历届2+2高等数学试卷及评分标准

----------------------2009年浙江省普通高校“2+2”联考《高等数学》试卷-------------------第 页，共 12 页1 2009年浙江省普通高校“2 + 2”联考《 高等数学 》试卷考试说明：1、考试时间为150分钟；2、满分为150分；3、答案请写在试卷纸上，用蓝色或黑色墨水的钢笔、圆珠笔答卷，否则无效；4、密封线左边各项要求填写清楚完整。

一、填空题：（只需在横线上直接写出答案，不必写出计算过程，本题共有6个小题，每一小题4分，共24分）1．函数 11,,)1ln()(<≥++⋅⎩⎨⎧=x x eb x a x f x在 1=x 处可导 ，则 a = ， b = .2．若函数 0)(≠x f 满足方程 1)(2)(02+=⎰xdt t f x f ，则 )(x f = .3 . 二阶常系数线性非齐次微分方程 x y y sin ''=+ 的通解是 . 4．设 ,,),,(αααT A c b a == *A 为 A 的伴随矩阵, 则 *A = .5．设 A 为 n 阶方阵，E E AA T,= 为 n 阶单位阵, 0<A , 则 =+E A .6. 袋中有6只红球4只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，则得分不小于7的概率为 .二．选择题. （本题共有5个小题，每一小题4分，共20分，每个小题给出的选项中，只有一项符合要求）1．二元函数 y x y x y x f ln ln 22),(22--+= 在其定义域内 ( ) .（A ） 有极小值（B ） 有极大值 （C ） 既有极大值也有极小值 （D ） 无极值姓名：_____________准考证号：______________________报考学校 报考专业------------------------------------------------------------------------------------------密封线---------------------------------------------------------------------------------------------------第 页，共 12 页2 2. R 为收敛半径的充分必要条件是 ( ) .（A ）当 R x ≤ 时，∑+∞=1n nn x a 收敛，且当 R x > 时∑+∞=1n nn x a 发散（B ） 当 R x < 时，∑+∞=1n nn x a 收敛，且当 R x ≥ 时∑+∞=1n nn x a 发散（C ）当 R x < 时，∑+∞=1n nn x a 收敛，且当 R x > 时∑+∞=1n nn x a 发散（D ）当 R x R ≤<- 时，∑+∞=1n nn x a 收敛，且当 R x > 或 R x -≤ 时∑+∞=1n nn x a 发散3．已知二元函数 ),(y x f 在点 )0,0( 某邻域内连续 ， 且 1),(lim223300=+++→→yx yx y x f y x ，则（ ）.（A ） 点 )0,0( 不是二元函数 ),(y x f 的极值点 （B ） 点 )0,0( 是二元函数 ),(y x f 的极大值点 （C ） 点 )0,0( 是二元函数 ),(y x f 的极小值点 （D ） 无法判断点 )0,0( 是否是二元函数 ),(y x f 的极值点 4．对于非齐次线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212*********以下结论中 不正确 的是 ( ).(A) 若方程组无解, 则系数行列式 0=D (B) 若方程组有解, 则系数行列式 0≠D (C) 若方程组有解, 则或有唯一解, 或有无穷多解 (D) 0≠D 是方程组有唯一解的充分必要条件5. 某单位电话总机在长度为 t (小时) 的时间间隔内, 收到呼叫的次数服从参数为3t 泊松分布, 而与时间间隔的起点无关, 则在一天24小时内至少接到1次呼叫的概率为 ( ).第 页，共 12 页3 (A) 1-e (B) 41--e (C) 8-e (D) 8-1-e三．计算题：（计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分,本题共7个小题，每小题9分，共63分）1. 已知 )ln 2ln (2),(y x y x y x f z +⋅+== ，在计算点 )1,2( 处函数值时，如果自变量 x 和 y 分别发生误差 02.0-=∆x 和 01.0=∆y ， 试用二元函数的微分来估计此时产生的函数值误差 z ∆ 的近似值 .2．设函数 )(x f 在点 0=x 的邻域内 连续，极限 ])1ln(2)(3[lim 2xx xx f A x ++-=→存在 ，（1）求 )0(f 的值； （2）若 1=A ，问：)(x f 在点 0=x 处是否可导？ 如不可导，说明理由；如可导，求出 )0('f .第 页，共 12 页43. （1）已知广义积分dx ex2-+∞∞-⎰是收敛的，试利用初等函数 xe 的幂级数展开式推导出这个广义积分的值大于1 的结论 ，详细说明你的理由（4 分） ；（2） 利用（1） 的结论，试比较dx ex xx 222)2(+-+∞⋅-⎰与dx ex xx 2212)2(+-⋅-⎰的大小 ，详细说明你的理由 （5 分） .第 页，共 12 页54．已知定义在全平面上的二元函数 32),()1(),(),(2+⋅++⋅=⎰⎰⎰Dd y x f x dx y x x f y x f σ ，其中 D 是由直线 x y =， 1=y 和 y 轴所围成的封闭平面区域，求 ),(y x f 的解析表达式 .___________准考证号：______________________报考学校 报考专业：-------------------------------------------------------------------密封线---------------------------------------------------------------------------------------------------第 页，共 12 页6 5．计算行列式aa a a a a a a a --------111010000011000110001 的值 .第 页，共 12 页7 6．已知 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=20120031204312,10110001100011C B , 矩阵 A 满足 : E C B CE A TT=--)(1, E 为单位阵 , 求 A .第 页，共 12 页8 7．设随机变量 ),(Y X 的概率密度函数为 ⎩⎨⎧>>⋅=+-其它,00,0,),()(y x e A y x f y x ,求 : (1) 常数 A （2分） ； (2) ),(min Y X Z = 的概率密度函数 （4分） ；（3）),(Y X 落在以 x 轴 , y 轴及直线 22=+y x 所围成三角形区域D 内的概率 （3分）.第 页，共 12 页9四．应用题： （本题共3个小题，每小题10分，共30分）1. 设工厂生产 A 、B 两种相同用途但不同档次的产品。

