：收益＝实际用电量×(实际电价－成本价)【解】 (1)设下调后的电价为x 元/千瓦时，依题意知，用电量增至k x －0.4＋a ，电力部门的收益为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k x －0.4＋a (x －0.3)(0.55≤x ≤0.75)． (2)依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫0.2a x －0.4＋a (x －0.3)≥[a ×(0.8－0.3)](1＋20%)，0.55≤x ≤0.75.整理，得⎩⎨⎧x 2－1.1x ＋0.3≥0，0.55≤x ≤0.75. 解此不等式，得0.60≤x ≤0.75.∴当电价最低定为0.60元/千瓦时时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%.[能力提升]1．若实数α，β为方程x 2－2mx ＋m ＋6＝0的两根，则(α－1)2＋(β－1)2的最小值为( )A ．8B ．14C ．－14D ．－494【解析】 ∵Δ＝(－2m )2－4(m ＋6)≥0，∴m 2－m －6≥0，∴m ≥3或m ≤－2.(α－1)2＋(β－1)2＝α2＋β2－2(α＋β)＋2＝(α＋β)2－2αβ－2(α＋β)＋2＝(2m )2－2(m ＋6)－2(2m )＋2＝4m 2－6m －10＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫m －342－494，∵m ≥3或m ≤－2，∴当m ＝3时，(α－1)2＋(β－1)2取最小值8.【答案】 A2．函数f (x )＝kx 2－6kx ＋(k ＋8)的定义域为R ，则实数k 的取值范围为( )A ．(0,1)B ．[1，＋∞)C ．[0,1]D ．(－∞，0]【解析】 kx 2－6kx ＋(k ＋8)≥0恒成立，当k ＝0时，满足．当k ≠0时，⎩⎨⎧ k ＞0，Δ＝(－6k )2－4k (k ＋8)≤0⇒0＜k ≤1. 综上，0≤k ≤1.【答案】 C3．若不等式x 2－8x ＋20mx 2－mx －1＜0对一切x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围为________．【解析】 ∵x 2－8x ＋20＝(x －4)2＋4＞0，∴只需mx 2－mx －1＜0恒成立．故m ＝0或⎩⎨⎧ m ＜0，Δ＝m 2＋4m ＜0，∴－4＜m ≤0.【答案】 －4＜m ≤04．设不等式mx 2－2x －m ＋1＜0对于满足|m |≤2的一切m 的值都成立，求x 的取值范围．【解】 原不等式可化为(x 2－1)m －(2x －1)＜0.令f (m )＝(x 2－1)m －(2x －1)，其中m ∈[－2,2], 则原命题等价于关于m 的一次函数(x 2－1≠0时)或常数函数(x 2－1＝0时)在m ∈[－2,2]上的函数值恒小于零．(1)当x 2－1＝0时，由f (m )＝－(2x －1)＜0得x ＝1；(2)当x 2－1＞0时，f (m )在[－2,2]上是增函数，要使f (m )＜0在[－2,2]上恒成立，只需⎩⎨⎧x 2－1＞0，f (2)＝2(x 2－1)－(2x －1)＜0， 解得1＜x ＜1＋32；(3)当x 2－1＜0时，f (m )在[－2,2]上是减函数，要使f (m )＜0在[－2,2]上恒成立，只需⎩⎨⎧x 2－1＜0，f (－2)＝－2(x 2－1)－(2x －1)＜0， 解得－1＋72＜x ＜1. 综合(1)(2)(3)，得－1＋72＜x ＜1＋32.。

,[学生用书单独成册])[A.基础达标]1．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＋3x －1＜0，N ＝{x |x ≤－3}，则集合{x |x ≥1}等于( ) A ．M ∩N B ．M ∪NC ．∁R (M ∩N )D ．∁R (M ∪N )解析：选D.x ＋3x －1＜0⇔(x ＋3)(x －1)＜0，故集合M 可化为{x |－3＜x ＜1}，将集合M 和集合N 在数轴上表示出来(如图)，易知答案．2．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1＜0}＝∅，则实数a 的集合是( )A ．{a |0＜a ＜4}B ．{a |0≤a ＜4}C ．{a |0＜a ≤4}D ．{a |0≤a ≤4}解析：选D.若a ＝0时符合题意，若a ＞0时，相应二次方程中的Δ＝a 2－4a ≤0，得{a |0＜a ≤4}，综上得{a |0≤a ≤4}，故选D.3．不等式x ＋5（x －1）2≥2的解集是( ) A.⎣⎡⎦⎤－3，12 B.⎣⎡⎦⎤－12，3 C.⎣⎡⎭⎫12，1∪(1，3] D.⎣⎡⎭⎫－12，1∪(1，3] 解析：选D.因为(x －1)2＞0，由x ＋5（x －1）2≥2可得x ＋5≥2(x －1)2且x ≠1. 所以2x 2－5x －3≤0且x ≠1，所以－12≤x ≤3且x ≠1. 所以不等式的解集是⎣⎡⎭⎫－12，1∪(1，3]． 4．若(m ＋1)x 2－(m －1)x ＋3(m －1)＜0对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ＞1B ．m ＜－1C ．m ＜－1311D ．m ＞1或m ＜－1311解析：选C.当m ＝－1时，不等式变为2x －6＜0，即x ＜3，不符合题意．当m ≠－1时，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1＜0，Δ＝（m －1）2－4（m ＋1）×3（m －1）＜0， 化简得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1＜0，11m 2＋2m －13＞0， 解得m ＜－1311. 5．已知关于x 的不等式x 2－4x ≥m 对任意x ∈(0，1]恒成立，则有( )A ．m ≤－3B ．m ≥－3C ．－3≤m ＜0D ．m ≥－4解析：选A.令f (x )＝x 2－4x ＝(x －2)2－4，在(0，1]上为减函数，当x ＝1时，f (x )min ＝－3，所以m ≤－3.6．若a ＜0，则不等式x －4a x ＋5a＞0的解集是________． 解析：原不等式可化为(x －4a )(x ＋5a )＞0，由于a ＜0，所以4a ＜－5a ，因此原不等式解集为{x |x ＜4a 或x ＞－5a }．答案：{x |x ＜4a 或x ＞－5a }7．某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价格为24 000元，为了减少耕地损失，决定以每年损失耕地价格的t %征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少52t 万亩，为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9 000万元，则t 的取值范围是________．