2002年江苏省高等数学竞赛试题（本科一级）一.填空（每题5分，共40分）1.()tan 0lim0x xk x e e c c x →-=≠，则k =3，c =132. 设()f x 在[)1,+∞上可导，下列结论成立的是 C A. 若()lim 0x f x →+∞'=，则()f x 在[)1,+∞上有界B. 若()lim 0x f x →+∞'≠，则()f x 在[)1,+∞上无界C. 若()lim 1x f x →+∞'=，则()f x 在[)1,+∞上无界3. 设由()1y e x y x x -+-=+确定()y y x =，则()0y ''=3-4.arcsin arccos x xdx ⋅=⎰arcsin arccos arcsin )2x x x x x x C ⋅+-++5. 曲线22222z x y x y y ⎧=+⎨+=⎩，在点()1,1,2的切线的参数方程为1122x y t z t=⎧⎪=+⎨⎪=+⎩6.设(),sin x y z f g e y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，f 有二阶连续导数，g 有二阶连续偏导数，则2z x y ∂=∂∂12321cos xy f f g y e x x'''--+⋅ 7. 交换二次积分的次序()2130,xx dx f x y dy -=⎰⎰12133012(,)(,)(,)ydy f x y dx dy f x y dx dy f x y dx -++⎰⎰⎰⎰⎰8.幂级数111112n n x n∞=+++∑的收敛域[1,1)-二.（8分）设40tan n n I xdx π=⎰，求证()()()1122121n I n n n <<≥+-证：令tan x t =，1120011tan 12222n nnn t t I xdx dt dt t t n n π==<=<+-⎰⎰⎰，(2)n ≥ 11220011112(1)n nn t t I dt dt t n =>=+++⎰⎰ 三.（8分）设()f x 在[],a b 上连续，()()0bbx aaf x dx f x e dx ==⎰⎰，求证: ()f x 在(),a b 内至少存在两个零点. 解：令()()xaF x f t dt =⎰，()a x b ≤≤，则()()0F a F b ==，且()()F x f x '=。

2005年浙江省普通高校“2+2”联考《高等数学B 》试卷一、填空题：（ 8*3）1．若 0)1ln()2(lim≠=+⋅-⎰→k xdtt t x nxx , 则自然数 n = .2．=⋅--++⋅-⋅+⋅--++∞→])2()!12()1()2(!71)2(!51)2(!312[lim 121753n n n n πππππΛ . 3 . =++-⎰21010cos sin 1cos sin πdx x x xx . 4. 已知 x xe ex y 4)23(2+⋅+= 是二阶常系数非齐次线性微分方程x e c by ay y 2'''⋅=++ 的一个特解，则该方程的通解是5． 已知 A ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡252321100001 ， A * 为 A 的伴随阵，则 ()1*-A = 6．已知三元非齐次线性方程组 A Ⅹ＝b ，A 的秩 r (A) = 1 ；α1 、α2 、α3 是该线性方程组的三个解向量，且α1＋α2＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101，α2＋α3＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡531，α3＋α1＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡212该非齐次线性方程组的通解 7．设方程 02=++βαx x 中的 α 和β 分别是连续抛掷一枚骰子先后出现的点数，则此方程有实根的概率为 .8．已知男性中有 5％ 为色盲患者，女性中有 0.25％ 为色盲患者，今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，其恰好是色盲患者，则此人是男性的概率为 二．选择题. （8*3） 1．设函数 xx x f 1)(-=, 则正确的结论是（A ） 1=x 是 )(x f 的极值点，但 )0,1( 不是曲线 )(x f y = 的拐点； （B ） 1=x 不是 )(x f 的极值点，但 )0,1( 是曲线 )(x f y = 的拐点； （C ） 1=x 是 )(x f 的极值点，且 )0,1( 是曲线 )(x f y = 的拐点；（D ） 1=x 不是 )(x f 的极值点，)0,1( 也不是曲线 )(x f y = 的拐点.2. 设二元函数 ),(y x f 在点 )1,1( 处可微，1)1,1(')1,1(')1,1(===y x f f f ，又知)),(,(x x f x f z =，则1=x dxdz =（ ）.（A ） 1 （B ） 2 （C ） 3 （D ） 4 3．下列命题中正确的结论是 ( ) .（A ） 若∑+∞=1n n u 发散 ，则∑+∞=+-11)1(n n n u 必发散 ；B ） 若∑+∞=+-11)1(n n n u 发散 ，则 ∑+∞=1n n u 必发散 ；C ） 若∑+∞=14n nu发散 ，则∑+∞=1n n u 必发散(D ） 若 1lim 1>++∞→nn n u u, 则∑+∞=14n nu必发散.4．下列等式成立的是 （ ）.