解析：由题意得(20－52t )×24 000×t %≥9 000， 化简得t 2－8t ＋15≤0，解得3≤t ≤5.答案：3≤t ≤58．已知a ＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝0，当0＜x ＜1时，代数式ax 2＋bx ＋c 的值是________(填“正数”、“负数”或“0”)．解析：法一：令f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，则f (1)＝a ＋b ＋c ＝0.因为a ＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝0，所以a ＞0，c ＜0，又f (0)＝c ＜0，f (x )的图像如图所示．所以当0＜x ＜1时，f (x )＜0，即ax 2＋bx ＋c ＜0.法二：特例法，取a ＝1，b ＝0，c ＝－1，x ＝12，则ax 2＋bx ＋c ＝1·⎝⎛⎭⎫122＋0－1＝－34＜0.答案：负数9．若不等式ax 2＋bx －1＞0的解集是{x |1＜x ＜2}．(1)试求a 、b 的值；(2)求不等式ax ＋1bx －1＞0的解集．解：(1)因为不等式ax 2＋bx －1＞0的解集是{x |1＜x ＜2}．所以a ＜0，且1和2是方程ax 2＋bx －1＝0的两根，由根与系数的关系可得⎩⎨⎧－b a ＝3，－1a ＝2，a ＜0.于是得⎩⎨⎧a ＝－12，b ＝32.(2)由(1)得不等式ax ＋1bx －1＞0即为－12x ＋132x －1＞0，所以⎝⎛⎭⎫－12x ＋1⎝⎛⎭⎫32x －1＞0，因此(x －2)⎝⎛⎭⎫x －23＜0，解得23＜x ＜2.即原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪23＜x ＜2. 10．国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策．现知某种酒每瓶70元，不加附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税k 元(叫做税率k %)，则每年的产销量将减少10k 万瓶．要使每年在此项经营中所收取附加税金不少于112万元，问k 应怎样确定？解：设产销量为每年x 万瓶，则销售收入每年70x 万元，从中征收的税金为70x ·k %万元，其中x ＝100－10k .由题意，得70(100－10k )k %≥112，整理得k 2－10k ＋16≤0，解得2≤k ≤8.因此，当2≤k ≤8(单位：元)时，每年在此项经营中所收附加税金不少于112万元．[B.能力提升]1．在R 上定义运算Ｋ×：A Ｋ× B ＝A (1－B )，若不等式(x －a )Ｋ×(x ＋a )＜1对任意的实数x ∈R 恒成立．则实数a 的取值范围为( )A ．－1＜a ＜1B ．0＜a ＜2C ．－12＜a ＜32D ．－32＜a ＜12解析：选C.(x －a )Ｋ×(x ＋a )＝(x －a )[1－(x ＋a )]＝－x 2＋x ＋a 2－a ，所以－x 2＋x ＋a 2－a ＜1，即x 2－x －a 2＋a ＋1＞0，对x ∈R 恒成立．所以Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)＝4a 2－4a －3＜0，所以(2a －3)(2a ＋1)＜0，即－12＜a ＜32. 2．对任意a ∈[－1，1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是( )A ．1＜x ＜3B ．x ＜1或x ＞3C ．1＜x ＜2D ．x ＜1或x ＞2解析：选B.设g (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)，g (a )＞0，恒成立且a ∈[－1，1]⇔⎩⎪⎨⎪⎧g （1）＝x 2－3x ＋2＞0，g （－1）＝x 2－5x ＋6＞0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1或x ＞2，x ＜2或x ＞3⇔x ＜1或x ＞3. 3．有纯农药液一桶，倒出8升后用水补满，然后又倒出4升后再用水补满，此时桶中的农药不超过容积的28%，则桶的容积的取值范围是________．解析：设桶的容积为x 升，那么第一次倒出8升纯农药液后，桶内还有(x －8)(x ＞8)升纯农药液，用水补满后，桶内纯农药液的浓度x －8x. 第二次又倒出4升药液，则倒出的纯农药液为4（x －8）x 升，此时桶内有纯农药液[(x －8)－4（x －8）x]升．依题意，得(x －8)－4（x －8）x≤28%·x . 由于x ＞0，因而原不等式化简为9x 2－150x ＋400≤0，即(3x －10)(3x －40)≤0.解得103≤x ≤403.又因为x ＞8， 所以8＜x ≤403. 答案：⎝⎛⎦⎤8，403 4．若不等式(1－a )x 2－4x ＋6＞0的解集是{x |－3＜x ＜1}，则不等式2x 2＋(2－a )x －a ＞0的解集为________．解析：由题意知1－a ＜0，且－3和1是方程(1－a )x 2－4x ＋6＝0的两根，所以⎩⎨⎧1－a ＜0，41－a ＝－2，61－a ＝－3，解得a ＝3.所以不等式2x 2＋(2－a )x －a ＞0，即为2x 2－x －3＞0，解得x ＜－1或x ＞32. 所以所求不等式的解集为{x |x ＜－1或x ＞32}． 答案：(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞5．某地区上年度电价为0.8元/kw ·h ，年用电量为a kw ·h.本年度计划将电价降价到0.55元/kw ·h 至0.75元/kw ·h 之间，而用户期望电价为0.4元/kw ·h.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k )．该地区电力的成本价为0.3元/kw ·h.(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y 与实际电价x 的函数关系式；(2)设k ＝0.2a ，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%?注：收益＝实际用电量×(实际电价－成本价)解：(1)设下调后的电价为x 元/千瓦时，依题意知，用电量增至k x －0.4＋a ，电力部门的收益为y ＝⎝⎛⎭⎫k x －0.4＋a (x －0.3)(0.55≤x ≤0.75)． (2)依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫0.2a x －0.4＋a （x －0.3）≥[a ×（0.8－0.3）]（1＋20%），0.55≤x ≤0.75.整理，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1.1x ＋0.3≥0，0.55≤x ≤0.75. 解此不等式，得0.6≤x ≤0.75.所以当电价最低定为0.6元/kw ·h 时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%.6．已知不等式x 2＋px ＋1＞2x ＋p .(1)如果不等式当|p |≤2时恒成立，求x 的取值范围；(2)如果不等式当2≤x ≤4时恒成立，求p 的取值范围．解：(1)不等式化为：(x －1)p ＋x 2－2x ＋1＞0，令f (p )＝(x －1)p ＋x 2－2x ＋1，则f (p )的图像是一条直线．又因为|p |≤2，所以－2≤p ≤2，于是得：⎩⎪⎨⎪⎧f （－2）＞0，f （2）＞0. 即⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）·（－2）＋x 2－2x ＋1＞0，（x －1）·2＋x 2－2x ＋1＞0. 即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3＞0，x 2－1＞0.所以x ＞3或x ＜－1. 故x 的取值范围是x ＞3或x ＜－1.(2)不等式可化为(x －1)p ＞－x 2＋2x －1，因为2≤x ≤4，所以x －1＞0.所以p ＞－x 2＋2x －1x －1＝1－x . 由于不等式当2≤x ≤4时恒成立，所以p ＞(1－x )max .而2≤x ≤4，所以(1－x )max ＝－1，故p 的取值范围是p ＞－1.。

课时分层作业(十八) 一元二次不等式及其解法(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．下面所给关于x 的不等式：①2x ＋3<0；②x 2＋mx ＋1>0；③ax 2＋3x －7>0；④x 2－1<0. 其中一定是一元二次不等式的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个B [①2x ＋3<0是一元一次不等式； ②x 2＋mx ＋1>0是一元二次不等式；③当a ＝0时，ax 2＋3x －7>0是一元一次不等式，当a ≠0时，ax 2＋3x －7>0是一元二次不等式；④x 2－1<0是一元二次不等式． 所以一定是一元二次不等式的是②④.]2．二次不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为全体实数的条件是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧ a >0Δ>0B ．⎩⎪⎨⎪⎧ a >0Δ<0C ．⎩⎪⎨⎪⎧a <0Δ>0D ．⎩⎪⎨⎪⎧a <0Δ<0D [二次不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为全体实数等价于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象全部在x 轴下方，需要开口向下，且与x轴无交点，故需要⎩⎪⎨⎪⎧a <0Δ<0.]3．已知不等式ax 2＋3x －2>0的解集为{x |1<x <b }，则a ，b 的值等于( ) A ．a ＝1，b ＝－2B ．a ＝2，b ＝－1C ．a ＝－1，b ＝2D ．a ＝－2，b ＝1C [由题知⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1＝－3a ，b ×1＝－2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.]4．不等式2x ＋1＜1的解集是( ) A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，－1) D ．(－1,1)A [∵2x ＋1＜1，∴2x ＋1－1＝2－x －1x ＋1＜0，即x －1x ＋1＞0，∴(x －1)(x ＋1)＞0，解得x ＞1或x ＜－1，∴不等式2x ＋1＜1的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．] 5．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1的定义域为实数集R ，则实数a 的取值范围为( )A ．(－2,2)B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2,2]D [由题意知，x 2＋ax ＋1≥0的解集为R ，∴Δ≤0，即a 2－4≤0，∴－2≤a ≤2.]二、填空题6．不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(用区间表示) (－4,1) [由－x 2－3x ＋4>0得x 2＋3x －4<0，解得－4<x <1.] 7．关于x的不等式(mx －1)(x －2)>0，若此不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1m <x <2，则m的取值范围是________．(－∞，0) [∵不等式(mx －1)(x －2)>0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1m <x <2， ∴方程(mx －1)(x －2)＝0的两个实数根为1m 和2，且⎩⎨⎧m <0，1m <2，解得m <0，∴m 的取值范围是(－∞，0)．]8．方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0的两根都是负数，则m 的取值范围为________．[9，＋∞)[∵⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(m －3)2－4m ≥0，x 1＋x 2＝3－m <0，x 1x 2＝m >0，∴m ≥9.] 三、解答题9．求函数f (x )＝2x 2＋x －3＋log 3(3＋2x －x 2)的定义域． [解] 由函数f (x )的解析式有意义得⎩⎨⎧2x 2＋x －3≥0，3＋2x －x 2>0，即⎩⎨⎧(2x ＋3)(x －1)≥0，(x －3)(x ＋1)<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－32或x ≥1，－1<x <3.因此1≤x <3，所求函数的定义域是[1,3)． 10．解关于x 的不等式2x 2＋ax ＋2>0.(a ∈R )． [解] Δ＝a 2－16，下面分情况讨论：①当Δ<0，即－4<a <4时，方程2x 2＋ax ＋2＝0无实根，所以原不等式的解集为R .②当Δ≥0，即a ≥4或a ≤－4时，方程2x 2＋ax ＋2＝0的两个根为x 1＝14(－a －a 2－16)，x 2＝14(－a ＋a 2－16)．当a ＝－4时，原不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠1}； 当a >4或a <－4时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <14(－a －a 2－16)或x >14(－a ＋a2－16)；当a ＝4时，原不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠－1}．