（A ） 若⎰+∞)(dx x f 和 ⎰∞-0)(dx x f 均发散，则 ⎰+∞∞-dx x f )( 必发散 ；（B ） 若⎰+∞0)(dx x f 和 ⎰+∞0)(dx x g 均发散，则 ⎰+∞+0)]()([dx x g x f 必发散 ；（C ） 若⎰+∞)(dx x f 和 ⎰+∞)(dx x g 均发散，则 ⎰+∞⋅0)]()([dx x g x f 必发散 ；（D ） 若⎰+∞)(dx x f 收敛， ⎰+∞)(dx x g 发散，则 ⎰+∞⋅0)]()([dx x g x f 必发散 .5．设二次型 32312123222142244x x x x x x x x x f +-+++=λ 为正定二次型 ，则λ 的取值范围为（ ）.（A ）1<λ （B ）2->λ（C ）22<<-λ （D ）12<<-λ6．设随机变量 ξ～N （μ，52），η～N （μ，42），概率值 )5(1+<=μξP P , )4(2->=μξP P ，则下式（ ）是正确的 . （A ）对任意μ 均有 21P P = （B ）对任意 μ 均有 21P P <（C ）对任意μ 均有 21P P > （D ）只对 μ 的个别值有 21P P =7．一个复杂的系统由 100 个相互独立起作用的部件组成，在整个运行期间，每个部件损坏的概率为 0.1 ，为了使整个系统起作用，至少必须有 85个部件正常工作，则整个系统起作用的概率约为（ ）.（ )(x Φ 为标准正态分布函数）（A ）)1(Φ （B ）1－)1(Φ （C ）)34(Φ （D ）)35(Φ 8．已知随机向量（ξ，η）的联合密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<--=其它，，04220)6(81),(y x y x y x f则概率值 P （4≤+ηξ）＝（ ） （A ）21 （B ）32 （C ）83 （D ）43三．计算题：（9*7）1． 计算极限 )]1sin 1([lim 2xx x x ⋅-∞→ .2.)0(4>+=x xb ax y 与 x a b y ln 3-= 在 1=x 处垂直相交（即它们在交点处的切线相互垂直），求常数 a 与 b 值.3. 计算二重积分 )(31σd y x x I D⎰⎰+= ，其中 D 为直线 1=+y x ，0=x和 0=y 所围成的平面区域 . 4．设函数 a x x y --=sin 2 在 )2,0(π 内有且仅有1个零点，求正数 a 的取值范围 .5．设函数 )(x f 在 ),(+∞-∞ 上可导 ，且满足dt t f x f x dt t x f x)()1(1)(01⎰⎰-+=+++ ， 求)(x f 的表达式 .6．已知矩阵 A ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡011101110，B ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111011001 ，且矩阵 P 满足 E BPA APB BPB APA ++=+ ，其中 E 为单位阵 ，求 P7．已知矩阵A ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡60002282x 相似于对角阵 Λ，试求常数 x ，并求可逆阵 P ，使 Λ=-AP P 1.8．设随机变量 ξ 的密度函数为 ⎩⎨⎧<<=其它10)(2x ax x f ， 求（1）常数 a ； （2） ξ 的期望 ξE 和方差 ξD ； （3） 2ξ 的概率密度函数； （4） 概率值 )2(=ηP ，其中 η 表示对 ξ 的三次独立重复观察中事件 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤21ξ 出现的次数. 9．已知随机向量 （ξ，η） 的联合分布律为η－1 1 2 ξ－1 0.25 0.1 0.32 0.15 0.15 0.05求（1ηξ+ 的分布律； （2）在 η＝－1 条件下 ξ 的分布律（3）期望值 )(ηξ⋅E .四．应用题： （3*8）1．为销售某产品，拟作电视和电台广告宣传，当电视广告与电台广告宣传费分别为 和 y （万元）时，销售量为yyx x +++10725100（吨）. 若该产品每吨销售价为2000元 . 问： 1） 如要使总广告费不超过 10 万元 ，应如何分配电视与电台广告费 使广告产生的利润最大 ？最大利润是多少 ？2）如总广告费恰好是 4.8 万元 ，又应如何分配电视与电台广告费 ，使广告产生的利润最大 ？最大利润是多少2．设 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2111ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=112k ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=113k ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=c b a η ； 问：（1）在什么条件下，η 可由 1ξ，2ξ，3ξ 线性表示 ，且表法唯一 ？ （2）在什么条件下，η 可由 1ξ，2ξ，3ξ 线性表示 ，表法不唯一 并写出不同的表示式 .（3）在什么条件下 ，η 不能由 1ξ，2ξ，3ξ 线性表示 ？3．设自动生产线加工的某种零件的内径 ξ ～ )1,(μN ；内径小于 10 或者大于12 的为不合格品 ，其余为合格品 ，销售每件合格品可获利 20 元 ，销售每件不合格品要亏损 ，其中内径小于 10 的亏 1 元 ，内径大于12 的亏 5 元 ，求平均内径 μ 取何值时 ，销售一个零件的平均利润最大 ?五．证明题： （ 8*7） 1． 证明： （1） 若级数)0()1(11>⋅-∑+∞=+n n n n a a 绝对收敛 ，则级数∑+∞=-112n n a是收敛级数 ；（2） 若级数)0()1(11>⋅-∑+∞=+n n n n a a 条件收敛 ， 则级数∑+∞=-112n n a是发散级数 .2． 设向量 1ξ ，2ξ ，…… ，r ξ 是线性方程组 0=AX 的一个基础解系 ，向量 η 不是 0=AX 的解向量 证明向量组 η，1ξη+ ，2ξη+ ，…… ，r ξη+ 线性无关 .2006年浙江省普通高校“2 + 2”联考《 高等数学B 》试卷一、填空题：（ 8*3，共24分） 1．函数 xx y 23)2(+=的渐近线有2．设 1)23()2)(2(lim )(22+++-+-=+∞→x x n x x n x f n ，则 )(x f 的第一类间断点是 .3 . 设 yxe x e y y x xy z ++⋅-++⋅=)21ln()1()tan()sin( ， 则=∂∂)1,0(y z .4. 二阶常系数非齐次线性微分方程 xe xy y y =--2''' 特解猜想的试解形式是 5． 袋中有10个新球和2个旧球，每次取一个，取后不放回，则第二次取出的是旧球的概率 p = 。