[能力提升练]1．若关于x 的方程x 2＋(a 2－1)x ＋a －2＝0的一根比1小且另一根比1大，则a 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C [令f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋a －2，依题意得f (1)<0，即1＋a 2－1＋a －2<0， ∴a 2＋a －2<0，∴－2<a <1.]2．若不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( ) A ．(－3,0) B ．[－3,0) C ．[－3,0]D ．(－3,0]D [当k ＝0时，显然成立；当k ≠0时，即一元二次不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立，则⎩⎨⎧k ＜0，k 2－4×2k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－38＜0，解得－3＜k ＜0.综上，满足不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立的k 的取值范围是(－3,0]．]3．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a <0的解集是________．(2,3) [由题意，知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的两根，所以由根与系数的关系，得－12＋(－13)＝b a ，－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得a ＝－6，b ＝5.不等式x 2－bx－a <0，即x 2－5x ＋6<0，其解集为(2,3)．]4．不等式2x 2－x <4的解集为________． {x |－1<x <2} [∵2x 2－x <4，∴2x 2－x <22， ∴x 2－x <2，即x 2－x －2<0， ∴－1<x <2.]5．已知f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋4.(1)如果对一切x ∈R ，f (x )>0恒成立，求实数a 的取值范围；(2)是否存在实数a ，使得对任意x ∈[－3,1]，f (x )<0恒成立．若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由．[解] (1)由题意可知，只有当二次函数f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋4与直角坐标系中的x 轴无交点时，才满足题意，则方程x 2＋2(a －2)x ＋4＝0应满足Δ<0，即4(a －2)2－16<0，解得0<a <4. (2)若对任意x ∈[－3,1]，f (x )<0恒成立，则满足题意的函数f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋4的图象如图所示．由图象可知，此时a 应该满足⎩⎨⎧f (－3)<0，f (1)<0，即⎩⎨⎧25－6a <0，1＋2a <0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a >256，a <－12，这样的实数a 是不存在的，所以不存在实数a 满足：对任意x ∈[－3,1]，f (x )<0恒成立．。

[学业水平训练]1．关于x 的方程mx 2＋(2m ＋1)x ＋m ＝0有两个不等的实根，则m 的取值范围是( )A ．(－14，＋∞)B ．(－∞，－14) C ．[－14，＋∞) D ．(－14，0)∪(0，＋∞) 解析：选D.m 应满足⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0Δ>0⇒（2m ＋1）2－4m 2>0， ∴m >－14且m ≠0，故选D. 2．某居民小区收取冬季供暖费，根据规定，住户可以从以下两种方案中任选其一：(1)按照使用面积缴纳，每平方米4元；(2)按照建筑面积缴纳，每平方米3元．李明家的使用面积是60平方米．如果他家选择第(2)种方案缴纳的供暖费不多于按第(1)种方案缴纳的供暖费，那么他家的建筑面积最多不超过( )A ．70平方米B ．80平方米C ．90平方米D ．100平方米解析：选B.根据使用面积应该缴纳的费用为60×4＝240元，设建筑面积为x 平方米，则根据他所选择的方案，知3x －240≤0，所以x ≤80，即建筑面积不超过80平方米．3．某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0<x <240)．若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( )A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台解析：选C.利润S ＝25x －(3 000＋20x －0.1x 2)≥0，其中x >0，解得x ≥150.4．不等式x （x ＋2）x －3＜0的解集为( ) A ．{x |x ＜－2或0＜x ＜3}B ．{x |－2＜x ＜0或x ＞3}C ．{x |x ＜－2或x ＞0}D ．{x |x ＜0或x ＞3}解析：选A.x （x ＋2）x －3＜0⇔x (x ＋2)(x －3)＜0. 如图所示．则x (x ＋2)(x －3)＜0的解集为{x |x ＜－2或0＜x ＜3}，即不等式x （x ＋2）x －3＜0的解集为{x |x ＜－2或0＜x ＜3}． 5．关于x 的方程x 2＋(a 2－1)x ＋a －2＝0的一根比1小且另一根比1大的充要条件是( )A ．－1<a <1B ．a <－1或a >1C ．－2<a <1D ．a <－2或a >1解析：选C.令f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋a －2，则它是开口向上的二次函数，方程的根即是函数与x 轴的交点的横坐标，因此只需f (1)<0，即1＋a 2－1＋a －2<0，∴－2<a <1.6．不等式2x ＋13－x≥1的解集为________． 解析：原不等式可化为2x ＋13－x －1≥0.即3x －23－x ≥0.原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧（3x －2）（x －3）≤0，x ≠3，得23≤x <3.∴原不等式的解集为{x |23≤x <3}． 答案：{x |23≤x <3} 7．