212111-==⎩⎨⎧⇒b a 2005年高等数学（B ）答案及评分标准： 一. 填空题 ( 每题 3 分 ) 1. 3 2. 12sin=π3. 04. x x x xe e C e C 22212++5．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----1040620004 6．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=X 11011343221k k 7． 19/36 8． 20/21二．选择题 ( 每题 3 分 )1． C 2. C 3. D 4. A5 D6 A7 D8 B三．计算题 ( 每题 7 分 )1．3012sin lim )]1sin 1([lim ttt x x x t xt x -=⋅-→=∞→ 分3ΛΛΛΛ 203cos 1limt tt -=→ 分5ΛΛΛΛt tt 6sin lim 0→= 分6ΛΛΛΛ61= 分7ΛΛΛΛ2．b a a b ba -=⇒-=+⋅1ln 3141 ； 分2ΛΛΛΛ 11)'ln 3()'4(==-=+x x x ab x bax 分4ΛΛΛΛa b -=-4 分5ΛΛΛΛa b ba -=--=⎩⎨⎧4 分6ΛΛΛΛ或212122=-=⎩⎨⎧b a 分7ΛΛΛΛ3． 解法一 画出区域 D 的示意草图 分1ΛΛΛΛrdr d d y x xI D⋅+=+=⎰⎰⎰⎰+31sin cos 123)sin cos cos ( θθθθσθθπ分3ΛΛΛΛ )sin (cos 1)sin cos cos (2120231⎰+⋅+=πθθθθθθd 分4ΛΛΛΛ )sin cos cos ()sin cos cos (21231⎰+⋅+-=πθθθθθθd 分5ΛΛΛΛ210131sin cos cos ⎰⋅-=+=dtt t θθθ 分6ΛΛΛΛ 83=分7ΛΛΛΛ 解法二 画出区域 D 的示意草图 分1ΛΛΛΛdy y x x dx d y x x I xD3110103)( +=+=⎰⎰⎰⎰-σ 分4ΛΛΛΛ dx x x dx y x x x)(23)(23103110103231-=+⋅=⎰⎰- 分6ΛΛΛΛ83= 分7ΛΛΛΛ4．]2,0[,sin 2)(π∈--=x a x x x fa f a f --=<-=22)2(,0)0(ππ 分1ΛΛΛΛ40cos 21)('0π=⇒=-=x x x f 分2ΛΛΛΛ2440,,00)('πππ<<<<><⎩⎨⎧=x x x f 2440,,)(πππ<<<<⎩⎨⎧=⇒x x x f 递增递减 分3ΛΛΛΛ（1） 当 22-≥πa 时，022)2(≤--=a f ππ 分4ΛΛΛΛ 内无零点；）（在2,0sin 2)(πa x x x f --= 分5ΛΛΛΛ （2） 当 220-<<πa 时，022)2(>--=a f ππ 分6ΛΛΛΛ 内有且只有一个零点；）（在2,0sin 2)(πa x x x f --=所以本题答案是： 220-<<πa 。

2006—2007学年第二学期 高等数学（2-2）期末试卷(A)参考答案一、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）. 1．设三向量→→→c b a ,,满足关系式→→→→⋅=⋅c a b a ，则（ D ）. （A ）必有→→=0a 或者→→=c b ； （B ）必有→→→→===0c b a ； （C ）当→→≠0a 时，必有→→=c b ； （D ）必有)(→→→-⊥c b a . 2. 已知2,2==→→b a ，且2=⋅→→b a ，则=⨯→→b a （ A ）.（A ）2 ； （B ）22； （C ）22； （D ）1 . 3. 设曲面)0,0(:2222>≥=++a z a z y x S ，1S 是S 在第一卦限中的部分，则有（ C ）.（A ）⎰⎰⎰⎰=14S SxdS xdS ； （B ）⎰⎰⎰⎰=14S SxdS ydS ；（C ）⎰⎰⎰⎰=14S SxdS zdS ； （D ）⎰⎰⎰⎰=14S SxyzdS xyzdS .4. 曲面632222=++z y x 在点)1,1,1(--处的切平面方程是：（D ）. （A ）632=+-z y x ； （B ）632=-+z y x ； （C ）632=++z y x ； （D ）632=--z y x .5. 判别级数∑∞=⋅1!3n nn n n 的敛散性，正确结果是：（ B ）.（A ）条件收敛； （B ）发散；（C ）绝对收敛； （D ）可能收敛，也可能发散.6. 平面0633=--y x 的位置是（B ）.（A ）平行于xoy 平面； （B ）平行于z 轴，但不通过z 轴； （C ）垂直于z 轴 ； （D ）通过z 轴 .二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）. 1. 已知xy e z =，则2x xdy ydx e dz xy -⋅-=.2. 函数zx yz xy u ++=在点)3,2,1(P 处沿向量→OP 的方向导数是71411，函数u 在点P 处的方向导数取最大值的方向是}3,4,5{，该点处方向导数的最大值是25.3. 已知曲线1:22=+y x L ，则π2)(2=+⎰Lds y x .4. 设函数展开傅立叶级数为：)(,cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，则12=a .三、解答下列各题（本题共7小题，每小题7分，满分49分）. 1. 求幂级数∑∞=+01n nn x 收敛域及其和函数. 解 nn n a a 1lim+∞→ ,121lim =++=∞→n n n ∴收敛半径为1， 当1=x 时，级数∑∞=+011n n 发散，当1-=x 时，级数∑∞=+-01)1(n nn 收敛， 故所求的收敛域为)1,1[-；令;)1,1[,1)(0-∈+=∑∞=x n x x S n n于是.1,1)(01<+=∑∞=+x n x x S x n n 逐项求导，得.1,11)1(])([001<-=='+='∑∑∞=∞=+x x x n x x S x n n n n.1),1ln(1])([)(00<--=-='=∴⎰⎰x x t dtdt t tS x xS x x1,)1ln(1)(<--=∴x x xx S 且.0≠x而,2ln )1ln(1lim )(lim )1(11=--==-++-→-→x x x S S x x 1)0(=S ，故⎪⎩⎪⎨⎧=<<<≤---=.01,1001,)1ln()(x x x xx x S 2. 计算二重积分⎰⎰≤++42222y x y xdxdy e.解 令⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x ，则⎰⎰≤++42222y x y x dxdy e⎰⎰=20202rdr e d r πθ ⎰=22)(2r d e r π202r eπ=).1(4-=e π3. 已知函数),(y x f z =的全微分ydy xdx dz 22-=，并且2)1,1(=f . 求),(y x f z =在椭圆域}14),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值.解 由,22ydy xdx dz -=得),1(2x xf=∂∂ ),2(2y y f -=∂∂)1(两边关于x 积分，得)(2),(y C xdx y x f +=⎰)(2y C x +=，此式两边关于y 求偏导，再由)2(知,2)(y y C -=',)(2C y y C +-=⇒.),(22C y x y x f +-=∴ 由2)1,1(=f 知，2=C ,故.2),(22+-=y x y x f令,0202⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=∂∂==∂∂y yf x x f得驻点)0,0(在D 内部，且2)0,0(=f ，在D 的边界1422=+y x 上：.11,252)44(222≤≤--=+--=x x x x z 其最大值是,3)0,1(1=±=±=f z x 最小值是2)2,0(0-=±==f z x ；故),(y x f z =在椭圆域}14),{(22≤+=y x y x D 上的最大值是3}2,3,2max{=-， 最小值是.2}2,3,2min{-=-.4. 设Ω是由4,22=+=z y x z ，所围成的有界闭区域，计算三重积分⎰⎰⎰Ω++dxdydz z y x)(22.解 令,sin cos ⎪⎩⎪⎨⎧===z z r y r x θθ则.4,20,20:2≤≤≤≤≤≤Ωz r r πθ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=++∴Ω422020222)()(rdz z r rdr d dxdydz z y x πθ⎰⎰+=42202)(2rdz z r rdr π⎰==+=204222]2[2dr z z r r z r z π⎰-+=2053)2384(2dr r r r π.32]44[220624ππ=-+=r r r 5. 设AB L 为从点)0,1(-A 沿曲线21x y -=到点)0,1(B 一段曲线，计算⎰++ABL y x ydy xdx 22. 解 ⎩⎨⎧-=-=≤≤-==,2,1.11,,:2xdx dy x y x dx dx x x L AB.0)1()2)(1(11222222=-+--+=++∴⎰⎰-dx x x x x x y x ydy xdx ABL6. 设∑是上半球面221y x z --=的下侧，计算曲面积分⎰⎰∑++-+dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz)2()(2322.解 ,2,,2322z y xy R z y x Q xz P +=-== ,222z y x zRy Q x P ++=∂∂+∂∂+∂∂ 作.1,0:22≤+=∑y x z 上补与下∑所围成的立体为Ω，由高斯公式，⎰⎰∑++-+dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz )2()(2322 ⎰⎰∑+∑++-+=上补下dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz )2()(2322⎰⎰∑++-+-上补dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz )2()(2322⎰⎰⎰⎰⎰≤+Ω⋅+---∂∂+∂∂+∂∂-=1222)02(00y x dxdy y xy dxdydz z R y Q x P ）（000222---++-=⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x ）（（作球面坐标变换）⎰⎰⎰⋅-=1222020sin ρϕρρϕθππd d d .52sin 21420πρρϕϕππ-=-=⎰⎰d d 7. 将函数61)(2--=x x x f 展开成关于1-x 的幂级数 .解.1,110<=-∑∞=x x x n n.1,)1(110<-=+∑∞=x x x n n n )2131(51)3)(2(161)(2+--=-+=--=∴x x x x x x x f ]3)1(12)1(1[51+----=x x]311131211121[51-+⋅---⋅-=x x ]311131211121[51-+⋅+--⋅-=x x∑∞=+--=012)1(51n n n x ∑∞=+---013)1()1(51n n nn x ( 121<-x 且131<-x ) 21,)1](3)1(21[51011<---+-=∑∞=++x x n n n nn 即).3,1(-∈x四、证明题（7分）. 