某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价格为24 000元，为了减少耕地损失，决定以每年损失耕地价格的t %征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少52t 万亩，为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9 000万元，则t 的取值范围是________．解析：由题意得(20－52t )×24 000×t %≥9 000， 化简得t 2－8t ＋15≤0，解得3≤t ≤5.答案：3≤t ≤58．不等式x 2－9x －2＞0的解集是________． 解析：由x 2－9x －2＞0，得(x ＋3)(x －3)(x －2)＞0， 利用穿针引线法易得－3＜x ＜2或x ＞3.答案：{x |－3＜x ＜2或x ＞3}9．已知不等式x 2－2x ＋3mx 2－mx －1<0对一切x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围． 解：∵x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2>0，∴mx 2－mx －1<0对一切x ∈R 恒成立，∴m ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2－4×m ×（－1）<0. 解得m ＝0或－4<m <0.∴－4<m ≤0.故实数m 的取值范围为(－4，0]．10．一个小服装厂生产某种风衣，月销售量x (件)与售价P (元/件)之间的关系式为P ＝160－2x ，生产x 件的成本R ＝500＋30x 元．(1)该厂的月销售量为多大时，月获得的利润不少于1 300元？(2)当月销售量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少元？解：(1)设该厂的月获利为y ，依题意得：y ＝(160－2x )x －(500＋30x )＝－2x 2＋130x －500，由y ≥1 300知－2x 2＋130x －500≥1 300，∴x 2－65x ＋900≤0，∴(x －20)(x －45)≤0，解得20≤x ≤45，∴当月销售量在20～45件之间时，月获利不少于1 300元．(2)由(1)知y ＝－2x 2＋130x －500＝－2(x －32.5)2＋1 612.5.∵x 为正整数，∴x ＝32或33时，y 取得最大值为1 612元，∴当月销售量为32件或33件时，可获得最大利润1 612元．[高考水平训练]1．设奇函数f (x )在[－1，1]上是增函数，且f (－1)＝－1，若函数f (x )≤t 2－2at ＋1对所有的x ∈[－1，1]都成立，则当a ∈[－1，1]时t 的取值范围是( )A ．－2≤t ≤2B ．－12≤t ≤12C ．t ≤－2或t ＝0或t ≥2D ．t ≤－12或t ＝0或t ≥12解析：选C.依题意f (x )的最大值为f (1)＝1，要使f (x )≤t 2－2at ＋1对所有的x ∈[－1，1]都成立，则1≤t 2－2at ＋1，即t 2－2at ≥0，亦即t (t －2a )≥0，当t ＝0时，不等式成立，当0≤a ≤1时，不等式的解为t ≥2a ≥2；当－1≤a ≤0时，不等式的解为t ≤2a ≤－2.2．若不等式x 2－2ax ＋a >0对一切实数x ∈R 恒成立，则关于t 的不等式at 2＋2t －3<1的解集为________．解析：若不等式x 2－2ax ＋a >0对一切实数x ∈R 恒成立，则Δ＝(－2a )2－4a <0，即a 2－a <0，解得0<a <1，∴不等式at 2＋2t －3<1转化为t 2＋2t －3>0，解得t <－3或t >1.答案：(－∞，－3)∪(1，＋∞)3．已知函数f (x )＝2x2x ＋2. (1)计算f (12＋x )＋f (12－x )的值； (2)设a ∈R ，解关于x 的不等式：f [x 2－(a ＋1)x ＋a ＋12]<12.解：(1)f (12＋x )＋f (12－x )＝1. (2)f (x )＝2x 2x ＋2＝1－22x ＋2，故f (x )在实数集上是单调增函数．由(1)，令x ＝0，得f (12)＝12. 原不等式即为f [x 2－(a ＋1)x ＋a ＋12]<f (12)， ∴x 2－(a ＋1)x ＋a ＋12<12，即(x －a )(x －1)<0. 故当a <1时，不等式的解集为{x |a <x <1}；当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a >1时，不等式的解集为{x |1<x <a }．4．某自来水厂的蓄水池存有400 t 水，水厂每小时可向蓄水池中注水60 t ，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t h 内供水总量为1206t (0≤t ≤24)．(1)从供水开始到第几个小时蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少 t?(2)若蓄水池中水量少于80 t 时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24 h 内，有几个小时出现供水紧张现象？解：(1)设t h 后蓄水池中的水量为y t ，则y ＝400＋60t －1206t ，设6t ＝x ，则x 2＝6t (x ∈[0，12])， ∴y ＝400＋10x 2－120x ＝10(x －6)2＋40.∵x ∈[0，12]，故当x ＝6即t ＝6时，y m in ＝40.即从供水开始到第6 h 时，蓄水池中的水量最少，为40 t.(2)依题意，得400＋10x 2－120x <80，即x 2－12x ＋32<0，解得4<x <8，又x 2＝6t ，∴16<6t <64，∴16<x 2<64，∴83<t <323. 又323－83＝8， 所以每天约有8 h 供水紧张．。

课时分层作业(十八) 一元二次不等式及其解法(建议用时：40分钟)[学业达标练]一、选择题1．不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠－13B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －13≤x ≤13 C ．∅D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＝－13 D [(3x ＋1)2≤0，∴3x ＋1＝0，∴x ＝－13.] 2．若集合A ＝{x |(2x ＋1)(x －3)<0}，B ＝{x |x ∈N *，x ≤5}，则A ∩B 等于( )【导学号：91432284】A ．{1,2,3}B ．{1,2}C ．{4,5}D ．{1,2,3,4,5}B [(2x ＋1)(x －3)<0，∴－12<x <3， 又x ∈N *且x ≤5，则x ＝1,2.] 3．若0<t <1，则不等式(x －t )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1t <0的解集为( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 1t <x <t B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x >1t 或x <t C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <1t 或x >t D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪t <x <1t D [t ∈(0,1)时，t <1t ，∴解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ t <x <1t .] 4．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为－2,3，a <0，那么ax 2＋bx ＋c >0的解集为( )【导学号：91432285】A ．{x |x >3或x <－2}B ．{x |x >2或x <－3}C ．{x |－2<x <3}D ．{x |－3<x <2}C [由题意知，－2＋3＝－b a ，－2×3＝c a，∴b ＝－a ，c ＝－6a ，∴ax 2＋bx ＋c ＝ax 2－ax －6a >0，∵a <0，∴x 2－x －6<0，∴(x －3)(x ＋2)<0，∴－2<x <3.]5．在R 上定义运算“⊙”：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为( )A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1,2)B [根据给出的定义得，x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2＋x －2＝(x ＋2)(x －1)，又x ⊙(x －2)<0，则(x ＋2)(x －1)<0，故不等式的解集是(－2,1)．]二、填空题6．不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(用区间表示)【导学号：91432286】(－4,1) [由－x 2－3x ＋4>0得x 2＋3x －4<0，解得－4<x <1.]7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是________． (－3,1)∪(3，＋∞) [f (1)＝12－4×1＋6＝3，当x ≥0时，x 2－4x ＋6>3，解得x >3或0≤x <1；当x <0时，x ＋6>3，解得－3<x <0.所以f (x )>f (1)的解集是(－3,1)∪(3，＋∞)．]8．已知集合A ＝{x |3x －2－x 2<0}，B ＝{x |x －a <0}，且B ⊆A ，则a 的取值范围为________.【导学号：91432287】(－∞，1] [A ＝{x |3x －2－x 2<0}＝{x |x 2－3x ＋2>0}＝{x |x <1或x >2}，B ＝{x |x <a }．若B ⊆A ，如图，则a ≤1.]三、解答题9．求下列不等式的解集：(1)x 2－5x ＋6>0；(2)－12x 2＋3x －5>0. [解] (1)方程x 2－5x ＋6＝0有两个不等实数根x 1＝2，x 2＝3，又因为函数y ＝x 2－5x ＋6的图象是开口向上的抛物线，且抛物线与x 轴有两个交点，分别为(2,0)和(3,0)，其图象如图(1)．根据图象可得不等式的解集为{x |x >3或x <2}．(2)原不等式可化为x 2－6x ＋10<0，对于方程x 2－6x ＋10＝0，因为Δ＝(－6)2－40<0，所以方程无解，又因为函数y ＝x 2－6x ＋10的图象是开口向上的抛物线，且与x 轴没有交点，其图象如图(2)．根据图象可得不等式的解集为∅.10．解关于x 的不等式x 2－(3a －1)x ＋(2a 2－2)>0.【导学号：91432288】[解] 原不等式可化为[x －(a ＋1)][x －2(a －1)]>0，讨论a ＋1与2(a －1)的大小(1)当a ＋1>2(a －1)，即a <3时，x >a ＋1或x <2(a －1)．(2)当a ＋1＝2(a －1)，即a ＝3时，x ≠a ＋1.(3)当a ＋1<2(a －1)，即a >3时，x >2(a －1)或x <a ＋1，综上：当a <3时，解集为{x |x >a ＋1或x <2(a －1)}，当a ＝3时，解集为{x |x ≠a ＋1}，当a >3时，解集为{x |x >2(a －1)或x <a ＋1}．[冲A 挑战练]1．不等式mx 2－ax －1>0(m >0)的解集可能是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <－1或x >14B ．R C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －13<x <32D ．∅ A [因为Δ＝a 2＋4m >0，所以函数y ＝mx 2－ax －1的图象与x 轴有两个交点，又m >0，所以原不等式的解集不可能是B 、C 、D ，故选A.]2．关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则关于x 的不等式bx 2－ax －2>0的解集为( )【导学号：91432289】A ．{x |－2<x <1}B ．{x |x >2或x <－1}C ．{x |x >1或x <－2}D ．{x |x <－1或x >1}C [∵ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，。

第2课时 一元二次不等式根的分布及实际应用问题课时过关·能力提升1.要使关于x 的方程x 2+(a 2-1)x+a-2=0的一个根比1大,另一个根比1小,则a 的取值范围是( )A.(-1,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-2,1)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)f (x )=x 2+(a 2-1)x+a-2.由题意知,f (1)=1+a 2-1+a-2=a 2+a-2=(a-1)(a+2)<0,则-2<a<1.2.若关于x 的方程9x +(4+a )3x +4=0有解,则实数a 的取值范围为( )A.(-∞,-8]B.(-∞,-8]∪[0,+∞)C.(-∞,-4)D.[-8,4)3x =t ,t ∈(0,+∞),则t 2+(4+a )t+4=0有正数解,所以{Δ=(4+a )2-16≥0,-(4+a )>0,解得a ≤-8.3.若关于x 的方程x 2-(m+3)x+m 2=0有两个不相等的正根,则m 的取值范围是 .x 1,x 2是方程的两根,则由题意知x 1≠x 2,且x 1>0,x 2>0,所以{Δ>0,x 1+x 2>0,x 1x 2>0,即{(m +3)2-4m 2>0,m +3>0,m 2>0,解得-1<m<0或0<m<3.