证明不等式:2)sin (cos 122≤+≤⎰⎰Dd x yσ，其中D 是正方形区域：.10,10≤≤≤≤y x证D 关于y x =对称，⎰⎰∴Dd yσ2(cos ⎰⎰=D d x σ2cos ，⎰⎰+∴Dd x y σ)sin (cos 22.)sin (cos 22⎰⎰+=Dd x x σ又 ),4sin(2)cos 21sin 21(2cos sin 22222π+=+=+x x x x x而,102≤≤x ,2)4sin(22212≤+≤=∴πx 即 ,2cos sin 122≤+≤x x,22)cos (sin 1122=≤+≤⋅=∴⎰⎰⎰⎰⎰⎰DDDd d x x d σσσ即 .2)sin (cos 122≤+≤⎰⎰Dd x y σ2007—2008学年第二学期 高等数学（2-2）期末试卷(A)参考答案一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在指定位置上. 1. 平面1:0y z -=∏与平面2:0x y +=∏的夹角为3π.2. 函数22y x z +=在点)2,1(处沿从点)2,1(到点)32,2(+的方向的方向导数为321+.3. 设(,)f x y 是有界闭区域222:a y x D ≤+上的连续函数，则当0→a 时，=⎰⎰→Da dxdy y x f a ),(1lim20π)0,0(f .4. 区域Ω由圆锥面222x y z +=及平面1=z 围成，则将三重积分f dv ⎰⎰⎰Ω在柱面坐标系下化为三次积分为211()πθ⎰⎰⎰rd dr f r rdz .5. 设Γ为由曲线32,,t z t y t x ===上相应于t 从0到1的有向曲线弧，R Q P ,,是定义在Γ上的连续三元函数，则对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分有：Pdx Qdy Rdz Γ++=⎰6. 将函数()1(0)f x x x π=+≤≤展开成余弦级数为)0()5cos 513cos 31(cos 412122πππ≤≤+++-+=+x x x x x .二、单项选择题：7~12小题，每小题3分，共18分。

《高等数学》试卷（C ）(2)参考答案及评分标准一、单项选择题（每题3分，共15分）1、B2、C3、C4、D5、 B 二、填空题（每空3分，共15分）1、922、1-3、44200(,)ydy f x y dx -⎰⎰ 4、12a a - 5、24cos xy x三、计算题（共63分） 1．解：21ln ex xdx ⎰311ln 3e xdx =⎰33111(ln )13e e x x x dx x =-⎰ （+4分） 32331111()((1))333e e x dx e e =-=--⎰32199e =+ (+3分)2．解：设2ln(1)z v u =+ ，,u xy v x y ==+，求2zx y∂∂∂z z u z v x u x v x∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂222222()ln(1)1xy x y x y x y =++++ (+4分) 2z x y ∂=∂∂222222(()ln(1))1xy x y x y y x y∂+++∂+ 222222222222224(1)222()1(1)1xy xy x y xy x y x y x y x y x y x y +-=++++++ 22222(3)2()(1)x y xy x y x y +=++ （+3分）3．解：因 112()dxdx xx y ex e dx c ---⎰⎰=+⎰ ln 2ln ()x x e x e dx c -=+⎰21()2x x c =+ (+4分)11|1,2x y C ===由得 ， 故方程的特解为21(1)2y x x =+ （+3分）4. 解：21122221x Dx y dxdy x dx y dy -=⎰⎰⎰⎰12811()3x x dx -=-⎰ （+4分）39111114()33927x x -=-=(+3分)5. 解：方程的特征方程为：2420r r -+=，其特征根为1,22r = （+4分）故方程的通解为：(2(212xxy c e c e =+ (+3分)6．解：曲线()x f y =绕y 轴旋转所得体积为 2dcV x dy π=⎰，且曲线214x y y =-与y 轴上的交点为120,4y y == （+4分） 所以44222345400111132()()43816515V x dy y y dy y y y ππππ==-=-+=⨯⎰⎰ (+3分) 7．解：20x x →=34241sin 2limx x x x x +→ （+3分） 242021sin lim xx x x +=→21121sin lim 4220=+=→x x x x (+4分) 8．解：设长方体的长、宽、高分别为,x y ,z ，则长方体的体积为 V xyz =，而有条件 2()4xy yz zx ++=，即设(,,,)(2()4)F x y z xyz xy yz zx λλ=-++-， (+3分)则2()02()02()02()40x y z F yz y z F yz x z F xy x y F xy yz zx λλλλ=-+=⎧⎪=-+=⎪⎨=-+=⎪⎪=++-=⎩，求解以上方程组得x y z ===V = (+4分)9、设 =)(x s 21121n n x n -∞=-∑，则 ∑∑∞=∞=-=='02122)()(n nn n x x x s 2211lim x x n n --=∞→ (+3分)当1x <时级数 ++++753753x x x x 收敛， 故=')(x s 211x- 所以两边积分得 ()s x =xx-+11ln 21 (+4分) 四、证明题（共7分） 证明：21()nn n ab ∞=+∑221112n n n n n n n a b a b ∞∞∞====++∑∑∑2222111()n n n n n n n a b a b ∞∞∞===≤+++∑∑∑22112()n n n n a b ∞∞===+∑∑， .(+3分)因级数正项级数1nn a∞=∑与1nn b∞=∑都收敛，故存在N ，当n N >时有1,1n n a b <<，即当n N>时有22,n n n n a a b b <<，21()nn n ab ∞=+∑22221111112()2()2()NNn n n n n nn n n n n N n N a b a b a b ∞∞∞∞=====+=+≤+≤+++∑∑∑∑∑∑112()n n n n M a b ∞∞==≤++∑∑，其中112()NNn n n n M a b ===+∑∑可得级数21()nn n ab ∞=+∑也收敛 .(+4分)证法2：因级数正项级数1nn a∞=∑与1nn b∞=∑都收敛，故有lim 0,lim 0n n n n a b →∞→∞==，且1()nn n ab ∞=+∑也收敛。