-1,0)∪(0,3)4.某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船,第一年花费各种费用12万元,以后每年都增加4万元,每年捕鱼收益50万元,则第 年开始获利.n 年开始获利,则50n-[98+12n+4+8+…+(n-1)·4]>0,即n 2-20n+49<0,解得10−√51<n <10+√51.因为n ∈N +,所以3≤n ≤17.故第3年开始获利.5.已知集合A={x|x 2+3x-18>0},B={x|(x-k )·(x-k-1)≤0},若A ∩B ≠⌀,求k 的取值范围.A ,B ,即解出一元二次不等式后,根据A ∩B ≠⌀来研究集合端点值的关系,列不等式组求得k 的取值范围.x 2+3x-18>0,得x>3或x<-6,故A={x|x>3或x<-6}.由(x-k )(x-k-1)≤0,得k ≤x ≤k+1,故B={x|k ≤x ≤k+1}.∵A ∩B ≠⌀,作出图形,如图所示,∴k+1>3或k<-6,即k 的取值范围是{k|k<-6或k>2}.A ∩B=⌀时k 的取值范围.由解法一,得A={x|x<-6或x>3},B={x|k ≤x ≤k+1}.若A ∩B=⌀,则{k +1≤3,k ≥-6,即-6≤k ≤2, 故A ∩B ≠⌀的k 的取值范围是{k|k<-6或k>2}.★6.如图所示,将一个矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ,要求点B 在AM 上,点D 在AN 上,且对角线MN 过点C ,已知AB=3,AD=2,要使矩形AMPN 的面积大于32,则DN 的长度应在什么范围内?解设DN=x (x>0),则AN=x+2,由DN AN =DC AM ,得AM =3(x+2)x, 故S 矩形AMPN =AN ·AM =3(x+2)2x (x >0), 由S 矩形AMPN >32,得3(x+2)2x >32(x >0),即3x 2-20x+12>0(x>0),解得0<x <23或x>6,即DN 长度的取值范围是(0,23)∪(6,+∞). ★7.两位同学合作学习,对问题“已知由不等式xy ≤ax 2+2y 2中的数对(x ,y )组成的点在区域Ω={(x ,y )|1≤x ≤2, 2≤y ≤3}中,求a 的取值范围”提出了各自的解题思路.甲说:“寻找x 与y 的关系,再作分析.”乙说:“把字母a 单独放在一边,再作分析.”参考上述思路,或用自己的其他解法,求出实数a 的取值范围.,原不等式可变形为y x ≤a+2(y x )2,记t =y x ,得2t 2-t+a ≥0, 当Ω={(x ,y )|1≤x ≤2,2≤y ≤3}时,1≤t ≤3.令f (t )=2t 2-t+a ,其对称轴为直线t =14,故由{f (1)=2-1+a ≥0,f (3)=18-3+a ≥0,得a ∈[-1,+∞).,原不等式可变形为a ≥xy -2y 2x 2=−2(y x )2+y x =−2(y x -14)2+18, 当Ω={(x ,y )|1≤x ≤2,2≤y ≤3}时,1≤yx ≤3,当y x =1时,(xy -2y 2x 2)max =−1,所以a ∈[-1,+∞).★8.某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为40元/个,出厂价为60元/个,日销售量为1 000个,为适应市场需求,计划提高蛋糕档次,适度增加成本.若每个蛋糕成本增加的百分率为x (0<x<1),则每个蛋糕的出厂价相应提高的百分率为0.5x ,同时预计日销售量增加的百分率为0.8x ,已知日利润=(出厂价-成本)×日销售量,且设增加成本后的日利润为y.(1)写出y 与x 的关系式;(2)为使日利润有所增加,求x 的取值范围.根据日利润=(出厂价-成本)×日销售量列出y 与x 的关系式;(2)日利润有所增加的含义是增加成本后的日利润大于没有增加成本时的日利润,转化为解一元二次不等式.由题意,得y=[60×(1+0.5x )-40×(1+x )]×1 000×(1+0.8x )=2 000(-4x 2+3x+10)(0<x<1).(2)要保证日利润有所增加,则{y >(60-40)×1 000,0<x <1,即{-4x 2+3x >0,0<x <1,解得0<x <34. 所以为保证日利润有所增加,x 的取值范围是(0,34).。

课时分层作业(十八)一元二次不等式及其解法(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．下面所给关于x 的不等式：①2x ＋3<0；②x 2＋mx ＋1>0；③ax 2＋3x －7>0；④x 2－1<0. 其中一定是一元二次不等式的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个B [①2x ＋3<0是一元一次不等式； ②x 2＋mx ＋1>0是一元二次不等式；③当a ＝0时，ax 2＋3x －7>0是一元一次不等式，当a ≠0时，ax 2＋3x －7>0是一元二次不等式；④x 2－1<0是一元二次不等式． 所以一定是一元二次不等式的是②④.]2．二次不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为全体实数的条件是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧ a >0Δ>0B ．⎩⎪⎨⎪⎧ a >0Δ<0C ．⎩⎪⎨⎪⎧a <0Δ>0D ．⎩⎪⎨⎪⎧a <0Δ<0D [二次不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为全体实数等价于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象全部在x 轴下方，需要开口向下，且与x 轴无交点，故需要⎩⎪⎨⎪⎧a <0Δ<0.]3．已知不等式ax 2＋3x －2>0的解集为{x |1<x <b }，则a ，b 的值等于( ) A ．a ＝1，b ＝－2 B ．a ＝2，b ＝－1 C ．a ＝－1，b ＝2 D ．a ＝－2，b ＝1C [由题知⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1＝－3a，b ×1＝－2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.]4．不等式2x ＋1＜1的解集是( ) A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－1,1) A [∵2x ＋1＜1，∴2x ＋1－1＝2－x －1x ＋1＜0，即x －1x ＋1＞0，∴(x －1)(x ＋1)＞0，解得x ＞1或x ＜－1，∴不等式2x ＋1＜1的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．] 5．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1的定义域为实数集R ，则实数a 的取值范围为( )A ．(－2,2)B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2,2]D [由题意知，x 2＋ax ＋1≥0的解集为R ，∴Δ≤0，即a 2－4≤0，∴－2≤a ≤2.] 二、填空题6．不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(用区间表示) (－4,1) [由－x 2－3x ＋4>0得x 2＋3x －4<0，解得－4<x <1.]7．关于x 的不等式(mx －1)(x －2)>0，若此不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1m <x <2，则m 的取值范围是________．(－∞，0) [∵不等式(mx －1)(x －2)>0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1m<x <2， ∴方程(mx －1)(x －2)＝0的两个实数根为1m和2，且⎩⎪⎨⎪⎧m <0，1m<2，解得m <0，∴m 的取值范围是(－∞，0)．]8．方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0的两根都是负数，则m 的取值范围为________． [9，＋∞) [∵⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(m －3)2－4m ≥0，x 1＋x 2＝3－m <0，x 1x 2＝m >0，∴m ≥9.] 三、解答题9．求函数f (x )＝2x 2＋x －3＋log 3(3＋2x －x 2)的定义域．[解] 由函数f (x )的解析式有意义得⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋x －3≥0，3＋2x －x 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧(2x ＋3)(x －1)≥0，(x －3)(x ＋1)<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－32或x ≥1，－1<x <3.因此1≤x <3，所求函数的定义域是[1,3)． 10．解关于x 的不等式2x 2＋ax ＋2>0.(a ∈R )． [解] Δ＝a 2－16，下面分情况讨论：①当Δ<0，即－4<a <4时，方程2x 2＋ax ＋2＝0无实根，所以原不等式的解集为R . ②当Δ≥0，即a ≥4或a ≤－4时，方程2x 2＋ax ＋2＝0的两个根为x 1＝14(－a －a 2－16)，x 2＝14(－a ＋a 2－16)．当a ＝－4时，原不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠1}； 当a >4或a <－4时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <14(－a －a 2－16)或x >14(－a ＋a 2－16)；当a ＝4时，原不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠－1}．[能力提升练]1．若关于x 的方程x 2＋(a 2－1)x ＋a －2＝0的一根比1小且另一根比1大，则a 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C [令f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋a －2，依题意得f (1)<0，即1＋a 2－1＋a －2<0， ∴a 2＋a －2<0，∴－2<a <1.]2．若不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( )A ．(－3,0)B ．[－3,0)C ．[－3,0]D ．(－3,0]D [当k ＝0时，显然成立；当k ≠0时，即一元二次不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立，则⎩⎪⎨⎪⎧k ＜0，k 2－4×2k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－38＜0，解得－3＜k ＜0.综上，满足不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立的k 的取值范围是(－3,0]．]3．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a <0的解集是________．(2,3) [由题意，知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的两根，所以由根与系数的关系，得－12＋(－13)＝b a ，－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得a ＝－6，b ＝5.不等式x 2－bx －a <0，即x 2－5x ＋6<0，其解集为(2,3)．]4．不等式2x 2－x <4的解集为________． {x |－1<x <2} [∵2x 2－x <4，∴2x 2－x <22， ∴x 2－x <2，即x 2－x －2<0， ∴－1<x <2.]5．已知f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋4.(1)如果对一切x ∈R ，f (x )>0恒成立，求实数a 的取值范围；(2)是否存在实数a ，使得对任意x ∈[－3,1]，f (x )<0恒成立．若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由．[解] (1)由题意可知，只有当二次函数f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋4与直角坐标系中的x 轴无交点时，才满足题意， 则方程x 2＋2(a －2)x ＋4＝0应满足Δ<0，即4(a －2)2－16<0，解得0<a <4.(2)若对任意x ∈[－3,1]，f (x )<0恒成立，则满足题意的函数f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋4的图象如图所示．由图象可知，此时a 应该满足⎩⎪⎨⎪⎧f (－3)<0，f (1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧25－6a <0，1＋2a <0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a >256，a <－12，这样的实数a 是不存在的，所以不存在实数a 满足：对任意x ∈[－3,1]，f (x )<0恒成立．。