高二数学试题参考答案及评分标准(理科)一、选择题：(每小题5分，满分50分)CDBAD CBDCA二、填空题：(每小题5分，满分25分)11.真 12.90 13.③④三、解答题(本大题共6小题，满分75分)16.解：∵直线3470x y +-=的斜率为34-，∴直线l 的斜率为34-. ………(3分) 设直线l 的方程为34y x b =-+，令0y =，得43x b =；令0x =，得y b =. ………(7分) 由于直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积是24， ∴142423S b b =⋅||⋅||=，解得6b =±， ………(10分) ∴直线l 的方程是364y x =-±(或34240x y +±=). ………(12分) 17.证明：⑴(必要性)∵⊿ABC 三个内角成等差数列，不妨设这三个内角依次为B B B αα-+，，， 由()()180B B B αα-+++= ，得60B = ，∴⊿ABC 有一个内角等于60 . …………(5分) ⑵(充分性)若ABC ∆有一个内角为60 ，不妨设60B = ，则180601202A C B +=-== ， ∴A B B C -=-，∴三个内角A B C ，，成等差数列. …………(10分) 综合⑴⑵得，⊿ABC 三个内角成等差数列的充要条件是有一个内角等于60 . …………(12分) (说明：混淆了必要性与充分性，或未注明必要性与充分性，扣4分)18.证明：⑴∵BC ABE ⊥平面，AE ABE ⊂平面，∴AE BC ⊥.又∵BF ACE ⊥平面，AE ACE ⊂平面，∴AE BF ⊥. …………(3分) ∵BF BC B = ， ∴AE BCE ⊥平面.又∵BE BCE ⊂平面，∴AE BE ⊥． …………(6分) ⑵取DE 的中点P ，连接PA PN ，.∵点N 为线段CE 的中点，∴PN ∥DC ，且12PN DC =. …………(8分) 又∵四边形ABCD 是矩形，点M 为线段AB 的中点，∴AM ∥DC ，且12AM DC =， ∴PN ∥AM ，且PN AM =，∴四边形AM NP 是平行四边形，∴MN ∥AP . …………(10分) ∵AP ⊂平面DAE ，M N ⊄平面DAE ，∴MN ∥平面DAE ． …………(12分)19.解：∵OM ON CM CN ==，，∴OC 垂直平分线段MN . ……………(4分)∵2MN k =-，∴12OC k =，∴直线OC 的方程是12y x =， ∴212t t =，解得2t =或2t =-. ……………(8分)⑴当2t =时，圆心C 的坐标为(2，1)，半径OC =||此时圆心C 到直线24y x =-+的距离d ==<C 相交，符合题意.⑵当2t =-时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，半径OC =||此时圆心C 到直线24y x =-+的距离d ==>，直线与圆C 相离，不符合题意.………………(11分)综合⑴⑵得，圆C 的方程为22(2)(1)5x y -+-=. ………………(12分)20.解：⑴如图，取AB 的中点E ，则//DE BC .∵BC AC ⊥，∴DE AC ⊥.∵1A D ⊥平面ABC ，∴分别以1DE DC DA ，，所在直线为x y z ，，轴建立空间直角坐标系，得()01 0A -，，，()0 1 0C ，，，()2 1 0B ，，，()10 0 A t ，，，()10 2 C t ，，.由21130AC BA t ⋅=-+= ，得t =…………(3分)设平面1A AB 的法向量为()1111n x y z = ，，.∵(10 1AA = ，，()2 2 0AB = ，，，∴11111110220n AA y n AB x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ . 设11z =，可得)1n = ……………(5分)∴点1C 到平面1A AB的距离111AC n d n ⋅= ||||. ……………(7分) (2)再设平面1A BC 的法向量为()2222n x y z = ，，.∵(10 1CA =- ，，()2 0 0CB = ，，，∴212222020n CA y n CB x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩ . 设21z =，可得()20n = ， ……………(9分)∴121212cos ||||n n n n n n ⋅<>==⋅ ，……………(11分) 根据法向量的方向可知，二面角1A A B C --…………(13分) 21.解：⑴根据题意得22121914ab =⎨⎪+=⎪⎩，解得2243.a b ⎧=⎨=⎩，. …………(2分) ∴椭圆C 的方程为 22143x y +=. …………(5分) ⑵由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 并整理，得 222(34)84120k x kmx m +++-=. ∵直线l 与椭圆C 交于两点，∴0∆>，得22430k m -+> (*) 设点A 、B 的坐标分别为1122()()A x y B x y ，，，， 则21212228412 3434km m x x x x k k -+=-⋅=++，. ………………(8分) ∵11A A A B ⊥，∴110A A A B ⋅= .又∵点1A 的坐标为1(2 0)A ，，∴1212(2)(2)0x x y y --+=， 即1212(2)(2)()()0x x kx m kx m --+++=，221212(1)(2)()40k x x km x x m ++-+++=， ∴222224128(1)(2)()403434m km k km m k k-+⋅+--++=++，化简并整理得2271640m km k ++=， 解得2m k =-，或27m k =-，均满足条件(*). ………………(12分) 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，所过的定点为(2，0)，与1A 重合，不合题意. 当27m k =-时，2:()7l y k x =-，所过的定点为(27，0)，符合题意. 综上所述，直线l 经过定点(27，0). ………………(14分)命题人：和县一中 贾相伟含山二中 王 冲审题人：庐江中学 汪京怀。

高二数学试题参考答案及评分标准(理科)一、选择题：(每小题5分，满分50分)CDBAD CBDCA二、填空题：(每小题5分，满分25分)11.真 12.90 13.③④三、解答题(本大题共6小题，满分75分)16.解：∵直线3470x y +-=的斜率为34-，∴直线l 的斜率为34-. ………(3分)设直线l 的方程为34y x b =-+，令0y =，得43x b =；令0x =，得y b =. ………(7分)由于直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积是24，∴142423S b b =⋅||⋅||=，解得6b =±， ………(10分)∴直线l 的方程是364y x =-±(或34240x y +±=). ………(12分)17.证明：⑴(必要性)∵⊿ABC 三个内角成等差数列，不妨设这三个内角依次为B B B αα-+，，，由()()180B B B αα-+++= ，得60B = ，∴⊿ABC 有一个内角等于60 . …………(5分)⑵(充分性)若ABC ∆有一个内角为60 ，不妨设60B = ，则180601202A C B +=-== ， ∴A B B C -=-，∴三个内角A B C ，，成等差数列. …………(10分) 综合⑴⑵得，⊿ABC 三个内角成等差数列的充要条件是有一个内角等于60 . …………(12分) (说明：混淆了必要性与充分性，或未注明必要性与充分性，扣4分) 18.证明：⑴∵BC ABE ⊥平面，AE ABE ⊂平面，∴AE BC ⊥.又∵BF ACE ⊥平面，AE ACE ⊂平面，∴AE BF ⊥. …………(3分) ∵BF BC B = ， ∴AE BCE ⊥平面.又∵BE BCE ⊂平面，∴AE BE ⊥． …………(6分) ⑵取DE 的中点P ，连接PA PN ，.∵点N 为线段CE 的中点，∴PN ∥DC ，且12P N D C =. …………(8分)又∵四边形A B C D 是矩形，点M 为线段AB 的中点，∴AM ∥DC ，且12AM DC =，∴PN ∥AM ，且P N A M =， ∴四边形A M N P 是平行四边形，∴MN ∥AP . …………(10分) ∵AP ⊂平面D A E ，M N ⊄平面D A E ，∴MN ∥平面D A E ． …………(12分) 19.解：∵O M O N C M C N ==，，∴OC 垂直平分线段MN . ……………(4分)∵2MN k =-，∴12OC k =，∴直线OC 的方程是12y x =，∴212t t =，解得2t =或2t =-. ……………(8分)⑴当2t =时，圆心C 的坐标为(2，1)，半径OC =||此时圆心C 到直线24y x =-+的距离d ==<C 相交，符合题意.⑵当2t =-时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，半径OC =||此时圆心C 到直线24y x =-+的距离d ==>直线与圆C 相离，不符合题意.………………(11分)综合⑴⑵得，圆C 的方程为22(2)(1)5x y -+-=. ………………(12分) 20.解：⑴如图，取AB 的中点E ，则//DE BC . ∵BC AC ⊥，∴DE AC ⊥.∵1A D ⊥平面ABC ，∴分别以1DE DC DA ，，所在直线为x y z ，，轴建立空间直角坐标系，得()01 0A -，，，()0 1 0C ，，，()2 1 0B ，，，()10 0 A t ，，，()10 2 C t ，，.由21130AC BA t ⋅=-+=，得t =…………(3分)设平面1A AB 的法向量为()1111n x y z =，，.∵(10 1AA = ，，()2 2 0AB = ，，，∴11111110220n AA y n AB x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩. 设11z =，可得)1n =……………(5分)∴点1C 到平面1A AB的距离111AC n d n ⋅==||||. ……………(7分)(2)再设平面1ABC 的法向量为()2222n x y z =，，.∵(10 1CA =- ，，()2 0 0CB = ，，，∴212222020n CA y n CB x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩. 设21z =，可得()20n =， ……………(9分)∴121212cos ||||n n n n n n ⋅<>==⋅ ，……………(11分)根据法向量的方向可知，二面角1A ABC --. …………(13分) 21.解：⑴根据题意得22121914ab =⎨⎪+=⎪⎩，解得2243.a b ⎧=⎨=⎩，. …………(2分)∴椭圆C 的方程为 22143x y +=. …………(5分)⑵由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 并整理，得 222(34)84120k x kmx m +++-=.∵直线l 与椭圆C 交于两点，∴0∆>，得22430k m -+> (*)设点A 、B 的坐标分别为1122()()A x y B x y ，，，， 则212122284123434km m x x x x k k -+=-⋅=++，. ………………(8分) ∵11A A AB ⊥，∴110A A A B ⋅=. 又∵点1A 的坐标为1(2 0)A ，，∴1212(2)(2)0x x y y --+=， 即1212(2)(2)()()0x x kx m kx m --+++=，221212(1)(2)()40k x x km x x m ++-+++=， ∴222224128(1)(2)()403434m km k km m k k-+⋅+--++=++，化简并整理得2271640m km k ++=， 解得2m k =-，或27m k =-，均满足条件(*). ………………(12分)当2m k =-时，:(2)l y k x =-，所过的定点为(2，0)，与1A 重合，不合题意.当27m k=-时，2:()7l y k x=-，所过的定点为(27，0)，符合题意.综上所述，直线l经过定点(27，0). ………………(14分)命题人：和县一中贾相伟含山二中王冲审题人：庐江中学汪京怀。